初中数学旋转专题(含答案)
中考数学初中数学 旋转综合经典题附答案
中考数学初中数学 旋转综合经典题附答案一、旋转1．在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α（︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD 。
（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）； （2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE ，若∠DEC=45°，求α的值。
【答案】（1）1302α︒-（2）见解析（3）30α=︒【解析】解：（1）1302α︒-。
（2）△ABE 为等边三角形。
证明如下：连接AD ，CD ，ED ，∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ， ∴BC=BD ，∠DBC=60°。
又∵∠ABE=60°，∴1ABD 60DBE EBC 302α∠=︒-∠=∠=︒-且△BCD 为等边三角形。
在△ABD 与△ACD 中，∵AB=AC ，AD=AD ，BD=CD ，∴△ABD ≌△ACD （SSS ）。
∴11BAD CAD BAC 22α∠=∠=∠=。
∵∠BCE=150°，∴11BEC 180(30)15022αα∠=︒-︒--︒=。
∴BEC BAD ∠=∠。
在△ABD 和△EBC 中，∵BEC BAD ∠=∠，EBC ABD ∠=∠，BC=BD ， ∴△ABD ≌△EBC （AAS ）。
∴AB=BE 。
∴△ABE 为等边三角形。
（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴DCE 1506090∠=︒-︒=︒。
又∵∠DEC=45°，∴△DCE 为等腰直角三角形。
∴DC=CE=BC 。
∵∠BCE=150°，∴(180150)EBC 152︒-︒∠==︒。
而1EBC 30152α∠=︒-=︒。
∴30α=︒。
（1）∵AB=AC ，∠BAC=α，∴180ABC 2α︒-∠=。
初中旋转试题及答案
初中旋转试题及答案在初中数学的学习中，旋转是一个重要的几何概念。
它涉及到图形的平移、旋转和缩放等变换。
以下是一份初中旋转试题及答案，旨在帮助学生掌握旋转的基本概念和计算方法。
试题一：一个点A(3,4)绕原点O(0,0)顺时针旋转90度后，点A的新坐标是什么？答案：当一个点绕原点顺时针旋转90度时，它的坐标会互换并改变符号。
因此，点A(3,4)旋转后的新坐标为(4,-3)。
试题二：一个矩形ABCD，其中A(1,2)，B(5,2)，C(5,6)，D(1,6)，绕点A顺时针旋转90度后，矩形的新位置是什么？答案：矩形ABCD绕点A顺时针旋转90度后，点B(5,2)变为(2,5)，点C(5,6)变为(6,5)，点D(1,6)变为(6,1)。
因此，旋转后的矩形顶点坐标为A(1,2)，B(2,5)，C(6,5)，D(6,1)。
试题三：一个等边三角形，顶点分别为E(0,0)，F(3,0)，G(1.5,3)，绕点E逆时针旋转120度后，三角形的新位置是什么？答案：等边三角形EFG绕点E逆时针旋转120度后，点F(3,0)变为(0,3)，点G(1.5,3)变为(-1.5,1.5)。
因此，旋转后的等边三角形顶点坐标为E(0,0)，F(0,3)，G(-1.5,1.5)。
试题四：一个圆心在H(4,4)的圆，半径为5，绕点H逆时针旋转45度后，圆的位置会如何变化？答案：圆心H(4,4)的圆绕圆心逆时针旋转45度后，圆的位置不会改变，因为旋转是围绕圆心进行的。
圆心坐标仍然是H(4,4)，半径仍然是5。
试题五：一个正方形IJKL，其中I(2,1)，J(3,1)，K(3,2)，L(2,2)，绕点I逆时针旋转45度后，正方形的新位置是什么？答案：正方形IJKL绕点I逆时针旋转45度后，点J(3,1)变为(2.707,0.707)，点K(3,2)变为(2,2.414)，点L(2,2)变为(1.293,1.707)。
因此，旋转后的正方形顶点坐标为I(2,1)，J(2.707,0.707)，K(2,2.414)，L(1.293,1.707)。
初中数学巧用旋转进行计算之三大题型及答案
解题技巧专题：巧用旋转进行计算之三大题型【考点导航】目录【典型例题】【题型一利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度】【题型二利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度】【题型三利用旋转计算面积】【典型例题】【题型一利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度】1(2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中)如图，在△ABC中，BC<BA，将△BCA以点B为中心逆时针旋转得到△BED，点E在边CA上，ED交BA于点F，若∠FEA=40°，则∠DBF=()A.40°B.50°C.60°D.70°【变式训练】1(2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第四十三中学校考期中)如图，在△ABC中，∠B=42°，将△ABC 绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点D恰好落在BC的延长线上，则旋转角的度数()A.86°B.96°C.106°D.116°2(2023春·河南新乡·七年级统考期末)如图，在△ABC中，∠BAC=104°，将△ABC绕点A逆时针旋转94°得到△ADE，点B的对应点为点D，若点B，C，D恰好在同一条直线上，则∠E的度数为()A.25°B.30°C.33°D.40°3(2023·浙江温州·校联考三模)如图，在△ABC中，∠BAC=50°，将△ABC绕点A逆时针旋转得△ADE，使点D恰好落在AC边上，连结CE，则∠ACE的度数为()A.45°B.55°C.65°D.75°4(2023春·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考期中)如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB C 的位置，使得CC ∥AB，划∠BAB 的度数是()A.35°B.40°C.50°D.70°5(2023春·江苏连云港·八年级校考阶段练习)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为()A.60°B.70°C.75°D.85°6(2023春·江苏盐城·八年级校考阶段练习)如图，∠AOB=90°，∠B=20°，△A OB 可以看作是△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的．若点A 在AB上，则旋转角α的度数是.7(2023春·上海嘉定·七年级校考期末)已知△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转得△CDE，使点B恰好落在边AB上点D处，边DE交边AC于点F(如图)，如果△CDF为等腰三角形，则∠A的度数为．【题型二利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度】1(2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试)如图，将△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A B C ，此点A在边B C上，若BC=5,AC=3，则AB 的长为()A.5B.4C.3D.2【变式训练】1(2023春·四川达州·八年级校考期中)如图，把△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE，若∠ACB =90°，∠A=30°，AB=10，AC=8，则AD的长为()A.2B.3C.4D.52(2023春·陕西汉中·八年级统考期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AC=22,DE=1，则线段BD的长为．3(2023春·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中)如图．Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A BC ，若点C 在AB上，则AA 的长为．4(2023·山西运城·校联考模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D为AC的中点，点E是AB边上的一点，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°，得到DF，连接AF，EF，若BE= 22，则AF的长为．5(2023·河南周口·统考一模)如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，D，E分别为边AB和AC的中点，现将△ADE绕点A自由旋转，如图2，设直线BD与CE相交于点P，当AE⊥EC时，线段PC 的长为．6(2023春·陕西渭南·八年级统考阶段练习)如图，在△ABC中，∠B=60°，AB=3，将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在边BC上，求BD的长．【题型三利用旋转计算面积】1(2023秋·湖南永州·九年级校考开学考试)如图，正方形ABCD和正方形EFGO的边长都是1，正方形EFGO绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是()A.14B.12C.13D.不能确定【变式训练】1(2023春·山东青岛·八年级统考期中)将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB C ，则图中阴影部分的面积是( )cm2．A.12.5B.2536C.2533D.不能确定2(2023秋·四川德阳·九年级统考期末)如图，边长为定值的正方形ABCD的中心与正方形EFGH的顶点E重合，且与边AB、BC相交于M、N，图中阴影部分的面积记为S，两条线段MB、BN的长度之和记为l，将正方形EFGH绕点E逆时针旋转适当角度，则有()A.S变化，l不变B.S不变，l变化C.S变化，l变化D.S与l均不变3(2023春·广东清远·八年级校考期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将△ABC绕点A逆时针方向旋转60°到△ABC 的位置，则图中阴影部分的面积是．4(2023春·江苏宿迁·八年级校考阶段练习)马老师在带领学生学习《正方形的性质与判定》这一课时，给出如下问题：如图①，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形A B C O与正方形ABCD的边长相等．在正方形A B C O绕点O旋转的过程中，OA 与AB相交于点M，OC 与BC相交于点N，探究两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系．(1)小亮第一个举手回答“两个正方形重叠部分的面积是正方形ABCD面积的”；请说明理由．(2)马老师鼓励同学们编道拓展题，小颖编了这样一道题：如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD =∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，求四边形ABCD的面积．请你帮小颖解答这道题．5(2023春·广东深圳·八年级统考期末)【问题背景】如图1，在▱ABCD中，AB⊥DB．将△ABD绕点B逆时针旋转至△FBE，记旋转角∠ABF=α0°<α≤180°，当线段FB与DB不共线时，记△ABE的面积为S1，△FBD的面积为S2．【特例分析】如图2，当EF恰好过点A，且点F，B，C在同一条直线上时．(1)α=°；(2)若AD=43，则S1=，S2=；【推广探究】某数学兴趣小组经过交流讨论，猜想：在旋转过程中，S1与S2之间存在一定的等量关系．再经过独立思考，获得了如下一些解决思路：思路1：如图1，过点A，E分别作直线平行于BE，AB，两直线交于点M，连接BM，可证一组三角形全等，再根据平行四边形的相关性质解决问题；思路2：如图2，过点E作EH⊥AB于点H，过点D作DG⊥FB，交FB的延长线于点G，可证一组三角形全等，再根据旋转的相关性质解决问题；⋯⋯(3)如图3，请你根据以上思路，并结合你的想法，探究S1与S2之间的等量关系为，并说明理由．【拓展应用】在旋转过程中，当S1+S2为▱ABCD面积的12时，α的值为解题技巧专题：巧用旋转进行计算之三大题型【考点导航】目录【典型例题】【题型一利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度】【题型二利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度】【题型三利用旋转计算面积】【典型例题】【题型一利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度】1(2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中)如图，在△ABC中，BC<BA，将△BCA以点B为中心逆时针旋转得到△BED，点E在边CA上，ED交BA于点F，若∠FEA=40°，则∠DBF=()A.40°B.50°C.60°D.70°【答案】A【分析】根据旋转的性质可得∠A=∠D，由对顶角相等可得∠BFD=∠EFA，根据三角形的外角性质可得∠DBF=∠AEF，即可求解．【详解】解：∵将△BCA以点B为中心逆时针旋转得到△BED，∴∠A=∠D，∵∠BFD=∠EFA，∴∠BFE=∠A+∠AEF=∠D+∠DBF∵∠FEA=40°，∴∠DBF=∠AEF=40°，故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．【变式训练】1(2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第四十三中学校考期中)如图，在△ABC中，∠B=42°，将△ABC 绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点D恰好落在BC的延长线上，则旋转角的度数()A.86°B.96°C.106°D.116°【答案】B【分析】由旋转的性质可知AB=AD，可算出∠ADB=42°，就可以算出旋转角．【详解】由旋转的性质可知：AB=AD，∠BAD是旋转角，∵AB=AD，∴∠ADB=∠B=42°，∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=96°，故选：B．【点睛】本题考查旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，找到旋转的对应边、对应角是解决问题的关键．2(2023春·河南新乡·七年级统考期末)如图，在△ABC中，∠BAC=104°，将△ABC绕点A逆时针旋转94°得到△ADE，点B的对应点为点D，若点B，C，D恰好在同一条直线上，则∠E的度数为()A.25°B.30°C.33°D.40°【答案】C【分析】由旋转的性质可得∠BAD=94°，AB=AD，由等腰三角形的性质可得∠B=∠ADB=43°，即可求解．【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转94°得到△ADE，∴∠BAD=94°，AB=AD，∴∠B=∠ADB=43°，∵∠BAC=104°，∴∠C=180°-104°-43°=33°，故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．3(2023·浙江温州·校联考三模)如图，在△ABC中，∠BAC=50°，将△ABC绕点A逆时针旋转得△ADE，使点D恰好落在AC边上，连结CE，则∠ACE的度数为()A.45°B.55°C.65°D.75°【答案】C【分析】由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，对应角相等，得出等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求解．【详解】解：由旋转的性质可知，∠CAE=∠BAC=50°，AC=AE，∴∠ACE=∠AEC，在△ACE中，∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，∴50°+2∠ACE=180°，解得：∠ACE=65°，故选：C．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，找出旋转角和旋转前后的对应边得出等腰三角形是解答此题的关键．