等价关系与划分3.1

20
证明：由于３｜（ａ－ｂ）ａ≡ｂ（ｍｏｄ３） (1) ３｜（ａ－ａ）， (2)若３｜（ａ－ｂ），则３｜（ｂ－ａ） (3)若３｜（ａ－ｂ），３｜（ｂ－ｃ），则 ａ－ｃ＝（ａ－ｂ）＋（ｂ－ｃ） ３｜（ａ－ｃ） 满足传递性, 商集：Ｉ／Ｒ＝｛［０］，［１］，［２］｝ 其中 ［０］＝｛…，－６，－３，０，３，６，…｝ ［１］＝｛…，－５，－２，１，４，７，…｝ ［２］＝｛…，－４，－１，２，５，８，…｝
30
例４： Ｎ的一个分划为：若１０ i-1≢ａ＜１０i， 则ａ∈Ａi，对应的等价关系 Ｒ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ有相同位数， ａ，ｂ∈Ｎ｝相同位的数归为一类，此Ｒ把Ｎ 分划为可列个等价类。
[定义]相容关系： Ａ上的二元关系Ｒ，若是自反的， 对称的，称Ｒ为相容关系。
等价关系必然是相容关系。
31
[定义]平凡分划： 集合A的最粗或最细的分划，称为平凡分 划。
x
y 12
定理2
[ 定理 2] R 是集合 A 上的一个等价关系， 则下列命题是等价的： 1、(a,b)R 2、[a]=[b] 3、[a][b]
13
同余(congruence)关系
同余关系: 设n{2,3,4,…}, x,yZ,则 x与y模n同余(be congruent modulo n) xy(mod n) n|(x-y) x-y=kn (kZ) 同余关系是等价关系 0 1 11 [0] ={ kn|kZ}, 10 2 [1] ={ 1+kn|kZ}, 9 3 [2] ={ 2+kn|kZ},…, 8 4 7 6 5 [n-1]={(n-1)+kn|kZ}.
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划分(partition)
注： 等价关系Ｒ把Ａ的元素分为若干类，各 类之间没有公共元素。 划分: 设A, AP(A),若A满足 (1) A ; (2) x,y( x,yA xy xy= ) (3) UA = A 则称A为A的一个划分, A中元素称为划分 块(block).
商集: 设R是A上等价关系, A/R = { [x]R | xA } 称为A关于R的商集, 简称A的商集. 显然 U A/R = A. 例11(续): A/R3 ={ {1,4}, {2,5,8}, {3} }.

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例3
例3: 设A={a1,a2,…,an}, IA, EA, Rij=IA{<ai,aj>,<aj,ai>} 都是A上等价关系, 求对应的商集, 其中 ai,ajA, ij. 是A上等价关系吗? 解: A/IA={ {a1}, {a2},…, {an } } A/EA={ {a1,a2,…,an } } A/Rij= A/IA{{ai,aj}} - {{ai},{aj}}. 不是A上等价关系(非自反). #
6
Leabharlann Baidu2(续)
tsr(R)=trs(R) str(R)=srt(R) =rts( R ) =rst( R ) 自反 对称 传递 等价关 (等价闭包) 系
7
等价类(equivalence class)
设R是A上等价关系,xA,令 [x]R={ y | yA xRy }, 称[x]R为x关于R的等价类, 简称x的等价类, 简记为[x].
Ｒ是等价关系，但不直观，用关系图表示。
三个不连通的图
19
二元关系R是自反的，对称的，传递的，且把Ａ分 成了三个等价类，
（Ａ）＝｛｛０｝，｛１，２，３｝，｛４，５｝｝
A/R＝｛［０］，［１］，［４］｝ 例6 ： Ｒ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ≡ｂ （ｍｏｄ３）， ａ，ｂ∈Ｉ｝ 是整数集合Ｉ上模３同余的二元关系. 证明R是等价关系。
(1）自反的 (2）对称的 (3) 传递的 称Ｒ为等价关系/Equivalence Relations 。 （ａ，ｂ）∈Ｒ，称ａ与ｂ等价，
记作ａ～ｂ或aRb。
3
例1: 判断是否等价关系(A是某班学生): R1={<x,y>|x,yAx与y同年生} R2={<x,y>|x,yAx与y同姓} R3={<x,y>|x,yAx的年龄不比y小} R4={<x,y>|x,yAx与y选修同门课程} R5={<x,y>|x,yAx的体重比y重}
例:
问A={a,b,c,d}上有多少种等价关系? 解: 15个。 注： （1）等价关系，用穷举法很难判别 （2）用关系图比较直观，明确 （3）用集合的分划来研究等价关系
32
~A1~A2… ~An-1An,… A1A2… An}-{}. #
24
例
例: A={a,b,c}, 求A上全体等价关系. 解: A上不同划分共有5种:
a b c b a c b a c b a c b a c
R1= EA, R2=IA{<b,c><c,b>}, R3=IA{<a,c><c,a>}, R4=IA{<a,b><b,a>}, R5=IA.

x
9
定理1(证明(2))
(2) xRy [x]R=[y]R ; 证明: (2) 只需证明[x]R[y]R和[x]R[y]R. () z, z[x]RxRy zRxxRy zRy z[y]R . [x]R[y]R. () 同理可证. z

x
y 10
定理1(证明(3))
28
2）若ｉ≠ｊ，Ａi≠Ａj，而Ａi∩Ａj ≠ ， 则ｃ∈Ａi∩Ａj，ｃ∈Ａi，且ｃ∈Ａj, 对ａ∈Ａi，ａRｃ，ｃ∈Ａj ； 对ｂ∈Ａj，ｂRｃ，即ｃRｂ(对称性)， 由Ｒ传递性，ａRｂ，再由ａ，ｂ的任意性， 故Ａi＝Ａj ，与Ａi和Ａj 为不同的等价类矛盾。 故Ａi∩Ａj ≠ 。故Pr（Ａ）＝｛Ａ1，Ａ2，…， Ａn，…｝是集合A的一个划分。
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划分的加细(refinement)

