电磁场镜像法

§1-8 镜像法一、镜像法1. 定义：是解静电场问题的一种间接方法，它巧妙地应用唯一性定理，使某些看来棘手的问题很容易地得到解决。

该方法是把实际上分区均匀媒质看成是均匀的，对于研究的场域用闭合边界处虚设的简单的电荷分布，代替实际边界上复杂的电荷分布来进行计算。

即镜像法处理问题时不直接去求解电位所满足的泊松方程，而是在不改变求解区域电荷分布及边界条件的前提条件下，用假想的简单电荷分布（称为镜像电荷）来等效地取代导体面域（电介质分界面）上复杂的感应（半极化）电荷对电位的贡献，从而使问题的求解过程大为简化。

2. 应用镜像法应主意的问题应主意适用的区域，不要弄错。

在所求电场区域内： ① 不能引入镜像电荷；② 不能改变它的边界条件；③ 不能改变电介质的分布情况；④ 在研究区域外引入镜像电荷，与原给定的电荷一起产生的电荷满足所求解（讨论）的边界条件；⑤其求得的解只有在所确定的区域内正确且有意义。

3. 镜像法的求解范围应用于电场E 和电位ϕ的求解；也可应用于计算静电力F ；确定感应电荷的分布(),,ρστ等。

二、镜像法应用解决的问题一般是边界为平面和球面的情况1. 设与一个无限大导电平板（置于地面）相距h 远处有一点电荷q ，周围介质的介电常数为ε，求解其中的电场E 。

解：在电介质ε中的场E ，除点电荷q 所引起的场外，还应考虑无限大导电平板上的感应电荷的作用，但其分布不知（σ未知），因此无法直接求解。

用镜像法求解该问题。

对于ε区域，除q 所在点外，都有20ϕ∇= 以无限远处为参考点()0θϕ= 在边界上有：044q qrrϕϕϕπεπε+--=+=+= 即边界条件未变。

由唯一性定理有11444q q q r r r r ϕπεπεπε+-+-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭对于大场E 不存在()0E =推广到线电荷τ的情况，对于无限长线电荷也适合上述方法求解。

例1-15. P54求空气中一个点电荷q 在地面上引起的感应电荷分布情况。

解：用镜像法求解P 点：E E E +-=+ 0204q E r r πε+++=， 0204qE r r πε----=r r r +-== 22002cos 42qqh E r r rθπεπε=⨯=⋅ ()1222r x h =+ ()322202qh E x hπε∴=+感应电荷密度σ，21n n D D σ-= 20n D =（大地） 0D E εσ==- ()32222qh x hσπ∴=-+点电荷 ()322222sqh Q ds x dx q x h σππ∞-==⋅⋅=-+⎰⎰例1-16 P55解：用镜像法，如图所示，边界条件0ϕ= 012340ϕϕϕϕϕ=+++=2. 镜像法应用于求解两种不同介质中置于点电荷或电荷时的电场问题。

解：应用镜像法求解区域1ε如图b ，2ε如图c 设1ε中电位为1ϕ，2ε中电位为2ϕ满足条件：在1ε中除q 所在点外，有210ϕ∇=，在2ε中220ϕ∇=在两种媒质分界面上应有12t t E E =，21n n D D σ-=()0σ=由1212t t n n E E D D =⎧⎨=⎩ 有'''222112'''222cos cos cos 444sin sin sin 444q q q r r r qq q r r r θθθπεπεπεθθθπππ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩'''12'''q q q q q q εε⎧+=⎪⇒⎨⎪-=⎩ '1212''2122q q q q εεεεεεε-⎧=⎪+⎪⇒⎨⎪=⎪+⎩'q 与'''q 两个镜像电荷来代替边界的极化电荷'''''q q q =+若q 为τ的线电荷则有：'1212''2122εεττεεεττεε-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩3. 点电荷对金属面的镜像问题点电荷与接地金属球的问题① 1q 与2q -的电场中，求电位为零的等位面。

12010244p q q r r ϕπεπε=-令0p ϕ= 则有1212q q r r =余弦定理222122222cos 2cos r R d Rd r R b Rb θθ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩ 2222112222222cos 2cos q r R d Rd q r R b Rb θθ+-∴==+- ()()()2222222212212cos 0q R b q R d R q d q b θ⎡⎤+-++-=⎣⎦等位面为球面（等位线为圆），所以电位ϕ与θ无关，即与cos θ无关，∴必有()()22222212222100q R b q R d q d q b ⎧+-+=⎪⎨-=⎪⎩2211R bd R q q d ⎧=⎪⇒⎨==⎪⎩这说明只要满足上式，必有一个半径为R 的球面是零电位的等位面。