4(2023春·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考期中)如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB C 的位置，使得CC ∥AB，划∠BAB 的度数是()A.35°B.40°C.50°D.70°【答案】B【分析】根据平行线的性质，结合旋转性质，由等腰三角形性质及三角形内角和定理求解即可得到答案．【详解】解：∵CC ∥AB，∠CAB=70°，∴∠C CA=∠CAB=70°，∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB C 的位置，∴∠C AB =∠CAB=70°，AC =AC，∴∠AC C=∠C CA=70°，∴∠C AC=180°-70°-70°=40°，∵∠BAB =∠CAB-CAB ，∠CAC =∠C AB -CAB ，∴∠BAB =∠C AC=40°，即旋转角的度数是40°，故选：B．【点睛】本题考查旋转性质求角度，涉及平行线的性质、旋转性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理，熟练掌握旋转性质，数形结合，是解决问题的关键．5(2023春·江苏连云港·八年级校考阶段练习)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为()A.60°B.70°C.75°D.85°【答案】D【分析】根据旋转的性质得出∠C=∠E=70°，∠BAC=∠DAE，根据三角形内角和定理可得∠CAF=20°，进而即可求解．【详解】解：如图所示，设AD,BC交于点F，∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，∴∠C=∠E=70°，∠BAC=∠DAE，∵AD⊥BC，∴∠AFC=90°，∴∠CAF=90°-∠C=90°-70°=20°，∴∠DAE=∠CAF+∠EAC=20°+65°=85°，∴∠BAC=∠DAE=85°．故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．6(2023春·江苏盐城·八年级校考阶段练习)如图，∠AOB=90°，∠B=20°，△A OB 可以看作是△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的．若点A 在AB上，则旋转角α的度数是.【答案】40°/40度【分析】根据旋转的性质得到AO=A O，根据等边对等角得到∠A=70°=∠OA A，再利用三角形内角和定理计算即可．【详解】解：△A OB 可以看作是△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，点A 在AB上，∴AO=A O，∵∠B=20°，∠AOB=90°，∴∠A=70°=∠OA A，∴∠AOA =180°-2×70°=40°，即旋转角α的度数是40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，关键是得出∠A=70°=∠OA A，题目比较典型，难度不大．7(2023春·上海嘉定·七年级校考期末)已知△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转得△CDE，使点B恰好落在边AB上点D处，边DE交边AC于点F(如图)，如果△CDF为等腰三角形，则∠A的度数为．【答案】36°或180°7【分析】如图，设∠B=x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠A=180°-2x，再利用旋转的性质得CB=CD，∠2=∠B=x，则∠1=∠B=x，利用平角定理得∠5=180°-2x，利用三角形外角性质∠3=360°-4x得，讨论：当CD=CF时，∠2=∠3=x，则x=360°-4x；当CD=DF时，∠4=∠3，利用∠2+∠3+∠4=180°得到x+2360°-4x=180°；当CF=DF时，∠2=∠4=x，利用∠2+∠3+∠4= 180°得到x+x+360°-2x=180°，然后分别解关于x的方程，然后计算180°-2x即可得到∠A的度数．【详解】解：如图，设∠B=x，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=x∴∠A=180°-2x，∵△ABC绕点C旋转得△CDE，使点B恰好落在边AB上点D处，∴CB=CD，∠2=∠B=x，∴∠1=∠B=x，∴∠5=180°-2x，∠3=∠A+∠5=360°-4x，当CD=CF时，△CDF为等腰三角形，即∠2=∠3=x，则x=360°-4x，解得x=72°，此时∠A=180°-2x =36°；当CD=DF时，△CDF为等腰三角形，即∠4=∠3，而∠2+∠3+∠4=180°，则x+2360°-4x=180°，解得x=540°7，此时∠A=180°-2x=180°7，当CF=DF时，△CDF为等腰三角形，即∠2=∠4=x，而∠2+∠3+∠4=180°，则x+x+360°-2x=180°，无解，故舍去，综上所述，△CDF为等腰三角形时∠A的度数为36°或180°7，故答案为36°或180°7．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了三角形内角和、等腰三角形的性质和分类讨论思想．【题型二利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度】1(2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试)如图，将△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A B C ，此点A在边B C上，若BC=5,AC=3，则AB 的长为()A.5B.4C.3D.2【答案】D【分析】根据图形旋转的性质可得CB =CB=5，即可求解．【详解】解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A B C ，此点A在边B C上，∴CB =CB=5，∴AB =CB -CA=5-3=2．故选：D．【点睛】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键．【变式训练】1(2023春·四川达州·八年级校考期中)如图，把△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE，若∠ACB =90°，∠A=30°，AB=10，AC=8，则AD的长为()A.2B.3C.4D.5【答案】A【分析】利用勾股定理求得BC=6，再根据旋转的性质可得CD=CB=6，即可求解．【详解】解；∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，∴BC=102-82=6，∵把△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE，∴CD=CB=6，∴AD=AC-CD=8-6=2，故选：A．【点睛】本题考查勾股定理和旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．2(2023春·陕西汉中·八年级统考期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AC=22,DE=1，则线段BD的长为．【答案】32【分析】先由旋转的性质得到AD=AB，DE=BC=1，AE=AC=22，∠DAB=90°，然后由∠ACB= 90°计算出AB的长度，最后由勾股定理算出线段BD的长．【详解】解：由旋转得，AD=AB，DE=BC=1，AE=AC=22，∠DAB=90°，∵∠ACB=90°,∴AB=AC2+BC2=222+12=3，∴AD=AB=3，∵∠DAB=90°，∴BD=AB2+AD2=32+32=32，故答案为：32．【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理，熟练应用“旋转过程中对应线段相等”是解题的关键．3(2023春·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中)如图．Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A BC ，若点C 在AB上，则AA 的长为．【答案】25【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再利用旋转的性质可得AC=A C =4，BC=BC =3，∠C=∠BC A =90°，从而求出的长，然后在Rt△A C A中，利用勾股定理进行计算即可解答．【详解】解：∵∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB=AC2+BC2=42+32=5，由旋转得：AC=A C =4，BC=BC =3，∠C=∠BC A =90°，∴AC =AB-BC =5-3=2，∠AC A =180°-∠BC A =90°，∴AA =C A2+A C 2=22+42=25，故答案为：25．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．4(2023·山西运城·校联考模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D为AC的中点，点E是AB边上的一点，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°，得到DF，连接AF，EF，若BE= 22，则AF的长为．【答案】2【分析】由等腰直角三角形的性质可求AD=DH，由旋转的性质可得DE=DF，∠EDF=90°=∠ADH，由“SAS”可证△ADF≌△HDE，可得AF=HE=2．【详解】解：如图，取AB的中点H，连接CH，DH，∵∠C=90°，AC=BC=6，H是AB的中点，∴AB=62，AH=BH=32=CH，CH⊥AB，又∵点D是AC的中点，∴AD =CD =DH ，AD ⊥DH ，∵BE =22，∴EH =2，∵将线段DE 绕点D 顺时针旋转90°，∴DE =DF ，∠EDF =90°=∠ADH ，∴∠ADF =∠EDH ，∴△ADF ≌△HDE SAS ，∴AF =HE =2，故答案为：2．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．5(2023·河南周口·统考一模)如图1，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC =2，D ，E 分别为边AB 和AC 的中点，现将△ADE 绕点A 自由旋转，如图2，设直线BD 与CE 相交于点P ，当AE ⊥EC 时，线段PC 的长为．【答案】3-1或3+1【分析】由△ADE 绕点A 自由旋转可知有以下两种情况：①当点E 在AC 的右侧时，AE ⊥CE ，先证△ABD 和△ACE 全等，进而可证四边形AEPD 为正方形，然后求出PE =1，CE =3，进而可得PC 的长；②当点E 在AC 的右侧时，AE ⊥CE ，同理①证△ABD 和△ACE 全等，四边形AEPD 为正方形，进而得PE =1，CE =3，据此可求出PC 的长，综上所述即可得出答案．【详解】解：∵△ADE 绕点A 自由旋转，∴有以下两种情况：①当点E 在AC 的右侧时，AE ⊥CE ，如图：由旋转的性质得：∠DAE =∠BAC =90°，∴∠BAD +∠DAC =∠DAC +∠CAE =90°，∴∠BAD =∠CAE ，∵AB =AC =2，D ，E 分别为边AB 和AC 的中点，∴AD =AE =1，在△ABD 和△ACE 中，AB =AC∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△ABD ≌△ACE (SAS )，∴∠ADB =∠AEC =90°，∴∠ADP =∠DAE =∠AEC =90°，∴四边形AEPD 为矩形，又AD =AE =1，∴矩形AEPD 为正方形，∴PE =AE =1，在Rt△AEC中，AE=1，AC=2，∠AEC=90°，由勾股定理得：CE=AC2-AE2=3，∴PC=CE-PE=3-1；②当点E在AC的右侧时，AE⊥CE，如图：同理可证：△ABD≌△ACE(SAS)，四边形AEPD为正方形，∴BD=CE，PE=AE=1，在Rt△ABD中，AD=1，AB=2，∠ADB=90°，由勾股定理的：BD=AB2-AD2=3，∴CE=BD=3，∴PC=CE+PE=3+1．综上所述：当AE⊥EC时，线段PC的长为3-1或3+1．答案为：3-1或3+1．【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换及其性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握图形的旋转变换，全等三角形的判定、正方形的判定方法，灵活运用勾股定理进行计算，难点是根据题意进行分类讨论并画出示意图，漏解是易错点之一．6(2023春·陕西渭南·八年级统考阶段练习)如图，在△ABC中，∠B=60°，AB=3，将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在边BC上，求BD的长．【答案】3【分析】根据旋转的性质得出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．【详解】∵∠B=60°，AB=3，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，∴AB=AD，∠B=60°，AB=3，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=3，【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质和等边三角形的判定是解题的关键．【题型三利用旋转计算面积】1(2023秋·湖南永州·九年级校考开学考试)如图，正方形ABCD和正方形EFGO的边长都是1，正方形EFGO绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是()A.14B.12C.13D.不能确定【答案】A【分析】根据正方形的性质得出OB=OC，∠OBA=∠OCB=45°，∠BOC=∠EOG=90°，推出∠BON=∠MOC，证出△OBN≌△OCM，即可求出两个正方形重叠部分的面积．【详解】解：∵四边形ABCD和四边形OEFG都是正方形，∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=45°，∠BOC=∠EOG=90°，∴∠BON+∠BOM=∠MOC+∠BOM=90°∴∠BON=∠MOC．在△OBN与△OCM中，∠OBN=∠OCM OB=OC∠BON=∠COM，∴△OBN≌△OCM ASA，∴S△OBN=S△OCM，∴S四边形OMBN =S△OBC=14S正方形ABCD=14×1×1=14．故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，能推出四边形OMBN 的面积等于三角形BOC的面积是解此题的关键．【变式训练】1(2023春·山东青岛·八年级统考期中)将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB C ，则图中阴影部分的面积是( )cm2．A.12.5B.2536C.2533D.不能确定【答案】B【分析】设AB 与B C 交于D 点，根据旋转角∠CAC =15°，等腰直角△ABC 的一锐角∠CAB =45°，可求∠C AD ，旋转前后对应边相等，对应角相等，AC =AC =5cm ，∠C =∠C =90°，解直角△AC D ，可求阴影部分面积．【详解】解：设AB 与B C 交于D 点，根据旋转性质得∠CAC =15°，而∠CAB =45°，∴∠C AD =∠CAB -∠CAC =30°，又∵AC =AC =5cm ，∠C =∠C =90°，∴设C D =x ，则AD =2x ，∴AD 2=AC 2+C D 2，即2x 2=52+x 2，∴解得x =533，∴C D =533cm ，∴阴影部分面积为：12×5×533=2536cm 2 .故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．关键是通过旋转的性质判断阴影部分三角形的特点，计算三角形的面积．2(2023秋·四川德阳·九年级统考期末)如图，边长为定值的正方形ABCD 的中心与正方形EFGH 的顶点E 重合，且与边AB 、BC 相交于M 、N ，图中阴影部分的面积记为S ，两条线段MB 、BN 的长度之和记为l ，将正方形EFGH 绕点E 逆时针旋转适当角度，则有()A.S 变化，l 不变B.S 不变，l 变化C.S 变化，l 变化D.S 与l 均不变【答案】D 【分析】如图，连接EB ，EC ．证明△EBM ≌△ECN ASA ，可得结论．【详解】解：如图，连接EB ，EC ．∵四边形ABCD 和四边形EFGH 均为正方形，∴EB =EC ，∠EBM =∠ECN =45°，∠MEN =∠BEC =90°，∴∠BEN +∠BEM =∠BEN +∠CEN =90°，∴∠BEM =∠CEN ，在△EBM 和△ECN 中，∠EBM =∠ECNEB =EC ∠BEM =∠CEN，∴△EBM ≌△ECN ASA ，∴BM =CN ，∴S 阴=S 四边形EMBN =S △EBC =14S 正方形ABCD=定值，l =MB +BN =CN +BN =BC =定值，故选：D ．