2020届江苏省新高考原创精准模拟考试(一)数学试卷
2020年江苏省高考文科科数学仿真模拟试题一(附答案)
2020年江苏省高考文科数学仿真模拟试题一（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，2}，则M ∪N ＝( )A ．{－1，0，1，2}B ．{－1，0，1}C ．{－1，0，2}D ．{0，1} 2．“sin A ＝12”是“A ＝30°”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A.y=lnxB.21y x =+ C.y=sinx D.y=cosx 4．已知命题p ：∀x>2，x 3－8>0，那么¬p 是( ) A ．∀x≤2，x 3－8≤0 B ．∃x>2，x 3－8≤0 C ．∀x>2，x 3－8≤0 D ．∃x≤2，x 3－8≤05. 若函数22,0()(),0x x f x g x x -⎧-<=⎨>⎩为奇函数，则f （g （2））＝（ ）A. ﹣2B. ﹣1C. 0D. 26. 从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（ ） A.23B.12C.25D.137. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 3+B. 3+C. 2D. 2+8. 已知直线2y kx =-与抛物线24x y =相切，则双曲线2221x k y -=的离心率等于( )A.2B.29. 已知球O 与棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的各面都相切，则平面1ACB 截球O 所得的截面圆与球心O 所构成的圆锥的体积为 （ ）B.18C.27D. 5410. 已知函数()sin cos f x x x ωω=-（0ω>），若()3y f x π=+的图象与()6y f x π=-的图象重合，记ω的最小值为0ω，函数0()cos()3g x x πω=-的单调递增区间为 （ ）A. 2[,]63k k ππππ++（k Z ∈）B. 27[,]36k k ππππ+++（k Z ∈） C. [,]12232k k ππππ++（k Z ∈） D. 7[,]32122k k ππππ++（k Z ∈） 11. 若x ，y 满足约束条件220330240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，目标函数z ax y =+仅在点（2，0）处取得最小值，则实数a 的取值范围是 （ ） A. 1(2,)2-B. 1100,32（-，）（）C. 1(0,)2D. 11(,)32-12. 若函数212[]22(xf x a x e ax ax a R =---+∈（）（）（））在1,12（）上有极大值，则a 的取值范围为 （ ）A. )eB.)C. (2,eD. (),e +∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考模拟试卷江苏省南通市通州区高考数学一模试卷 含解析
2020年高考模拟试卷高考数学一模试卷一、填空题1．已知集合A＝{x|x＜2，x∈R}，集合B＝{x|x2﹣3x+2＜0，x∈R}，则A∩B＝．2．设复数z+2i＝，则|z|＝．3．已知函数f（x）＝，若f（a）＝f（a+2），则f（）＝．4．数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n﹣1，则数列b n＝a n2﹣7a n+6的最小值为．5．若变量x，y满足，且x﹣2y≤a恒成立，则a的最小值为．6．青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，再从5位同学中选出2名一等奖记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A的概率为．7．底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为．8．执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为．9．已知x∈（0，），tan（x+）＝﹣3，则＝．10．函数的图象在x＝1处的切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得弦长为2，则实数a的值为．11．若正实数x、y满足x2﹣xy+y2＝9，且|x2﹣y2|＜9，则xy的取值范围为．12．已知直角三角形ABC的两直角边CA＝3，CB＝4，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则的最大值为．13．已知函数f（x）＝（）x﹣1，x∈[﹣1，0]，g（x）＝a2log2x+3a，x∈[，2]，对任意的x0∈[，2]，总存在x1∈[﹣1，0]使得g（x0）＝f（x1）成立，则实数a的取值范围是．14．已知函数f（x）＝x2e x+lnt﹣a，若对任意的t∈[1，e]，f（x）在区间[﹣1，1]总存在唯一的零点，则实数a的取值范围是．二、解答题：共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若a＝1，求△ABC面积的最大值．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，E为CD的中点，O为BD上一点，且BC∥平面AOE．（1）求证：O是BD的中点；（2）若AB＝AD，BC⊥BD，求证：平面ABD⊥平面AOE．17．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上的一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为，点A为椭圆C的左顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设圆M：x2+（y﹣2）2＝r2（0＜r＜2），过点A作圆M的两条切线分别交椭圆C 于点B和D，求证：直线BD过定点．18．（16分）如图，一条小河岸边有相距8km的A，B两个村庄（村庄视为岸边上A，B 两点），在小河另一侧有一集镇P（集镇视为点P），P到岸边的距离PQ为2km，河宽OH为0.05km，通过测量可知，∠PAB与∠PBA的正切值之比为1：3．当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥MN（M，N分别为两岸上的点，且MN垂直河岸，M在Q的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知A，B两村的人口数分别是1000人、500人，假设一年中每人去集镇的次数均为m次．设∠PMQ＝θ．（小河河岸视为两条平行直线）（1）记L为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用θ表示L；（2）试确定θ的余弦值，使得L最小，从而符合建桥要求．19．（16分）已知数列{a n}，其前n项和为{S n}，满足a1＝2，S n＝λna n+μa n﹣1，其中n≥2，n∈N*，λ，μ∈R．（1）若λ＝0，μ＝4，b n＝a n+1﹣2a n（n∈N*），求证：数列{b n}是等比数列；（2）若数列{a n}是等比数列，求λ，μ的值；（3）若a2＝3，且λ+μ＝，求证：数列{a n}是等差数列．20．（16分）若函数f（x）+g（x）和f（x）•g（x）同时在x＝t处取得极小值，则称f （x）和g（x）为一对“P（t）函数”．（1）试判断f（x）＝x与g（x）＝x2+ax+b是否是一对“P（1）函数”；（2）若f（x）＝e x与g（x）＝x2+ax+1是一对“P（t）函数”．①求a和t的值；②若a＜0，若对于任意x∈[1，+∞），恒有f（x）+g（x）＜m⋅f（x）g（x），求实数m的取值范围．【选做题】本题包括21、22两小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．已知矩阵M＝满足：Ma i＝λi a i，其中λi（i＝1，2）是互不相等的实常数，a i（i＝1，2）是非零的平面列向量，λ1＝1，a2＝，求矩阵M．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：，曲线C2：（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C3：（t为参数，t＞0，）分别交C1，C2于A，B 两点，当α取何值时，取得最大值．【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）及点M（2，0），动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4．（1）求p的值；（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上．24．设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；（Ⅱ）数列{a n}满足a1＞，a n+1＝a n+a n1﹣p．证明：a n＞a n+1＞．参考答案一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．已知集合A＝{x|x＜2，x∈R}，集合B＝{x|x2﹣3x+2＜0，x∈R}，则A∩B＝（1，2）．【分析】求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|x＜2，x∈R}，集合B＝{x|x2﹣3x+2＜0，x∈R}＝{x|1＜x＜2}，∴由题得A∩B＝{x|x＜2，x∈R}∩{x|1＜x＜2，x∈R}＝（1，2）．故答案为：（1，2）．2．设复数z+2i＝，则|z|＝3．【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．解：∵z+2i＝＝﹣i，∴z＝﹣2i﹣i＝﹣3i，则|z|＝3，故答案为：3．3．已知函数f（x）＝，若f（a）＝f（a+2），则f（）＝2．【分析】当0＜a＜2时，a2+a＝﹣2a﹣4+8，求出a＝1；当a≥2时，﹣2a+8＝﹣2a﹣4+8，无解．从而f（）＝f（1），由此能求出结果．解：∵函数f（x）＝，f（a）＝f（a+2），∴当0＜a＜2时，a2+a＝﹣2a﹣4+8，解得a＝﹣4（舍）或a＝1；当a≥2时，﹣2a+8＝﹣2a﹣4+8，无解．∴a＝1，f（）＝f（1）＝12+1＝2．故答案为：2．4．数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n﹣1，则数列b n＝a n2﹣7a n+6的最小值为﹣6．【分析】由已知求得，再由配方法求数列b n＝a n2﹣7a n+6的最小值．解：由S n＝2n﹣1，得a1＝S1＝1，当n≥2时，，a1＝1适合上式，∴．则b n＝a n2﹣7a n+6＝．∴当a n＝4时．故答案为：﹣6．5．若变量x，y满足，且x﹣2y≤a恒成立，则a的最小值为4．【分析】令z＝x﹣2y，作平面区域，从而可得到z＝x﹣2y的最大值，从而求得a的最小值．解：令z＝x﹣2y，作变量x，y满足的平面区域如下，结合图象可知，C（0，﹣2）；且z＝x﹣2y在A（0，﹣2）处有最大值4，故a≥4，即实数a的最小值为4，故答案为：4．6．青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，再从5位同学中选出2名一等奖记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A的概率为．【分析】利用分导抽样的性质求出高一学生抽取2名，高二学生抽取2名，高三学生抽取1名，再从5位同学中选出2名一等奖，基本事件个数n＝＝10，记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A包含的基本事件个数m＝＝2，由此能求出事件A的概率．解：青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，则高一学生抽取：5×＝2，高二学生抽取：5×＝2，高三学生抽取：5×＝1，再从5位同学中选出2名一等奖，基本事件个数n＝＝10，记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A包含的基本事件个数m＝＝2，∴事件A的概率为p＝＝＝．故答案为：．7．底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为．【分析】直接求出圆锥或圆柱的全面积，即可确定二者的比值．解：由题意，圆柱与圆锥的底面半径R＝3，圆柱与圆锥的高h＝4，则圆锥的母线长为l＝5，则圆锥的全面积为：πR2+×2πR×l＝9π+15π＝24π；圆柱的全面积为：2πR2+π×2R×h＝18π+24π＝42π．∴圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为：．故答案为：．8．执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为3．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i＝1．第一次执行循环体后：a＝1，b＝8，不满足条件a＞b，故i＝2；第二次执行循环体后：a＝3，b＝6，不满足条件a＞b，故i＝3；第三次执行循环体后：a＝6，b＝3，满足条件a＞b，故输出的i值为：3，故答案为：39．已知x∈（0，），tan（x+）＝﹣3，则＝．【分析】利用两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式可求cos x，sin x，利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式即可求解．解：∵x∈（0，），tan（x+）＝＝﹣3，∴tan x＝2，即sin x＝2cos x，∴sin2x+cos2x＝（2cos x）2+cos2x＝5cos2x＝1，解得cos x＝，sin x＝，∴＝＝＝．故答案为：．10．函数的图象在x＝1处的切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得弦长为2，则实数a的值为﹣6或2．【分析】由题可知切线的斜率k＝f'（1）＝1．又f（1）＝a，所以切点坐标为（1，a），函数f（x）的图象在x＝1处的切线方程为y＝x+a﹣1．所以圆心到切线的距离．则，解得实数a的值是﹣6或2．解：f′（x）＝，由题可知切线的斜率k＝f'（1）＝1．又f（1）＝a，所以切点坐标为（1，a），所以函数的图象在x＝1处的切线方程为y＝x+a﹣1．又因为圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0的圆心坐标为（1，﹣2），半径为3，所以圆心到切线的距离．因为切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得弦长为2，则，解得a＝﹣6或2．故答案为：﹣6或2．11．若正实数x、y满足x2﹣xy+y2＝9，且|x2﹣y2|＜9，则xy的取值范围为（6，9]．【分析】运用基本不等式可得xy的最大值，再由不等式的性质可得xy＞6，即可得到所求范围．解：x＞0，y＞0，x2﹣xy+y2＝9，可得xy＝（x2+y2）﹣9≥2xy﹣9，即xy≤9，当且仅当x＝y＝3取得最大值9；由|x2﹣y2|＜9，即﹣9＜x2﹣y2＜9，即xy﹣x2﹣y2＜x2﹣y2＜x2+y2﹣xy，（x＞0，y＞0），即xy＜2x2，xy＜2y2，化为x＜y＜2x，由x2+y2＝9+xy＞9，可得x＞3，则xy＞x2＞6，综上可得xy∈（6，9]．故答案为：（6，9]．12．已知直角三角形ABC的两直角边CA＝3，CB＝4，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则的最大值为﹣4．【分析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径；建立坐标系求出各点坐标以及对应向量的坐标；结合三角函数的有界性即可求解解：由题意，直角三角形，斜边长为5，由等面积，可得内切圆半径r＝＝1，建立如图所示坐标系则O（0，0），C（﹣1，﹣1），A（2，﹣1），B（﹣1，3）；设P（cosθ，sinθ）；∴＝（2﹣cosθ，﹣1﹣sinθ），＝（﹣1﹣cosθ，3﹣sinθ）；∴＝cos2θ﹣cosθ﹣2+sin2θ﹣2sinθ﹣3＝﹣（2sinθ+cosθ）﹣4＝﹣sin（θ+φ）﹣4；其中tanφ＝；∴sin（θ+φ）＝﹣1时的最大值为：﹣4；故答案为：﹣4．13．已知函数f（x）＝（）x﹣1，x∈[﹣1，0]，g（x）＝a2log2x+3a，x∈[，2]，对任意的x0∈[，2]，总存在x1∈[﹣1，0]使得g（x0）＝f（x1）成立，则实数a的取值范围是{a|0≤a≤1}．【分析】由已知问题可转化为函数g（x）在上值域是f（x）在[﹣1，0]上值域的子集，结合导数及函数的性质分别求解函数的值域即可．解：∵，∴f（0）≤f（x）≤f（﹣1），即0≤f（x）≤4，即函数f（x）的值域为B＝[0，4]，若对于任意的x1∈[﹣1，0]，总存在，使得g（x0）＝f（x1）成立，则函数g（x）在上值域是f（x）在[﹣1，0]上值域A是集合B的子集，即A⊆B，①若a＝0，g（x）＝0，此时A＝{0}，满足条件．②当a≠0时，g（x）＝a2log2x+3a在是增函数，g（x）∈[﹣+3a，a2+3a]，即A＝[﹣+3a，a2+3a]，∴，解可得0≤a≤1，故答案为：{a|0≤a≤1}．14．已知函数f（x）＝x2e x+lnt﹣a，若对任意的t∈[1，e]，f（x）在区间[﹣1，1]总存在唯一的零点，则实数a的取值范围是[1+，e]．【分析】根据导数求出函数的最值，再根据存在唯一的x0∈[﹣1，1]，使得f（x0）＝﹣lnt+a 在t∈[1，e]上恒成立，得到≤f（x0）≤e，即≤﹣lnt+a≤e，得到关于a的不等式组，解得即可．解：函数f（x）＝x2e x+lnt﹣a＝0可得x2e x＝a﹣lnt，令g（x）＝x2e x，则g′（x）＝2xe x+x2e x＝xe x（x+2），x∈[﹣1，1]，令g′（x）＝0，则x＝0，当g′（x）＞0时，0＜x≤1，当g′（x）＜0时，﹣1≤x＜0，∴g（x）在（﹣1，0）单调递减，在（0，1]上单调递增，∴g（x）min＝f（0）＝0∵g（﹣1）＝＜g（1）＝e，∴g（x）max＝g（1）＝e，∵存在唯一的x0∈[﹣1，1]，使得f（x0）＝﹣lnt+a在t∈[1，e]上成立，∴≤f（x0）≤e，因为≤﹣lnt+a≤e在t∈[1，e]上成立，∴，解得1+≤a≤e，故答案为[1+，e]．二、解答题：共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若a＝1，求△ABC面积的最大值．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解cos A，进而可求A；（2）由余弦定理结合基本不等式可求bc的最大值，然后结合三角形的面积公式即可求解．解：（1）由及正弦定理可得，整理可得，sin A cos B+sin B cos A＝2sin C cos A，即sin（A+B）＝sin C＝2sin C cos A，因为sin C≠0，所以cos A＝，所以A＝，（2）由余弦定理可得，＝，所以b2+c2＝1+bc≥2bc，当且仅当b＝c时取等号，所以bc≤1，即bc的最大值为1，此时三角形的面积取得最大值S＝＝．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，E为CD的中点，O为BD上一点，且BC∥平面AOE．（1）求证：O是BD的中点；（2）若AB＝AD，BC⊥BD，求证：平面ABD⊥平面AOE．【分析】（1）利用线面平行的性质即可得证；（2）直接利用面面垂直的判定定理证明即可．【解答】证明：（1）∵BC∥平面AOE，BC在平面BCD内，平面BCD∩平面AOE＝OE，∴BC∥OE，∵E为CD的中点，∴O为BD的中点；（2）∵OE∥BC，BC⊥BD，∴OE⊥BD，∵AB＝AD，O为BD的中点，∴OA⊥BD，∵OE∩OA＝A，且都在平面AOE内，∴BD⊥平面AOE，∵BD在平面ABD内，∴平面ABD⊥平面AOE．17．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上的一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为，点A为椭圆C的左顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设圆M：x2+（y﹣2）2＝r2（0＜r＜2），过点A作圆M的两条切线分别交椭圆C 于点B和D，求证：直线BD过定点．【分析】（1）根据椭圆的定义，利用椭圆的离心率公式即可求得c和b，即可求得椭圆的标准方程；（2）设切线方程，根据点到直线的距离公式等于半径，求得k1k2＝1，将直线方程代入椭圆方程，求得B和D点坐标，求得直线BD的方程，即可判断直线BD过定点．解：（1）由椭圆的定义2a＝4，则a＝2，，则c＝，所以b2＝a2﹣c2＝1，因此椭圆C的标准方程；（2）证明：设切线AB，CD的方程为y＝k（x+2），则，即（4﹣r2）k2﹣8k+4﹣r2＝0，设两切线AB，AD的斜率为k1，k2，则k1k2＝1，联立，得（1+4k2）x2+16k2﹣4＝0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则x1＝，y1＝，同理得x2＝＝，y2＝＝，所以直线BD的斜率k BD＝＝．则直线BD的方程为y﹣＝（x﹣），整理得y＝（x+），故直线BD过定点（﹣，0）．18．（16分）如图，一条小河岸边有相距8km的A，B两个村庄（村庄视为岸边上A，B 两点），在小河另一侧有一集镇P（集镇视为点P），P到岸边的距离PQ为2km，河宽OH为0.05km，通过测量可知，∠PAB与∠PBA的正切值之比为1：3．当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥MN（M，N分别为两岸上的点，且MN垂直河岸，M在Q的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知A，B两村的人口数分别是1000人、500人，假设一年中每人去集镇的次数均为m次．设∠PMQ＝θ．（小河河岸视为两条平行直线）（1）记L为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用θ表示L；（2）试确定θ的余弦值，使得L最小，从而符合建桥要求．【分析】（1）通过∠PAB与∠PBA的正切值之比为1：3，推出PA：PB＝3：1，求出L＝1000（AN+MN+MP）+500（BN+MN+MP），得到解析式．（2），求出函数的导数，判断函数的单调性，得到函数的最值即可．解：（1）因∠PAB与∠PBA的正切值之比为1：3，所以，所以PA：PB＝3：1，即PA＝6，PB＝2，因PQ＝2，所以，，所以L＝1000（AN+MN+MP）+500（BN+MN+MP），所以，化简得，．（2）由（1）知，所以，化简得，由L'＝0，得，令，且，当θ∈（0，θ0）时，，L'＜0；当时，，L'＞0；所以函数L（θ）在（0，θ0）上单调递减；在上单调递增；所以θ＝θ0时函数L（θ）取最小值，即当时，符合建桥要求，答：（1），；（2）当时，符合建桥要求．19．（16分）已知数列{a n}，其前n项和为{S n}，满足a1＝2，S n＝λna n+μa n﹣1，其中n≥2，n∈N*，λ，μ∈R．（1）若λ＝0，μ＝4，b n＝a n+1﹣2a n（n∈N*），求证：数列{b n}是等比数列；（2）若数列{a n}是等比数列，求λ，μ的值；（3）若a2＝3，且λ+μ＝，求证：数列{a n}是等差数列．【分析】（1）利用数列的递推关系，结合等比数列的定义进行证明即可．（2）根据等比数列的性质建立方程关系进行求解．（3）利用数列的递推关系，结合等差数列的定义进行证明．【解答】（1）证明：若λ＝0，μ＝4，则当S n＝4a n﹣1（n≥2），所以a n+1＝S n+1﹣S n＝4（a n﹣a n﹣1），即a n+1﹣2a n＝2（a n﹣2a n﹣1），所以b n＝2b n﹣1，又由a1＝2，a1+a2＝4a1，得a2＝3a1＝6，a2﹣2a1＝2≠0，即b n≠0，所以＝2，故数列{b n}是等比数列．（2）若{a n}是等比数列，设其公比为q（q≠0），当n＝2时，S2＝2λa2+μa1，即a1+a2＝2λa2+μa1，得1+q＝2λq+μ，①当n＝3时，S3＝3λa3+μa2，即a1+a2+a3＝3λa3+μa2，得1+q+q2＝3λq2+μq，②当n＝4时，S4＝4λa4+μa3，即a1+a2+a3+a4＝4λa4+μa3，得1+q+q2+q3＝4λq3+μq2，③②﹣①×q，得1＝λq2，③﹣②×q，得1＝λq3，解得q＝1，λ＝1．代入①式，得μ＝0．此时S n＝na n，（n≥2），所以a1＝2，{a n}是公比为1的等比数列，故λ＝1，μ＝0．（3）证明：若a2＝3，由a1+a2＝2λa2+μa1，得5＝6λ+2μ，又λ+μ＝，解得λ＝，μ＝1．由a1＝2，a2＝3，λ＝，μ＝1，代入S n＝λna n+μa n﹣1得a5＝4，所以a1，a2，a3成等差数列，由S n＝a n+a n﹣1，得S n+1＝a n+1+a n，两式相减得：a n+1＝a n+1a n+a n﹣a n﹣1，即（n﹣1）a n+1﹣（n﹣2）a n﹣2a n﹣1＝0，所以na n+2﹣（n﹣1）a n+1﹣2a n＝0，相减得：na n+2﹣2（n﹣1）a n+1+（n﹣2）a n﹣2a n+2a n﹣1＝0，所以n（a n+2﹣2a n+1+a n）+2（a n+1﹣2a n+a n﹣1）＝0，所以a n+2﹣2a n+1+a n＝﹣（a n+1﹣2a n+a n﹣1）＝（a n﹣2a n﹣1+a n﹣2）＝…＝（a3﹣2a2+a1），因为a3﹣2a2+a1＝0，所以a n+2﹣2a n+1+a n＝0，即数列{a n}是等差数列．20．（16分）若函数f（x）+g（x）和f（x）•g（x）同时在x＝t处取得极小值，则称f （x）和g（x）为一对“P（t）函数”．（1）试判断f（x）＝x与g（x）＝x2+ax+b是否是一对“P（1）函数”；（2）若f（x）＝e x与g（x）＝x2+ax+1是一对“P（t）函数”．①求a和t的值；②若a＜0，若对于任意x∈[1，+∞），恒有f（x）+g（x）＜m⋅f（x）g（x），求实数m的取值范围．【分析】（1）设立两个新函数h1（x）＝f（x）+g（x），h2（x）＝f（x）•g（x），分别求导，看在x＝1处是否有极小值，从而得出判断．（2）①设立两个新函数h1（x）＝e x+x2+ax+1，h2（x）＝e x•（x2+ax+1），分别求导，由f（x）＝e x与g（x）＝x2+ax+1是一对“P（t）函数，对a进行分类讨论，看极小值从而得到结论．②由①的结论，对不等式进行转化，根据恒成立的条件进行求解即可．解：令h1（x）＝f（x）+g（x），h2（x）＝f（x）•g（x）．（1）则h′1（x）＝2x+a+1，h′2（x）＝3x2+2ax+b．∵f（x）＝x与g（x）＝x2+ax+b是一对“P（1）函数”；∴，∴此时，因h′2（x）＝3x2﹣6x+3＝3（x﹣1）2≥0，h2（x）无极小值．故f（x）＝x与g（x）＝x2+ax+b不是一对“P（1）函数”．（2）①h1（x）＝e x+x2+ax+1，h2（x）＝e x•（x2+ax+1），h′1（x）＝e x+2x+a，h′2（x）＝e x[x2+（a+2）x+a+1]＝e x•（x+1）（x+a+1）．若f（x）＝e x与g（x）＝x2+ax+1是一对“P（t）函数”，由h′2（x）＝e x•（x+1）（x+a+1）＝0，得x1＝﹣1，x2＝﹣a﹣1，1°若a＞0，则有﹣a﹣1（﹣1，+∞）x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，﹣a﹣1）h′2（x）+0﹣0+h2（x）↑极大值↓极小值↑因为h2（x）在x＝t处取得极小值，所以t＝1，从而h′1（﹣1）＝e﹣1﹣2+a＝0，a＝2﹣，经验证知h1（x）＝e x+x2+（2﹣）x+1，在x＝﹣1处取得极小值，∴2°若a＜0，则有x（﹣∞，﹣a﹣1）﹣a﹣1（﹣a﹣1，﹣1）﹣1（1，+∞）h′2（x）+0﹣0+h2（x）↑极大值↓极小值↑因为h2（x）在x＝t处取得极小值，所以t＝﹣a﹣1；从而h′1（﹣a﹣1）＝e﹣a﹣1﹣a﹣2＝0令φ（a）＝e﹣a﹣1﹣a﹣2，a＜0，φ（a）在（﹣∞，0）是减函数，且φ（﹣1）＝0，所以a＝﹣1，从而，经验证知h1＝（x）＝e x+x2﹣x+1在x＝0处取得极小值，所以3．当a＝0时，h′2（x）＝e x•（x+1）2≥0，h2（x）是增函数，无极小值，与题设不符．综上所述：或，②∵a＜0，由①结论可知，f（x）＝e x与g（x）＝x2﹣x+1，∴易见f（x）＞0，g（x）＞0，故不等式f（x）+g（x）＜m⋅f（x）g（x ）等价于：，令H（x ）＝，则H（x）max＜m．∵x≥1，∴H（x）单调递减，∴H（x）max＝H（1）＝+1，从而m．【选做题】本题包括21、22两小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．已知矩阵M＝满足：Ma i＝λi a i，其中λi（i＝1，2）是互不相等的实常数，a i（i ＝1，2）是非零的平面列向量，λ1＝1，a2＝，求矩阵M．