第二章固定收益债券的定价与利率的期限结构

( 1 r B ) 1 r B 8 5 7 . 3 4 1 0 0 0 ( 元 ）
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得rB=8%
对于债券C。初始946.93元的投资，一年后变为（1+rC） *946.93元。这时，投资者支取50元利息，账户变为
[（1+rC）*946.93]-50元。在两年末，投资者的账户变 为：
dk
1
[1
r m
]
k
2，永久性现金流（永久性年金）
P
A A
k1 (1r)k r
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3，有限期限的现金流定价公式 P (1 C i)1 (1 C i)2 (1 C i)3 (1 C i)n (1 M i)n
PC1[(i11i)n](1Mi)n
（二）股票的估值或定价
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A1Rn
如果每年计m次复利，则终值为：
A1mR mn
当m趋于无穷大时，就称为连续复利（Continuous
compounding），此时的终值为
m l i m A1m Rmn ARen
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假设Rc是连续复利的利率，Rm是与之等价的每年计 m次复利的利率，则
eRcn1R m m mn 或 eRc 1Rm m m
格将保持在票面值水平。 对于溢价或折价出售的债券而言，债券价格将不会保
持固定不变。可将债券价格分解为息票付款的现时价值 和票面值的现时价值。
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（1）等价的连续复利率为多少？ （2）按年计复利的利率为多少？
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4、即期利率与远期利率
如果把当前利率称为即期利率，则当前时 刻的未来一定时期的利率就称为远期利率。
远期利率是由一系列即期利率所决定的。
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一般地说，如果现在时刻为t，T时刻到期的即期 利率为r，T*时刻（T*>T）到期的即期利率为r* ，则t
( 1 r C ) 1 r C 9 4 6 . 9 3 5 0 元
债券C的到期收益率是使得下式成立的rC的值：
( 1 r C ) 1 r C 9 4 6 . 9 3 5 0 1 0 5 0
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得rC=7.975%
方法二
利用计算折现值的方式 定义到期收益率
对于债券A： 934.58 1000 1 rA
对于债券B：
857.34
1000
1rB2
对于债券C： 946.931 50rC1105rC02
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练习 假若市场是无摩擦的，请问例2.3中债 券A、B、C的价格是否为均衡价格？为什么？
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任何投资的收益率计算的步骤总结
有效年利率为 (10.04)210.0816
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2，赎回收益率 当债券可被赎回时，投资者可以计算截至假设的赎 回日的收益率。赎回收益率是使截止假设的赎回日的 现金流的现时价值等于债券价格的利率。 p (1 C 1 y )1 (1 C 2 y )2 (1 C 3 y )3 (1 C y n )n * (1 C y )n *P
当将公式推广至一年中有任何次数的定期付款的情 形。确定收益率的一般化公式为：
P (1 C 1 y )1 (1 C 2 y )2 (1 C 3 y )3 (1 C N y )N
或
P
N t1
Ct (1 y)t
此时，这里计算的收益率是时期收益率。我们必须通过将
时期收益率乘以恰当的系数m（每年现金流的次数）以计 算年利率。
即
R cm ln 1R m m
Rmm(e(Rc)/m1)
亦即可以实现每年计m次复利的利率与连续复利之
间的转换。从实用目的来看，通常可以认为连续复利与
每天计复利等价。
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表2-1 复利频率与终值
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例2.1 一家银行给出如下报价：年利 14%，按季度计复利。问：
的。随着市场收益率的变化，唯一能够变化以补偿 市场所要求的新收益率的变量是债券的价格。
一般而言，债券发行时的息票率被大致设定在 市场现行收益率的水平。债券价格大约等于其票面 值。故：
当息票率等于到期收益率时，价格等于票面值。 当价格等于票面值时，息票率等于到期收益率。
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当债券售价低于票面值时，称它为折价出售。其特征： 当息票率小于到期收益率时，价格低于票面值。 当价格低于票面值时，息票率小于到期收益率。
假如步骤3中得出的现金流现时价值总和大于投资工具的价格， 那么步骤1选择的利率不是收益率。回到步骤1并选一个更高的利率。
假如步骤3中得出的现金流现时价值总和小于投资工具的价格， 那么步骤1选择的利率不是收益率。回到步骤1并选一个更低的利率。
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例2.4 一种金融工具将提供以下年度付款：