【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3(2023春·广东清远·八年级校考期中)如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC =2，将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转60°到△ABC 的位置，则图中阴影部分的面积是．【答案】3【分析】过点B 作B D ⊥AB 于点D ，根据旋转的性质可得到△ABB 是等边三角形，S △ABC =S △AB C ，进而得到阴影部分的面积等于S △ABB ，再由勾股定理求出AB ，继而得到S △ABB，即可求解．【详解】解：如图，过点B 作B D ⊥AB 于点D ，∵将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转60°到△ABC 的位置，∴AB =AB ,∠BAB =60°，△ABC ≌△AB C ，∴△ABB 是等边三角形，S △ABC =S △AB C，∴AB =BB ，阴影部分的面积等于S △ABB，∵AC =BC =2，∠C =90°，∴AB =AC 2+BC 2=2，∴BB =2,BD =1，∴B D =BB 2-BD 2=3，∴S △ABB=12AB ×B D =12×2×3=3，即阴影部分的面积是3．故答案为：3【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．4(2023春·江苏宿迁·八年级校考阶段练习)马老师在带领学生学习《正方形的性质与判定》这一课时，给出如下问题：如图①，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，正方形A B C O 与正方形ABCD 的边长相等．在正方形A B C O 绕点O 旋转的过程中，OA 与AB 相交于点M ，OC 与BC 相交于点N ，探究两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD 的面积有什么关系．(1)小亮第一个举手回答“两个正方形重叠部分的面积是正方形ABCD 面积的”；请说明理由．(2)马老师鼓励同学们编道拓展题，小颖编了这样一道题：如图②，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =∠BCD =90°，连接AC ．若AC =6，求四边形ABCD 的面积．请你帮小颖解答这道题．【答案】(1)14，见解析(2)18，见解析【分析】(1)只需要证明△MOB ≌△NOC 得到S △MOB =S △NOC ，即可求解．(2)过A 作AE ⊥AC ，交CD 的延长线于E ，证明△EAD ≌△CAB 得到S △ABC =S △ADE ，AE =AC =6，则S △AEC =12×6×6=18S 四边形ABCD =S △ACD +S △ABC =S △ACD +S △ADE =S △EAC =12AE ⋅AC =18．【详解】(1)解：∵四边形ABCD 是正方形，四边形OA B C 是正方形，∴AC ⊥BD ，OB =OC ，∠OBM =∠OCN =45°，∠A OC =90°，∴∠BOC =∠A OC =90°，∴∠BOM =∠CON ，∴△BOM ≌△CON ASA ，∴S △BOM =S △CON ，∴S 四边形OMBN =S △OBC =14S 正方形ABCD ．答案为：14；(2)过A 作AE ⊥AC ，交CD 的延长线于E ，∵AE ⊥AC ，∴∠EAC =90°，∵∠DAB =90°，∴∠DAE =∠BAC ，∵∠BAD =∠BCD =90°，∴∠ADC +∠B =180°，∵∠EDA+∠ADC =180°，∴∠EDA =∠B ，∵AD =AB ，在△ABC 与△ADE 中，∠EAD =∠CABAD =AB ∠EDA =∠B，∴△ABC ≌△ADE ASA ，∴AC =AE ，∵AC =6，∴AE =6，∴S △AEC =12×6×6=18，∴S 四边形ABCD =18．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，四边形内角和，熟知全等三角形的性质与判定是解题的关键．5(2023春·广东深圳·八年级统考期末)【问题背景】如图1，在▱ABCD 中，AB ⊥DB ．将△ABD 绕点B 逆时针旋转至△FBE ，记旋转角∠ABF =α0°<α≤180° ，当线段FB 与DB 不共线时，记△ABE 的面积为S 1，△FBD 的面积为S 2．【特例分析】如图2，当EF 恰好过点A ，且点F ，B ，C 在同一条直线上时．(1)α=°；(2)若AD =43，则S 1=，S 2=；【推广探究】某数学兴趣小组经过交流讨论，猜想：在旋转过程中，S 1与S 2之间存在一定的等量关系．再经过独立思考，获得了如下一些解决思路：思路1：如图1，过点A ，E 分别作直线平行于BE ，AB ，两直线交于点M ，连接BM ，可证一组三角形全等，再根据平行四边形的相关性质解决问题；思路2：如图2，过点E 作EH ⊥AB 于点H ，过点D 作DG ⊥FB ，交FB 的延长线于点G ，可证一组三角形全等，再根据旋转的相关性质解决问题；⋯⋯(3)如图3，请你根据以上思路，并结合你的想法，探究S 1与S 2之间的等量关系为，并说明理由．【拓展应用】在旋转过程中，当S 1+S 2为▱ABCD 面积的12时，α的值为【答案】(1)60；(2)33；33；(3)S 1=S 2，理由见解析；拓展应用：60°或120°【分析】(1)由旋转的性质和平行四边形的性质，等角对等边，可得△ABF 是等边三角形，即可求解；(2)过点F 作FM ⊥BD 交DB 延长线于点M ，设AD ,BE 交于点N ，通过证明△ABN ≌△FBM AAS ，进而得出s 1=s 2，再证明AE =AF ，可得S △ABE =12S △EFB ，仅为求解即可；(3)分别根据思路1和2进行推理证明即可；拓展应用：先根据面积之间的关系得出BD=2DG，继而得出∠DBG=30°=∠ABE，分别在图3和图2中进行求解即可．【详解】(1)由旋转可得，∠F=∠BAD,BA=BF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ABF=∠BAD，∴∠ABF=∠F，∴BA=AF，∴BA=AF=BF，∴△ABF是等边三角形，∴∠ABF=α=60°，故答案为：60；(2)如图，过点F作FM⊥BD交DB延长线于点M，设AD,BE交于点N，∵AD∥BC，∴∠ANE=∠ANB=∠EBF=90°=∠ABM，∠EAN=∠AFB，∴∠MBF=∠ABN，∵BF=BA，∴△ABN≌△FBM AAS，∴AN=FM，∵BD=BE，∴S1=S2，∵△ABF是等边三角形，∴∠AFB=60°=∠EAN,AB=AF，∴∠E=30°=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=AF，S△EFB，∴S△ABE=12∵AD=43，∴AB=23=BF,BD=6=BE，×6×23=63，∴S△EFB=12∴S△ABE=33，∴s1=s2=33，故答案为：33,33；(3)解：S1=S2，理由如下：思路1：如图，过点A，E分别作直线平行于BE，AB，两直线交于点M，连接BM，∵AM∥BE,ME∥AB，∴四边形ABEM为平行四边形，∴AM=BE，∠MAB+∠ABE=180°，∵旋转，∴AB=BF，BD=BE，∠ABD=∠EBF=90°，∴BD =AM ，∵∠ABD +∠ABE +∠EBF +∠FBD =360°，∴∠ABE +∠DBF =180°，∴∠MAB =∠DBF ，在△MAB 和△DBF 中，AM =BD∠MAB =∠DBF AB =BF，∴△MAB ≌△DBF ，∴S △MAB =S 2，∵ME ∥AB ，∴S △MAB =S 1，∴S 1=S 2.思路2：如图，过点E 作EH ⊥AB 交AB 延长线于点H ，过点D 作DG ⊥BF 交BF 延长线于点G ，∵EH ⊥AB ，DG ⊥BF ，∴∠H =∠G =90°，∵旋转，∴BD =BE ，AB =BF ，∠DBA =∠EBF =90°，∴∠EBG =90°，∴∠EBG =∠ABD ，∴∠EBG -∠ABG =∠ABD -∠ABG ，即∠EBH =∠GBD ，在△EBH 和△DBG 中，∠H =∠G∠EBH =∠GBD BD =BE，∴△EBH ≌△DBG ，∴EH =DG ，∴S 1=12AB ⋅EH =12BF ⋅DG =S 2；拓展应用：∵S 1=S 2，∴当S 1+S 2为▱ABCD 面积的12时，S 1=S 2=14S 平行四边形ABCD ，由(3)思路2得，S 1=12⋅AB ⋅EH ,S 平行四边形ABCD =AB ⋅BD ,EH =DG ，∴12⋅AB ⋅EH =14AB ⋅BD ，∴BD =2EH ，即BD =2DG ，∴∠DBG =30°=∠ABE ，如图3，∠ABF =120°；如图2,∠DBE =∠ABF=90°-30°=60°，综上，α的值为60°或120°，故答案为：60°或120°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．。
人教版初中九年级数学上册第二十三章《旋转》经典题(含答案解析)
一、选择题1．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．A解析：A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．2．以原点为中心，将点P（3，4）旋转90°，得到的点Q所在的象限为（）A．第二象限B．第三象限C．第四象限D．第二或第四象限D 解析：D【分析】根据旋转的性质，以原点为中心，将点P（3，4）旋转90°，分两种情况讨论即可得到点Q 所在的象限．【详解】Q，如图，点P（3，4）按逆时针方向旋转90°，得到点1Q，按顺时针方向旋转90°，得到点2得点Q所在的象限为第二、四象限．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．注意分类讨论．3．以下四幅图案，其中图案是中心对称图形的是（）A．B．C．D．A解析：A【分析】根据中心对称图形的定义逐一分析即可．【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：A．【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．4．如图，△ABC中，AB=6，AC=4，以BC为对角线作正方形BDCF，连接AD，则AD长不可能是（）A．2 B．4 C．6 D．8D解析：D【分析】将△ABD绕点D顺时针旋转90º得△ECD，AB=EC，DE=AD，等腰Rt△ADE中2AD，在△ACE中由三边关系得，CE-AC<AE<CE+AC,即2<2AD<10求出AD的范围即可．【详解】将△ABD绕点D顺时针旋转90º得△ECD，AB=EC=6，DE=AD，在Rt△ADE中由勾股定理得2AD，在△ACE中由三边关系得，CE-AC<AE<CE+AC,即2<2AD<10，<，2<AD<52=508【点睛】本题考查AD 的范围问题，掌握正方形的性质，和旋转性质，由条件分散，将已知与未知化归一个三角形中，利用旋转构造等腰直角三角形△ACE 实现转化，利用三边关系确定AE 的范围是解题关键．5．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，1BC =，A B C ''由ABC 绕点C 顺时针旋转得到，其中点A '与点A 、点B '与点B 是对应点，连接AB '，且点A 、B '、A '在同一条直线上，则AA '的长为（ ）A ．3B ．3C ．4D ．45解析：A【分析】 先利用互余计算出∠BAC ＝30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB ＝2BC ＝2，接着根据旋转的性质得A 'B '＝AB ＝2，B 'C ＝BC ＝1，A 'C ＝AC ，∠A '＝∠BAC ＝30°，∠A 'B ' C ＝∠B ＝60°，于是可判断CA A '为等腰三角形，所以∠CA A '＝∠A '＝30°，再利用三角形外角性质计算出∠B 'CA ＝30°，可得B 'A ＝B 'C ＝1，然后利用A A '＝A B '+A 'B '进行计算．【详解】解：∵∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，∴∠BAC ＝30°，∴AB ＝2BC ＝2×1＝2，∵ABC绕点C顺时针旋转得到A'B'C，∴A'B'＝AB＝2，B'C＝BC＝1，A'C＝AC，∠A'＝∠BAC＝30°，∠A'B'C＝∠B＝60°，∴CA A'为等腰三角形，∴∠CA A'＝∠A'＝30°，∵A、B'、A'在同一条直线上，∴∠A'B'C＝∠B'AC+∠B'CA，∴∠B'CA＝60°﹣30°＝30°，∴B'A＝B'C＝1，∴A A'＝A B'+A'B'＝2+1＝3．故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．6．若点P(－m，m－3)关于原点对称的点是第二象限内的点，则m满足( )A．m＞3 B．0＜m≤3C．m＜0 D．m＜0或m＞3C 解析：C【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（-m，m-3）关于原点O的对称点是P′（m，3-m），再由第二象限内的点横坐标为负数，纵坐标为正数，可得m的取值范围．【详解】解：点P（-m，m-3）关于原点O的对称点是P′（m，3-m），∵P′（m，3-m），在第二象限，∴30 mm<⎧⎨->⎩，∴m＜0．故选：C．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，注意掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．7．如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的是（）A．不是平行四边形B．不是中心对称图形C．一定是中心对称图形D．当AC＝BD时，它为矩形C 解析：C【分析】先连接AC，BD，根据EF=HG=12AC，EH=FG=12BD，可得四边形EFGH是平行四边形，当AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形；当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，据此进行判断即可．【详解】连接AC，BD，如图：∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF=HG=12AC，EH=FG=12BD，∴四边形EFGH是平行四边形，故选项A错误；∴四边形EFGH一定是中心对称图形，故选项B错误；当AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形，当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，故选项D错误；∴四边形EFGH可能是轴对称图形，∴四边形EFGH是平行四边形，四边形EFGH一定是中心对称图形．故选：C．【点睛】本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：平行四边形是中心对称图形．解决问题的关键是掌握三角形中位线定理．8．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（）．A．60 °B．75°C．85°D．90°C解析：C【解析】试题分析：根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°．如图，设AD⊥BC于点F．则∠AFB=90°，∴在Rt△ABF中，∠B=90°-∠BAD=25°，∴在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-25°-70°=85°，即∠BAC的度数为85°．故选C．考点: 旋转的性质.9．如图，在△ABC中，AB＝2.2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（）A．1.5 B．1.4 C．1.3 D．1.2B解析：B【分析】运用旋转变换的性质得到AD＝AB，进而得到△ABD为等边三角形，求出BD即可解决问题．【详解】解：如图，由题意得：AD＝AB，且∠B＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AB＝2，∴CD＝3.6﹣2.2＝1.4．故选：B．【点睛】该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定等几何知识点及其应用问题；牢固掌握旋转变换的性质是解题的关键．10．如图,已知△ABC与△CDA关于点O成中心对称,过点O任作直线EF分别交AD,BC于点E,F,则下则结论:①点E和点F,点B和点D是关于中心O的对称点;②直线BD必经过点O;③四边形ABCD是中心对称图形;④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等;⑤△AOE 与△COF成中心对称.其中正确的个数为 ( )A．2 B．3 C．4 D．