2013-2018年上海高考试题汇编-解析几何
2013-2018全国新课标1.2卷文科数学解析几何题(附答案)
2013-2018高考解析几何题文科数学（Ⅰ）（2013年）：（4）已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的离心率为错误！未找到引用源。
，则C 的渐近线方程为（ ） （A ）14y x =±（B ）13y x =± （C ）12y x =±（D ）y x =±（8）O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =POF ∆的面积为（ ）（A ）2 （B ） （C ） （D ）4（21）已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C 。
（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求||AB .（2014年）：（4）已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=aA. 2B.26 C. 25D. 1（10） 已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A 00,是C 上一点，x F A 045=，则=x 0A. 4B. 2C. 1D. 8（20）已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （I ）求M 的轨迹方程；（II ）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积.（2015年）：5、已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( )（A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）1216、已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．20.（本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（I ）求k 的取值范围；（II ）12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN .（2016年）：5．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 ( ) A ．13 B ． 12 C ． 23 D ． 34 15．设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则圆C 的面积为________．20．在直角坐标系xOy 中，直线l:y=t （t≠0）交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H.（Ⅰ）求OH ON；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.（2017年）：5．已知F 是双曲线C ： 2213y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则APF 的面积为 A ．13 B ． 12 C ． 23 D ． 3212．（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A ，B 是椭圆C ：长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．B ．C ．D ．20．设A ，B 为曲线C ： 上两点，A 与B 的横坐标之和为4. （Ⅰ）求直线AB 的斜率；（Ⅱ）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ，求直线AB 的方程.（2018年）：4．已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为A ．B ．C ．D ．15．直线与圆交于两点，则________．20．设抛物线22C y x =：，点()20A ，， ()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（Ⅰ）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （Ⅱ）证明： ABM ABN ∠=∠．2013-2018高考解析几何题文科数学（Ⅱ）（2013年）：5、设椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（ ）（A ）6 （B ）13 （C ）12（D ）3 10、设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点。
上海市各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编(8)立体几何
上海市各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编（8）立体几何一、选择题:16、（虹口区2013届高三一模）已知1l 、2l 、3l 是空间三条不同的直线，下列命题中正确 的是（ ）.A 如果21l l ⊥ ，32//l l ．则31l l ⊥． .B 如果21//l l ，32//l l ．则1l 、2l 、3l 共面． .C 如果21l l ⊥ ，32l l ⊥．则31l l ⊥． .D 如果1l 、2l 、3l 共点．则1l 、2l 、3l 共面．【答案】A【答案】C 二、填空题:11．（上海市八校2013届高三下学期联合调研理）如图为一几何体的的展开图，其中ABCD 是边长为6的正方形，SD=PD ＝6，CR=SC ，AQ=AP ，点S,D,A,Q 及P,D,C,R 共线，沿图中虚线将它们折叠，使P ，Q ，R ，S 四点重合，则需要________个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体。
【答案】2410．（上海市八校2013届高三下学期联合调研文）如图为一几何体的的展开图，其中ABCD 是边长为6的正方形，SD=PD ＝6，CR=SC ，AQ=AP ，点S,D,A,Q 及P,D,C,R 共线，沿图中虚线将它们折叠，使P ，Q ，R ，S 四点重合，则这样的几何体的体积为________。
【答案】7210．（上海市黄浦区2013年4月高考二模理）已知,,A B C 是球面上三点，且4,90AB AC cm BAC ==∠=，若球心O 到平面ABC 的距离为22__________3cm .ABCDA 1B 1ED 1C 1DCBAED 1C 1B 1A 1【答案】64π7. （上海市闵行区2013年高考二模理）一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角为3π，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】8π三、解答题:19．（上海市黄浦区2013年4月高考二模理）（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，113A D . （1）求该四棱柱的侧面积与体积；（2）若E 为线段1A D 的中点，求BE 与平面ABCD 所成角的大小. 【解】⑴根据题意可得：在1Rt AA D ∆中，高22113AA A D AD =-=∴(222323)232S =⨯+⨯+⨯⨯=22312V =⨯⨯=⑵过E 作EF AD ⊥，垂足为F ，连结BF ，则EF ⊥平面ABCD ，∵BE ⊂平面ABCD ，∴EF BF ⊥∴在Rt BEF ∆中，EBF ∠就是BE 与平面ABCD 所成的角 ∵1,EF AD AA AD ⊥⊥，∴1EF AA ∥，又E 是1A D 的中点，∴EF 是1AA D ∆的中位线，∴11322EF AA ==在Rt AFB ∆中2222125BF AF AB =+=+=∴335tan 5210EBF ∠=÷=∴35EBF ∠=19．（上海市黄浦区2013年4月高考二模文）（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，且113A D =G A 1B 1C 1D 1EA (O )BCD A BCE C 1A 1B 1F（1）求该正四棱柱的体积；（2）若E 为线段1A D 的中点，求异面直线BE 与1AA 所成角的大小． 解：（1）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中， ∵1AA ⊥平面ABCD ，AD ⊂≠平面ABCD ，∴1AA AD ⊥，故13AA =，………………3分 ∴正四棱柱的体积为2(2)312⨯=． ………………6分 （2）设G 是棱AD 中点，连,GE GB ，在△1A AD 中， ∵,E G 分别为线段1,A D AD 的中点， ∴EG ∥1A A ，且11322EG AA ==， ∴GEB ∠就是异面直线1AA 与BE 所成的角． ……8分 ∵1A A ⊥平面ABCD ，GB ⊂≠平面ABCD ，∴1AA GB ⊥，又EG ∥1A A ，∴EG BG ⊥， ……………………10分 ∵3,2GEBG =∴tan2BG GEB GE ∠===GEB∠= 所以异面直线1AA 与BE 所成角的大小为． …………………………12分20．（上海市闵行区2013年高考二模理）（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，2AB AC ==，16AA =，点E F 、分别在棱11AA CC 、上，且12AE C F ==．（1）求四棱锥B AEFC -的体积；（2）求BEF ∆所在半平面与ABC ∆所在半平面所成二面角θ的余弦值． [解]（1）B AEFCV -=111(42)224332AEFC S AB =⋅=⋅⋅+⨯⨯=……7分（2）建立如图所示的直角坐标系，则)0,0,0(A ,(0,2,0)B ,(0,0,2)E ,(2,0,4)F ，(2,0,2)EF =,(0,2,2)EB =- ……………………2分设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =，则22011,1220n EF x z z x y n EF y z ⎧⋅=+=⎪⇒==-=⎨⋅=-=⎪⎩取得， 所以(1,1,1)n =- ……………………………2分 平面ABC 的法向量为1(0,0,1)n =，则111cos 3n n n n θ⋅===⋅ 所以BEF ∆所在半平面与ABC ∆所在半平面所成二面角θ．…3分 19．（杨浦区2013届高三一模理科）（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，4==BC AP ，︒=∠30ABC , E D 、分别是AP BC 、的中点， （1）求三棱锥ABC P -的体积；（2）若异面直线AB 与ED 所成角的大小为θ，求θtan 的值. 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分， 第2小题满分7分 ．(1)由已知得，,32,2==AB AC ………2分 所以 ，体积33831==∆--PA S V ABC ABC P ………5分 (2)取AC 中点F ，连接EF DF ,，则DF AB //， 所以EDF ∠就是异面直线AB 与ED 所成的角θ. ………7分由已知，52,32,2=====PC AB AD EA AC ，EF DF EF AB ⊥∴⊥, . ………10分在EFD Rt ∆中，5,3==EF DF ，所以，315tan =θ. ………12分 (其他解法，可参照给分)PABCDEAA 1B 1c 1BC19．（浦东新区2013届高三一模 理科）（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===,45ABC ︒∠=. （1）求点A 到平面1A BC 的距离； （2）求二面角1A A C B --的大小. 解：（1）2,45,90AB AC ABC BAC ︒︒==∠=∴∠=，143A ABCV -∴=. 11122,23A BC A B BC AC S ∆===∴=. …3分 设点A 到平面距离为h ，由11123,33A BC A ABC h S V h ∆-⋅=∴=.∴点A 到平面距离为233. ……6分20．（嘉定区2013届高三一模 理科）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，BC AC ⊥，2===PA BC AC ． （1）求异面直线AB 与PC 所成角的大小； （2）求三棱锥ABC P -的表面积S ．20．（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分） （1）取PA 中点E ，PB 中点F ，BC 中点G ， 连结EF ，FG ，EG ，则EF ∥AB ，FG ∥PC ，所以EFG ∠就是异面直线AB 与PC 所成的角（或其补角）．…………（2分）P A B CFD 1C 1B 1A 1DCBA EFD 1C 1B 1A 1DCBAE连结AG ，则522=+=CG AC AG ，……（3分）622=+=AG EA EG ， …………（4分）又22==PC AB ，所以2==FG EF ．…………（5分）在△EFG 中，212cos 222-=⋅-+=∠FG EF EG FG EF EFG ，……（7分） 19．（黄浦区2013届高三一模理科）（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ,F 分别为线段1DD ,BD 的 中点．（1）求异面直线EF 与BC 所成的角； （2）求三棱锥11C B D F -的体积．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 解：（1）连1BD ，由E 、F 分别为线段1DD 、BD 的中点，可得EF ∥1BD ，故1D BC ∠即为异面直线EF 与BC 所成的角． …………………2分在正方体1111ABCD A B C D -中，∵BC ⊥平面11CDD C ，1CD ⊂≠平面11CDD C ，∴1BC CD ⊥，在Rt △1BCD 中，2BC =，122CD = ∴11tan 2D CD BC BC∠== 12D BC ∠= 所以异面直线EF 与BC 所成的角为2 6分（2）在正方体1111ABCD A B C D -中，由1BB ⊥平面ABCD ，CF ⊂≠平面ABCD ， 可知1BB CF ⊥，∵CB CD =，F 是BD 中点，∴CF BD ⊥，又1BB 与BD 相交，∴CF ⊥平面11BDD B ， …………………………9分 又11111112222222B D F S B D BB ∆=⋅=⨯=， G P AB FE故1111114222333C BD F B D F V S CF -∆=⋅=⋅⋅=， 所以三棱锥11C B D F -的体积为43． ……………………………………12分 直线PM 与AM 所成角等于直线PM 与CN 所成角． …………………………2分 因为PA 垂直于底面,所以AM PA ⊥,点M 分别是DC 的中点, 6=DC 53=∴AM 在PAM Rt ∆中,8=PA ,53=AM ,1558538tan ==∠PMA ,1558arctan=∠∴PMA …………………………4分即异面直线PM 与CN 所成角的大小为1558arctan．…………………………6分 解法二：以A 为坐标原点建立空间直角坐标系可得)0,6,3(M ，)8,0,0(P ，)0,0,3(N ，)0,6,6(C ，)8,6,3(-=∴PM ，)0,6,3(--=∴CN …………………………2分直线PM 与CN 所成角为θ，向量CN PM 与的夹角为ϕ10954534510945cos -=⋅-==CNPM CN PM ϕ …………………………4分 又1095453cos cos ==ϕθ，1095453arccos =θ，即异面直线PM 与CN 所成角的大小为1095453arccos ．…………………………6分 （说明：两种方法难度相当）所以四棱锥ABCD P -的表面积是144 …………………………………………12分 20、（崇明县2013届高三一模）（本题14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分） （文科）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，AO ⊥平面BCD ， 2CA CB CD BD ====．（1）求三棱锥A BCD -的体积； （2）求异面直线AE 与CD 所成角的大小．（理科）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中, 11AA AD ==, E 为CD中点． （1）求证：11B E AD ⊥；（2）若2AB =，求二面角11A B E A --的大小．20、（理科）（1）方法一、以A 为坐标原点，以AB 、AD 、AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系,设AB a =，则1,1,12a B E ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1(0,1,1)AD =. A B CE DA 1D 1B 1C 1AB EODCDCBAP所以 , 11110,B E AD B E AD ⋅=⊥。
2013-2018年上海高考试题汇编-集合、命题、不等式
集合、命题和不等式考试大纲高考分析（1）单纯的集合交并补运算一般在填空题的前两个位置，但是集合是后面叙述函数，数列、解析几何、立体几何和排列组合的语言，所以要深刻理解集合的元素的性质，（2）逆否命题涉及到反证法，正难则反的逆向思维方法，在后面章节，尤其是计数原理、概率计算部分应用很（3）充分条件与必要条件一般在不等式、复数、数列等知识背景下的考察，需能区分充分条件与必要条件，能转化为推出关系，一般都在选择题中考一个，（4）在与数列，解析几何、立体几何等其他问题结合时要注意不等式有解，恒成立问题的识别，比如2017春18考了不等式恒成立问题，2014年理23题就是数列与不等式恒成立近五年上海高考真题汇编一、填空题（2018春1）不等式1x >的解集为__________． 答案：(,1)(1,)-∞-+∞（2018春3）设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =__________．答案：(0,1)（2017秋1）已知集合}4,3,2,1{=A ，集合}5,4,3{=B ，则___=B A 答案：{}3,4（2017秋3）不等式11>-xx 的解集为_______ 答案：(),0-∞（2017秋12）如图，用35个单位正方形拼成个矩形，点4321,,,P P P P 以及四个标记为“∆”的点在正方形的顶点处，设集合{}4321,,,P P P P =Ω，点Ω∈P ，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“∆”的点分布在P l 的两侧；用)(1P l D 和)(2P l D 分别表示P l 一侧和另一侧的“∆”的点到P l 的距离之和；若过P 的直线P l 中有且只有一条满足)()(21P P l D l D =，则Ω中所有这样的P 为_____答案：134,,p p p 解析：K 到直线与L 到直线的距离之差等于C 到直线的距离的2倍K 到直线l 的距离等于C 到直线l 的距离的2倍 证：过2P 的任意一条直线l 都满足条件四边形ABCD 为平行四边形，2P 是,AC BD 的交点，过2P 的任意一条直线l ，由5528,P P 到直线l 的距离之和等于D 到直线l 的距离的两倍；同理1241,P P 到直线l 的距离之和等于B 到直线l 的距离的两倍；而由于2P 为BD 的中点，故B D 、到直线l 的距离相等（2017春1）设集合{}1,2,3A =，集合{}3,4B =，则A B =________ 答案：{}1,2,3,4（2017春2）不等式13x -<的解集为_____ 答案：()2,4-（2016理文1）设x R ∈，则不等式31x -<的解集为_______答案：()2,4（2015理1文2）设全集U R =，若集合{}{}1,2,3,4,|23A B x x ==≤<，则U AB =ð____ 答案：{}1,3,4(2013理12)设a为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________ 解析：由()y f x =是定义在R 上的奇函数知(0)0f =，01a ≥+，1a ≤-（1-1）当0x >时，()()()229797a a f x f x x x x x ⎡⎤=--=--++=+-⎢⎥-⎣⎦，2971a x a x +-≥+，2239a a x x -⨯≥+，82371,7a a a -⨯-≥+≤-（1-2） 结合（1-1）和（1-2），得88,,77a a ⎛⎤≤-∈-∞-⎥⎝⎦二、选择题（2018秋14）已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（ ）． （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【解析】（A ）（2018春15）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“{}n a 是递增数列”是“n S 为递增数列”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件答案：D（2017秋15）已知数列*2,N n c bn an x n ∈++=，使得k k k x x x +++300200100,,成等差数列的必要条件是 （ ）A. 0≥aB. 0≤bC. 0=cD. 02=+-c b a 答案：A（2017秋16）已知点P 在椭圆1436:221=+y x C ，点Q 在椭圆19:222=+x y C 上，O 为坐标原点，记OQ OP ⋅=ω，集合(){},|P Q OP OQ ω=⋅，当ω取得最大值时，集合中符合条件的元素有几个 （ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无数个 答案：D（2017春14）设a R ∈，“0a >”是“10a>”的（ ）条件 A 、充分非必要 B 、必要非充分 C 、充要 D 、既非充分有非必要 答案：C（2016理15）设a R ∈，则“1a >”是“21a >”的（ ）． A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、即非充分又非必要条件 答案：A（2015理15）设12,z z C ∈，则“12z z 、中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）． A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、即非充分又非必要条件 答案：B（2014理15）设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（ ） (A) 充分条件. (B) 必要条件.(C) 充分必要条件.(D) 既非充分又非必要条件.答案：B（2013理15文16）设常数a R ∈，集合{|A x =(1)(x x -)a -0}≥，{|1}B x x a =≥-．若A B R =，则的取值范围为（ ）答案：B（2013文15理15）设常数a R ∈，集合()(){}{}10,1A x x x a B x x a =--≥=≥-，若a .A (,2)-∞.B (,2]-∞.C (2,)+∞.D [2,)+∞A B R =，则a 的取值范围为（ ）． A ．(),2-∞ B ．(],2-∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞答案：B（2013理16）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）．.A 充分条件 .B 必要条件.C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件答案：B 三、解答题（2017秋21）已知函数)(x f 满足：（1）R x ∈；（2）当21x x <时，)()(21x f x f ≤； （1）若1)(3+=ax x f ，求a 的范围；（2）若)(x f 是周期函数，求证：)(x f 是常值函数；（3）若)(x g 是R x ∈上的周期函数，且0)(>x g ，且)(x g 最大值为M ,)()()(x f x g x h ⋅=，求证：)(x h 是周期函数的充要条件是)(x f 是常值函数； 证：（3）必要性若()h x 是周期函数，记其一个周期为h T ，(){}A x g x M ==①若存在0x ，使得()00f x =，进而()00h x =，由()h x 的周期性，知()00,h h x kT k Z +=∈，而()g x 恒大于0，故()00h f x k T+=，所以对任意()00,1h h x x kT x k T ∈+++⎡⎤⎣⎦，再利用()f x 的单调增性可知，()0f x =恒成立②若存在1212,,x x x x >，使得()()120,0f x f x ><，则由题可知，12x x >，那么必然存在正整数1N 使得21k x N Tx +>，∴()()211k f x N T f x +>，因为()()212k h x N T h x +=，但是 ()()()2121210k k k h x N T f x N T g x N T +=++>，()()()2220h x f x g x =<，矛盾综上，()0f x =恒成立或()0f x >恒成立或()0f x <恒成立③若()0f x >恒成立，第一步：任取0x A ∈，则必存在2N N ∈，使得020k g x N T x T -≤-，即[]00020,,g h x T x x N T x ⎡⎤-⊆-⎣⎦，()()()()()()000020202h h h h x g x f x h x N T g x N T f x N T ==-=--，∵()()002h g x M g x N T =≥- ，故()()002h f x f x N T ≤-， 再由单调性可知()()()0020h g f x f x N T f x T =-=-，第二步：用0g x T -代替第一步中的0x ，同理可得()()002g g f x T f x T -=-， 再用0g x T +代替第一步中的0x ，同理可得()()00+g f x T f x =，依次下去，可得()()()()()()000000322g g g g g f x T f x T f x T f x f x T f x T =-=-=-==+=+=利用单调性，可得()f x 为常数；④若()0f x <恒成立第一步：任取0x A ∈，则必存在3N N ∈，使得003g k x T x N T +≤+，即[]00002,g h x x T x x N T ⎡⎤+⊆+⎣⎦，，()()()()()()000030303h h h h x g x f x h x N T g x N T f x N T ==+=++，∵()()003h g x M g x N T =≥+ ，故()()003h f x f x N T ≥+， 再由单调性可知()()()0030h g f x f x N T f x T =+=+，第二步：用0g x T -代替第一步中的0x ，同理可得()()002g g f x T f x T +=+， 再用0g x T +代替第一步中的0x ，同理可得()()00g f x T f x -=，依次下去，可得()()()()()()000000322g g g g g f x T f x T f x T f x f x T f x T =-=-=-==+=+=利用单调性，可得()f x 为常数；（2016理23）若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .（1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ； （2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.答案：（1）316a =；（2）由于15a a =，但26a a ≠，故{}n a 不具有性质P ；（3）证明： 必要性：若对于任意1a ，{}n a 都具有性质P ，则211sin a b a =+，设函数()()1,sin ,f x x b g x x =-= 由()(),f x g x 图像可得，对于任意的1b ，二者图像必有一个交点，所以一定能找到1a ，使得111sin a b a -=，所以2111sin a b a a =+=，所以1n n a a +=，故1211sin sin n n n n n n b a a a a b ++++=-=-=，故{}n b 是常数列（2017春18）设a R ∈，函数()221x x a f x +=+，（1）求a 的值，使得()f x 是奇函数； （2）若()22a f x +<对任意x R ∈成立，求a 的取值范围. 参考答案：（1）由()f x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，可得()00f =，即102a+=，解得1a =-， 此时()2121x x f x -=+，()()21122112x xx xf x f x -----===-++，即1a =-时，()f x 是奇函数；（2）()22a f x +<对任意x R ∈成立，即为22221x x a a ++<+对任意x R ∈成立， 等价于1221x a a-<+对任意x R ∈成立，（2014年理23）已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n ∈N ，11a =.(1)若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围； (2)设{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++. 若1133n n n S S S +≤≤，*n ∈N ，求q 的取值范围； (3)若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.答案：（1）由条件得263x ≤≤且933xx ≤≤，解得36x ≤≤．所以x 的取值范围是[3,6]x ∈．（2）由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >，所以113n n S S +≤．又1133n n n a a a +≤≤，所以133q ≤≤．当1q =时，nS n =，11n Sn +=+，由13n n +≤得13n n S S +≤成立．当1q ≠时，13n n S S +≤．即111311n nq q q q+--≤⋅--． ① 若13q <≤，则(3)2n q q -≥．由nq q ≥，n N *∈，得(3)2q q -≥，所以12q <≤． ② 若113q ≤<，则(3)2n q q -≤．由n q q ≤，n N *∈，得(3)2q q -≤，所以113q ≤<．综上，q 的取值范围为1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （3）设12,,k a a a 的公差为d ．由1133n n n a a a +≤≤，且11a =，得1[1(1)]13[1(1)]3n d nd n d +-≤+≤+-，1,2,,1n k =-．即(21)(23)2,n d n d +≥-⎧⎨-≥-⎩ 1,2,,1n k =-． 当1n =时，223d -≤≤； 当2,,1n k =-时，由222123n n -->+-，得221d n -≥+，所以22213d k -≥≥--． 所以()()111210002221k k k k ka d k k ---=+≥+⋅-，即2200010000k k -+≤，得1999k ≤． 所以k 的最大值为1999，1999k =时，12,,k a a a 的公差为11999-．。
上海高考数学真题专题-解析几何专题
