电子科技大学2010级微积分(下)期末复习

平面上的第二类线积分的计算： Pdx Qdy
L
Q P 及 ， x y (注意:积分无关的区域 D 必须是单连通区域!)
方法一、积分与路径无关, 需计算 方法二、格林公式:
L Pdx Qdy
D
Q P ( )dxdy. x y
(注意:(1)积分曲线 L 要封闭; (2)P,Q函数要在区域D内有连续偏导.) 方法三、(直接法) 化为定积分。
2. 利用对称性可简化积分的运算.
(但第二类线、面积分的对称性不仅与被 积 函数及积分区域有关而且还与积分区域的方 向有关！)
电子科技大学期末微积分（下）试题
一.填空题(15分, 每题3分) z 2 y 1 1.设z (1 xy ) , 则 y (1 xy ) x
y
z 若求： ? y
0, 2 x 0 x e ,0 x 2 1 解：S( x ) , x 0 . 2 e2 , x 2 2
2
2
二.选择题(15分, 每题 3分, 只有一个正确) 1. f ( x , y )在点( x0 , y0 )处两个偏导数存在是f ( x , y )在点( x0 , y0 )处可微( ( A)必要条件; ( B )充分条件; (C )充分必要条件;
x Y ( C C x ) e 解：r 2r 1 0, r1,2 1, 1 2
2
设非齐次特解为: y Ax e
*
* 2 x
2 x
y A(2 x x )e , y A(2 4 x x 2 )e x ,
*n
1 1 2 x * 代入原方程得A , y x e , 2 2 1 2 x x * 故通解为: y Y y (C1 C2 x )e x e , 2 由初值条件得C1 0, C2 0,
( D) f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )必不存在；
2、 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微是 f 在该点的两个偏 导数 f x , f y 都存的（ B ）
( A)必要而非充分条件； ( B)充分而非必要条件； (C )充分必要条件； ( D)即非充分又非必要条件；
x x
D
(C ) x( Ax B)e x sin 2 x;( D) xe x ( Ax B)cos 2 x (Cx D)sin 2 x .
解：r 2 2r 5 0
2 16 1 2i r 2
iw 1 2i是特征根，
y xe ( Ax B)cos 2 x (Cx D)sin2 x .
z 分析: f1 yf2 , x
z f12 x f 2 xf 22 y x y
2
3.非齐次线性微分方程y 2 y 5 y xe x sin 2 x的特解形式为( ). ( A)( Ax B)e sin 2 x; ( B)e ( Ax B)cos 2 x (Cx D)sin 2 x ;
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微积分(下)期末考试要点
题型分析：
填空题 15%
选择题
15% 55-65%
5-15%
基本计算题
证明题
选择题常考内容：
1、多元函数连续、可微、可偏导之间的关系；
2、求多元数量值函数积分：二重积分、三重积分、 第一类线、面积分计算. (注意对称性)
＊
区域V的边界面为球面、圆锥面等. 球面坐标的体积元素
dv sin d d d
2
x ρ sinφ cosθ , y ρ sinφ sinθ , z ρ cosφ
0 θ 2 , (- θ ) 0φ 0 ρ <
第二类曲面积分的计算
方法一：高斯公式法;
P Q R ( )dV x y z
Pdydz Qdzdx Rdxdy
S V
(注意:曲面S要封闭!)
方法二：总投影法（定义法）;
方法三：分别投影法.
注意：
1. 线、面积分的被积表达式中的(x,y,z) 满足积分曲线或曲面的方程。 故可由曲线(曲面)方程进行等值代换 来化简被积表达式化简!! （但二重积分与三重积分没有此特性！）
Dr


z1 ( r , )
(2) “先二后一法”(截面 c2 法)

c1
dz f ( r cos , r sin , z )rdrd
Dz
实质： 将直角坐标系中的“先一后二”法或
“先二后一”法中的“二”在极坐标系中计算.
三重积分在球面坐标下的计算：
球坐标最佳适用情况： 被积函数为f(x2+y2 +z2 )；