【分析】由题意λ1，λ2是方程f（λ）＝＝λ2﹣ab＝0的两根，由λ1＝1得ab＝1，由Ma2＝λ2a2得•＝λ2，求得，再由λ1≠λ2求得a、b的值即可．解：由题意，λ1，λ2是方程f（λ）＝＝λ2﹣ab＝0的两根，因为λ1＝1，所以ab＝1；又因为Ma2＝λ2a2，所以•＝λ2，从而，所以，因为λ1≠λ2，所以λ2＝﹣1，从而a＝b＝﹣1，故矩阵M＝．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：，曲线C2：（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C3：（t为参数，t＞0，）分别交C1，C2于A，B 两点，当α取何值时，取得最大值．【分析】（Ⅰ）利用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）＝＝＝，即可得出结论．解：（Ⅰ）因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，C1的极坐标方程为，C2的普通方程为x2+（y﹣1）2＝1，即x2+y2﹣2y＝0，对应极坐标方程为ρ＝2sinθ．（Ⅱ）曲线C3的极坐标方程为θ＝α（ρ＞0，）设A（ρ1，α），B（ρ2，α），则，ρ2＝2sinα，所以＝＝＝，又，，所以当，即时，取得最大值．【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）及点M（2，0），动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4．（1）求p的值；（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上．【分析】（1）当直线l过点M且垂直于x轴时，由AB＝4知抛物线所过的点，代入抛物线方程求得p的值；（2）设直线l的方程，与抛物线方程联立，消去x化简得关于y的方程，利用根与系数的关系以及中点坐标求出直线l1的方程，再根据垂直关系求出直线l2的方程，由此求得两直线的交点坐标P，并判断点P在定直线x＝1上．【解答】（1）解：当直线l过点M（2，0），且垂直于x轴时，由AB＝4，知抛物线y2＝2px（p＞0）过点（2，2），代入抛物线方程，得4＝2p×2，解得p＝1；（2）证明：由题意设直线l的方程为：y＝k（x﹣2），且k≠0，点A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去x，化简得ky2﹣2y﹣4k＝0，由根与系数的关系得y1+y2＝，y1y2＝﹣4；又点C在直线AB上，则y C＝＝，所以直线l1的方程为y＝；又直线l2过点M且与直线l垂直，则直线l2的方程为y＝﹣（x﹣2）；联立，解得，所以点P（1，），所以点P在定直线x＝1上．24．设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；（Ⅱ）数列{a n}满足a1＞，a n+1＝a n+a n1﹣p．证明：a n＞a n+1＞．【分析】第（Ⅰ）问中，可构造函数f（x）＝（1+x）p﹣（1+px），求导数后利用函数的单调性求解；对第（Ⅱ）问，从a n+1着手，由a n+1＝a n+a n1﹣p，将求证式进行等价转化后即可解决，用相同的方式将a n＞a n+1进行转换，设法利用已证结论证明．【解答】证明：（Ⅰ）令f（x）＝（1+x）p﹣（1+px），则f′（x）＝p（1+x）p﹣1﹣p ＝p[（1+x）p﹣1﹣1]．①当﹣1＜x＜0时，0＜1+x＜1，由p＞1知p﹣1＞0，∴（1+x）p﹣1＜（1+x）0＝1，∴（1+x）p﹣1﹣1＜0，即f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0]上为减函数，∴f（x）＞f（0）＝（1+0）p﹣（1+p×0）＝0，即（1+x）p﹣（1+px）＞0，∴（1+x）p＞1+px．②当x＞0时，有1+x＞1，得（1+x）p﹣1＞（1+x）0＝1，∴f′（x）＞0，∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）＞f（0）＝0，∴（1+x）p＞1+px．综合①、②知，当x＞﹣1且x≠0时，都有（1+x）p＞1+px，得证．（Ⅱ）先证a n+1＞．∵a n+1＝a n+a n1﹣p，∴只需证a n+a n1﹣p＞，将写成p﹣1个相加，上式左边＝，当且仅当，即时，上式取“＝”号，当n＝1时，由题设知，∴上式“＝”号不成立，∴a n+a n1﹣p＞，即a n+1＞．再证a n＞a n+1．只需证a n＞a n+a n1﹣p，化简、整理得a n p＞c，只需证a n＞．由前知a n+1＞成立，即从数列{a n}的第2项开始成立，又n＝1时，由题设知成立，∴对n∈N*成立，∴a n＞a n+1．综上知，a n＞a n+1＞，原不等式得证．。
2020年高考江苏(专用)全真模拟 数学试题(附答案与全解全析)
2020年高考江苏（专用）全真模拟试题数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．定义一种集合运算(){|AB x x A B =∈⋃，且()}x A B ∉⋂}，设{}|22M x x =-<<，{}|13N x x =<<，则MN 所表示的集合是________.2．已知复数z 满足(1)13i z i +=+，则z =________.3．已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则28sin()a a +=________ 4．函数()f x =的定义域为_______. 5．已知sin cos 11cos 2ααα=-，1tan()3αβ-=，则tan β=________.6．如图，在ABC V 中，若AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v，线段AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP ma nb =+u u u v v v，则m n +=_____．7．在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的数能被2或5整除的概率是___________.8．设样本数据x 1，x 2，…，x 2 017的方差是4，若y i ＝x i －1(i ＝1，2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为______．9．在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，若其外接球的表面积为16π，则异面直线1BD 与1CC 所成的角的余弦值为__________．10．曲线()x f x xe =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距是_______. 11．定义在R 上的奇函数()f x ，若()1f x +为偶函数，且()12f -=，则()()1213f f +的值等于______.12．根据如图所示算法流程图，则输出S 的值是__．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，圆222:O x y a +=与双曲线的渐近线在第二象限相交于点M （O 为坐标原点），若直线MF 的斜率为ba，则双曲线C 的离心率为______. 14．已知偶函数满足，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围_________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos sin 0b A a B -=. （1）求角A 的大小； （2）已知b =ABC ∆的面积为1，求边a .16．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，1PA AB ==，AD =，F 是PB 中点，点E在BC 边上．()f x []2(2)(),1,0()f x f x x f x x -=∈-=且当时，[]13-，()()()log 2a g x f x x =-+a（1）求三棱锥E PAD -的体积； （2）求证：AF PE ⊥；（3）若//EF 平面PAC ，试确定E 点的位置．17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，右焦点为F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过定点(2,0)P 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，连接AF 并延长交C 于M ，求证：PFM PFB ∠=∠.18．已知函数()2ln 1f x x x kx =+--.（I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <，求证：()()210f x f x <<. 19．已知数列{}n a 中，11a =, 且()21232,1n n n na a n n n N n -*-=+≥∈-g . （1）求23,a a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）令()13n n nb n N a -*=∈, 数列{}n b 的前n 项和为n S , 试比较2nS 与n 的大小；（3）令()11n n a c n N n *+=∈+, 数列()221n n c c ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T , 求证: 对任意n N *∈, 都有2n T <. 20．如图所示，某镇有一块空地OAB ∆，其中3OA km =，OB =，AOB 90∠=o 。
【首发】江苏省2020-2021学年度第一学期新高考质量检测模拟试题高三数学试题(PDF版)
15．若一个圆柱的轴截面是面积为 4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为________．
16．已知数列{an}的前 n项和为 Sn，且满足：a1＝1，a2＝2，Sn＋1＝an＋2－an＋1(n∈N*)，若
不等式λSn>an恒成立，则实数λ的取值范围是________．
四、解答题(本大题共 6小题，共 70分)
(1)求 A的大小； (2)若 a＝ 2，B＝π3，求△ABC的面积．
19.(12分)如图，在五边形 ABSCD中，四边形 ABCD为长方形，△SBC为边长为 2的正三角 形，将△SBC沿 BC折起，使得点 S在平面 ABCD上的射影恰好在 AD上．
(1)当 AB＝ 2时，证明：平面 SAB⊥平面 SCD； (2)若 AB＝1，求平面 SCD与平面 SBC所成二面角的余弦值的绝对值．
{ 13．f(x)＝ 1 2x＋1，x≤0， －x－12，x>0，
则使 f(a)＝－1成立的 a的值是________．
14．已知 xn＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋an(x＋1)n(n∈N*)对任意 x∈R恒成立，则 a0＝
________；若 a4＋a5＝0，则 n＝________.(本题第一空 2分，第二空 3分)
[ ] A．g(x)在 0，π2上的最小值为 0 [ ] B．g(x)在 0，π2上的最小值为－1 [ ] C．g(x)在 0，π2上的最大值为 0 [ ] D．g(x)在 0，π2上的最大值为 1
10．如图所示的函数图象，对应的函数解析式不可能是( )
A．y＝2x－
列对“等方差数列”的判断正确的是( )
A．若{an}是等差数列，则{a2 n}是等方差数列 B．{(－1)n}是等方差数列
江苏省盐城市、南京市2020届高三第一次模拟考试数学试题含附加题 Word版含答案
盐城市、南京市2020届高三年级第一次模拟考试数学试题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题．．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：柱体体积公式：V ＝Sh ，锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面积，h 为高．样本数据x 1，x 2，···，x n 的方差s 2＝1n ∑ni ＝1(x i －)2，其中＝1n ∑n i ＝1x i ． 一､ 填空题:本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．1．已知集合A ＝(0，＋∞)，全集U ＝R ，则∁UA ＝ ．2．设复数z ＝2＋i ，其中i 为虚数单位，则z ·—z ＝ ． 3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查， 则甲被选中的概率为 ．4．命题“ θ∈R ，cos θ＋sin θ＞1”的否定是 命题．(填“真”或“假”) 5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ．6．已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是9，且xy ＝110，则此样本的方差 是 ．7．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝4x 上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 ．8．若数列{a n }是公差不为0的等差数列，ln a 1、ln a 2、ln a 5成等差数列，则a 2a 1的值为 ．9．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点P 是棱CC 1上一点，记三棱柱ABC －A 1B 1C 1与四棱锥P －ABB 1A 1的体积分别为V 1与V 2，则V 2V 1＝ ．10．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)的图象与y 轴交点的纵坐标为32，y 轴右侧第一个最低点的横坐标为π6，则ω的值为 ．S ←0 I ←0While S ≤10 S ←S ＋I I ←I ＋1 End While Print I （第5题图）11．已知H 是△ABC 的垂心(三角形三条高所在直线的交点)，AH →＝14AB →＋12AC →，则cos ∠BAC的值为 ．12．若无穷数列{cos(ωn )}(ω∈R )是等差数列，则其前10项的和为 ．13．已知集合P ＝{(x ，y )| x |x |＋y |y |＝16}，集合Q ＝{(x ，y )| kx ＋b 1≤y ≤kx ＋b 2}，若P Q ，则|b 1－b 2|k 2＋1的最小值为 ．14．若对任意实数x ∈(－∞，1]，都有|e xx 2－2ax ＋1|≤1成立，则实数a 的值为 ．二､解答题:本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内． 15．(本小题满分14分)已知△ABC 满足sin(B ＋π6)＝2cos B ．（1）若cos C ＝63，AC ＝3，求AB ；（2）若A ∈(0，π3)，且cos(B －A )＝45，求sin A ．16．(本小题满分14分)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱CC 1上的一点．（1）若AC 1//平面PBD ，求PC 1PC 的值；（2）求证：BD ⊥A 1P ．A B DA 1B 1C 1P （第16题图）17．(本小题满分14分)如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O 中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙P 与⊙Q 做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面(接缝忽略不计)，AB 为圆柱的一条母线，点A 、B 在⊙O 上，点P 、Q 在⊙O 的一条直径上，AB ∥PQ ，⊙P 、⊙Q 分别与直线BC 、AD 相切，都与⊙O 内切． （1）求圆形铁皮⊙P 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P 与⊙Q 半径的值，使得油桶的体积最大．(不取近似值)18．(本小题满分16分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率是e ，动点P (x 0，y 0)在椭圆C上运动．当PF 2⊥x 轴时，x 0＝1，y 0＝e ． （1）求椭圆C 的方程；（2）延长PF 1，PF 2分别交椭圆C 于点A ，B (A ，B 不重合)．设AF 1→＝λF 1P →，BF 2→＝μF 2P →，求λ＋μ的最小值．ABCDOQP（第17题图）y （第18题图） AB P F 1 F 2 O x19．(本小题满分16分)定义：若无穷数列{a n }满足{a n ＋1－a n }是公比为q 的等比数列，则称数列{a n }为“M (q )数列”． 设数列{b n }中b 1＝1，b 3＝7．（1）若b 2＝4，且数列{b n }是“M (q )数列”，求数列{b n }的通项公式；（2）设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＋1＝2S n －12n ＋λ，请判断数列{b n }是否为“M (q )数列”，并说明理由；（3）若数列{b n }是“M (2)数列”，是否存在正整数m ，n 使得40392019＜b m b n ＜40402019?若存在，请求出所有满足条件的正整数m ，n ；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分16分)若函数f (x )＝e x －a e －x －mx (m ∈R )为奇函数，且x ＝x 0时f (x )有极小值f (x 0)． （1）求实数a 的值；（2）求实数m 的取值范围；（3）若f (x 0)≥－2e恒成立，求实数m 的取值范围．注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题．．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸卡． 21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷．．卡．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知圆C 经矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤a 33 －2变换后得到圆C′：x 2＋y 2＝13，求实数a 的值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线ρcos θ＋2ρsin θ＝m 被曲线ρ＝4sin θ截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值．C ．选修4—5：不等式选讲已知正实数a ，b ，c 满足1a ＋2b ＋3c ＝1，求a ＋2b ＋3c 的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，AA1、BB1是圆柱的两条母线，A1B1、AB分别经过上下底面圆的圆心O1、O，CD 是下底面与AB垂直的直径，CD＝2．（1）若AA1＝3，求异面直线A1C与B1D所成角的余弦值；（2）若二面角A1－CD－B1的大小为π3，求母线AA1的长．23．(本小题满分10分)设∑2ni＝1(1－2x)i＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n x2n(n∈N*)，记S n＝a0＋a2＋a4＋…＋a2n．（1）求S n；（2）记T n＝－S1C1n＋S2C2n－S3C3n＋…＋(－1)n S n C nn，求证：|T n|≥6n3恒成立．（第22题图）盐城市､南京市2020届高三年级第一次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．(－∞，0] 2．5 3．23 4．真 5．6 6．2 7．2 38．3 9．23 10．7 11．33 12．10 13．4 14．－12二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内． 15．(本小题满分14分)解：（1）由sin(B ＋π6)＝2cos B ，可知32sin B ＋12cos B ＝2cos B ，即sin B ＝3cos B ．因为cos B ≠0，所以tan B ＝3．又B ∈(0，π)，故B ＝π3． ……………………………………………2分由cos C ＝63，C ∈(0，π)， 可知sin C ＝1－cos 2C ＝33． ……………………………4分在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，可得 AC sin π3＝ABsin C，所以AB ＝2． ………………………………………………………………7分 （2）由（1）知B ＝π3，所以A ∈(0，π3)时，π3－A ∈(0，π3)，由cos(B －A )＝45，即cos(π3－A )＝45，所以sin(π3－A )＝1－cos 2(π3－A )＝35，………………………10分所以sin A ＝sin[π3－(π3－A )]＝sin π3cos(π3－A )－cos π3sin(π3－A )＝32×45－12×35＝43－310． ………………14分 16．(本小题满分14分)证明：（1）连结AC 交BD 于点O ，连结OP ．因为AC 1//平面PBD ，AC 1⊂平面ACC 1， 平面ACC 1∩平面BDP ＝OP ，所以AC 1//OP ． ………………………3分 因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ， 所以点O 是AC 的中点，所以AO ＝OC ，所以在△ACC 1中，PC 1PC ＝AOOC ＝1． …………………6分 （2）连结A 1C 1．因为ABCD －A 1B 1C 1D 1为长方体，所以侧棱C 1C ⊥平面ABCD ． 又BD ⊂平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ． ………………………8分 因为底面ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ．………………………10分 又AC ∩CC 1＝C ，AC ⊂面ACC 1A 1， CC 1⊂面ACC 1A 1，所以BD ⊥面ACC 1A 1． …………………………………………12分 又因为A 1P ⊂面ACC 1A 1，所以BD ⊥A 1P ． ……………………………14分17．(本小题满分14分)解：（1）设⊙P 半径为r ，则AB ＝4(2－r )，所以⊙P 的周长2πr ＝BC ≤216－4(2－r )2， …………………………………4分 解得 r ≤16π2＋4，ODA B 1C 1P（第16题图）故⊙P 半径的取值范围为(0，16π2＋4]． ……………………………………6分 （2）在（1）的条件下，油桶的体积V ＝πr 2·AB ＝4πr 2(2－r )．……………………………8分设函数f (x )＝x 2(2－x )，x ∈(0，16π2＋4]，所以f '(x )＝4x －3x 2，由于16π2＋4＜43，所以f '(x )＞0在定义域上恒成立，故f (x )在定义域上单调递增， 即当r ＝16π2＋4时，体积取到最大值．……………………………………………13分 答：⊙P 半径的取值范围为(0，16π2＋4]．当r ＝16π2＋4米时，体积取到最大值．…………14分18．(本小题满分16分)解：（1）由当PF 2⊥x 轴时，x 0＝1，可知c ＝1． ………………………………2分将x 0＝1，y 0＝e 代入椭圆方程得1a 2＋e 2b2＝1．由e ＝c a ＝1a ，b 2＝a 2－c 2＝a 2－1，所以1a 2＋1a 2(a 2－1)＝1，解得a 2＝2，故b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1．…………………………………………………4分（2）方法一：设A (x 1，y 1)，由AF 1→＝λF 1P →，得⎩⎨⎧－1－x 1＝λ(x 0＋1)，－y 1＝λy 0，即⎩⎨⎧x 1＝－λx 0－λ－1， y 1＝－λy 0，代入椭圆方程，得(－λx 0－λ－1)22＋(－λy 0)2＝1． …………………………8分又由x 202＋y 0＝1，得(λx 0)22＋(λy 0)2＝λ2，两式相减得(λ＋1)(2λx 0＋λ＋1)2＝1－λ2． 因为λ＋1≠0，所以2λx 0＋λ＋1＝2(1－λ)，故λ＝13＋2x 0． ……………………………………………………12分同理可得μ＝13－2x 0， ……………………………………………………14分故λ＋μ＝13＋2x 0＋13－2x 0＝69－4x 20≥23，当且仅当x 0＝0时取等号，故λ＋μ的最小值为23． (16)分方法二：由点A ，B 不重合可知直线PA 与x 轴不重合，故可设直线PA 的方程为x ＝my －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1， x ＝my －1，消去x ，得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0．设A (x 1，y 1)，则y 0y 1＝－1m 2＋2，所以y 1＝－1(m 2＋2)y 0． ……………………8分将点P (x 0，y 0)代入椭圆的方程得x 202＋y 02＝1，代入直线PA 的方程得x 0＝my 0－1，所以m ＝x 0＋1y 0．由AF 1→＝λF 1P → ，得－y 1＝λy 0，故λ＝－y 1y 0＝1(m 2＋2)y 20＝1(x 0＋1)2＋2y 20＝1(x 0＋1)2＋2(1－12x 20)＝13＋2x 0． …………………………………………12分 同理可得μ＝13－2x 0． …………………………………………14分故λ＋μ＝13＋2x 0＋13－2x 0＝69－4x 20≥23，当且仅当x 0＝0时取等号，故λ＋μ的最小值为23． ……………………………16分注：（1）也可设P (2cos θ，sin θ)得λ＝13＋22cos θ，其余同理．（2）也可由1λ＋1μ＝6，运用基本不等式求解λ＋μ的最小值．19．(本小题满分16分)解：（1）因为b 2＝4，且数列{b n }是“M (q )数列”，所以q ＝b 3－b 2b 2－b 1＝7－44－1＝1，所以b n ＋1－b nb n －b n －1＝1，n ≥2，即b n ＋1－b n ＝b n －b n －1 ，n ≥2， ………………………………2分 所以数列{b n }是等差数列，其公差为b 2－b 1＝3，所以数列{b n }通项公式为b n ＝1＋(n －1)×3，即b n ＝3n －2． …………………4分 （2）由b n ＋1＝2S n －12n ＋λ，得b 2＝32＋λ，b 3＝4＋3λ＝7，故λ＝1．方法一：由b n ＋1＝2S n －12n ＋1，得b n ＋2＝2S n ＋1－12(n ＋1)＋1，两式作差得b n ＋2－b n ＋1＝2b n ＋1－12，即b n ＋2＝3b n ＋1－12，n ∈N *．又b 2＝52，所以b 2＝3b 1－12，所以b n ＋1＝3b n －12对n ∈N *恒成立， ……………………6分 则b n ＋1－14＝3(b n －14)．因为b 1－14＝34≠0，所以b n －14≠0，所以b n ＋1－14b n －14＝3， 即{b n －14}是等比数列，……………………………………………………8分 所以b n －14＝(1－14)×3n －1＝14×3n ，即b n ＝14×3n ＋14， 所以b n ＋2－b n ＋1b n ＋1－b n ＝(14×3n ＋2＋14)－(14×3n ＋1＋14)(14×3n ＋1＋14)－(14×3n ＋14)＝3， 所以{b n ＋1－b n }是公比为3的等比数列，故数列{b n }是“M (q )数列”．………10分方法二：同方法一得b n ＋1＝3b n －12对n ∈N *恒成立， ……………………6分 则b n ＋2＝3b n ＋1－12，两式作差得b n ＋2－b n ＋1＝3(b n ＋1－b n )．……………………8分 因为b 2－b 1＝32≠0，所以b n ＋1－b n ≠0，所以b n ＋2－b n ＋1b n ＋1－b n＝3， 所以{b n ＋1－b n }是公比为3的等比数列，故数列{b n }是“M (q )数列”．………10分（3）由数列{b n }是“M (2)数列”，得b n ＋1－b n ＝(b 2－b 1)×2n －1．又b 3－b 2b 2－b 1＝2，即7－b 2b 2－1＝2，所以b 2＝3，所以b 2－b 1＝2，所以b n ＋1－b n ＝2n ， 所以当n ≥2时，b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝2n －1．