第六部 解析几何专题【考点1】轨迹方程常用方法：① 直接法. ② 定义法. ③ 代入法. ④ 消参法. ⑤ 交轨法.1.（2014春23）若点P 的坐标为(,)a b ，曲线C 的方程为(,)0F x y ，则“(,)0F a b ” 是“点P 在曲线C 上”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件2.（2019春16）平面直角坐标系中，两动圆1O 、2O 的圆心分别为1(,0)a 、2(,0)a ，且两 圆均过定点(1,0)，两圆与y 轴正半轴分别交于点1(0,)y 、2(0,)y ，若12ln ln 0y y ，点1211(,a a 的轨迹为 ，则 所在的曲线可能是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线3.（2015春12）已知点(1,0)A ，直线:1l x ，两个动圆均过点A 且与l 相切，其圆心分别为1C 、2C ，若动点M 满足22122C M C C C A，则M 的轨迹方程为4.（2014春12）已知函数2()1x f x x与()1g x mx m 的图像相交于A 、B 两点， 若动点P 满足||2PA PB，则P 的轨迹方程为5.（2013春24）已知A 、B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N ，若2MN AN NB，其中 为常数，则动点M 的轨迹不可能是（ ）A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线6.（2014春30）已知直角三角形ABC 的两直角边AC 、BC 的边长分别为b 、a ，如图， 过AC 边的n 等分点i A 作AC 边的垂线i d ，过BC 边的n 等分点i B 和顶点A 作直线i l ，记i d 与i l 的交点为i P （1,2,,1i n ），是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数2n ，点i P （1,2,,1i n ）都在这条曲线上？说明理由.7.（2011理23）已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值 称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l .（1）求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x 的距离(,)d P l ；（2）设l 是长为2的线段，求点的集合{|(,)1}D P d P l 所表示的图形面积； （3）写出到两条线段1l 、2l 距离相等的点的集合12{|(,)(,)}P d P l d P l ，其中1l AB ，2l CD ，A 、B 、C 、D 是下列三组点中的一组.对于以下三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多 于一种情形，按照序号较小的解答计分 ①(1,3)A ，(1,0)B ，(1,3)C ，(1,0)D ； ②(1,3)A ，(1,0)B ，(1,3)C ，(1,2)D ； ③(0,1)A ，(0,0)B ，(0,0)C ，(2,0)D .【考点2】直线方程点方向式方程：点00(,)x y ，方向向量(,)d u v ，00x x y y u v. 点法向式方程：点00(,)x y ，法向量(,)n a b，00()()0a x x b y y .点斜式方程：点00(,)x y ，斜率为k ，00()y y k x x . 斜截式方程：点(0,)b ，且斜率为k ，y kx b .截距式方程：与x 轴和y 轴分别交于点(,0)a 、(0,)b (0)ab ，1x ya b. 一般式方程：0ax by c （a b 、不同时为零） 夹角公式1：1111:0l a x b y c 和2222:0l a x b y c ，1212||cos ||||d d d d12211212tan a b a b a a b b.夹角公式2：111:l y k x b 和222:l y k x b ，1212||tan |1|k k k k当1l 与2l 相互垂直时，12120a a b b ，121k k点00(,)P x y 到直线:0l ax by c的距离公式：d的符号确定了点P 关于直线l 的相对位置，在直线同侧的所有点， 的符号是相同的，在直 线异侧的点， 的符号是相反的.两平行线间距离公式：设两条平行直线为11:0l ax by c 和22:0l ax by c ，12c c，它们之间的距离d.弦长公式：12AB x .12AB y 8.（2019年13）已知直线方程20x y c 的一个方向向量d 可以是（ ）A. (2,1)B. (2,1)C. (1,2)D. (1,2) 9.（2013春15）直线2310x y 的一个方向向量是（ ）A. (2,3)B. (2,3)C. (3,2)D. (3,2)10.（2012文4）若(2,1)d是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）11.（2012理4）若(2,1)n是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）12.（2015春17）直线3450x y 的倾斜角为（ ） A. 3arctan 4 B. 3arctan 4 C. 4arctan 3 D. 4arctan 313.（2016年3）已知平行直线1:210l x y ，2:210l x y ，则1l 与2l 的距离是14.（2014春5）点(0,0)O 到直线40x y 的距离是15.（2011春7）两条直线1:20l x 与2:20l x y 夹角的大小是16.（2016春3）直线1y x 与直线2y 的夹角为17.（2011文5）若直线l 过点(3,4)，且(1,2)是它的一个法向量，则直线l 的方程为18.（2018年12）已知常数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y ，22221x y ，121212x x y y的最大值为19.（2018春12）如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方 形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点 P 的“盲区”中，已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的 速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长 约为 秒（精确到0.1）20.（2017年12）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个 标记为“ ”的点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P PP P ，点P ，过P 作直线 P l ，使得不在P l 上的“ ”的点分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧和另一侧的“ ”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l ， 则 中所有这样的P 为21.（2014年22）在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c 和点111(,)P x y ，222(,)P x y ，记1122()()ax by c ax by c ，若0 ，则称点1P 、2P被直线l 分隔， 若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点1P 、2P被直线l 隔，则称直线l 为曲线 C 的一条分隔线.（1）求证：点(1,2)A ，(1,0)B 被直线10x y 分隔；（2）若直线y kx 是曲线2241x y 的分隔线，求实数k 的取值范围；（3）（文）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ， 求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分隔线.（3）（理）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ， 求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.【考点3】圆的方程圆的标准方程：222()()x a y b r ，表示以(,)a b 为圆心，以r 为半径的圆.圆的一般方程：220x y Dx Ey F ，即22224((224D E D E F x y .圆的参数方程：cos sin x a r y b r，表示以(,)a b 为圆心，以r 为半径的圆. 切线公式：对于圆222()()x a y b r ，若直线和圆的切点为00(,)x y ，则切线方程 为200()()()()x a x a y b y b r . 若点00(,)x y 在圆外，则方程0()()x a x a20()()y b y b r 表示过两个切点的切点弦方程.两圆公共弦公式：若两圆221111:0C x y D x E y F 和22222:C x y D x E y20F 相交，则它们公共弦的方程为121212()()()0D D x E E y F F .22.（2015春5）以(2,6)为圆心，1为半径的圆的标准方程为23.（2017春7）若P 、Q 是圆222440x y x y 上的动点，则||PQ 的最大值为24.（2016春12）在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 是圆22650x y x 上的两个动点，且满足||AB ||OA OB的最小值为25.（2011春17）直线1:()2l y k x 与圆22:1C x y 的位置关系为（ ） A. 相交或相切 B. 相交或相离 C. 相切 D. 相交26.（2014年14）已知曲线:C x :6l x ，若对于点(,0)A m ，存在C上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ，则m 的取值范围为【考点4】椭圆方程及相关综合题型从椭圆的标准方程22221x y ab (0)a b 中，我们可以得到下列性质和结论：① 对称性：椭圆既是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的 中心对称图形. 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.② 顶点：(,0)a 和(0,)b ，这四个点叫做椭圆的顶点. 若0a b ，2a 表示椭圆长轴的长，2b 表示椭圆短轴的长，椭圆的两个焦点都在它的长轴上，且222c a b . ③ 范围：a x a ，b y b . ④ 焦点三角形面积公式：2tan 2S b.⑤ 切线方程：00(,)x y 为切点，00221x x y yab . ⑥ 参数方程：cos sin x a y b，[0,2) .⑦ 中点弦结论：若直线1:l y k x m 与椭圆22221x y a b 相交于A B 、两点，A B 、的中点 为P ，连结OP ，设OP 的斜率为2k ，则2122b k k a.27.（2018春6）已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0) 的距离之和等于4，则动点P 的轨迹方程为28.（2016春附4）椭圆221259x y的长半轴的长为 29.（2018年13）设P 是椭圆22153x y上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之 和为（ ）A.B.C.D. 30.（2012春15）已知椭圆221:1124x y C ，222:1168x y C ，则（ ）A. 1C 与2C 顶点相同B. 1C 与2C 长轴长相同C. 1C 与2C 短轴长相同D. 1C 与2C 焦距相等31.（2015春19）以(3,0) 和(3,0)为焦点，长轴长为8的椭圆方程为（ ）A.2211625x y B. 221167x y C. 2212516x y D. 221716x y32.（2012文16）对于常数m 、n ，“0mn ”是“方程221mx ny 的曲线是椭圆” 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件33.（2017春10）设椭圆2212x y 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在该椭圆上，则使得△12F F P 是等腰三角形的点P 的个数是34.（2015春附4）关于x 的实系数一元二次方程220x px 的两个虚数根为1z 、2z ， 若1z 、2z 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为35.（2011春10）若点O 和点F 分别为椭圆2212x y 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则22||||OP PF 的最小值为36.（2019春11）已知P 为椭圆22142x y上的任意一点，Q 与P 关于x 轴对称，1F 、2F 为椭圆的左右焦点，若有121F P F P，则向量1F P 与2F Q的夹角范围为37.（2013理9）设AB 是椭圆 的长轴，点C 在 上，且4CBA，若4AB ，BC ，则 的两个焦点之间的距离为38.（2017年16）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C 和222:19y C x .P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ的最大值. 记{(,)|P Q P 在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w，则 中元素个数为（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个39.（2016春24）对于椭圆22(,)22:1a b x y C ab (,0,)a b a b ，若点00(,)x y 满足2200221x y ab ，则称该点在椭圆(,)a b C 内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点(2,1) 的任意椭圆(,)a b C 内或椭圆(,)a b C 上，则满足条件的点A 构成的图形为（ ）A. 三角形及其内部B. 矩形及其内部C. 圆及其内部D. 椭圆及其内部41.（2013春28）已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1,0)F 、2(1,0)F ，短轴的两个 端点分别为1B 、2B .（1）若△112F B B 为等边三角形，求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且11F P F Q，求直线l 的方程.42.（2015理21）已知椭圆2221x y ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A 、 B 和C 、D ，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .（1）设11(,)A x y ，22(,)C x y ，用A 、C 的坐标表示 点C 到直线1l 的距离，并证明12212||S x y x y ； （2）设1l 与2l 的斜率之积为12，求面积S 的值.43.（2015文22）已知椭圆2221x y ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A 、 B 和C 、D ，记△AOC 的面积为S .（1）设11(,)A x y ，22(,)C x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12211||2S x y x y； （2）设1:l y kx，C ，13S ，求k ；（3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无 论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变.44.（2017年20）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y ，A 为 的上顶点，P 为 上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.（1）若P在第一象限，且||OP P 的坐标；（2）设83(,)55P（3）若||||MA MP ，直线AQ 与 交于另一点C ，且2AQ AC，4PQ PM ，求直线AQ 的方程.，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；45.（2011文22）已知椭圆222:1x C y m（常数1m ），P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 上的右顶点，定点A 的坐标为(2,0). （1）若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标； （2）若3m ，求||PA 的最大值与最小值；（3）若||PA 的最小值为||MA ，求实数m 的取值范围.46.（2019年20）已知椭圆22184x y，1F 、2F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A 、 B 两点.（1）若直线l 垂直于x 轴，求||AB ；（2）当190F AB 时，A 在x 轴上方时，求A 、B 的坐标；（3）若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得11F AB F MN S S ， 若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.【考点5】双曲线方程及相关综合题型从双曲线的标准方程22221x y a b(0,0)a b 中，我们可以得到下列性质和结论：① 对称性：双曲线既是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.② 顶点：(,0)a 和(0,)b ，这四个点叫做双曲线的顶点. 2a 表示双曲线实轴的长，2b 表示双曲线虚轴的长，双曲线的两个焦点都在它的实轴所在的直线上，且222c a b .③ 范围：x a 或x a ，y R . ④ 渐近线：b y x a. ⑤ 焦点三角形面积公式：2cot 2S b⑥ 切线方程：00(,)x y 为切点，00221x x y ya b . ⑦ 参数方程：sec tan x a y b，[0,2) .⑧ 中点弦结论：若直线1:l y k x m 与双曲线22221x y a b 相交于A B 、两点，A B 、的中 点为P ，连结OP ，设OP 的斜率为2k ，则2122b k k a .47.（2018年2）双曲线2214x y 的渐近线方程为48.（2011理3）设m 是常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m的一个焦点，则m 49.（2016春20）关于双曲线221164x y 与221164y x 的焦距和渐近线，下列说法正确的是（ ）A. 焦距相等，渐近线相同B. 焦距相等，渐近线不相同C. 焦距不相等，渐近线相同D. 焦距不相等，渐近线不相同50.（2011春9）若椭圆C 焦点和顶点分别是双曲线22154x y的顶点和焦点，则椭圆C 的方程是51.（2015理9）已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ，若1C的渐近线方程为y ，则2C 的渐近线方程为52.（2015文12）已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为2214x y ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为53.（2017年6）设双曲线22219x y b(0)b 的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点， 若1||5PF ，则2||PF54.（2019年11）已知数列{}n a 满足1n n a a （*n N ），若(,)n n P n a (3)n 均在双曲线22162x y上，则1lim ||n n n P P55.（2018春18）已知a R ，双曲线222:1x y a.（1）若点(2,1)在 上，求 的焦点坐标；（2）若1a ，直线1y kx 与 相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值.56.（2012春21）已知双曲线221:14y C x .（1）求与双曲线1C 有相同的焦点，且过点P 的双曲线2C 的标准方程；（2）直线:l y x m 分别交双曲线1C 的两条渐近线于A 、B 两点，当3OA OB时，求实数m 的值.57.（2015春28）已知点1F 、2F 依次为双曲线2222:1x y C ab (,0)a b 的左右焦点，126F F ，1(0,)B b ，2(0,)B b .（1）若a ，以(3,4)d为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离；（2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB，求实数b 的取值范围.58.（2016年21）双曲线2221y x b（0b ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过2F 且与双曲线交于A 、B 两点. （1）若l 的倾斜角为2，1F AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）（文）设b ，若l 的斜率存在，且||4AB ，求l 的斜率.（2）（理）设b ，若l 的斜率存在，且11()0F A F B AB，求l 的斜率.59.（2013理22）如图，已知双曲线221:12x C y ，曲线2:||||1C y x ，P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点，则称P 为“12C C 型点”.（1）在正确证明1C 的左焦点是“12C C 型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写 出一条这样的直线的方程（不要求验证）； （2）设直线y kx 与2C 有公共点，求证：||1k ，进而证明原点不是“12C C 型点”； （3）求证：圆2212x y 内的点都不是“12C C 型点”.60.（2017春20）已知双曲线222:1y x b(0)b ，直线:l y kx m (0)km ，l 与交于P 、Q 两点，P 为P 关于y 轴的对称点，直线P Q 与y 轴交于点(0,)N n .（1）若点(2,0)是 的一个焦点，求 的渐近线方程； （2）若1b ，点P 的坐标为(1,0) ，且32NP P Q，求k 的值； （3）若2m ，求n 关于b 的表达式.61.（2012文22）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:21C x y .（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点，若MF ，求点M 的坐标； （2）过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成平行四边形的面积；（3）设斜率为k （||k的直线l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y 相切，求证：OP OQ .62.（2012理22）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:21C x y .（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x 轴围成的 三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y 相切，求证：OP OQ ； （3）设椭圆222:41C x y ，若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值.【考点6】抛物线方程及相关综合题型从抛物线的标准方程22y px (0)p 中，我们可以得到下列性质和结论： ① 对称性：关于x 轴对称. ② 顶点：原点(0,0). ③ 范围：0x ，y R . ④ 准线：2p x；焦点：(,0)2p.⑤ 切线方程：00(,)x y 为切点，00()y y p x x .⑥ 参数方程：22()2x pt t y ptR . ⑦ 抛物线焦点弦性质AM BM ，A F B F ，M F AB .2124p x x ，212y y p ，234OA OB p . A 、O 、B 共线，A 、O 、B 共线.1cos p AF，1cos pBF ，112AF BF p， 1222sin pAB x x p ，22sin AOB p S.63.（2012春3）抛物线28y x 的焦点坐标为64.（2013春3）抛物线28y x 的准线方程是65.（2014理3）若抛物线22y px 的焦点与椭圆22195x y的右焦点重合，则该抛物线 的准线方程为66.（2015理5）抛物线22y px (0)p 上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p67.（2019年9）过曲线24y x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线24y x 交于A 、B ，A 在B 上方，M 为抛物线上一点，(2)OM OA OB，则68.（2016春27）如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆 面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F 处，已知灯口直径是24cm ，灯深10cm ，求灯泡与反射镜的顶点O 的距离.69.（2013春29）已知抛物线2:4C y x 的焦点为F .（1）点A 、P 满足2AP FA，当点A 在抛物线C 上运动时，求动点P 的轨迹方程；（2）在x 轴上是否存在点Q ，使得点Q 关于直线2y x 的对称点在抛物线C 上？如果存在，求所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由.70.（2011春21）已知抛物线2:4F x y .（1）△ABC 的三个顶点在抛物线F 上，记△ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在直线的斜率分别为AB k 、BC k 、CA k ，若点A 在坐标原点，求AB BC CA k k k 的值；（2）请你给出一个以(2,1)P 为顶点，且其余各顶点均为抛物线F 上的动点的多边形，写出 多边形各边所在直线的斜率之间的关系式，并说明理由. 说明：第（2）题将根据结论的一般性程度给与不同的评分.71.（2016年20）有一块正方形菜地EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送 到F 点或河边运走，于是，菜地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为(1,0)，如图. （1）求菜地内的分界线C 的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为83， 设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另一边过点M 的矩形的面积，及五 边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于1S 面积的“经验值”.72.（2012年21）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北 方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正 南方向12海里A 处，如图，现假设：① 失事船的移动路径可视为抛物线21249y x；② 定 位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③ 救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标 为7t .（1）当0.5t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速 度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？73.（2019春20）已知抛物线24y x ，F 为焦点，P 为抛物线准线l 上一动点，线段PF 与 抛物线交于点Q ，定义||()||FP d P FQ. （1）若点P 坐标为8(1,3，求()d P ；（2）求证：存在常数a ，使得2()||d P FP a 成立；（3）设1P 、2P 、3P 为抛物线准线l 上的三点，且1223||||PP P P ，试比较13()()d P d P 与22()d P 的大小.74.（2018年20）设常数2t ，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)F ，直线:l x t ， 曲线2:8y x （0x t ，0y ），l 与x 轴交于点A 、与 交于点B ，P 、Q 分别是 曲线 与线段AB 上的动点. （1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设3t ，||2FQ ，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP 的面积；（3）设8t ，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在 上？若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由.。
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近五年上海高考真题——解析几何（2018春12）如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中．已知点P 以1．5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为__________秒（精确到0．1）答案：4.4关键点：引入时刻t ，表示点,P Q ，直线PQ ，列出（不等式）圆心到直线PQ 的距离小于等于半径，解不等式可得提示：以A 为原点建立坐标系，设时刻为t ，则40(0,1.5),(20,20),03P t Q t t -≤≤ 则0 1.5:20020 1.5PQ x y tl t t--=---，化简得(8)8120t x y t --+= 点(10,10)O 到直线PQ1≤，化简得23161280t t +-≤t ≤≤0 4.4t t ≤≤⇒∆=≈P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹为__________．答案：22143x y +=知识点：（2018秋20）设常数2t >，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0F ，直线l ：x t =，曲线Γ：28y x =()0,0x t y ≤≤≥，l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ，P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设3t =，2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；（3）设8t =，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）2BF t =+；（2）73AQP S =△；（3）245,5P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 关键点：FQ FP PM =+u u u r u u u r u u u u r知识点：中点弦（2018春18）已知a R ∈，双曲线22:1x y Γ-=．直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值．答案．51-． 关键点：1212x x +=，因此用设而不求，韦达定理 知识点：和立体几何相关19．（7分+7分）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米．（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．图1 图2 图3答案．（1）14；（2）9.59︒．知识点：双曲线2017秋-6、设双曲线)0(19222>=-b b y x 的焦点为P F F ,,21为该双曲线上的一点，若5||1=PF ，则_____||2=PF答案：11关键点：双曲线的定义，发散：若16PF =，则2______PF = 关键点：216PF PF =± 知识点：参数方程(2017秋16)已知点P 在椭圆1436:221=+y x C ，点Q 在椭圆19:222=+x y C 上，O 为坐标原点，记OP OQ ω=⋅u u u r u u u r，集合(){},|P Q OP OQ ω=⋅u u u r u u u r，当ω取得最大值时，集合中符合条件的元素有几个（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无数个 答案：D 关键点：法一：椭圆的参数方程()1212126cos cos 2sin 3sin 6cos θθθθθθ+=-法二：柯西不等式121211226623x x y y x y y x +=+≤从本题也可看出，柯西不等式和两角差的余弦定理，参数方程之间的联系知识点：和向量相关秋-20、在平面直角坐标系中，已知椭圆1422=+Γy x ：，A 是其上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 是x 轴正半轴上的一点； （1）若点P 在第一象限，且2||=OP ，求点P 的坐标；（2）若⎪⎭⎫ ⎝⎛5358，P ，且APM ∆为直角三角形，求M 的横坐标； （3）若MA MP =，4PQ PM =u u u r u u u u r ，直线AQ 交椭圆Γ于另一点C ，2AQ AC =u u u r u u u r,求直线AC 的方程；答案、（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛36,332P ; (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2029M 或⎪⎭⎫ ⎝⎛0,53M 或)0,1(M ； （3）设点()00,P x y 线段AP 的中垂线与x 轴的交点03,08M x ⎛⎫⎪⎝⎭，因为4PQ PM =u u u r u u u u r ，所以003,32Q x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为2AQ AC =u u u r u u u r ，所以00133,42y C x -⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入并联立椭圆方程，解得001,99x y ==-，所以13Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线AQ的方程为110y x =+ 关键点：（2）直角=向量数量积为0；（3）设出点P 的坐标，根据题意，依次表示点M Q C 、、，点,P C 在椭圆上，建立方程组，可求出点,P C 的坐标春-10、设椭圆2212x y +=的左右焦点分别为12F F 、，点P 在椭圆上，则使得12F F P ∆是等腰三角形的点P 的个数是______答案：6关键点：半弦长的值域是[],a c a c -+春-20、已知双曲线()222:10,y x b bΓ-=> 直线():0l y kx m km =+≠，l 与Γ交于P Q 、 两点，P '为P 关于y 轴的对称点，直线P Q '与y 轴交于点()0,N n（1）若点()2,0是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若1b =，点P 的坐标为()1,0-，且32NP P Q ''=u u u u r u u u u r，求k 的值；（3）若2m =，求n 关于b 的表达式答案：（1）y = （2）12k =± （3）22b n =-知识点：应用题（2016秋-20）（6+8分）有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。
