第9节 圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题(课件PPT)

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(2)设 M(y20，y0)，且－2≤y0≤1. 由P→M＝λP→A＋μP→B得y20＋2，y0＋12＝λ3，32＋μ6，－32， 即yy002＋ ＋122＝＝323(λλ＋－6μμ)，，，解得μλ＝＝((yy00＋－99 21))22，， 则 λ＋ μ＝y0＋3 2＋1－3 y0＝1，即 λ＋ μ为定值 1.
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C 关键 能力 思维培养
考点一 定值与探索性问题
[基础练通]
如图，已知 A，B，C 为椭圆 E：x22＋y2＝1 上三个不同的点，O 为坐标原
点，且 O 为△ABC 的重心．
(1)如果直线 AB，OC 的斜率都存在，求证：kABkOC 为定值； (2)试判断△ABC 的面积是否为定值？如果是，求出这个定值；否则，请说明理由．
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第九节 圆锥曲线中的定值、 定点与存在性问题
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C 必备 知识 链新教材
知识点 1．运用点差法求 AB 的斜率：已知 AB 是椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的一条弦，弦中 点 M 的坐标为(x0，y0)，则 AB 的斜率为－ba22xy00.
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2．运用类比的方法可以推出：(1)已知 AB 是双曲线xa22－by22＝1 的弦，弦中点 M(x0， y0)，则 kAB＝ba22xy00.
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1．设 A，B 为抛物线 y2＝x 上相异两点，其纵坐标分别为 1，－2，分别以 A，B 为 切点作抛物线的切线 l1，l2，设 l1，l2 相交于点 P.
(1)求点 P 的坐标； (2)M 为 A，B 间抛物线段上任意一点，设P→M＝λP→A＋μP→B，试判断 λ＋ μ是否为 定值？如果为定值，求出该定值，如果不是定值，请说明理由．
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解：(1)由题意知 A(1，1)，B(4，－2)，设点 P 的坐标为(xP，yP)， 切线 l1：y－1＝k(x－1)，联立yy－2＝1x＝k(x－1)，由抛物线与直线 l1 相切，解得 k＝12， 即 l1：y＝12x＋12，同理，l2：y＝－14x－1.
xP＝－2， 联立 l1，l2 的方程，可解得yP＝－12， 即点 P 的坐标为－2，－12.
y0)，由 k1＋k2＝2 得y0x－0 1＋－yx00－1＝2，得 x0＝－1. 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y＝kx＋m(m≠1)，A(x1，y1)，B(x2，
y2)． 则x22＋y2＝1 ，可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， y＝kx＋m
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17 则 Δ＝8(2k2－m2＋1)＞0，x1＋x2＝1－＋42kkm2，x1·x2＝21m＋2－2k22 . 由 k1＋k2＝2，得y1x－1 1＋y2x－2 1＝2， 即(kx2＋m－1)x1x＋1x2(kx1＋m－1)x2＝2，(2－2k)x1x2＝(m－1)(x1＋x2)，(2－2k)(2m2－
(2)已知抛物线 y2＝2px(p＞0)的弦 AB 的中点 M(x0，y0)，则 kAB＝yp0. 3．过抛物线 y2＝2px(p＞0)的顶点 O 任意作两条互相垂直的弦 OA，OB，则直线 AB 恒过定点(2p，0)，反之，过点(2p，0)作抛物线 y2＝2px(p＞0)的弦 AB，则 OA⊥OB.
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设线段 AB 的中点为 D，连接 OD， m
则 D－2k22k＋m1，2k2m＋1，kOD＝2－k22＋km1＝－21k， 2k2＋1
因为 O 为△ABC 的重心， 所以 kABkOC＝kABkOD＝k×－21k＝－12，为定值．
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(2)设 C(x3，y3)，当直线 AB 的斜率存在时，由(1)知 x3＝－(x1＋x2)＝2k42k＋m1，y3＝－(y1＋y2)＝2－k22＋m1， 代入x22＋y2＝1 得 1＋2k2＝4m2， 又|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|， 原点 O 到直线 AB 的距离 d＝ 1|m＋| k2，连接 OA，OB，
(1)求椭圆 C 的方程； (2)过点 M 分别作直线 MA，MB 交椭圆 C 于 A，B 两点，设这两条直线的斜率分别 为 k1，k2，且 k1＋k2＝2，证明：直线 AB 过定点．
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16 解：(1)由题意得12a2＝1，∴a＝ 2，又 b＝c，a2＝b2＋c2， ∴b＝1，∴椭圆 C 的方程为x22＋y2＝1. (2)证明：由(1)得 M(0，1)．当直线 AB 的斜率不存在时，设 A(x0，y0)，则 B(x0，－
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考点二 定点与探索性问题
[多维贯通]
命题点 1 | 用“设而不求”法求定点
此方法主要是通过设出直线的方程，联立圆锥曲线方程，利用根与系数的关系，建
立参变量与已知量的等量关系，通过分离参数求出定点．
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已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，上顶点为 M，△MF1F2 为等腰直角三角形，且其面积为 1.
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解：(1)设直线 AB：y＝kx＋m，代入x22＋y2＝1，得 (1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0. 由 Δ＝16m2k2－8(1＋2k2)(m2－1)＞0，得 m2＜1＋2k2， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝－2k42k＋m1，x1x2＝22(mk22＋－11)，
点，不妨设 C 为椭圆的左顶点，则 C(－ 2，0)，x1＋x2＝－x3＝ 2，x1＝x2＝ 22，
可取 A 22， 23，B 22，－ 23，则 S△ABC＝12×
3×3 2
2＝3
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6 .
综上，△ABC 的面积为定值，定值为346.
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解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线 的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变 化，始终是一个确定的值．求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值， 再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而 得到定值．
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9 所以 S△OAB＝12|AB|·d＝12|m| －1＋4k2mk22－4·21(m＋2－2k12 )
＝1＋2|2mk|2· 1＋2k2－m2＝ 42m|m2 |· 3m2＝ 46，
所以 S△ABC＝3S△OAB＝34 6(定值)． 当直线 AB 的斜率不存在时，因为 O 为△ABC 的重心，所以 C 为椭圆的左、右顶