当n ＝1时上式也成立，所以b n ＝2n －1． ………………………………12分假设存在正整数m ，n ，使得40392019＜b m b n ＜40402019，则40392019＜2m －12n －1＜40402019． 由2m －12n －1＞40392019＞1，可知2m －1＞2n －1，所以m ＞n ． 又m ，n 为正整数，所以m －n ≥1．又2m －12n －1＝2m －n (2n －1)＋2m －n －12n －1＝2m －n ＋2m －n －12n －1＜40402019， 所以2m －n ＜40402019＜3，所以m －n ＝1， ………………………………14分 所以2m －12n －1＝2＋12n －1，即40392019＜2＋12n －1＜40402019，所以20212＜2n ＜2020， 所以n ＝10，m ＝11，故存在满足条件的正整数m ，n ，其中m ＝11，n ＝10． ………………………16分20．(本小题满分16分)解：（1）由函数f (x )为奇函数，得f (x )＋f (－x )＝0在定义域上恒成立，所以 e x －a e －x －mx ＋e －x －a e x ＋mx ＝0，化简可得 (1－a )·(e x ＋e －x )＝0，所以a ＝1． ………………………………3分（2）方法一：由（1）可得f (x )＝e x －e －x －mx ，所以f '(x )＝e x ＋e －x －m ＝e 2x －m e x ＋1e x． ①当m ≤2时，由于e 2x －m e x ＋1≥0恒成立，即f '(x )≥0恒成立，故不存在极小值． …………………………………5分②当m ＞2时，令e x ＝t ，则方程t 2－mt ＋1＝0有两个不等的正根t 1，t 2 (t 1＜t 2)，故可知函数f (x )＝e x －e －x －mx 在(－∞，ln t 1)，(ln t 2，＋∞)上单调递增，在(ln t 1，ln t 2)上单调递减，即在ln t 2处取到极小值，所以，m 的取值范围是(2，＋∞)．……………………………………………9分方法二：由（1）可得f (x )＝e x －e －x －mx ，令g (x )＝f '(x )＝e x ＋e －x －m ，则g ′ (x )＝e x －e －x ＝e 2x －1e x． 故当x ≥0时，g ′(x )≥0；当x ＜0时，g ′(x )＜0， …………………………………5分故g (x )在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，所以g (x )min ＝g (0)＝2－m ．①若2－m ≥0，则g (x )≥0恒成立，所以f (x )单调递增，此时f (x )无极值点．……6分②若2－m ＜0，即m ＞2时，g (0)＝2－m ＜0．取t ＝ln m ，则g (t )＝1m＞0． 又函数g (x )的图象在区间[0，t ]上不间断，所以存在x 0∈ (0，t )，使得 g (x 0)＝0．又g (x )在(0，＋∞)上递增，所以x ∈(0，x 0)时，g (x )＜0，即f '(x )＜0；x ∈(x 0，＋∞)时，g (x )＞0，即f '(x )＞0，所以f (x 0)为f (x )极小值，符合题意．所以，m 的取值范围是(2，＋∞)． …………………………………………9分（3）由x 0满足e x 0＋e －x 0＝m ，代入f (x )＝e x －e －x －mx ,消去m ，可得f (x 0)＝(1－x 0)e x 0－(1＋x 0)e －x 0． ……………………………11分构造函数h (x )＝(1－x )e x －(1＋x )e －x ，所以h ′(x )＝x (e －x －e x )．当x ≥0时，e －x －e x＝1－e 2x e x ≤0，所以当x ≥0时，h ′(x )≤0恒成立， 故h (x )在[0，＋∞)上为单调减函数，其中h (1)＝－2e , ………………13分则f (x 0)≥－2e可转化为h (x 0)≥h (1)，故x 0≤1． ………………15分 由e x 0＋e －x 0＝m ，设y ＝e x ＋e －x ， 可得当x ≥0时，y’＝e x －e －x ≥0，所以y ＝e x ＋e －x 在(0，1]上递增，故m ≤e ＋1e． 综上，m 的取值范围是(2，e ＋1e]．…………………………………………16分盐城市、南京市2020届高三年级第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2020.01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸．．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换解：设圆C 上任一点(x ，y )，经矩阵M 变换后得到圆C’上一点(x’，y’)，所以⎣⎡⎦⎤a 33 －2 ⎣⎡⎦⎤ x y ＝⎣⎡⎦⎤ x ′ y ′，所以⎩⎨⎧ ax ＋3y ＝x ′， 3x －2y ＝y ′． ………………………5分 又因为(x ′)2＋(y ′)2＝13，所以圆C 的方程为(ax ＋3y )2＋(3x －2y )2＝13,化简得(a 2＋9)x 2＋(6a －12)xy ＋13y 2＝13，所以⎩⎨⎧ a 2＋9＝13， 6a －12＝0，解得a ＝2． 所以，实数a 的值为2． …………………………………10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴(单位长度相同)建立平面直角坐标系，由直线ρcos θ＋2ρsin θ＝m ，可得直角坐标方程为x ＋2y －m ＝0．又曲线ρ＝4sin θ，所以ρ2＝4ρsin θ，其直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，………………5分所以曲线ρ＝4sin θ是以(0，2)为圆心，2为半径的圆．为使直线被曲线(圆)截得的弦AB 最长，所以直线过圆心(0，2)，于是0＋2×2－m ＝0，解得m ＝4．所以，实数m 的值为4． ………………………………………10分C ．选修4—5：不等式选讲解：因为1a ＋2b ＋3c ＝1，所以1a ＋42b ＋93c＝1． 由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )(1a ＋42b ＋93c)≥(1＋2＋3)2， 即a ＋2b ＋3c ≥36， ………………………………………………………………………5分当且仅当1a a ＝42b 2b ＝93c 3c，即a ＝b ＝c 时取等号，解得a ＝b ＝c ＝6， 所以当且仅当a ＝b ＝c ＝6时，a ＋2b ＋3c 取最小值36． ………………………………10分22．（本小题满分10分）解：（1）以CD ，AB ，OO 1所在直线建立如图所示空间直角坐标系O －xyz ．由CD ＝2，AA 1＝3，所以A (0，－1，0)，B (0，1，0)，C (－1，0，0)，D (1，0，0)， A 1(0，－1，3)，B 1(0，1，3)，从而A 1C →＝(－1，1，－3)，B 1D →＝(1，－1，－3)，所以cos ＜A 1C →，B 1D →＞＝－1×1＋1×(－1)＋(－3)×(－3)(－1)2＋12＋(－3)2×12＋(－1)2＋(－3)2＝711， 所以异面直线A 1C 与B 1D 所成角的余弦值为711．………………4分 （2）设AA 1＝m ＞0，则A 1(0，－1，m )，B 1(0，1，m )，所以A 1C →＝(－1，1，－m )， B 1D →＝(1，－1，－m )，CD →＝(2，0，0)，设平面A 1CD 的一个法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·CD →＝2x 1＝0，n 1·A 1C →＝－x 1＋y 1－mz 1＝0，所以x 1＝0，令z 1＝1，则y 1＝m ，所以平面A 1CD 的一个法向量n 1＝(0，m ，1)．同理可得平面B 1CD 的一个法向量n 2＝(0，－m ，1)．因为二面角A 1－CD －B 1的大小为π3， 所以|cos ＜n 1，n 2＞|＝|m ×(－m )＋1×1m 2＋12×(－m )2＋12|＝12， 解得m ＝3或m ＝33，由图形可知当二面角A 1－CD －B 1的大小为π3时，m ＝3．……………………10分 注：用传统方法也可，请参照评分．23．（本小题满分10分）解：（1）令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝0．令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2n －1＋a 2n ＝31＋32＋…＋32n ＝32(9n －1)． 两式相加得2(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝32(9n －1)， 所以S n ＝34(9n －1)．…………………………………3分 （2）T n ＝－S 1C 1n ＋S 2C 2n －S 3C 3n ＋…＋(－1)n S n C n n＝34{[－91C 1n ＋92C 2n －93C 3n ＋…＋(－1)n 9n C n n ]－[－C 1n ＋C 2n －C 3n ＋…＋(－1)n C n n ]} ＝34{[90C 0n －91C 1n ＋92C 2n －93C 3n ＋…＋(－1)n 9n C n n ]－[C 0n －C 1n ＋C 2n －C 3n ＋…＋(－1)n C n n ]} ＝34[90C 0n －91C 1n ＋92C 2n －93C 3n ＋…＋(－1)n 9n C n n ] ＝34[C 0n (－9)0＋C 1n (－9)1＋C 2n (－9)2＋…＋C n n (－9)n ] ＝34[1＋(－9)]n ＝34×(－8)n ． …………………………………………7分 要证|T n |≥6n 3，即证34×8n ≥6n 3，只需证明8n －1≥n 3，即证2n －1≥n ． 当n ＝1，2时，2n －1≥n 显然成立．当n ≥3时，2n －1＝C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C n －1n －1≥C 0n －1＋C 1n －1＝1＋(n －1)＝n ，即2n －1≥n ， 所以2n －1≥n 对n ∈N *恒成立．综上，|T n |≥6n 3恒成立．………………………………………………………10分注：用数学归纳法或数列的单调性也可证明2n －1≥n 恒成立，请参照评分．。
江苏省南京市、盐城市2020届高三数学第一次模拟考试(1月)试题
六大注意1 考生需自己粘贴答题卡的条形码考生需在监考老师的指导下，自己贴本人的试卷条形码。
粘贴前，注意核对一下条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号是否有误，如果有误，立即举手报告。
如果无误，请将条形码粘贴在答题卡的对应位置。
万一粘贴不理想，也不要撕下来重贴。
只要条形码信息无误，正确填写了本人的考生号、考场号及座位号，评卷分数不受影响。
2 拿到试卷后先检查有无缺张、漏印等拿到试卷后先检查试卷有无缺张、漏印、破损或字迹不清等情况，尽管这种可能性非常小。
如果有，及时举手报告；如无异常情况，请用签字笔在试卷的相应位置写上姓名、考生号、考场号、座位号。
写好后，放下笔，等开考信号发出后再答题，如提前抢答，将按违纪处理。
3 注意保持答题卡的平整填涂答题卡时，要注意保持答题卡的平整，不要折叠、弄脏或撕破，以免影响机器评阅。
若在考试时无意中污损答题卡确需换卡的，及时报告监考老师用备用卡解决，但耽误时间由本人负责。
不管是哪种情况需启用新答题卡，新答题卡都不再粘贴条形码，但要在新答题卡上填涂姓名、考生号、考场号和座位号。
4 不能提前交卷离场按照规定，在考试结束前，不允许考生交卷离场。
如考生确因患病等原因无法坚持到考试结束，由监考老师报告主考，由主考根据情况按有关规定处理。
5 不要把文具带出考场考试结束，停止答题，把试卷整理好。
然后将答题卡放在最上面，接着是试卷、草稿纸。
不得把答题卡、试卷、草稿纸带出考场，试卷全部收齐后才能离场。
请把文具整理好，放在座次标签旁以便后面考试使用，不得把文具带走。
6 外语听力有试听环外语考试14:40入场完毕，听力采用CD 播放。
14：50开始听力试听，试听结束时，会有“试听到此结束”的提示。
听力部分考试结束时，将会有“听力部分到此结束”的提示。
听力部分结束后，考生可以开始做其他部分试题。
南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：柱体体积公式：V Sh =，锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合(0,)A =+∞，全集U R =，则 U A= ▲ ． 2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅= ▲ ． 3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ▲ ．4．命题“R θ∀∈，cos sin 1θθ+>”的否定是 ▲ 命题.(填“真”或“假”)5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ▲ ．6．已知样本y x ,,9,8,7的平均数是9，且110=xy ，则此样本的方差是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线24y x =上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 ▲ ．00 101 S I While S S S I I I End For Print I←←≤←+←+(第5题图)8．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，1ln a 、2ln a 、5ln a 成等差数列，则21a a 的值为 ▲ ． 9．在三棱柱111ABC A B C -中，点P 是棱1CC 上一点，记三棱柱111ABC A B C -与四棱锥11P ABB A -的体积分别为1V 与2V ，则21V V = ▲ ． 10．设函数()sin()f x x ωϕ=+（0,02πωϕ><<）的图象与y 轴交点的纵坐标为32， y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω的值为 ▲ ． 11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），1142AH AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则cos BAC ∠的值为 ▲ .12．若无穷数列{}cos()n ω()R ω∈是等差数列，则其前10项的和为 ▲ ． 13．已知集合{(,)16}P x y x x y y =+=，集合12{(,)}Q x y kx b y kx b =+≤≤+，若P Q ⊆1221b b k -+的最小值为 ▲ ．14．若对任意实数]1,(-∞∈x ，都有1122≤+-ax x e x成立，则实数a 的值为 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分) 已知ABC ∆满足sin()2cos 6B B π+=．（1）若6cos C =3AC =，求AB ； （2）若0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()4cos 5B A -=，求sin A ．如图，长方体1111D C B A ABCD -中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱1CC 上的一点．（1）若1AC //平面PBD ，求PCPC 1的值； （2）求证：P A BD 1⊥．(第16题图)17．(本小题满分14分)如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从O e 中裁剪出两块全等的圆形铁皮P e 与Q e ，做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB 为圆柱的一条母线，点A 、B 在O e 上，点P 、Q 在O e 的一条直径上，P e 、Q e 分别与直线BC 、AD 相切，都与O e 内切． （1）求圆形铁皮P e 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮P e 与Q e 半径的值，使得油桶的体积最大．(不取近似值)(第17题图)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率是e ，动点00(,)P x y 在椭圆C 上运动，当2PF x ⊥轴时，01x =，0y e =． （1）求椭圆C 的方程；（2）延长12,PF PF 分别交椭圆C 于点,A B （,A B 不重合），设11AF F P λ=u u u r u u u r，22BF F P μ=u u u u r u u u u r，求λμ+的最小值．(第18题图)19．(本小题满分16分)定义:若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“()M q 数列”．设数列{}n b 中11b =，37b =．（1）若24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为 “()M q 数列”，并说明理由；（3）若数列{}n b 是“()2M 数列”，是否存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<?若存在，请求出所有满足条件的正整数,m n ;若不存在，请说明理由．20．(本小题满分16分)若函数()xxf x e aemx -=--()m R ∈为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x ．（1）求实数a 的值；（2）求实数m 的取值范围； （3）若02()f x e≥-恒成立，求实数m 的取值范围．南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试y数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．(,0]-∞ 2．5 3．234．真 5．6 6．2 7．238．3 9．2310．7 11．33 12．10 13．4 14．12- 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）由sin()2cos 6B B π+=可知B B B cos 2cos 21sin 23=+， 移项可得3tan =B ，又),0(π∈B ，故3π=B ， ……………………………………………2分又由6cos C =，),0(π∈C 可知33cos 1sin 2=-=C C ， ……………………………4分 故在ABC ∆中，由正弦定理C c B b sin sin =可得 C ABAC sin 3sin =π，所以2=AB . ………………7分（2）由（1）知3π=B ，所以0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，)3,0(3ππ∈-A ，由()4cos 5B A -=即54)3cos(=-A π可得53)3(cos 1)3sin(2=--=-A A ππ ， ……………10分∴1033453215423)3sin(3cos )3cos(3sin ))3(3sin(sin -=⋅-⋅=---=--=A A A A ππππππ.…14分16．（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结OP ， 又因为1//AC 平面PBD ，⊂1AC 平面1ACC平面1ACC I 平面OP BDP =，所以1//AC OP ……………3分 因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以点O 是AC 的中点，所以AO OC =，所以在1ACC ∆中，11PC AOPC OC==. ……………6分 （2）证明：连结11A C .因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．…………………………………………………………………8分因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥． ……………………………………………………10分 又1AC CC C =I ，AC ⊂面11ACC A ， 1CC ⊂面11ACC A ， 所以BD ⊥面11ACC A . ……………………………………… …………………………………………12分又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，又因为111A ACC A ∈面， 所以A 1P ⊂面ACC 1A 1,所以1BD A P ⊥． ………………………………………………14分17．解：（1）设P e 半径为r ，则)2(4r AB -=， 所以Pe 的周长2)2(41622r BC r --≤=π， ………………………………………………4分解得 4162+≤πr ，故P e 半径的取值范围为]416,0(2+π. ……………………………………………6分 （2）在（1）的条件下，油桶的体积)2(422r r AB r V -=⋅=ππ， ……………………………………8分设函数),2()(2x x x f -=]416,0(2+∈πx ，所以234)(x x x f -='，由于 344162<+π， 所以()0f x '>在定义域上恒成立， 故()f x 在定义域上单调递增，即当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………………………………13分 答：P e 半径的取值范围为]416,0(2+π，当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………14分18.解：（1）由当2PF x⊥轴时01x =，可知1c =， …………………………………………………2分将01x =，0y e =代入椭圆方程得22211e a b+=（※），而1c e a a==，22221b a c a =-=-，代入（※）式得222111(1)a a a +=-， 解得22a =，故21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.…………………………………………………4分 （2）方法一：设11(,)A x y ，由11AF F P λ=u u u r u u u r 得10101(1)x x y y λλ--=+⎧⎨-=⎩，故10101x x y y λλλ=---⎧⎨=-⎩， 代入椭圆的方程得2200(1)()12x y λλλ---+-=（＃）， ………………………………………………8分又由220012x y +=得220012x y =-，代入（＃）式得222001(1)2(1)22x x λλλ+++-=， 化简得203212(1)0x λλλλ+-++=，即0(1)(312)0x λλλ+-+=，显然10λ+≠，∴03120x λλ-+=，故132x λ=+.……………………………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--， 当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分 方法二：由点A ，B 不重合可知直线PA 与x 轴不重合，故可设直线PA 的方程为1x my =-，联立22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得22(2)210m y my +--=（☆），设11(,)A x y ，则1y 与0y 为方程（☆）的两个实根，由求根公式可得0,1y =，故01212y y m -=+，则1201(2)y m y -=+，……………………8分将点00(,)P x y 代入椭圆的方程得220012x y +=， 代入直线PA 的方程得001x my =-，∴001x m y +=，由11AF F P λ=u u u r u u u r 得10y y λ-=，故10y y λ=-2222000111(2)[()2]x m y y y ==+++ 2222000001111(1)232(1)2(1)2x y x x x ===+++++-.…………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--， 当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分 注：（1）也可设,sin )P θθ得λ=，其余同理.（2）也可由116λμ+=运用基本不等式求解λμ+的最小值.19．解：（1）∵24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，∴322174141b b q b b --===--，∴111n n n n b b b b +--=-，∴11n n n n b b b b +--=-，………………………………2分故数列{}n b 是等差数列，公差为213b b -=， 故通项公式为1(1)3n b n =+-⨯，即32n b n =-. ………………………………………………4分（2）由1122n n b S n λ+=-+得232b λ=+，3437b λ=+=，故1λ=.方法一：由11212n n b S n +=-+得2112(1)12n n b S n ++=-++，两式作差得211122n n n b b b +++-=-，即21132n n b b ++=-，又252b =，∴21132b b =-，∴1132n n b b +=-对n N *∈恒成立，……………………6分则1113()44n n b b +-=-，而113044b -=≠，∴104n b -≠，∴114314n n b b +-=-， ∴1{}4n b -是等比数列， ………………………………………………………………………………8分 ∴1111(1)33444n n n b --=-⨯=⨯，∴11344n n b =⨯+，∴2121111111(3)(3)444431111(3)(3)4444n n n n n n n nb b b b ++++++⨯+-⨯+-==-⨯+-⨯+， ∴{}1n n b b +-是公比为3的等比数列，故数列{}n b 是“()M q 数列”.………………………………10分方法二：同方法一得1132n n b b +=-对n N *∈恒成立， 则21132n n b b ++=-，两式作差得2113()n n n n b b b b +++-=-，而21302b b -=≠， ∴10n n b b +-≠，∴2113n n n nb b b b +++-=-，以下同方法一. ……………………………………10分（3）由数列{}n b 是“()2M 数列”得1121()2n n n b b b b -+-=-⨯，又32212b b b b -=-，∴22721b b -=-，∴23b =，∴212b b -=，∴12n n n b b +-=，∴当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L12222121n n n --=++++=-L ， 当1n =时上式也成立，故21n n b =-， ……………………………………12分假设存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<，则40392140402019212019m n -<<-， 由2140391212019m n->>-可知2121m n ->-，∴m n >，又,m n 为正整数，∴1m n -≥，又212(21)2121404022121212019m m n n m n m n m nn nn ------+--==+<---，∴4040232019m n-<<，∴1m n -=，∴21122121m n n -=+--，∴40391404022019212019n <+<-， ∴2020222021<<n ，∴10n =，∴11m =，故存在满足条件的正整数,m n ，11m =，10n =. ……………………………………16分20．解：（1）由函数)(x f 为奇函数，得0)()(=-+x f x f 在定义域上恒成立， 所以 0=+-+----mx ae e mx ae e x x x x ， 化简可得)()1(=+⋅--x x e e a ，所以1=a . ………………………………………………3分（2）法一：由（1）可得mx e e x f xx --=-)(，所以xx x xxeme e m e e x f 1)(2+-=-+='-， 其中当2≤m 时，由于012≥+-x x me e 恒成立，即0)(≥'x f 恒成立，故不存在极小值. ………………………………………………5分 当2>m 时，方程012=+-mt t 有两个不等的正根)(,2121t t t t <， 故可知函数mx ee xf xx--=-)(在),(ln ),ln ,(21+∞-∞t t 上单调递增，在)ln ,(ln 21t t 上单调递减，即在2ln t 处取到极小值，所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分法二：由（1）可得mx e e x f xx--=-)(，令m ee xf xg xx-+='=-)()(，则xx xxe e e e x g 1)(2-=-='-，故当0≥x 时，0)(≥'x g ；当0<x 时，0)(<'x g ， …………………………………………5分 故)(x g 在)0,(-∞上递减，在),0(+∞上递增， ∴m g x g -==2)0()(min ，若02≥-m ，则0)(≥x g 恒成立，)(x f 单调递增，无极值点；所以02)0(<-=m g ，解得2>m ，取m t ln =，则01)(>=mt g ， 又函数)(x g 的图象在区间],0[t 上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间),0(t 上，存在0x 为函数)(x g 的零点，)(0x f 为)(x f 极小值.所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分 （3）由0x 满足m e e x x =+-00，代入mx e e x f x x --=-)(， 消去m可得00)1()1()(000x x e x e x x f -+--=， ……………………………………11分构造函数xxex e x x h -+--=)1()1()(，所以)()(xxe e x x h -='-，当0≥x 时，012≤-=--xx xxee e e ， 所以当0≥x 时，0)(≤'x h 恒成立，故h (x )在[0，+∞)上为单调减函数，其中eh 2)1(-=， ……13分则02()f x e≥-可转化为0()(1)h x h ≥，故10≤x ，由m e e x x =+-00，设xx e e y -+=，可得当0≥x 时，0≥-='-x x e e y ，xx e e y -+=在]1,0(上递增，故ee m 1+≤，综上，m 的取值范围是]1,2(ee + . ………………………………………………16分。
