二叉树期权定价模型
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倒推定价法： 得到每个结点的资产价格。 T时刻到期的期权预期价值是已知的，即末期结点上 的期权价值是已知的。 风险中性的条件下，可以按照无风险利率贴现，倒推 前一个节点上的期权的价值。
如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上， 比较在本时刻提前执行期权和继续再持有Δt时间，到下 一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期 权价值。
第七章 二叉树期权定价模型
一、二叉树模型的基本方法
假设每一个时间间隔Δt内 ，证券价格只有两种运 动的可能：股股票多头和一个期权空头组成的证券 组合，并计算出该组合为无风险时的Δ值。
p
S f
Su fu
1 p
Sd fd
二、单步二叉树模型
1、无套利定价思路 构造一个由Δ股资产多头和一个看涨 期权空头组成的证券组合。
标的股票当前市价为50元，波动率为每年40%，无风 险连续复利年利率为10% 该股票5个月期的美式看跌期权协议价格为50元
79.35
Su5 89.07 0 Su3 70.7 0
0
Su 56.12
50
B
C
0
39.69 A 10.31 9.90
Sd 44.55 5.45 Su1d 4 Sd 3 35.36
3、p、u、d的确定
p
S f
Su fu
(1) Se
r 源自文库t
SuP Sd (1 P )
1 p
Sd fd
dS Sdt Sdz
VarST E ( ST )2 [ EST ]2 2 S 2 t
(2) t pu (1 p)d [ pu (1 p)d ]
2 2 2
2
(3)u 1/ d
d p ud e
r t
ue
t
d e
t
三、证券价格的树型结构
Su4 Su3 Su2 Su S Sd Sd2 Sd3 Sd4 S S Sd Sd2 Su Su2
在iΔt时刻，证券价格有i+1种可能：Su d
j i-j
其中j=0，1，2，……
四、证券价格的树型结构的应用
2、风险中性定价思路
股票未来期望值按无风险利率贴现的 现值=股票当前价格
p
S f
Su fu
Se
r (T t )
[ SuP Sd (1 P )]
1 p
Sd fd
e r (T t ) d P ud
r T t） f e（ Pfu (1 P) fd
二、单步二叉树模型
S f
Su fu
无风险组合： Su fu Sd fd
f u fd Su Sd
Sd fd
S f ( Su f u )e r t
f e
（ r T t）
Pfu (1 P) fd
e r (T t ) d P ud
二、单步二叉树模型
14.64
Su0d 5 28.07 50 28.07 21.93
五、二叉树方法的一般定价过程
以无收益证券的美式看跌期权为例 把该期权有效期划分成N个长度为Δt的小区间 令 f ij (0 i N ,0 j i)表示在时间iΔt时第j个结点处的 美式看跌期权的价值，同时用 Su j d i j表示结点（i，j） 处的证券价格，可得：
f N，j max( X Su d
j
N j
,0)
Δt后 ，假定期权不被提前执行，在风险中性条件下：
fij e
rt
[ pfi1, j 1 (1 p) fi1, j ]
提前执行的可能：
fij max X Su j d i j , e r t [ pfi 1, j 1 (1 p) fi 1, j ]
如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上， 比较在本时刻提前执行期权和继续再持有Δt时间，到下 一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期 权价值。
第七章 二叉树期权定价模型
一、二叉树模型的基本方法
假设每一个时间间隔Δt内 ，证券价格只有两种运 动的可能：股股票多头和一个期权空头组成的证券 组合，并计算出该组合为无风险时的Δ值。
p
S f
Su fu
1 p
Sd fd
二、单步二叉树模型
1、无套利定价思路 构造一个由Δ股资产多头和一个看涨 期权空头组成的证券组合。
标的股票当前市价为50元，波动率为每年40%，无风 险连续复利年利率为10% 该股票5个月期的美式看跌期权协议价格为50元
79.35
Su5 89.07 0 Su3 70.7 0
0
Su 56.12
50
B
C
0
39.69 A 10.31 9.90
Sd 44.55 5.45 Su1d 4 Sd 3 35.36
3、p、u、d的确定
p
S f
Su fu
(1) Se
r 源自文库t
SuP Sd (1 P )
1 p
Sd fd
dS Sdt Sdz
VarST E ( ST )2 [ EST ]2 2 S 2 t
(2) t pu (1 p)d [ pu (1 p)d ]
2 2 2
2
(3)u 1/ d
d p ud e
r t
ue
t
d e
t
三、证券价格的树型结构
Su4 Su3 Su2 Su S Sd Sd2 Sd3 Sd4 S S Sd Sd2 Su Su2
在iΔt时刻，证券价格有i+1种可能：Su d
j i-j
其中j=0，1，2，……
四、证券价格的树型结构的应用
2、风险中性定价思路
股票未来期望值按无风险利率贴现的 现值=股票当前价格
p
S f
Su fu
Se
r (T t )
[ SuP Sd (1 P )]
1 p
Sd fd
e r (T t ) d P ud
r T t） f e（ Pfu (1 P) fd
二、单步二叉树模型
S f
Su fu
无风险组合： Su fu Sd fd
f u fd Su Sd
Sd fd
S f ( Su f u )e r t
f e
（ r T t）
Pfu (1 P) fd
e r (T t ) d P ud
二、单步二叉树模型
14.64
Su0d 5 28.07 50 28.07 21.93
五、二叉树方法的一般定价过程
以无收益证券的美式看跌期权为例 把该期权有效期划分成N个长度为Δt的小区间 令 f ij (0 i N ,0 j i)表示在时间iΔt时第j个结点处的 美式看跌期权的价值，同时用 Su j d i j表示结点（i，j） 处的证券价格，可得：
f N，j max( X Su d
j
N j
,0)
Δt后 ，假定期权不被提前执行，在风险中性条件下：
fij e
rt
[ pfi1, j 1 (1 p) fi1, j ]
提前执行的可能：
fij max X Su j d i j , e r t [ pfi 1, j 1 (1 p) fi 1, j ]