5D解析：D【分析】由于△ABC与△CDA关于点O对称，那么可得到AB=CD、AD=BC，即四边形ABCD是平行四边形，由于平行四边形是中心对称图形，且对称中心是对角线交点，可根据上述特点对各结论进行判断．【详解】△ABC与△CDA关于点O对称，则AB=CD、AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形，因此点O就是▱ABCD的对称中心，则有：（1）点E和点F；B和D是关于中心O的对称点，正确；（2）直线BD必经过点O，正确；（3）四边形ABCD是中心对称图形，正确；（4）四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等，正确；（5）△AOE与△COF成中心对称，正确；其中正确的个数为5个，故选D．【点睛】熟练掌握平行四边形的性质和中心对称图形的性质是解决此题的关键．二、填空题11．如图．面积为8的正方形ABCD的顶点A在数轴上，点A表示实数2-，正方形ABCD绕点A旋转时，顶点B的运动轨迹与数轴的交点表示的数为______________或﹣【分析】先由正方形的面积公式求出AB=再根据点A表示实数即可求出顶点B的运动轨迹与数轴的交点表示的数【详解】解：∵正方形ABCD的面积为8∴AB=∵点A表示实数∴顶点B 的运动轨迹与数轴的交点表示2或﹣32【分析】先由正方形的面积公式求出AB=22A表示实数2-，即可求出顶点B的运动轨迹与数轴的交点表示的数．【详解】解：∵正方形ABCD 的面积为8，∴AB=22， ∵点A 表示实数2-，∴顶点B 的运动轨迹与数轴的交点表示的数为2-+22=2或2-﹣22=﹣32， 故答案为：2或﹣32．【点睛】本题考查了正方形的面积、实数和数轴、旋转的性质、算术平方根、二次根式的加减运算，理解实数与数轴的关系是解答的关键．12．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 在边CD 上．以点A 为中心，把ADE 顺时针旋转90︒至ABF 的位置，若2DE =，则FC =________．8【分析】先根据旋转的性质和正方形的性质证明CBF三点在一条直线上又知BF ＝DE ＝2可得FC 的长【详解】∵四边形ABCD 是正方形∴∠ABC ＝∠D ＝90°AD ＝AB 由旋转得：∠ABF ＝∠D ＝90°BF 解析：8【分析】先根据旋转的性质和正方形的性质证明C 、B 、F 三点在一条直线上，又知BF ＝DE ＝2，可得FC 的长．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝∠D ＝90°，AD ＝AB ，由旋转得：∠ABF ＝∠D ＝90°，BF ＝DE ＝2，∴∠ABF ＋∠ABC ＝180°，∴C 、B 、F 三点在一条直线上，∴CF ＝BC ＋BF ＝6＋2＝8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、旋转变换的性质，难度适中．由旋转的性质得出BF ＝DE 是解答本题的关键．13．如图，在ABC 中，4AB =， 5.8BC =，60B ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为________．【分析】先根据旋转的性质可得再根据等边三角形的判定与性质可得然后根据线段的和差即可得【详解】由旋转的性质得：是等边三角形故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质等边三角形的判定与性质等知识点熟练掌握旋解析：1.8【分析】先根据旋转的性质可得AB AD =，再根据等边三角形的判定与性质可得4BD AB ==，然后根据线段的和差即可得．【详解】由旋转的性质得：4AB AD ==，60B ∠=︒，ABD ∴是等边三角形，4BD AB ∴==，5.8BC =，5.84 1.8CD BC BD ∴=-=-=，故答案为：1.8．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．14．在平面直角坐标系中，点()4,6P -与点()4,1Q m -+关于原点对称，那么m =______．5【分析】先根据关于原点对称的点坐标规律可得一个关于m 的一元一次方程再解方程即可得【详解】关于原点对称的点坐标规律：横纵坐标均互为相反数则解得故答案为：5【点睛】本题考查了关于原点对称的点坐标规律熟解析：5【分析】先根据关于原点对称的点坐标规律可得一个关于m 的一元一次方程，再解方程即可得．【详解】关于原点对称的点坐标规律：横、纵坐标均互为相反数，则610m -++=，解得5m =，故答案为：5．【点睛】本题考查了关于原点对称的点坐标规律，熟练掌握关于原点对称的点坐标规律是解题关键．15．如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值和最大值的和为_____．﹣1【分析】由轴对称的性质可知AM＝AD故此点M在以A圆心以AD为半径的圆上故此当点AMC在一条直线上时CM有最小值【详解】解：如图所示：连接AM∵四边形ABCD为正方形∴AC＝＝∵点D与点M关于A解析：2﹣1【分析】由轴对称的性质可知AM＝AD，故此点M在以A圆心，以AD为半径的圆上，故此当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．【详解】解：如图所示：连接AM．∵四边形ABCD为正方形，∴AC2222AD CD+=+211∵点D与点M关于AE对称，∴AM＝AD＝1．∴点M在以A为圆心，以AD长为半径的圆上．如图所示，当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．∴CM的最小值＝AC﹣AM′2﹣1，21．【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，正方形的性质，依据旋转的性质确定出点M 运动的轨迹是解题的关键．16．如图，在ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝30°，将ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到11AB C △，连接BC 1，则BC 1的长为__________ ．【分析】先根据旋转的定义和性质可得从而可得再利用勾股定理即可得【详解】由旋转的定义和性质得：在中故答案为：【点睛】本题考查了旋转的定义和性质勾股定理熟练掌握旋转的性质是解题关键 解析：5 【分析】 先根据旋转的定义和性质可得111,60A AC C CAC ==∠=︒，从而可得190BAC ∠=︒，再利用勾股定理即可得．【详解】由旋转的定义和性质得：111,60A AC C CAC ==∠=︒，30BAC ∠=︒，1190AC BAC AC B C ∴∠=+=∠∠︒，在1Rt ABC 中，222211215BC AB AC =+=+=，故答案为：5．【点睛】本题考查了旋转的定义和性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键．17．如图，在△ABC 中，AB ＝6，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A 1BC 1，则阴影部分的面积为________． 9【分析】根据旋转的性质得到△ABC ≌△A1BC1A1B=AB=6所以△A1BA 是等腰三角形依据∠A1BA=30°得到等腰三角形的面积由图形可以知道S 阴影=S △A1BA+S △A1BC1﹣S △ABC=解析：9【分析】根据旋转的性质得到△ABC ≌△A 1BC 1，A 1B=AB=6，所以△A 1BA 是等腰三角形，依据∠A 1BA=30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道 S 阴影=S △A1BA +S △A 1BC 1﹣S △ABC=S △A 1BA ，最终得到阴影部分的面积．【详解】解：∵在△ABC 中，AB=6，将△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转 30°后得到△A1BC1，∴△ABC≌△A1BC1，∴A1B=AB=6，∴△A1BA 是等腰三角形，∠A1BA=30°，∴S△A1BA= 12×6×3=9，又∵S 阴影=S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，S△A1BC1=S△ABC，∴S阴影=S△A1BA=9．故答案为9．【点睛】本题主要考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决此题的关键是运用面积的和差关系解决不规则图形的面积．18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC=32°，斜边AC＝6，将斜边AC绕点A逆时针方向旋转26°到达AD的位置，连接CD，取线段CD的中点N，连接BN，则BN的长为_________．【分析】设M为AC中点连接ANBMMN根据直角三角形斜边中点定理得出MB=MN=同时算出∠BMN=90°最后利用勾股定理算出BN的长【详解】解：设M为AC中点连接ANBMMN由旋转可知：AC=AD=解析：32【分析】设M为AC中点，连接AN，BM，MN，根据直角三角形斜边中点定理得出MB=MN=132AC ，同时算出∠BMN=90°，最后利用勾股定理算出BN的长.【详解】解：设M为AC中点，连接AN，BM，MN，由旋转可知：AC=AD=6，∠CAD=26°，∵∠BAC=32°，∠ABC=90°，∴∠ACB=58°，∵AC=AD，N为CD中点，M为AC中点，∴MB=MC=MN=3，∴∠MBC=∠MCB=58°，∠MCN=∠MNC=（180-26）÷2=77°，∴∠BMC=64°，∠CMN=26°，∴∠BMN=90°，即△BMN为等腰直角三角形，∴BN=22+=.3332故答案为：32.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形内角和，解题的关键是找出AC中点M，构造等腰直角三角形.19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，点D为线段AC上一动点，将线段BD 绕点D逆时针旋转90°，点B的对应点为E，连接AE，则AE长的最小值为_____．【分析】由旋转的性质可知BD＝DE∠C＝90°则容易想到构造一个直角三角形与Rt△BCD全等即过E点作EH⊥AD于点H设CD＝x则可用x表示AE的长从而判断什么时候AE取得最小值【详解】设CD＝x则解析：2【分析】由旋转的性质可知BD＝DE，∠C＝90°，则容易想到构造一个直角三角形与Rt△BCD全等，即过E点作EH⊥AD于点H，设CD＝x，则可用x表示AE的长，从而判断什么时候AE取得最小值．【详解】设CD＝x，则AD＝5﹣x，过点E作EH⊥AD于点H，如图：由旋转的性质可知BD＝DE，∵∠ADE+∠BDC＝90°，∠BDC+∠CBD＝90°，∴∠ADE＝∠CBD，∴△BCD ≌△DHE ，∴EH ＝CD ＝x ，DH ＝BC ＝3．∵AD ＝5﹣x ，∴AH ＝AD ﹣DH ＝5﹣x ﹣3＝2﹣x ，∵在Rt △AEH 中，AE 2＝AH 2+EH 2＝（2﹣x ）2+x 2＝2x 2+4x +4＝2（x ﹣1）2+2，所以当x ＝1时，AE 2取得最小值2，即AE 取得最小值2．故答案是：2．【点睛】考查了全等三角形的性质和判定，解此题的关键灵活其相关的知识点进行推理证明． 20．如图，在正方形ABCD 内部有一点P ，PB =1，PC =2，135BPC ∠=︒，则PA = ____．【分析】将△PBA 沿B 点顺时针旋转90°此时A 与C 点重合P 点旋转到E 点连接PE 易证△BPE 是等腰直角三角形利用勾股定理可求出PE 的长再证明△PCE 是直角三角形利用勾股定理求出CE 的长即可得到PA 的长 解析：6【分析】将△PBA 沿B 点顺时针旋转90°，此时A 与C 点重合，P 点旋转到E 点，连接PE ，易证△BPE 是等腰直角三角形，利用勾股定理可求出PE 的长，再证明△PCE 是直角三角形．利用勾股定理求出CE 的长，即可得到PA 的长．【详解】将△PBA 沿B 点顺时针旋转90°，此时A 与C 点重合，P 点旋转到E 点，连接PE ，∴PB=BE=1，PA=EC ，∠BPE=90°∴△PEB 是等腰直角三角形，∴∠PEB=∠EPB =45°，∴22，∴∠EPC=135°-45°=90°，∴在直角△PEC 中，EC=()2222226PC PE +=+=， ∴PA=EC 6=，故答案为：6．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，解答此题的关键是利用旋转构建直角三角形，由勾股定理求解．三、解答题21．如图，△ABC 的顶点坐标分别为（﹣2，﹣4），B （0，﹣4），C （2，﹣1）． （1）画出△ABC 关于点O 的中心对称图形△A 1B 1C 1，直接写出点C 1的坐标为 ． （2）画出△ABC 绕原点O 逆时针旋转90°的△A 2B 2C 2，直接写出点C 2的坐标为 ． （3）若△ABC 内一点P （m ，n ）绕原点O 逆时针旋转180°的对应点为Q ，则Q 的坐标为 ．解析：（1）图见解析，()2,1-；（2）图见解析，()1,2；（3）(),m n --【分析】（1）分别画出A ，B ，C 的对应点A 1，B 1，C 1即可．（2）分别画出A ，B ，C 的对应点A 2，B 2，C 2即可．（3）根据中心旋转图形的性质解决问题即可．【详解】解：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求，点C 1的坐标为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．（2）如图，△A 2B 2C 2即为所求，点C 2的坐标为（1，2），故答案为：（1，2）．（3）若△ABC 内一点P （m ，n ）绕原点O 逆时针旋转180°的对应点为Q ，则Q 的坐标为（﹣m ，﹣n ）．故答案为：（﹣m ，﹣n ）．【点睛】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．（1）问题发现：如图1，ACB △和DCE 均为等边三角形，当DCE 旋转至点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ．①填空：AEB ∠的度数为______．②线段AD 、BE 之间的数量关系是_______．（2）拓展研究：如图2，ACB △和DCE 均为等腰三角形，且90ACB DCE ∠∠==，点A 、D 、E 在同一直线上，若15AE =，7DE =，求AB 的长度．（3）探究发现：图1中的ACB △和DCE ，在DCE 旋转过程中当点A ，D ，E 不在同一直线上时，设直线AD 与BE 相交于点O ，试在备用图中探索AOE ∠的度数，直接写出结果，并说明理由．解析：（1）①60°；②AD BE =；（2）AB 的长度为17；（3）60°或120°，证明见解析．【分析】（1）由条件易证△ACD ≌△BCE ，从而得到：AD=BE ，∠ADC=∠BEC ．由点A ，D ，E 在同一直线上可求出∠ADC ，从而可以求出∠AEB 的度数．（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB 的度数，证出AD=BE ；由△DCE 为等腰直角三角形及CM 为△DCE 中DE 边上的高可得CM=DM=ME ，从而证到AE=2CH+BE ．（3）由（1）知△ACD ≌△BCE ，得∠CAD=∠CBE ，由∠CAB=∠ABC=60°，可知∠EAB+∠ABE=120°，根据三角形的内角和定理可知∠AOE=60°．【详解】（1）①如图1，∵ACB △和DCE 均为等边三角形，∴CA CB =，CD CE =，60ACB BCE ∠=∠=，∴ACD BCE ∠=∠，在ACD △和BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()?ACD BCE SAS ≌， ∴ADC BEC ∠∠=， ∵DCE 为等边三角形，∴60CDE CED ∠=∠=，∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴120ADC ∠=，∴120BEC ∠=，∴60AEB BEC CED ∠=∠-∠=．故答案为：60°．②∵≌ACD BCE ，∴AD BE =，故答案为：AD BE =．（2）∵ACB △和DCE 均为等腰直角三角形， ∴CA CB =，CD CE =，90ACB DCE ∠∠==，∴ACD BCE ∠=∠，在ACD △和BCE 中，CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ACD BCE SAS △≌△，∴8AD BE AE DE ==-=，ADC BEC ∠∠=，∵DCE 为等腰直角三角形，∴45CDE CED ∠=∠=，∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴135ADC ∠=，∴135BEC ∠=，∴90AEB BEC CED ∠=∠-∠=， ∴2217AB AE BE =+=．