上海市历年高三数学高考试题汇编：向量与解析几何沪教版新课标
上海市03-08年高考数学试题汇编向量与解析几何1、教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 .（04上海理）2、在△ABC 中，若90C ∠=，4AC BC ==，则BA BC ⋅= . （05上海春）3、双曲线116922=-y x 的焦距是 . （05上海春）4、已知1:210l x my ++=与2:31l y x =-，若两直线平行，则m 的值为 _____（07上海理）5、过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、AB 为直径的圆方程是________________.（04上海春季）6、已知P 是双曲线22219x y a -=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=. 设12F F 、分别为双曲线的左、右焦点. 若23PF =，则1PF = . 7、已知两条直线l 1：ax+3y －3=0, l 2：4x+6y －1=0,若l 1∥l 2,则a= .8、直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=•，则点P 的轨迹方程是__________。
（05上海理）9、若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________。
（05上海理） 10、将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x （θ为参数）化为普通方程，所得方程是__________。
（05上海理）11、设抛物线的顶点坐标为(2，0)，准线方程为x ＝－1，则它的焦点坐标为 .（04上海理）12、在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线x y 42=上的点P 到该抛物线的焦点的距离为6， 则点P 的横坐标=x .（07上海春）13、在平面直角坐标系xOy 中，若曲线24y x -=与直线m x =有且只有一个公共点，则 实数=m .（07上海春）14、已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为 . (06上海春)15、 若向量b a 、的夹角为150，4,3==b a ，则=+b a 2 . (06上海春)16、若向量a b 、满足1,2,a b ==且a 与b 的夹角为3π，则a b +＝ .（08上海理）17、已知圆2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是 ．（06上海理） 18、在极坐标系中，定点A ),2,1(π点B 在直线0sin cos =+θρθρ上运动，当线段AB 最短 时，点B 的极坐标是 . (03上海理)19、给出问题：F 1、F 2是双曲线201622y x -=1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由 ||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内. (03上海理)20、设M(p ,0)是一定点，0∠p ∠1，点A(a ,b )是椭圆1422=+y x 上距离M 最近的点，则a =f (p )= . (03上海春季)21、已知点A (1， －2)，若向量与＝{2，3} ＝213，则点B 的坐标为 .（04上海理） 22、在极坐标系中，点M (4，3π)到直线l ：ρ(2cos θ＋sin θ)＝4的距离d ＝ .（04上海理）23、圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A (0， -4)，B (0， -2)，则圆C 的方程为 .（04上海理）24、若平移椭圆369)3(422=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是________________（04上海春季）25、已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标是(3,0),且焦距与虚轴长之比为5：4,则双曲线的标准方程是 . （06上海文）26、已知双曲线22145x y -=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为_____（07上海理）27、已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．（06上海理）28、若曲线2y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是 ．（06上海理）29、在极坐标系中，O 是极点，设点A （4，3π），B （5，－65π），则△OAB 的面积是 ． （06上海理）30、已知实数x 、y 满足 x+y －3≥0, 则y －2x 的最大值是 .x+2y －5≤0x ≥0y ≥0（06上海文）31、 已知圆)0()5(:222>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l 没有公共点，则r 的取值范围是 . (06上海春) 32、如图,平面中两条直线l 1和l 2相交于点O.对于平面上任意一点M,若p 、q 分别是M 到直线l 1和l 2的距离,则称有序非负实数对(p,q)是点M 的“距离坐标”.根据上述定义, “距离坐标”是(1,2)的点的个数是 .（06上海文）33、已知圆的方程()2211x y +-=，P 为圆上任意一点（不包括原点）。
2013年—2018年全国课标卷分类汇总专题二：解析几何
2013—2018年全国课标卷分类汇总专题二：解析几何一、客观题[2013年全国课表Ⅰ卷·文理数]4、已知双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为 ( )A 、y ＝±14x (B)y ＝±13x (C)y ＝±12x (D)y ＝±x[2013年全国课表Ⅰ卷·理数]10、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F的直线交椭圆于A 、B 两点。
若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 ()A 、x 245＋y 236＝1B 、x 236＋y 227＝1C 、x 227＋y 218＝1D 、x 218＋y 29＝1[2013年全国课表Ⅰ卷·文数] (8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )(A)2 (B)22 (C)23 (D)4[2013年全国课表Ⅱ卷·理数] (11)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0，2)，则C 的方程为( )(A)y 2＝4x 或y 2＝8x (B) y 2＝2x 或y 2＝8x (C) y 2＝4x 或y 2＝16x (D) y 2＝2x 或y 2＝16x [2013年全国课表Ⅱ卷·文数] 5. 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )(A)36 (B)13 (C)12 (D) 33[2013年全国课表Ⅱ卷·文数]10. 设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点.若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )(A)y ＝x －1或y ＝－x ＋1 (B)y ＝33(x －1)或y ＝－33(x －1) (C)y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1) (D)y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1) [2014年全国Ⅰ卷·理数]4．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m ＞0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A. 3B. 3C. 3mD. 3m[2014年全国Ⅰ卷·理数]10．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 得一个焦点，若PF →＝4FQ →，则|QF |＝ ( )A. 72B.3C.52D.2[2014年全国Ⅰ卷·文数]4.已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝ ( )A. 2B.62 C. 52D. 1 [2014年全国Ⅰ卷·文数]10.已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝ ( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8[2014年全国Ⅱ卷·理数]10. 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334 B. 938 C.6332 D. 94[2014年全国Ⅱ卷·理数]16.设点M (x 0，1)，若在圆O :x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________.[2014年全国Ⅱ卷·文数]10．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝ ( )(A)303(B)6 (C)12 (D)73 [2014年全国Ⅱ卷·文数]12．设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( )(A)[－1，1] (B)⎣⎡⎦⎤－12，12 (C) [－2，2] (D) ⎣⎡⎦⎤－22，22 [2015年全国Ⅰ卷·理数] (5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是C上的两个焦点，若MF 1→·MF 2→＜0，则y 0的取值范围是( )(A)⎝⎛⎭⎫－33，33 (B)⎝⎛⎭⎫－36，36 (C) ⎝⎛⎭⎫－223，223 (D) ⎝⎛⎭⎫－233，233 [2015年全国Ⅰ卷·理数] (14)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴正半轴上，则该圆的标准方程为 .[2015年全国Ⅰ卷·文数]5、已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )(A)3 (B)6 (C)9 (D)12 [2015年全国Ⅰ卷·文数]16、已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 左支上一点，A (0，66)，当△APF 周长最小时，该三角形的面积为 ．[2015年全国Ⅱ卷·理数]7．过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝ ( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10[2015年全国Ⅱ卷·理数]11．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A ． 5B ．2C ． 3D ．2[2015年全国Ⅱ卷·理数]15.已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为 ．[2016年全国Ⅰ卷·理数] (5)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )(A)(－1，3) (B) (－1，3) (C) (0，3) (D) (0，3)[2016年全国Ⅰ卷·理数] (10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |＝42，|DE|＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )(A)2 (B)4 (C)6 (D)8[2016年全国Ⅰ卷·文数] (5)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为(A)13 (B)12 (C)23 (D)34[2016年全国Ⅰ卷·文数] (15)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为 .[2016年全国Ⅱ卷·理数] (4)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )(A) －43 (B) －34(C)3 (D)2[2016年全国Ⅱ卷·理数] (11)已知F 1、F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )(A) 2 (B)32(C) 3 (D)2[2016年全国Ⅱ卷·文数] (5) 设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )(A)12(B)1 (C)32(D)2[2016年全国Ⅱ卷·文数] (6) 圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )(A) －43 (B) －34(C)3 (D)2[2016年全国Ⅲ卷·文理数] (11)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )(A)13(B)12(C)23(D)34[2016年全国Ⅲ卷·理数] (16)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝________________. [2016年全国Ⅲ卷·文数] (15)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点.则|CD |＝________.[2017年全国Ⅰ卷·理数]10．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10[2017年全国Ⅰ卷·理数]15.已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点.若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为 .[2017年全国Ⅰ卷·文数]5．已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( )A ．13B ．12C ．23D ．32[2017年全国Ⅰ卷·文数]12．设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是A ．(0，1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0，1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)[2017年全国Ⅱ卷·理数]9．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．233[2017年全国Ⅱ卷·理数]16．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则|FN |＝____________． [2017年全国Ⅱ卷·文数]5．若a ＞1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1，2)[2017年全国Ⅱ卷·文数]12．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 的轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A ． 5B ．2 2C ．2 3D ．3 3[2017年全国Ⅲ卷·理数]5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为 A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1[2017年全国Ⅲ卷·文理数]10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为A ．63B ．33C ．23D ．13[2017年全国Ⅲ卷·文数]14．双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a＝ .[2018年全国Ⅰ卷·理数]8．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝A ．5B ．6C ．7D ．8[2018年全国Ⅰ卷·理数]11．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝A ．32B ．3C ．23D ．4[2018年全国Ⅰ卷·文数]4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为A ．13B ．12C ．22D ．223[2018年全国Ⅰ卷·文数]15．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________．[2018年全国Ⅱ卷·文理数]5．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x[2018年全国Ⅱ卷·理数]12．已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为A.23 B ．12 C ．13 D ．14[2018年全国Ⅱ卷·文数]11．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为A ．1－32 B ．2－3 C ．3－12D ．3－1[2018年全国Ⅲ卷·理数]11．设F 1、F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为A ．5B ．2C ．3D ．2[2018年全国Ⅲ卷·理数]16．已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．[2018年全国Ⅲ卷·文数]8．直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[2，32]D ．[22，32][2018年全国Ⅲ卷·文数]10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为A ．2B ．2C ．322D ．22二、主观题[2013年全国课表Ⅰ卷·文理数] (20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C。
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1近四年上海高考解析几何试题一．填空题 :1、双曲线9x2 16y 2 1的焦距是.2、直角坐标平面xoy 中，定点A(1,2) 与动点 P(x, y) 满足 OP ? OA 4 ，则点P轨迹方程___。
3、若双曲线的渐近线方程为y 3x ，它的一个焦点是10 ,0 ，则双曲线的方程是__________。
4、将参数方程x 1 2 cos（为参数）化为普通方程，所得方程是__________。
y 2sin5、已知圆C :( x 5) 2 y 2 r 2 ( r 0) 和直线 l : 3x y 5 0 .若圆 C 与直线 l 没有公共点，则 r 的取值范围是.6、已知直线l过点P( 2, 1) ，且与 x 轴、y轴的正半轴分别交于A、 B 两点， O 为坐标原点，则三角形 OAB 面积的最小值为.7、已知圆x2－ 4 x－ 4＋y2＝ 0 的圆心是点 P，则点 P 到直线x－y－ 1＝0 的距离是；8、已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－ 2 3 ，0），且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程是；10、曲线y |x| 1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k、b分别应满足的条是．2 ＝＋11、在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线 y 2 4x 上的点P到该抛物线的焦点的距离为6，则点 P 的横坐标 x .12、在平面直角坐标系xOy 中，若曲线 x 4 y2与直线 x m 有且只有一个公共点，则实数 m .13、若直线 l1： 2x my 1 0 与直线 l2： y 3x 1 平行，则 m ．14x2 y21的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是．、以双曲线4 516 、已知 P 是双曲线x2 y21 右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x y 0 .设a2 9F1、 F2分别为双曲线的左、右焦点. 若 PF2 3 ，则 PF117 、已知A(1, 2), B(3, 4) ，直线 l1： x 0, l 2 : y 0 和 l3 : x 3y 1 0 . 设 P i是l i ( i 1, 2, 3) 上与A、B 两点距离平方和最小的点，则△PP12 P3的面积是二．选择题 :218、过抛物线 y 2 4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C．有无穷多条D ．不存在19、抛物线 y 24x 的焦点坐标为( )（A ） ( 0, 1) .（ B ） ( 1, 0 ) . （C ） ( 0, 2 ) .（ D ） ( 2, 0 ) .20、若 k R ，则“ k3 ”是“方程x 2y 21 表示双曲线”的()k3 k 3（ A ）充分不必要条件 . （ B ）必要不充分条件 .（C ）充要条件 .（D ）既不充分也不必要条件 .21 、已知椭圆x 2y 2 1，长轴在 y 轴上 . 若焦距为 4 ，则 m 等于 （）10 mm2（ A ） 4 .（ B ） 5 .（ C ） 7 .（ D ） 8 .三．解答题22 ( 本题满分 18 分) （ 1）求右焦点坐标是 ( 2 , 0 ) ，且经过点 (2 , 2 ) 的椭圆的标准方程；（ 2）已知椭圆 C 的方程是x 2 y 2 1 ( a b 0 ) . 设斜率为 k的直线 l ，交椭圆 C 于 A Ba 2b 2、 两点，AB 的中点为 M . 证明：当直线 l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；（ 3）利用（ 2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心 .23、（本题满分 x 2y 2 14 分）如图， 点 A 、 B 分别是椭圆1长3620轴的左、 右端点， 点 F 是椭圆的右焦点， 点 P 在椭圆上， 且位于 x 轴上方， PA PF ．（ 1）求点 P 的坐标；（ 2）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点， M 到直线 AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值．3 24 ( 本题满分14 分 ) 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为x 2 y 2100 1 ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）25后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、M 0, 64 为顶点的抛物线的实线7部分，降落点为D( 8, 0 ) .观测点 A( 4, 0 )、 B( 6, 0 ) 同时跟踪航天器. （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在 x 轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？25 、（本题满分14分）在平面直角坐标系xO y中，直线l与抛物线y2＝2x 相交于、两点．A B（1）求证：“如果直线l过点 T（ 3， 0），那么OA OB＝ 3”是真命题；（2）写出（ 1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．26、(14 分 ) 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为 3，求该正四棱锥的体积” . 求出体积 16后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为16 ，求侧棱长”；3 3也可以是“若正四棱锥的体积为16，求所有侧面面积之和的最小值”. 3试给出问题“在平面直角坐标系xOy 中，求点 P( 2, 1) 到直线 3x 4y0 的距离有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.评分说明：(ⅰ ) 在本题的解答过程中，如果考生所给问题的意义不大，那么在评分标准的第二阶段所列中，应只给 2 分，但第三阶段所列 4 分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定. .”的一个6 分(ⅱ ) 当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同，可参照所列评分标准的精神进行评分.427 ( 14 分 ) 如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆yx 2 y 2C :a 2b 21 (a b 0) 的左右两个焦点分别为 F 1、F 2 . 过右焦点 F 2 且与 x 轴垂直的直线l 与椭x圆 C 相交，其中一个交点为M 2, 1 .(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设椭圆 C 的一个顶点为B( 0, b ) ，直线 BF 2 交椭圆 C 于另一点 N ，求△ F 1 BN 的面积 .我们把由半椭圆 x2y 2 1 ( x ≥ 0) 与半椭圆 y2x 2 1 ( x ≤ 0) 合成28（本题满分 18 分） a 2 b 2 b 2c 2的曲线称作“果圆”，其中a 2b 2c 2 ， a0 ， b c 0．如图，点 F 0 ， F 1 ， F 2 是相应椭圆的焦点， A 1 ， A 2 和 B 1 ， B 2 分别是“果圆”与 x ， y 轴的交点．y（1）若 △ F 0 F 1F 2 是边长为 1 的等边三角形，求B 2“果圆”的方程；.F2b（2）当 A 1 A 2B 1 B 2的取值范围；.时，求 aO.xA 1F 0A 2F 1B 15 29 在平面直角坐标系xOy 中，A、B分别为直线x y 2 与x、 y 轴的交点，C为AB 的中点 . 若抛物线y2 2 px ( p 0) 过点C ，求焦点 F 到直线AB 的距离.30 、已知z是实系数方程x22bx c0 的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为P z ( Re z, Im z ) .（ 1）若( b, c )在直线2x y 0 上，求证：P z在圆C1：(x 1)2 y2 1上；（ 2）给定圆 C ：( x m) 2 y2 r 2（m、r R ， r 0 ），则存在唯一的线段s 满足：①若P z 在圆C 上，则( b, c )在线段s 上；②若( b, c )是线段s 上一点（非端点），则P z在圆C上. 写出线段s 的表达式，并说明理由；6近四年上海高考解析几何试题一．填空题 : 只要求直接填写结果，每题填对得4 分，否则一律得零分 .1、双曲线 9x 2 16y 21的焦距是. 562、直角坐标平面xoy 中，定点 A(1,2) 与动点 P(x, y) 满足 OP ? OA 4 ，则点 P 轨迹方程 ___。
上海历年高考数学解析几何真题
Ⅰ 点到直线的距离公式（11春17）直线)21(:+=x k y l 与圆1:22=+y x C 的位置关系是的位置关系是的位置关系是 ( ) ( ) （（A ）相交或相切）相交或相切. . . （（B ）相交或相离）相交或相离. . （（C ）相切）相切. . . （（D ）相交）相交. .（10理5文7）圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d = 。
（06理2）已知圆2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是 ．．Ⅰ 圆的方程（04理8）圆心在直线2x 2x－－y －7=0上的圆C 与y 轴交于两点A(0, -4),B(0, -2),-2),则圆则圆C 的方程为方程为 . .（04文8）圆心在直线x =2上的圆C 与y 轴交于两点A(0, A(0, －－4),B(0, 4),B(0, －－2),2),则圆则圆C 的方程为 .Ⅰ 圆锥曲线的基本概念：标准方程、焦点、渐近线、准线、定义（12文16）对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（的曲线是椭圆”的（ ） A 、充分不必要条件、充分不必要条件 B 、必要不充分条件、必要不充分条件 C 、充分必要条件、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件、既不充分也不必要条件（11理3）设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m = 。
