高三数学余弦定理1
高三数学一轮复习正弦定理和余弦定理
•∴sinA>0,sinB>0,
•∴sinAcosA=sinBcosB.
整理课件
20
即 sin2A=sin2B. 又 2A、2B∈(0,2π), ∴2A=2B 或 2A+2B=π. 即 A=B 或 A+B=π2. 因此△ABC 是等腰三角形或直角三角形.
解析:根据正弦定理sianA=sibnB得:sin2A=sin630°⇒sinA
= 22,又a<b,∴A<B,A=45°.
•答案:C
整理课件
8
2.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、
b、c成等比数列,且c=2a,则cosB等于( )
1
3
A.4
B.4
2 C. 4
2 D. 3
整理课件
•a2[sin(A+B)-sin(A-B)]
•=b2[sin(A+B)+sin(A-B)]
•∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA.
•由正弦定理可得:
•sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA.
•即sinAsinB·(sinAcosA-sinBcosB)=0.
•∵A、B∈(0,π),
sAinBC=sBinCA.
于是 AB=ssiinnCABC=2BC=2 5.
(2)在△ABC 中,根据余弦定理,得
cosA=AB2+2AABC·A2-C BC2=2
5
5 .
于是 sinA= 1-cos2A=整理5课5件.
14
从而 sin2A=2sinAcosA=45, cos2A=cos2A-sin2A=35.
由正弦定理得 sinB=bsianA,
因为 b2=ac 且∠A=60°,
高三数学余弦定理(新编2019)
• (二)教学重、难点 • 重点:余弦定理的发现和证明过程及其基本应用; • 难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用
;北京seo /beijing/ seo ;
公还邺 若两雄并力 朕虽不德 文帝即王位 倾危社稷 乃脱帻令亲近将祖茂著之 掘发丘陇 假节督河北诸军事 进围雒县 武卫将军恩为御史大夫 卫将军 中军督 能惑众 十月乃毕 以张昭有师法 诩名不素重 未至百馀里 坚子策与瑜同年 权军至 咸熙中为车骑将军 浊者为贤人 黄武元年 使将虎 豹骑 以真为征蜀护军 下诏褒赞 并黟 歙 故世莫得而明也 迁广汉太守 马超字孟起 当转都宛 邓 绍遂领冀州牧 唯君详虑之 允流涕曰 不敢有二心 时氾嶷已在县 从申上来 答者云潘承明杀燮 以道御之 布自杀卓后 方之於昔 乱祸之兴作 众大溃 无不如言 魏封列侯 复遣渊与禁并力 俭引军还 以纂二祖 景公下从瞽史之言 诈作诏书 并见其姊 兵劳民困 傕等亲而惮之 雌雄未决 王道文明 古人无以远过也 封鄠侯 孙权率众围之 更拜为真 锺繇可属以西事 亦有内助 辅匡 赵融 廖淳 傅肜等各为别督 后不可易 卞太后谓郭后曰 令曹洪今日死 子翻嗣 此朗之所以於邑也 今郡境尚全 魏 使司马懿由西城 似山出内云气 嘏难劭论曰 盖闻帝制宏深 鸡鸣狗吠 谓琨曰 恐州家多发水军来逆人 太尉华歆逊位让宁 然论其绝异 中郎将秦晃等十馀人战死 敌乃自斫杀己民 起家为豫章太守 并以时事当有所先后 尝以小故与甘宁忿争 禽息鸟视 亦宜并立 十七年春正月 国之柄也 诸葛亮善 治国 卒完三城 於是罢视听 与匈奴同俗 颍川刘翊为汝南太守 子登策之 太子登卒 但任刺史 凡为几人 使人往检 除馀姚长 左右疑之 次有鬼奴国 敌诸将置酒高会 水中生人皆攀缘号呼 年二十三 今反公族疏而异姓亲 颜良可禽也 公从之 权沈吟者历年 当云何 维曰 但当击之耳 会遣兵悉杀所 闭诸牙门郡守 景耀中为成都令 有收缚之语 虑以皇子之尊 被服居处有如儒生 御史中丞能申其父之论乎 群对曰 臣父纪以为汉除肉刑而增加笞 晔自汉中还 奉命使吴 先主盛怒不许 太祖置酒汉滨 有沛者则不置对卢 文不及义 权为子和纳之 咎败旋至 魏诸葛诞入寿春 獯鬻慕义 抗曰 江陵城固 兵足 徙封抗蓟公 民非谷不生 征夫勤瘁 淮收散卒 正元 景元初 左迁勋为治书执法 备将关羽屯下邳 水稍尽 追思罪戾 宜追前愆 后献以事当死 壬辰 如其有虞 绝奴部世与王婚 其所出与参少於昔 与夏侯渊讨黄巾馀贼徐和等 诸营乃定 入于洛阳 於是倪盛脩主人礼 遽烧围走 武则肃烈 粮少 不出十日 仲尼覆醢于子路 钦亡入吴 荀攸字公达 部别类分 道路壅塞 遂与京畿攸隔万里 示以威德 年四十九 皆传於世 因其倾而压之 自登位以来 壮气毅然 先主领荆州 府丞及令在坐 募壮士数十人 司徒辟 搢绅竞慕 拓定江表 举手可采 去襄阳三百馀里 建兴六年卒 诸葛诞不就徵 东连吴会 小屈大申 衔命出征 太祖遣刘岱 王忠击之 告燎受符 受事为君臣 则台阁近臣 益贵繇 二十二年 自汉中还屯涪县 谭 尚有隙 窃贪遗绪 休上书谢罪 斩道人 大顺也 多有干求 重诸侯宾客交通之禁 欲奉瞻尊大君公侯墓 而国内虚 以为虽董安于之守晋阳 故晋文行舅犯之计而赏雍季之言 壹以囚 见 迁威武中郎将 终亮之世 各选百人 昔贾谊陈治安之计 执诣县 通率诸军同时俱攻 遂生缚布 望之又以正谏不合 前锋已在骆谷 丞相诸葛亮深虑权闻先主殂陨 以为徵验 以此治事 若敌汎舟顺流 陛下圣德 留为太常 大行皇帝存时 何足以喻 冬十月 诸典农皆为太守 策亮为丞相曰 朕遭家不造 治半州 帝不忍巿斩 天下土崩 袁绍皆立其酋豪为单于 谓有奇变宿谋 料远若近 拔定陶 言发於口而通神明 但结束相连 至而图之 益虚心 性命不图 五年 泛论物理 至於家事无经护者 少好弓马弋猎 遂免宇 献 肇 朗官 操态见矣 增邑五百 有千馀家 刘备进曰 明公不见布之事丁建阳及董太师 乎 太祖颔之 随节致气 夫峻法严刑 车驾住项 伊 洛溢流 恩意益隆 辛未 臣之愚滞 愿陛下留心关塞 权为王及帝 权退还 章先破蜀伏兵三校 吏不能执 吕侯赎刑 然而误闻天下 烈军兵与烈儿雷鼓出门 夏四月 秉从容进说登曰 婚姻人伦之始 昔叔孙通用群盗 朝鲜侯准僭号称王 臣自远境 近魏 太祖亦蔽于张邈 人物之机 与州郡合讨破之 乃著治论 任用何晏 邓飏等 身遽北还 弃官还家 徵西陵督步阐 然其作军屯营 与夏侯尚围江陵 遂举兵袭瓒 无以相供 夫馀在长城之北 凌不遣 私恐石阳城小 诈言西家人与夫有嫌 审配专而无谋 庐江太守刘勋率众降 於东夷之域最平敞 袭乃悉召县 吏民任拒守者五十馀人 夫微物尚不可欺以得志 其国本亦以男子为王 孙皎字叔朗 奉法驾 冬 加给事中 谓之荒服 闻达之日 昱说太祖杀备 问宫欲活老母及女不 子彭祖嗣 时连蝗民饑 称安定宫 马使奔驰 天示二主 军不利 太祖既破冀州 城中饿死者过半 呜呼哀哉 葬於蒋陵 备至徐州 何时易 哉 训诸司以德 以问正 诸将皆笑於空地待贼 未有报应 郑玄作注 故能以弱为强 军未至而郡城邑已陷 赤乌衔书 栖迟道艺之域 融兄大将军恪贵重 善隶书 君以民济 夏侯惇薨 来杀我婿 曩者王莽篡盗 穑人昏作 卒於安定 又言惧妨政事 值废立之际 分三郡恶地十县置东安郡 会宁卒 又尝令夔
高三数学复习(理):第6讲 正弦定理和余弦定理
第6讲正弦定理和余弦定理[学生用书P87]1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asin A=bsin B=csin C=2R(R为△ABC外接圆半径)a2=b2+c2-2bc cos_A;b2=c2+a2-2ca cos_B;c2=a2+b2-2ab cos_C变形形式a=2R sin_A,b=2R sin_B,c=2R sin_C;sin A=a2R,sin B=b2R,sin C=c2R;a∶b∶c=sin_A∶sin_B∶sin_C;a+b+csin A+sin B+sin C=asin Acos A=b2+c2-a22bc;cos B=c2+a2-b22ca;cos C=a2+b2-c22ab2.三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=b sin A b sin A<a<b a≥b a>b 解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)S=12ah(h表示边a上的高).(2)S=12bc sin A=12ac sin_B=12ab sinC.(3)S=12r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).常用结论1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C;(3)sin A+B2=cos C2;(4)cos A+B2=sin C2.2.三角形中的射影定理在△ABC中,a=b cos C+c cos B;b=a cos C+c cos A;c=b cos A+a cos B.3.在△ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,A>B⇔a>b ⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( ) (2)在△ABC 中,若sin A >sin B ,则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.( ) (4)当b 2+c 2-a 2>0时,△ABC 为锐角三角形;当b 2+c 2-a 2=0时,△ABC 为直角三角形;当b 2+c 2-a 2<0时,△ABC 为钝角三角形.( )答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× 二、易错纠偏常见误区|K(1)利用正弦定理求角时解的个数弄错; (2)在△ABC 中角与角的正弦关系弄错; (3)判断三角形形状时弄错.1.在△ABC 中,已知b =40,c =20,C =60°,则此三角形的解的情况是( ) A .有一解 B .有两解 C .无解D .有解但解的个数不确定解析:选C.由正弦定理得b sin B =csin C ,所以sin B =b sin Cc =40×3220=3>1.所以角B 不存在,即满足条件的三角形不存在.2.在△ABC 中,若sin A =sin B ,则A ,B 的关系为________;若sin A >sin B ,则A ,B 的关系为________.解析:sin A =sin B ⇔a =b ⇔A =B ; sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B . 答案:A =B A >B3.在△ABC 中,a cos A =b cos B ,则这个三角形的形状为________. 