电磁场镜像法

§1-8 镜像法

一、镜像法

1. 定义：是解静电场问题的一种间接方法，它巧妙地应用唯一性定理，使某些看来棘手的

问题很容易地得到解决。该方法是把实际上分区均匀媒质看成是均匀的，对于研究的场域用闭合边界处虚设的简单的电荷分布，代替实际边界上复杂的电荷分布来进行计算。即镜像法处理问题时不直接去求解电位所满足的泊松方程，而是在不改变求解区域电荷分布及边界条件的前提条件下，用假想的简单电荷分布（称为镜像电荷）来等效地取代导体面域（电介质分界面）上复杂的感应（半极化）电荷对电位的贡献，从而使问题的求解过程大为简化。 2. 应用镜像法应主意的问题

应主意适用的区域，不要弄错。在所求电场区域内： ① 不能引入镜像电荷；② 不能改变它的边界条件；③ 不能改变电介质的分布情况；④ 在

研究区域外引入镜像电荷，与原给定的电荷一起产生的电荷满足所求解（讨论）的边界条件；⑤其求得的解只有在所确定的区域内正确且有意义。 3. 镜像法的求解范围

应用于电场E 和电位ϕ的求解；也可应用于计算静电力F ；确定感应电荷的分布

(),,ρστ等。

二、镜像法应用解决的问题

一般是边界为平面和球面的情况

1. 设与一个无限大导电平板（置于地面）相距h 远处有一点电荷q ，周围介质的介电常数

为ε，求解其中的电场E 。

解：在电介质ε中的场E ，除点电荷q 所引起的场外，还应考虑无限大导电平板上的感应电荷的作用，但其分布不知（σ未知），因此无法直接求解。用镜像法求解该问题。

对于ε区域，除q 所在点外，都有2

0ϕ∇= 以无限远处为参考点()0θϕ= 在边界上有：044q q

r

r

ϕϕϕπεπε+--=+=+

= 即边界条件未变。 由唯一性定理有11444q q q r r r r ϕπεπεπε+

-

+-⎛⎫=

-

=

- ⎪⎝⎭

对于大场E 不存在()0E =

推广到线电荷τ的情况，对于无限长线电荷也适合上述方法求解。 例1-15. P54

求空气中一个点电荷q 在地面上引起的感应电荷分布情况。 解：用镜像法求解

P 点：E E E +-=+ 02

04q E r r πε+++=

， 0204q

E r r πε--

-

-=

r r r +-== 22

002cos 42q

q

h E r r r

θπεπε=⨯=⋅ ()1222

r x h =+ ()

3

2

2

2

02qh E x h

πε∴=

+

感应电荷密度σ，21n n D D σ-= 20n D =（大地） 0D E εσ==- ()

3

22

2

2qh x h

σπ∴=-

+

点电荷 ()

3

222

22s

qh Q ds x dx q x h σππ∞

-==⋅⋅=-+⎰⎰

例1-16 P55

解：用镜像法，如图所示，边界条件0ϕ= 012340ϕϕϕϕϕ=+++=

2. 镜像法应用于求解两种不同介质中置于点电荷或电荷时的电场问题。

解：应用镜像法

求解区域1ε如图b ，2ε如图c 设1ε中电位为1ϕ，2ε中电位为2ϕ

满足条件：在1ε中除q 所在点外，有210ϕ∇=，在2ε中2

20ϕ∇=

在两种媒质分界面上应有12t t E E =，21n n D D σ

-=()0σ=

由1212t t n n E E D D =⎧⎨=⎩ 有'''

222112

'''222cos cos cos 444sin sin sin 444q q q r r r q

q q r r r θθθπεπεπεθθθπππ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩

'''

12'''q q q q q q εε⎧+=⎪

⇒⎨⎪-=⎩ '1212''2122q q q q εεεεεεε-⎧=⎪+⎪⇒⎨⎪=⎪+⎩

'q 与'''q 两个镜像电荷来代替边界的极化电荷

''

'''

q q q =+

若q 为τ的线电荷则有：'1212

''212

2εεττεεεττεε-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩

3. 点电荷对金属面的镜像问题

点电荷与接地金属球的问题

① 1q 与2q -的电场中，求电位为零的等位面。 1201

02

44p q q r r ϕπεπε=

-

令0p ϕ= 则有

1

2

1

2

q q r r =

余弦定理

2221222

22cos 2cos r R d Rd r R b Rb θ

θ

⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩ 2222112222

222cos 2cos q r R d Rd q r R b Rb θθ

+-∴==+- ()(

)()

22222222

12212cos 0q R b q R d R q d q b θ⎡⎤+-++-=⎣

⎦

等位面为球面（等位线为圆），所以电位ϕ与θ无关，即与cos θ无关，∴必有

()()2

2

2

22

2

1

2

22

2100q R b q R d q d q b ⎧+-+=⎪⎨-=⎪⎩

2211R bd R q q d ⎧=⎪⇒⎨==⎪⎩

这说明只要满足上式，必有一个半径为R 的球面是零电位的等位面。

讨论点电荷与接地金属球问题

解：除q 点外，2

0ϕ∇=，没撤除金属球，整个空间充满ε，在离球心为b 处，2

R

b d

=，

用一个负电荷'

R

q R d

=

取代。对于r R (金属球外)的电场可用q 和'q 两点来计算。边界

条件r R =, 0ϕ=未变，2

0ϕ∇= '

44r q

q q q r r ϕπεπε∴=

+

② 对于金属球不接地，原来又不带电荷，则必须同时考虑正负两部分电荷的作用，此时用