非齐次方程的冲量定理法求解

考虑定解问题： 考虑定解问题：
utt − a uxx = f (x, t)
2
u(x, t) x=0 = 0 u(x, t) x=l = 0
∞
u(x, t) t =0 = ϕ(x) ut (x, t) t =0 =ψ (x)
nπ u(x, t) = ∑Tn (t) sin x l n=1 nπ a 2 Tn"(t) + ( ) Tn (t) = fn (t) l
弦两端固定
初始条件
用式
u(x, t) = X (x)T (t)
代入方程，不能分离变量 代入方程，
一、Fourier级数法 Fourier级数法 1、齐次解
2
对应齐次方程为
泛定方程
utt − a uxx = 0
u(x, t) x=0 = 0 边界条件 u(x, t) x=l = 0 分离变量得本征方程 u(x, t) = X (x)T (t)
§8.2 非齐次振动方程和输运方程（齐次边界条件） 8.2 非齐次振动方程和输运方程（齐次边界条件） 考虑定解问题： 考虑定解问题： 泛定方程 边界条件
utt − a uxx = f (x, t)
2
u(x, t) x=0 = 0 u(x, t) x=l = 0 u(x, t) t =0 = 0 ut (x, t) t =0 = 0
f(x,t)
u(x, t) t =0 = 0 ut (x, t) t =0 = 0
f(x,t)表示单位长度、 f(x,t)表示单位长度、 表示单位长度 单位质量作用力
1
ρ
F(x, t)
f(x, τ)∆τ 表示 ∆τ 内的冲量
这个冲量使得系统的速度有 一定的增量，即 f(x, τ) ∆τ , 一定的增量，
(τ ) t t =τ
现在，我们把在时间∆τ 现在， 内得到的速度增量看成 内得到的速度增量看成 速度 是 t= τ 瞬时集中得到 的，而在∆τ 的其余时 间里没有冲量的作用， 间里没有冲量的作用， 即认为在这段时间内没 有力的作用，故方程是 有力的作用， 齐次的。 t= τ 时的集 齐次的。 中速度可置于 “初始 ” 条件中， 得到的关于瞬 条件中， 时力引起的振动的定解 方程为： 方程为：
II
(二）、冲量定理法 (T2 sin α2 −T sin α1 + Fdx = ρ dxutt ) ）、冲量定理法 1 考虑强迫弦振动定解问题： 考虑强迫弦振动定解问题：
utt − a uxx = f (x, t)
2
u(x, t) x=0 = 0 u(x, t) x=l = 0
f (x, t) =
t
nπ a nπ u(x, t) = ∑[ ∫0 fn (τ )sin l (t −τ ) dτ ]sin l x n=1 nπ a
∞
l
t
源自文库
例：求定解问题： 求定解问题： 泛定方程
ut − a uxx = Asin ω t
2
边界条件
ux (x, t) x=0 = 0 ux (x, t) x=l = 0
∞
初始
vt
t =τ
= Acos
πx
l
sin ωτ
A0 = 0
∞
A =0 n
vt
有
t =τ
nπ a nπ πx = B0 + ∑Bn cos x = Acos sin ωτ l l l n=1 lA B0 = 0 B1 = sin ωτ πa Bn = 0 (n = 2,3,L) lA π a(t −τ ) nπ v= sin ωτ sin cos x l l πa
I
u (x, t) t =0 = ϕ(x) I ut (x, t) t =0 =ψ (x)
I
u − a u = f (x, t)
II tt 2 II xx
u (x, t) x=0 = 0 II u (x, t) x=l = 0
II
u (x, t) t =0 = 0 II ut (x, t) t =0 = 0
初始 条件
u(x, t) t =0 = 0 ut (x, t) t =0 = 0
(0 < x < l t > 0)
解： 用冲量法， 用冲量法，上述定解问题变为 v 的定解问题
vtt − a vxx = 0
2
vx x=0 = 0 vx x=l = 0
v t =τ = 0
vt t =τ = Acos sin ωτ l (0 < x < l τ < t < τ + dτ )
∞
nπ a 2 ) Tn (t) = fn (t) Tn"(t) + ( l
其中
2 l nπξ fn (t) = ∫ f (ξ , t) sin dξ l 0 l
将
2 l nπξ fn (t) = ∫ f (ξ , t) sin dξ l 0 l ∞ nπ u(x, t) = ∑Tn (t) sin x 代入初始条件 l n=1 ∞ nπ u(x, t) t =0 = 0 ∑Tn (0) sin l x = 0 n=1 ut (x, t) = 0 ∞ nπ ∑Tn ' (0) sin l x = 0 n=1 Tn (0) = 0
Tn ' (0) = 0
nπ a 2 Tn"(t) + ( ) Tn (t) = fn (t) l Tn (0) = 0 2 l nπξ fn (t) = ∫ f (ξ , t) sin dξ Tn ' (0) = 0 l 0 l