【精校】2020年江苏省南京市高考一模数学
2020年江苏省南京市高考一模数学一、填空题(每题5分，共70分)1.已知集合A={x||x|≤2}，B={x|3x-2≥1}，则A ∩B=____. 解析：由A 中不等式解得：-2≤x ≤2，即A={x|-2≤x ≤2}， 由B 中不等式解得：x ≥1，即B={x|x ≥1}， 则A ∩B={x|1≤x ≤2}. 答案：{x|1≤x ≤2}2.复数212a ii-+(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为____. 解析：()()()()()()2124212124121212555＝＝a i i a a i a a i a i i i i ----++--=-++-． ∵复数212a ii-+是纯虚数 ∴()4052105＝a a ⎧⎪-+-⎨≠⎪⎪⎪⎩，解得：a=4．答案：4．3.已知命题p ：∃x ∈R ，x 2+2x+a ≤0是真命题，则实数a 的取值范围是____.解析：若命题p ：∃x ∈R ，x 2+2x+a ≤0是真命题， 则判别式△=4-4a ≥0， 即a ≤1.答案：(-∞，1]．4.从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为____. 解析：从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条， 共有2、3、5；2、3、6；2、5、6；3、5、6；4种情况， 能构成三角形的有2、5、6；3、5、6，共两种情况， 所以P(任取三条，能构成三角形)=24=12． 答案：125.某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4，5)上的数据的频数为____.解析：根据题意，在区间[4，5]的频率为：1-(0.05+0.1+0.15+0.4)×1=0.3， 而总数为100，因此频数为30． 答案：30．6.在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，则输入的x 的值为____.解析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出254224＜x y x x x ≥=-+⎧⎨⎩的值，当输出的y 的值为26时，显然x ＜4，有x 2-2x+2=26， 解得：x=-4或x=6(舍去) 答案：-47.在平面直角坐标系xOy 中，点F 为抛物线x 2=8y 的焦点，则点F 到双曲线2219y x -=的渐近线的距离为____.解析：抛物线x 2=8y 的焦点F(0，2)，双曲线2219y x -=的渐近线方程为y=±3x ， 则F 到双曲线2219y x -=的渐近线的距离为 2221031d ==+．答案：5．8.已知a ，b 为实数，且a ≠b ，a ＜0，则a____22b b a-．(填“＞”、“＜”或“=”)解析：∵a ≠b ，a ＜0，∴()2220（）＜a b ba b a a---=， ∴22＜b a b a-．答案：＜．9.△ABC 是直角边等于4的等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点，1·4＝AM AB m AC +u u u u r u u u r u u u r，向量AM u u u u r 的终点M 在△ACD 的内部(不含边界)，则·AM BM u u u u r u u u u r 的取值范围是____.解析：以AB 为x 轴，AC 为y 轴，作图如下图，点A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，D(2，2)，则11·44＝=AM AB m AC +u u u u r u u u r u u u r (4，0)+m(0，4)=(1，4m)，则M(1，4m)．又∵点M 在△ACD 的内部(不含边界)，∴1＜4m ＜3，1344＜＜m ，则·AM BM u u u u r u u u u r ═(1，4m)·(-3，4m)=16m 2-3，∴-2＜16m 2-3＜6.答案：(-2，6)．10.已知四数a 1，a 2，a 3，a 4依次成等比数列，且公比q 不为1．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数q 的取值集合是____.解析：因为公比q 不为1，所以不能删去a 1，a 4．设{a n }的公差为d ，则①若删去a 2，则由2a 3=a 1+a 4得2a 1q 2=a 1+a 1q 3，即2q 2=1+q 3，整理得q 2(q-1)=(q-1)(q+1)．又q ≠1，则可得q 2=q+1，又q ＞0解得12q +=； ②若删去a 3，则由2a 2=a 1+a 4得2a 1q=a 1+a 1q 3，即2q=1+q 3，整理得q(q-1)(q+1)=q-1．又q ≠1，则可得q(q+1)=1，又q ＞0解得q =．综上所述，q =答案：{12-，12}．11.已知棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，F 是棱BC 的中点，M 是线段A 1F 上的动点，则△MDD 1与△MCC 1的面积和的最小值是____. 解析：由题意，就是求M 到DD 1与CC 1距离和的最小值，由于A 1F 在平面ABCD 上的射影为AF ，故问题转化为正方形ABCD 中，AF 上的点到D ，C 距离和的最小值，设出D 关于AF 的对称点D'，则DD ′cos ∠CDD ′∴CD '==，∴△MDD 1与△MCC 1的面积和的最小值是12=.12.已知函数f(x)=-x 2+ax+b(a ，b ∈R)的值域为(-∞，0]，若关于x 的不等式f(x)＞c-1的解集为(m-4，m+1)，则实数c 的值为____.解析：∵函数f(x)=-x 2+ax+b(a ，b ∈R)的值域为(-∞，0]， ∴△=0， ∴a 2+4b=0，∴24a b =-．∵关于x 的不等式f(x)＞c-1的解集为(m-4，m+1)， ∴方程f(x)=c-1的两根分别为：m-4，m+1，即方程：2214a x ax c -+-=-两根分别为：m-4，m+1，∵方程：2214a x ax c -+-=-根为：2＝ax ±∴两根之差为：14（）（）m m =+--，214c =-． 答案：214-．13.若对任意的x ∈D ，均有f 1(x)≤f(x)≤f 2(x)成立，则称函数f(x)为函数f 1(x)到函数f 2(x)在区间D 上的“折中函数”．已知函数f(x)=(k-1)x-1，g(x)=0，h(x)=(x+1)lnx ，且f(x)是g(x)到h(x)在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k 的值构成的集合是____. 解析：根据题意，可得0≤(k-1)x-1≤(x+1)lnx 在x ∈[1，2e]上恒成立． 当x ∈[1，2e]时，函数f(x)=(k-1)x-1的图象为一条线段，于是，()()1020f f e ≥≥⎧⎪⎨⎪⎩，解得k ≥2．另一方面，()1ln 11x x k x++-≤在x ∈[1，2e]上恒成立．令()()1ln 1ln 1ln ＝x x x m x x xxx++=++，则()2ln ＝x xm x x -'． 由于1≤x ≤2e ， 所以()1ln 10＝x x x-'-≥， 于是函数x-lnx 为增函数， 从而x-lnx ≥1-ln1＞0， 所以m ′(x)≥0，则函数m(x)为[1，2e]上的增函数． 所以k-1≤[m(x)]min =m(1)=1， 即k ≤2． 综上，k=2． 答案：{2}．14.若实数x ，y满足x -=x 的取值范围是____. 解析：方法一：【几何法】当x=0时，解得y=0，符合题意，当x ＞0时，解答如下：令[0t =，原方程可化为：22xt -+=， 记函数22（）xf t t =-+，（）g t =t ∈[0]， 这两个函数都是关于t 的函数，其中x 为参数， f(t)的图象为直线，且斜率为定值-2， g(t)，问题等价为，在第一象限f(t)，g(t)两图象有公共点， ①当直线与圆相切时，由d=r 解得x=20， ②当直线过的点A(0，2x)在圆上的点(0处时，2x，解得x=4， 因此，要使直线与圆有公共点，x ∈[4，20]， 综合以上分析得，x ∈[4，20]∪{0}． 方法二：【代数法】令[0t =，原方程可化为：4x t -=因为x-y=x-t 2≥0，所以x ≥t 2≥0，两边平方并整理得，20t 2-8xt+x 2-4x=0(*)，这是一个关于t 的一元二次方程，则方程(*)有两个正根(含相等)，()()2221264804014020＝＝x x x t t x x ⎧∆--≥⎪⎨-≥⎪⎩，解得，x ∈[4，20]∪{0}． 特别地，当x=0时，y=0，符合题意．答案：[4，20]∪{0}．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.如图，在平面直角坐标系xOy 上，点A(1，0)，点B 在单位圆上，∠AOB=θ(0＜θ＜π)．(1)若点B 34()55，-，求tan(θ+4π)的值；(2)若OA OB OC +=u u u r u u u r u u u r ，1813OB OC ⋅=u u u r u u u r ，求cos(3π-θ)．解析：(1)利用三角函数的定义及其和差公式即可得出；(2)利用向量的坐标运算、数量积运算性质、同角三角函数基本关系式、和差公式即可得出．答案：(1)由点B 34()55，-，∴sin θ=45，cos θ＝35-，tan θ=43-． ∴41tan tan13tan 471tan tan 44413（）ππθθπθ-+++===--⋅+；(2)∵OA OB OC +=u u u r u u u r u u u r ，∴OC u u u r=(1+cos θ，sin θ)．1813OB OC ⋅=u u u r u u u r ，∴(cos θ，sin θ)·(1+cos θ，sin θ)=cos θ+cos 2θ+sin 2θ=cos θ+1=1813， 解得cos θ=513，∵0＜θ＜π，∴12sin 13θ=．∴15125coscoscos sinsin 33321321326（）πππθθθ+-=+=⨯+=．16.如图，六面体ABCDE 中，面DBC ⊥面ABC ，AE ⊥面ABC ． (1)求证：AE ∥面DBC ；(2)若AB ⊥BC ，BD ⊥CD ，求证：AD ⊥DC ．解析：(1)过点D作DO⊥BC，O为垂足，由已知得DO⊥面ABC，由此能证明AE∥面DBC．(2)由已知得DO⊥AB，AB⊥面DBC，从而AB⊥DC，由此能证明AD⊥DC．答案：(1)过点D作DO⊥BC，O为垂足．因为面DBC⊥面ABC，又面DBC∩面ABC=BC，DO⊂面DBC，所以DO⊥面ABC．又AE⊥面ABC，则AE∥DO．又AE⊄面DBC，DO⊂面DBC，故AE∥面DBC．(2)由(1)知DO⊥面ABC，AB⊂面ABC，所以DO⊥AB．又AB⊥BC，且DO∩BC=O，DO，BC⊂平面DBC，则AB⊥面DBC．因为DC⊂面DBC，所以AB⊥DC．又BD⊥CD，AB∩DB=B，AB，DB⊂面ABD，则DC⊥面ABD．又AD⊂面ABD，故可得AD⊥DC．17.如图，某城市有一条公路正西方AO通过市中心O后转向北偏东α角方向的OB，位于该市的某大学M与市中心O的距离OM=，且∠AOM=β，现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M，其中tanα=2，β=，AO=15km．cos(1)求大学M在站A的距离AM；(2)求铁路AB段的长AB．解析：(1)在△AOM 中，利用已知及余弦定理即可解得AM 的值； (2)由cos β=，且β为锐角，可求sin β，由正弦定理可得sin ∠MAO ，结合tan α=2，可求sin α，cos α，sin ∠ABO ，sin ∠AOB ，结合AO=15，由正弦定理即可解得AB 的值． 答案：(1)在△AOM 中，A0=15，∠AOM=β，且cos β=，OM = 由余弦定理可得：AM 2=OA 2+OM 2-2OA ·OM ·cos ∠AOM=221521572（+-⨯=．所以可得：AM =M 在站A 的距离AM为km ． (2)∵cos β=，且β为锐角，∴sin β=在△AOM 中，由正弦定理可得：sin sin AM OM MAO β=∠=∴sin 2MAO ∠=， ∴4MAO π∠=，∴∠ABO=α-4π，∵tan α=2，∴sin α，cos α=，∴sin sin4（）ABO πα∠=-=又∵∠AOB=π-α， ∴sin ∠AOB=sin(π-α在△AOB 中，AO=15，由正弦定理可得：sin sin AB AOAOB ABO =∠∠15AB ，∴解得AB =AB 段的长AB为km ．18.设椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率2e =，直线与以原点为圆心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切．(1)求椭圆C 的方程； (2)设直线12x =与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆D ，若圆D 与y 轴相交于不同的两点A ，B ，求△ABD 的面积；(3)如图，A 1，A 2，B 1，B 2是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线B 2P 交x 轴于点F ，直线A 1B 2交A 2P 于点E ，设A 2P 的斜率为k ，EF 的斜率为m ，求证：2m-k 为定值． 解析：(1)由于直线与以原点为圆心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切，可得b =，解得b．又离心率ce a==，b 2=a 2-c 2，联立解得即可得出． (2)把12x =代入椭圆方程可得：21116＝y -，可得⊙D 的方程为：22115216＝x y ⎛⎫ ⎪+⎝⎭-．令x=0，解得y ，可得|AB|，利用Δ1·2ABD S AB OD =即可得出． (3)由(1)知：A 1(-2，0)，A 2(2，0)，B 2(0，1)，可得直线A 1B 2AD 的方程，设直线A 2P 的方程为y=k(x-2)，k ≠0，且k ≠±12，联立解得E ．设P(x 1，y 1)，与椭圆方程联立可得(4k 2+1)x 2-16k 2x+16k 2-4=0．解得P ．设F(x 2，0)，则由P ，B 2，F 三点共线得，kB 2P ＝kB 2F ．可得F ．即可证明2m-k 为定值．答案：(1)∵直线与以原点为圆心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切，b =，化为b=1．∵离心率32ce a==，b 2=a 2-c 2=1，联立解得a=2，c=3．∴椭圆C 的方程为2214x y +=； (2)解：把12x =代入椭圆方程可得：21116＝y -，解得4y =±． ∴⊙D 的方程为：22115216＝x y ⎛⎫ ⎪+⎝⎭-．令x=0，解得4y =±，∴AB =，∴Δ111222ABD S AB OD =⋅== (3)证明：由(1)知：A 1(-2，0)，A 2(2，0)，B 2(0，1)， ∴直线A 1B 2的方程为y ＝12x+1， 由题意，直线A 2P 的方程为y=k(x-2)，k ≠0，且k ≠±12， 由()1122＝＝y x y k x ⎧+⎪⎨⎪-⎩，解得42421(2)1，k k E k k +--．设P(x 1，y 1)，则由()22214＝y k x x y ⎧-⎪⎨+=⎪⎩，得(4k 2+1)x 2-16k 2x+16k 2-4=0．∴212164241k x k -=+，∴2128241k x k -=+，1124241（）ky k x k -=-=+． ∴222824414)1(，k k P k k --++． 设F(x 2，0)，则由P ，B2，F 三点共线得，kB 2P ＝kB 2F ．即2222410141820041kk k x k ---+=---+，∴24221k x k -=+，∴F(4221k k -+，0)．∴EF的斜率402121424242121kkkmk kk k-+-==+---+．∴211222km k k+-=-=为定值．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n+n=2a n(n∈N*)．(1)证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=(2n+1)a n+2n+1，数列{b n}的前n项和为T n．求满足不等式2201021＞nTn--的n的最小值．解析：(1)利用递推式，再写一式，两式相减，可得数列{a n+1}为等比数列，从而可求数列{a n}的通项公式；(2)求出数列{b n}的前n项和为T n，代入可求满足不等式2201021＞nTn--的n的最小值．答案：(1)证明：当n=1时，2a1=a1+1，∴a1=1．∵2a n=S n+n，n∈N*，∴2a n-1=S n-1+n-1，n≥2，两式相减得a n=2a n-1+1，n≥2，即a n+1=2(a n-1+1)，n≥2，∴数列{a n+1}为以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n+1=2n，∴a n=2n-1，n∈N*；(2)解：b n=(2n+1)a n+2n+1=(2n+1)·2n，∴T n=3·2+5·22+…+(2n+1)·2n，∴2T n=3·22+5·23+…+(2n+1)·2n+1，两式相减可得-T n=3·2+2·22+2·23+…+2·2n-(2n+1)·2n+1，∴T n=(2n-1)·2n+1+2∴2201021＞nTn--可化为2n+1＞2010∵210=1024，211=2048∴满足不等式2201021＞nTn--的n的最小值为10．20.已知函数21ln 2（）f x ax x =+，g(x)=-bx ，其中a ，b ∈R ，设h(x)=f(x)-g(x)， (1)若f(x)在2x =处取得极值，且f ′(1)=g(-1)-2．求函数h(x)的单调区间； (2)若a=0时，函数h(x)有两个不同的零点x 1，x 2 ①求b 的取值范围；②求证：1221＞x x e． 解析：(1)根据极值点处的导数为零，结合f(1)=g(-1)-2列出关于a ，b 的方程组，求出a ，b ，然后再利用导数研究导数研究单调区间；(2)①将a=0代入，研究极值的符号，即可求出求b 的取值范围，②结合①的结论，通过适当的变形，利用放缩法和基本不等式即可证明． 答案：(1)由已知得()1＝f x ax x'+，(x ＞0)， 所以022＝f a ⎛⎫ ⎪⎪⎭+⎝'，所以a=-2． 由f ′(1)=g(-1)-2，得a+1=b-2， 所以b=1．所以h(x)=-x 2+lnx+x ，(x ＞0)．则()()1211221＝＝x x h x x x x⎛⎫ ⎪⎝+⎭+-'--+，(x ＞0)， 由h ′(x)＞0得0＜x ＜1，h ′(x)＜0得x ＞1．所以h(x)的减区间为(1，+∞)，增区间为(0，1)． (2)①由已知h(x)=lnx+bx ，(x ＞0)． 所以()1＝h x b x'+，(x ＞0)，当b ≥0时，显然h ′(x)＞0恒成立，此时函数h(x)在定义域内递增，h(x)至多有一个零点，不合题意．当b ＜0时，令h ′(x)=0得10＞x b =-，令h ′(x)＞0得10＜＜x b-；令h ′(x)＜0得1＞x b-． 所以h(x)极大=110（）（）＞h ln b b-=---，解得10＜＜b e-． 且x →0时，lnx ＜0，x →+∞时，lnx ＞0． 所以当b ∈(1e-，0)时，h(x)有两个零点．②证明：由题意得1122ln 0ln 0＝＝x bx x bx ++⎧⎨⎩，即1212＝①＝②bx bx e x e x --⎧⎪⎨⎪⎩，①×②得()1212＝b x x ex x -+．因为x 1，x 2＞0，所以-b(x 1+x 2)＞0， 所以()1212＝b x x ex x -+＞1，因为10＜＜b e-， 所以e -b＜1，所以2212＞x x e ee -，所以1221＞x x e ．[选做题](选修4-2：矩阵与变换)21.已知点P(a ，b)，先对它作矩阵12 12M ⎡⎢⎥=⎥⎥⎦对应的变换，再作20 02N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换，得到的点的坐标为(8，，求实数a ，b 的值．解析：利用矩阵的乘法，求出MN ，(NM)-1，利用变换得到的点的坐标为(8，，即可求实数a ，b 的值．答案：依题意，1201202112NM ⎡⎢⎡⎡⎤⎥==⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎦⎥⎦，由逆矩阵公式得，11414（）NM -⎡⎢⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以185414⎡⎢⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎣⎢⎥⎣⎦，即有a=5，b=．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，若直线l 的极坐标方程为sin 4（）p πθ-=．(1)把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程；(2)已知P 为椭圆C ：22139＝x y +上一点，求P 到直线l 的距离的最小值． 解析：(1)把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程即可；(2)设3sin ，）P αα，利用点到直线的距离公式表示出P 到直线l 的距离d ，利用余弦函数的值域确定出最小值即可． 答案：(1)直线l的极坐标方程为sin 4（）p πθ-=，整理得：sin cos cos sinsin cos 4422（）ππρθθρθρθ-=-=， 即ρsin θ-ρcos θ=4，则直角坐标系中的方程为y-x=4，即x-y+4=0；(2)设3sin ，）P αα，∴点P到直线l的距离(s 4)d πα++==≥=，则P 到直线l的距离的最小值为【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分.23.抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x ，y ．设ξ为随机变量，若x y 为整数，则ξ=0；若xy为小于1的分数，则ξ=-1；若xy为大于1的分数，则ξ=1． (1)求概率P(ξ=0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)． 解析：(1)数对(x ，y)共有16种，利用列举法求出使xy为整数的种数，由此能求出概率P(ξ=0)．(2)随机变量ξ的所有取值为-1，0，1，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．答案：(1)依题意，数对(x ，y)共有16种，其中使xy为整数的有以下8种： (1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(4，2)， 所以81016)2(＝＝＝P ξ； (2)随机变量ξ的所有取值为-1，0，1，ξ=-1有以下6种：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)， 故63-116)8(＝＝＝P ξ， ξ=1有以下2种：(3，2)，(4，3)，故21116)8(＝＝＝P ξ， ∴31101882（）P ξ==--=， ∴ξ的分布列为：ξ的数学期望为101828()4＝＝E ξ-⨯+⨯+⨯-．24.已知(x+2)n =a 0+a 1(x-1)+a 2(x-1)2…+a n (x-1)n(n ∈N*)． (1)求a 0及1＝nn i i S a =∑；(2)试比较S n 与(n-2)3n+2n 2的大小，并说明理由． 解析：(1)令x=1，则a 0＝3n，再令x=2，则4＝＝nni i a ∑，可得1＝nn i i S a =∑的值．(2)要比较S n 与(n-2)3n+2n 2的大小，只要比较4n与(n-1)3n+2n 2的大小．检验可得当n=1或4或5时，4n ＞(n-1)3n +2n 2，当n=2或3时，4n ＞(n-1)3n +2n 2．猜测当n ≥4时，4n ＞(n-1)3n +2n 2，再用下面用数学归纳法、放缩法证明结论． 答案：(1)令x=1，则a 0＝3n，令x=2，则4＝＝nni i a ∑，所以143＝＝nnn n i i S a =-∑．(2)要比较S n 与(n-2)3n+2n 2的大小，只要比较4n与(n-1)3n+2n 2的大小．当n=1时，4n ＞(n-1)3n +2n 2，当n=2或3时，4n ＜(n-1)3n +2n 2，当n=4或5时，4n ＞(n-1)3n +2n 2．猜想：当n ≥4时，4n ＞(n-1)3n +2n 2．下面用数学归纳法证明： ①由上述过程可知，当n=4时，结论成立．②假设当n=k(k ≥4，k ∈N*)时结论成立，即4k ＞(k-1)3k +2k 2，两边同乘以4，得4k+1＞4[(k-1)3k +2k 2]=k3k+1+2(k+1)2+[(k-4)3k +6k 2-4k-2]，而(k-4)3k +6k 2-4k-2=(k-4)3k +6(k 2-k-2)+2k+10=(k-4)3k+6(k-2)(k+1)+2k+10＞0，所以4k+1＞[(k+1)-1]3k+1+2(k+1)2，即n=k+1时结论也成立．由①②可知，当n≥4时，4n＞(n-1)3n+2n2成立．综上所述，当n=1时，S n＞(n-2)3n+2n2；当n=2或3时，4n＜(n-1)3n+2n2，S n＜(n-2)3n+2n2；当n≥4时，S n＞(n-2)3n+2n2．考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
2020学年高考模拟试卷江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷 含解析
