选修2-3第一章1-2-2组合第1课时组合与组合数公式

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m m 1 4．对等式 Cm ＝ C ＋ C 的理解 n ＋1 n n 在确定从 n＋ 1 个不同元素中取 m 个元素的方法时，对于 某一元素， 只存在着取与不取两种可能．如果取这一元素， 则需从剩下的 n 个元素中再取出(m－ 1)个元素，所以共有 m－1 Cn 种，如果不取这一元素，则需从剩下 n 个元素中取出 m 个元素， 所以共有 Cm 由分类加法计数原理得 Cm n 种． n＋1＝ m－1 Cm ＋ C n n .
1.2.2 组 合
第1课时 组合与组合数公式
【课标要求】
理解组合与组合数的概念． 1． 会推导组合数公式，并会应用公式求值． 2． 3． 了解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．
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【核心扫描】
组合的概念及组合与组合数的区别．(易错点) 1．
组合数公式的推导．(难点) 2． 组合数公式的应用．(重点) 3．
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自学导引
1．组合 不同 元素中__________________________ 取出m(m≤n)个元素合成一组 ， 一般地，从n个_____ 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
想一想：组合与排列有什么异同点？ 提示 组合与排列问题共同点是都要“从n个不同元素中，任 取m个元素”；不同点是前者是“不管顺序合成一组”，而后者 要“按照一定顺序排成一列”．
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【变式1】 判断下列问题是组合还是排列，并用组合数或排列 数表示出来． (1)若已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，则集合的子集中
有3个元素的有多少？
(2)8人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？ (3)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航
线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票
(3)组合与排列问题的共同点都是“从n个不同元素中任取出
m个元素”；不同点：前者与元素的顺序无关，为“将取出 的元素合成一组”，后者是“将取出的元素按照一定顺序排 成一列”．
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2． 组合数公式的两种形式的适用范围
形式 乘积形式 阶乘形式
－
主要适用范围 具体含数字的组合数的值 含字母的组合数的有关变形及证明
n m 3.对等式 Cm ＝ C n n 的理解 从 n 个不同元素中取出 m 个元素后，剩下 n－m 个元素．因 为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的每一个组合，与剩下 的 n－m 个元素的每一个组合一一对应，所以从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的组合数，等于从这 n 个元素中取出 n n－ m －m 个元素的组合数．即 Cm ＝ C n n .
Байду номын сангаас
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2． 组合数与组合数公式 所有不同组合 组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的____________ 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数. 定义 ______ m C ____ n 表示法 组合数 公式 乘积形式
Cm n= Cm n= Cm n=
n（n－1）…（n－m＋1） m！ _________________
阶乘形式
n！ m！（n－m）！ ______________
性质
n－ m C n _____ ；
备注
m－1 m C C Cm ＝ ___+______ ＋ n n n 1 ①n，m∈N*且m≤n 1 ②规定 C0 ＝__ n
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题型一
组合概念的理解
【例1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相 应的排列数或组合数． (1)10人相互通一次电话，共通多少次电话？
(2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行
多少场次？ (3)从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种 选法？
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3 2 试一试：试求 C2 8＋C8＋C9的值．
提示
10×9×8 2 3 2 3 2 3 C8＋C8＋C9＝C9＋C9＝C10＝ ＝120. 3×2×1
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名师点睛
对组合的定义的理解 1． (1)组合的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是 “合成一组”．“合成一组”表示与元素的顺序无关． (2)如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如 何，都是相同的组合，如ab与ba是两个不同的排列，但它 们是同一个组合；如果两个组合中的元素不完全相同，那 么这两个组合就是不同的组合．
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[思路探索] 解答本题主要是分清取出的这m个元素是进行 排列还是组合，即确定是与顺序有关还是无关．
解 (1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与 甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为 C2 10＝ 45. (2)是组合问题，因为每两支球队比赛一次，并不需要考虑谁 先谁后，没有顺序的区别，组合数为 C2 10＝ 45. (3)是组合问题，因为 3 个代表之间没有顺序的区别，组合数 3 为 C10 ＝ 120. (4)是排列问题， 因为 3 个人担任哪一科的课代表是有顺序区 别的，排列数为 A3 10＝ 720.
价？
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解 (1)已知集合的元素具有无序性，因此含 3 个元素的子集 个数与元素的顺序无关，是组合问题，共有 C3 7个． (2)发邮件与顺序有关，是排列问题，共写了 A2 8个电子邮件． (3)飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列 问题，有 A2 4种飞机票；票价只与两站的距离有关，故票价的 2 种数是组合问题，有 C4 种票价．
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规律方法
排列、组合问题的判断方法
(1)区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区 分的标志是有无顺序． (2)区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出
来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会
产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问 题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．