其中 PP＝假设回售日的回售价格； n*＝在假设回售日前的时期数（年数×2）
一些从业者计算债券的最差收益率即在为债券计算得 出的所有可能的收益率中最小的收益率测度。
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4、投资组合的收益率
从业者采用两个惯例计算投资组合的收益率： （1）加权平均投资组合收益率 （2）内部收益率
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第二章
固定收益证券的定价与利 率的期限结构
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第一节 固定收益证券概述
一、 固定收益证券及其种类 （一）含义
一种承诺在一段固定的时间后，支付给持有 者固定收益的证券。 可能只有一次现金流支付 （零息债券）或多次现金流支付（如附息债券）。
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（二）政府债券(government note and bond) （l）一般责任债券； （2）收入债券； （3）专门估价征税债券； （4）其他种类债券。
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方法一
对于债券A而言，因为现在在银行存入934.58元，一 年后可支取1000元，因此该债券的到期收益率即为银 行在这一年为这笔存款支付的利率rA，即到期收益率 rA应满足下列方程：
( 1 r A ) 9 3 4 .5 8 1 0 0 0 ( 元 ）
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得rA=7%
其中 CP＝赎回计划规定的在假设赎回日的赎回价格； n*＝在假设赎回日前的时期数（年数×2）
两个常用的赎回日是首个赎回日和首个票面赎回日
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3，回售收益率
p C 1 C 2 C 3 C n PP ( 1 y )1 ( 1 y )2 ( 1 y )3 ( 1 y )n * ( 1 y )n *
对于债券B，假设以rB为年利率计算复利，则初始857.34 元的投资在一年后变为（1+rB）*857.34元。连本带息接 着投资，在第二年末，投资增长为
到期收益率rB使得这个总收入为1000元。
( 1 r B ) 1 r B 8 5 7 . 3 4 元
换言之，债券B的到期收益率是使得下式成立的rB的值：
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至此，只是简单地通过将利率乘以每年的付款频率， 将之换算成年利率。称由此得出的利率为年利率。
事实上，这个在已有定期利率（周、月、季度、半 年等）的情况下，计算年利率的单步骤程序是不正确的。 要考虑有效年利率的概念。二者的关系如下：
有效年利1率 定＝ 期（ 利m－ 率 1 ）
例如：我们以8％的年利率对$100进行1年的投资， 但利息是以4％的利率（8/2）每半年支付一次的。则
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例2.2 假设现在6个月即期年利率为10%（连 续复利，下同），6个月到1年的远期利率为 11%，1年期即期利率为12%，请问应如何进
行套利？
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三、 到期收益率
1，计算任何投资的收益率
P (1 C 1 y )1 (1 C 2 y )2 (1 C 3 y )3 (1 C N y )N
rˆ 时刻的T至T*期间的远期利率 可以通过下式求得：
1rTt1rT*T 1r*T*t
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当即期利率和远期利率均为连续复利时， 即期利率和远期利率之间的精确关系为
r ˆr*T* Tt* T rTt
这是因为：
e e e r T t r ˆ ( T * T ) r * T * t
五、固定收益证券的简单分析
1， 债券价格与到期收益率的关系
二者呈反向变化。其原因在于：债券的价格等于现 金流的现时价值。用图形表示发现它具有如图所示的 “弓形，称为凸型。二者的凸型对债券的投资特征具有 重要意义。
价 格
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无期权债券的价格/收益率关系 到期收益率
2，息票率、到期收益率与价格的关系 对于一只既定债券而言，息票率和期限是固定
距现今的年数
承诺的年度付款（现金流）
1
2000
2
2000
3
2500
4
4000
假设该金融工具的价格为$7704。该金融工具提供的 到期收益率是多少？
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为了计算收益率，必须用不同的利率进行尝试，直到找到 一个使现金流的现时价值等于$7704的利率为止。选取10％的 年利率将给出下列现时价值：
或
P
N t1
Ct (1 y)t
其中y称为到期收益率（内部收益率），一般通过试错
法求解。其目标是寻找使现金流的现时价值等于价格的利
率。
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例2.3 债券A一年到期，在到期日，投资者获得1000元； 债券B两年到期，在到期日，投资者获得1000元；债券 C是带息债券，从现在开始，这种债券每年支付50元的 利息，两年到期，在到期日，支付给投资者1050元。 市场上这三种债券的价格分别为： 债券A（一年到期的纯折现债券）：934.58元 债券B（两年到期的纯折现债券）：857.34元 债券C（两年到期的带息债券）：946.93元