（11春9）若椭圆C 的焦点和顶点分别是双曲线14522=-y x 的顶点和焦点，的顶点和焦点，则椭圆则椭圆C 的方程是程是_______________________________________。
（10理3文8）动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 ______。
（08文6）若直线01=+-y ax 经过抛物线x y 42=的焦点，则实数=a .（08文12） 设P 是椭圆1162522=+y x 上的点上的点. . . 若若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF +等于等于 ( ) ( )(A) 4. (B) 5. (C) 8. (D) 10.（07理8）已知双曲线22145x y -=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为_____（07文5）以双曲线15422=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是程是 ．．（06理7）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－（－223，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是则该椭圆的标准方程是 ．． （06文7）已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是则双曲线的标准方程是____________________. ____________________.（05文7）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()0,152，则椭圆的标准方程是__________.（05理5）若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是____________________。
2013-2018年上海高考试题汇编-集合、命题、不等式(带参考答案)
集合、命题和不等式考试大纲高考分析（1）单纯的集合交并补运算一般在填空题的前两个位置，但是集合是后面叙述函数，数列、解析几何、立体几何和排列组合的语言，所以要深刻理解集合的元素的性质，（2）逆否命题涉及到反证法，正难则反的逆向思维方法，在后面章节，尤其是计数原理、概率计算部分应用很（3）充分条件与必要条件一般在不等式、复数、数列等知识背景下的考察，需能区分充分条件与必要条件，能转化为推出关系，一般都在选择题中考一个，（4）在与数列，解析几何、立体几何等其他问题结合时要注意不等式有解，恒成立问题的识别，比如2017春18考了不等式恒成立问题，2014年理23题就是数列与不等式恒成立近五年上海高考真题汇编一、填空题（2018春1）不等式1x >的解集为__________． 答案：(,1)(1,)-∞-+∞（2018春3）设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =__________．答案：(0,1)（2017秋1）已知集合}4,3,2,1{=A ，集合}5,4,3{=B ，则___=B A 答案：{}3,4（2017秋3）不等式11>-xx 的解集为_______ 答案：(),0-∞（2017秋12）如图，用35个单位正方形拼成个矩形，点4321,,,P P P P 以及四个标记为“∆”的点在正方形的顶点处，设集合{}4321,,,P P P P =Ω，点Ω∈P ，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“∆”的点分布在P l 的两侧；用)(1P l D 和)(2P l D 分别表示P l 一侧和另一侧的“∆”的点到P l 的距离之和；若过P 的直线P l 中有且只有一条满足)()(21P P l D l D =，则Ω中所有这样的P 为_____答案：134,,p p p 解析：证：过2P 的任意一条直线l 都满足条件四边形ABCD 为平行四边形，2P 是,AC BD 的交点，过2P 的任意一条直线l ，由5528,P P 到直线l 的距离之和等于D 到直线l 的距离的两倍；同理1241,P P 到直线l 的距离之和等于B 到直线l 的距离的两倍；而由于2P 为BD 的中点，故B D 、到直线l 的距离相等K 到直线l 的距离等于C到直线l 的距离的2倍K 到直线与L 到直线的距离之差等于C 到直线的距离的2倍（2017春1）设集合{}1,2,3A =，集合{}3,4B =，则A B =________ 答案：{}1,2,3,4（2017春2）不等式13x -<的解集为_____ 答案：()2,4-（2016理文1）设x R ∈，则不等式31x -<的解集为_______答案：()2,4（2015理1文2）设全集U R =，若集合{}{}1,2,3,4,|23A B x x ==≤<，则UAB =____ 答案：{}1,3,4(2013理12)设a为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________解析：由()y f x =是定义在R 上的奇函数知(0)0f =，01a ≥+，1a ≤-（1-1）当0x >时，()()()229797a a f x f x x x x x ⎡⎤=--=--++=+-⎢⎥-⎣⎦，2971a x a x +-≥+，2239a a x x -⨯≥+，82371,7a a a -⨯-≥+≤-（1-2） 结合（1-1）和（1-2），得88,,77a a ⎛⎤≤-∈-∞-⎥⎝⎦二、选择题（2018秋14）已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（ ）． （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【解析】（A ）（2018春15）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“{}n a 是递增数列”是“n S 为递增数列”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件答案：D（2017秋15）已知数列*2,N n c bn an x n ∈++=，使得k k k x x x +++300200100,,成等差数列的必要条件是 （ ）A. 0≥aB. 0≤bC. 0=cD. 02=+-c b a 答案：A（2017秋16）已知点P 在椭圆1436:221=+y x C ，点Q 在椭圆19:222=+x y C 上，O 为坐标原点，记OQ OP ⋅=ω，集合(){},|P Q OP OQ ω=⋅，当ω取得最大值时，集合中符合条件的元素有几个 （ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无数个 答案：D（2017春14）设a R ∈，“0a >”是“10a>”的（ ）条件 A 、充分非必要 B 、必要非充分 C 、充要 D 、既非充分有非必要 答案：C（2016理15）设a R ∈，则“1a >”是“21a >”的（ ）． A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、即非充分又非必要条件 答案：A（2015理15）设12,z z C ∈，则“12z z 、中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）． A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、即非充分又非必要条件 答案：B（2014理15）设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（ ） (A) 充分条件. (B) 必要条件.(C) 充分必要条件.(D) 既非充分又非必要条件.答案：B（2013理15文16）设常数a R ∈，集合{|A x =(1)(x x -)a -0}≥，{|1}B x x a =≥-．若A B R =，则的取值范围为（ ）答案：B（2013文15理15）设常数a R ∈，集合()(){}{}10,1A x x x a B x x a =--≥=≥-，若a .A (,2)-∞.B (,2]-∞.C (2,)+∞.D [2,)+∞A B R =，则a 的取值范围为（ ）． A ．(),2-∞ B ．(],2-∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞答案：B（2013理16）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）．.A 充分条件 .B 必要条件.C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件答案：B 三、解答题（2017秋21）已知函数)(x f 满足：（1）R x ∈；（2）当21x x <时，)()(21x f x f ≤； （1）若1)(3+=ax x f ，求a 的范围；（2）若)(x f 是周期函数，求证：)(x f 是常值函数；（3）若)(x g 是R x ∈上的周期函数，且0)(>x g ，且)(x g 最大值为M ,)()()(x f x g x h ⋅=，求证：)(x h 是周期函数的充要条件是)(x f 是常值函数； 证：（3）必要性若()h x 是周期函数，记其一个周期为h T ，(){}A x g x M ==①若存在0x ，使得()00f x =，进而()00h x =，由()h x 的周期性，知()00,h h x kT k Z +=∈，而()g x 恒大于0，故()00h f x kT +=，所以对任意()00,1h h x x kT x k T ∈+++⎡⎤⎣⎦，再利用()f x 的单调增性可知，()0f x =恒成立②若存在1212,,x x x x >，使得()()120,0f x f x ><，则由题可知，12x x >，那么必然存在正整数1N 使得211k x N T x +>，∴()()211k f x N T f x +>，因为()()212k h x N T h x +=，但是()()()2121210k k k h x N T f x N T g x N T +=++>，()()()2220h x f x g x =<，矛盾综上，()0f x =恒成立或()0f x >恒成立或()0f x <恒成立③若()0f x >恒成立，第一步：任取0x A ∈，则必存在2N N ∈，使得020k g x N T x T -≤-，即[]00020,,g h x T x x N T x ⎡⎤-⊆-⎣⎦，()()()()()()000020202h h h h x g x f x h x N T g x N T f x N T ==-=--，∵()()002h g x M g x N T =≥- ，故()()002h f x f x N T ≤-， 再由单调性可知()()()0020h g f x f x N T f x T =-=-，第二步：用0g x T -代替第一步中的0x ，同理可得()()002g g f x T f x T -=-， 再用0g x T +代替第一步中的0x ，同理可得()()00+g f x T f x =，依次下去，可得()()()()()()000000322g g g g g f x T f x T f x T f x f x T f x T =-=-=-==+=+=利用单调性，可得()f x 为常数；④若()0f x <恒成立第一步：任取0x A ∈，则必存在3N N ∈，使得003g k x T x N T +≤+，即[]00002,g h x x T x x N T ⎡⎤+⊆+⎣⎦，，()()()()()()000030303h h h h x g x f x h x N T g x N T f x N T ==+=++，∵()()003h g x M g x N T =≥+ ，故()()003h f x f x N T ≥+， 再由单调性可知()()()0030h g f x f x N T f x T =+=+，第二步：用0g x T -代替第一步中的0x ，同理可得()()002g g f x T f x T +=+， 再用0g x T +代替第一步中的0x ，同理可得()()00g f x T f x -=，依次下去，可得()()()()()()000000322g g g g g f x T f x T f x T f x f x T f x T =-=-=-==+=+=利用单调性，可得()f x 为常数；（2016理23）若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .（1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ； （2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.答案：（1）316a =；（2）由于15a a =，但26a a ≠，故{}n a 不具有性质P ；（3）证明： 必要性：若对于任意1a ，{}n a 都具有性质P ，则211sin a b a =+，设函数()()1,sin ,f x x b g x x =-= 由()(),f x g x 图像可得，对于任意的1b ，二者图像必有一个交点，所以一定能找到1a ，使得111sin a b a -=，所以2111sin a b a a =+=，所以1n n a a +=，故1211sin sin n n n n n n b a a a a b ++++=-=-=，故{}n b 是常数列（2017春18）设a R ∈，函数()221x x a f x +=+，（1）求a 的值，使得()f x 是奇函数； （2）若()22a f x +<对任意x R ∈成立，求a 的取值范围. 参考答案：（1）由()f x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，可得()00f =，即102a+=，解得1a =-， 此时()2121x x f x -=+，()()21122112x xx xf x f x -----===-++，即1a =-时，()f x 是奇函数；（2）()22a f x +<对任意x R ∈成立，即为22221x x a a ++<+对任意x R ∈成立， 等价于1221x a a-<+对任意x R ∈成立，（2014年理23）已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n ∈N ，11a =.(1)若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围； (2)设{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++. 若1133n n n S S S +≤≤，*n ∈N ，求q 的取值范围； (3)若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.答案：（1）由条件得263x ≤≤且933xx ≤≤，解得36x ≤≤．所以x 的取值范围是[3,6]x ∈．（2）由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >，所以113n n S S +≤．又1133n n n a a a +≤≤，所以133q ≤≤．当1q =时，nS n =，11n Sn +=+，由13n n +≤得13n n S S +≤成立．当1q ≠时，13n n S S +≤．即111311n nq q q q+--≤⋅--． ① 若13q <≤，则(3)2n q q -≥．由nq q ≥，n N *∈，得(3)2q q -≥，所以12q <≤．① 若113q ≤<，则(3)2n q q -≤．由n q q ≤，n N *∈，得(3)2q q -≤，所以113q ≤<．综上，q 的取值范围为1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （3）设12,,k a a a 的公差为d ．由1133n n n a a a +≤≤，且11a =，国产考试小能手 得1[1(1)]13[1(1)]3n d nd n d +-≤+≤+-，1,2,,1n k =-．即(21)2,(23)2,n d n d +≥-⎧⎨-≥-⎩ 1,2,,1n k =-． 当1n =时，223d -≤≤； 当2,,1n k =-时，由222123n n -->+-，得221d n -≥+，所以22213d k -≥≥--． 所以()()111210002221k k k k ka d k k ---=+≥+⋅-，即2200010000k k -+≤，得1999k ≤． 所以k 的最大值为1999，1999k =时，12,,k a a a 的公差为11999-．。
上海市历年高三数学高考试题汇编：立体几何沪教版新课标
上海市03-08年高考数学试题汇编立体几何(一 )填空题1、有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3>a a a a 。
（05上海理）用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是__________。
（05上海理） 2、已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图 如右图所示，则该凸多面体的体积V = . （08上海春）3、在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中，真命题是( ) （04上海理） (A )若l ⊂β且α⊥β，则l ⊥α. (B ) 若l ⊥β且α∥β，则l ⊥α. (C ) 若l ⊥β且α⊥β，则l ∥α. (D ) 若α∩β＝m 且l ∥m ，则l ∥α.4、正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 . (06上海春)5、若空间有两条直线,则 “这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 （06上海文） （ ) (A)充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件6、下图表示一个正方体表面的一种展开图， 图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中 相互异面的有 对. (03上海春季)7、如图，一扇形铁皮AOB ，半径OA=72c m ，圆心角∠AOB=60︒， 现剪下一个扇环ABCD 做圆台形容器的侧面，并从剩下的扇形OCD 内剪下一个最大的圆刚好做容器的下底（圆台的下底面大于上 底面）则OC 的长为 . (03上海春季)8、平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。
已知两个相交平面,αβ与两直线12,l l ，又知12,l l 在α内的射影为12,s s ，在β内的射影为12,t t 。
试写出12,s s 与12,t t 满足的条件，使之一定能成为12,l l 是异面直线的充分条件 12,s s 平行，12,t t 相交9、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是．（06上海理）10、在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）(03上海理)11、如图，在底面边长为2的正三棱锥ABCV-中，E是BC的中点，若VAE∆的面积是41，则侧棱VA与底面所成角的大小为___________(结果用反三角函数值表示). （04上海春季）（二）选择题12、如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（06上海文） ( )(A)48 (B) 18 (C)24 (D) 3613、在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）(03上海理)A．α、β都垂直于平面r.B．α内存在不共线的三点到β的距离相等.C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β.D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α, l∥β，m∥β14、已知直线nml、、及平面α，下列命题中的假命题是( ) （05上海春）（A）若//l m，//m n，则//l n. （B）若lα⊥，//nα，则l n⊥.（C）若l m⊥，//m n，则l n⊥. （D）若//lα，//nα，则//l n.15、（08上海理）给定空间中的直线l及平面α.条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的[答]（）（A）充要条件.（B）充分大必要条件.（C）必要非充分条件.（D）既非充分又非必要条件.16、一个封闭的立方体，它的6个表面各标出A、B、C、D、E这6个字母中的1个字母，现放成下面3个不同位置所看见的表面上的字母已标明，则字母A、B、C对面的字母分别是（）(03上海春季)ABCVE(A)D 、E 、F (B)F 、D 、E (C)E 、F 、D (D)E 、D 、F17、若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 [答]（ ）（06上海理） （A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；（C ）充要条件；（D ）非充分非必要条件．（三）解答题18、体积为1的直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，1AC BC ==，求直线1AB 与平面11BCC B 所成角。
2013-2018年上海高考试题汇编-立体几何(带参考答案)
近五年上海高考试卷汇编——立体几何（2015理19）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AA AB AD E F ===、分别是AB BC 、的中点，证明11A C F E 、、、四点共面，并求直线1CD 与平面11AC FE 所成的角的大小．答案：arcsin（2018春14）如图，在直三棱柱111AB A B C C -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线条数为（ ）（A ）1（B ）2 （C ）3（D ）4答案 C（2012理19）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥ 底面ABCD ，E是PC 的中点，已知2AB =，AD =2PA =，求：（1）三角形PCD 的面积．（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小．答案：（1）（2）4π（2012文19）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥ 底面ABC ，D 是PC 的中点，已知2BAC π∠=，2AB =，AC=2PA =，求：（1）三棱锥P ABC -的体积．（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示）答案：（1）（2）3arccos 4（2013文10）已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则lr= ．（2016理19）将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。
（1）求三棱锥111C O A B -的体积；（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小。
4π （2018秋17）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2. （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA 、OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.答案：（1）V =；（2） 关键点：方法一：建立空间直角坐标系（首选）； 方法二；平移法（2017秋考17）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，2,4,5,901===︒=∠BC AB BB ABC ； （1）求三棱柱111C B A ABC V -的体积；（2）若M 是棱AC 中点，求M B 1与平面ABC 所成角的大小；O MPBA答案：（1）20=V ；（2）5arctan；（2015理19）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AA AB AD E F ===、分别是AB BC 、的中点，证明11A C F E 、、、四点共面，并求直线1CD 与平面11AC FE 所成的角的大小．答案：arcsin知识点5：垂直问题（2012理19）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥ 底面ABCD ，E是PC 的中点，已知2AB =，AD =2PA =，求：（1）三角形PCD 的面积．（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小．答案：（1）（2）4π（2013理19）如图，在长方体''''ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，'1AA =． 证明直线'BC 平行于平面'D AC ，并求直线'BC 到平面'D AC 的距离．证明：略（2013理19）如图，在长方体''''ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，'1AA =． 证明直线'BC 平行于平面'D AC ，并求直线'BC 到平面'D AC 的距离．答案：建立空间直角坐标系，可得的有关点的坐标为(1,0,1)A 、(1,2,1)B 、(0,2,1)C 、'(0,2,0)C 、'(0,0,0)D .设平面'D AC 的法向量为(,,)n u v w =，则'n D A ⊥，'n D C ⊥. 因为'(1,0,1)D A =，'(0,2,1)D C =，'0n D A ⋅=，'0n D C ⋅=， 所以020u w v w +=⎧⎨+=⎩，解得2u v =，2w v =-.取1v =，得平面'D AC 的一个法向量(2,1,2)n =-.因为'(1,0,1)BC =--，所以'0n BC ⋅=，所以'n BC ⊥.又'BC 不在平面'D AC 内，所以直线'BC 与平面'D AC 平行.由(1,0,0)CB =， 得点B 到平面'D AC 的距离223n CB d n⋅⨯===， 所以直线'BC到平面'D AC 的距离为23（2015理4）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a = ． 答案：4（2010理12）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，剪去AOB ，将剩余部分沿,OC OD 折叠，使,OA OB 重合，则以(),A B ,,C D O 为顶点的四面体的体积是 ．（2014理19文19）底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是123PP P ∆，如图，求123PP P ∆的各边长及此三棱锥的体积V ．答案：在123P P P ∆中，13P A P A =，23P C PC =，所以AC 是中位线，故1224PP AC ==. 同理，234P P =，314P P =.所以123P P P ∆是等边三角形，各边长均为4.设Q 是ABC ∆的中心，则PQ ⊥平面ABC ，所以AQ =PQ ==从而，13ABC V S PQ ∆=⋅=（2010春10）各棱长为1的正四棱锥的体积V = ． 答案：62 （2018秋15）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）A. 4B. 8C. 12D. 16答案：D 关键点：底面矩形是下图的四种情形，每种情形都有四种垂直于底面的侧棱，故个数为16，（2018春7）如图，在长方形1111B ABC A C D D -中，13,4,5AB BC AA ===，O 是11A C 的中点，则三棱锥11A AOB -的体积为__________．答案：5（2012文5）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 ． 答案：6π（2013文10）已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则lr= ．（2009文8）若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是 ． 答案：83π（2015理6）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为______． 答案：3π（2014理6文7）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为 （结果用反三角函数值表示）． 答案： 1arccos3（2012理8）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 ．（2011春20）某甜品店制作一种蛋筒冰激凌,其上部分是半球形,下半部分呈圆锥形（如图）,现把半径为10cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形,用一个蛋皮围成圆锥的侧面（蛋皮的厚度忽略不计），求该蛋筒冰激凌的表面积和体积．（精确到0.01）答案：设圆锥的底面半径为r ，高为h .由题意，圆锥的侧面扇形的周长为121045ππ⋅⋅=()cm ，圆锥底面周长为2r π()cm ，则24r ππ=，2r =()cm .=()cm ，圆锥的侧面扇形的面积为11410202S ππ=⨯⨯=()2cm ，半球的面积为 2214282S ππ=⨯⨯=.该蛋筒冰激凌的表面积122887.96S S S π=+=≈()2cm ；圆锥的体积为21123Vπ=⨯⨯()3cm ， 半球的体积为3214162233V ππ=⨯⨯=()3cm ，所以该蛋筒冰激凌的体积为)1216157.803V V V π=+=≈()3cm .因此该蛋筒冰激凌的表面积约为287.96cm ， 体积约为357.80cm .（2018秋17）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2. （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA 、OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.答案：（1）V =；（2）（2017秋4）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于___ 答案：9π（2009理8）已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足32132R R R =+，则它们的表面积1S ，2S ，3S 满足的等量关系是 ．O MPBA=（2013理13）在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω．过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为48π+．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为 ．答案： 2216ππ+（2017秋7）如图，以长方体1111D C B A ABCD -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为)2,3,4(，则1AC 的坐标为_____答案：()4,3,2-3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积为 ． 答案：3π（2014文8）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小45长方体的体积之和等于 答案：24（2009年高考文16）如图,已知三棱锥的底面是直角⊥,直角边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长为4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是 ( ) ()A ()B ()C ()D答案：B知识点16：截面问题（2017春15）过正方体中心的截面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ）A 、三角形B 、长方形C 、对角线不相等的菱形D 、六边形 答案：A知识点17：球面距离（2010春21）已知地球半径约为6371千米． 上海的位置约为东经121°、北纬31°，大连的位置约为东经121°、北纬39°，里斯本的位置约为西经10°、北纬39°．（1）若飞机以平均速度720千米/小时飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时？（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0．1小时） （2）求大连与里斯本之间的球面距离．（结果精确到1千米） 答案：（1）1.2小时； （2）约为10009千米43434知识点18：和数列相关（2012理6）有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...nV V V，则12lim(...)nnV V V→∞+++=．答案：87知识点19：补形法（2011春13）有一种多面体的饰品，其表面由6个正方形和8个正三角形组成（如图），AB 与CD所成角的大小是．答案：3π提示：补充图形为正方体（2010春13）在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S=2cm．答案：2600πO大连上海北南极赤里斯本40c50c80c（2014春24）如图，在底面半径和高均为1的圆锥中，AB CD 、是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点. 已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点与圆锥顶点P 的距离为（ ）A 、1B 、2 C 、2 D 4答案：D（2012理14）如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2BC =，若2AD c =，且2AB BD AC CD a +=+=，其中,a c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 ．答案：23题型：三棱锥的体积计算与椭圆试一试：已知在半径为2的球面上有A B C D 、、、四点，若2AB CD ==，则四面体ABCD 的体积的最大值为___________答案：3选题理由：本题为四面体中，已知对棱的长为,a b ，对棱的夹角为θ，对棱的距离为h ，体积为1sin 6V abh θ=的典型题 （2018春19）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米．（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．图1 图2 图3答案：（1）14；（2）9.59 ．。
