高等数学同济第七版上册课后答案

习题1-10
1.证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间.
证明设f(x)=x5-3x-1,则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数.
因为f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理,在(1, 2)内至少有一点ξ(1<ξ<2),使f(ξ)=0,即x=ξ是方程x5-3x=1的介于1和2之间的根.
因此方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间.
2.证明方程x=a sin x+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b.
证明设f(x)=a sin x+b-x,则f(x)是[0,a+b]上的连续函数.
f(0)=b,f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]≤0.
若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根;
若f(a+b)<0,则f(0)f(a+b)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a+b),使f(ξ)=0,这说明x=ξ也是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根.
总之,方程x=a sin x+b至少有一个正根,并且它不超过a+b.
3.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有
|f(x)-f(y)|≤L|x-y|,其中L为正常数,且f(a)⋅f(b)<0.证明:至少有一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0.
证明设x0为(a,b)内任意一点.因为
0||lim |)()(|lim 0000
0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00
=-→x f x f x x , 即 )()(lim 00
x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续.
同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续.
因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )⋅f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0.
4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a <x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅ <x n <b , 则在[x 1, x n ]上至少有一点ξ, 使
n
x f x f x f f n )( )()()(21+⋅⋅⋅++=ξ. 证明 显然f (x )在[x 1, x n ]上也连续. 设M 和m 分别是f (x )在
[x 1, x n ]上的最大值和最小值.
因为x i ∈[x 1, x n ](1≤ i ≤n ), 所以有m ≤f (x i )≤M , 从而有 M n x f x f x f m n n ⋅≤+⋅⋅⋅++≤⋅)( )()(21,
M n
x f x f x f m n ≤+⋅⋅⋅++≤)( )()(21. 由介值定理推论, 在[x 1, x n ]上至少有一点ξ . 使
n
x f x f x f f n )( )()()(21+⋅⋅⋅++=ξ. 5. 证明: 若f (x )在(-∞, +∞)内连续, 且)(lim x f x ∞
→存在, 则f (x )必在(-∞, +∞)内有界.
证明 令A x f x =∞
→)(lim , 则对于给定的ε >0, 存在X >0, 只要|x |>X , 就有
|f (x )-A |<ε , 即A -ε<f (x )<A +ε .
又由于f (x )在闭区间[-X , X ]上连续, 根据有界性定理, 存在M >0, 使|f (x )|≤M , x ∈[-X , X ].
取N =max{M , |A -ε|, |A +ε|}, 则|f (x )|≤N , x ∈(-∞, +∞), 即f (x )在(-∞, +∞)内有界.
6. 在什么条件下, (a , b )内的连续函数f (x )为一致连续？。