nπ a Tn (t) = ∫0 fn (τ )sin l (t −τ ) dτ nπ a l
于是
lA π a(t −τ ) nπ v= sin ωτ sin cos x l l πa
于是
u = ∫ v(x, t;τ )dτ
0
t
lA π a(t −τ ) nπ =∫ sin ωτ sin cos x dτ 0π a l l π at π a ω sin − sin ω t lA nπ l l cos x = 2 2 π a πa l 2 ω − 2 l
u(x, t) t =0 = 0 nπ 解： Xn = Cn cos x l ∞ nπ u(x, t) = ∑Tn (t) cos x 代入泛定方程有 l n=0 ∞ nπ a 2 nπ ∑[Tn ' (t) + ( l ) Tn (t)]cos l x = Asin ω t n=0
初始条件
nπ a 2 nπ ∑[Tn ' (t) + ( l ) Tn (t)]cos l x = Asin ω t n=0
T0 ' (t) = Asin ω t
n=0
T0 ' (t) = Asin ω t T0 (0) = 0
nπ a 2 Tn ' (t) + ( ) Tn (t) = 0 l
n≠0
Tn (0) = 0
T0 (t) = A
ω
(1− cosω t)
u(x, t) =
Tn (t) = 0
A
ω
(1− cosω t)
πx
v0 = A0 + B0 (t −τ ) nπ a(t −τ ) nπ a(t −τ ) nπ vn = [ An cos + Bn sin ]cos x l l l v = A0 + B0 (t −τ )
nπ a(t −τ ) nπ a(t −τ ) nπ + ∑[ An cos + Bn sin ]cos x l l l n=1 πx vt t =τ = Acos sin ωτ v t =τ = 0 代入初始 l A0 = 0 A =0 有 n ∞ nπ a nπ πx vt t =τ = B0 + ∑Bn cos x = Acos sin ωτ l l l n=1
令
u (x, t,τ , ∆τ ) = v(x, t,τ )∆τ
vtt − a vxx = 0
2
(τ )
(0 < x < l t > τ )
v x=0 = 0 (t > τ ) v x=l = 0
u(x, t) = lim
t
v t =τ = 0 vt
(τ )
(0 < x < l)
t =τ
= f (x,τ )
而
∆τ →0
∑u τ
=0
t
(x, t;τ ) = lim
∆τ →0
∑v(x, t;τ )∆τ τ
=0
t
= ∫ v(x, t;τ )dτ
0
例：用冲量法求定解问题： 用冲量法求定解问题： 泛定方程 边界 条件
utt − a uxx = Acos
2
πx
l
sin ω t
ux (x, t) x=0 = 0 ux (x, t) x=l = 0
∞
将
∞
nπ u(x, t) = ∑Tn (t) sin x l n=1
代入泛定方程
nπ a 2 nπ ∑[Tn"(t) + ( l ) Tn (t)]sin l x = f (x, t) n=1
nπ a 2 nπ ∑[Tn"(t) + ( l ) Tn (t)]sin l x = f (x, t) n=1
τ τ +∆τ t
t
f(x,t)
τ τ +∆τ t
u
(τ ) tt (τ )
t
−a u
x=0 x=l t =τ
2 (τ ) xx
=0
u
=0 =0
u u
(τ )
(τ )
=0
= f (x,τ )∆τ (τ ) (τ ) (0 < x < l τ < t < τ + dτ ) 显然 u = u (x, t,τ , ∆τ ) u
X "+λ X = 0 X (0) = 0 X (l) = 0
nπ Xn = Cn sin x l
2、Tn(t) 的解 、
nπ Xn = Cn sin x l
nπ u(x, t) = ∑Tn (t) sin x l n=1
∞
仿照常数变易法， 仿照常数变易法，令
2
泛定方程
utt − a uxx = f (x, t)
2 l nπ ξ Tn (0) = ∫ ϕ(ξ ) sin dξ l 0 l
2 l nπ ξ Tn ' (0) = ∫ ψ (ξ ) sin dξ l 0 l
另一方法：考虑线性叠加法 另一方法： 令 有
I tt 2 I xx
u = u +u
I
II
u −a u = 0
u (x, t) x=0 = 0 I u (x, t) x=l = 0
t
∞
nπ u(x, t) = ∑Tn (t) cos x 将 l n=0 代入初始条件 u(x, t) t =0 = 0 ∞ nπ 有 ∑Tn (0) cos l x = 0 n=1
∞
Tn (0) = 0 T0 (0) = 0
n=0 n≠0
nπ a 2 ) Tn (t) = 0 Tn ' (t) + ( l