（3）如图3，由（1）知≌ACD BCE ，∴CAD CBE ∠=∠，∵60CAB CBA ∠=∠=，∴120OAB OBA ∠+∠=，∴18012060AOE ∠=-=，如图4，同理求得60AOB ∠=，∴120AOE ∠=，∵AOE ∠的度数是60°或120°．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质等知识，得出△ACD ≌△BCE （SAS ）是解本题的关键．23．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D ，E 分别在AB ，AC 上，CE BC =，连结CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90︒后得CF ，连结EF ．（1）补充完成图形；（2）求证：BD EF =．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据题意补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得到∠DCF 为直角，由EF 与CD 平行，得到∠EFC 为直角，利用SAS 得到三角形BDC 与三角形EFC 全等，利用全等三角形的性质即可得证．【详解】解：（1）补全图形，如图所示（2）由旋转的性质得：CD CF =，90DCF ∠=︒，∴90DCE ECF ∠+∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴90DCE BCD ∠+∠=︒，∴BCD ECF ∠=∠，在BDC 和EFC 中=DC FC BCD ECF BC EC =⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠，∴()SAS BDC EFC △≌△∴BD EF =．【点睛】此题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．24．如图，将矩形ABCD 绕点C 旋转得到矩形EFGC ，点E 在AD 上．延长AD 交FG 于点H ．求证：EDC HFE ≅．解析：证明见解析．【分析】先根据矩形的性质可得,90AB CD A B ADC =∠=∠=∠=︒，再根据旋转的性质可得,90,90EF AB F A CEF B =∠=∠=︒∠=∠=︒，从而可得,90CD EF EDC F =∠=∠=︒，然后根据直角三角形的性质、角的和差可得DCE FEH ∠=∠，最后根据三角形全等的判定定理即可得证．【详解】四边形ABCD 是矩形，,90AB CD A B ADC ∴=∠=∠=∠=︒，由旋转的性质得：,90,90EF AB F A CEF B =∠=∠=︒∠=∠=︒，,90CD EF EDC F ∴=∠=∠=︒，又90,90EDC CEF ∠=︒∠=︒，90CED DCE CED FEH ∴∠+∠=∠+∠=︒，DCE FEH ∴∠=∠，在EDC △和HFE 中，EDC F CD EF DCE FEH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()DC A∴≅．E ASHFE【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理等知识点，熟练掌握矩形和旋转的性质是解题关键．25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-1，1）、B（-3，1）、C（-1，4）．（1）画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A1B1C；（2）画出△ABC关于点P（1，0）对称的△A2B2C2．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）分别作出点A、B绕点C顺时针旋转90°后得到的对应点，再顺次连接可得；（2）分别作出点A、B、C关于点P的对称点，再顺次连接可得．【详解】（1）如图，△A1B1C即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求．【点睛】本题考查了作图-旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质．26．在Rt ABC ∆中，,90,,AC BC ACB M N ︒=∠=在直线AB 上，且222MN AM BN =+．（1）如图1，当点,M N 在线段AB 上时，求证：45MCN ︒∠=．（2）如图2，当点M 在BA 的延长线上且点N 在线段AB 上时，上述结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．解析：（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析．【分析】（1）将ACM ∆绕点C 逆时针旋转90︒，得到'BCM ∆，利用旋转的性质和等腰三角形的性质证明'NBM ∆为直角三角形，可证明'MN M N =，利用全等三角形的判定（SSS ）可证明()'CMN CM N SSS ∆≅∆，即可证得1'452MCN MCM ︒∠=∠=； （1）仿照（1）中方法将CMA ∆绕点C 逆时针旋转90︒得到CDB ∆，证明DBN ∆为直角三角形，再证DN=MN ，进而证明()CMN CDN SSS ∆≅∆即可得出结论．【详解】()1如图1，,90AC BC ACB ︒=∠=，将ACM ∆绕点C 逆时针旋转90︒，得到'BCM ∆，则'ACM NCM ∆≅∆，',','ACM BCM CM CM AM BM ∴∠=∠==，连接'M N ，'CAM CNM ∠=∠=45°，''90M BN CBM CBA ︒∴∠=∠+∠=，'NBM ∴∆为直角三角形，22222''NM BN BM BN AM ∴=+=+，又222MN AM BN =+，'MN M N ∴=，在CMN ∆和'CM N ∆中''CM CM MC M N CN CN =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()'CMN CM N SSS ∴∆≅∆，'MCN M CN ∴∠=∠， 1'452MCN MCM ︒∴∠=∠=， 即45MCN ︒∠=；()2如图2，,90AC BC ACB ︒=∠=，将CMA ∆绕点C 逆时针旋转90︒得到CDB ∆，CMA CDB ∴∆≅∆，,,135CM CD AM BD CAM CBD ︒∴==∠=∠=，90DBN CBD CBA ︒∴∠=∠-∠=，DBN ∴∆为直角三角形，22222DN BD BN AM BN ∴=+=+，又222MN AM BN =+，DN MN ∴=， 在CMN ∆和CDN ∆中CM CD CN CN MN DN =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()CMN CDN SSS ∴∆≅∆，1452MCN DCN MCD ︒∴∠=∠=∠=， 45MCN ︒∴∠=．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，利用旋转性质旋转△ACM 构造直角三角形是解答的关键． 27．江都大润发超市销售一种利润为每千克10元的水产品，一个月能销售出500千克．经市场分析，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，若设单价每千克涨价x元，请解答以下问题：（1）填空：每千克水产品获利元，月销售量减少千克；（2）要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应涨价为多少元？解析：（1）（10+x）；10x；（2）10【分析】（1）根据获利=原利润+涨价即可得出答案；根据销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克即可得出月销售量减少的数量；（2）利用“每千克水产品获利×月销售量=总利润”列出方程，解方程即可求出结果.【详解】解：（1）（10+x），10x；（2）由题意，得：（10+x）（500﹣10x）=8000；化简为：x2﹣40x+300=0；解得：x1=10，x2=30．∵“薄利多销”，∴x=30不符合题意，舍去．答：销售单价应涨价10元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确表示出月销售量是解题的关键.28．在图中网格上按要求画出图形，并回答下列问题：（1）把△ABC平移，使点A平移到图中点D的位置，点B、C的对应点分别是点E、F，请画出△DEF；A B C；（2）画出△ABC关于点D成中心对称的△111A B C（填“是”或“否”）关于某个点成中心对称，如果是，请在图（3）△DEF与△111中画出对称中心，并记作点O．解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）是，见解析【分析】（1）由题意得出，需将点B与点C先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，据此可得；（2）分别作出三顶点分别关于点D的对称点，再首尾顺次连接可得；（3）连接两组对应点即可得．【详解】（1）如图所示，△DEF即为所求．（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；（3）如图所示，△DEF与△A1B1C1是关于点O成中心对称，故答案为：是．【点睛】本题主要考查了作图-旋转变换和平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．。
初中数学试卷旋转题及答案
一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列图形中，经过旋转后能够与原图形完全重合的是（）A. 正方形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 长方形2. 将一个正方形绕其中心旋转90°后，它的（）A. 边长不变，角度不变B. 边长不变，角度变为90°C. 边长变为原来的1/2，角度不变D. 边长变为原来的1/2，角度变为90°3. 一个等边三角形绕其中心旋转120°后，它的（）A. 边长不变，角度不变B. 边长不变，角度变为120°C. 边长变为原来的1/2，角度不变D. 边长变为原来的1/2，角度变为120°4. 将一个正五边形绕其中心旋转72°后，它的（）A. 边长不变，角度不变B. 边长不变，角度变为72°C. 边长变为原来的1/2，角度不变D. 边长变为原来的1/2，角度变为72°5. 一个长方形绕其中心旋转180°后，它的（）A. 边长不变，角度不变B. 边长不变，角度变为180°C. 边长变为原来的1/2，角度不变D. 边长变为原来的1/2，角度变为180°二、填空题（每题5分，共25分）6. 一个等边三角形绕其中心旋转180°后，它的形状是______。
7. 将一个正方形绕其中心旋转90°后，它的对角线所成的角度是______。
8. 一个长方形绕其中心旋转180°后，它的长和宽的关系是______。
9. 一个正六边形绕其中心旋转60°后，它的形状是______。
10. 一个正三角形绕其中心旋转120°后，它的形状是______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 一个等腰三角形ABC，AB=AC，点D是边BC的中点，将三角形ABC绕点A旋转60°，求旋转后的三角形与原三角形的关系。
答案：旋转后的三角形与原三角形相似，因为旋转不改变图形的形状和大小，所以AB=AC，∠BAC=∠CAD，∠ABC=∠CDA，根据相似三角形的判定条件，可知△ABC∽△ACD。
初中数学旋转试卷及答案
一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列关于旋转的叙述中，正确的是（）A. 旋转是图形的一种运动，旋转中心可以是任意一点B. 旋转是图形的一种运动，旋转中心只能是图形的几何中心C. 旋转是图形的一种运动，旋转中心只能是原点D. 旋转是图形的一种运动，旋转中心可以是图形上的任意一点2. 已知点A（2，3）绕原点逆时针旋转90°后的坐标是（）A.（-3，2）B.（3，-2）C.（-2，3）D.（2，-3）3. 一个等腰三角形的顶角是60°，那么它的底角是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°4. 下列图形中，关于原点对称的是（）A. 等边三角形B. 正方形C. 等腰三角形D. 直角三角形5. 在平面直角坐标系中，点（3，4）绕点（2，2）顺时针旋转90°后的坐标是（）A.（1，4）B.（4，2）C.（2，1）D.（5，4）二、填空题（每题4分，共16分）6. 在平面直角坐标系中，点P（-1，2）绕原点逆时针旋转90°后的坐标是（）。
7. 一个等腰直角三角形的底边长为4cm，那么它的斜边长为（）cm。
8. 在平面直角坐标系中，点Q（5，-3）绕点（3，2）逆时针旋转90°后的坐标是（）。
9. 一个圆的半径为3cm，那么它的直径为（）cm。
10. 一个等边三角形的边长为6cm，那么它的高为（）cm。
三、解答题（每题10分，共30分）11. （10分）已知点A（-2，1）绕原点逆时针旋转90°后的坐标是A'，求A'的坐标。
12. （10分）一个等腰三角形的顶角是45°，底边长为8cm，求该三角形的面积。
13. （10分）在平面直角坐标系中，点P（-3，4）绕点（2，3）顺时针旋转90°后的坐标是P'，求P'的坐标。
答案：一、选择题1. A2. B3. A4. B5. A二、填空题6. （1，2）7. 58. （2，2）9. 6 10. 3√3三、解答题11. A'的坐标为（1，2）。
初中数学旋转专题(含答案)
初中数学旋转专题要点感知1将一个平面图形F上的每一个点，绕这个平面内一定点旋转同一个角α，得到图形F′，图形的这种变换叫做旋转.这个定点叫__________，角α叫__________.预习练习1-1 下列运动属于旋转的是( )A.滚动过程中的篮球的滚动B.钟表的钟摆的摆动C.气球升空的运动D.一个图形沿某直线对折的过程要点感知2 一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离__________，两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角__________.预习练习2-1如图，把三角形ABC绕着点C顺时针旋转，得到三角形A′B′C，则图中一定与∠ACA′相等的角是__________.要点感知3旋转不改变图形的__________和__________.预习练习3-1如图，点D是三角形ABC内一点，将三角形DBC绕点B旋转到三角形EBA的位置，若三角形BDC的周长为22 cm，AC=9 cm，则三角形AEB的周长是( )A.31 cmB.13 cmC.22 cmD.15 cm知识点1 旋转1.如图，将左边的长方形绕点P旋转一定角度后，得到位置如右边的长方形，则旋转的角度是( )A.30°B.60°C.90°D.180°2.如图，将三角形ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到三角形A′B′C，则图中一定等于50°的角的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.能由左图旋转得到的图形是( )4.如图，三角形ABC是由三角形EBD旋转得到的，旋转中心是点__________.知识点2 旋转的性质5.如图，将三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到三角形COD，若∠AOB=15°，则∠AOD 的度数是 ( )A.15°B.60°C.45°D.75°6.如图，三角形ABC由三角形A′B′C′绕O点旋转180°而得到，则下列结论不成立的是( )A.点A与点A′是对应点B.BO=B′OC.∠ACB=∠C′A′B′D.AB=A′B′7.如图，绕点O旋转得到的两个图形的对应点M与N到旋转中心O的距离__________.(填“相等”或“不相等”)8.如图，将三角形OAB绕点O按逆时针方向旋转至三角形OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上.已知AB=4 cm，BB′=1 cm，则A′B长是__________cm.知识点3 旋转的作图9.如图，三角形ABC以O为旋转中心顺时针旋转90°，请作出旋转后的图形.10.如图，在正方形网格中，将三角形ABC绕点A旋转后得到三角形ADE，则下列旋转方式中，符合题意的是( )A.顺时针旋转90°B.逆时针旋转90°C.顺时针旋转45°D.逆时针旋转45°11.下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后能与原图形完全重合的是( )12. 如图，将直角三角形AOB绕点O旋转得到直角三角形COD，若∠AOB=90°，∠BOC=130°，则∠AOD的度数为( )A．40° B．50° C．60° D．30°13.将如图所示的图案绕其中心旋转n°时与原图案完全重合，那么n的最小值是( )A.60B.90C.120D.18014.如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是( )A.点MB.格点NC.格点PD.格点Q15.有两个完全重合的长方形，将其中一个始终保持不动，另一个长方形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图1，第2次旋转后得到图2，…，则第10次旋转后得到的图形与图1～4中相同的是( )A.图1B.图2C.图3D.图416.如图，将一副三角尺叠放在一起,使直角顶点重合于点O,绕着O任意转动其中一个三角尺,则与∠AOD始终相等的角是__________.17.怎样将图中的甲图案变成乙图案？18.在图中作出“三角旗”绕O点按逆时针旋转90°后的图案.19.如图，如果正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有多少个？是哪几个？参考答案要点感知1旋转中心旋转角预习练习1-1 B要点感知2相等相等预习练习2-1 ∠BCB′要点感知3形状大小预习练习3-1 C1.C2.B3.B4.B5.C6.C7.相等8.39.图略.10.B 11.A 12.B 13.C 14.B 15.B 16.∠BOC17.步骤：(1)将图甲绕某点逆时针旋转一定角度，使树干与地面垂直；(2)接着将旋转后的图形向右平移至与图乙重合即可.18.图略.19.3个.绕点D顺时针旋转90°；绕点C逆时针旋转90°；绕CD中点旋转180°.。