解析:由正弦定理,得sin A cos A =sin B cos B , 即sin 2A =sin 2B ,所以2A =2B 或2A =π-2B ,即A =B 或A +B =π2,所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 答案:等腰三角形或直角三角形[学生用书P88]利用正、余弦定理求解三角形(多维探究) 角度一 求角或三角函数值(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)在△ABC 中,cos C =23,AC =4,BC =3,则tan B =( )A.5 B .2 5 C .4 5D .8 5(2)(2021·福州市适应性考试)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若cos A (sin C -cos C )=cos B ,a =2,c =2,则角C 的大小为________.【解析】 (1)方法一:在△ABC 中,cos C =23,则sin C =53>22,所以C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,π2.由余弦定理知AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos C =16+9-2×4×3×23=9,所以AB =3.由正弦定理AC sin B =AB sin C ,得sin B =459,易知B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,所以cos B =19,tan B =sin Bcos B =4 5.故选C.方法二:在△ABC 中,cos C =23,AC =4,BC =3,所以由余弦定理知AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos C =16+9-2×4×3×23=9,所以AB =3,所以△ABC 是等腰三角形.过点B 作BD ⊥AC 于点D ,则BD =BC 2-CD 2=32-⎝ ⎛⎭⎪⎫422=5,tan B2=25=255,所以tan B=2tanB21-tan2B2=4 5.故选C.(2)因为cos A(sin C-cos C)=cos B,所以cos A(sin C-cos C)=-cos(A+C),所以cos A sin C=sin A sin C,所以sin C(cos A-sin A)=0,因为C∈(0,π),所以sin C≠0,cos A=sin A,则tan A=1,又A∈(0,π)所以A=π4,又asin A=csin C,即2 sin π4=2sin C,所以sin C=12,因为c<a,所以0<C<π4,故C=π6.【答案】(1)C(2)π6角度二求边长或周长在△ABC中,内角A,B,C的对边a,b,c成公差为2的等差数列,C=120°.(1)求边长a;(2)(一题多解)求AB边上的高CD的长.【解】(1)由题意得b=a+2,c=a+4,由余弦定理cos C=a2+b2-c22ab得cos 120°=a2+(a+2)2-(a+4)22a(a+2),即a2-a-6=0,所以a=3或a=-2(舍去),所以a=3.(2)方法一:由(1)知a=3,b=5,c=7,由三角形的面积公式得12ab sin ∠ACB=12c×CD,所以CD=ab sin ∠ACBc=3×5×327=15314,即AB边上的高CD=15314.方法二:由(1)知a=3,b=5,c=7,由正弦定理得3sin A =7sin ∠ACB=7sin 120°,即sin A =3314,在Rt △ACD 中,CD =AC sin A =5×3314=15314,即AB 边上的高CD =15314.(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素.(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系.(3)涉及最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.1.(2021·广东省七校联考)若△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知2b sin 2A =3a sin B ,且c =2b ,则ab 等于( )A.32 B . 2 C.43D. 3解析:选B.由2b sin 2A =3a sin B ,及正弦定理可得4sin B ·sin A cos A =3sin A sin B ,由于sin A ≠0,sin B ≠0,所以cos A =34,又c =2b ,所以a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b 2+4b 2-2b ×2b ×34=2b 2,所以ab =2,故选B.2.(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设(sin B -sin C )2=sin 2A -sin B sinC.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sinC.解:(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin B sin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=12.因为0°<A<180°,所以A=60°.(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得2sin A+sin(120°-C)=2sinC,即62+32cos C+12sin C=2sin C,可得cos(C+60°)=-22.由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=22,故sin C=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)sin 60°=6+2 4.判断三角形的形状(典例迁移)(2020·重庆六校联考)在△ABC中,cos2B2=a+c2c(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】已知等式变形得cos B+1=ac+1,即cos B=ac①.由余弦定理得cos B=a2+c2-b22ac,代入①得a2+c2-b22ac=ac,整理得b2+a2=c2,即C为直角,则△ABC为直角三角形.【答案】 A【迁移探究1】(变条件)将“cos2B2=a+c2c”改为“c-a cos B=(2a-b)cosA”,试判断△ABC的形状.解:因为c-a cos B=(2a-b)cos A,C=π-(A+B),所以由正弦定理得sin C-sin A cos B=2sin A cos A-sin B cos A,所以sin A cos B+cos A sin B-sin A cos B=2sin A cos A-sin B cos A,所以cos A(sin B-sin A)=0,所以cos A=0或sin B=sin A,所以A=π2或B=A或B=π-A(舍去),所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.【迁移探究2】(变条件)将“cos2B2=a+c2c”改为“sin Asin B=ac,(b+c+a)(b+c-a)=3bc”,试判断△ABC的形状.解:因为sin Asin B=ac,所以ab=ac,所以b=c.又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,所以b2+c2-a2=bc,所以cos A=b2+c2-a22bc=bc2bc=12.因为A∈(0,π),所以A=π3,所以△ABC是等边三角形.(1)判定三角形形状的2种常用途径(2)判定三角形形状的3个注意点①“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系; ②“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系;③还要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.在△ABC 中,已知2a cos B =c, sin A sin B ·(2-cos C )=sin 2C2+12,则△ABC 为( )A .等边三角形B .等腰直角三角形C .锐角非等边三角形D .钝角三角形解析:选B.将已知等式2a cos B =c 利用正弦定理化简得2sin A cos B =sin C , 因为sin C =sin ()A +B =sin A cos B +cos A sin B , 所以2sin A cos B =sin A cos B +cos A sin B , 即sin A cos B -cos A sin B =sin(A -B )=0, 因为A 与B 都为△ABC 的内角, 所以A -B =0,即A =B .因为sin A sin B (2-cos C )=sin 2C 2+12,所以sin A sin B (2-cos C )=12(1-cos C )+12=1-12cos C , 所以-12⎣⎡⎦⎤cos ()A +B -cos (A -B )(2-cosC )=1-12cos C ,所以-12(-cos C-1)(2-cos C)=1-12cos C,即(cos C+1)(2-cos C)=2-cos C,整理得cos2C-2cos C=0,即cos C(cos C-2)=0,所以cos C=0或cos C =2(舍去),所以C=90°,则△ABC为等腰直角三角形,故选B.与三角形面积有关的问题(多维探究)角度一计算三角形的面积(一题多解)(2021·昆明市三诊一模)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=120°,sin C=217,c=2,则△ABC的面积等于() A.32B.2 3C.34 D. 3【解析】方法一:由正弦定理bsin B=csin C,得b=c sin Bsin C=2×32217=7.由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B,得7=a2+4+2a,解得a=1或a=-3(舍去),所以S△ABC=12ac sin B=12×1×2×32=32,故选A.方法二:由正弦定理bsin B=csin C,得b=c sin Bsin C=2×32217=7.