2018高考试题分类汇编之解析几何和圆锥曲线理(精校版)(K12教育文档)
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2017年高考试题分类汇编之解析几何(理）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（2017课标I 理)已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过F 作两条互相垂直的直线21,l l ,直线1l 与C 交于B A ,两点,直线2l 与C 交于E D ,两点，则DE AB +的最小值为（ ) 16.A14.B 12.C 10.D2。
(2017课标II 理)若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为( ）2.A3.B 2.C 332.D3。
（2017浙江）椭圆22194x y +=的离心率是( ).A .B .C 23.D 594.（2017课标III 理）已知椭圆:C 22221x y a b+=)0(>>b a ，的左、右顶点分别为21,A A 且以线段21A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为( ).A .B .C 3.D 135.（2017天津理）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F .若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为（ ).A 22144x y -= .B 22188x y -= .C 22148x y -= .D 22184x y -=6。
十年高考分类上海高考数学试卷精校版含详解11立体几何部分
十年高考分类上海高考数学试卷精校版含详解11立体几何部分一、选择题（共11小题；共55分）1. 给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的 A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件2. 给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的 A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分又非必要条件3. 如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是 A. B.C. D.4. 若有平面α与β，且α∩β=l,α⊥β,P∈α,P∉l，则下列命题中的假命题为 A. 过点P且垂直于α的直线平行于βB. 过点P且垂直于l的平面垂直于βC. 过点P且垂直于β的直线在α内D. 过点P且垂直于l的直线在α内5. 若空间中有两条直线，则"这两条直线为异面直线"是"这两条直线没有公共点"的 A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件6. 已知直线l，m，n及平面α，下列命题中的假命题是 A. 若l∥m，m∥n，则l∥nB. 若l⊥α，n∥α，则l⊥nC. 若l⊥m，m∥n，则l⊥nD. 若l∥α，n∥α，则l∥n7. 若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件8. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是 A. 直线AA1B. 直线A1B1C. 直线A1D1D. 直线B1C19. 一个封闭的立方体，它的6个表面各标出A、B、C、D、E这6个字母中的1个字母，现放成下面3个不同位置，所看见的表面上的字母已标明，则字母A、B、C对面的字母分别是 A. D、E、FB. F、D、EC. E、F、DD. E、D、F10. 如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 A. 48B. 18C. 24D. 3611. 在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，真命题是 A. 若l⊂β且α⊥β，则l⊥αB. 若l⊥β且α∥β，则l⊥αC. 若l⊥β且α⊥β，则l∥αD. 若α∩β=m且l∥m，则l∥α二、填空题（共24小题；共120分）12. 若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为163，则a=．13. 若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为．14. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积为．15. 如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个"正交线面对"．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的"正交线面对"的个数是．16. 如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan2，则该正四棱柱的高等于．317. 若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．18. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．19. 如图，若正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是（结果用反三角函数表示）．20. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于．21. 一个高为2的圆柱，底面周长为2π．该圆柱的表面积为．22. 若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是．23. 若球O1、O2表面积之比S1S2=4，则它们的半径之比R1R2=．24. 如图，若正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的正切值是．25. 在正四棱锥P−ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60∘，则异面直线PA与BC所成角的正切值等于．26. 下图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有对．27. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为（结果用反三角函数值表示）．28. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为（结果用反三角函数值表示）．29. 已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A、B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图．若直线OA与BC所成角的大小为π6，则lr=．30. 在xOy平面上，将两个半圆弧x−12+y2=1x≥1和x−32+y2=1x≥3、两条直线y=1和y=−1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，过0,y∣y∣≤1作Ω的水平截面，所得截面面积为4π 1−y2+8π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为．31. 如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于点O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A B、C、D、O为顶点的四面体的体积是．32. 有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a a>0．用它们拼成一a个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是．33. 如图，在底面边长为2的正三棱锥V−ABC中，E是BC的中点，若△VAE的面积是1，则侧4棱VA与底面所成角的大小为（结果用反三角函数值表示）．34. 如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2．若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是．35. 有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为3a，4a，5a a>0．用它们拼成a一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是．三、解答题（共22小题；共286分）36. 如图，正三棱锥O−ABC底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．37. 如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的正切值．38. 如图，在正四棱锥P−ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成的角为60∘，求正四棱锥P−ABCD的体积V．π，39. 将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为23 A1B1长为π，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．3（1）求三棱锥C−O1A1B1的体积．（2）求异面直线B1C与AA1所成角的大小．，A1B1 40. 将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为5π6，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．长为π3（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小．41. 如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P−AOC的体积，并求异面直线PA与OE 所成角的余弦值．42. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E，F分别是棱AB，BC的中点．证明A1，C1，F，E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成角的正弦值．43. 底面边长为2的正三棱锥P−ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．44. 如图，在长方体ABCD−AʹBʹCʹDʹ中，AB=2，AD=1，AAʹ=1，证明直线BCʹ平行于平面DʹAC，并求直线BCʹ到平面DʹAC的距离．45. 如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC=π，AB=2，2 AC=23，PA=2．求：（1）三棱锥P−ABC的体积；（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．46. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB=2，AD=22，PA=2．求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．47. 已知ABCD−A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1=2，求：（1）异面直线BD与AB1所成角的余弦值；（2）四面体AB1D1C的体积．48. 已知ABCD−A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1是A1C1和B1D1的交点．（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成的角的大小为α，二面角A−B1D1−A1的大小为β．求证：tanβ=2tanα；（2）若点C到平面AB1D1的距离为4，求正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的高．349. 已知ABCD−A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A−B1D1−A1的大小为β．求证：tanβ=2tanα；，求正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的高．（2）若点C到平面AB1D1的距离为4350. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．（1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值?并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯．当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型霓虹灯A1B3、A3B5所在异面直线所成角的的余弦值．51. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．（1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值?并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；（2）若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）．52. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别在BB1，DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．（1）求证：A1C⊥平面AEF；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等．试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成的角的大小．（用反三角函数值表示）53. 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为ℎ米，盖子边长为a米．（1）求a关于ℎ的函数解析式；（2）设容器的容积为V立方米，则当ℎ为何值时，V最大?求出V的最大值．（求解本题时，不计容器的厚度）54. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1−A1C−C1的大小．55. 在四棱锥P−ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60∘，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60∘．（1）求四棱锥P−ABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．56. 在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=90∘,AB=BC=1．（1）求异面直线B1C1与AC所成的角的大小；（2）若A1C与平面ABC所成角为45∘，求三棱锥A1−ABC的体积．57. 如图，P−ABC是底面边长为1的正三棱锥，D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF−ABC与棱锥P−ABC的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）．（1）证明：P−ABC为正四面体；PA，求二面角D−BC−A的余弦值；（2）若PD=12（3）设棱台DEF−ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF−ABC有相同的棱长和? 若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由．答案第一部分1. C2. C3. B4. D5. A6. D7. A 【解析】答案 A8. D 【解析】只有B1C1与EF在同一平面内，是相交的，选项A，B，C中直线与EF都是异面直线．9. C 10. D【解析】提示：问题可以等价转化为求正方体中过顶点的直线与过顶点的四边形所在平面垂直的对数共有多少个．11. B第二部分12. 413. 33π【解析】设圆锥的底面的圆的半径为r，高为ℎ，母线为l，则由题设πrl=2π,πr2=π,则r=1,l=2.于是ℎ=2−r2=4−1=3．该圆锥的体积V=13πr2ℎ=33π．14. 3π【解析】由主视图，得该圆锥的底面圆的半径为r=1，母线l=3，则该圆锥的侧面积是S=πrl= 3π．15. 36【解析】正方体中，一个面有四条棱与之垂直，所以六个面共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”．16. 22【解析】BD=32，DD1=BD⋅23=22．17. 33π【解析】由圆锥的底面面积为π，可知圆锥的底面半径为1，由圆锥的侧面积为2π，可得圆锥的母线为2，则圆锥的高为3，所以V=13×3×π×12=33π.18. 33π【解析】设圆锥底面半径为r，母线长为l，高为ℎ，则πl=2πr,12πl2=2π,解得l=2,r=1,从而ℎ=．所以该圆锥的体积V=13πr2⋅ℎ=13π×12×3=33π．19. arctan520. 24【解析】由三视图可知，切割后的两个小长方体的长、宽、高分别为2、3、2，所以体积和为22×3×2=24．21. 6π22. 8π323. 224.25. 2【解析】过点P作PO⊥平面ABCD于O，取AD的中点H，连接OH,PH，如图：要求PA与BC所成的角，即求∠PAD，由题意知，∠PHO=60∘，设HO=a，则PH=2a，AH=12AD=OH=a，故tan∠PAD=PHAH=2．26. 3【解析】提示：原正方体中四条线段AB、CD、EF和GH的位置如图所示：27. arcsin1328. arccos1329.【解析】如图，取下底面中心，记为M，连接OM、AM，则BC∥OM，所以OA与BC所成的角就是∠MOA，即∠MOA=π6，tanπ6=rl．30. 2π2+16π【解析】一个半径为1，高为2π的圆柱平放，和一个高为2，底面面积8π的长方体放在一起构成一个组合体，根据祖暅原理，这个几何体与Ω的每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为π⋅12⋅2π+2⋅8π=2π2+16π.31. 823【解析】由于正方形的边长为4，且AC和BD相交于点O，那么AO=CO=DO=22，且∠AOD=∠DOC=∠COB=90∘，通过折叠，可得如下图形，而且AO、CO、DO两两垂直，那么对应的四面体的体积为V=13×12×22×22×22=823．32. 0<a<153【解析】①拼成一个三棱柱时，有三种情况：将上、下底面对接，其全面积为：S1＝2×12×3a×4a+3a+4a+5a×4a＝12a2+48；3a边可以合在一起时，S2＝24a2+36；4a边合在一起时，S3＝24a2+32．②拼成一个四棱柱，有三种情况：就是分别让边长为3a,4a,5a所在的侧面重合，其上、下底面积之和都是2×2×12×3a×4a＝24a2，但侧面积分别为：24a+5a×2a ＝36，23a+5a×2a＝32，23a+4a×2a＝28，显然，三个四棱柱中全面积最小的值为：S4＝2×2×12×3a×4a+23a+4a×2a＝24a2+28．由题意，得24a2+28<12a2+48．解得0<a<153．33. arctan14【解析】设V在底面上的射影为O，则O∈AE，且∠VAE就是侧棱VA与底面所成的角．因为底面△ABC的边长为2，所以其BC边上的高AE=3．由S△VAE=12VO⋅AE=14，解得VO=36，而AO=23AE=233，所以tan∠VAE=VOAO=14．34. 23c a2−c2−1【解析】利用椭圆的定义及割补法求体积．由AB+BD=AC+CD=2a>AD=2c，可得点B与点C都在以A、D为焦点的椭球上运动．过BC作垂直于AD的平面EBC交AD于E点，则四面体ABCD的体积为V=13AD⋅12×2 BE2−1=2c3BE2−1,要求四面体ABCD体积的最大值，即求BE的最大值．当E与AD的中点O重合，即B为椭圆短轴的端点时，BE最大，且BE=2−c2故四面体ABCD的体积的最大值为2c3a2−c2−1．35. 0,153【解析】两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：四棱柱有三种，边长为3a的边重合在一起，构成的四棱柱的表面积为24a2+36，边长为4a的边重合在一起，构成的四棱柱的表面积为24a2+32，边长为5a的边重合在一起，表面积为24a2+28；拼成三棱柱有一种，就是两个三棱柱的上下底面对接，此时新的三棱柱的表面积为12a2+48；若最小的是一个四棱柱，则要求24a2+28<12a2+48，解得0<a<153．第三部分36. 三棱锥O−ABC的体积是V O−ABC=1⋅S△ABC⋅1=3.设O在面ABC中的射影为Oʹ，BC的中点D，则OOʹ=1,OʹD=3 ,在Rt△OOʹD中，有OD=OOʹ2+DOʹ2=12+3=3,三棱锥O−ABC的表面积为S O−ABC=3S△OBC+S△ABC=3⋅BC⋅OD+3=33,所以，三棱锥O−ABC的体积为33，表面积为3．37. 如图：过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF，则EF⊥平面ABCD，所以∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角．由EF是△BCC1的中位线，得EF=12CC1=1.由F为BC的中点，得CF=1CB=1,在Rt△DCF中，DF=5,因为EF⊥DF，所以tan∠EDF=EFDF=55,故直线DE与平面ABCD所成角的正切值是55．38. 如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接AO，O是正方形ABCD的中心，所以∠PAO是直线PA与平面ABCD所成的角．由题∠PAO=60∘，PA=2．所以PO=3,AO=1,AB=2,因此V=13PO⋅S ABCD=13×3×2=233.39. （1）连O1B1，则A1B1=∠A1O1B1=π3，所以△A1O1B1为正三角形，所以S△A1O1B1=34，所以V C−O1A1B1=13OO1⋅S△A1O1B1=312．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连BB1，则BB1∥AA1，所以∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角）．BB1=AA1，连BC，BO，OC，AB=A1B1=π3，AC=2π3，所以BC=π3，所以∠BOC=π3，所以△BOC为正三角形，所以BC=BO=1，所以tan∠BB1C=BCBB1=1，所以∠BB1C=45∘，所以直线B1C与AA1所成角大小为45∘．40. （1）由题意可知，圆柱的母线长l=1，底面半径r=1．圆柱的体积V=πr2l=π×12×1=π，圆柱的侧面积S=2πrl=2π×1×1=2π．（2）设过点B1的母线与下底面交于点B，则O1B1∥OB，所以∠COB或其补角为O1B1与OC所成的角．由A1B1长为π3，可知∠AOB=∠A1O1B1=π3，由AC长为5π6，可知∠AOC=5π6，∠COB=∠AOC−∠AOB=π2，所以异面直线O1B1与OC所成的角的大小为π2．41. V P−AOC=13×12×2=13．因为AC∥OE，所以∠PAC为异面直线PA与OE所成的角或其补角．由PO=2，OA=OC=1，得PA=PC=AC=在△PAC中，由余弦定理得cos∠PAC=1010，故异面直线PA与OE所成角的余弦值为1010．42. 如图，以D为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A12,0,1，C10,2,1，E2,1,0，F1,2,0，C0,2,0，D10,0,1．因为A1C1=−2,2,0，EF=−1,1,0，所以A1C1∥EF，因此直线A1C1与直线EF共面，即A1，C1，F，E四点共面．设平面A1C1FE的法向量为n=u,v,w，则n⊥EF，n⊥FC1，又EF=−1,1,0，FC1=−1,0,1，故−u+v=0,−u+w=0,解得u=v=w.取u=1，得平面A1C1FE的一个法向量n=1,1,1．又CD1=0,−2,1，故CD1⋅n ∣∣CD1∣∣∣n∣=−1515.因此直线CD1与平面A1C1FE所成角的正弦值为1515．43. 在△P1P2P3中，P1A=P3A , P2C=P3C,所以AC是△P1P2P3的中位线，故P1P2=2AC=4.同理P2P3=P3P1=4,所以△P1P2P3是等边三角形，且边长为4．设Q是△ABC的中心，则PQ⊥平面ABC，所以AQ=233,PQ= AP22=236.因此V=1S△ABC⋅PQ=22.44. 因为ABCD−AʹBʹCʹDʹ为长方体，故AB∥CʹDʹ，AB=CʹDʹ，故ABCʹDʹ为平行四边形，故BCʹ∥ADʹ，显然直线BCʹ不在平面DʹAC上，于是直线BCʹ平行于平面DʹAC；直线BCʹ到平面DʹAC的距离即为点B到平面DʹAC的距离，设为ℎ．考虑三棱锥ABCDʹ的体积，以ABC为底面，可得V=1×1×1×2×1=1.而△ADʹC中，AC=DʹC=，ADʹ=，故S△ADʹC=3 2 .所以，V=1×3×ℎ=1⇒ℎ=2,即直线BCʹ到平面DʹAC的距离为23．45. （1）S△ABC=12AB⋅AC=12×2×23=23,三棱锥P−ABC的体积为V=1S△ABC×PA=1×23×2=43.（2）如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC与AD所成的角．在△ADE中，DE=2，AE=，AD=2，所以cos∠ADE=22+22−22×2×2=34,所以∠ADE=arccos 3 .因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是arccos34．46. （1）因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．又AD⊥CD，PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD．因为在直角三角形PCD中，PD=22+222=23，CD=2，所以三角形PCD的面积为1×2×23=2 3.（2）解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则B2,0,0，C 2,22,0，E 1,2,1，AE=1,2,1，BC=0,22,0．设AE与BC的夹角为θ，则cosθ=AE⋅BC ∣∣AE∣∣∣∣BC∣∣=42×22=22,所以θ=π4 ,由此知，异面直线BC与AE所成的角的大小是π4．解法二：如图所示，取PB的中点F，连接EF，AF，则EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线BC与AE所成的角．在△AEF中，由EF=2，AF=2，AE=2，知△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF=π4，因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是π4．47. （1）连接BD，AB1，B1D1，AD1，因为BD∥B1D1，AB1=AD1，所以异面直线BD与AB1所成角为∠AB1D1，记∠AB1D1=θ，AB12=AD12=22+12=5,B1D12=2,所以在△AB1D1中，由余弦定理cosθ=AB12+B1D12−AD122AB1×B1D1=1010.所以异面直线BD与AB1所成角的余弦值为1010．（2）连接AC，CB1，CD1，则所求四面体的体积V=V ABCD−A1B1C1D1−4×V C−B1C1D1=2−4×1 3=2 .48. （1）因为AA1⊥底面A1B1C1D1，所以AB1与底面A1B1C1D1所成的角为∠AB1A1，即∠AB1A1=α．因为△ABB1≌△ADD1，所以AB1=AD1，又O1为B1D1中点，所以AO1⊥B1D1，又A1O1⊥B1D1，则∠AO1A1是二面角A−B1D1−A1的平面角，即∠AO1A1=β．在Rt△AA1B1中，tanα=AA1 A1B1.在Rt△AA1O1中，tanβ=AA1 11.又A1B1=2A1O1，所以tanβ=α．（2）建立如图空间直角坐标系．设正四棱柱的高为 ℎ，底面边长为 1，则 A 0,0,ℎ ，B 1 1,0,0 ，D 1 0,1,0 ，C 1,1,ℎ ，从而AB 1 = 1,0,−ℎ ,AD 1 = 0,1,−ℎ ,AC = 1,1,0 .设平面 AB 1D 1 的一个法向量为 n = x ,y ,z ，则n ⋅AB 1 =0,n ⋅AD 1 =0,即x −ℎz =0,y −ℎz =0,取 z =1，得 n = ℎ,ℎ,1 ．则点 C 到平面 AB 1D 1 的距离为d =∣∣n ⋅AC ∣∣= ℎ2+ℎ2+1=4.解得 ℎ=2．49. （1） 连接 AO 1，AA 1⊥ 底面 A 1B 1C 1D 1 于 A 1．AB 1 与底面 A 1B 1C 1D 1 所成的角为 ∠AB 1A 1，即 ∠AB 1A 1=α． 因为 AB 1=AD 1，O 1 为 B 1D 1 中点，所以 AO 1⊥B 1D 1，又 A 1O 1⊥B 1D 1，所以 ∠AO 1A 1 是二面角 A −B 1D 1−A 1 的平面角，即 ∠AO 1A 1=β． 设 AA 1=ℎ，所以tan α=AA 111=ℎ,（2） 建立如图空间直角坐标系，有 A 0,0,ℎ ，B 1 1,0,0 ，D 1 0,1,0 ，C 1,1,ℎ ，AB 1 = 1,0,−ℎ ,AD 1 = 0,1,−ℎ ,AC= 1,1,0 . 设平面 AB 1D 1 的一个法向量为 n = x ,y ,z ，则n ⊥AB 1 ,n ⊥AD 1,即n ⋅AB 1 =0,n ⋅AD 1 =0,取 z =1 得n = ℎ,ℎ,1 .所以点 C 到平面 AB 1D 1 的距离为d =∣∣n ⋅AC ∣∣= ℎ2+ℎ2+1=4, 则 ℎ=2．