2023年中考数学【图形的旋转】真题汇编(共30题,解析版)
图形的旋转(30题)一、单选题江苏无锡·统考中考真题)如图，△ABC中，∠BAC=55°，将△ABC逆时针旋转α(0°<α< 55°),得到△ADE，DE交AC于F．当α=40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于()A.80°B.85°C.90°D.95°【答案】B【分析】根据旋转可得∠B=∠ADB=∠ADE，再结合旋转角α=40°即可求解．【详解】解：由旋转性质可得：∠BAC=∠DAE=55°，AB=AD，∵α=40°，∴∠DAF=15°，∠B=∠ADB=∠ADE=70°，∴∠AFE=∠DAF+∠ADE=85°，故选：B．【点睛】本题考查了几何-旋转问题，掌握旋转的性质是关键．天津·统考中考真题)如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是()A.∠CAE=∠BEDB.AB=AEC.∠ACE=∠ADED.CE=BD【答案】A【分析】根据旋转的性质即可解答．【详解】根据题意，由旋转的性质，可得AB=AD，AC=AE，BC=DE，故B选项和D选项不符合题意，∠ABC=∠ADE∵∠ACE=∠ABC+∠BAC∴∠ACE=∠ADE+∠BAC，故C选项不符合题意，∠ACB=∠AED∵∠ACB=∠CAE+∠CEA∵∠AED=∠CEA+∠BED∴∠CAE=∠BED，故A选项符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键．3(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，△ABC 和△ADE 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE 以A 为中心顺时针旋转，点M 为射线BD 、CE 的交点．若AB =3，AD =1．以下结论：①BD =CE ；②BD ⊥CE ；③当点E 在BA 的延长线上时，MC =3-32；④在旋转过程中，当线段MB 最短时，△MBC 的面积为12．其中正确结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D 【分析】证明△BAD ≌△CAE 即可判断①，根据三角形的外角的性质得出②，证明∠DCM ∽∠ECA 得出MC 3=3-12，即可判断③；以A 为圆心，AD 为半径画圆，当CE 在⊙A 的下方与⊙A 相切时，MB 的值最小，可得四边形AEMD 是正方形，在Rt △MBC 中MC =BC 2-MB 2=2+1，然后根据三角形的面积公式即可判断④．【详解】解：∵△ABC 和△ADE 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形，∴BA =CA ,DA =EA ,∠BAC =∠DAE =90°，∴∠BAD =∠CAE ，∴△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD =∠ACE ，BD =CE ，故①正确；设∠ABD =∠ACE =α，∴∠DBC =45°-α,∴∠EMB =∠DBC +∠BCM =∠DBC +∠BCA +∠ACE =45°-α+45°+α=90°，∴BD ⊥CE ，故②正确；当点E 在BA 的延长线上时，如图所示∵∠DCM =∠ECA ，∠DMC =∠EAC =90°，∴∠DCM ∽∠ECA∴MC AC =CD EC ∵AB =3，AD =1．∴CD =AC -AD =3-1，CE =AE 2+AC 2=2∴MC 3=3-12∴MC =3-32，故③正确；④如图所示，以A 为圆心，AD 为半径画圆，∵∠BMC =90°，∴当CE 在⊙A 的下方与⊙A 相切时，MB 的值最小，∠ADM =∠DAE =∠AEM =90°∴四边形AEMD 是矩形，又AE =AD ，∴四边形AEMD 是正方形，∴MD =AE =1，∵BD =EC =AC 2-AE 2=2，∴MB =BD -MD =2-1，在Rt △MBC 中，MC =BC 2-MB 2∴PB 取得最小值时，MC =AB 2+AC 2-MB 2=3+3-2-1 2=2+1∴S △BMC =12MB ×MC =122-1 2+1 =12故④正确，故选：D ．【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最短，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．4(2023·山东聊城·统考中考真题)如图，已知等腰直角△ABC ，∠ACB =90°，AB =2，点C 是矩形ECGF 与△ABC 的公共顶点，且CE =1，CG =3；点D 是CB 延长线上一点，且CD =2．连接BG ，DF ，在矩形ECGF 绕点C 按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段BG 达到最长和最短时，线段DF 对应的长度分别为m 和n ，则m n的值为()A.2B.3C.10D.13【答案】D【分析】根据锐角三角函数可求得AC=BC=1，当线段BG达到最长时，此时点G在点C的下方，且B，C，G三点共线，求得BG=4，DG=5，根据勾股定理求得DF=26，即m=26，当线段BG达到最短时，此时点G在点C的上方，且B，C，G三点共线，则BG=2，DG=1，根据勾股定理求得DF=2，即n =2，即可求得mn=13．【详解】∵△ABC为等腰直角三角形，AB=2，∴AC=BC=AB⋅sin45°=2×22=1，当线段BG达到最长时，此时点G在点C的下方，且B，C，G三点共线，如图：则BG=BC+CG=4，DG=DB+BG=5，在Rt△DGF中，DF=DG2+GF2=52+12=26，即m=26，当线段BG达到最短时，此时点G在点C的上方，且B，C，G三点共线，如图：则BG=CG-BC=2，DG=BG-DB=1，在Rt△DGF中，DF=DG2+GF2=12+12=2，即n=2，故mn=262=13，故选：D．【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理等，根据旋转推出线段BG最长和最短时的位置是解题的关键．二、填空题5(2023·江苏连云港·统考中考真题)以正五边形ABCDE的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形A B CD E 的顶点D 落在直线BC上，则正五边ABCDE旋转的度数至少为°．【答案】72【分析】依据正五边形的外角性质，即可得到∠DCF的度数，进而得出旋转的角度．【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠DCF=360°÷5=72°，∴新五边形A B CD E 的顶点D 落在直线BC上，则旋转的最小角度是72°，故答案为：72．【点睛】本题主要考查了正多边形、旋转性质，关键是掌握正多边形的外角和公式的运用．6(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图，AO为∠BAC的平分线，且∠BAC=50°，将四边形ABOC 绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB O C ，且∠OAC =100°，则四边形ABOC旋转的角度是．【答案】75°【分析】根据角平分线的性质可得∠BAO=∠OAC=25°，根据旋转的性质可得∠BAC=∠B AC =50°，∠B AO =∠O AC =25°，求得∠OAO =75°，即可求得旋转的角度．【详解】∵AO为∠BAC的平分线，∠BAC=50°，∴∠BAO=∠OAC=25°，∵将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB O C ，∴∠BAC=∠B AC =50°，∠B AO =∠O AC =25°，∴∠OAO =∠OAC -∠O AC =100°-25°=75°，故答案为：75°．【点睛】本题考查了角平分线的性质，旋转的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．7(2023·湖南常德·统考中考真题)如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D是AB上一点，且AD=2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中BDCE的值为．【答案】45【分析】首先根据勾股定理得到AC =AB 2+BC 2=10，然后证明出△ADE ∽△ABC ，得到AD AB =AE AC ，进而得到AD AE =AB AC ，然后证明出△ABD ∽△ACE ，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】∵在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =8，BC =6，∴AC =AB 2+BC 2=10∵DE ∥BC ∴∠ADE =∠ABC =90°，∠AED =∠ACB∴△ADE ∽△ABC∴AD AB =AE AC ∴AD AE =AB AC∵∠BAC =∠DAE∴∠BAC +∠CAD =∠DAE +∠CAD∴∠BAD =∠CAE∴△ABD ∽△ACE∴BD CD =AB AC =810=45．故答案为：45．【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理．8(2023·江苏无锡·统考中考真题)已知曲线C 1、C 2分别是函数y =-2x (x <0),y =k x(k >0,x >0)的图像，边长为6的正△ABC 的顶点A 在y 轴正半轴上，顶点B 、C 在x 轴上(B 在C 的左侧)，现将△ABC 绕原点O 顺时针旋转，当点B 在曲线C 1上时，点A 恰好在曲线C 2上，则k 的值为．【答案】6【分析】画出变换后的图像即可(画△AOB 即可)，当点A 在y 轴上，点B 、C 在x 轴上时，根据△ABC 为等边三角形且AO ⊥BC ，可得OB OA =13，过点A 、B 分别作x 轴垂线构造相似，则△BFO ∽OEA ，根据相似三角形的性质得出S △AOE =3，进而根据反比例函数k 的几何意义，即可求解．【详解】当点A 在y 轴上，点B 、C 在x 轴上时，连接AO ，∵△ABC 为等边三角形且AO ⊥BC ，则∠BAO =30°，∴tan ∠BAO =tan30°=OB OA=33，如图所示，过点A ,B 分别作x 轴的垂线，交x 轴分别于点E ,F ，∵AO ⊥BO ，∠BFO =∠AEO =∠AOB =90°，∴∠BOF=90°-∠AOE=∠EAO，∴△BFO∽OEA，∴S△BFOS△AOE=OBOA2=13，∴S△BFO=-22=1，∴S△AOE=3，∴k=6．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，k的几何意义，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题关键．9(2023·辽宁·统考中考真题)如图，线段AB=8，点C是线段AB上的动点，将线段BC绕点B顺时针旋转120°得到线段BD，连接CD，在AB的上方作RtΔDCE，使∠DCE=90°,∠E=30°，点F为DE的中点，连接AF，当AF最小时，ΔBCD的面积为．【答案】3【分析】连接CF，BF，BF，CD交于点P，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得BF垂直平分CF，∠ABF=60°为定角，可得点F在射线BF上运动，当AF⊥BF时，AF最小，由含30度角直角三角形的性质即可求解．【详解】解：连接CF，BF，BF，CD交于点P，如图，∵∠DCE=90°，点F为DE的中点，∴FC=FD，∵∠E=30°，∴∠FDC=60°,∴△FCD是等边三角形，∴∠DFC=∠FCD=60°；∵线段BC绕点B顺时针旋转120°得到线段BD，∴BC=BD，∵FC=FD，∴BF垂直平分CF，∠ABF=60°，∴点F在射线BF上运动，∴当AF⊥BF时，AF最小，此时∠FAB=90°-∠ABF=30°，∴BF=12AB=4；∵∠BFC=12∠DFC=30°，∴∠FCB=∠BFC+∠ABF=90°，∴BC=12BF=2，∵PB=12BC=1，∴由勾股定理得PC=BC2-PB2=3，∴CD=2PC=23，∴S△BCD=12CD⋅PB=12×23×1=3；故答案为：3．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，含30度直角三角形的性质，斜边中线性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，勾股定理，旋转的性质，确定点F的运动路径是关键与难点．10(2023·江西·统考中考真题)如图，在▱ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α(0°<α<360°)得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为．【答案】90°或270°或180°【分析】连接AC，根据已知条件可得∠BAC=90°，进而分类讨论即可求解．【详解】解：连接AC，取BC的中点E，连接AE，如图所示，∵在▱ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，∴BE=CE=12BC=AB，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE=∠AEB=60°，AE=BE，∴AE=EC∠AEB=30°，∴∠EAC=∠ECA=12∴∠BAC=90°∴AC⊥CD，如图所示，当点P在AC上时，此时∠BAP=∠BAC=90°，则旋转角α的度数为90°，当点P在CA的延长线上时，如图所示，则α=360°-90°=270°当P在BA的延长线上时，则旋转角α的度数为180°，如图所示，∵PA=PB=CD，PB∥CD，∴四边形PACD是平行四边形，∵AC⊥AB∴四边形PACD是矩形，∴∠PDC=90°即△PDC是直角三角形，综上所述，旋转角α的度数为90°或270°或180°故答案为：90°或270°或180°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．11(2023·上海·统考中考真题)如图，在△ABC中，∠C=35°，将△ABC绕着点A旋转α(0°<α< 180°)，旋转后的点B落在BC上，点B的对应点为D，连接AD，AD是∠BAC的角平分线，则α=．【答案】110 3°【分析】如图，AB=AD，∠BAD=α，根据角平分线的定义可得∠CAD=∠BAD=α，根据三角形的外角性质可得∠ADB=35°+α，即得∠B=∠ADB=35°+α，然后根据三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，根据题意可得：AB=AD，∠BAD=α，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD=∠BAD=α，∵∠ADB=∠C+∠CAD=35°+α，AB=AD，∴∠B=∠ADB=35°+α，则在△ABC中，∵∠C+∠CAB+∠B=180°，∴35°+2α+35°+α=180°，解得：α=1103°；故答案为：110 3°【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．12(2023·湖南郴州·统考中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3cm，∠B=60°．将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB C ，若点B的对应点B 恰好落在线段BC上，则点C的运动路径长是cm(结果用含π的式子表示)．【答案】3π【分析】由于AC 旋转到AC ，故C 的运动路径长是CC 的圆弧长度，根据弧长公式求解即可．