2020年高考数学一模试卷一、选择题1．已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝．2．已知复数z满足（1+i）z＝2i，其中i是虚数单位，则z的模为．3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值为．4．根据如图所示的伪代码，输出的a的值为．5．已知等差数列{a n}的公差d不为0，且a1，a2，a4成等比数列，则的值为．6．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为．7．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则三棱锥A1﹣BB1C1的体积为．8．已知函数（ω＞0），若当时，函数f（x）取得最大值，则ω的最小值为．9．已知函数f（x）＝（m﹣2）x2+（m﹣8）x（m∈R）是奇函数，若对于任意的x∈R，关于x的不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，则实数a的取值范围是．10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别在双曲线C：x2﹣y2＝1的两条渐近线上，且双曲线C经过线段AB的中点．若点A的横坐标为2，则点B的横坐标为．11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如．地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的倍．12．已知△ABC的面积为3，且AB＝AC，若，则BD的最小值为．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2＝8与圆C2：x2+y2+2x+y﹣a＝0相交于A、B 两点．若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为．14．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）+2af（x）+1﹣a2＝0有五个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PC⊥AB，D，E分别为BC，AC的中点．求证：（1）AB∥平面PDE；（2）平面PAB⊥平面PAC．16．在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，cos B＝﹣．（1）求sin A的值．（2）求的值．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＝1（a＞b＞0）的焦距为4，两条准线间的距离为8，A，B分别为椭圆E的左、右顶点．（1）求椭圆E的标准方程：（2）已知图中四边形ABCD是矩形，且BC＝4，点M，N分别在边BC，CD上，AM与BN 相交于第一象限内的点P．①若M，N分别是BC，CD的中点，证明：点P在椭圆E上；②若点P在椭圆E上，证明：为定值，并求出该定值．18．（16分）在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a的正三角形ABC绕其中心O逆时针旋转θ到三角形A1B1C1，且顺次连结A，A1，B，B1，C，C1，A，得到六边形徽标AA1BB1CC1．（1）当θ＝时，求六边形徽标的面积；（2）求六边形微标的周长的最大值．19．（16分）已知数列{a n}满足：a1＝1，且当n≥2时，a n＝λa n﹣1+（λ∈R）．（1）若λ＝1，证明：数列{a2n﹣1}是等差数列；（2）若λ＝2．①设b n＝a2n+，求数列{b n}的通项公式；②设∁n＝，证明：对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有∁p≥∁m．20．（16分）设函数（a∈R），其中e为自然对数的底数．（1）当a＝0时，求函数f（x）的单调减区间；（2）已知函数f（x）的导函数f'（x）有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）．①求a的取值范围；②若m1，m2（m1＜m2）是函数f（x）的两个零点，证明：x1＜m1＜x1+1．【选做题】本题包含21、22、23小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．已知a，b∈R，向量是矩阵A＝的属于特征值3的一个特征向量．（1）求矩阵A；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2，2），求点P的坐标．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），椭圆C 的参数方程为（θ为参数），求椭圆C上的点P到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a，b，c都是正实数，且＝1．证明：（1）abc≥27；（2）≥1．第24题、第25题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝AA1＝2BC＝2．（1）求二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值；（2）若点P为棱AD的中点，点Q在棱AB上，且直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，求AQ的长．25．一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只．现从口袋中先后有放回地取球2n次（n∈N*），且每次取1只球．（1）当n＝3时，求恰好取到3次红球的概率；（2）随机变量X表示2n次取球中取到红球的次数，随机变量，求Y 的数学期望（用n表示）．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝{﹣1，2} ．【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，∴A∩B＝{﹣1，2}．故答案为：{﹣1，2}．2．已知复数z满足（1+i）z＝2i，其中i是虚数单位，则z的模为．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．解：由（1+i）z＝2i，得．则复数z的模为：．故答案为：．3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值为40 ．【分析】根据题意，由平均数的计算公式计算可得答案．解：根据题意，5名党员教师的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值＝（35+35+41+38+51）＝40，故答案为：404．根据如图所示的伪代码，输出的a的值为11 ．【分析】模拟程序语言的运行过程知，该程序的功能是计算并输出a的值．解：模拟程序语言的运行过程知，该程序的功能是计算并输出a＝1+1+2+3+4＝11．故答案为：11．5．已知等差数列{a n}的公差d不为0，且a1，a2，a4成等比数列，则的值为 1 ．【分析】本题根据等比中项有＝a1a4，然后根据等差数列通项公式代入化简，可得a1与d的关系式，即可得到的值．解：由题意，可知＝a1a4，∴（a1+d）2＝a1（a1+3d），即+2a1d+d2＝+3a1d．化简，得a1＝d．∴＝1．故答案为：1．6．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为．【分析】将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，利用n次独立试验中事件A恰好发生k 次的概率计算公式能求出恰好出现2次正面向上的概率．解：将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为：P＝＝．故答案为：．7．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则三棱锥A1﹣BB1C1的体积为．【分析】由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，可得：棱锥A1﹣BB1C1的体积＝＝••B1B，代入即可得出．解：如图所示，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则三棱锥A1﹣BB1C1的体积＝＝••B1B＝＝．故答案为：．8．已知函数（ω＞0），若当时，函数f（x）取得最大值，则ω的最小值为 5 ．【分析】由已知可得sin（ω﹣）＝1，利用正弦函数的性质可得ω﹣＝+2kπ，k∈Z，结合ω＞0，可求ω的最小值．解：当x＝时，f（x）取得最大值，即f（）＝sin（ω﹣）＝1，即ω﹣＝+2kπ，k∈Z，即ω＝12k+5，k∈Z，由于ω＞0，所以当k＝0时，ω的最小值为5．故答案为：5．9．已知函数f（x）＝（m﹣2）x2+（m﹣8）x（m∈R）是奇函数，若对于任意的x∈R，关于x的不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，1）．【分析】由已知结合奇函数的定义可求m，然后结合不等式的恒成立与最值的相互关系及二次函数的性质可求．解：由奇函数的性质可得，f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，即（m﹣2）x2﹣（m﹣8）x＝﹣（m﹣2）x2﹣（m﹣8）x，故m﹣2＝0即m＝2，此时f（x）＝﹣6x单调递减的奇函数，由不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，可得x2+1＞a恒成立，结合二次函数的性质可知，x2+1≥1，所以a＜1．故答案为：（﹣∞，1）10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别在双曲线C：x2﹣y2＝1的两条渐近线上，且双曲线C经过线段AB的中点．若点A的横坐标为2，则点B的横坐标为．【分析】写出双曲线的渐近线方程，从而得到A和B两点的坐标，再利用中点坐标中式求得线段AB的中点，将其代入双曲线的标准方程，即可得解．解：设点B的横坐标为m，因为双曲线C：x2﹣y2＝1，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨设点A在直线y＝x上，点B在直线y＝﹣x上．则点A坐标为（2，2），点B坐标为（m，﹣m），所以线段AB的中点坐标为，因为双曲线C经过线段AB的中点，所以，解得，故答案为：．11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如．地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的1000 倍．【分析】根据地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE ＝4.8+1.5M．分别计算出：2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量E1，2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量E2，利用对数运算性质即可得出．解：地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量满足：lgE1＝4.8+1.5×8.0，2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量满足：lgE2＝4.8+1.5×6.0．∴lgE1﹣lgE2＝3，解得：＝103＝1000．故答案为：1000．12．已知△ABC的面积为3，且AB＝AC，若，则BD的最小值为．【分析】由题意画出图形，设AB＝AC＝x，由，得AD＝，设∠BAC＝θ（0＜θ＜π），由余弦定理及△ABC的面积为3得，则，令y＝，再由三角函数求最值，即可求得BD的最小值．解：如图，设AB＝AC＝x，由，得AD＝，设∠BAC＝θ（0＜θ＜π），由余弦定理可得：cosθ＝，得，①由△ABC的面积为3，得，即，②联立①②，得，∴，令y＝，则y sinθ＝5﹣3cosθ，∴y sinθ+3cosθ＝5，即（θ+φ）＝5，得sin（θ+φ）＝，由，解得y≥4或y≤﹣4（舍）．即，得BD，∴BD的最小值为．故答案为：．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2＝8与圆C2：x2+y2+2x+y﹣a＝0相交于A、B 两点．若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为{8，8﹣2，8+2} ．【分析】根据题意，求出AB所在直线的方程，按直角顶点的位置分情况讨论，求出a 的值，综合即可得答案．解：已知圆C1：x2+y2＝8与圆C2：x2+y2+2x+y﹣a＝0相交于A、B两点，则AB所在直线的方程为2x+y﹣a+8＝0，若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，分2种情况讨论：①，P为直角顶点，则AB为圆C1的直径，即直线2x+y﹣a+8＝0经过圆C1的圆心C1，必有﹣a+8＝0，解可得a＝8；②，A或B为直角顶点，则点C1到直线AB的距离d＝r＝×2＝2，则有d＝＝2，解可得a＝8﹣2或8+2，综合可得：a的取值的集合为{8，8﹣2，8+2}；故答案为：{8，8﹣2，8+2}．14．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）+2af（x）+1﹣a2＝0有五个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．【分析】令f（x）＝t，则g（t）＝t2+2at+1﹣a2，作f（x）的图象，观察图象可知，函数g（t）在（0，1）及（1，+∞）各有一根，由二次函数的根的分布列出不等式组得解．解：令f（x）＝t，则g（t）＝t2+2at+1﹣a2，作f（x）的图象如下，设g（t）的零点为t1，t2，由图可知，要满足题意，则需，故，解得．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PC⊥AB，D，E分别为BC，AC的中点．求证：（1）AB∥平面PDE；（2）平面PAB⊥平面PAC．【分析】（1）由中位线的性质可知DE∥AB，由此即可得证；（2）先由PA⊥平面ABC，可证PA⊥AB，再结合已知PC⊥AB，即可证得AB⊥平面PAC，进而得证．【解答】证明：（1）∵D，E分别为BC，AC的中点，∴DE是三角形ABC的一条中位线，∴DE∥AB，∵AB不在平面PDE内，DE在平面PDE内，∴AB∥平面PDE；（2）∵PA⊥平面ABC，AB在平面ABC内，∴PA⊥AB，又PC⊥AB，PA∩PC＝P，且PA，PC都在平面PAC内，∴AB⊥平面PAC，∵AB在平面PAB内，∴平面PAB⊥平面PAC．16．在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，cos B＝﹣．（1）求sin A的值．（2）求的值．【分析】（1）根据条件可求出，然后根据正弦定理即可求出；（2）可以求出，然后根据cos C＝cos[π﹣（A+B）]即可求出cos C＝，从而由进行数量积的运算即可求出答案．解：（1）如图，∵，∴，又AC＝4，BC＝3，∴根据正弦定理得，，解得；（2）∵，∴，∴cos C＝cos[π﹣（A+B）]＝﹣cos（A+B）＝sin A sin B﹣cos A cos B＝，∴＝＝＝．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＝1（a＞b＞0）的焦距为4，两条准线间的距离为8，A，B分别为椭圆E的左、右顶点．（1）求椭圆E的标准方程：（2）已知图中四边形ABCD是矩形，且BC＝4，点M，N分别在边BC，CD上，AM与BN 相交于第一象限内的点P．①若M，N分别是BC，CD的中点，证明：点P在椭圆E上；②若点P在椭圆E上，证明：为定值，并求出该定值．【分析】（1）根据椭圆的性质列方程组即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）①求得直线AM和BN的方程，联立，求得P点坐标，由P满足椭圆方程，即可判断P在椭圆E上；②解法一：根据直线的斜率公式及直线的斜率公式分别求得直线AP和BP的方程，求得M和N点坐标，表示出，利用P在椭圆上，即可证明为定值；解法二：设直线AP和BP的方程，同理求得M和N点坐标，根据直线斜率公式即可证明为定值．解：（1）设椭圆的E的焦距为2c，则由题意，得，解得，所以b2＝a2﹣c2＝4，所以椭圆E的标准方程为；（2）①证明：由已知，得M（2，2），N（0，4），B（2，0），直线AM的方程为，直线BN的方程为，联立，解得，即P（，），因为，所以点P在椭圆上；②解法一：设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则，，直线AP的方程为，令，得，直线BP的方程，令y＝4，得，所以＝＝＝＝＝．解法二：设直线AP的方程为（k1＞0），令，得，设直线BP的方程为（k2＜0），令y＝4，得，所以＝＝|k1k2|，设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则，所以k1k2＝•＝＝＝，所以＝．18．（16分）在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a的正三角形ABC绕其中心O逆时针旋转θ到三角形A1B1C1，且顺次连结A，A1，B，B1，C，C1，A，得到六边形徽标AA1BB1CC1．（1）当θ＝时，求六边形徽标的面积；（2）求六边形微标的周长的最大值．【分析】（1）由旋转图形的性质可知，图中存在全等三角形，再结合边长和角度的计算以及三角形的正弦面积公式，即可求出六边形徽标的面积；（2）由全等三角形的性质，可知六边形徽标的周长等于3（AA1+BA1），再结合余弦定理和基本不等式的性质，即可得最大值．解：（1）因为正三角形ABC的边长为a，所以∠AOB＝120°，且OA＝OA1＝OB＝OB1＝OC ＝OC1＝，由旋转图形的性质可知，△A1AC1≌△AA1B≌△B1BA1≌△BB1C≌△C1CB1≌△CC1A，所以∠AA1B＝∠A1BB1＝∠BB1C＝∠B1CC1＝∠CC1A＝∠C1AA1＝120°，在等腰△AOA1中，因为∠AOA1＝θ＝，所以∠AA1O＝，所以∠BA1O＝，因此∠A1OB＝，依此类推可得，∠BOB1＝∠COC1＝，∠B1OC＝∠C1OA＝，所以六边形徽标的面积S＝+＝3（）＝3•＝，故六边形徽标的面积为．（2）由（1）可知，A1A＝B1B＝C1C，A1B＝B1C＝C1A，不妨设A1A＝x，A1B＝y，则六边形徽标的周长L＝3（x+y）．在△AA1B中，由余弦定理得，cos∠AA1B＝cos120°＝所以xx2+y2+xy＝a2，变形得（x+y）2﹣xy＝a2①由基本不等式可知，②由①②解得，x+y≤，当且仅当x＝y＝时取等号所以六边形徽标的周长L＝3（x+y）≤3×＝故六边形徽标的周长的最大值为．19．（16分）已知数列{a n}满足：a1＝1，且当n≥2时，a n＝λa n﹣1+（λ∈R）．（1）若λ＝1，证明：数列{a2n﹣1}是等差数列；（2）若λ＝2．①设b n＝a2n+，求数列{b n}的通项公式；②设∁n＝，证明：对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有∁p≥∁m．【分析】（1）将λ＝1代入，则可得到，故a2n+1﹣a2n﹣1＝1为常数，进而判断为等差数列；（2）λ＝2时，a1＝1，且当n≥2时，a n＝2a n﹣1+，①有b n＝a2n+＝4（a2n﹣2+），所以＝4是常数，所以数列{b n}时首项为，公比为4的等比数列，即可求出其通项公式；②∁n＝＝[]（n∈N+），当n＝1时，C2﹣C1＝0，则C2＝C1；当n＝2时，C3﹣C2＝0，则C3＝C2；当n≥3时，C n+1﹣∁n＞0，则C n+1＞∁n，故对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有∁p≥∁m．解：（1）当λ＝1时，则根据a1＝1，a n＝a n﹣1+（n≥2），得，所以a2n+1＝a2n﹣1+1，即a2n+1﹣a2n﹣1＝1为常数，即数列{a2n﹣1}是首项为1，公差为1的等差数列；（2）λ＝2时，a1＝1，且当n≥2时，a n＝2a n﹣1+，①当n≥2时，，所以a2n＝4a2n﹣2+2，则a2n+＝4（a2n﹣2+），又因为b n＝a2n+，即有b n＝a2n+＝4（a2n﹣2+），而b1＝a2+＝2a1+＝≠0，所以＝4是常数，所以数列{b n}时首项为，公比为4的等比数列，则b n的通项公式为b n＝•4n﹣1＝•4n（n∈N+）；②由①知，a2n＝b n﹣＝（4n﹣1），a2n﹣1＝a2n＝（4n﹣1），则＝＝＝（）﹣n＝，所以∁n＝＝[]（n∈N+），则C n+1﹣∁n＝﹣＝，当n＝1时，C2﹣C1＝0，则C2＝C1；当n＝2时，C3﹣C2＝0，则C3＝C2；当n≥3时，C n+1﹣∁n＞0，则C n+1＞∁n，故对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有∁p≥∁m．20．（16分）设函数（a∈R），其中e为自然对数的底数．（1）当a＝0时，求函数f（x）的单调减区间；（2）已知函数f（x）的导函数f'（x）有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）．①求a的取值范围；②若m1，m2（m1＜m2）是函数f（x）的两个零点，证明：x1＜m1＜x1+1．【分析】（1）将a＝0代入f（x）中，然后求导，再由f'（x）＜0得到f（x）的单调递减区间；（2）①对f'（x）求导，然后构造函数g（x）＝ax3﹣x+1，再根据f'（x）有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），得到函数g（x）有三个非零的零点，进一步求出a的范围；②根据m1，m2（m1＜m2）是函数f（x）的两个零点，得到f（m1）＝f（m2）＝0，然后p（x）＝ax2﹣ax﹣1（a＞0），进一步证明x1＜m1＜x1+1．解：（1）当a＝0时，，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），．令f'（x）＜0，则x＞1，∴f（x）的单调递减区间为（1，+∞）．（2）①由，得，设g（x）＝ax3﹣x+1，则导函数f'（x）有三个零点，即函数g（x）有三个非零的零点．又g′（x）＝3ax2﹣1，若a≤0，则g′（x）＝3ax2﹣1＜0，∴g（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，g（x）至多有1个零点，不符合题意，∴a＞0．令g′（x）＝0，，则当x∈∪时，g'（x）＞0；当x∈，g'（x）＜0，∴g（x）在上单调递减，在和上单调递增，∴，即，∴．又g（0）＝1＞0，∴g（x）在上有且只有1个非零的零点．∵当时，，，且，又函数g（x）的图象是连续不间断的，∴g（x）在和上各有且只有1个非零的零点，∴实数a的取值范围是．②由f（m1）＝f（m2）＝0，得，设p（x）＝ax2﹣ax﹣1（a＞0），且p（m1）＝p（m2）＝0，∴．又∵m1＜m2，∴m1＜0＜m2．∴x＜m1或x＞m2时，p（x）＞0；m1＜x＜m2时，p（x）＜0．由①知a＞0，x1＜0＜x2＜x3．∵，∴，，∴，，∴x1＜m1＜x1+1成立．【选做题】本题包含21、22、23小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．已知a，b∈R，向量是矩阵A＝的属于特征值3的一个特征向量．（1）求矩阵A；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2，2），求点P的坐标．【分析】（1）由矩阵特征向量，特征值得关系，可以得到满足的等式，代入可得．（2）直接由矩阵变换，代入等式可求．解：（1）由矩阵特征值和特征向量的关系可知：Aα＝3α，带入可知：＝3，即，解得a＝2，b＝﹣1，故矩阵A＝．（2）设P为（x，y），因为点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2，2），所以，解得x＝1，y＝0，故P（1，0）．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），椭圆C 的参数方程为（θ为参数），求椭圆C上的点P到直线l的距离的最大值．【分析】首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：已知直线l的参数方程（t为参数），转换为直角坐标方程为x+2y+3＝0，椭圆C的参数方程为（θ为参数），设椭圆上的点P（2cosθ，sinθ）到直线l的距离d＝＝，当sin（）＝1时，．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a，b，c都是正实数，且＝1．证明：（1）abc≥27；（2）≥1．【分析】（1）利用，即可得证；（2）利用基本不等式直接证明即可．【解答】证明：（1）∵a，b，c都是正实数，∴，又∵＝1，∴，即abc≥27，得证；（2）∵a，b，c都是正实数，∴，，，由①+②+③得，，∴，得证．第24题、第25题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝AA1＝2BC＝2．（1）求二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值；（2）若点P为棱AD的中点，点Q在棱AB上，且直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，求AQ的长．【分析】（1）推导出AB⊥AA1，AD⊥AA1，AB⊥AD，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值．（2）设AQ＝λ（0≤λ≤2），则Q（λ，0，0），求出平面B1PQ的法向量，利用向向量能求出AQ．解：（1）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AA1⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，∴AB⊥AA1，AD⊥AA1，∵AB⊥AD，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB＝AD＝AA1＝2BC＝2．∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（2，1，2），D1（0，2，2），＝（﹣2，2，0），＝（0，1，﹣2），设平面B1CD1的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，则＝（2，2，1），∵AB⊥平面B1C1C，∴平面B1CC1的一个法向量＝（2，0，0），设二面角C1﹣B1C﹣D1的的平面角为α，由图形得锐角，∴二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值为：cosα＝＝．（2）设AQ＝λ（0≤λ≤2），则Q（λ，0，0），∵点P是AD中点，则P（0，1，0），＝（λ，﹣1，0），＝（λ﹣2，0，﹣2），设平面B1PQ的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，2λ，λ﹣2），设直线B1C与平面B1PQ所成角大小为β，∵直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，∴sinβ＝＝＝，解得λ＝1或．∴AQ＝1．25．一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只．现从口袋中先后有放回地取球2n次（n∈N*），且每次取1只球．（1）当n＝3时，求恰好取到3次红球的概率；（2）随机变量X表示2n次取球中取到红球的次数，随机变量，求Y 的数学期望（用n表示）．【分析】（1）当n＝3时，从装有5只小球的口袋中有放回地取球6次，共有n＝56个基本事件，记“恰好取到3次红球”为事件A，则事件A包含的基本事件个数为m＝，由此能求出当n＝3时，恰好取到3次红球的概率．（2）由题意知随机变量Y的所在可能取值为0，1，3，5，…，2n﹣1，（n∈N*），则P （Y＝2t+1）＝•（2i+1）＝．（0≤i≤n﹣1，i∈N），E（Y）＝（+++…+），令x n ＝+++…+，y n＝++，由此求出．从而能求出E（Y）．解：（1）当n＝3时，从装有5只小球的口袋中有放回地取球6次，共有n＝56个基本事件，记“恰好取到3次红球”为事件A，则事件A包含的基本事件个数为m＝，∴当n＝3时，恰好取到3次红球的概率P（A）＝＝．（2）由题意知随机变量Y的所在可能取值为0，1，3，5，…，2n﹣1，（n∈N*），则P（Y＝2t+1）＝•（2i+1）＝＝．（0≤i≤n﹣1，i∈N），∴E（Y）＝0•P（Y＝0）+3P（Y＝3）+5P（Y＝5）+…+（2n﹣1）P（Y＝2n﹣1）＝（+++…+），令x n＝+++…+，y n＝++，则，x n﹣y n＝（4﹣1）2n﹣1＝32n﹣1．∴．∴E（Y）＝＝＝．。
2020年高考数学模拟江苏省宿迁市、徐州市、淮安市、连云港市四市高考数学一模试卷 含解析