50. （1） 设圆柱形灯笼的母线长为 l ，则l=1.2−2r 0<r <0.6 ,S=−3π r −0.4 2+0.48π,所以当 r =0.4 时，S 取得最大值约为 1.51 平方米． （2） 当 r =0.3 时，l =0.6，建立空间直角坐标系，可得A1B3=0.3,0.3,0.6，A3B5=−0.3,0.3,0.6，设向量A1B3与A3B5的夹角为θ，则cosθ=A1B3⋅A3B5∣A1B3∣⋅∣A3B5∣=2,所以A1B3、A3B5所在异面直线所成角的余弦值为23．51. （1）圆柱体的高为1.2−2r，故S=πr2+2πr1.2−2r=π−3r2+2.4r0<r<0.6.当r=0.4时，S max=1.5080≈1.51m2.（2）当r=0.3时，l=0.6，作三视图如图．52. （1）因为CB⊥平面A1B，所以A1C在平面A1B上的射影为A1B．由A1B⊥AE,AE⊂平面A1B，得A1C⊥AE，同理可证A1C⊥AF，因为AF∩AE=A，AF⊂平面AEF，AE⊂平面AEF，所以A1C⊥平面AEF．（2）过A作BD的垂线交CD于G，因为D1D⊥AG，所以AG⊥平面D1B1BD．设AG与A1C所成的角为α，则α即为平面AEF与平面D1B1BD所成的角．由已知，计算得DG=94．如图，建立直角坐标系，则得点 A 0,0,0 ，G 94,3,0 ，A 1 0,0,5 ，C 4,3,0 ，AG = 94,3,0 ，A 1C = 4,3,−5 ，因为 AG 与 A 1C 所成的角为 α．所以 cos α=∣∣AG ⋅A 1C ∣∣∣∣AG ∣∣⋅∣∣A 1C ∣∣=12 225，α=arccos12 225．由定理知，平面 AEF 与平面 D 1B 1BD 所成角的大小为 arccos 12 225．53. （1） 设 ℎʹ 为正四棱锥的斜高． 由已知a 2+4⋅1ℎʹa =2,ℎ2+1a 2=ℎʹ2,解得 a =ℎ2+1ℎ>0 ．（2） V =13ℎa 2=ℎ3 ℎ2+1ℎ>0 ，易得 V =13 ℎ+1ℎ，因为 ℎ+1ℎ≥2 ℎ⋅1ℎ=2，所以 V ≤16． 等号当且仅当 ℎ=1ℎ，即 ℎ=1 时取得．故当 ℎ=1 米时，V 有最大值，V 的最大值为 16立方米． 54. 如图，建立空间直角坐标系．则 A 2,0,0 ，C 0,2,0 ，A 1 2,0,2 ，B 1 0,0,2 ，C 1 0,2,2 ． 设 AC 的中点为 M ，连接 BM ．∵BM ⊥AC ，BM ⊥CC 1，∴BM ⊥ 平面 A 1C 1C ，即 BM = 1,1,0 是平面 A 1C 1C 的一个法向量． 设平面 A 1B 1C 的一个法向量是 n = x ,y ,z ．因为A 1C = −2,2,−2 ,A 1B 1 = −2,0,0 ,所以n ⋅A 1B 1 =−2x =0,n ⋅A 1C =−2x +2y −2z =0,令 z =1，解得x =0,y =1.所以n = 0,1,1 .设法向量 n 与 BM 的夹角为 φ，二面角 B 1−A 1C −C 1 的大小为 θ，显然 θ 为锐角． 因为cos θ=∣cos φ∣=∣∣n ⋅BM ∣∣∣n ∣⋅∣∣BM ∣∣=12,解得θ=π.所以，二面角 B 1−A 1C −C 1 的大小为 π3．55. （1） 在四棱锥 P −ABCD 中，因为 PO ⊥ 平面 ABCD ， ∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角，∠PBO =60∘． 在 Rt △AOB 中 BO =AB sin30∘=1，由 PO ⊥BO ， 于是，PO =BO tan60∘= 3，而底面菱形的面积为 2 3． 故四棱锥 P −ABCD 的体积 V =13×2 3× 3=2．（2） 解法一：以 O 为坐标原点，射线 OB 、 OC 、 OP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴建立空间直角坐标系．在 Rt △AOB 中 OA = A 、 B 、 D 、 P 的坐标分别是 A 0,− 0 、 B 1,0,0 、 D −1,0,0 、 P 0,0, 3 ． E 是 PB 的中点，则 E 12,0,32，于是 DE = 32,0,32，AP = 0, 3, 3 .设 DE与 AP 的夹角为 θ，有 cos θ=324+4⋅ 3+3=24． 所以，异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值为 24． 解法二：取 AB 的中点 F ，连接 EF 、 DF ．由E是PB的中点，得EF∥PA，∴∠FED是异面直线DE与PA所成角（或它的补角）．在Rt△AOB中AO=AB cos30∘=3=OP，于是，在等腰Rt△POA中，PA=EF=62．在正△ABD和正△PBD中，DE=DF=3，所以cos∠FED=12EFDE=643=24，故异面直线DE与PA所成角的余弦值为24．56. （1）∵BC∥B1C1，∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角（或它的补角），∵∠ABC=90∘,AB=BC=1，∴∠ACB=45∘，∴异面直线B1C1与AC所成角为45∘．（2）∵AA1⊥平面ABC，∴∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角，∠A1CA=45∘，∵∠ABC=90∘,AB=BC=1,AC=2，∴AA1=2，∴三棱锥A1−ABC的体积V=13S△ABC×AA1=26．57. （1）∵棱台DEF−ABC与棱锥P−ABC的棱长和相等，∴DE+EF+FD=PD+PE+PF．又∵截面DEF∥底面ABC，∴DE=EF=FD=PD=OE=PF，∠DPE=∠EPF=∠FPD=60∘，∴P−ABC是正四面体．（2）取BC的中点M，连接PM,DM,AM．∵BC⊥PM,BC⊥AM，∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM，则∠DMA为二面角D−BC−A的平面角．由（1）知，P−ABC的各棱长均为1，∴PM=AM=32，由D是PA的中点，得sin∠DMA=ADAM =33，∴二面角D−BC−A的余弦值为63．（3）存在满足条件的直平行六面体．棱台DEF−ABC的棱长和为定值6，体积为V．设直平行六面体的棱长均为12，底面相邻两边夹角为α，则该六面体棱长和为6，体积为18sinα=V．∵正四面体P−ABC的体积是212，故构造棱长均为12，底面相邻两边夹角的正弦值为8V的直平行六面体即满足要求．。
上海市近5年高考真题分类汇编(立体几何理科)
立体几何部分（理科）2013年上海市13．在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几 何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为48ππ，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________三、解答题（共74分）19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.13、【解答】根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为221228216πππππ⋅⋅+⋅=+．三、解答题19.【解答】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体，故1111//,AB C D AB C D =， 故ABC 1D 1为平行四边形，故11//BC AD ，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC 1平行于平面DA 1C ；C 11AC 1A直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯= 而1AD C ∆中，11AC DC AD ===，故132AD C S ∆= 所以，13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23．2012年上海市6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为. 14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、c 为 常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 . 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2， AD=22，P A=2.求：（1）三角形PCD 的面积；（6分）（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.（6分）解答：6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V 78 .8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为π33.ABC D14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是12232--c a c 19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2， AD=22，P A=2.求：（1）三角形PCD 的面积；（6分）（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.（6分）[解]（1）因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ，又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面P AD ， 从而CD ⊥PD . ……3分 因为PD=32)22(222=+，CD =2，所以三角形PCD 的面积为3232221=⨯⨯.（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系， 则B (2,0,0)，C (2,22,0)，E (1,2,1)，)1,2,1(=AE ，)0,22,0(=BC . ……8分设AE 与的夹角为θ，则222224||||cos ===⨯⋅BC AE BCAE θ，θ=4π. 由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π……12分[解法二]取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则 EF ∥BC ，从而∠AEF （或其补角）是异面直线 BC 与AE 所成的角 ……8分在AEF ∆中，由EF =2、AF =2、AE =2 知AEF ∆是等腰直角三角形， 所以∠AEF =4π. 因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π 2011年上海市21．（14分）已知1111ABCD A BC D -是底面边长为1的正四棱柱，1O 是11AC 和11B D 的交点。
高考最新-2018年全国高考试题分类汇编及解析(数学)数列、解析几何、立体几何解析几何部分参考答案精
2018年全国高考试题分类汇编免费教育资源网解析几何部分参考答案、选择题二、填空题1．22x2y2411．用代数的方法研究图形的几何性质2 152 .2x y2 112． 5 23 1 13．44．5 14．[－1，3]15．455(0,-1) 1 2 a 1 216．2x－ y+4=06．x 2+(y+1) 2=1 1－2 ≤ a≤1+ 2 17．213 18．11[ ,0) (0, ]7( ,13)10 1048．(5,0) 19．22(x 1)2 (y 1)2 259．22(x－ 2)2+(y+3) 2=520．12210． (x－ 2)2+(y+3) 2=5三、解答题1．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，综合解题能力 .满分 14 分 .解：（ I）由 C 与 t 相交于两个不同的点，故知方程组x2y2 1,2y21,a x y 1.平面向量的运算等解析几何的基本思想和有两个不同的实数解 .消去 y 并整理得（1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ① ⋯⋯ 2 分双曲线的离心率即离心率 e 的取值范围为 ( 6, 2) ( 2, ). 6分II)设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), P 1(0,1)2. 本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和 综合解题能力。
满分 12 分。
解：(Ⅰ) C 的焦点为 F(1， 0)，直线 l 的斜率为 1，所以 l 的方程为y x 1.22将 y x 1代入方程 y 2 4x ，并整理得 x 26x 1 0.设A (x 1, y 1),B (x 2,y 2),则有 x 1 x 2 6,x 1x 2 1.OA OB (x 1, y 1) (x 2,y 2) x 1x 2 y 1y 2 2x 1x 2 (x 1 x 2) 1 3. | OA ||OB | x 12y 12x 22y 22x 1x 2[x 1x 2 4(x 1 x 2) 16] 41.OA OB 3 14 cos(OA, OB) . |OA| |OB | 41314 所以 OA 与OB 夹角的大小为 arccos3 14. 41(Ⅱ)由题设 FB AF 得 (x 2 1,y 2)(1 x 1, y 1),即x 2 1 (1 x 1), ①y2y1.②所以 21 a 20. 4 2 24a 4 8a 2(1 a 2) 0.解得 0 a 2且a 1.e1 a 212 1. 0 a 2且 a 1, a 255 PA 5 PB, (x 1,y 1 1) 5(x 2,y 2 1). 12 12由此得 x 1 152x 2. 8分 由于 x 1，x 2 都是方程①的根，且 所以 17 x 2 12 22 1a12 17.13.14分 5 x 222a 2 2a 2 2891 a2 .消去, x 2 ,得 1 a 2 60 由 a 0,所以 a2a 2y12 4x1,y22 4x2, ∴ x22x1. ③联立①、③解得x2 ，依题意有0.∴B（ ,2 ）,或B（ , 2 ）,又 F（1，0），得直线 l方程为( 1)y 2 (x 1)或( 1)y 2 (x 1),当[4,9]时，l 在方程 y轴上的截距为2或 1由②得y22 2y12，2 2 2 11 可知2在[4，9]上是递减的，4,4 23,3 134,4直线 l 在 y 轴上截距的变化范围为[ 43 3] [3,4].4] [4,3]. 以及综合. 满分 14 分 .解：（ 1）由题设有m 0,c m.设点 P的坐标为（x0,y0），由PF1 PF2，得y0x0 cy0x0 c1，化简得x02y02m. ①2 将①与x0 m1y021联立，解得 2x02m 1 2,y0由m 0,x021 0,得 m 1. 所以 m 的取值范围是1.2）准线 L 的方程为m 1.设点 Q的坐标为（x1,y1），则m x1m 1.mm1m |QF2 | x1 c m|PF| c x m x2 m1 |QF2| 22m m 1.将x0 代入②，化简得.满分 12 分 .2m1代入②，化简得由题设 |QF 2| | PF 2 |2 3 ，得 mm 21 2 3 ，无解 .将 x.满分 12 分 .m|QF 2 | 1m m 2 1.|PF 2 | m m 21由题设 ||QPF F22 || 2 3 ，得 m m 21 2 3.解得 m=2.从而 x 03, y 02,c 2, 得到 PF 2 的方程22y ( 3 2)(x 2).4．本小题主要考查导数的几何意义，两条直线垂直的性质以及分析问题和综合运算能力 满分 12 分 . 解： y ′ =2x+1.直线 l 1 的方程为 y=3 x － 3.设直线 l 2过曲线 y=x 2+x －2 上 的点 B( b, b 2+b －2),则 l 2的方程为y=(2b+1) x －b 2－2 1因为 l 1⊥ l 2，则有 2b+1= ,b 1 231 x所以直线 l 2的方程为 y2 322II )解方程组 y 3x 3,1 22yx391 x, 6 5 y2(1, 5).(6, 2).221，0)、 ( ,0).3所以直线 l 1和 l 2 的交点的坐标为 l 1、l 2与 x 轴交点的坐标分别为(2 32 125．本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力 解：直线 l 的方程为 x y1，即 bx ay ab 0.aba 1ly 1 2(y 2 2),∴y 1 y 24d1b(a 1)a 2b 2同理得到点(－ 1， 0) b(a 1)2到直线 l 的距离 d 2a2 bs d 1 d 22ab2aba 2b 2由 s4c,得 2ab 4c,5 c 5即 5a c 2 a 2 2c 2.于是得 5 e 2 1 2e 2,即4e 425e 225 0.解不等式，得 54 e 25.由于 e 1 0,所以 e 的取值范围是25 e 5.26．(Ⅰ)由已知条件 ,可设抛物线的方程为 y 2∵点 P(1,2) 在抛物线上 , ∴ 222p 1, 得 p =2.2故所求抛物线的方程是 y 2准线方程是 x=-- 1.(Ⅱ ) 设直线 PA 的斜率为 k PA ,直线 PB 的斜率为 k PB , ∵PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补 ,∴k PA k PB .由 A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)在抛物线上 ,得2 y14x 1, ① 4x 2, ②2 y 2 221221 y2 14 2 y2y 1 1 4 y 1由① --②得直线 AB 的斜率y2 y1 4 4kAB1（x1 x2）. （14 分）x2 x1 y1 y2 47．本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力、满分 14 分。
2013-2018年上海高考真题汇编-三角
三角比与三角函数(2017春4)若1cos 3α=，则sin 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________答案：3π-（2015年理16）已知点A 的坐标为()，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）AB C 、112 D 、132答案：D（2013理11）若1c o s c o ss i n s i n 2x y x y +=，2sin 2sin 23x y +=，则s i n (x y += . 答案：23（2013文9）若1cos cos sin sin 3x y x y +=，则cos(22)x y -= ． 答案：7-答案：（1）,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）（2016理9）已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_______答案：3（2013理4）已知ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别是a b c 、、．若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是 .（结果用反三角函数值表示）． 答案：1arccos 3π-（2017秋18）已知),0(,21sin cos )(22π∈+-=x x x x f ； （1）求)(x f 的单调递增区间；（2）锐角三角形ABC ∆中，5,19,0)(===b a A f ，求ABC ∆的面积ABC S ∆；（2010理18）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111,,13115，则此人能（ ）A ．不能作出这样的三角形.B ．做出一个锐角三角形.C ．作出一个直角三角形.D ．做出一个钝角三角形.答案：D（2014年高考21如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和.（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后.CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得，， 45.1812.38==βα求CD 的长（结果精确到0.01米）？答案：（1）记CD h =．根据已知得tan tan 20αβ≥>，tan 35h α=，tan 80hβ=， 所以2280035180hh h ⨯≥>⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得28.28h ≤≈．因此，CD 的长至多约为28.28米． （2）在ABD ∆中，由已知，56.57αβ+=，115AB =，由正弦定理得()sin sin BD ABααβ=+ ，解得85.064BD ≈． 在BCD ∆中，有余弦定理得2222cos CD BC BD BC BDβ=+-⋅⋅， 解得26.93CD ≈．所以，CD 的长约为26.93米．（2018春17）已知cos y x =． （1）若3(1)f α=，且[0,]απ∈，求()3f πα-的值；（2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值．答案：（1；（2）3-（2009年）已知函数x x x f tan sin )(+=．项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d ．若()()()12170f a f a f a +++=，则当k =____________时0)(=k a f ．答案：14（2015年上海理23题）对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得()cos g x 是以T 为周期的函数，则称()gx 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期，已知()f x 是以T为周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，()00f =，()4f T π=.1）验证()sin3xg x x =+是余弦周期函数； 2）设a b <，证明对任意()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦，存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =；3）证明：“0u 是方程()cos1f x =在[]0,T 上的解，”的充分条件是“0u T +为方程()cos 1f x =在区间[],2T T 上的解”，并证明对任意[]0,x T ∈都有()()()f x T f x fT+=+. 解析：3）证明对任意[]0,x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.①当0x =时，()00f =，等式显然成立；②当x T =时，()()cos 2cos 1f T f T ==，()122,f T k k Z π=∈()4f T π=，∴12k >，1）若1=3k ，则()26f T π=，存在[]00,x T ∈，()02f x π=；()()00cos cos 1f x T f x +==，∴()02=2f x T k π+，∵02Tx T T <+<，∴2426k πππ<<，∴223k <<，无解；2）若15k ≥，则()210f T π≥，存在[]12,,2x x T T ∈，使得()()126,8f x f x ππ==，则12,,,2T x x T 是()cos 1f x =在[],2T T 上的四个解，但()cos 1f x =在[]0,T 上只有()0,2,4f x ππ=三个解，矛盾；3）若1=4k ，则()()()28f T f T f T π==+；③当()0,x T ∈时，()()0,4f x π∈，考查方程()cos f x c =在()0,T 上的解，设其解为()1212,,,n n x x x x x x <<<，则()()()1204n f x f x f x π<<<<<；则()()()12,,,n f x T f x T f x T +++为方程cos t c =在()4,8t ππ∈上的解； 又()()()()124,4,,44,8n f x f x f x πππππ+++∈也是方程cos t c =在()4,8t ππ∈上的解 ∴()()()()4i i i f x T f x f x f T π+=+=+；综述：对对任意[]0,x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.（2015理13）已知函数()sin f x x =．若存在12,,,m x x x 满足1206m x x x π≤<<<≤，且()()()()()()()12231122,m m f x f x f x f x f x f x m m N *--+-++-=≥∈，则m 的最小值为 ． 答案：8（2012理18）设，，在中，正数的个数是（ ）A ．25B ．50C ．75D ．100答案：D（2012文18）若（），则在中，正数的个数是（ ）A ．16B ．72C ．86D ．100．25sin1πn n a n =n n a a a S +++= 2110021,,,S S S 2sin sin (i)777n n S πππ=+++n N *∈12100,,...,S S S12M M 、（宽度忽略不计），如图所示，已知,60AB AC AB AC AD ⊥===（单位：米），要求圆1M 与AB AD 、分别相切于点B D 、，圆2M 与AC AD 、分别相切于点C D 、.（1）若60BAD ∠=，求圆12M M 、的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道1M 与2M 的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆12M M 、的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）答案：（1）34.6；16.1；（2）1230,20,r r == 最低造价最低263.8千元 关键点：（1）01260tan3034.6,60tan1516.1r r =≈=≈； （2）设2BAD α∠=，则总造价0.8260tan 0.9260tan 41tan 128tan 91tan y ππαπααπαα⎛⎫=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭-⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭设1tan x α+=，则181281784y x x ππ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，当且仅当31,tan 22x α==，取等号，此时 1260tan 30,60tan 204r r παα⎛⎫===-= ⎪⎝⎭，84263.8y π=≈千元（2018秋18）设常数a ∈R ，函数()2sin 22cos f x a x x =+．（1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求方程()1f x =[],ππ-上的解．答案：（1）0a =；（2）115131924242424x ππππ=--、、、．（2017秋11）已知22sin 21sin 2121=+++αα，其中R∈21,αα，则|10|21ααπ--的最小值为____答案：4π （2016理7）方程3sin 1cos2x x =+在区间[]0,2π上的解为_______答案：6π或56π （2014理12）设常数a使方程sin x x a =在闭区间[]0,2π上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++= .答案：73π（2018春11）设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x = 的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是__________． 答案：1119,66ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 关键点：将函数图像的交点问题转化为方程的根（2013理21）已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>； （1）若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，求ω的取值范围；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值． 解：(1)因为0ω>，根据题意有34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩ (2)()2sin(2)f x x =，()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++1()0sin(2)324g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈，即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π，故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，则b a -的最小值 为2431415333πππ⨯+⨯=． （2016理13）设[),,0,2a b R c π∈∈，若对于任意实数x都有()2s i n 3s i n 3x ab xc π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则满足条件的有序实数组(),,a b c 的组数为_____________答案：4题型：三角函数恒成立问题（2016理12）在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BP BA ⋅的取值范围是___________________.答案：0,1⎡+⎣（2015年理14）在锐角三角形ABC 中，1tan 2A =，D 为边BC 上的点，ABD ∆与ACD ∆的面积分别为2和4．过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF ⋅= ．答案：1615-（2012春23）定义向量(),O M a b =的“相伴函数”为()sin cos ;f x a x b x =+函数()s i n c o s f x a x b x =+的“相伴向量”为(),OM a b =（其中O 为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为.S （1）设()3sin()4sin ,2g x x x π=++求证：();g x S ∈（2）已知()cos()2cos ,h x x x α=++且(),h x S ∈求其“相伴向量”的模；（3）已知(,)(0)M a b b ≠为圆22:(2)1C x y -+=上一点，向量OM 的“相伴函数”()f x在0x x =处取得最大值．当点M 在圆C 上运动时，求0tan 2x 的取值范围． 答案：（1）证明： x x x x x g cos 3sin 4sin 4)2sin(3)(+=++=π其中“相伴向量”()4,3OM =，S x g ∈∴)(．（2）x x x x x x h cos 2)sin sin cos (cos cos 2)cos()(+-=++=αααx x cos )2(cos sin sin ++-=αα函数)(x h 的“相伴向量”，)2cos ,sin (+-=→ααOM则αααcos 45)2(cos )sin (||22+=++-=→OM ．（3）OM 的相伴函数)sin(cos sin )(22ϕ++=+=x b a x b x a x f其中22cos ba a +=ϕ，22sin ba b +=ϕ当Z k k x ∈+=+,22ππϕ时，)(x f 取到最大值，故Z k k x ∈-+=,220ϕππba k x ==-+=∴ϕϕππcot )22tan(tan 0 ba ab b a b ax x x -=-⋅=-=∴2)(12tan 1tan 22tan 20200ab 为直线OM 的斜率，由几何意义知，]33,0()0,33[⋃-∈a b 令abm =，则mm x 122tan 0-=所以]33,0()0,33[⋃-∈m ．（2009春20）设函数40,cos )1(sin )(πθθθθ≤≤-+=n n n n f ，其中n 为正整数．（1）判断函数)()(31θθf f 、的单调性，并就)(1θf 的情形证明你的结论； （2）证明：()()θθθθθθ224446sin cos sin cos )()(2--=-f f ；（3）对于任意给定的正整数n ，求函数)(θn f 的最大值和最小值．解：（1）)()(31θθf f 、在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上均为单调递增的函数． 对于函数θθθcos sin )(1-=f ，设⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈<4,0,2121πθθθθ、，则 )()(2111θθf f -()()1221cos cos sin sin θθθθ-+-=，1221cos cos ,sin sin θθθθ<<，()()∴<∴,2111θθf f 函数)(1θf 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上单调递增． （2） 原式左边()()θθθθ4466cos sin cos sin 2+-+=()()()θθθθθθθθ44422422cos sin cos cos sin sincos sin2+-+⋅-+=θθ2cos 2sin 122=-=．又原式右边()θθθ2cos sin cos2222=-=．∴()()θθθθθθ224446sin cos sin cos )()(2--=-f f ．（3）当1=n 时，函数)(1θf 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上单调递增， ∴)(1θf 的最大值为041=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，最小值为()101-=f ．当2=n 时，()12=θf ，∴函数)(2θf 的最大、最小值均为1．当3=n 时，函数)(3θf 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上为单调递增． ∴)(3θf 的最大值为043=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，最小值为()103-=f ．当4=n 时，函数θθ2sin 211)(24-=f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上单调递减， ∴)(4θf 的最大值为()104=f ，最小值为2144=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ．下面讨论正整数5≥n 的情形：当n 为奇数时，对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,021πθθ、且,21θθ<∵()()122121cos cos sin sin )()(θθθθθθn n n n n n f f -+-=-，以及1cos cos 0,1sin sin 01221≤<<<<≤θθθθ， ∴1221cos cos ,sin sinθθθθn n n n<<，从而)()(21θθn n f f <．∴)(θn f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上为单调递增，则 )(θn f 的最大值为04=⎪⎭⎫⎝⎛πn f ，最小值为()104-=f ．当n 为偶数时，一方面有)0(1cos sin cos sin )(22n n n n f f ==+≤+=θθθθθ．另一方面，由于对任意正整数2≥l ，有()()0sin cos sin cos )()(2222222222≥--=----θθθθθθl l l l f f ，⎪⎭⎫ ⎝⎛==≥≥≥∴---421)(21)(21)(122122πθθθn n n n n f f f f ．∴函数)(θn f 的最大值为1)0(=n f ，最小值为nn f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛2124π． 综上所述，当n 为奇数时，函数)(θn f 的最大值为0，最小值为1-． 当n 为偶数时，函数)(θn f 的最大值为1，最小值为n⎪⎭⎫⎝⎛212．。