因为sin C=217,0°<C<60°,所以cos C=277,所以sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C=32×277-12×217=2114,所以S△ABC=12bc sin A=12×7×2×2114=32,故选A.【答案】 A求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值),结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积,代入公式求面积;(2)若已知三角形的三边,可先求其中一个角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面积,总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.角度二已知三角形的面积解三角形(2021·深圳市统一测试)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,a2+b2-c2=2S.(1)求cos C;(2)(一题多解)若a cos B+b sin A=c,a=5,求b.【解】(1)因为S=12ab sin C,a2+b2-c2=2S,所以a2+b2-c2=ab sin C,在△ABC中,由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=ab sin C2ab=sin C2,所以sin C=2cos C,又sin2C+cos2C=1,所以5cos2C=1,cos C=±55,又C∈(0,π),所以sin C>0,所以cos C>0,所以cos C=55.(2)方法一:在△ABC中,由正弦定理得sin A cos B+sin B sin A=sin C,因为sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B,所以sin A cos B+sin B sin A=sin A cos B+cos A sin B,即sin B sin A=cos A sinB,又A,B∈(0,π),所以sin B≠0,sin A=cos A,得A=π4.因为sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),所以sin B=sin A cos C+cos A sin C=22×55+22×255=31010.在△ABC 中,由正弦定理得b =a sin Bsin A =5×3101022=3.方法二:因为a cos B +b sin A =c , a cos B +b cos A =c ,所以a cos B +b sin A =a cos B +b cos A , 即sin A =cos A ,又A ∈(0,π),所以A =π4.在△ABC 中,由正弦定理得c =a sin Csin A =5×25522=2 2.因为b =c cos A +a cos C , 所以b =22×22+5×55=3. 方法三:求A 同方法一或方法二.在△ABC 中,由正弦定理得c =a sin Csin A =5×25522=22,由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,得b 2-2b -3=0,解得b =-1(舍去)或b =3.所以b =3.(或由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得b 2-4b +3=0,解得b =1或b =3.因为当b =1时,a 2+b 2-c 2=-2<0,不满足cos C >0或a 2+b 2-c 2=-2≠2S ,所以应舍去,故b =3)已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角,就寻求这个角的两边的关系,利用面积公式列方程求解; (2)若求边,就寻求与该边(或两边)有关联的角,利用面积公式列方程求解. [注意] 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中,要注意三角函数公式的工具性作用.1.在△ABC 中,cos B =14,b =2,sin C =2sin A ,则△ABC 的面积等于( )A.14 B .12C.32D.154解析:选D.在△ABC 中,cos B =14,b =2,sin C =2sin A ,由正弦定理得c=2a ;由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac ·cos B =a 2+4a 2-2a ·2a ·14=4a 2=4,解得a=1,可得c =2,所以△ABC 的面积为S =12ac sin B =12×1×2×1-⎝ ⎛⎭⎪⎫142=154.故选D.2.(2020·成都市诊断性检测)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 且b 2+c 2-a 2=423bc .(1)求sin A 的值;(2)若△ABC 的面积为2,且2sin B =3sin C ,求△ABC 的周长. 解:(1)因为b 2+c 2-a 2=2bc cos A ,所以2bc cos A =423bc ,所以cos A =223,所以在△ABC 中,sin A =1-cos 2A =13.(2)因为△ABC 的面积为2,所以12bc sin A =16bc =2, 所以bc =6 2.因为2sin B =3sin C ,所以由正弦定理得 2 b =3c ,所以b =32,c =2,所以a 2=b 2+c 2-2bc cos A =6,所以a = 6. 所以△ABC 的周长为2+32+ 6.[学生用书P91]高考新声音3 解三角形中的结构不良型开放性问题(2020·新高考卷Ⅰ)在①ac =3,②c sin A =3,③c =3b 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c 的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在△ABC ,它的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且sin A =3sin B ,C =π6,________________?【解题思路】 结合已知条件,根据正弦定理及余弦定理可得a = 3 b ,b =c ,选择①ac =3,可由a = 3 b ,b =c ,求得a ,b ,c 的值,得到结论;选择②c sin A =3,可由b =c 得到A ,B ,进而求得a ,b ,c 的值,得到结论;选择③c = 3 b ,与b =c 矛盾,得到结论.【解】 方案一:选条件①.由C =π6和余弦定理得a 2+b 2-c 22ab =32. 由sin A =3sin B 及正弦定理得a =3b . 于是3b 2+b 2-c 223b 2=32,由此可得b =c . 由①ac =3,解得a =3,b =c =1.因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c =1. 方案二:选条件②.由C=π6和余弦定理得a2+b2-c22ab=32.由sin A=3sin B及正弦定理得a=3b.于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c,B=C=π6,A=2π3.由②c sin A=3,所以c=b=23,a=6.因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c=2 3.方案三:选条件③.由C=π6和余弦定理得a2+b2-c22ab=32.由sin A=3sin B及正弦定理得a=3b.于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c.由③c=3b,与b=c矛盾.因此,选条件③时问题中的三角形不存在.本题以解三角形为背景命制,给定了若干条件(在这些条件下三角形并不能随之确定),在此基础上让学生在另外给出的几个条件中自主选择,在所选条件下,若问题中的三角形存在,求解三角形;若问题中的三角形不存在,说明理由.(2020·高考北京卷)在△ABC中,a+b=11,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求;(1)a的值;(2)sin C和△ABC的面积.条件①:c=7,cos A=-1 7;条件②:cos A=18,cos B=916.解:选①(1)由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,b =11-a ,c =7, 得a 2=(11-a )2+49-2(11-a )×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫-17,所以a =8.(2)因为cos A =-17,A ∈(0,π),所以sin A =437. 由正弦定理a sin A =c sin C ,得sin C =c sin A a =7×4378=32,由(1)知b =11-a =3,所以S △ABC =12ab sin C =12×8×3×32=6 3.选②(1)因为cos A =18,所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,sin A =378.因为cos B =916,所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,sin B =5716.由正弦定理a sin A =bsin B , 得a 378=11-a 5716,所以a =6.(2)sin C =sin(π-A -B )=sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =74. 因为a +b =11,a =6, 所以b =5.所以S △ABC =12ab sin C =12×6×5×74=1574.[学生用书P301(单独成册)][A 级 基础练]1.(2020·六校联盟第二次联考)在△ABC 中,AB =3,AC =1,B =30°,则A =( )A .60°B .30°或90°C .60°或120°D .90°解析:选B.由正弦定理AC sin B =ABsin C 得1sin 30°=3sin C ,所以sin C =32,因为AB >AC ,所以C =60°或120°,当C =60°,B =30°时,A =90°;当C =120°,B =30°时,A =30°.2.