2020年高考数学一模试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝．2．已知复数z满足z2＝﹣4，且z的虚部小于0，则z＝．3．若一组数据7，x，6，8，8的平均数为7，则该组数据的方差是．4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为．5．函数的定义域为．6．某学校高三年级有A，B两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为．7．若关于x的不等式x2﹣mx+3＜0的解集是（1，3），则实数m的值为．8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线y2＝2px 上，则实数p的值为．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a9＝8，S5＝﹣5，则S15的值为．10．已知函数的图象与函数y＝cos2x的图象相邻的三个交点分别是A，B，C，则△ABC的面积为．11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x2+y2﹣4x﹣8y+12＝0，圆N与圆M外切于点（0，m），且过点（0，﹣2），则圆N的标准方程为．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x＝1对称，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣e ax（其中e是自然对数的底数），若f（2020﹣ln2）＝8，则实数a的值为．13．如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，，则cos∠ADE 的最小值为．14．设函数f（x）＝|x3﹣ax﹣b|，x∈[﹣1，1]，其中a，b∈R．若f（x）≤M恒成立，则当M取得最小值时，a+b的值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AP＝AB，M，N分别为棱PB，PC的中点，平面PAB⊥平面PBC．（1）求证：BC∥平面AMN；（2）求证：平面AMN⊥平面PBC．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）若a＝5，，求b的值；（2）若，求tan2C的值．17．如图，在圆锥SO中，底面半径R为3，母线长l为5．用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆心为O1，半径为r．现要以截面圆为底面，圆锥底面圆心O为顶点挖去一个倒立的小圆锥，记小圆锥的体积为V．（1）将V表示成r的函数；（2）求小圆锥的体积V的最大值．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右顶点为A，过点A作直线l与圆O：x2+y2＝b2相切，与椭圆C交于另一点P，与右准线交于点Q．设直线l的斜率为k．（1）用k表示椭圆C的离心率；（2）若，求椭圆C的离心率．19．（16分）已知函数（a∈R）．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣1＝0，求a的值；（2）若f（x）的导函数f'（x）存在两个不相等的零点，求实数a的取值范围；（3）当a＝2时，是否存在整数λ，使得关于x的不等式f（x）≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，说明理由．20．（16分）已知数列{a n}的首项a1＝3，对任意的n∈N*，都有a n+1＝ka n﹣1（k≠0），数列{a n﹣1}是公比不为1的等比数列．（1）求实数k的值；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，求所有正整数m的值，使得恰好为数列{b n}中的项．数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵M＝的一个特征值为4，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）＝12，曲线C的参数方程为（θ为参数，θ∈R），在曲线C上求点M，使点M到l的距离最小，并求出最小值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知正数x，y，z满足x+y+z＝1，求++的最小值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C为菱形，∠BB1C1＝60°，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C．（1）求直线AC1与平面AA1B1B所成角的正弦值；（2）求二面角B﹣AC1﹣C的余弦值．25．已知n为给定的正整数，设，x∈R．（1）若n＝4，求a0，a1的值；（2）若，求的值．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝（﹣1，2）．【分析】进行并集的运算即可．解：∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}＝（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．2．已知复数z满足z2＝﹣4，且z的虚部小于0，则z＝﹣2i．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出a，b．解：设z＝a+bi，（a，b∈R）．复数z满足z2＝﹣4，∴a2﹣b2+2abi＝﹣4，∴a2﹣b2＝﹣4，2ab＝0，且z的虚部小于0，∴a＝0，b＝﹣2．则z＝﹣2i．故答案为：﹣2i．3．若一组数据7，x，6，8，8的平均数为7，则该组数据的方差是．【分析】由平均数的定义列方程求出n的值，再计算这组数据的方差．解：由题意知，×（7+x+6+8+8）＝7，解得x＝6，计算该组数据的方差为S2＝×[（7﹣7）2+（6﹣7）2+（6﹣7）2+（8﹣7）2+（8﹣7）2]＝．故答案为：．4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为20 ．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：模拟程序的运行，可得S＝0，I＝1满足条件I＜6，执行循环体，I＝2，S＝2满足条件I＜6，执行循环体，I＝3，S＝5满足条件I＜6，执行循环体，I＝4，S＝9满足条件I＜6，执行循环体，I＝5，S＝14满足条件I＜6，执行循环体，I＝6，S＝20此时，不满足条件I＜6，退出循环，输出S的值为20．故答案为：20．5．函数的定义域为[4，+∞）．．【分析】函数f（x）＝有意义，只需log2x﹣2≥0，且x＞0，解不等式即可得到所求定义域．解：函数f（x）＝有意义，只需log2x﹣2≥0，且x＞0，解得x≥4．则定义域为[4，+∞）．故答案为：[4，+∞）．6．某学校高三年级有A，B两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为．【分析】基本事件总数n＝23＝8，甲、乙两人不在同一教室上自习包含的基本事件个数m＝＝4，由此能求出甲、乙两人不在同一教室上自习的概率．解：某学校高三年级有A，B两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，基本事件总数n＝23＝8，甲、乙两人不在同一教室上自习包含的基本事件个数m＝＝4，∴甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为p＝＝＝．故答案为：．7．若关于x的不等式x2﹣mx+3＜0的解集是（1，3），则实数m的值为 4 ．【分析】利用不等式与对应方程的关系，和根与系数的关系，即可求得m的值．解：不等式x2﹣mx+3＜0的解集是（1，3），所以方程x2﹣mx+3＝0的解1和3，由根与系数的关系知，m＝1+3＝4．．故答案为：4．8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线y2＝2px 上，则实数p的值为．【分析】求出双曲线的渐近线方程，右准线方程，得到交点坐标代入抛物线方程求解即可．解：双曲线的右准线x＝，渐近线y＝x，双曲线的右准线与渐近线的交点（，），交点在抛物线y2＝2px上，可得：＝3p，解得p＝．故答案为：．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a9＝8，S5＝﹣5，则S15的值为135 ．【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式解答．解：由于a2+a9＝8，S5＝﹣5，所以．则．所以S15＝15×（﹣5）+×15×14×2＝135．故答案是：135．10．已知函数的图象与函数y＝cos2x的图象相邻的三个交点分别是A，B，C，则△ABC的面积为．【分析】根据函数相等，建立方程关系求出x的值，求出点的坐标，结合三角形的面积公式进行计算即可．解：由＝cos2x得tan2x＝，则2x＝kπ+，得x＝+，k∈Z，取相邻的三个k，k＝﹣1时，x＝﹣，2x＝﹣，此时y＝cos2x＝﹣，即A（﹣，﹣），k＝0时，x＝，2x＝，此时y＝cos2x＝，即B（，），k＝1时，x＝，2x＝，此时y＝cos2x＝﹣，即C（，﹣），则|AC|＝﹣（﹣）＝π，B到线段AC的距离h＝﹣（﹣）＝，则△ABC的面积S＝π×＝π，故答案为：π11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x2+y2﹣4x﹣8y+12＝0，圆N与圆M外切于点（0，m），且过点（0，﹣2），则圆N的标准方程为（x+2）2+y2＝8 ．【分析】直接利用圆与圆的位置关系式的应用和相关的运算的应用求出圆的方程．解：已知圆M：x2+y2﹣4x﹣8y+12＝0，整理得：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝8，令y＝0，圆的方程转换为：y2﹣8y+12＝0，解得y＝2或6．由于圆N与圆M相切于（0，m）且过点（0，﹣2）．所以m＝2．即圆N经过点A（0，2），B（0，﹣2）．所以圆心在这两点连线的中垂线x轴上，x轴与MA的交点为圆心N．所以MA：y＝x+2．令y＝0，则x＝﹣2．即N（﹣2，0），R＝|NA＝2．所以圆N的标准方程为：（x+2）2+y2＝8．故答案为：（x+2）2+y2＝812．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x＝1对称，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣e ax（其中e是自然对数的底数），若f（2020﹣ln2）＝8，则实数a的值为 3 ．【分析】根据题意，分析可得f（x）是周期为4的周期函数，进而结合函数的奇偶性与周期性可得f（2020﹣ln2）＝f（﹣ln2）＝﹣f（ln2）＝﹣（﹣e x•ln2）＝8，计算可得答案．解：根据题意，f（x）的图象关于x＝1对称，所以f（1+x）＝f（1﹣x）又由f（x）是R上的奇函数，所以f（x+1）＝﹣f（x﹣1），则有f（x+2）＝﹣f（x），f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）．则f（x）是周期为4的函数，故f（2020﹣ln2）＝f（﹣ln2）＝﹣f（ln2）＝﹣（﹣e x•ln2）＝8，变形可得：2x＝8，解可得x＝3；故答案为：313．如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，，则cos∠ADE 的最小值为．【分析】由D，E为三等分点可得相等的向量，，分别写出，，，用与∠ADE的边有关系的向量表示，再由均值不等式求出最小值．解：由D，E是BC上的两个三等分点可得，由图形可得＝＝﹣，＝＝2﹣，又因为即（﹣）＝2（2），整理可得：7＝，即7||•cos∠ADE＝||2+4||2，由基本不等式可得cos∠ADE＝≥＝，故cos∠ADE的最小值为：．故答案为：．14．设函数f（x）＝|x3﹣ax﹣b|，x∈[﹣1，1]，其中a，b∈R．若f（x）≤M恒成立，则当M取得最小值时，a+b的值为．【分析】构造函数g（x）＝x3﹣ax﹣b，可知该函数关于点（0，﹣b）对称，然后分a≤0、a≥3、0＜a＜3三种情况讨论，分析函数y＝g（x）在区间[﹣1，1]上的单调性，得出函数f（x）＝|g（x）|在区间[﹣1，1]上最值的可能取值，利用绝对值三角不等式可求出当M取得最小值时a+b的值．解：构造函数g（x）＝x3﹣ax﹣b，则f（x）＝|g（x）|，由于g（x）+g（﹣x）＝（x3﹣ax﹣b）+（﹣x3+ax﹣b）＝﹣2b，∴，函数y＝g（x）的图象关于点（0，﹣b）对称，且g'（x）＝3x2﹣a．①当a≤0时，g'（x）≥0，函数y＝g（x）在区间[﹣1，1]上单调递增，则，∴，此时，当a＝0，﹣1≤b≤1时，M取最小值1；②当a≥3时，对任意的x∈[﹣1，1]，g'（x）≤0，函数y＝g（x）在区间[﹣1，1]上单调递减，则，∴，此时，当a＝3，﹣2≤b≤2时，M取最小值2；③当0＜a＜3时，令g'（x）＝0，得，令，列表如下：x[﹣1，﹣t）﹣t（﹣t，t）t（t，1] g'（x）+ 0 ﹣0 +g（x）↗极大值↘极小值↗不妨设g（0）＝﹣b≥0，则b≤0，则，∴M≥max{f（1），f（t），f（﹣t），f（﹣1）}，∵g（﹣t）+g（t）＝2g（0）≥0，且g（t）＜g（﹣t），∴g（﹣t）≥|g（t）|＝f（t），∵g（﹣1）+g（1）＝2g（0）≥0，若g（﹣1）≥g（1），则g（﹣1）≥|g（1）|＝f（1），若g（﹣1）＜g（1），则g（1）＞0，但g（﹣t）＞g（﹣1），∵g（﹣t）﹣g（1）＝（2t3﹣b）﹣（1﹣a﹣b）＝2t3+a﹣1＝2t3+3t2﹣1＝（2t﹣1）（t+1）2，∴．当时，，当且仅当b＝0，时，即当，b＝0时，M取得最小值；当时，M≥g（﹣t）＝2t3﹣b≥2t3＞2．综上所述，当，b＝0时，M取得最小值，此时．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AP＝AB，M，N分别为棱PB，PC的中点，平面PAB⊥平面PBC．（1）求证：BC∥平面AMN；（2）求证：平面AMN⊥平面PBC．【分析】（1）线面平行的定理的应用，注意一定要有面内，面外的说明；（2）面面垂直定理的性质定理及判定定理的应用．【解答】证明：如图所示：（1）M，N分别为棱PB，PC的中点，∴MN∥BC，MN⊂AMN，BC⊄AMN，所以BC∥面AMN；（2）PA＝AB，点M为棱PB的中点，∴AM⊥PB，又平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，AM⊂PAB，AM⊥面PBC，又AM⊂AMN，∴平面AMN⊥平面PBC．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）若a＝5，，求b的值；（2）若，求tan2C的值．【分析】（1）结合已知，可利用余弦定理求出b；（2）由已知结合同角平方关系可求sin A，然后结合诱导公式及和差角公式可求cos C，sin C，再利用同角基本关系及二倍角正切公式可求．解：（1）在△ABC中，由余弦定理b2+c2﹣2bc cos A＝a2，得，即b2﹣4b﹣5＝0，解得b＝5或b＝﹣1（舍），所以b＝5．（2）由及0＜A＜π得，，所以，又因为0＜C＜π，所以，从而，所以．17．如图，在圆锥SO中，底面半径R为3，母线长l为5．用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆心为O1，半径为r．现要以截面圆为底面，圆锥底面圆心O为顶点挖去一个倒立的小圆锥，记小圆锥的体积为V．（1）将V表示成r的函数；（2）求小圆锥的体积V的最大值．【分析】（1）在△SAO中，，由△SNO1∽△SAO可知，，从而，，由此能将V表示成r的函数．（2）由，得，令V'（r）＝0，得r＝2，由此能求出小圆锥的体积V的最大值．解：（1）在△SAO中，，由△SNO1∽△SAO可知，，所以，所以，所以．（2）由（1）得，所以，令V'（r）＝0，得r＝2，当r∈（0，2）时，V'（r）＞0，所以V（r）在（0，2）上单调递增；当r∈（2，3）时，V'（r）＜0，所以V（r）在（2，3）上单调递减．所以当r＝2时，V（r）取得最大值．答：小圆锥的体积V的最大值为．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右顶点为A，过点A作直线l与圆O：x2+y2＝b2相切，与椭圆C交于另一点P，与右准线交于点Q．设直线l的斜率为k．（1）用k表示椭圆C的离心率；（2）若，求椭圆C的离心率．【分析】（1）写出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于半径可得．由此求得椭圆的离心率；（2）设椭圆C的焦距为2c，则右准线方程为，分别联立直线方程、直线与椭圆方程求得Q与P的坐标，结合，得a（a2k2﹣b2）＝2b2k2（a﹣c），由（1）知，，由此列等式求解椭圆C的离心率．解：（1）直线l的方程为y＝k（x﹣a），即kx﹣y﹣ak＝0，∵直线l与圆O：x2+y2＝b2相切，∴，故．∴椭圆C的离心率；（2）设椭圆C的焦距为2c，则右准线方程为，由，得，∴，由，得（b2+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2＝0，解得，则，∴，∵，∴，即a（a2k2﹣b2）＝2b2k2（a﹣c），由（1）知，，∴，整理得a＝2a﹣2c，即a＝2c，∴，故椭圆C的离心率为．19．（16分）已知函数（a∈R）．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣1＝0，求a的值；（2）若f（x）的导函数f'（x）存在两个不相等的零点，求实数a的取值范围；（3）当a＝2时，是否存在整数λ，使得关于x的不等式f（x）≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，说明理由．【分析】（1）求导，利用导数的几何意义即可求解；（2）因为存在两个不相等的零点，所以g（x）＝ax﹣1+lnx存在两个不相等的零点，则，再对a分情况讨论求出a的取值范围；（3）当a＝2时，，，设g （x）＝2x﹣1+lnx，则．所以g（x）单调递增，且，g（1）＝1＞0，所以存在使得g（x0）＝0，所以x＝x0时，f（x）取得极小值，也是最小值，此时，因为，所以f（x0）∈（﹣1，0），因为f（x）≥λ，且λ为整数，所以λ≤﹣1，即λ的最大值为﹣1．解：（1），因为曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣1＝0，所以f'（1）＝a﹣1＝﹣1，得a＝0；（2）因为存在两个不相等的零点，所以g（x）＝ax﹣1+lnx存在两个不相等的零点，则，①当a≥0时，g'（x）＞0，所以g（x）单调递增，至多有一个零点，②当a＜0时，因为当时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以时，，因为g（x）存在两个零点，所以，解得﹣e﹣2＜a＜0，因为﹣e﹣2＜a＜0，所以，因为g（1）＝a﹣1＜0，所以g（x）在上存在一个零点，因为﹣e﹣2＜a＜0，所以，因为，设，则y＝2lnt﹣t﹣1（t＞e2），因为，所以y＝2lnt﹣t﹣1（t＞e2）单调递减，所以y＜2ln（e2）﹣e2﹣1＝3﹣e2＜0，所以，所以g（x）在上存在一个零点，综上可知，实数a的取值范围为（﹣e﹣2，0）；（3）当a＝2时，，，设g（x）＝2x﹣1+lnx，则．所以g（x）单调递增，且，g（1）＝1＞0，所以存在使得g（x0）＝0，因为当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，所以f（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，所以f（x）单调递增，所以x＝x0时，f（x）取得极小值，也是最小值，此时，因为，所以f（x0）∈（﹣1，0），因为f（x）≥λ，且λ为整数，所以λ≤﹣1，即λ的最大值为﹣1．20．（16分）已知数列{a n}的首项a1＝3，对任意的n∈N*，都有a n+1＝ka n﹣1（k≠0），数列{a n﹣1}是公比不为1的等比数列．（1）求实数k的值；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，求所有正整数m的值，使得恰好为数列{b n}中的项．【分析】（1）利用递推关系a n+1＝ka n﹣1，取特殊值n＝1，2，3，从而得到a1＝3，a2＝3k﹣1，．因为数列{a n﹣1}是等比数列，利用等比中项公式，可得，进而算出k＝2或，然后检验即可得解；（2）由（1）可得，结合分组求和法算得S2m，S2m﹣1，并得知S2m＞0，S2m＞0．于是假设，则t＝1，3或t为偶数，然后分类﹣1讨论每种情形是否符合题意即可得解．解：（1）由a n+1＝ka n﹣1，a1＝3，可知a2＝3k﹣1，，∵{a n﹣1}为等比数列，∴，即（3k﹣2）2＝2×（3k2﹣k﹣2），整理，得3k2﹣10k+8＝0，解得k＝2或．①当时，，此时a n＝3，则a n﹣1＝2，∴数列{a n﹣1}的公比为1，不符合题意；②当k＝2时，a n+1﹣1＝2（a n﹣1），所以数列{a n﹣1}的公比，综上所述，实数k的值为2．（2）由（1）知，，∴．则＝（4﹣1）+（4﹣3）+...+[4﹣（2m﹣1）]+4+42+ (4)＝，．∵，∴，∵b2+b3＝5＞0，b1＝3＞0，∴S2m﹣1＞0，S2m＞0．设，则t＝1，3或t为偶数，因为S2m≠S2m﹣1，所以t＝3（即b3＝1）不可能，所以t＝1或t为偶数，①当时，，化简得6m2﹣24m+8＝﹣4m≤﹣4，即m2﹣4m+2≤0，所以m可取值为1，2，3，验证得，当m＝2时，成立．②当t为偶数时，，设，则，由①知m＞3，当m＝4时，；当m＞4时，c m+1﹣c m＞0，所以c4＞c5＜c6＜…，所以c m的最小值为，所以，令，则，即﹣3m2+12m﹣4＝0，而此方程无整数解．综上，正整数m的值为2．数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵M＝的一个特征值为4，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．【分析】写出矩阵M的特征多项式f（λ），根据题意知f（4）＝0求出t的值，写出矩阵M，再求它的逆矩阵．解：矩阵M的特征多项式为f（λ）＝＝（λ﹣2）（λ﹣1）﹣3t；因为矩阵M的一个特征值为4，所以方程f（λ）＝0有一根为4；即f（4）＝2×3﹣3t＝0，解得t＝2；所以M＝，设M﹣1＝，则MM﹣1＝＝，由，解得；由，解得；所以M﹣1＝．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）＝12，曲线C的参数方程为（θ为参数，θ∈R），在曲线C上求点M，使点M到l的距离最小，并求出最小值．【分析】首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）＝12，转换为直角坐标方程x+y﹣12＝0．曲线C的参数方程为（θ为参数，θ∈R），设点P（），所以点P（）到直线x+y﹣12＝0的距离d＝＝，当时，即M（3，1）到直线的距离的最小值为4．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知正数x，y，z满足x+y+z＝1，求++的最小值．【分析】根据题意，分析可得（x+2y）+（y+2x）+（z+2x）＝3（x+y）＝3，结合柯西不等式分析可得答案．解：根据题意，x+y+z＝1，则（x+2y）+（y+2x）+（z+2x）＝3（x+y）＝3；则有[（x+2y）+（y+2x）+（z+2x）]（++）≥[（×）+（×）+（×）]2＝9；当且仅当x＝y＝z＝时等号成立；变形可得：++≥3，即++的最小值为3．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C为菱形，∠BB1C1＝60°，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C．（1）求直线AC1与平面AA1B1B所成角的正弦值；（2）求二面角B﹣AC1﹣C的余弦值．【分析】（1）在平面BB1C1C内过点B作Bz⊥BB1，以点B为坐标原点，分别以BA，BB1所在的直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz，用向量法求出即可；（2）求出平面BAC1的一个法向量和平面ACC1的一个法向量，利用向量的夹角公式求出即可．解：（1）在正方形ABB1A1中，AB⊥BB1，因为平面AA1B1B⊥平面BB1C1C，平面AA1B1B∩平面BB1C1C＝BB1，AB⊂平面ABB1A1，所以AB⊥平面BB1C1C，在平面BB1C1C内过点B作Bz⊥BB1，以点B为坐标原点，分别以BA，BB1所在的直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz，设A（2，0，0），则B1（0，2，0）．在菱形BB1C1C中，∠BB1C1＝60°，C（0，﹣1，），C1（0，1，），，平面AA1B1B的一个法向量为，则由cos＝＝＝，故线AC1与平面AA1B1B所成角的正弦值为；（2）设平面BAC1的一个法向量为，，由，得，故，设平面ACC1的一个法向量，，，由，得，故，由cos＝，故二面角B﹣AC1﹣C的余弦值为．25．已知n为给定的正整数，设，x∈R．（1）若n＝4，求a0，a1的值；（2）若，求的值．【分析】（1）利用二项式展开式公式计算n＝4时a0和a1的值；（2）由x＝写出a k x k，利用k＝n，讨论n＝1和n≥2时，计算（n﹣k）•a k•x k的值即可．解：（1）因为n＝4，所以a0＝•＝，a1＝•＝；（2）当x＝时，a k x k＝••，又因为k＝k•＝n•＝n，当n＝1时，（n﹣k）a k x k＝•＝；当n≥2时，（n﹣k）•a k•x k＝（n﹣k）•••＝n﹣k＝n﹣n＝n﹣n＝n﹣n＝n，当n＝1时，也符合．所以（n﹣k）a k x k的值为n．。
2020年江苏高考数学全真模拟试卷1
2020年江苏高考数学全真模拟试卷一（南通教研室）数学Ⅰ试题一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合A ={-2,0,3}，B ={1,3} ，则A U B = ▲ ． 2.已知复数z =(1+3i )(a -i )(i 为数单位)为纯虚数，则实 数a 的值为 ▲ ．3.根据如图所示的伪代码，已知输入的a ，b 的值分别为 2，6，则输出的y 的值为 ▲．4.为了弘扬中华传统文化，某校开设了“唐诗”“宋词”“元曲”和“明清小说”四门经典阅读校本课程．若 甲同学从中随机选择两门课程，则甲同学选择的两门 课程中含“宋词”的概率为 ▲ ．5.已知 f (x )是定义在 R 上的奇函数．当 x <0时， f (x )=2x 2+tx ,若f (2)=-2,则实数t 的值为 ▲ ．6.为了践行“健康中国”理念更好地开展群众健身活动， 某社区对居民的健身情况进行调查，统计数据显示,每天健身时间(单位：min)在[40, 50), [50, 60), [60,70), [70,80), [80,90],内的共有600人,绘制成如图所示的频率分布直方图,则这600名居民中每天健身时间在[60,90]内的人数为 ▲ ．（第6题图）/min（第3题图）7.如图,在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，PD ⊥平面 ABCD ，E 为PD 的中点，已知AB =4，AD =2，PD =3，则三棱 锥P -BCE 的体积为 ▲ ．8.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2=－9，a 4=－5， 则满足S n <－35的正整数n 的值为 ▲ ． 9.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线C :x 2a 2－y 2b 2=1 (a >0，b >0)的 左、右焦点分别为F 1，F 2), P 为双曲线C 上一点．若当PF 与x 轴垂直时，有∠PF 2F 1=45o ，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．10.在平面直角坐标系xOy 中, （12 , 32 ）是单位圆上一点，将点P 沿单位圆按逆时针方向旋转π4后得到点Q (a ,b ),则ab 的值为 ▲ ．11.在平面直角坐标系xOy 中, 已知圆O :x 2+y 2=4, 圆M :(x-5)2+y 2=20． 若直线l : y =－3x +m 被这两个圆截得的弦长相等，则实数m 的值 为 ▲ ．12.如图,AB ⊥AC ,CD ∥AB ,AB =1,AC =CD =2.若点P 在线段AC 上， 则tan ∠BPD 的最大值为 ▲ ． 13.已知函数f (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2mx －m 2－1，0＜x ≤1， x －1ex －m2 ，x ﹥1， (e 为自然对数的底数)在(0，+∞)上有且只有3个不同的零点,则实数m 的取值范围是 ▲ ．14.已知向量a ，b ，c 满足|a |=1，a ·b =12 ，a ·c =2，且|2b －c |=2，则b ·c 的最小值为 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)已知函数f (x ) = 3 sin2x －3cos2x 。
2020学年高考模拟试卷江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷 含解析