而
c2
c1
dz f ( x , y , z )dxdy
Dz
注: 当 截面D z容易确定、容易表达；
Dz
容易积分时,才考虑“先二后一法” f ( x, y, z )dxdy
三重积分在柱坐标下的计算：
若 (1)被积函数为f(x2+y2) ； (2)区域V的边界面的方程含x2+y2 ； （如边界面为球面、圆柱面、圆锥面、旋转抛物面等） 则可选用柱坐标系. 方法： (1) “先一后二法”(投影 z2 ( r , ) 法 ) f ( r cos , r sin , z )dz . rdrd
2.函数f ( x, y) x 2 y xe y 在(1,0)处方向导数的最大值等于___.
f x (1,0) 2 xy e y
(1,0)
1,
fy
(1,0)
x 2 xe y
(1,0)
2
gradf
f l
(1,0)
i 2j
(1,0)
gradf
max
5
x y 3.设L为椭圆 1, 其周长为a，则 4 3
A ).
( D )以上都不是.
2z 2.设函数z f ( x , xy ), f 具有二阶连续偏导数, (D). x y ( A) f12 yf22 ; ( B ) xf12 xyf 22 ; (C ) f12 f2 yf22 ; ( D ) xf12 f2 xyf22 .
2
2
（2 xy 3 x
L
2
4 y )ds
2
12a
y 1
4.交换二次积分的次序 dy
0
1
f ( x , y )dx
y
y x

0 1
dx
x 0
f ( x , y )dy
1
x
0,-2 x 0 5.设函数f ( x )以4为周期, 在(-2, 2]上函数f ( x ) x , e ,0 x 2 则f ( x )的傅里叶级数在[-2, 2]上的和函数表达式S ( x ) .
z 解：令F ( x , y , z ) x y z yf y
2 2 2
Fx z , x Fz
Fy z x Fz
1 1 四.(8分)求函数z f ( x , y ) xy ( xy 0)的极值. x y
zx y 解： zy x
二重积分的计算步骤
1、作积分区域图. 2、根据区域的形状及被积函数的结构选择坐标系； 3、化二重积分为二次积分； (1)直角坐标系中，需确定是先对y后对x积分还是先 对x后对y积分; (2)极坐标系中，一般是先对r后对积分. 注意: (1)坐标系选择不当,不仅会增加计算难度,而且还可 能导致积不出来； (2)直角坐标系中，积分次序选择不当,也可能会增加 计算难度,甚至积不出来；
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可偏导
函数可微 偏导数连续
例 选择题
1、若 f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处不连续，则（ Ｃ ）
( A) lim f ( x, y )必不存在；
x x0 y y0
( B) f ( x0 , y0 )必不存在； (C) f ( x, y)在( x0 , y0 )必不可微；
n 1

B ).
( A)条件收敛;( B )绝对收敛;(C )发散;( D )不能判定.
z 三.(8分 )设方程x y z yf 确定函数 y z z z z ( x , y ), 其中f ( u)可微 , 求 , . x y
2 2 2
z z z z Fx 2 x , Fy 2 y f yf 2 , Fz 2 z f y yy y
z xx
1 0 2 x , 1 0 2 y
解得驻点(1,1);
2 2 3 , A 2, z xy 1, B 1 , z yy 3 , C 2, x y
A B 2 AC B 3 0, A 0, B C 故有极小值z(1,1) 3,
五.(12分) 1.求微分方程y 2 y y e x 满足初值条件 y(0) 0, y (0) 0的特解
5、计算二重积分、三重积分、第一类曲面积分、 第二类曲面积分． ６、用格林公式计算第二类曲线积分； 用高斯公式计算第二类曲面积分． 或二型线积分与路径无关. ７、求幂级数的收敛域及其和函数; 将函数f(x)展开为幂级数、傅立叶级数．
证明题常考内容：
主要是关于常数项级数的收敛性证明； （仅2003,2008年没有考）
1 2 x y x e . 2
2.在曲面z 3 x 2 y 上求一切平面，使该切平面 x y 垂直于直线 z 1. 3 2