2013高考试题解析分类汇编解答题
2013高考试题解析分类汇编（理数）9：圆锥曲线解答题1．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9分.已知椭圆C 的两个焦点分别为1(10)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、 (1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程; (2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥,求直线l 的方程. [解](1) (2)[解](1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.根据题意知2221a ba b =⎧⎨-=⎩, 解得243a =,213b = 故椭圆C 的方程为2214133x y +=. (2)容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=. 当直线l 的斜率不存在时,其方程为1x =,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=.设1122( ) ( )P x y Q x y ，，，,则2212121111222242(1) (1 ) (1 )2121k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++ ，，，，， 因为11F P FQ ⊥ ,所以110F P FQ ⋅=,即21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++--2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++ 2271021k k -==+,解得217k =,即k =.故直线l 的方程为10x -=或10x -=.2．（2013年高考四川卷（理））已知椭圆C :22221,(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P .(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且222211||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程.解:122a PF PF =+==所以,a =又由已知,1c =,所以椭圆C 的离心率c e a ===()II 由()I 知椭圆C 的方程为2212x y +=.设点Q 的坐标为(x,y).(1)当直线l 与x 轴垂直时,直线l 与椭圆C 交于()()0,1,0,1-两点,此时Q 点坐标为0,2⎛ ⎝⎭(2) 当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为2y kx =+.因为,M N 在直线l 上,可设点,M N 的坐标分别为1122(,2),(,2)x kx x kx ++,则22222212(1),(1)AM k x AN k x =+=+. 又()222222(1).AQ x y k x =+-=+由222211AQAMAN=+,得()()()22222212211111k x k x k x =++++,即 ()212122222212122211x x x x x x x x x +-=+= ① 将2y kx =+代入2212x y +=中,得 ()2221860kx kx +++= ②由()()22842160,k k ∆=-⨯+⨯>得232k >. 由②可知12122286,,2121k x x x x k k +=-=++ 代入①中并化简,得2218103x k =- ③ 因为点Q 在直线2y k x =+上,所以2y k x-=,代入③中并化简,得()22102318y x --=.由③及232k >,可知2302x <<,即0,22x ⎛⎫⎛∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.又0,2⎛ ⎝⎭满足()22102318y x --=,故x ⎛∈ ⎝⎭. 由题意,(),Q x y 在椭圆C 内部,所以11y -≤≤,又由()22102183y x -=+有()2992,54y ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭且11y -≤≤,则1,225y ⎛∈- ⎝⎦. 所以点Q 的轨迹方程是()22102318y x --=,其中,x ⎛∈ ⎝⎭,1,22y ⎛∈- ⎝⎦ 3．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值.解:(Ⅰ)由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=得2b y a =± 由题意知221b a =,即22a b = 又c e a ==2所以2a =,1b = 所以椭圆方程为2214x y +=中204x ≠,将向量坐标代入并化简得:m(23000416)312x x x -=-,因为24x ≠,001200114(8x x kk kk x x +=-+=-为定值.4．（2013年高考上海卷（理））(3分+5分+8分)如图,已知曲线221:12x C y -=,曲线2:||||1C y x =+,P 是平面上一点,若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点,则称P 为“C 1—C 2型点”.(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >,进而证明原点不是“C 1—C 2型点”;(3)求证:圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”.:(1)C 1的左焦点为(F ,过F 的直线x =C 1交于()2±,与C 2交于(1))±,故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”,且直线可以为x =(2)直线y kx =与C 2有交点,则(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩,若方程组有解,则必须||1k >; 直线y kx =与C 2有交点,则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩,若方程组有解,则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点,即原点不是“C 1-C 2型点”.(3)显然过圆2212x y +=内一点的直线l 若与曲线C 1有交点,则斜率必存在; 根据对称性,不妨设直线l 斜率存在且与曲线C 2交于点(,1)(0)t t t +≥,则:(1)()(1)0l y t k x t kx y t kt =+=-⇒-++-=直线l 与圆2212x y +=内部有交点,2<化简得,221(1)(1)2t tk k +-<+............① 若直线l 与曲线C 1有交点,则2222211()2(1)(1)10212y kx kt t k x k t kt x t kt x y =-++⎧⎪⇒-++-++-+=⎨-=⎪⎩ 22222214(1)4()[(1)1]0(1)2(1)2k t kt k t kt t kt k ∆=+---+-+≥⇒+-≥-化简得,22(1)2(1)t kt k +-≥-.....②由①②得,222212(1)(1)(1)12k t tk k k -≤+-<+⇒< 但此时,因为2210,[1(1)]1,(1)12t t k k ≥+-≥+<,即①式不成立;当212k =时,①式也不成立综上,直线l 若与圆2212x y +=内有交点,则不可能同时与曲线C 1和C 2有交点,即圆2212x y +=内的点都不是“C 1-C 2型点” .5．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））如图,在正方形OABC中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ,连结i OB ,过i A 做x 轴的垂线与iOB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤.(1)求证:点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程;(2)过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ,若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1,求直线的方程.解:(Ⅰ)依题意,过*(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,) i B i ,∴直线i OB 的方程为10=iy x设i P 坐标为(,)x y ,由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x iiy x 得:2110=y x ,即210=x y , ∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上,且抛物线E 方程为210=x y(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ,直线与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N 设:1122(,)(,)M x y N x y ,则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆= OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅< x x ,∴124=-x x 分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y,解得32=±k 直线的方程为3+102=±y x ,即32200-+=x y 或3+2200-=x y 6．（2013年高考湖南卷（理））过抛物线2:2(0)E xpy p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ,且122k k +=,1l E 与相交于点A,B,2l E 与相交于点C,D.以AB,CD 为直径的圆M,圆N(M,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为l .(I)若120,0k k >>,证明;22FM FN P < ;(II)若点M 到直线l的距离的最小值为,求抛物线E 的方程. 解:(Ⅰ)，设),(),,(),,(),,(),,(),,().2,0(3434121244332211y x N y x M y x D y x C y x B y x A pF2,221211=++-+=p x pk x E px k y l ：方程联立，化简整理得与抛物线方程：直线),(2,20,2211211212112221121p k p k FM p p k y p k x x x p x x p k x x -=⇒+==+=⇒=-=⋅=+⇒),(2,2,222223422134p k p k FN p p k y p k x x x -=⇒+==+=⇒同理. )1(2121222221221+=+=⋅⇒k k k k p p k k p k k FN FM22121221212121212)11(1)1(,122,,0,0pp k k k k p FN FM k k k k k k k k k k =+⋅⋅<+=⋅∴≤⇒≥+=≠>> 所以,22p FN FM <⋅成立. (证毕) (Ⅱ),)]2(2[21)]2()2[(21,212121121p p k p p k p y p y p r r r N M +=++=+++=⇒的半径分别为、设圆,2同理,221211p p k r p p k r +=+=⇒.,21r r N M 的半径分别为、设圆则21212212)()(r y y x x N M =-+-的方程分别为、,的方程为：，直线l r y y x x 22234234)()(=-+- 0-)(2)(2222123421223421212341234=+-+-+-+-r r y y x x y y y x x x .))(-())(())(()(2)(212123412341234123412212212=++--+--+-+-⇒r r r r y y y y x x x x y k k p x k k p2)((1))(()(2)(2)(2222121222222122212212212212++-+++-+-+-+-⇒k k k k p k k k k p k k p y k k p x k k p 0202)(1)(222212221=+⇒=+++++--+⇒y x k k p k k p p y x55758751)41()41(2|512||52|),(212112121212==+-+-⋅≥++⋅=+=p p k k p y x d l y x M 的距离到直线点y x p 1682=⇒=⇒抛物线的方程为.7．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D(1)求椭圆1C 的方程; (2)求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.解:(Ⅰ)由已知得到1b =,且242a a =∴=,所以椭圆的方程是2214x y +=; (Ⅱ)因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=,直线21:10l yx x k y k k=--⇒++=,所以圆心(0,到直线1:110l yk x k x y =-⇒--=的距离为d =,所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦AB ==;由2222248014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以28||44D P k x x DP k k +=-∴==++所以11||||22444313ABDS AB DP k k k ∆====++++23232==≤=++当252k k =⇒=⇒=时等号成立,此时直线（第21题图）1:12l y x =±- 8．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如题(21)图,椭圆的中心为原点,长轴在轴上,离心率,过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点,.(1)求该椭圆的标准方程; (2)取垂直于轴的直线与椭圆相交于不同的两点,过作圆心为的圆,使椭圆上的其余点均在圆外.若,求圆的标准方程.Ox e =1F x ,A A '4AA '=x ,P P ',P P 'Q Q PQ P Q '⊥Q9．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设椭圆2222:11x y E a a+=-的焦点在x 轴上 (Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y 轴与点Q ,并且11F P FQ ⊥,证明:当a 变化时,点p 在某定直线上.解:(Ⅰ)13858851,12,122222222=+=⇒+-==->x x a c a a c a a ，椭圆方程为： .(Ⅱ) ),(),,),,0(),,(),0,(),0,(2221m c QF y c x F m Q y x P c F c F -=-=-（则设. 由)1,0(),1,0()1,0(012∈∈⇒∈⇒>-y x a a .⎩⎨⎧=++=-⊥=+=0)()(,//).,(),,(112211my c x c ycx c m F F QF F m c F y c x F 得：由 解得联立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-==-=-+=-⇒=+-⇒22222222222222111.))((c a a c y x a y a x c y x y c x c xy x y x y x yx y y x x -=∴∈∈±=⇒=+-++-⇒1)1,0(),1,0(.)1(1121222222222 所以动点P 过定直线01=-+y x .10．（2013年高考新课标1（理））已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线 C.(Ⅰ)求C 的方程; (Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|. 由已知得圆的圆心为(-1,0),半径=1,圆的圆心为(1,0),半径=3.设动圆的圆心为(,),半径为R.(Ⅰ)∵圆与圆外切且与圆内切,∴|PM|+|PN|===4, 由椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为.(Ⅱ)对于曲线C 上任意一点(,),由于|PM|-|PN|=≤2,∴R≤2,当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2. ∴当圆P 的半径最长时,其方程为,当的倾斜角为时,则与轴重合,可得|AB|=.当的倾斜角不为时,由≠R 知不平行轴,设与轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),∴设:,由于圆M 相切得,解得.当=时,将代入并整理得,解得=,∴|AB|==.当=-时,由图形的对称性可知|AB|=,综上,|AB|=或|AB|=.11．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆.(Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.12．（2013年高考江西卷（理））如图,椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ,直线l 的方程为=4x .(1) 求椭圆C 的方程;(2) AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ),设直线AB 与直线l 相交于点M ,记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ,使得123+=.k k k λ?若存在求λ的值;若不存在,说明理由.解:(1)由3(1,)2P 在椭圆上得,221914a b+= ① 依题设知2a c =,则223b c = ② ②代入①解得2221,4,3c a b ===.故椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)方法一:由题意可设AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为(1)y k x =- ③代入椭圆方程223412x y +=并整理,得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++ ④ 在方程③中令4x =得,M 的坐标为(4,3)k .从而121231233331222,,11412y y k k k k k x x ---====----. 注意到,,A F B 共线,则有AF BF k k k ==,即有121211y yk x x ==--. 所以1212121212123331122()1111212y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------ 1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++ ⑤④代入⑤得22122222823432214(3)8214343k k k k k k k k k k -++=-⋅=---+++, 又312k k =-,所以1232k k k +=.故存在常数2λ=符合题意.方法二:设000(,)(1)B x y x ≠,则直线FB 的方程为:00(1)1y y x x =--, 令4x =,求得003(4,)1y M x -, 从而直线PM 的斜率为0030212(1)y x k x -+=-,联立0022(1)1143y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,得0000583(,)2525x y A x x ---,则直线PA 的斜率为:00102252(1)y x k x -+=-,直线PB 的斜率为:020232(1)y k x -=-,所以00000123000225232122(1)2(1)1y x y y x k k k x x x -+--++=+==---,故存在常数2λ=符合题意.13．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,由=结合0c >,解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =.(Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '=设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++ 联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92. 14．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））平面直角坐标系中,过椭圆的右焦点作直交于两点,为的中点,且的斜率为.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)为上的两点,若四边形的对角线,求四边形面积的最大值.15．（2013年高考湖北卷（理））如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2n ()m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D .记mnλ=,BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S .(I)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;(II)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.解:(I)12S S λ=()m n m n λ⇒+=-,1111m n m n λλλ++∴==--解得:1λ=+(舍去小于1的根)(II)设椭圆()22122:1x y C a m a m +=>,22222:1x y C a n+=,直线l :ky x =22221ky xx y am =⎧⎪⎨+=⎪⎩2222221a m k y a m +⇒=A y ⇒= 同理可得,B y =又 BDM ∆和ABN ∆的的高相等12B D B A A B A BS BD y y y y S AB y y y y -+∴===--第21题图如果存在非零实数k 使得12S S λ=,则有()()11A B y y λλ-=+,即:()()222222222211a n k a n kλλλλ-+=++,解得()()2222232114a k n λλλλ--+=∴当1λ>+时,20k >,存在这样的直线l ;当11λ<≤+时,20k ≤,不存在这样的直线l .16．（2013年高考北京卷（理））已知A 、B 、C 是椭圆W :2214x y +=上的三个点,O 是坐标原点.(I)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积;(II)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由.解:(I)椭圆W :2214x y +=的右顶点B 的坐标为(2,0).因为四边形OABC 为菱形,所以AC与OB 相互垂直平分. 所以可设A(1,m ),代入椭圆方程得2114m +=,即m =.所以菱形OABC 的面积是11||||22||22OB AC m ⋅=⨯⨯=. (II)假设四边形OABC 为菱形. 因为点B 不是W 的顶点,且直线AC 不过原点,所以可设AC 的方程为(0,0)y kx m k m =+≠≠.由2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消去y 并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=. 设A 1,1()x y ,C 2,2()x y ,则1224214x x km k +=-+,121222214y y x x mk m k ++=⋅+=+. 所以AC 的中点为M(2414km k -+,214mk +).因为M 为AC 和OB 的交点,所以直线OB 的斜率为14k-.因为1()14k k⋅-≠-,所以AC 与OB 不垂直. 所以OABC 不是菱形,与假设矛盾. 所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形. 17．（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点. 解:(Ⅰ)A (4,0),设圆心C2222,2),,(EC ME CM CA MN ME E MN y x +===，由几何图像知线段的中点为x y x y x 84)422222=⇒+=+-⇒（(Ⅱ) 点B (-1,0), 222121212122118,8,00),,(),,(x y x y y y y y y x Q y x P ==<≠+，由题知设.080)()(88811211221212222112211=+⇒=+++⇒+-=+⇒+-=+⇒y y y y y y y y y y y y x y x y 直线PQ 方程为:)8(1)(21121112121y x y y y y x x x x y y y y -+=-⇒---=- 1,088)(8)()(122112112==⇒=++⇒-=+-+⇒x y x y y y y x y y y y y y所以,直线PQ 过定点(1,0)18．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））如图,抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )01x =,切线.MA 的斜率为12-. (I)求p 的值;(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为19．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，,离心率为3，直线2y =与C (I)求,;a b ;(II)设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别相交于,A B 两点,且11AF BF ,证明:22AF AB BF 、、成等比数列.20．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.已知抛物线2 4C y x =： 的焦点为F .(1)点 A P 、满足2AP FA =- .当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P 的轨迹方程; (2)在x 轴上是否存在点Q ,使得点Q 关于直线2y x =的对称点在抛物线C 上?如果存在,求所有满足条件的点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.(1)设动点P 的坐标为( )x y ，,点A 的坐标为( )A A x y ，,则( )A A AP x x y y =-- ，,因为F 的坐标为(1 0)，,所以(1 )A A FA x y =- ，,由2AP FA =- 得( )2(1 )A A A A x x y y x y --=--，，.即2(1)2A A A A x x x y y y -=--⎧⎨-=-⎩ 解得2A Ax x y y =-⎧⎨=-⎩ 代入24y x =,得到动点P 的轨迹方程为284y x =-.(2)设点Q 的坐标为( 0)t ，.点Q 关于直线2y x =的对称点为( )Q x y '，, 则122y x t y x t ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=+⎪⎩ 解得3545x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩若Q '在C 上,将Q '的坐标代入24y x =,得24150t t +=,即0t =或154t =-. 所以存在满足题意的点Q ,其坐标为(0 0)，和15( 0)4-，.。
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3.