讨论点电荷与接地金属球问题解：除q 点外，20ϕ∇=，没撤除金属球，整个空间充满ε，在离球心为b 处，2Rb d=，用一个负电荷'Rq R d=取代。

对于r R (金属球外)的电场可用q 和'q 两点来计算。

边界条件r R =, 0ϕ=未变，20ϕ∇= '44r qq q q r r ϕπεπε∴=+② 对于金属球不接地，原来又不带电荷，则必须同时考虑正负两部分电荷的作用，此时用镜像法，在球外区域计算电场，应是三部分电荷共同作用：q 、'q （'Rq q d=-，距球心b 处）和''q （''Rq q d=，在球心）'''q q q ϕϕϕϕ=++③ 若求带电0q ，则应是4部分电荷作用。

§1-9 部分电容一、电容1. 定义：由两个导体组成电容器，即由两个导体组成的独立系统电容C 。

QC U=单位法拉。

由它的电极的几何形状、尺寸相互位置及导体间的介质有关，与带电情况无关。

其实际表明的是两导体间介质的性质。

公式q cu =与E σε=是相互对应的。

2. 几种常用电容器电容的计算 ① 孤立导体的电容 q c ϕ=， 实质上是该导体与无限远处另一导体的电容0u ϕ=-。

② 无限长同轴导体圆柱面电容 ()2ln C b aπε=，a 、b 分别为内外圆柱导体的半径。

③ 同心球面导体间的电容04abC b aπε=- 孤立导体球的电容04c a πε=④ 二线传输线每单位长度电容 ()()'0lncc lb h a b h a πε==+---hab = b h ≈ '02lnc h aπε=3. 部分电容实际工作中，常遇到三个或更多导体组成的系统。

在多个导体中一个导体在其他导体的影响下，与另一导体构成的电容只能引入部分电容的概念的描述。

① 定义：在由三个及三个以上带电导体组成的系统，任意两个导体之间的电压不仅要受到它的自身电荷还要受到其余导体上电荷的影响，这时系统中导体间的电压与导体电荷关系一般不能仅用一个电容来表示，要用部分电容来描述。

静止独立系统：一个系统，其中电场的分布只与系统内各带电体的形状、尺寸、相对位置及电介质分布有关，而和系统外的带电体无关，并且所有电通量密度()D 全部从系统内带电体发出，也全部终止于系统内的带电体上。

例对于1n +个导体构成静电独立系统，令导体从0n →顺序编号，则010n q q q +++=若系统中电介质是线性的，设0号导体为参考导体，则其余导体与0号导体之间的电压为：101111221101122011221k k n n k k k kk k kn n n n n nk k n nU q q q q U q q q q U q q q q αααααααααααα=+++++⎧⎪⎪⎪=+++++⎨⎪⎪=+++++⎪⎩ [][][]U q α⇒= i α-电位系数 ii α-自有电位系数 ii i jα≠-互有电位系数α的性质：①0α②()iiij i j αα≠ ③ji ij αα= ④α只与导体的几何形状、大小、尺寸、相互位置及电介质有关。

[][][]q U β⇒=[][]1βα-=β-静电感应系数 ii β-自有感应系数 ()ij i j β≠-互有感应系数，β也只与导体形状、尺寸等有关。

β的性质：①0iiβ ②()0ij i j β≠ ③ii ij ββ11110122010101102200011022000k k n n k k k kk k kn n n n n nk k nn n q U U U U q U U U U q U U U U ββββββββββββ=+++++⎧⎪⎪⎪=+++++⎨⎪⎪=+++++⎪⎩ 11022000k k k kk k kn n q U U U U ββββ⇒=+++++()()()()()101020200000120k k k k kk k k kn k n k k kk kn k U U U U U U U U U ββββββββ=-------++-++++++()1122120k k k k k k kk kn k kn kn U U U U βββββββ=--+++++++--令11k k C β=-，22k k C β=-，，kn kn C β=-，012k k k kk kn C ββββ=+++++[][][]q C U ∴=0k C ——自有部分电容，即各导体与0号导体之间的电容ij C ——互有部分电容，相应两导体之间的部分电容。

都是正的，kn nk kn C C β==- 共有 2211(1)2!2n n P n n C+++==个部分电容 例1-18. P65.解：用镜像法11q q -与；22q q -与构成两队电轴，由电轴法求空间p 点电位。

设电轴与几何轴重合，b h =则：11210010122200022ln ln 222ln ln 22q h q D U l R l d q q h D U l d l R πεπεπεπε⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩U Aq = q BU ⇒= q CU ⇒=11122122A αααα⎛⎫= ⎪⎝⎭1B A -=122112c c β==- 101112c ββ=+ 202221c ββ=+§1-10 静电能量与力一、定义 引入：从所学的机械能，我们知道很多力学问题由于从能量角度出发而使问题求解大为简化。

因此在研究带电体系统的力学关系时，通过能量来分析是有利的。

对于一种电荷分布，存在着与之相关联的力系统，也就有与之相关联的能量储存在系统中，一个带电体系统的能量比照力学系统来分，可分为位能和动能两部分。