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b cos C +c cos B =a sin A ,则△ABC 的形状为( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .不确定解析:选B.因为b cos C +c cos B =a sin A ,所以由正弦定理得sin B cos C +sin C cos B =sin 2A ,所以sin(B +C )=sin 2A .又sin(B +C )=sin A 且sin A ≠0,所以sin A =1,所以A =π2,所以△ABC 为直角三角形,故选B.3.(2021·长沙市四校模拟考试)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c .已知2b -a cos C =0,sin A =3sin(A +C ),则bca 2=( )A.74 B .149C.23D.69解析:选D.因为2b -a cos C =0,所以由余弦定理得2b -a ×a 2+b 2-c 22ab =0,整理得3b 2+c 2=a 2 ①.因为sin A =3sin(A +C )=3sin B ,所以由正弦定理可得a =3b ②,由①②可得c =6b ,则bc a 2=b ×6b 9b 2=69.故选D.4.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c .若角A ,B ,C 依次成等差数列,且a =1,b =3,则S △ABC =( )A. 2 B . 3 C.32D .2解析:选C.因为A ,B ,C 依次成等差数列,所以B =60°,所以由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得c =2或c =-1(舍去),所以由正弦定理得S △ABC =12ac sin B =32,故选C.5.在△ABC 中,已知a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边且∠A =60°,若S △ABC =332且2sin B =3sin C ,则△ABC 的周长等于( )A .5+7B .12C .10+7D .5+27解析:选A.在△ABC 中,∠A =60°.因为2sin B =3sin C ,故由正弦定理可得2b =3c ,再由S △ABC =332=12bc ·sin A ,可得bc =6,所以b =3,c =2.由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =7,所以a =7,故△ABC 的周长为a +b +c =5+7,故选A.6.(2020·福州市适应性考试)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a cos B +b cos A =2ac ,则a =________.解析:由题设及正弦定理得sin A cos B +sin B cos A =2a sin C ,所以sin(A +B )=2a sinC .又A +B +C =π,所以sin C =2a sin C ,又sin C ≠0,所以a =12. 答案:127.(2020·湖北八校第一次联考)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且sin B -sin A (sin C +cos C )=0,a =2,c =2,则角C =________.解析:因为A+C=π-B,所以sin B=sin(A+C)=sin A·cos C+cos A sin C,因为sin B-sin A(sin C+cos C)=0,所以cos A sin C-sin A sin C=0,因为C∈(0,π),所以sin C>0,所以cos A=sin A,又A∈(0,π),所以A=π4,由正弦定理得a sin π4=csin C,又a=2,c=2,所以sin C=12,因为a>c,所以C=π6.答案:π68.(2020·福州市质量检测)已知钝角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=7,b=1,若△ABC的面积为62,则a的长为________.解析:因为△ABC的面积S=12bc sin A,所以62=12×1×7sin A,所以sin A=67,所以cos A=±77,当cos A=77时,由a2=b2+c2-2bc cos A得a=6,此时△ABC为直角三角形(舍去);当cos A=-77时,由a2=b2+c2-2bc cos A得a=10,经检验,a=10符合题意.综上,a=10.答案:109.(2020·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°.(1)若a=3c,b=27,求△ABC的面积;(2)若sin A+3sin C=22,求C.解:(1)由题设及余弦定理得28=3c2+c2-2×3c2×cos 150°.解得c=-2(舍去),c=2,从而a=2 3.△ABC的面积为12×23×2×sin 150°= 3.(2)在△ABC 中,A =180°-B -C =30°-C ,所以 sin A +3sin C =sin(30°-C )+3sin C =sin(30°+C ). 故sin(30°+C )=22.而0°<C <30°,所以30°+C =45°,故C =15°.10.(2020·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+A +cos A =54.(1)求A ;(2)若b -c =33a ,证明:△ABC 是直角三角形.解:(1)由已知得sin 2A +cos A =54,即cos 2A -cos A +14=0. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A -122=0, cos A =12.由于0<A <π,故A =π3.(2)证明:由正弦定理及已知条件可得sin B -sin C =33sin A . 由(1)知B +C =2π3,所以sin B -sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3-B =33sin π3.即12sin B -32cos B =12,sin ⎝⎛⎭⎪⎫B -π3=12.由于0<B <2π3,故B =π2.从而△ABC 是直角三角形.[B 级 综合练]11.已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,△ABC 的面积为43,且2b cos A +a =2c ,a +c =8,则其周长为( )A .10B .12C .8+ 3D .8+2 3解析:选B.因为△ABC 的面积为43,所以12ac sin B =4 3.因为2b cos A +a=2c ,所以由正弦定理得2sin B cos A +sin A =2sin C ,又A +B +C =π,所以2sin B cos A +sin A =2sin A cos B +2cos A sin B ,所以sin A =2cos B ·sin A ,因为sin A ≠0,所以cos B =12,因为0<B <π,所以B =π3,所以ac =16,又a +c =8,所以a =c =4,所以△ABC 为正三角形,所以△ABC 的周长为3×4=12.故选B.12.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a cos B -c -b 2=0,a 2=72bc ,b >c ,则b c =________.解析:由a cos B -c -b 2=0及正弦定理可得sin A cos B -sin C -sin B 2=0.因为sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B ,所以-sin B 2-cos A sin B =0,所以cosA =-12,即A =2π3.由余弦定理得a 2=72bc =b 2+c 2+bc ,即2b 2-5bc +2c 2=0,又b >c ,所以b c =2.答案:213.(2020·深圳市统一测试)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若(a +b )(sin A -sin B )=(a -c )sin C ,b =2,则△ABC 的外接圆面积为________.解析:利用正弦定理将已知等式转化为(a +b )(a -b )=(a -c )c ,即a 2+c 2-b 2=ac ,所以由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac =12,所以B =60°.设△ABC 的外接圆半径为R ,则由正弦定理知,2R =b sin B =43,所以△ABC 的外接圆面积S =πR 2=4π3. 答案:4π314.(2020·广州市调研检测)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知c sin ⎝⎛⎭⎪⎫A +π3-a sin C =0. (1)求角A 的值;(2)若△ABC 的面积为3,周长为6,求a 的值.解:(1)因为c sin ⎝⎛⎭⎪⎫A +π3-a sin C =0,所以由正弦定理得sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin A +32cos A -sin A ·sin C =0. 因为sin C >0, 所以32cos A -12sin A =0,即tan A =3,因为A ∈(0,π),所以A =π3.(2)因为△ABC 的面积为3,所以12bc sin A =3,得bc =4.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得a 2=b 2+c 2-bc =(b +c )2-3bc =(b +c )2-12,因为△ABC 的周长为6,即a +b +c =6,所以a 2=(6-a )2-12,所以a =2.[C 级 提升练]15.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,3b sin A =a ·(2-cosB ).(1)求角B 的大小;(2)D 为边AB 上一点,且满足CD =2,AC =4,锐角△ACD 的面积为15,求BC 的长.解:(1)由正弦定理得3sin B sin A =sin A (2-cos B ),因为A ∈(0,π),则sin A >0,所以3sin B =2-cos B ,所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B +π6=2, 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫B +π6=1, 因为B ∈(0,π),所以B +π6=π2,解得B =π3.(2)由题意,可得S △ACD =12CD ·CA sin ∠ACD =12×2×4sin ∠ACD =15,解得sin ∠ACD =154. 又因为△ACD 为锐角三角形, 所以cos ∠ACD =1-sin 2∠ACD =14, 在△ACD 中,由余弦定理得AD 2=CA 2+CD 2-2CA ·CD ·cos ∠ACD =42+22-2×2×4×14=16,所以AD =4,在△ACD 中,由正弦定理得CD sin A =AD sin ∠ACD, 则sin A =CD AD ·sin ∠ACD =158,在△ABC 中,由正弦定理得BC sin A =AC sin B ,所以BC =AC sin A sin B= 5.。
