北师大版高中数学选修1-2数学证明

已知 AB∥CD，EF⊥AB
求证 EF⊥CD
证明 ∵AB∥CD （已知）
∴∠1=∠2 （两直线平行，
E
同位角相等）
A 1B
∵EF⊥AB （已知）
∴∠1=90°（垂直定义）
C 2D
∴∠2=90°（等量代换）
F
∴EF⊥CD （垂直定义）
推理1 ∵两直线平行则同位角相等， AB∥CD，∠1=∠2是同位角 ∴∠1=∠2
例 1 在平行四边形 ABCD 中，M、N 分 别是 BC、AD 的中点，线段 AM、CN 分别交 对角线 BD 于 E、F，求证 BE=EF=FD。
我们用框图分别表示出综合法、分析 法证明这一问题的推理过程如下：
我们用框图分别表示出综合法、分析法证 明这一问题的推理过程如下：
综合法
ABCD
↓
BC∥AD
以下我们说明上面的命题与原命题p q逻辑等价。
p q R R p q p q 0 p q 上式说明反证法是通过证明与原命题p q等价的 另一个命题p q R R为真,从页肯定原命题
为真的证明方法， 这就是反证法的逻辑基础。
又由于p q p q p q， 因而， 反证法的逻辑基础又可发以写为：
∠1=90°
由上面的推理不难看出，每个推理是 由命题排列而成的，而一个证明又是 由若干推理有序排列构成，因此，可 以把一个数学证明看成是由命题组成 的有限的逻辑链，而所谓要证明一个 命题，就是要由已知条件及已有的真 实命题出发，逐步进行推理，不断得 出互相联结的新命题，一直联结推出 所证命题的结论为止。
数学证明
证明的意义与结构 证明就是根据一些已经确定真实性的命题来断 定某一个命题的真实性的思维过程。它是由论 题、论据和论证方式三个要素构成。
•论题就是需要确定其真实性的命题
•论据就是用来确立论题真实性所引 用的那些已知真实的命题；
•论证就是根据论据进行一系列推理 而确立论题真实性的过程。
证明 如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么 这条直线也和另一条垂直。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
证明方法
• 在中学数学中常用的证明方法是直接证法、 间接证法和数学归纳法。下面介绍这些证 明方法。
一、直接证法
• （1）综合法 • 如果证明时的思考顺序是从题设到结论，
即从欲证命题的题设p出发，根据已知的定 义、公理和定理等，依推理规则逐步推得 欲证结论q。这种证明方法称为综合法。
综合法是一种“由因导果”的思考顺序， 它由已知出发，逐步推演寻找它的必要 条件，直到得出结论为止。用综合法证 明命题推理思路自然，表述简明。但在 一定条件下，由已知公理、定理等推出 的结论较多，从中寻找欲证结论，有时 好象大海捞针，容易误入岐途，这是综 合法的缺点。
若证命题A→D成立，其思考推理顺序如图（1）：
A
D
↙↓↘
↗↑↖
B1 B B2 ↙ ↙↓↙↘
C1 C C2 ↗↗↑↗↖
C1 C2 C C3 C4 ↓ ↓ ↓ ↓↓
B1 B2 B B3 B4 ↑↑ ↑↑↑
D
A
图（1）
图（2）
（2）分析法
• 如果证明时的思考顺序是从结论到题设， 即从欲证命题的结论出发，根据已知的定 义、公理和定理等，依推理规则，逐步追 溯到题设，这种证明方法称为分析法。
AD∥BC，AD=BC ↑
ABCD
综合法 ABCD ↓
BC∥AD AN=BN → ← BM=MC
MN∥AN，MN=AN
↓
ME∥FC← AMCN → NF∥AE
↓
↓
BE=EF
EF=FD
BE=EF=FD
分析法 BE=EF=FD
↑ BE=EF
↑ BM=MC→
ME∥CF
EF=FD ↑ ←AN=ND
NF∥AE
二、分析综合法
• 在证明比较复杂的问题时，往往把综合法 与分析法合起来使用，在分析的基础上综 合，在综合的指导下分析，再综合。从而 找到证题的途径。在证明过程中常采用 “两头凑”，即同时从已知和结论出发， 逐步分别进行推理和追溯，直到推得的中 间结论与追溯的条件相同时为止。这种方 法也叫分析综合法。
例如在证明A→D成立时的推理思考顺序如图 （2）。
分析法是一种“执果索因”的思考顺 序，它由未知的待证结论出发，逐步 寻找使结论成立的充分条件，直到追 溯到的充分条件是已知为止。分析法 的证明思路不如综合法自然，表述也 不如综合法简明，但是从结论出发反 求公理、定理和题设，往往容易获得 证明思路。
推理2 ∵两直线垂直则交角为90° EF⊥AB 且交角为∠1 ∴∠1=90°
推理3 ∵两个相等的量可以代换 ∠1=∠2 且∠1=90° ∴∠2=90°
推理4 ∵两条直线相交成90°则它们互相垂直 EF与CD相交成∠2=90° ∴EF⊥CD
以上推理又可简写成以下形式： AB∥CD ∠2=∠1
EF⊥AB ∠2=90°EF⊥CD
AM∥CN ↑
AMCN 是 ↑
AN∥MC，AN=MC AN=ND →↑ ← BM=MC
AD∥BC，AD=BC
↑
ABCD
三、间接证法
• 当直接证明一个数学命题有困难时，可 以使用间接证法。
• 间接证法就是不直接证明原命题为真， 而去证明与之逻辑等价的另一个命题为 真，由等价性间接地证明了原命题为真 的方法。
p qR R p q 0 p q 0 pq pq pq pq
反证法证明的一般程序是：肯定题 设否定结论，由此出发，进行一系 列的推理，一直推出矛盾R∧R，从 而断定为假，肯定p→q为真。
• 我们这里介绍间接证法中的反证法和同 一法。
（1）反证法
反证法是否定原命题（p→q），从而导 致矛盾的一种间接证明问题的方法。
如果我们设命题R是已知条件或已知的 定义、公理、定理等，则R∧R是矛盾命 题，且是一个恒假命题。而反证法的“ 否定原命题从而导致矛盾”的逻辑命题 形式，即：
pqRR
AN=BN → ↓ ← BM=MC
↓
MN∥AN，MN=AN
↓
ME∥FC← AMCN → NF∥AE
↓
↓
BE=EF
EF=FD
↓
BE=EF=FD
分析法
BE=EF=FD
↑
BE=EF EF=FD
↑
↑
BM=MC→
←AN=ND
ME∥CF NF∥AE
↑ AM∥CN
↑ AMCN是
↑ AN∥MC，AN=MC
AN=ND →↑ ← BM=MC