2020年高考数学一模试卷一、填空题1．已知集合A＝（0，+∞），全集U＝R，则∁U A＝．2．设复数z＝2+i，其中i为虚数单位，则z•＝．3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为．4．命题“∀θ∈R，cosθ+sinθ＞1”的否定是命题．（填“真”或“假”）5．运行如图所示的伪代码，则输出的I的值为．6．已知样本7，8，9，x，y的平均数是9，且xy＝110，则此样本的方差是．7．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝4x上的点P到其焦点的距离为3，则点P到点O的距离为．8．若数列{a n}是公差不为0的等差数列，lna1、lna2、lna5成等差数列，则的值为．9．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点P是棱CC1上一点，记三棱柱ABC﹣A1B1C1与四棱锥P﹣ABB1A1的体积分别为V1与V2，则＝．10．设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象与y轴交点的纵坐标为，y轴右侧第一个最低点的横坐标为，则ω的值为．11．已知H是△ABC的垂心（三角形三条高所在直线的交点），＝+，则cos ∠BAC的值为．12．若无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）是等差数列，则其前10项的和为．13．已知集合P＝{（x，y）|x|x|+y|y|＝16}，集合Q＝{（x，y）|kx+b1≤y≤kx+b2}，若P⊆Q，则的最小值为．14．若对任意实数x∈（﹣∞，1]，都有||≤1成立，则实数a的值为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．已知△ABC满足sin（B+）＝2cos B．（1）若cos C＝，AC＝3，求AB；（2）若A∈（0，），且cos（B﹣A）＝，求sin A．16．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面ABCD是正方形，点P是侧棱CC1上的一点．（1）若AC1∥平面PBD，求的值；（2）求证：BD⊥A1P．17．如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙P与⊙Q做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB为圆柱的一条母线，点A、B在⊙O上，点P、Q在⊙O的一条直径上，AB∥PQ，⊙P、⊙Q分别与直线BC、AD相切，都与⊙O内切．（1）求圆形铁皮⊙P半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P与⊙Q半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）18．（16分）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率是e，动点P（x0，y0）在椭圆C上运动．当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e．（1）求椭圆C的方程；（2）延长PF1，PF2分别交椭圆C于点A，B（A，B不重合）．设＝λ，＝μ，求λ+μ的最小值．19．（16分）定义：若无穷数列{a n}满足{a n+1﹣a n}是公比为q的等比数列，则称数列{a n}为“M（q）数列”．设数列{b n}中b1＝1，b3＝7．（1）若b2＝4，且数列{b n}是“M（q）数列”，求数列{b n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，且b n+1＝2S n﹣n+λ，请判断数列{b n}是否为“M（q）数列”，并说明理由；（3）若数列{b n}是“M（2）数列”，是否存在正整数m，n使得＜＜？若存在，请求出所有满足条件的正整数m，n；若不存在，请说明理由．20．（16分）若函数f（x）＝e x﹣ae﹣x﹣mx（m∈R）为奇函数，且x＝x0时f（x）有极小值f（x0）．（1）求实数a的值；（2）求实数m的取值范围；（3）若f（x0）≥﹣恒成立，求实数m的取值范围．【选做题】在21、22、23三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换] 21．已知圆C经矩阵M＝变换后得到圆C′：x2+y2＝13，求实数a的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，直线ρcosθ+2ρsinθ＝m被曲线ρ＝4sinθ截得的弦为AB，当AB是最长弦时，求实数m的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正实数a，b，c满足++＝1，求a+2b+3c的最小值．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，AA1、BB1是圆柱的两条母线，A1B1、AB分别经过上下底面圆的圆心O1、O，CD是下底面与AB垂直的直径，CD＝2．（1）若AA1＝3，求异面直线A1C与B1D所成角的余弦值；（2）若二面角A1﹣CD﹣B1的大小为，求母线AA1的长．25．设（1﹣2x）i＝a0+a1x+a2x2+…+a2n x2n（n∈N*），记S n＝a0+a2+a4+…+a2n．（1）求S n；（2）记T n＝﹣S1∁n1+S2∁n2﹣S3∁n3+…+（﹣1）n S n∁n n，求证：|T n|≥6n3恒成立．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．1．已知集合A＝（0，+∞），全集U＝R，则∁U A＝（﹣∞，0] ．【分析】进行补集的运算即可．解：∵A＝（0，+∞），U＝R，∴∁U A＝（﹣∞，0]．故答案为：（﹣∞，0]．2．设复数z＝2+i，其中i为虚数单位，则z•＝ 5 ．【分析】由已知直接利用求解．解：∵z＝2+i，∴．故答案为：5．3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为．【分析】基本事件总数n＝＝3，甲被选中包含的基本事件个数m＝＝2，由此能求出甲被选中的概率．解：学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，基本事件总数n＝＝3，甲被选中包含的基本事件个数m＝＝2，则甲被选中的概率为P＝＝．故答案为：．4．命题“∀θ∈R，cosθ+sinθ＞1”的否定是真命题．（填“真”或“假”）【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：命题为全称命题，则命题的否定为∃θ0∈R，cosθ0+sinθ0≤1为真命题，故答案为：真．5．运行如图所示的伪代码，则输出的I的值为 6 ．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，I的值，当S＝15时，不满足条件跳出循环，输出I的值为6．解：模拟程序的运行，可得S＝0，I＝0满足条件S≤10，执行循环体，S＝0，I＝1满足条件S≤10，执行循环体，S＝1，I＝2满足条件S≤10，执行循环体，S＝3，I＝3满足条件S≤10，执行循环体，S＝6，I＝4满足条件S≤10，执行循环体，S＝10，I＝5满足条件S≤10，执行循环体，S＝15，I＝6不满足条件S≤10，退出循环，输出I的值为6．故答案为：6．6．已知样本7，8，9，x，y的平均数是9，且xy＝110，则此样本的方差是 2 ．【分析】由样本7，8，9，x，y的平均数是9，且xy＝110，解得x＝10，y＝11或x＝11，y＝10，由此能求出此样本的方差．解：∵样本7，8，9，x，y的平均数是9，且xy＝110，∴，解得x＝10，y＝11或x＝11，y＝10，∴此样本的方差为：S2＝[（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（11﹣9）2]＝2．故答案为：2．7．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝4x上的点P到其焦点的距离为3，则点P到点O的距离为2．【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知|PF|＝3，求出P的坐标，然后求解点P到点O的距离．解：∵抛物线y2＝4x＝2px，∴p＝2，准线方程为：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上的点P到其焦点的距离为3，所以P（2，）则点P到点O的距离为：＝，故答案为：2．8．若数列{a n}是公差不为0的等差数列，lna1、lna2、lna5成等差数列，则的值为 3 ．【分析】推导出2ln（a1+d）＝lna1+ln（a1+4d），从而＝a1（a1+4d），解得d ＝2a1，由此能求出的值．解：数列{a n}是公差不为0的等差数列，lna1、lna2、lna5成等差数列，∴2ln（a1+d）＝lna1+ln（a1+4d），∴＝a1（a1+4d），∴，解得d＝2a1，∴＝＝3．故答案为：3．9．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点P是棱CC1上一点，记三棱柱ABC﹣A1B1C1与四棱锥P﹣ABB1A1的体积分别为V1与V2，则＝．【分析】设AB＝a，△ABC的高为b，三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为h，则，，由此能求出的值．解：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点P是棱CC1上一点，记三棱柱ABC﹣A1B1C1与四棱锥P﹣ABB1A1的体积分别为V1与V2，设AB＝a，△ABC的高为b，三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为h，则，，∴＝＝．故答案为：．10．设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象与y轴交点的纵坐标为，y轴右侧第一个最低点的横坐标为，则ω的值为7 ．【分析】根据条件建立方程，分别求出φ和ω的值即可．解：∵f（x）的图象与y轴交点的纵坐标为，∴f（0）＝sinφ＝，∵0＜φ＜，∴φ＝，则f（x）＝sin（ωx+），∵y轴右侧第一个最低点的横坐标为，∴由五点对应法得ω+＝得φ＝7，故答案为：7．11．已知H是△ABC的垂心（三角形三条高所在直线的交点），＝+，则cos ∠BAC的值为．【分析】先确定点H的位置，再得到BC＝AC，再向量的夹角公式，并运用了向量的坐标运算可求出．解：∵＝+，令，∴如图，点B，H，E三点共线，则有，，∴．∴，即．BAC∴，∴＝（其中点F为边AB的中点），则有，边AB上的中线与垂线重合，即CB＝CA．∵且．由对称性可知，且．建立如图所示的平面直角坐标系，则有，D（0，0），B（2，0），C（1，0），设A（0，4t），∴H（0，t），t＞0．由BC＝CA可得，．cos∠BAC＝＝．故答案为．12．若无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）是等差数列，则其前10项的和为10 ．【分析】由无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）是等差数列，得到ω＝0，从而cos（ωn）＝1，由此能求出无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）的前10项的和．解：∵无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）是等差数列，∴ω＝0，∴cos（ωn）＝1，∴无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）的前10项的和为：S10＝10×1＝10．故答案为：10．13．已知集合P＝{（x，y）|x|x|+y|y|＝16}，集合Q＝{（x，y）|kx+b1≤y≤kx+b2}，若P⊆Q，则的最小值为 4 ．【分析】根据绝对值的定义去绝对值，可画出集合P表示的图形，由图即可求解．解：当x≥0，y≥0时，x2+y2＝16，即y＝；当x≥0，y＜0时；x2﹣y2＝16，即当x＜0，y≥0时；﹣x2+y2＝16，即y＝当x＜0，y＜0时，x2+y2＝﹣16，舍去．作出图象，x2﹣y2＝16的一条渐近线为y＝﹣x，与该渐近线平行，且与圆x2+y2＝16的一条切线为，由图可知，k＝﹣1，最小值为＝．故答案为：4．14．若对任意实数x∈（﹣∞，1]，都有||≤1成立，则实数a的值为．【分析】令，可以得到﹣1＜a＜1，再以为临界点讨论即可．解：依题意，，令，若x2﹣2ax+1＝0的判别式△＝4a2﹣4≥0，则x2﹣2ax+1＝0有解，设一解为x1，则当x→x1时，|f（x）|→+∞，不满足|f（x）|≤1恒成立，故﹣1＜a＜1，，①当2a+1＜0，即时，函数f（x）在（2a+1，1）单调递减，f（0）＝1，则f（2a+1）＞1，不满足题意；②当2a+1＞0，即时，记1，2a+1中的较小值为x0，则函数f（x）在（﹣∞，x0）单调递增，由f（0）＝1可得f（x0）＞f（0）＝1，不满足题意；③当2a+1＝0，即时，f（x）在（﹣∞，0），（0，1）单调递减，则f（x）≤f（0）＝1，＞0，则|f（x）|≤1恒成立．故答案为：．二、解答题（共6小题，满分90分）15．已知△ABC满足sin（B+）＝2cos B．（1）若cos C＝，AC＝3，求AB；（2）若A∈（0，），且cos（B﹣A）＝，求sin A．【分析】（1）根据条件先算出tan B，求出B，再用正弦定理求出AB；（2）根据条件求出cos（）＝，sin（）＝，利用凑角法求出sin A即可．解：（1）由sin（B+）＝2cos B，可知sin B+cos B＝2cos B，即sin B＝cos B，因为cos B≠0，所以tan B＝，又B∈（0，π），故B＝，由cos C＝，C∈（0，π），可知sin C＝，在△ABC中，由正弦定理，所以AB＝2；（2）由（1）知B＝，所以A∈（0，）时，﹣A∈（0，），由cos（B﹣A）＝，即cos（）＝，所以sin（）＝，所以sin A＝sin[﹣（）]＝sin cos（）﹣cos sin（）＝＝．16．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面ABCD是正方形，点P是侧棱CC1上的一点．（1）若AC1∥平面PBD，求的值；（2）求证：BD⊥A1P．【分析】（1）连结AC交BD于点O，连结OP．推导出AC1∥OP．点O是AC的中点，从而AO＝OC，由此能求出＝＝1．（2）连结A1C1．推导出侧棱C1C⊥平面ABCD．从而CC1⊥BD．再求出AC⊥BD．从而BD⊥面ACC1A1，由此能证明BD⊥A1P．解：（1）连结AC交BD于点O，连结OP．因为AC1∥平面PBD，AC1⊂平面ACC1，平面ACC1∩平面BDP＝OP，所以AC1∥OP．因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O，所以点O是AC的中点，所以AO＝OC，所以在△ACC1中，＝＝1．（2）证明：连结A1C1．因为ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，所以侧棱C1C⊥平面ABCD．又BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD．因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又AC∩CC1＝C，AC⊂面ACC1A1，CC1⊂面ACC1A1，所以BD⊥面ACC1A1，又因为A1P⊂面ACC1A1，所以BD⊥A1P．17．如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙P与⊙Q做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB为圆柱的一条母线，点A、B在⊙O上，点P、Q在⊙O的一条直径上，AB∥PQ，⊙P、⊙Q分别与直线BC、AD相切，都与⊙O内切．（1）求圆形铁皮⊙P半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P与⊙Q半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）【分析】（1）设⊙P的半径为r，根据BC小于等于弦长建立不等式，从而求得半径r 的取值范围；（2）表示出油桶的体积，构造函数，利用导数研究其最值即可．解：（1）设⊙P的半径为r，则AB＝4（2﹣r），所以⊙P的周长，解得，故⊙P半径的取值范围为；（2）在（1）的条件下，油桶的体积V＝πr2•AB＝4πr2（2﹣r），设函数，则f′（x）＝4x﹣3x2，由于，所以f′（x）＞0在定义域上恒成立，即函数f（x）在定义域上单调递增，故当时，体积取倒最大值．18．（16分）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率是e，动点P（x0，y0）在椭圆C上运动．当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e．（1）求椭圆C的方程；（2）延长PF1，PF2分别交椭圆C于点A，B（A，B不重合）．设＝λ，＝μ，求λ+μ的最小值．【分析】（1）由PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e得c，b的值，再由a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；（2）由（1）得：焦点F1，F2的坐标，再由＝λ，＝μ，求出λ，μ的值，进而求出之和的值，再由x02d的范围，求出λ+μ的最小值．解：（1）由题意知当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e．知c＝1，＝e＝，∴b＝c＝1，又a2＝b2+c2＝2，所以椭圆的方程为：＝1；（2）由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0）设A（x0，y0），由＝λ得，即，代入椭圆方程得：+（﹣λy0）2＝1，又＝1，得，两式相减得：＝1﹣λ2，因为λ+1≠0，所以2λx0+λ+1＝2（1﹣λ），故；同理可得：，故λ+μ＝+＝，当且仅当x0＝0时取等号，故λ+μ的最小值为．19．（16分）定义：若无穷数列{a n}满足{a n+1﹣a n}是公比为q的等比数列，则称数列{a n}为“M（q）数列”．设数列{b n}中b1＝1，b3＝7．（1）若b2＝4，且数列{b n}是“M（q）数列”，求数列{b n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，且b n+1＝2S n﹣n+λ，请判断数列{b n}是否为“M（q）数列”，并说明理由；（3）若数列{b n}是“M（2）数列”，是否存在正整数m，n使得＜＜？若存在，请求出所有满足条件的正整数m，n；若不存在，请说明理由．【分析】（1）推导出q＝＝＝1，从而＝1，n≥2，推导出数列{b n}是等差数列，其公差为b2﹣b1＝3，由此能求出数列{b n}通项公式．（2）由，得，b3＝4+3λ＝7，解得λ＝7，由，推导出，n∈N*，从而对n∈N*恒成立，推导出是等比数列，由此求出{b n+1﹣b n}是公比为3的等比数列，从而数列{b n}是“M（q）数列“．（3）由数列{b n}是“M（2）”数列，得到b n+1﹣b n＝（b2﹣b1）×2n+1，推导出当n≥2时，b n＝（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1，＝2n﹣1+2n﹣2+…+2+1＝2n﹣1，假设存在正整数m，n，使得，则，推导出，∴n＝10，m＝11．由此能求出存在满足条件的正整数m，n，其中m＝11，n＝10．解：（1）因为b2＝4，且数列{b n}是“M（q）数列”，所以q＝＝＝1，所以＝1，n≥2，即b n+1﹣b n＝b n﹣b n﹣1，n≥2，所以数列{b n}是等差数列，其公差为b2﹣b1＝3，所以数列{b n}通项公式为b n＝1+（n﹣1）×3＝3n﹣2．（2）由，得，b3＝4+3λ＝7，解得λ＝7，由，得，两式作差，得：，∴，n∈N*，∵，∴，∴对n∈N*恒成立，则＝3（），∵，∴，∴＝3，∴是等比数列，∴，∴，∴＝＝3，∴{b n+1﹣b n}是公比为3的等比数列，故数列{b n}是“M（q）数列“．（3）由数列{b n}是“M（2）”数列，∴b n+1﹣b n＝（b2﹣b1）×2n+1，∵＝2，∴＝2，∴b2＝3，∴b2﹣b1＝2，∴b n+1﹣b n＝2n，∴当n≥2时，b n＝（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1，＝2n﹣1+2n﹣2+…+2+1＝2n﹣1，假设存在正整数m，n，使得，则，由＝，∴，∴m﹣n＝1，∴，即，∴，∴n＝10，m＝11．∴存在满足条件的正整数m，n，其中m＝11，n＝10．20．（16分）若函数f（x）＝e x﹣ae﹣x﹣mx（m∈R）为奇函数，且x＝x0时f（x）有极小值f（x0）．（1）求实数a的值；（2）求实数m的取值范围；（3）若f（x0）≥﹣恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）依题意，f（x）+f（﹣x）＝0在定义域上恒成立，由此建立方程，解出即可；（2）求导后分m≤2及m＞2讨论即可；（3）可知，进而得到f（x0），研究其单调性，结合已知可得x0≤1，由此可求得实数m的取值范围．解：（1）由函数f（x）为奇函数，得f（x）+f（﹣x）＝0在定义域上恒成立，∴e x﹣ae﹣x﹣mx+e﹣x﹣ae x+mx＝0，化简可得（1﹣a）（e x+e﹣x）＝0，故a＝1；（2）由（1）可得f（x）＝e x﹣e﹣x﹣mx，则，①当m≤2时，由于e2x﹣me x+1≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，故不存在极小值；②当m＞2时，令e x＝t，则方程t2﹣mt+1＝0有两个不等的正根t1，t2（t1＜t2），故可知函数f（x）＝e x﹣e﹣x﹣mx在（﹣∞，lnt1），（lnt2，+∞）上单调递增，在（lnt1，lnt2）上单调递减，即在lnt2出取到极小值，所以，实数m的取值范围为（2，+∞）；（3）由x0满足代入f（x）＝e x﹣e﹣x﹣mx，消去m得，构造函数h（x）＝（1﹣x）e x﹣（1+x）e﹣x，则h′（x）＝x（e﹣x﹣e x），当x≥0时，，故当x≥0时，h′（x）≤0恒成立，故函数h（x）在[0，+∞）上单调减函数，其中，则，可转化为h（x0）≥h（1），故x0≤1，由，设y＝e x+e﹣x，可得当x≥0时，y′＝e x﹣e﹣x≥0，∴y＝e x+e﹣x在（0，1]上递增，故，综上，实数m的取值范围为．【选做题】在21、22、23三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换] 21．已知圆C经矩阵M＝变换后得到圆C′：x2+y2＝13，求实数a的值．【分析】利用矩阵表示出变换后点的坐标代入圆方程即可解：设圆C上任一点（x，y），经矩阵M变换后得到圆C’上一点（x’，y’），所以，所以，又因为（x′）2+（y′）2＝13，所以圆C的方程为（ax+3y）2+（3x﹣2y）2＝13，化简得（a2+9）x2+（6a﹣12）xy+13y2＝13，所以解得a＝2．所以，实数a的值为2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，直线ρcosθ+2ρsinθ＝m被曲线ρ＝4sinθ截得的弦为AB，当AB是最长弦时，求实数m的值．【分析】以极点为原点，极轴为x轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标系，求出直线的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程，得到曲线ρ＝4sinθ是以（0，2）为圆心，2为半径的圆．为使直线被曲线（圆）截得的弦AB最长，直线过圆心（0，2），由此能求出实数m的值．解：以极点为原点，极轴为x轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标系，由直线ρcosθ+2ρsinθ＝m，可得直角坐标方程为x+2y﹣m＝0．又曲线ρ＝4sinθ，所以ρ2＝4ρsinθ，其直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4，所以曲线ρ＝4sinθ是以（0，2）为圆心，2为半径的圆．为使直线被曲线（圆）截得的弦AB最长，所以直线过圆心（0，2），于是0+2×2﹣m＝0，解得m＝4．所以，实数m的值为4．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正实数a，b，c满足++＝1，求a+2b+3c的最小值．【分析】根据题意，将++＝1变形可得++＝1，进而由柯西不等式得a+2b+3c ＝（a+2b+3c）（++）≥（1+2+3）2；变形即可得答案．解：根据题意，因为++＝1，则++＝1，由柯西不等式得a+2b+3c＝（a+2b+3c）（++）≥（1+2+3）2；即a+2b+3c≥36，当且仅当a＝b＝c时取等号，解得a＝b＝c＝6，所以当且仅当a＝b＝c＝6时，a+2b+3c取最小值36．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，AA1、BB1是圆柱的两条母线，A1B1、AB分别经过上下底面圆的圆心O1、O，CD是下底面与AB垂直的直径，CD＝2．（1）若AA1＝3，求异面直线A1C与B1D所成角的余弦值；（2）若二面角A1﹣CD﹣B1的大小为，求母线AA1的长．【分析】（1）以CD，AB，OO1所在直线建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz．求出＝（﹣1，1，﹣3），＝（1，﹣1，﹣3），利用空间向量的数量积公式求解即可．（2）设AA1＝m＞0，求出平面A1CD的一个法向量，平面B1CD的一个法向量通过空间向量的数量积转化求解即可．解：（1）以CD，AB，OO1所在直线建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz．由CD＝2，AA1＝3，所以A（0，﹣1，0），B（0，1，0），C（﹣1，0，0），D（1，0，0），A1（0，﹣1，3），B1（0，1，3），从而＝（﹣1，1，﹣3），＝（1，﹣1，﹣3），所以cos＝，所以异面直线A1C与B1D所成角的余弦值为：．（2）设AA1＝m＞0，则A1（0，﹣1，m），B1（0，1，m），所以＝（﹣1，1，﹣m），＝（1，﹣1，﹣m），，＝（2，0，0），设平面A1CD的一个法向量＝（x1，y1，z1），则所以x1＝0，令z1＝1，则y1＝m，所以平面A1CD的一个法向量＝（0，m，1）．同理可得平面B1CD的一个法向量＝（0，﹣m，1）．因为二面角A1﹣CD﹣B1的大小为，所以|cos＜，＞|＝＝，解得m＝或m＝，由图形可知当二面角A1﹣CD﹣B1的大小为时，m＝．25．设（1﹣2x）i＝a0+a1x+a2x2+…+a2n x2n（n∈N*），记S n＝a0+a2+a4+…+a2n．（1）求S n；（2）记T n＝﹣S1∁n1+S2∁n2﹣S3∁n3+…+（﹣1）n S n∁n n，求证：|T n|≥6n3恒成立．【分析】本题第（1）题先令x＝1，得a0+a1+a2+…+a2n＝＝0；再令x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a2n﹣1+a2n＝＝31+32+…+32n＝•（9n﹣1），两式相加即可算出S n的表达式．第（2）题先将S n的表达式代入T n＝﹣S1∁n1+S2∁n2﹣S3∁n3+…+（﹣1）n S n ∁n n，然后进行化简整理，利用二项式进行化简可求出T n的表达式．再将T n的表达式代入不等式|T n|≥6n3化简整理后利用分析法进行证明．解：（1）由题意，令x＝1，得a0+a1+a2+…+a2n＝＝0；令x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a2n﹣1+a2n＝＝31+32+…+32n＝•（9n﹣1）．两式相加，得2（a0+a2+a4+…+a2n）＝•（9n﹣1），即2S n＝•（9n﹣1），∴S n＝（9n﹣1），n∈N*．（2）由题意，T n＝﹣S1∁n1+S2∁n2﹣S3∁n3+…+（﹣1）n S n∁n n＝{[﹣91+92﹣93+…+（﹣1）n9n]﹣[﹣+﹣+…+（﹣1）n]} ＝{[90﹣91+92﹣93+…+（﹣1）n9n]﹣[﹣+﹣+…+（﹣1）n]}＝[90﹣91+92﹣93+…+（﹣1）n9n]＝[（﹣9）0﹣（﹣9）1+（﹣9）2﹣（﹣9）3+…+（﹣9）n]＝（1﹣9）n＝•（﹣8）n．故|T n|＝|•（﹣8）n|＝•8n．要证|T n|≥6n3，即证×8n≥6n3，只需证明8n﹣1≥n3，即证2n﹣1≥n．当n＝1，2时，2n﹣1≥n显然成立．当n≥3时，2n﹣1＝++…+≥＝+＝1+（n﹣1）＝n，即2n﹣1≥n，所以2n﹣1≥n对n∈一、选择题*恒成立．综上，|T n|≥6n3恒成立．。
2020年高考数学原创卷(江苏版终稿)