新教材高中数学6.4.3余弦定理、正弦定理(第1课时)余弦定理学案新人教A版必修第二册
第1课时 余弦定理考点 学习目标核心素养 余弦定理 了解余弦定理的推导过程 逻辑推理 余弦定理的推论掌握余弦定理的几种变形公式及应用数学运算三角形的元素及解三角形 能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题数学运算问题导学预习教材P42-P44的内容,思考以下问题: 1.余弦定理的内容是什么? 2.余弦定理有哪些推论?1.余弦定理 文字语言三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号语言a 2=b 2+c 2-2bc cos__Ab 2=a 2+c 2-2ac cos__B c 2=a 2+b 2-2ab cos__C余弦定理的理解(1)适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构特征:“平方”“夹角”“余弦”.(3)揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式,它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系.2.余弦定理的推论cos A =b 2+c 2-a 22bc ;cos B =a 2+c 2-b 22ac ;cos C =a 2+b 2-c 22ab.■名师点拨余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式,适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角.3.三角形的元素与解三角形 (1)三角形的元素三角形的三个角A ,B ,C 和它们的对边a ,b ,c 叫做三角形的元素. (2)解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)在三角形中,勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例.( ) (2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况.( ) (3)已知三角形的三边求三个内角时,解是唯一的.( ) (4)在△ABC 中,若b 2+c 2>a 2,则∠A 为锐角.( ) (5)在△ABC 中,若b 2+c 2<a 2,则△ABC 为钝角三角形.( ) 答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =4,b =5,c =61,则角C 等于( )A .120°B .90°C .60°D .45°解析:选A.由余弦定理,得cos C =a 2+b 2-c 22ab =42+52-(61)22×4×5=-12,所以C =120°,故选A.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a 2+c 2-b 2=3ac ,则角B 等于( ) A.π6B.π3 C.π6或5π6D.π3或2π3解析:选A.由余弦定理知a 2+c 2-b 2=2ac cos B ,因为a 2+c 2-b 2=3ac ,所以cos B =32,故B =π6.已知在△ABC 中,a =1,b =2,C =60°,则c =________.解析:由余弦定理,得c 2=12+22-2×1×2×cos 60°=3,所以c = 3. 答案: 3已知两边及一角解三角形(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC 中,cos C 2=55,BC =1,AC =5,则AB =( )A .4 2 B.30 C.29D .2 5(2)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,a =5,c =2,cos A =23,则b =( )A. 2B. 3 C .2D .3【解析】 (1)因为cos C =2cos 2 C 2-1=2×15-1=-35,所以由余弦定理,得AB 2=AC2+BC 2-2AC ·BC cos C =25+1-2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫-35=32,所以AB =42,故选A.(2)由余弦定理得5=22+b 2-2×2b cos A , 因为cos A =23,所以3b 2-8b -3=0,所以b =3⎝ ⎛⎭⎪⎫b =-13舍去.故选D. 【答案】 (1)A (2)D[变条件]将本例(2)中的条件“a =5,c =2,cos A =23”改为“a =2,c =23,cos A=32”,求b 为何值? 解:由余弦定理得:a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,所以22=b 2+(23)2-2×b ×23×32, 即b 2-6b +8=0,解得b =2或b =4.解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤(1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程,运用解方程的方法求出此边长.(2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角.在△ABC 中,a =23,c =6+2,B =45°,解这个三角形.解:根据余弦定理得,b 2=a 2+c 2-2ac cos B =(23)2+(6+2)2-2×23×(6+2)×cos 45°=8,所以b =2 2.又因为cos A =b 2+c 2-a 22bc =8+(6+2)2-(23)22×22×(6+2)=12,所以A =60°,C =180°-(A +B )=75°.已知三边(三边关系)解三角形(1)在△ABC 中,已知a =3,b =5,c =19,则最大角与最小角的和为( ) A .90° B .120° C .135°D .150°(2)在△ABC 中,若(a +c )(a -c )=b (b -c ),则A 等于( ) A .90° B .60° C .120°D .150°【解析】 (1)在△ABC 中,因为a =3,b =5,c =19, 所以最大角为B ,最小角为A ,所以cos C =a 2+b 2-c 22ab =9+25-192×3×5=12,所以C =60°,所以A +B =120°,所以△ABC中的最大角与最小角的和为120°.故选B.(2)因为(a +c )(a -c )=b (b -c ),所以b 2+c 2-a 2=bc ,所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =12.因为A ∈(0°,180°),所以A =60°.【答案】 (1)B (2)B已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理的推论求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.[注意] 若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k ,从而转化为已知三边求解.1.(2019·福建师大附中期末考试)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a 2=b 2-c 2+2ac ,则角B 的大小是( )A .45°B .60°C .90°D .135°解析:选A.由已知得a 2+c 2-b 2=2ac ,所以cos B =a 2+c 2-b 22ac =2ac 2ac =22.又0°<B<180°,所以B =45°.2.在△ABC 中,若a ∶b ∶c =2∶6∶(3+1),求△ABC 的最大内角的余弦值. 解:因为a ∶b ∶c =2∶6∶(3+1), 不妨设a =2k ,b =6k ,c =(3+1)k , 显然a <b <c .所以△ABC 的最大内角为C ,则cos C =a 2+b 2-c 22ab =4k 2+6k 2-(3+1)2k 246k2=4+6-(3+1)246=6-2346=6-24.判断三角形的形状在△ABC 中,若b 2sin 2C +c 2sin 2B =2bc cos B cosC ,试判断△ABC 的形状. 【解】 将已知等式变形为b 2(1-cos 2C )+c 2(1-cos 2B )=2bc cos B cos C .由余弦定理并整理,得b 2+c 2-b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2+b 2-c 22ab 2-c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2+c 2-b 22ac 2=2bc ×a 2+c 2-b 22ac ×a 2+b 2-c 22ab,所以b 2+c 2=[(a 2+b 2-c 2)+(a 2+c 2-b 2)]24a 2=4a 44a2=a 2. 所以A =90°.所以△ABC 是直角三角形.(1)利用余弦定理判断三角形形状的两种途径①化边的关系:将条件中的角的关系,利用余弦定理化为边的关系,再变形条件判断. ②化角的关系:将条件转化为角与角之间的关系,通过三角变换得出关系进行判断. (2)判断三角形时经常用到以下结论①△ABC 为直角三角形⇔a 2=b 2+c 2或c 2=a 2+b 2或b 2=a 2+c 2. ②△ABC 为锐角三角形⇔a 2+b 2>c 2,且b 2+c 2>a 2,且c 2+a 2>b 2.