划分的加细: 设A和B都是集合A的划分, 若A的每个划分块都包含于B的某个划分 块中, 则称A为B的加细.
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等价关系与划分是一一对应的
定理: 设A, 则 (1) R是A上等价关系 A/R是A的划分 (2) A是A的划分 RA是A上等价关系,其中 xRAy z(zA xz yz) RA称为由划分A 所定义的等价关系(同块关系).
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也可表示为： [ 定义 ] 集合的划分：把集合Ａ分为若干子 集Ａ1，Ａ2，…，满足： （1）当ｉ≠ｊ时Ａi∩Ａj＝ （2） ａ∈Ａ， ｉ， 使ａ∈Ａi（ｉ＝１，２，…） 则集合 Pr（Ａ）＝｛Ａ 1 ，Ａ 2 ， … ，Ａ n，…｝ 称为Ａ的一个划分/partition。
23
划分(举例)

设 A1,A2,…,AnU, 则以下都是划分: Ai = {Ai,~Ai}, ( i=1,2,…,n ) Aij = {AiAj,~AiAj, Ai~Aj, ~Ai~Aj}-{}
( i,j =1,2,…,n ij ) …… A12…n = {~A1~A2… ~An,…,
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若Ａ已进行了划分，则构造二元关系Ｒ。 Ｒ={（a，b）| ａ，ｂ∈A， 且a，b在同一划 分块内}。 显然，Ｒ是自反的，对称的，
而且也是传递的，因为若（ａ，ｂ）∈Ｒ， （ｂ，ｃ）∈ Ｒ，则ａ，ｂ在同一划分块内， b，c在同一划分块内，由划分的性质知：a，b， c在同一划分块内。
故（ａ，ｃ）∈Ｒ。即R是A上的等价关系。
等价关系与划分
内容提要 等价关系,等价类,商集 划分, 第二类Stirling数
1
等价(equivalence)关系


定义 同余关系 等价类 商集 划分 划分的加细 Stirling子集数
2
等价关系Equivalence Relations
[定义1] Ａ上的二元关系Ｒ，如果Ｒ是
14
例2
例2: 设 A={1,2,3,4,5,8}, 求 R3 = { <x,y> | x,yA xy(mod 3) } 的等价类, 画出R3的关系图. 解: [1]=[4]={1,4}, [2]=[5]=[8]={2,5,8}, [3]={3}. #

4 1 2
8 5
3
15
商集(quotient set)

27
文字叙述为： Ａ在等价关系Ｒ下的等价类正是Ａ的一种 划分。Ａ的任一种划分，也必有Ａ上的一个 等价关系Ｒ与之对应。 若划分A为划分B的加细 RARB
证明：设Ｒ是等价关系，等价类的集合为
Pr（Ａ）＝｛Ａ 1 ，Ａ 2 ， … ，Ａ n，…｝。 1）ａ∈Ａ，由Ｒ的自反性， （ａ，ａ）∈Ｒ，即ａ与ａ属于同一等价类， 也即ｉ，ａ∈Ａi
(3) xRy [x]R[y]R= ; 证明: (3) (反证) 假设z, z[x]R[y]R, 则 z[x]R[y]R zRxzRy xRzzRy xRy, 这与xRy矛盾! [x]R[y]R=.

z
x y 11
定理1(证明(4))

(4) U{ [x]R | xA } = A. 证明: (4) A=U{ {x} | xA } U{ [x]R | xA } U{ A | xA }=A. U{ [x]R | xA } = A. #
17
例4： Ａ＝｛５２张扑克｝ Ｒ1＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ同花，ａ，ｂ是扑克｝ Ｒ2＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ同点，ａ，ｂ是扑克｝ 则: Ｒ1把Ａ分为四类同花类， Ｒ2把Ａ分为１３类同点类。 例5： Ａ＝｛０，１，２，３，４，５｝ Ｒ＝｛（０，０），（１，１），（２， ２），（３，３），（１，２），（１，３）， （２，１），（２，３），（３，１），（３， ２），（４，４），（４，５），（５，４）， （５，５）｝ 18

把Ａ中的等价元素归为一类，称为等价类 /equivalence class。
8
定理1
设R是A上等价关系,x,yA, (1) [x]R (2) xRy [x]R=[y]R ; (3) xRy [x]R[y]R= ; (4) U{ [x]R | xA } =A. 证明: (1) R自反xRxx[x]R[x]R.

4
例1(续)
定义 R1 R2 R3 x与y同年生 x与y同姓 x的年龄不比 y小 x与y选修同 门课程 自反 对称 传递 等价关系
R4 R5




5
x的体重比y 重
例2
例2: 设 RAA 且 A, 对R依次求三 种闭包共有6种不同顺序, 其中哪些顺序 一定导致等价关系? rst( R ), rts( R ), str( R ), srt( R ), trs( R ), tsr( R )=t(s(r( R ))) 解: st( R )ts( R ), sr( R )=rs( R ),… tsr( R )=trs( R )=rts( R ) str( R )=srt( R )=rst( R )