2020年江苏高考原创卷数 学 试 题数学Ⅰ 必做题部分（本部分满分160分，时间120分钟）注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的相应位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效． 4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．参考公式：1．锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上．．．．． 1．已知集合2{|2}A x x =<，N 为自然数集，则=AN ▲ ．2．设复数z 满足z+|z|2i =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ▲ ．3．某高中校共有学生2400人，其中高三年级学生有600人．现采用分层抽样的方法对全校学生进行一项健康调查，若从高三年级共抽取20人，则全校一共应抽取 ▲ 人． 4．从1,2,3,4,5五个数中随机取出2个数，则取出的两个数不是连续整数的 概率是 ▲ ．5．如图是一个算法的流程图，当输入的102a b ==，时，则输出的y 值为 ▲ ．6．设等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，已知1491, a S S ==，若1k a =-，则=k ▲ ．7．已知函数2()log (41)x f x ax =+-是偶函数，则实数a = ▲ ．8．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与直线222()y x c c a b =-=+有且仅有一个公共点，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．9．将函数()sin2f x x =的图象向左平移ϕ(0ϕ>)个单位，若所得函数的图象经过点()π03，，则ϕ的最小值为 ▲ ．10．已知三棱锥P ABC -的体积为8，M ，N 分别为P A ，BC 的中点，则三棱锥P BMN -的体积为 ▲ ． 11．已知(1,0)A -，(1,0)B ，若在圆222210x y ax y +--+=(0)a >上存在点P ，使得△PAB 两条边, PA PB上的中线互相垂直，则实数a 的取值范围是 ▲ ．（第5题）12．若锐角,αβ满足sin()sin()cos cos 44ππαβαβ--=，则αβ+13．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，11, 32AD AB AE AC ==，CD 交于点O ，若2512BE CD ⋅=-，则OB OC ⋅= ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点Ａ,B 是函数y=1x(x >0) 的图象上的两个不同点，且∠AOB ＝45︒，则ΔAOB 面积的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，已知AB AC =，23BC AB =． （1）求tan A 的值；（2）若点D 在边AB 上，且60BDC CD ∠=︒=，ABC 的面积.16．(本小题满分14分)如图，矩形ACQP 所在平面与菱形ABCD 所在平面互相垂直，交线为AC ，AC BD O =．若AC ，E F ，分别是PQ 和CQ 的中点，求证： （1）//CE 平面PBD ； （2）平面FBD ⊥平面PBD ．CABD(第16题)EFPQO(第13题)图1是某公司计划开发的一级方程式汽车赛道的规划图纸．其中一段赛道AB ，是“S 型弯道”，在平面直角坐标系xOy 中，该段赛道的图象拟用函数32()2(,,R)f x x ax bx c a b c =+++∈的一段图象(如图2)来表示，其中(0,0),(2,4)A B ．注：“S 型弯道”是指该段函数(不包括端点)既有极大值点又有极小值点．(1) 求实数a 的取值范围；(2) 记函数()y f x =图象上任意一点(,())x f x 处的切线斜率为()g x ,曲率()()1()g x Q x g x '=+．为比赛安全，官方要求赛道每一点处曲率的绝对值都小于4．问：是否存在整数(6,3)a ∈--，使该“S 型弯道”符合官方要求？若存在，求整数a 的值；若不存在，请说明理由．18．(本小题满分16分)已知椭圆E ：221123x y +=的右焦点为F ，点P 是椭圆E 上位于第一象限的任意一点，连接PF 并延长交椭圆E 于Q 点，线段PQ 的中点为M ，O 为坐标原点，且直线OM 与右准线l 交于点N ．(1) 若OM =2MN ，求点P 的坐标；(2) 试确定直线PN 与椭圆E 的公共点的个数．(第17题图1)设函数1()ln (0, , )f x ax b x x a b x=+->∈R . （1）当0b=时，解关于x 的不等式()0f x >； （2）若1a b +=，函数()f x 的最小值为2，求a 的值；（3）对于任意给定的正实数, a b ，证明：存在实数0x ，当0x x >时，()0f x >．20．(本小题满分16分)已知数列{}n a 共有21m +项，且11a =，1220(1221N*)i i i a a a i m m ≥，，，，…++-+=-∈． （1）若{}n a 为等比数列，求公比q 的取值范围； （2）求证：212(21)21m m m a ma +--≥；（3）若212(21)21m m m a ma +-=-，且22a =．设数列{}n b 为{}n a 的一个子数列，且数列{}n b 中不存在r s t *∈N ，，，使得r s t b b b +=，求数列{}n b 项数的最大值．2020年江苏高考原创卷（一）数 学 试 题数学Ⅱ（附加题）注意事项1． 本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题，共4题）。
江苏省2020年高考数学一模试卷(理科)A卷
江苏省2020年高考数学一模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·重庆月考) 已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知a，b，c∈R，命题“若，则”的否命题是（）A . 若a+b+c≠3，则<3B . 若a+b+c=3，则<3C . 若a+b+c≠3，则≥3D . 若≥3，则a+b+c=33. （2分）下列函数中，与函数定义域相同的函数为（）A .B .C .D .4. （2分） (2020高二下·吉林期中) 的值为（）A .B .C .D .5. （2分）设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A . （1，1.25）B . （1.25，1.5）C . （1.5，2）D . 不能确定6. （2分）设a=lnπ，b=logπe，c=logtan1sin1，则（）A . c＞b＞aB . b＞c＞aC . a＞c＞bD . a＞b＞c7. （2分） (2019高三上·郑州期中) 已知命题p：函数在（0，1）内恰有一个零点；命题q：函数在上是减函数，若p且为真命题，则实数的取值范围是（）A .B . 2C . 1< ≤ 2D . ≤ l或 >28. （2分）下列函数中，在（0，+∞）上单调递减，并且是偶函数的是（）A . y=ln（x2+1）B . y=﹣x2cosxC . y=﹣lg|x|D . y=（）x9. （2分） (2016高一上·河北期中) 当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=logax的图象为（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高一上·普兰期中) 已知函数，若，则的值是（）．A .B .C .D .11. （2分）关于x的方程（m+3）x2﹣4mx+2m﹣1=0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m的取值范围为（）A . （﹣3，0）B . （0，3）C . （﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）D . （﹣∞，0）∪（3，+∞）12. （2分） (2019高一上·重庆月考) 若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共6分)13. （1分） (2016高一下·浦东期中) 计算：log3 +log32﹣log3 =________．14. （2分） (2020高二下·奉化期中) 已知函数，则函数的值域为________ ；若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是________.15. （1分） (2015高三上·驻马店期末) 已知f（x）=lg（100x+1）﹣x，则f（x）的最小值为________．16. （2分） (2020高二下·宁波期中) 设曲线在点处的切线与曲线上点p 处的切线垂直，则直线的方程为________，的坐标为________.三、解答题 (共8题；共75分)17. （5分） (2017高二上·右玉期末) 已知p：＜x＜．q：x（x﹣3）＜0，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18. （15分） (2019高一上·伊春期中) 已知函数，，其中且，．（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；（3）求关于的不等式的解集．19. （5分） (2020高二下·河南月考) 已知函数，其导函数的两个零点为和 .（I）求曲线在点处的切线方程；（II）求函数的单调区间；（III）求函数在区间上的最值.20. （10分）已知函数f（x）=2x+1定义在R上．（1）若f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，设h（x）=t，p（t）=g（2x）+2mh （x）+m2﹣m﹣1（m∈R），求出p（t）的解析式；（2）若p（t）≥m2﹣m﹣1对于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围．21. （15分） (2019高三上·涪城月考) 已知函数 .（1）解关于的不等式：；（2）当时，过点是否存在函数图象的切线？若存在，有多少条？若不存在,说明理由；（3）若是使恒成立的最小值，试比较与的大小（）.22. （10分） (2015高三上·日喀则期末) 如图，已知PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，∠APE 的平分线和AE、BE分别交于点C，D（1）求证：CE=DE；（2）求证：．23. （5分）(2017·邯郸模拟) [选修4-4：坐标系与参数方程选讲]在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1 ， C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcos（θ﹣）= ．（Ⅰ）求C1和C2交点的极坐标；（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与x轴的交点为P，且与C1交于A，B两点，求|PA|+|PB|．24. （10分） (2018高三上·西安模拟) 已知函数和的图象关于原点对称，且 .（1）解关于的不等式；（2）如果对，不等式成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共75分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、24-1、24-2、。
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2020届江苏省新高考原创精准模拟考试（一）数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．）1.已知集合A＝，B＝{2，3，4，5}，则A B＝_______．【答案】【解析】【分析】先求出集合，再求出集合即可得到答案．【详解】由题意得，∴．故答案为：．【点睛】本题考查集合的并集运算，解题的关键是正确求出集合，属于简单题．2.若复数z满足（i是虚数单位），则＝_______．【答案】1-i【解析】【分析】根据题意求出复数z，然后可求出．【详解】∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】解答本题的关键是求出复数的代数形式，然后再根据共轭复数的概念求解，属于基础题．3.根据如图所示的伪代码，当输出y的值为﹣1时，则输入的x的值为_______．【答案】1【解析】【分析】根据图中给出的程序，将问题转化为已知分段函数的函数值求出自变量的取值即可．【详解】由题意得，当时，有，此方程无解；当时，有，解得．故答案为：1．【点睛】解答本题的关键是读懂程序的功能，然后将问题转化为已知函数值求自变量取值的问题求解，属于基础题．4.已知一组数据，，…，的方差为3，若数据，，…，(a，b R)的方差为12，则a的值为_______．【答案】【解析】由题意知，，解得.5.在区间(1，3)内任取1个数x，则满足的概率是_______．【答案】【解析】【分析】解对数不等式求出中的取值范围，再根据长度型的几何概型概率求解即可得到答案．【详解】由得，解得．根据几何概型概率公式可得，所求概率为．故答案为：【点睛】本题考查长度型的几何概型概率的求法，解题的关键是读懂题意，然后根据线段的长度比得到所求的概率，属于基础题．6.已知圆锥的体积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为_______．【答案】【解析】【分析】设圆锥底面半径，则母线长，高，则，求出，，该圆锥的表面积为，由此能求出结果．【详解】解：圆锥的体积为，母线与底面所成角为，如图，设圆锥底面半径，则母线长，高，，解得，，，该圆锥的表面积为．【点睛】本题考查圆锥的表面积的求法，考查圆锥的性质、体积、表面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.函数(A＞0，＞0，＜)的部分图象如图所示，则＝_______．【答案】【解析】【分析】先求出的值，然后通过代入最值点的方法求出的值；或根据图象求出，再根据“五点法”求出的值．【详解】方法1：由图象得，所以，故．又点为函数图象上的最高点，所以，故，又，所以．故答案为：．方法2：由图象得，所以．又由图象得点对应正弦函数图象“五点”中的“第二点”，所以，解得．故答案为：．【点睛】已知函数的图象求参数的方法：可由观察图象得到，进而得到的值．求的值的方法有两种，一是“代点”法，即通过代入图象中的已知点的坐标并根据的取值范围求解；另一种方法是“五点法”，即将作为一个整体，通过观察图象得到对应正弦函数图象中“五点”中的第几点，然后得到等式求解．考查识图、用图的能力．8.已知等差数列的前n项和为，若1≤≤3，3≤≤6，则的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】先根据求出的取值范围，然后根据不等式的性质可得所求结果．【详解】在等差数列中，，∴，又，∴．由得．∴，即，∴．即的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查不等式性质的运用，解题的关键是注意灵活变形、合理运用不等式的性质，属于基础题．9.如图，在△ABC中，AD＝DB，F在线段CD上，设，，，则的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】由三点共线以及，可得，利用基本不等式即可求得的最小值.【详解】,由图可知均为正数.又三点共线，则，则.【点睛】（1）平面向量中三点共线：若,则三点共线的充要条件是.（2）“1”的代换是基本不等式中构造的基本方法.10.已知数列为正项的递增等比数列，，，记数列的前n项和为，则使不等式成立的最大正整数n的值是_______．【答案】6【解析】【分析】设等比数列{a n}的公比q，由于是正项的递增等比数列，可得q＞1．由a1+a5=82，a2•a4=81=a1a5，∴a1，a5，是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根，解得a1，a5，利用通项公式可得q，a n．利用等比数列的求和公式可得数列{}的前n项和为T n．代入不等式2019|T n﹣1|＞1，化简即可得出．【详解】数列为正项的递增等比数列，，a2•a4=81=a1a5，即解得，则公比，∴，则，∴，即，得，此时正整数的最大值为6.故答案为6.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.已知双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线MN过F2，且与双曲线右支交于M、N两点，若cos∠F1MN＝cos∠F1F2M，，则双曲线的离心率等于_______．【答案】2【解析】【分析】由可得，故得，所以，再根据双曲线的定义得到，．然后在和中运用余弦定理并结合可得的关系，进而可得离心率．【详解】如图，由可得，∴，，由双曲线的定义可得，，∴在中由余弦定理得在中由余弦定理得，∵，∴，整理得，∴，解得或（舍去）．∴双曲线的离心率等于2．故答案为：2．【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，解题的关键是把题中的信息用双曲线的基本量（）来表示，然后根据余弦定理建立起间的关系式，再根据离心率的定义求解即可，属于中档题．12.已知，函数在区间上的最大值是2，则__________．【答案】3或【解析】当时，=函数，对称轴为，观察函数的图像可知函数的最大值是.令，经检验，a=3满足题意.令，经检验a=5或a=1都不满足题意.令，经检验不满足题意.当时，,函数，对称轴为，观察函数的图像得函数的最大值是.当时，,函数，对称轴为，观察函数的图像可知函数的最大值是.令，令,所以.综上所述，故填3或.点睛：本题的难点在于通过函数的图像分析函数的性质. 本题绝对值里面是一个闭区间上的二次函数，要求它的最大值，所以要先画出二次函数的图像，再结合二次函数的图像分析出最大值的可能情况.13.在边长为8的正方形ABCD中，M是BC的中点，N是AD边上的一点，且DN＝3NA，若对于常数m，在正方形ABCD的边上恰有6个不同的点P，使，则实数m的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系，按照点P在线段上进行逐段分析的取值范围及对应的解，然后取各个范围的交集即可得答案．【详解】以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则．（1）当点P在AB上时，设，∴，∴，∵，∴．∴当时有一解，当时有两解．（2）当点P在AD上时，设．∴，∴，∵，∴．∴当或时有一解，当时有两解．（3）若P在DC上，设，∴，∴，∵，∴．∴当时有一解，当时有两解．（4）当点P在BC上时，设．∴，∴，∵，∴．∴当或时有一解，当时有两解．综上，在正方形的四条边上有且只有6个不同的点P，使得成立，那么m的取值范围是．故答案为：．【点睛】解答本题的关键有两个：一是正确理解题意，将问题转化为判断方程根的个数的问题求解；二是利用数形结合的思想进行求解，通过建立坐标系，将问题转化为函数的知识求解．难度较大．14.已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】由是函数的两个不同的极值点可得，进而得到，然后构造函数，求出函数的值域后可得所求范围．【详解】∵，∴．∵函数有两个不同的极值点，，∴，是方程的两个实数根，且，∴，且，解得．由题意得．令，则，∴在上单调递增，∴．又不等式恒成立，∴，∴实数的取值范围是．故答案为．【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，体现了导数的工具性，解题的关键是得到的表达式．解答恒成立问题的常用方法是转化为求函数的最值的问题解决，当函数的最值不存在时可利用函数值域的端点值来代替，属于基础题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.已知函数.（1）求函数图象的对称中心；（2）在中，若为锐角三角形且，求的取值范围.【答案】(1) ,(2)（，2）.【解析】试题分析：（1）先由两角和差公式化一 ,(2) 由得到角A，，最终得到要求结果.(1)解得，故对称中心为（，1）（2）由解得所以，又为锐角三角形，故所以的取值范围是（，2）.16.如图，三角形PCD所在的平面与等腰梯形ABCD所在的平面垂直，AB＝AD＝CD，AB∥CD，CP⊥CD，M为PD的中点．（1）求证：AM∥平面PBC；（2）求证：BD⊥平面PBC．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）取的中点，连，，可证得四边形为平行四边形，于是，然后根据线面平行的判定定理可得结论成立．（2）在等腰中梯形中，取的中点，连，，证得四边形为菱形，进而得．同理四边形为菱形，可得．再由平面平面得到平面，于是得，最后根据线面垂直的判定可得平面．【详解】证明：（1）如图，取的中点，连，，∵为的中点，为的中点，∴，．又，，∴，，∴四边形为平行四边形，∴．又平面，平面，∴平面（2）如图，在等腰中梯形中，取的中点，连，．∵，，∴，，∴四边形为平行四边形．又，∴四边形为菱形，∴．同理，四边形为菱形，∴．∵，∴．∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，又平面，∴．∵，，∴平面．【点睛】本题考查线面关系的证明，解题的关键是根据所证的结论并结合三种平行（垂直）间的关系进行合理转化，以得到证题所需的条件，考查转化能力的运用和对基本判定方法、性质的掌握程度，属于基础题．17.如图，某人工景观湖外围有两条相互垂直的直线型公路l l，l2，且l l和l2交于点O．为了方便游客游览，计划修建一条连接公路与景观湖的直线型公路AB．景观湖的轮廓可以近似看成一个圆心为O，半径为2百米的圆，且公路AB与圆O相切，圆心O到l l，l2的距离均为5百米，设OAB＝，AB长为L百米．（1）求L关于的函数解析式；（2）当为何值时，公路AB的长度最短？【答案】（1），.（2）当时，公路的长度最短【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，得到直线方程为，然后根据直线与圆相切，得，再根据题意得到，于是，即为所求．（2）利用换元法求解，令，则，且，于是，然后结合导数求解可得所求最值．【详解】（1）以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则．在直角中，，，所以直线方程为，即，因为直线与圆相切，所以，因为点在直线的上方，所以，解得．因此L关于的函数解析式为，．（2）令，则，且，所以，因为，所以在上单调递减，所以当，即时，取得最小值，且．故当时，公路的长度最短．【点睛】解答本题的关键是将实际问题转化为数学问题，然后再结合直线和圆的位置关系得到所求解析式．对于最值的求法，可结合解析式的特点利用导数作为工具求解，其中令，得，将变量化一，为题目的求解提供了便利．考查应用意识和转化能力，属于基础题．18.过椭圆W：的左焦点F1作直线l1交椭圆于A，B两点，其中A(0，1)，另一条过F1的直线l2交椭圆于C，D两点（不与A，B重合），且D点不与点0，﹣1重合．过F1作x 轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G．（1）求B点坐标和直线l1的方程；（2）比较线段EF1和线段GF1的长度关系并给出证明．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由题意得椭圆的左焦点，根据两点式可得直线的方程，然后通过解方程组可得点坐标．（2）当与轴垂直时易得．当不与轴垂直时，设的方程为，与椭圆方程联立消元后可得，，求出直线的方程后可得点的纵坐标和点G的纵坐标，计算可得，于是．【详解】（1）由题意可得椭圆的左焦点，所以直线的方程为，即．由，解得或，所以点．（2）①当与轴垂直时，，两点与，两点重合，由椭圆的对称性，．②当不与轴垂直时，设的方程为，由消去整理得，显然．设，，则，．由已知得，所以直线的方程为，令，得点的纵坐标，把代入上式得．由已知得，所以直线BC的方程为，令，得点G的纵坐标．把代入上式得．所以，又，即，即．【点睛】解答本题时注意两点：一是在解答（2）时可先根据直线与轴垂直的情况得到特殊位置的结果，然后再推广到一般求解．解题时还要注意转化思想方法的运用，即把判断线段长度的大小关系转化为判断线段两端点的纵坐标的关系处理．二是由于解题时涉及到大量的计算，所以要注意“设而不求”、“整体代换”等方法的运用．19.设函数．（Ⅰ）当时，求证：；（Ⅱ）如果恒成立，求实数的最小值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）1.【解析】【分析】（Ⅰ）求得，利用导数证明在区间上单调递增，从而可得；（Ⅱ）讨论三种情况：当时，由（Ⅰ）知符合题意；当时，因为，先证明在区间上单调递增，可得符合题意；当时，存在唯一使得，任意时，，不合题意，综合即可得结果.【详解】（Ⅰ）因为，所以 .当时，恒成立，所以在区间上单调递增，所以.（Ⅱ）因为，所以.①当时，由（Ⅰ）知，对恒成立；②当时，因为，所以.因此在区间上单调递增，所以对恒成立；③当时，令，则，因为，所以恒成立，因此在区间上单调递增，且，所以存在唯一使得，即.所以任意时，，所以在上单调递减.所以，不合题意.综上可知，的最小值为1.【点睛】本题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题与不等式的证明问题，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.20.正数数列、满足：≥，且对一切k≥2，k，是与的等差中项，是与的等比中项．（1）若，，求，的值；（2）求证：是等差数列的充要条件是为常数数列；（3）记，当n≥2(n)时，指出与的大小关系并说明理由．【答案】（1），.（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）由题意得，解方程组可得所求．（2）证明结论“当为常数数列时，是公差为零的等差数列”和“是等差数列时为常数数列”同时成立即可．（3）由题意证得，进而得到，故得，然后通过数列求和可得结论成立．【详解】（1）由条件得，即，解得或，又≥，所以．（2）（充分性）：当为常数数列时，是公差为零的等差数列,即充分性成立．（必要性）：因为，又当为等差数列时，对任意恒成立．所以，因为，所以，即，从而对恒成立，所以为常数列．综上可得是等差数列的充要条件是为常数数列．（3）因为任意，，又，所以．从而，即，则，所以．【点睛】（1）证明充要条件时要分清充分性和必要性，然后结合推理进行证明即可．（2）本题难度较大，解题时要注意数列知识的综合运用，合理运用定义及求和的方法等知识求解，同时还要注意不等式的运用．附加题21.设二阶矩阵A，B满足，，求．【答案】【解析】【分析】设，然后根据得到关于参数的方程组，解方程组可得所求矩阵．【详解】设，因为，所以，即解得所以．【点睛】本题考查矩阵的计算，解题的关键是利用待定系数法和矩阵的乘法进行求解，属于基础题．22.在平面直角坐标系xOy中，射线l：(x≥0)，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的方程为；以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为．（1）写出射线l的极坐标方程以及曲线C1的普通方程；（2）已知射线l与C2交于O，M，与C3交于O，N，求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据直线极坐标方程的形式可得射线，消去曲线参数方程中的参数可得普通方程；（2）将圆的普通方程化为极坐标方程，设点对应的极径分别为，然后根据求解可得所求．【详解】（1）依题意，因为射线，故射线消去方程中的参数可得，所以曲线的普通方程为：．（2）曲线的方程为，即，把代入上式可得曲线的极坐标方程为，设点对应的极径分别为，则．【点睛】本题考查参数方程和极坐标方程，解题的关键是根据各种方程间的关系进行求解，同时还要注意在极坐标方程中用极径求弦长的方法，属于基础题．23.为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记X表示学生的考核成绩，并规定X≥85为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图．（1）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；（2）从图中考核成绩满足X[70，79]的学生中任取3人，设Y表示这3人重成绩满足≤10的人数，求Y的分布列和数学期望．【答案】（1）（2），分布列见解析【解析】【分析】（1）根据茎叶图得到成绩优秀的人数，然后根据古典概型概率公式求解即可．（2）根据题意先得到的所有可能取值，然后分别求出对应的概率，进而可得分布列和期望．【详解】（1）设该名学生考核成绩优秀为事件，由茎叶图中的数据可以知在30名同学的成绩中，优秀的为：85,89,90,90,91,92,93，共有7名同学，所以，所以可估计这名学生考核优秀的概率为．（2）由题意可得的所有可能取值为，因为成绩的学生共有8人，其中满足的学生有人，所以，，，．所以随机变量的分布列为所以，即数学期望为．【点睛】解答本题的关键是从茎叶图中得到所需的有关数据，然后再根据概率的相关知识求解即可，属于基础题．24.已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）根据赋值法求解，分别令和，再根据所得两式的特点求解．（2）由二项式展开式的通项公式可得，进而得，于是，进而得，然后求和可得所求结果．【详解】（1）令得令得所以（2）证明：由二项式展开式的通项公式可得，所以，所以，因此．故．【点睛】（1）求二巷展开式中的系数和时，常用的方法是赋值法，然后再结合所求值的式子的特点进行求解即可．（2）解答第二问的关键一是要注意组合数的运算，另一是求解时要根据式子的特点采用并项的方法进行求和．。