【详解】以A 为圆心作圆弧CC ，如图所示．在直角△ABC 中，∠B =60°，则∠C =30°，则BC =2AB =2×3=6cm ．∴AC =BC 2-AB 2=62-32=33cm ．由旋转性质可知，AB =AB ，又∠B =60°，∴△ABB 是等边三角形．∴∠BAB =60°．由旋转性质知，∠CAC =60°．故弧CC 的长度为：60360×2×π×AC =π3×33=3πcm ；故答案为：3π【点睛】本题考查了含30°角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点，解题的关键是明确C 点的运动轨迹．13(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =3,BC =1，将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到△AB C ．连接BB ，交AC 于点D ，则ADDC的值为．【答案】5【分析】过点D 作DF ⊥AB 于点F ，利用勾股定理求得AB =10，根据旋转的性质可证△ABB 、△DFB 是等腰直角三角形，可得DF =BF ，再由S △ADB =12×BC ×AD =12×DF ×AB ，得AD =10DF ，证明△AFD ∼△ACB ，可得DF BC =AF AC，即AF =3DF ，再由AF =10-DF ，求得DF =104，从而求得AD=52，CD =12，即可求解．【详解】解：过点D 作DF ⊥AB 于点F ，∵∠ACB =90°，AC =3，BC =1，∴AB =32+12=10，∵将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°得到△AB C ，∴AB=AB =10，∠BAB =90°，∴△ABB 是等腰直角三角形，∴∠ABB =45°，又∵DF⊥AB，∴∠FDB=45°，∴△DFB是等腰直角三角形，∴DF=BF，∵S△ADB=12×BC×AD=12×DF×AB，即AD=10DF，∵∠C=∠AFD=90°，∠CAB=∠FAD，∴△AFD∼△ACB，∴DF BC =AFAC，即AF=3DF，又∵AF=10-DF，∴DF=104，∴AD=10×104=52，CD=3-52=12，∴AD CD =5212=5，故答案为：5．【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．14(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)已知等腰△ABC，∠A=120°，AB=2．现将△ABC以点B为旋转中心旋转45°，得到△A BC ，延长C A 交直线BC于点D．则A D的长度为．【答案】4+23或4-23【分析】根据题意，先求得BC=23，当△ABC以点B为旋转中心逆时针旋转45°，过点B作BE⊥A B交A D于点E，当△ABC以点B为旋转中心顺时针旋转45°，过点D作DF⊥BC 交BC 于点F，分别画出图形，根据勾股定理以及旋转的性质即可求解．【详解】解：如图所示，过点A作AM⊥BC于点M，∵等腰△ABC，∠BAC=120°，AB=2．∴∠ABC=∠ACB=30°，∴AM=1AB=1，BM=CM=AB2-AM2=3,2∴BC=23，如图所示，当△ABC以点B为旋转中心逆时针旋转45°，过点B作BE⊥A B交A D于点E，∵∠BAC=120°，∴∠DA B=60°，∠A EB=30°，在Rt△A BE中，A E=2A B=4，BE=A E2-A B2=23，∵等腰△ABC，∠BAC=120°，AB=2．∴∠ABC=∠ACB=30°，∵△ABC以点B为旋转中心逆时针旋转45°，∴∠ABA =45°，∴∠DBE=180°-90°-45°-30°=15°，∠A BD=180°-45°-30°=105°在△A BD中，∠D=180°-∠DA B-∠A BD=180°-60°-105°=15°,∴∠D=∠EBD，∴EB=ED=23，∴A D=A E+DE=4+23，如图所示，当△ABC以点B为旋转中心顺时针旋转45°，过点D作DF⊥BC 交BC 于点F，在△BFD中，∠BDF=∠CBC =45°，∴DF=BF在Rt△DC F中，∠C =30°FC'∴DF=33∴BC=BF+3BF=23∴DF=BF=3-3∴DC =2DF=6-23∴A D=C D-A C =6-23-2=4-23，综上所述，A D的长度为4-23或4+23，故答案为：4-23或4+23．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，分类讨论是解题的关键．15(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)一副三角板ABC 和DEF 中，∠C =∠D =90°，∠B =30°，∠E =45°，BC =EF =12．将它们叠合在一起，边BC 与EF 重合，CD 与AB 相交于点G (如图1)，此时线段CG 的长是，现将△DEF 绕点C (F )按顺时针方向旋转(如图2)，边EF 与AB 相交于点H ，连结DH ，在旋转0°到60°的过程中，线段DH 扫过的面积是．【答案】66-62；12π-183+18【分析】如图1，过点G 作GH ⊥BC 于H ，根据含30°直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质得出BH =3GH ，GH =CH ，然后由BC =12可求出GH 的长，进而可得线段CG 的长；如图2，将△DEF 绕点C 顺时针旋转60°得到△D 1E 1F ，FE 1与AB 交于G 1，连接D 1D ，AD 1，△D 2E 2F 是△DEF 旋转0°到60°的过程中任意位置，作DN ⊥CD 1于N ，过点B 作BM ⊥D 1D 交D 1D 的延长线于M ，首先证明△CDD 1是等边三角形，点D 1在直线AB 上，然后可得线段DH 扫过的面积是弓形D 1D 2D 的面积加上△D 1DB 的面积，求出DN 和BM ，然后根据线段DH 扫过的面积=S 弓形D 1D 2D +S △D 1DB =S 扇形CD 1D -S △CD 1D +S △D 1DB 列式计算即可．【详解】解：如图1，过点G 作GH ⊥BC 于H ，∵∠ABC =30°，∠DEF =∠DFE =45°，∠GHB =∠GHC =90°，∴BH =3GH ，GH =CH ，∵BC =BH +CH =3GH +GH =12，∴GH =63-6，∴CG =2GH =2×63-6 =66-62；如图2，将△DEF 绕点C 顺时针旋转60°得到△D 1E 1F ，FE 1与AB 交于G 1，连接D 1D ，由旋转的性质得：∠E 1CB =∠DCD 1=60°，CD =CD 1，∴△CDD 1是等边三角形，∵∠ABC =30°，∴∠CG 1B =90°，∴CG 1=12BC ，∵CE1=BC，∴CG1=12CE1，即AB垂直平分CE1，∵△CD1E1是等腰直角三角形，∴点D1在直线AB上，连接AD1，△D2E2F是△DEF旋转0°到60°的过程中任意位置，则线段DH扫过的面积是弓形D1D2D的面积加上△D1DB的面积，∵BC=EF=12，∴DC=DB=22BC=62，∴D1C=D1D=62，作DN⊥CD1于N，则ND1=NC=32，∴DN=D1D2-ND12=622-322=36，过点B作BM⊥D1D交D1D的延长线于M，则∠M=90°，∵∠D1DC=60°，∠CDB=90°，∴∠BDM=180°-∠D1DC-∠CDB=30°，∴BM=12BD=32，∴线段DH扫过的面积=S弓形D1D2D +S△D1DB，=S扇形CD1D -S△CD1D+S△D1DB，=60π⋅622360-12×62×36+12×62×32，=12π-183+18，故答案为：66-62，12π-183+18．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，含30°直角三角形的性质，二次根式的运算，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积计算等知识，作出图形，证明点D1在直线AB上是本题的突破点，灵活运用各知识点是解题的关键．三、解答题16(2023·北京·统考中考真题)在△ABC中、∠B=∠C=α0°<α<45°，AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点(不与点M，C重合)，将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．(1)如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；(2)如图2，若在线段BM上存在点F(不与点B，M重合)满足DF=DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．【答案】(1)见解析(2)∠AEF=90°，证明见解析【分析】(1)由旋转的性质得DM=DE，∠MDE=2α，利用三角形外角的性质求出∠DEC=α=∠C，可得DE=DC，等量代换得到DM=DC即可；(2)延长FE到H使FE=EH，连接CH，AH，可得DE是△FCH的中位线，然后求出∠B=∠ACH，设DM=DE=m，CD=n，求出BF=2m=CH，证明△ABF≅△ACH SAS，得到AF=AH，再根据等腰三角形三线合一证明AE⊥FH即可．【详解】(1)证明：由旋转的性质得：DM=DE，∠MDE=2α，∵∠C=α，∴∠DEC=∠MDE-∠C=α，∴∠C=∠DEC，∴DE=DC，∴DM=DC，即D是MC的中点；(2)∠AEF=90°；证明：如图2，延长FE到H使FE=EH，连接CH，AH，∵DF=DC，∴DE是△FCH的中位线，∴DE∥CH，CH=2DE，由旋转的性质得：DM=DE，∠MDE=2α，∴∠FCH=2α，∵∠B=∠C=α，∴∠ACH=α，△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠ACH，AB=AC，设DM=DE=m，CD=n，则CH=2m，CM=m+n，∴DF=CD=n，∴FM=DF-DM=n-m，∵AM⊥BC，∴BM=CM=m+n，∴BF=BM-FM=m+n-n-m=2m，∴CH=BF，在△ABF和△ACH中，AB=AC∠B=∠ACH BF=CH，∴△ABF≅△ACH SAS，∴AF =AH ，∵FE =EH ，∴AE ⊥FH ，即∠AEF =90°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．17(2023·四川自贡·统考中考真题)如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M ，N 分别是斜边DE ，AB 的中点，DE =2,AB =4．(1)将△CDE 绕顶点C 旋转一周，请直接写出点M ，N 距离的最大值和最小值；(2)将△CDE 绕顶点C 逆时针旋转120°(如图2)，求MN 的长．【答案】(1)最大值为3，最小值为1(2)7【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线，得出CM ,CN 的值，进而根据题意求得最大值与最小值即可求解；(2)过点N 作NP ⊥MC ，交MC 的延长线于点P ，根据旋转的性质求得∠MCN =120°，进而得出∠NCP =60°，进而可得CP =1，勾股定理解Rt △NCP ,Rt △MCP ，即可求解．【详解】(1)解：依题意，CM =12DE =1，CN =12AB =2，当M 在NC 的延长线上时，M ,N 的距离最大，最大值为CM +CN =1+2=3，当M 在线段CN 上时，M ,N 的距离最小，最小值为CN -CN =2-1=1；(2)解：如图所示，过点N 作NP ⊥MC ，交MC 的延长线于点P ，∵△CDE 绕顶点C 逆时针旋转120°，∴∠BCE =120°，∵∠BCN =∠ECM =45°，∴∠MCN =∠BCM -∠ECM =∠BCE =120°，∴∠NCP =60°，∴∠CNP =30°，∴CP =12CN =1，在Rt △CNP 中，NP =NC 2-CP 2=3，在Rt △MNP 中，MP =MC +CP =1+1=2，∴MN =NP 2+MP 2=3+4=7．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键．18(2023·四川达州·统考中考真题)如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC 的顶点均在小正方形的格点上．(1)将△ABC 向下平移3个单位长度得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1；(2)将△ABC 绕点C 顺时针旋转90度得到△A 2B 2C 2，画出△A 2B 2C 2；(3)在(2)的运动过程中请计算出△ABC 扫过的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)5+5π2【分析】(1)先作出点A 、B 、C 平移后的对应点A 1，B 1、C 1，然后顺次连接即可；(2)先作出点A 、B 绕点C 顺时针旋转90度的对应点A 2，B 2，然后顺次连接即可；(3)证明△ABC 为等腰直角三角形，求出S △ABC =12AB ×BC =52，S 扇形CAA 2=90π×10 2360=5π2，根据旋转过程中△ABC 扫过的面积等于△ABC 的面积加扇形CAA 1的面积即可得出答案．【详解】(1)解：作出点A 、B 、C 平移后的对应点A 1，B 1、C 1，顺次连接，则△A 1B 1C 1即为所求，如图所示：(2)解：作出点A 、B 绕点C 顺时针旋转90度的对应点A 2，B 2，顺次连接，则△A 2B 2C 2即为所求，如图所示：(3)解：∵AB =12+22=5，AC =32+12=10，BC =12+22=5，∴AB =BC ，∵5 2+5 2=10=10 2，∴AB 2+BC 2=AC 2，∴△ABC 为等腰直角三角形，∴S △ABC =12AB ×BC =52，根据旋转可知，∠ACA 2=90°，∴S 扇形CAA 2=90π×10 2360=5π2，∴在旋转过程中△ABC 扫过的面积为S =S △ABC +S 扇形CAA 2=5+5π2．【点睛】本题主要考查了平移、旋转作图，勾股定理逆定理，扇形面积计算，解题的关键是作出平移或旋转后的对应点．19(2023·辽宁·统考中考真题)在Rt ΔABC 中，∠ACB =90°，CA =CB ，点O 为AB 的中点，点D 在直线AB 上(不与点A ,B 重合)，连接CD ，线段CD 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE ，过点B 作直线l ⊥BC ，过点E 作EF ⊥l ，垂足为点F ，直线EF 交直线OC 于点G ．(1)如图，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF的数量关系；(2)如图，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD=2BC；(3)连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF:BC=1:3时，请直接写出S1S2的值．【答案】(1)EF=22AD(2)见解析(3)59或17 9【分析】(1)可先证△BCD≌△BCE，得到BD=BE，根据锐角三角函数，可得到BE和EF的数量关系，进而得到线段AD与线段EF的数量关系．(2)可先证△ACD≌△GEC，得到DA=CG，进而得到CG+BD=DA+BD=AB，问题即可得证．(3)分两种情况：①点D在线段AB上，过点C作CN垂直于FG，交FG于点N，过点E作EM垂直于BC，交BC于点M，设EF=a，利用勾股定理，可用含a的代数式表示EC，根据三角形面积公式，即可得到答案．②点D在线段BA的延长线上，过点E作EJ垂直于BC，交BC延长线于点J,令EF交AC于点I,连接BE,设EF=b，可证△CDA≌△CEB，进一步证得△EBJ是等腰直角三角形，EJ=BJ，利用勾股定理，可用含b的代数式表示EC，根据三角形面积公式，即可得到答案【详解】(1)解：EF=22 AD．理由如下：如图，连接BE．根据图形旋转的性质可知CD=CE．由题意可知，△ABC为等腰直角三角形，∵CD为等腰直角三角形△ABC斜边AB上的中线，∴∠BCD=45°，AD=BD．又∠DCE=90°，∴∠BCE=45°．在△BCD和△BCE中，CD =CE∠BCD =∠BCEBC =BC∴△BCD ≌△BCE ．∴BD =BE ，∠CBE =∠CBD =45°．∴∠EBF =45°．∴EF =BE ·sin ∠EBF =22BE ．∴EF =22AD ．(2)解：∵CO 为等腰直角三角形△ABC 斜边AB 上的中线，∴AO =BO ．∵∠ACD +∠DCB =∠BCE +∠DCB =90°，∴∠ACD =∠BCE ．∵BC ⊥l ，EF ⊥l ，∴BC ∥EF ．∴∠G =∠OCB =45°，∠GEC =∠BCE ．∴∠G =∠A ，∠ACD =∠GEC ．在△ACD 和△GEC 中，∠ACD =∠GEC∠A =∠GCD =CE∴△ACD ≌△GEC ．∴DA =CG ．∴CG +BD =DA +BD =AB =2BC ．(3)解：当点D 在线段AB 延长线上时，不满足条件EF :BC =1:3，故分两种情况：①点D 在线段AB 上，如图，过点C 作CN 垂直于FG ，交FG 于点N ；过点E 作EM 垂直于BC ，交BC 于点M ．