2反证法与数学归纳法

（三）、反证法

反证法证明的主要步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

【典型例题】

例1、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0

例2、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同时大于41

例3、.已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数.求证：三个方程ax 2+2bx +c =0，bx 2+2cx +a =0，cx 2+2ax +b =0至少有一个方程有两个相异实根.

【巩固练习】

1.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )

A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数

B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数

C ．a ，b ，c 都是奇数

D ．a ，b ，c 都是偶数

2.设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a ＞b ，a ＜b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立， 其中正确判断的个数为( )A ．0 B ．1 C ．2

D ．3 3.若x 、y 、z 均为实数，且a =x 2－2y +

2π，b =y 2－2z +3π，c =z 2－2x +6

π，求证a 、b 、c 中至少有一个大于零.

4.若下列方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0， x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0, x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根。试求实数a 的取值范围。

（四）、数学归纳法

数学归纳法是证明关于正整数n 的命题的一种方法，证明步骤为：（1）证明当n 取第一个值n = n 0时命题成立； （2）假设n = k （

）时命题成立，证明当

时命题也成立。

【典型例题】 例1. 用数学归纳法证明：时，。

例2、若n 为大于1的自然数，求证：

24

13212111>+++++n n n .

3356n n +例、证明能被整除

例4、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且S n 、S n ＋1、2S 1成等差数列，（1）计算S 2、S 3、S 4，（2）猜想S n 的表达式并证明.

【巩固练习

一、选择题：

1.用数学归纳法证明“)1

2...(312))...(2)(1(-⋅⋅⋅=+++n n n n n n ”从k 到1+k 左端需增乘的代数式为（ ）A ．12+k B ．)12(2+k C ．112++k k D ．1

32++k k 2.如果命题()p n 对n k =成立，那么它对2n k =+也成立，又若()p n 对2n =成立，则下列结论正确的是（ ）A ．()p n 对所有自然数n 成立 B ．()p n 对所有正偶数

n 成立 C ．()p n 对所有正奇数n 成立 D ．()p n 对所有大于1的自然数n 成立

3．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －

1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为 ( )

A ．a ＝12，b ＝c ＝14

B ．a ＝b ＝c ＝14

C ．a ＝0，b ＝c ＝14

D ．不存在这样的a 、b 、c 4．在数列{a n }中，a 1＝13

，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式( ) A.1(n －1)(n ＋1) B.12n (2n ＋1) C.1(2n －1)(2n ＋1) D.1(2n ＋1)(2n ＋2)

二、填空题：

5．猜想1＝1,1－4＝－(1＋2),1－4＋9＝1＋2＋3，…，第n 个式子为_____________________

6.用数学归纳法证明不等式1111127124264n -+

+++> 成立，起始值至少应取为 ． 三、解答题：

12.用数学归纳法证明：(31)(1)(2)()()2n n n n n n n *+++++++=

∈N ．

13用数学归纳法证明412+n +3n +2能被13整除，其中n ∈N *.

14.用数学归纳法证明：11112()23n n n

*++++<∈N ．

15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1,2,3，….

(1)求a 1，a 2；(2)猜想数列{S n }的通项公式，并给出严格的证明．