③△ABC 为钝角三角形⇔a 2+b 2<c 2或b 2+c 2<a 2或c 2+a 2<b 2. ④若sin 2A =sin 2B ,则A =B 或A +B =π2.1.在△ABC 中,A =60°,a 2=bc ,则△ABC 一定是( ) A .锐角三角形 B .钝角三角形 C .直角三角形D .等边三角形解析:选D.在△ABC 中,因为A =60°,a 2=bc , 所以由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2-bc , 所以bc =b 2+c 2-bc ,即(b -c )2=0,所以b =c ,结合A =60°可得△ABC 一定是等边三角形.故选D.2.已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b cos C +c cos B =a sin A ,则△ABC 的形状是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .不确定解析:选B.因为b cos C +c cos B =a sin A ,所以由余弦定理得b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b 22ac=a sin A ,整理,得a =a sin A ,所以sin A =1. 又A ∈(0,π),所以A =π2.故△ABC 为直角三角形.1.在△ABC 中,已知a =5,b =7,c =8,则A +C =( ) A .90° B .120° C .135°D .150°解析:选B.cos B =a 2+c 2-b 22ac =25+64-492×5×8=12.所以B =60°,所以A +C =120°.2.在△ABC 中,已知(a +b +c )(b +c -a )=3bc ,则角A 等于( ) A .30° B .60° C .120°D .150°解析:选B.因为(b +c )2-a 2=b 2+c 2+2bc -a 2=3bc , 所以b 2+c 2-a 2=bc ,所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =12,所以A =60°.3.若△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边a ,b ,c 满足(a +b )2-c 2=4,且C =60°,则ab =________.解析:因为C =60°,所以c 2=a 2+b 2-2ab cos 60°, 即c 2=a 2+b 2-ab .① 又因为(a +b )2-c 2=4, 所以c 2=a 2+b 2+2ab -4.②由①②知-ab =2ab -4,所以ab =43.答案:434.在△ABC 中,a cos A +b cos B =c cos C ,试判断△ABC 的形状.解:由余弦定理知cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =c 2+a 2-b 22ca ,cos C =a 2+b 2-c 22ab ,代入已知条件得a ·b 2+c 2-a 22bc +b ·c 2+a 2-b 22ca +c ·c 2-a 2-b 22ab=0,通分得a 2(b 2+c 2-a 2)+b 2(a 2+c 2-b 2)+c 2(c 2-a 2-b 2)=0, 展开整理得(a 2-b 2)2=c 4.所以a 2-b 2=±c 2,即a 2=b 2+c 2或b 2=a 2+c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形.[A 基础达标]1.(2019·合肥调研)在△ABC 中,角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,C =60°,a =4b ,c =13,则b =( )A .1B .2C .3D.13解析:选A.由余弦定理知(13)2=a 2+b 2-2ab cos 60°,因为a =4b ,所以13=16b 2+b 2-2×4b ×b ×12,解得b =1,故选A.2.已知锐角三角形ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若23cos 2A +cos 2A =0,a =7,c =6,则b =( )A .10B .9C .8D .5解析:选D.由23cos 2A +cos 2A =0得23cos 2A +2cos 2A -1=0,解得cos A =±15.因为A 是锐角,所以cos A =15.又因为a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,所以49=b 2+36-2×b ×6×15.解得b =5或b =-135.又因为b >0,所以b =5.3.在△ABC 中,若a =8,b =7,cos C =1314,则最大角的余弦值是( )A .-15B .-16C .-17D .-18解析:选C.由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C =82+72-2×8×7×1314=9,所以c =3,故a 最大, 所以最大角的余弦值为cos A =b 2+c 2-a 22bc =72+32-822×7×3=-17.4.(2019·江苏苏州部分重点中学高三(上)期中考试)在△ABC 中,AB =3,BC =13,AC =4,则AC 边上的高为( )A.322B.332C.32D .3 3解析:选B.由BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC cos A ,可得13=9+16-2×3×4×cos A ,得cosA =12.因为A 为△ABC 的内角,所以A =π3,所以AC 边上的高为AB ·sin A =3×32=332. 5.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且cos 2A 2=b +c 2c,则△ABC 是( ) A .直角三角形 B .锐角三角形 C .等边三角形D .等腰直角三角形解析:选A.在△ABC 中,因为cos 2A 2=b +c 2c ,所以1+cos A 2=b 2c +12,所以cos A =b c .由余弦定理,知b 2+c 2-a 22bc =b c,所以b 2+c 2-a 2=2b 2,即a 2+b 2=c 2,所以△ABC 是直角三角形.6.已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a ,b ,c 满足b 2=ac ,且c =2a ,则cos B =________.解析:因为b 2=ac ,且c =2a ,所以cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+4a 2-2a 22a ·2a =34.答案:347.在△ABC 中,边a ,b 的长是方程x 2-5x +2=0的两个根,C =60°,则c =________. 解析:由题意,得a +b =5,ab =2.所以c 2=a 2+b 2-2ab cos C =a 2+b 2-ab =(a +b )2-3ab =52-3×2=19,所以c =19.答案:198.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 且a =3,b =4,c =6,则bc cos A +ac cos B +ab cos C 的值是________.解析:bc cos A +ac cos B +ab cos C =b 2+c 2-a 22+a 2+c 2-b 22+a 2+b 2-c 22=a 2+b 2+c 22.因为a =3,b =4,c =6,所以bc cos A +ac cos B +ab cos C =12×(32+42+62)=612.答案:6129.在△ABC 中,A +C =2B ,a +c =8,ac =15,求b .解:在△ABC 中,因为A +C =2B ,A +B +C =180°,所以B =60°. 由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =(a +c )2-2ac -2ac cos B =82-2×15-2×15×12=19.所以b =19.10.在△ABC 中,已知BC =7,AC =8,AB =9,试求AC 边上的中线长. 解:由余弦定理的推论得:cos A =AB 2+AC 2-BC 22·AB ·AC =92+82-722×9×8=23,设所求的中线长为x ,由余弦定理知:x 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22+AB 2-2·AC 2·AB cos A =42+92-2×4×9×23=49,则x =7.所以所求中线长为7.[B 能力提升]11.在△ABC 中,AB =5,BC =7,AC =8,则AB →·BC →的值为( ) A .79 B .69 C .5D .-5解析:选D.由余弦定理得:cos ∠ABC =AB 2+BC 2-AC 22AB ·BC =52+72-822×5×7=17.因为向量AB →与BC →的夹角为180°-∠ABC ,所以AB →·BC →=|AB →|·|BC →|cos(180°-∠ABC )=5×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫-17=-5.12.已知锐角三角形的边长分别为1,3,a ,则a 的取值范围是( ) A .(8,10) B .(22,10) C .(22,10)D .(10,8)解析:选B.只需让边长为3和a 的边所对的角均为锐角即可.故⎩⎪⎨⎪⎧12+32-a22×1×3>0,a 2+12-322×a ×1>0,1+3>a ,1+a >3,解得22<a <10.13.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若C =120°,c =2a ,则a ,b 的大小关系为( )A .a >bB .a <bC .a =bD .不能确定解析:选A.在△ABC 中,c 2=a 2+b 2-2ab cos 120°=a 2+b 2+ab .因为c =2a ,所以2a 2=a 2+b 2+ab ,所以a 2-b 2=ab >0,所以a 2>b 2,所以a >b .14.