设EF =a ，则BC =AC =3a ．根据题意可知，四边形BFEM 和CMEN 为矩形，△GCN 为等腰直角三角形．∴EF =BM =a ，CM =NE =2a ．由(2)证明可知△ACD ≌△GEC ，∴AC =GE =3a ．∴NG =NC =a ．∴NC =EM =a ．根据勾股定理可知CE =EM 2+CM 2=2a 2+a 2=5a ，△CDE 的面积S 1与△ABC 的面积S 2之比S 1S 2=12CE 212BC 2=125a 2123a2=59②点D 在线段BA 的延长线上，过点E 作EJ 垂直于BC ，交BC 延长线于点J ,令EF 交AC 于点I ,连接BE ,由题意知，四边形FBJE ，FBCI 是矩形，∵∠DCE =∠ACB =90°∴∠DCE -∠ACE =∠ACB -∠ACE即∠DCA =∠ECB又∵CD =CE ，CA =CB∴△CDA ≌△CEB∴∠DAC =∠EBC而∠DAC =180°-∠CAB =180°-45°=135°∴∠EBC =135°∠EBJ =180°-∠EBC =45°∴△EBJ 是等腰直角三角形，EJ =BJ设EF =b ，则BC =IF =3b ，EJ =BJ =CI =b∴EI =EF +IF =4b Rt △CIE 中，CE =CI 2+EI 2=b 2+(4b )2=17b△CDE 的面积S 1与△ABC 的面积S 2之比S 1S 2=12CE 212BC 2=1217b 2123b2=179【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、勾股定理以及图形旋转的性质，灵活利用全等三角形的判定及性质是解题的关键．20(2023·四川乐山·统考中考真题)在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达△AB C 的位置，那么可以得到：AB=AB ，AC =AC ，BC=B C ；∠BAC=∠B AC ，∠ABC=∠AB C ，∠ACB=∠AC B ()刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．【问题解决】(1)上述问题情境中“( )”处应填理由：；(2)如图，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A BC 的位置．①请在图中作出点O；②如果BB =6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为；【问题拓展】小李突发奇想，将与(2)中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．【答案】问题解决(1)旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等(2)①见解析；②322πcm 问题拓展：83π-833cm 2【分析】问题解决(1)根据旋转性质得出旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；(2)①分别作BB 和AA 的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为所求点O ；②根据弧长公式求解即可；问题拓展，连接PA ，交AC 于M ，连接PA ，PD ，AA ，由旋转得∠PA B =30°，PA =PA =4，在Rt △PAM 和Rt △A DM 中求出A M 和DM 的长，可以求出S 阴影部分B DP =S 扇形B A P -S △ADP ，再证明△ADP ≌△A DP ，即可求出最后结果．【详解】解：【问题解决】(1)旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等(2)①下图中，点O 为所求②连接OB ，OB ，∵扇形纸板ABC 绕点O 逆时针旋转90°到达扇形纸板A B C 的位置，∴∠BOB =90°，OB =OB ,∵BB =6cm ，设OB =OB =xcm ，∴x 2+x 2=62，∴OB =OB =32cm ，在旋转过程中，点B 经过的路径长为以点O 为圆心，圆心角为90°，OB 为半径的所对应的弧长，∴点B 经过的路径长=90×π×32180=322πcm ；【问题拓展】解：连接PA ，交AC 于M ，连接PA ，PD ，AA 如图所示∴∠PAC =12∠BAC =30°．由旋转得∠PA B =30°，PA =PA =4． 在Rt △PAM 中，A M =PM =PA ⋅sin ∠PAM =4×sin30°=2．在Rt △A DM 中，∵∠DA M =12∠B A C =30°，∴A D =A M cos ∠DA M =2cos30°=433，DM =12A D =12×433=233． ∴S △A DP =12DM ⋅A P =12×233×4=433．S 扇形B A P =30×π×42360=43π．∴S 阴影部分B DP =S 扇形B A P -S △ADP =43π-433， 在△ADP 和△A DP 中，∵AD =AM -DM =23-233=433=A D ，又∵∠PAD =∠PA D =30°，PA =PA ，∴△ADP ≌△A DP ．又∵S 扇形PAC =S 扇形B AP ，∴S 阴影部分BDP =S 阴影部分CDP ，∴S 阴影部分=2S 阴影部分BDP =2×43π-433 =83π-833 cm 2．【点睛】本题考查了旋转的性质，弧长公式，解直角三角形，三角形全等的性质与判定，解题的关键是抓住图形旋转前后的对应边相等，对应角相等，正确作出辅助线构造出直角三角形．21(2023·浙江绍兴·统考中考真题)在平行四边形ABCD 中(顶点A ,B ,C ,D 按逆时针方向排列)，AB =12,AD =10,∠B 为锐角，且sin B =45．(1)如图1，求AB 边上的高CH 的长．(2)P 是边AB 上的一动点，点C ,D 同时绕点P 按逆时针方向旋转90°得点C ,D ．①如图2，当点C 落在射线CA 上时，求BP 的长．②当△AC D 是直角三角形时，求BP 的长．【答案】(1)8(2)①BP =347；②BP =6或8±2【分析】(1)利用正弦的定义即可求得答案；(2)①先证明△PQC ≌△CHP ，再证明△AQC ∽△AHC ，最后利用相似三角形对应边成比例列出方程即可；②分三种情况讨论完成，第一种：C 为直角顶点；第二种：A 为直角顶点；第三种，D 为直角顶点，但此种情况不成立，故最终有两个答案．【详解】(1)在▱ABCD 中，BC =AD =10，在Rt △BCH 中，CH =BC sin B =10×45=8．(2)①如图1，作CH ⊥BA 于点H ，由(1)得，BH =BC 2-CH 2=6，则AH =12-6=6，作C Q ⊥BA 交BA 延长线于点Q ，则∠CHP =∠PQC =90°，∴∠C PQ +∠PC Q =90°．∵∠C PQ +∠CPH =90°∴∠PC Q =∠CPH ．由旋转知PC =PC ，∴△PQC ≌△CHP ．设BP =x ，则PQ =CH =8,C Q =PH =6-x ,QA =PQ -PA =x -4．∵C Q ⊥AB ,CH ⊥AB ，∴C Q ∥CH ，∴△AQC ∽△AHC ，∴C Q CH =QA HA ，即6-x 8=x -46，∴x =347，∴BP =347．②由旋转得△PCD ≌△PC D ,CD =C D ，CD ⊥C D ，又因为AB ∥CD ，所以C D ⊥AB ．情况一：当以C 为直角顶点时，如图2．∵C D ⊥AB ，∴C 落在线段BA 延长线上．∵PC ⊥PC ，∴PC ⊥AB ，由(1)知，PC =8，∴BP =6．情况二：当以A 为直角顶点时，如图3．设C D 与射线BA 的交点为T ，作CH ⊥AB 于点H ．∵PC ⊥PC ，∴∠CPH +∠TPC =90°，∵C D ⊥AT ，∴∠PC T +∠TPC =90°，∴∠CPH =∠PC T ．又∵∠CHP =∠PTC =90°,PC =C P ，∴△CPH ≌△PC T ，∴C T =PH ,PT =CH =8．设C T =PH =t ，则AP =6-t ，∴AT =PT -PA =2+t∵∠C AD =90°,C D ⊥AB ，∴△ATD ∽△C TA ，∴AT TD =CT TA ，∴AT 2=C T ⋅TD ，∴(2+t )2=ι12-t ，化简得t 2-4t +2=0，解得t =2±2，∴BP =BH +HP =8±2．情况三：当以D 为直角顶点时，点P 落在BA 的延长线上，不符合题意．综上所述，BP =6或8±2．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正弦的定义，全等的判定及性质，相似的判定及性质，理解记忆相关定义，判定，性质是解题的关键．22(2023·四川南充·统考中考真题)如图，正方形ABCD 中，点M 在边BC 上，点E 是AM 的中点，连接ED ，EC ．(1)求证：ED =EC ；(2)将BE 绕点E 逆时针旋转，使点B 的对应点B 落在AC 上，连接MB ′．当点M 在边BC 上运动时(点M 不与B ，C 重合)，判断△CMB ′的形状，并说明理由．(3)在(2)的条件下，已知AB =1，当∠DEB ′=45°时，求BM 的长．【答案】(1)见解析(2)等腰直角三角形，理由见解析(3)BM =2-3【分析】(1)根据正方形的基本性质以及“斜中半定理”等推出△EAD ≌△EBC ，即可证得结论；(2)由旋转的性质得EB =EB =AE =EM ，从而利用等腰三角形的性质推出∠MB C =90°，再结合正方形对角线的性质推出B M =B C ，即可证得结论；(3)结合已知信息推出△CME ∽△AMC ，从而利用相似三角形的性质以及勾股定理进行计算求解即可．【详解】(1)证：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BAD =∠ABC =90°，AD =BC ，∵点E 是AM 的中点，∴EA =EB ，∴∠EAB =∠EBA ，∴∠BAD -∠EAB =∠ABC -∠EBA ，即：∠EAD =∠EBC ，在△EAD 与△EBC 中，EA =EB∠EAD =∠EBCAD =BC∴△EAD ≌△EBC SAS ，∴ED =EC ；。
初中数学《旋转》专题100题含答案
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线0C也绕0点以每秒to的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间0C平分²h0h?请说明理由；
（3）在（2）问的基础上，经过多长时间0C平分²h0B?请画图并说明理由．
O ABC绕点A逆时针旋转9to，得到O AB'C'，点B，C的对应点分别为点B'，C'，
（1）画出O AB'C'；
（2）写出点B'，C'的坐标；
（3）求出在O ABC旋转的过程中，点C经过的路径长．
7.正方形ABC‸的边长为3，h，′分别是AB，BC边上的点，且²h‸′=t5o．将O‸Ah绕点‸
逆时针旋转9to，得到O ‸Ch．
（2）当²hAh绕点A旋转到如图3的位置时，线段Bh，‸h和hh之间有怎样的等量关系?请写出你的猜想，并证明．
10.如图1，0为直线AB上一点，过点0作射线0C，²A0C=3to，将一直角三角板（²h=3to）的直角顶点放在点0处，一边0h在）将图1中的三角板绕点0以每秒3o的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t秒后，
（1）求证：h′=′h
（2）当Ah=1时，求h′的长．
8. 如图，将OABC放于平面直角坐标系中，得到顶点坐标为A—3tt，B—3tt，Ctt3，以B为旋转中心，在平面直角坐标系内将O ABC顺时针旋转9to．
（1）画出旋转后的O A'BC'；
（2）写出点A'，C'的坐标；
（3）求出线段BA旋转到BA'时所扫过的扇形的面积．
5.如图，在平面坐标系中，²A0B=9to，AB∥x轴，0B=2，双曲线y=k经过点B．将OA0B
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初中数学旋转专题
要点感知 1 将一个平面图形 F 上的每一个点，绕这个平面内一定点旋转同一个角α，得到图形F′，图形的这种变换叫做旋转.这个定点叫_________ ，角α叫 _________ .
预习练习1-1 下列运动属于旋转的是( )
A. 滚动过程中的篮球的滚动
B. 钟表的钟摆的摆动
C. 气球升空的运动
D. 一个图形沿某直线对折的过程
要点感知 2 一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离___________ ，两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角_________ .
预习练习2-1 如图，把三角形ABC绕着点 C 顺时针旋转，得到三角形A′B′C，则图中一定与∠ACA′相等的角是_______ .
要点感知 3 旋转不改变图形的_________ 和________
预习练习3-1 如图，点D是三角形ABC内一点，将三角形DBC绕点 B 旋转到三角形EBA的位置，若三角形BDC的周长为22 cm，AC=9 cm，则三角形AEB的周长是( )
P旋转一定角度后，得到位置如右边的长方形，则旋转的角度是
° C.90 ° D.180 °
2. 如图，将三角形ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到三角形A′B′C，则图中一定等于50°的角的个数有( )
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
A.31 cm
B.13 cm
知识点 1 旋转
1. 如图，将左边的长方形绕
点( )
A.30 °
B.60
3. 能由左图旋转得到的图形是 ( )
知识点 2 旋转的性质
5.如图，将三角形 AOB 绕点O 按逆时针方向旋转 60°后得到三角形 COD ，若∠ AOB=1°5 ，则∠ AOD 的度数是 ( )
B ′
C ′绕 O 点旋转 180°而得到，则下列结论不成立的是 (
B. BO=B ′ O
C. ∠ ACB=∠C ′A ′B ′ 7.如图，绕点 O 旋转得到的两个图形的对应点 M 与N 到旋转中心 O 的距离 _______ .(填“相等” 或“不相等”
)
A.15 °
B.60
D.75 6. 如图，三角形 ABC 由三角形 A ′ A. 点 A 与点 A ′是对应
点
C.45
D.AB=A
B ′
顺时针旋转 120°后能与原图形
知识点 3 旋转的作图
9. 如图，三角形 ABC 以 O 为旋转中心顺时针旋转 90°，请作出旋转后的图形
10. 如图，在正方形网格中，将三角形 ABC 绕点 A 旋转后得到三角形 ADE ，则下列旋转方式中，符 合题意的是 ( )
A. 顺时针旋转 90 °
B. 逆时针旋转 90°
C. 顺时针旋转 45°
D. 逆时针旋转 45°
8.如图，将三角形 OAB 绕点 O 按逆时针方向旋转至三角形 OA ′B ′ ，使点 B 恰好落在边 A ′ B ′上. 已知 AB=4 cm ， BB ′=1 cm ， 则 A ′B 长是 _______ cm.
11. 下列四个圆形图案中， 分别以它们所在圆的圆心为旋转中
心， 完全重合的是 ( )
12. 如图，将直角三角形 AOB 绕点 O 旋转得到直角三角形 COD ，若∠AOB=9°0 ，∠ BOC=13°0 ，则 ∠AOD 的度数为 ( )
A ．40°
B 13.将如图所示的图案绕其中心旋转 n °时与原图案完全重合，那么 n 的最小值是 ( ) A.60 B.90
C.120
D.180
14.如图，在 6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙， 则其旋转中心是 ( )
．50° ．30°
A. 图 1
B.
16. 如图，将一副三角尺叠放在一起 与∠ AOD 始终相等的角是
_ 图2 , 使直角顶点重合于点 O,绕着 O 任意转动其中一个三角尺 , 则 D.
图4 C. 图 3
A. 点 M
B. 15. 有两个完全重合的长方形，将其中一个始终保持不动，另一个长方形绕其对称中心 O 按逆时 针方向进行旋转，每次均旋转 45°，第 1 次旋转后得到图 1，第 2 次旋转后得到图 2，⋯，则第 10次旋转后得到的图形与图 1～4 中相同的是 ( )
格点 Q D.
17. 怎样将图中的甲图案变成乙图案？
18. 在图中作出“三角旗”绕O点按逆时针旋转90°后的图案.
19. 如图，如果正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有多少个？是哪几个？
参考答案
要点感知 1 旋转中心旋转角
预习练习1-1 B
要点感知 2 相等相等
预习练习2-1 ∠BCB′
要点感知 3 形状大小
预习练习3-1 C 1.C 2.B 3. B 4.B 5.C 6. C 7. 相等8. 3 9. 图略.
10.B 11.A 12. B 13.C 14.B 15.B 16. ∠BOC
17.步骤：(1) 将图甲绕某点逆时针旋转一定角度，使树干与地面垂直；
(2) 接着将旋转后的图形向右平移至与图乙重合即可.
18. 图略.
19.3个.绕点D顺时针旋转90°；绕点C逆时针旋转90°；绕CD中点旋转180。