二重极限与累次极限的联系及应用

ｌ ｉ ａ ｒ
， （ ｚ， ） 存在 ， 则
－＋０ 一 ０
． ． 【ｌ Ｊ ，ｕｊ
ｌ ｉ ａ ｆ（ ｒ ｘ， ）一 ｌ ｉ ａ ｒ ｌ ｉ ｍｆ（ ｘ， ）一
ｌ ｉ ａ ｒ ｌ ｉ ｍｆ （ ｘ， ） ．
＿ ＿ ＿
— Ｏ ｙ ＿ ． ０
【 ０ （ ｚ一 ０ ， 或 — Ｏ ） ．
无法 决定 原点 附近 ２维 小 邻 域 的整 体 情 况 ． 可 能这
１ ０ ，
ｙ 一０ ．
收 稿 日期 ： ２ ０ １ １ － ０ ３பைடு நூலகம்— １ ６ ； 修 改 日期 ： ２ ０ １ ２ — ０ ２ — ２ ７
作者简介： 戴 中元 （ １ ９ ８ ４－ －） ， 男， 上海人 ， 硕士， 讲师 ， 从 事 调 和 分 析 与
小 波 分 析研 究 ． Ｅ ｍａ ｉ ｌ ： ｒ ｉ ｂ ｂ ｏ ｎ ｉ ｆ ｓ ｈ ２ ０ ０ ２ ＠ ｍａ ｔ ｈ ． ｐ ｋ ｕ ． ｅ ｄ ｕ ． ｅ ｎ
有如下 结论 ．
或是 否定命 题 ， 或 是需 要很 多条 件 的肯定命 题 ， 得 出
的定 理很 复杂 ， 不方 便记忆 ． 本 文给 出 了在 一般 情况 下， 二重 极 限 与 累 次 极 限 的肯 定 命 题 ， 只需 有 界 条
定理 １ ［ ］ 卵 若 存在 ， 并令
ｌ ｉ ａ ｒ ｆ （ ｘ， ） 与ｌ ｉ ｍｆ （ ｘ， ） 均 ，
证 明 这里 仅证 明第一 个等 式 ， 第 二个 等式类 似 可得 ． 由二 重极 限存 在 （ 设 为 Ａ） 的定 义可 知 ， 对 任 意￡ ＞０ ， 存在 ＞ ０ ， 使得
Ｉ ｆ （ ｘ， ） 一Ａ Ｉ ＜ｓ （ 一 ≤ ， ≤ ） ．
在点 （ Ｏ ， Ｏ ）处 的情 形 即是 如 此 ； 反之 如 果 两 个 累次 极 限存 在 ， 也不 能推 出二重 极 限存在 ， 如 函数Ⅲ
摘
要 在 二 重 极 限存 在 的 情 况 下 给 出 累 次极 限 的 一个 刻 画 ， 探讨两者之间 的内在联系 ， 并 将 这 种 方 法 应 用
于处 理 二 重 积 分 与 累次 积 分 以及 其 它一 些 问题 ． 关 键 词 二 重 极 限 ； 累次 极 限 ； 二重积分 ； 累次 积 分
中图分类号 ０ １ ７ ２ 文 献 标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ ０ ８ — １ ３ ９ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ — ０ ０ ２ ４ — ０ ４
在 微 积分 中 ， 关 于 二 重极 限 与 累次 极 限 的命 题
但 是如果 二重 极 限存在 ， 一个 累次极 限存 在 ， 那 么这两 个极 限必然 相 等． 在 一 般 的 数学 分析 教 材 中
，
）一
（ １ ）
在不 等式两 端对 Ｙ取上 极 限 ， 有 在点 （ ０ ， ０ ） 处 的两个 累 次极 限不 相 等． 更进 一 步 ， 即 使两个 累 次极 限存 在并 且 相 等 ， 也 不 能 推 出 二重 极 限存 在 ， 如 函数 ］ ２ ７
ｌ ｌ ｉ ｍｆ （ ｘ， ） 一Ａ １ ＜ｅ （ 一 ≤ ｚ≤ ） ．
件， 并 且结 论形 式非 常 对称 ， 是 一 般命 题 的推 广． 然
后将 此命 题 的方法 用 到 多元 积 分 中， 也 可 得 到 一般
的结 论．
ｌ ｉ ｍｆ（ ｘ， ）一 ｇ（ ｚ ），
￣ ｌ ］ １ ｌ ｉ ｍｇ （ ｘ ）存在 ， 且有
呻 ０
１ 二 重 极 限与 累次 极 限
定理 ２ 若
【 ｚ，
【 Ｊ ， 一 ‘ ｕ， ｕ Ｊ
在 多元 微 积分 中 ， 二重 极 限 和 累次 极 限 的存 在
性 并无 直接 关系 ． 如果 二重 极 限存 在 ， 无法得 到 累次 极 限存 在 ， 如 函数 １ ｊ ２
厂 （ ， ３ ， ）一 ｚ ｓ ｉ ｎ ＋ ｓ ｉ ｎ ≠。 ， ≠ 。 ） ，
所 以有 ｌ ｉ ｍ ｌ ｉ ｍｆ（ ｘ， ）＝ ： ＝ Ａ．
—
旁券
在点 （ Ｏ ， Ｏ ）处 的 情 形 即是 如 此 ． 另 外 如 果 二 重极 限
０
— ＋ ０
定理 ２的证 明方 法 与 定理 １类 似 ， 不 同 处在 于
定理 １ 要 求对 变量 极 限存 在 ， 但定 理 ２ 则 不需 要 ， 因为采用 了上 、 下极 限 ， 只需要 二重 极限存 在 即可． 从直 观 来看 ， 二 重极 限存在 意 味 着二 元 函数在 原 点 的邻 域 内取值 都 充分 接 近 ， 而 累次 极 限 只 与原
第 １ ６卷 第 ２期 ２ ０ １ ３年 ３月
高 等 数 学 研 究
Ｓ ＴＵＤＩ ＥＳ Ｉ Ｎ Ｃ ０ＬＬ ＥＧＥ Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ ＣＳ
Ｖｏ １ ． １６， ＮＯ． ２ Ｍ ａｒ ．。 ２ Ｏ１ ３
二重 极 限与 累次 极 限的联 系及 应 用
戴 中元
（ 北 京 大 学 数 学 科 学 学 院 ，北 京 １ ０ ０ ８ ７ １ ）
存在 ， 一个 累次 极 限存在 ， 也无 法推 出另 一个 累次极 限存 在 ， 如 函数 ＿ １ ｊ ２ 陀 ．
ｆ （
ｘ， ）一
、
ｌ ｘ ｓ ｉ ｎ ， Ｙ≠ ０ ，
点 附近平 行 于坐标 轴 的线 束 的极 限有 关 ， 并 且 与 坐 标轴 上 的取值无 关 ， 这些线 束 的极 限只是 １ 维 的量 ，
为简 便本 文仅 讨论 在点 （ Ｏ ， ０ ）处 的二重 极 限 和
累次极 限．
ｌ ｉ ｍｇ （ ｘ ）＝ ＝ ＝ ｌ ｉ ｍ ｌ ｉ ｍ ｆ （ ｘ ， ）＝
ｌ ｉ ｍ ｆ （ ｘ ， ） ．
定理 １ 将条 件 “ 一个 累次 极 限存 在 ”减弱 为 “ 函 数对 其 中一个 变量极 限存 在 ” ， 但 不太 直 观 ， 并 且 显 得 有些 哕嗦 ． 下面 给 出一 个更 广 的结论 ．