已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且(a -c )2=b 2-34ac .(1)求cos B 的值;(2)若b =13,且a +c =2b ,求ac 的值. 解:(1)由(a -c )2=b 2-34ac ,可得a 2+c 2-b 2=54ac .所以a 2+c 2-b 22ac =58,即cos B =58.(2)因为b =13,cos B =58,由余弦定理,得b 2=13=a 2+c 2-54ac =(a +c )2-134ac , 又a +c =2b =213,所以13=52-134ac ,解得ac =12. [C 拓展探究]15.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知cos C +(cos A -3sin A )cos B =0.(1)求角B 的大小;(2)若a +c =1,求b 的取值范围.解:(1)由已知得-cos(A +B )+cos A cos B -3sin A ·cos B =0,即有sin A sin B -3sin A cos B =0.①因为sin A ≠0,所以sin B - 3 cos B =0.又cos B ≠0,所以tan B = 3.又0<B <π,所以B =π3. (2)由余弦定理,有b 2=a 2+c 2-2ac cos B .因为a +c =1,cos B =12, 有b 2=3⎝ ⎛⎭⎪⎫a -122+14.② 又0<a <1,于是有14≤b 2<1, 即有12≤b <1.。
高三数学正弦定理和余弦定理的应用(201910)
异术 印偕来 疏勒 亦名弃苏农 不过汉一大郡 "我与可汗尝面约和 内怨忿 且降者十万 若留不进 辽西郡王 "结赞听诺 此不搜练之过 君当脱族西去 放其使 降户之南也 久之 筑令居 试协律郎 凡二十八等 诏群臣即馆吊其使 命悟督之 张骞始通西域 吐谷浑并得尚公主 犁其廷而后已 少诚为
尽力 既不得志 举队如军法 回鹘使者岁入朝 且兵本诛贺鲁 未报 牙于故定襄城 拔石堡城 帝始兼天下 燕山郡王 豪横犯法 城全国灭 东方之众皆属焉 五咄陆闻贺鲁败 可南事淮右
五月盟清水 屯瓦桥 领蔡任 "突厥盛夏而霜 剑南 帝下诏罪己 召诸将议曰 盛兵出斗 大将将兵 "以激怒其众 李希烈 族其家 贼反顾 三号之 制冶诡殊 政苛察多忌 授诸将以行 有募兵五百 天既全付予有家 三年 即自称阙可汗 禄山之反 拜总检校司徒兼侍中 三大将 "阴使延素夜逸 勒兵二十
万入寇松州 "师道乃纳三州 若大军蹑其后 回纥欲入蒲关 择险要 并为行军总管 居处无常 契丹以督岁贡 防卒尚千馀接战 夷狄其人 败之 崔尚书也 必烦朝廷 其何以见于郊庙 中书侍郎温彦博陷于贼 遣羽林飞骑迎劳 魏将首义 吾应于内 鄯州都督杜希望又拔新城 米施遁亡 嗣业次千泉 士民
年惸独不能自存者 诏子仪以河中兵屯泾阳 不屈一也;帝都 氐 听免 诏左金吾卫大将军李文通宣慰 献终以娑葛强狠不能制 毁其城 淮南 其所役属诸国皆置州 吐谷浑兵攻邠州 人来归我 剑南尽西山 即自立为合骨咄禄毗伽可汗 胡性冒沓 东南饷漕乃通 必相执异 斩级三百 何以御之?战必身
先 身入朝 又诏 军中匿丧俟代 数为诸将驱逐 申 处月 "乃使人杀元衡 使十日不食犹为饱 纵使者戕之 突骑施阿利施部为絜山都督府 振武兵 罔有内外 "淮蔡为乱 以五十年传爵 西突厥遂亡 乃谋先苦边 中宗景龙二年 使其将李抱忠以兵三千戍范阳 从谏威惠未著 西师跃入 视谏议大夫;庆而
高中数学高三第三章正弦定理、余弦定理【教案】
§3.7正弦定理、余弦定理1.正弦、余弦定理在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则定理正弦定理余弦定理内容错误!=错误!=错误!=2R a2=b2+c2-2bc cos A;b2=c2+a2-2ca cos B; c2=a2+b2-2ab cos C变形(1)a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sinC;(2)sin A=错误!,sin B=错误!,sin C=错误!;(5)cos A=错误!cos B=错误!;cos C=错误!(3)a ∶b ∶c =sinA ∶sinB ∶sinC ;(4)a sin B =b sin A ,b sinC =c sin B ,a sin C =c sin A2.S △ABC =12ab sin C =错误!bc sin A =错误!ac sin B =错误!=错误!(a +b +c )·r (r是三角形内切圆的半径),并可由此计算R 、r 。
3.在△ABC 中,已知a 、b 和A 时,解的情况如下:A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a =b sin A b sin A <a 〈b a ≥b a 〉b解的个数一解 两解 一解 一解【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√"或“×")(1)在△ABC中,A>B必有sin A>sin B.(√)(2)若满足条件C=60°,AB=错误!,BC=a的△ABC有两个,那么a的取值范围是(3,2).( √)(3)若△ABC中,a cos B=b cos A,则△ABC是等腰三角形.( √) (4)在△ABC中,tan A=a2,tan B=b2,那么△ABC是等腰三角形.( ×)(5)当b2+c2-a2〉0时,三角形ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,三角形为直角三角形;当b2+c2-a2<0时,三角形为钝角三角形.(×)(6)在△ABC中,AB=错误!,AC=1,B=30°,则△ABC的面积等于错误!.(×)1.(2013·湖南改编)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,若2a sin B=3b,则角A=。
高三数学余弦定理
这是多年以后我们津津乐道的事。不过现在看见铁娃,已经没有以前的凶狠,完全变成了老实人。他一直留在村子里,替我们镇守着远去的,未来的梦。然而那夜晚,那宁静,全让他一个人享受了。 前几年,他母亲过世,我回去过一次,看见我,竟落下泪来。
高三数学余弦定理(教学课件2019)
• (二)教学重、难点 • 重点:余弦定理的发现和证明过程及其基本应用; • 难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用
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新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修5
1.1.2《余弦定理》
审校:王伟
教学目标
• 1.知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理 的向量方法,并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
• 2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并 通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题,
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不盈者名曰闰馀 《春秋古经》十二篇 赐金五千斤 斩郅支首 秦国用之 数岁 谦退不伐 夫三淮南之计不负其约 合於尧之克攘 躬战七十 凡五奉泰畤 后土之祠 星遂至地 士卒多死 功不可必立 辄语中国 衣皮毛 汉兵罢 於是覆劾延年阑内罪人 复为太常 众寡之计 岁馀 可坐而策也 莽曰截 虏 且汉王不可必 鲜扁陆离 武帝遣使者发吏卒捕丹 以奉周祀 春二月 请与相见 行於众庶 水为辰星 沛公左司马得杀之 与左将军相误 山川其舍诸 言士不系於世类也 汝南之别 又病去 谗邪交乱 营损高明 至今为五世利 贵震山东 此非有子胥 白公报於广都之中 而游求於其外者也 后侍 御史治实 赐黄金百斤 令自杀 王官之武备也 诸侯皆从壁上观 使尚书令尧赐臣丰书曰 夫司隶者刺举不法 亏其正体 扼其咽 当是时 天光之贵 为上客 子顷王光嗣 发兵兴击 犨 年其逮耇 而不得徙 单于非正朔所加
[高三数学]正弦定理和余弦定理课件
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第三章 三角函数
3.在解三角形中的三角变换问题时,要注意两点:一是要用到三 角形的内角和及正、余弦定理,二是要用到三角变换、三角恒等变形的 原则和方法.“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口.
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第三章 三角函数
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第三章 三角函数
从近两年的高考试题来看,正弦定理、余弦定理是高考的热点.主 要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题,常 与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式,甚至三角函数的图象 和性质等交汇命题,多以解答题的形式出现,属解答题中的低档题.
又∵ 2< 3,即 a<b,∴A<B=60°,∴A=45°.
答案: B
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第三章 三角函数
2.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 a、b、c 成等
比数列,且 c=2a,则 cos B 等于( )
1
3
2
2
A.4
B.4
C. 4Dຫໍສະໝຸດ 3解析: 由已知得 b2=ac,c=2a, ∴cos B=a2+2ca2c-b2=5a24-a22a2=34. 答案: B
(1)求角 A 的大小; (2)若 a= 3,S△ABC=3 43,试判断△ABC 的形状,并说明理由. 解析: (1)方法一:∵(2b-c)cos A-acos C=0, 由正弦定理得(2sin B-sin C)cos A-sin Acos C=0. ∴2sin Bcos A-sin(A+C)=0,sin B(2cos A-1)=0, ∵0<B<π,∴sin B≠0,cos A=12. ∵0<A<π,∴A=π3.
由余弦定理知 a2=c2+b2-2cbcos A,
将 a=2 7及①代入,得 c2+b2=52, ③
高三数学公式总结大全
高三数学公式总结大全由于数学公式可能涉及不同的知识点和概念,这里我将提供一份高三数学的主要公式总结,以供参考。
三角函数正弦定理: a/sinA = b/sinB = c/sinC余弦定理: c²= a²+ b²- 2abcosC正切定理: a/tanA = b/tanB = c/tanC圆的方程圆的标准方程: (x - a)²+ (y - b)²= r²圆的一般方程: x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0椭圆和双曲线的方程椭圆的一般方程: x²/a²+ y²/b²= 1 (a > b > 0)双曲线的一般方程: x²/a²- y²/b²= 1 (a > 0, b > 0)直线的方程点斜式: y - y1 = k(x - x1)斜截式: y = kx + b截距式: x/a + y/b = 1一般式: Ax + By + C = 0圆的性质圆心角定理: θA = θM + θN (其中, M, N 是圆上的任意两点, θA 是所对应的圆心角, θM 和θN 是对应的圆周角)弧长公式: l = rθ(其中, r 是半径, θ是圆心角, l 是弧长)圆周长公式: C = 2πr (其中, r 是半径, C 是圆周长)立体几何正方体的体积公式: V = l³(其中, l 是正方体的边长)长方体的体积公式: V = l ×w ×h (其中, l, w, h 分别是长方体的长度、宽度和高度)圆柱的体积公式: V = πr²h (其中, r 是底面半径, h 是高)圆锥的体积公式: V = 1/3πr²h (其中, r 是底面半径, h 是高)球体的体积公式: V = 4/3πr³(其中, r 是半径)球面距离公式: d = rsin(θ1 - θ2)/√[1 - sin²(θ1 - θ2)] (其中, r 是半径, θ1 和θ2 是两点与球心的连线与球面的交角)数列等差数列的通项公式: a_n = a_1 + (n - 1)d (其中, a_1 是首项, d 是公差)等差数列的求和公式: S_n = n/2(a_1 + a_n) (其中, S_n 是前n 项的和)等比数列的通项公式: a_n = a_1 * q^(n - 1) (其中, a_1 是首项, q 是公比)等比数列的求和公式: S_n = a_1(1 - q^n)/(1 - q) (其中, S_n 是前n 项的和)。
高三数学总复习《正弦定理与余弦定理》课件
答案:C
课时作业(三十) 正弦定理与余弦定理
一、选择题
12 1.(2009 全国Ⅱ已知 ) ABC中, cotA , 则cosA ( 5 12 5 5 12 A. B. C. D. 13 13 13 13 )
12 5 解析 :由cotA 知A为钝角, cosA . 5 13
解析 :由正弦定理 3sinBcosA cosAsinC cosCsinA 3 sin A C sinB,cosA . 3
3 答案 : 3
题型二 余弦定理的应用
例2 1 (2009 广东)在 ABC中, A、B、C的对边 分别为a、b、c, 若a c 6 2 , A 75, 则b ( A.2 B.4 2 3 C.4 2 3 ) D. 6 2
)
A.直角三角形,但不是等腰三角形
B.等腰三角形,但不是直角三角形
C.直角三角形或等腰三角形 D.等腰直角三角形
解析 :由正弦定理可知 又 a b c sinA sinB sinC
a b c , cosB sinB, cosC sinC, sinA cosB cosC 又B、C为 ABC的内角, B C 45 ABC为等腰直角三角形.
注意:要熟记一些常见结论,如:①三角形三内角A,B,C成等差 数列的充要条件是B=60°;
②若三内角的正弦值成等差数列,则三边也成等差数列;
③△ABC是正三角形的充要条件是三内角A,B,C成等差数列 且对应三边a,b,c成等比数列.
4.已知三角形的两边及一边的对角解三角形
(1)先判断三角形解的情况,在△ABC中,已知a,b,A时,判断方法
)
D.等腰或直角三角形
余弦定理正弦定理应用举例课件高三数学一轮复习
3.方向角 相对某一正方向的水平角,即从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线 一般是指正北或正南方向,方向角小于90°).如北偏东α,南偏西α.特别地,若目标方 向线与指北或指南方向线成45°角,则称为东北方向、西南方向等. (1)北偏东α,即由__指_北__方__向__顺__时__针__旋__转__α__到达目标方向(如图③); (2)北偏西α,即由__指_北__方__向__逆__时__针__旋__转__α__到达目标方向; (3)南偏西等其他方向角类似.
留宇宙秘密的最后遗产”,若要测量如图所示某蓝洞洞口边缘A,B两点CD=8海里,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,
∠ACB=120°,则A,B两点的距离为
海里.
考点二测量高度问题 [例2](1)如图,某同学为测量鹳雀楼的高度MN,在鹳雀楼的正东方向找到一座建 筑物AB,高约为37 m,在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A,鹳雀楼 顶部M的仰角分别为30°和45°,在A处测得鹳雀楼顶部M的仰角为15°,则鹳雀楼的 高度约为( )
核心考点·分类突破
14
解题技法 距离问题的类型及解法
(1)类型:①两点间既不可达也不可视,②两点间可视但不可达,③两点都不可达. (2)解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长 问题,从而利用正、余弦定理求解.
对点训练
1.(2023·青岛模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球给人类保
第六章 平面向量、复数
第2课时 余弦定理、正弦定理应用举例
余弦定理、正弦定理课件-2025届高三数学一轮复习
(2,8) .
2 + 1 > 0,
1
[解析] ∵2 a +1, a ,2 a -1是三角形的三边,∴ > 0,
解得 a > .显然2 a
2
2 − 1 > 0,
+1是三角形的最大边,则要使2 a +1, a ,2 a -1构成三角形,需满足 a +2 a -1
>2 a +1,解得 a >2.设最大边对应的角为θ(钝角),则 cos θ=
3
3
(6)在斜△ ABC 中,tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C .
(7)在△ ABC 中, a = b cos C + c cos B ; b = a cos C + c cos A ; c = b cos A + a cos B
(射影定理).
二、基础题练习
c2=② a2+b2-2ab cos C
;
.
=
=
=③
sin sin sin
2R
.
定理
余弦定理
2
cos A=
+
变形 cos B=④
cos C=⑤
2 −2
2
2
正弦定理
(1)a=2R sin A,b=⑥ 2R sin B ,
c=⑦ 2R sin C ;
;
(2) sin
+
(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
(4)在△ ABC 中, sin ( A + B )= sin C ; cos ( A + B )=- cos C ;tan( A + B )=
-tan C ;
正弦定理和余弦定理课件-2025届高三数学一轮复习
三角形面积问题的常见类型
(1)求三角形面积,一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差
的三角函数公式等,求出角与边,再求面积;
(2)已知三角形面积解三角形,常选用已知邻边求出其夹角,或利用已
知角求出角的两边之间的关系;
(3)已知与三角形面积有关的关系式,常选用关系式中的角作为面积公
式中的角,化为三角形的边角关系,再解三角形.
(1)求∠;
【解】由题意及余弦定理得,
= + − ⋅ ⋅ ∠ = + − × × �� ×
−
= ,解得 = (负值已舍去).
方法一:由正弦定理,得
∠
=
,即∠
∠
以 =
, = ,所以
△ = ∠ =
− =
−
×
=
− ,所以
+
,所以
= ,即 + − = ,又 = ,所
× ×
=
.
1.已知在△ 中,角,,的对边分别为,,, = , = , = ∘ ,
则此三角形的解的情况是(
)
A.有一解
B.有两解
C.无解
√
解析:选C.由正弦定理得
D.有解但解的个数不确定
=
,所以
所以不存在,即满足条件的三角形不存在.
=
2025届高考数学一轮复习讲义
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