B
特约教师： 刘庆玲
B x
F
ABCD
4
P
A
3 3
.
……3 分
z ……6 分
P
E
A1B1C1D1
B
C
E C
……12 分
A
A1
的高。
AD=2 2 ，PA=2.求： （1）三角形 PCD 的面积；（6 分）
解答：
（2）异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.（6 分）
6．有一列正方体，棱长组成以
V1,V2,…,Vn,…，则 lnim(V1
1
为首项，
V2
2
Vn )
1 2
1 2
，故 SAD1C
32
3 2
特约教师： 刘庆玲
5, AD1
所以，V 1 3 h 1 h 2 ，即直线 BC1 到平面 D1AC 的距离为 2 ．
2012 年上海市
32 3
6．有一列正方体，棱长组成以
V1,V2,…,Vn,…，则 lnim(V1 V2 Vn )
1
3
为首项，
8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2的半圆面，则该圆锥的体积为
知 AEF 是等腰直角三角形，
所以∠AEF=
BC
与
AE
4
.
所成的角的大小是
2 2
与
2
，=
AE
2
4
.
32
所成的角的大小是
……8 分
4
21．（14 分）已知 ABCD A1B1C1D1 是底面边长为 1 的正四棱柱， O1 是 A1C1 和 B1D1 的交
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近五年上海高考真题——解析几何（2018春12）如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中．已知点P 以1．5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为__________秒（精确到0．1）答案：4.4关键点：引入时刻t ，表示点,P Q ，直线PQ ，列出（不等式）圆心到直线PQ 的距离小于等于半径，解不等式可得提示：以A 为原点建立坐标系，设时刻为t ，则40(0,1.5),(20,20),03P t Q t t -≤≤ 则0 1.5:20020 1.5PQ x y tl t t--=---，化简得(8)8120t x y t --+= 点(10,10)O 到直线PQ1≤，化简得23161280t t +-≤t ≤≤0 4.4t t ≤≤⇒∆=≈P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹为__________．答案：22143x y +=知识点：（2018秋20）设常数2t >，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0F ，直线l ：x t =，曲线Γ：28y x =()0,0x t y ≤≤≥，l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ，P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设3t =，2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；（3）设8t =，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）2BF t =+；（2）AQP S =△；（3）25P ⎛ ⎝⎭． 关键点：FQ FP PM =+知识点：中点弦（2018春18）已知a R ∈，双曲线22:1x y Γ-=．直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值．答案．． 关键点：1212x x +=，因此用设而不求，韦达定理 知识点：和立体几何相关19．（7分+7分）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米．（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．图1 图2 图3答案．（1）14；（2）9.59︒．知识点：双曲线2017秋-6、设双曲线)0(19222>=-b b y x 的焦点为P F F ,,21为该双曲线上的一点，若5||1=PF ，则_____||2=PF答案：11关键点：双曲线的定义，发散：若16PF =，则2______PF = 关键点：216PF PF =± 知识点：参数方程(2017秋16)已知点P 在椭圆1436:221=+y x C ，点Q 在椭圆19:222=+x y C 上，O 为坐标原点，记OP OQ ω=⋅，集合(){},|P Q OP OQ ω=⋅，当ω取得最大值时，集合中符合条件的元素有几个（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无数个 答案：D关键点：法一：椭圆的参数方程()1212126cos cos 2sin 3sin 6cos θθθθθθ+=-法二：柯西不等式121211226623x x y y x y y x +=+≤从本题也可看出，柯西不等式和两角差的余弦定理，参数方程之间的联系知识点：和向量相关秋-20、在平面直角坐标系中，已知椭圆1422=+Γy x ：，A 是其上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 是x 轴正半轴上的一点； （1）若点P 在第一象限，且2||=OP ，求点P 的坐标；（2）若⎪⎭⎫ ⎝⎛5358，P ，且APM ∆为直角三角形，求M 的横坐标；（3）若MA MP =，4PQ PM =，直线AQ 交椭圆Γ于另一点C ，2AQ AC =,求直线AC 的方程；答案、（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛36,332P ; (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2029M 或⎪⎭⎫ ⎝⎛0,53M 或)0,1(M ； （3）设点()00,P x y 线段AP 的中垂线与x 轴的交点03,08M x ⎛⎫⎪⎝⎭，因为4PQ PM =，所以003,32Q x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为2AQ AC =，所以00133,42y C x -⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入并联立椭圆方程，解得00199x y ==-，所以13Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线AQ的方程为110y x =+ 关键点：（2）直角=向量数量积为0；（3）设出点P 的坐标，根据题意，依次表示点M Q C 、、，点,P C 在椭圆上，建立方程组，可求出点,P C 的坐标春-10、设椭圆2212x y +=的左右焦点分别为12F F 、，点P 在椭圆上，则使得12F F P∆是等腰三角形的点P 的个数是______答案：6关键点：半弦长的值域是[],a c a c -+春-20、已知双曲线()222:10,y x b bΓ-=> 直线():0l y kx m km =+≠，l 与Γ交于P Q 、 两点，P '为P 关于y 轴的对称点，直线P Q '与y 轴交于点()0,N n（1）若点()2,0是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程； （2）若1b =，点P 的坐标为()1,0-，且32NP P Q ''=，求k 的值； （3）若2m =，求n 关于b 的表达式答案：（1）y = （2）12k =± （3）22b n =-知识点：应用题（2016秋-20）（6+8分）有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。
于是，菜地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点 O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1,0），如图（1）求菜地内的分界线C 的方程（2）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为38。
设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于1S 面积的经验值答案：（1）()01y x =≤≤；（2）五边形的面积更接近1S 的面积（2016秋21）（14分=6分+8分）双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点.（1）若l 的倾斜角为2π，1F AB ∆是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b =l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=，求l 的斜率.答案：（1）y =；（2） 关键点：()()11121221214,,F A F B x x y y AB x x y y +=+-+=--，()()()111()+F A F B AB y +⋅=+（2015春-12）已知点()1,0A ，直线:1l x =-，两个动圆均过点A 且与l 相切，其圆心分别为1C 、2C ，若动点M 满足22122C M C C C A =+，则M 的轨迹方程为_____________.答案：221y x =-关键点：12OM OC OA =+， 相关点法（2015理5）抛物线y 2=2px （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p= ． 答案：2关键点：抛物线的半弦长的范围,2p ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2015理9）已知点 P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线C 1和C 2．若C 1的渐近线方程为y=±x ，则C 2的渐近线方程为 ． 答案：（2015理21）已知椭圆x 2+2y 2=1，过原点的两条直线l 1和l 2分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形ABCD 的面积为S ． （1）设A （x 1，y 1），C （x 2，y 2），用A 、C 的坐标表示点C 到直线l 1的距离，并证明S=2|x 1y 2﹣x 2y 1|；（2）设l 1与l 2的斜率之积为﹣，求面积S 的值． 关键点：椭圆内接平行四边形问题答案：（1）依题意，直线l 1的方程为y=x ，由点到直线间的距离公式得：点C 到直线l 1的距离d==，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=2|x 1y 2﹣x 2y 1|；（2）方法一：设直线l 1的斜率为k ，则直线l 2的斜率为﹣，设直线l 1的方程为y=kx ，联立方程组，消去y 解得x=±，根据对称性，设x 1=，则y 1=，同理可得x 2=，y 2=，所以S=2|x 1y 2﹣x 2y 1|=．方法二：直线12l l 、的斜率分别为1212y y x x 、，则121212y y x x =-，故1212+20x x y y =所以222212121212440x x y y x x y y ++= ()()()22222122112211212222222221212122122222222122112122222221221222422242222212x y x y x y x y x x y y x x y y x y x y x y x y x x y y x y x y x y -=+-+=+++++=+++== 即|x 1y 2﹣x 2y 1|=，所以S=2|x 1y 2﹣x 2y 1|=（2015春12）已知函数()21x f x x -=-与()1g x mx m =+-的图像相交于A B 、两点. 若动点P 满足2,PA PB += 则P 的轨迹方程为________答案：()()22111x y -+-= 关键点：AB 的中点为()11，（2015春24）如图，在底面半径和高均为1的圆锥中，AB CD 、是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点. 已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点与圆锥顶点P 的距离为（ ）A 、1 B、2 C、2 D、4答案： D（2015春29）已知数列{}n a 满足0n a >，双曲线()221:1n n n x y C n N a a *+-=∈（1）若121,2a a ==，双曲线n C的焦距为2,n n c c ={}n a 的通项公式； （2）如图，在双曲线n C 的右支上取点(),n n p P x n ，过n P 作y 轴的垂线，在第一象限内交n C 的渐近线于点n Q ，联结n OP ，记n n OP Q ∆的面积为n S ，若lim 2n n a →∞=，求lim n n S →∞.（关于数列极限的运算，还可参考如下性质：若()lim 0,n n n u A u →∞=≥则limn n u A →∞=）答案：（1）n n a n =⎪⎩是奇数是偶数 或()()11321,22n n a n n N -*=+⨯--∈；（2）12；（2014理3文）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．答案：2x =-（2014理7）已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=，则C 与极轴的交点到极点的距离是 ． 答案：13（2014理14）已知曲线:C x =，直线:6l x =．若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 ． 答案：[2,3] 关键点：(理22)在平面直角坐标系中，对于直线和点，记．若，则称点12,P P 被直线l 分隔．若曲线与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线． （1）求证；点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔；（2）若直线是曲线2241x y -=的分隔线，求实数的取值范围；（3）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ． 求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分隔线．解：（3）设M 的坐标为(,)x y ，则曲线E 的方程为1x =，即22[(2)]1x y x +-⋅=．对任意的0y ，()00,y 不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点． 又曲线E 上的点()1,2-和()1,2对于y 轴满足0η<，即点()1,2-和()1,2被y 轴分隔．所以y 轴为曲线E 的分隔线．若过原点的直线不是y 轴，设其为y kx =．法一：由22,[(2)]1,y kx x y x =⎧⎨+-⋅=⎩得：()222[2]10x kx x +-⋅-=，令()()222[2]1f x x kx x =+-⋅-，因为()()()()2021[16115]0f f k ⋅=-⋅-+<，所以方程()0f x =有实数解， 即直线y kx =与曲线E 有公共点，故直线y kx =不是曲线E 的分隔线．xOy :0l ax by c ++=111222(,),(,)P x y P x y 1122()()ax by c ax by c η=++++0η<C y kx =k综上可得，通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分隔线． 法二：数形结合22,[(2)]1,y kx x y x =⎧⎨+-⋅=⎩当0,x y →→+∞，故y kx =与曲线22[(2)]1x y x +-⋅=必有交点， 根据单调性，奇偶性画出曲线22[(2)]1x y x +-⋅=的图像由于1x ≤，故法一可调整为由22,[(2)]1,y kx x y x =⎧⎨+-⋅=⎩得：()222[2]10x kx x +-⋅-=，令()()222[2]1f x x kx x =+-⋅-，当2k =时，1x =为方程()0f x =的解；当2k ≠时，因为()()()()201120f f k ⋅=-⋅-<，所以方程()0f x =在()0,1内有实数解，即直线y kx =与曲线E 有公共点，故直线y kx =不是曲线E 的分隔线．综上可得，通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分隔线．法三：数形结合，由22,[(2)]1,y kx x y x =⎧⎨+-⋅=⎩可得222(1)44k x kx x -+-+=， 可看作二次函数22()(1)44f x k x kx =+-+与幂函数2()g x x -=的交点问题，二次函数开口向上无限延伸，而幂函数()g x 向上无限靠近y 轴，则必定有公共点，所以y kx =不满足题意．2013年(理9文12)设是椭圆的长轴，点在上，且，若=4，则的两个焦点之间的距离为____________.（理7）在极坐标系中，曲线与的公共点到极点的距离为 .（文）设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若4AB =，BC =则Γ的两个焦点之间的距离为___________答案：3（文-16）记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为()1,2,n n Ω=，当点(),x y 分别在12,,ΩΩ上时，x y +的最大值分别是12,,M M ，则lim n n M →∞=（ ）答案：D(春-24)已知为平面内两定点，过该平面内动点作直线的垂线，垂足为.若，其中为常数，则动点的轨迹不可能是（ ）.圆 . 椭圆 . 抛物线 .双曲线答案：C(春- 28)已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，，短轴的两个端点分别为12 B B 、（1）若112F B B ∆为等边三角形，求椭圆C 的方程;（2）若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程.解:（1）设椭圆的方程为.AB ΓC Γ4CBA π∠=AB BC =Γcos 1ρθ=+cos 1ρθ= A B 、M AB N 2MN AN NB λ=⋅λM A B C D C 22F l C P Q 、11F P FQ ⊥l C 22221(0)x y a b a b+=>>根据题意知， 解得， 故椭圆的方程为. （2）容易求得椭圆的方程为. 当直线的斜率不存在时，其方程为，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为.由 得.设，则因为，所以,即， 解得，即.故直线的方程为或.(春-29) 已知抛物线 的焦点为. （1）点满足.当点在抛物线上运动时，求动点的轨迹方程； （2）在轴上是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上？如果存在，求所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由.2221a ba b =⎧⎨-=⎩243a =213b =C 2214133x y +=C 2212x y +=l 1x =l l (1)y k x =-22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=1122( ) ( )P x y Q x y ，，，2212121111222242(1)(1 ) (1 )2121k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++，，，，，11F P FQ ⊥110F P FQ ⋅=21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++--2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++2271021k k -==+217k=7k =±l 10x -=10x -=24C y x =：F A P 、2AP FA =-A C P x Q Q 2y x =C Q知识点：相关点法解:（1）设动点的坐标为，点的坐标为,则,因为的坐标为，所以，由得. 即 解得代入，得到动点的轨迹方程为.（2）设点的坐标为.点关于直线的对称点为，则 解得若在上，将的坐标代入，得，即或. 所以存在满足题意的点，其坐标为和.(理22文23) 如图，已知曲线，曲线，是平面上一点，若存在过点的直线与都有公共点，则称为“型点”．(1)在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“型点”； (3)求证：圆内的点都不是“型点”．解：（1）C 1的左焦点为，过F 的直线C 1交于，与P ()x y ，A ( )A A x y ，( )A A AP x x y y =--，F (1 0)，( 1 )A A FA x y =-，2AP FA =-( )2(1 )A A A A x x y y x y --=--，，2(1)2A A A A x x x y y y -=--⎧⎨-=-⎩2A A x xy y=-⎧⎨=-⎩24y x =P 284y x =-Q ( 0)t ，Q 2y x =( )Q x y '，122yx t y x t ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=+⎪⎩3545x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩Q 'C Q '24y x =24150t t +=0t =154t =-Q (0 0)，15( 0)4-，221:12x C y -=2:||||1C y x =+P P 12,C C P 12-C C 1C 12-C C y kx =2C ||1k >12-C C 2212x y +=12-C C (F x =()2±C 2交于，故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”，且直线可以为或(y k x =其中k ≥； （2）直线与C 2有交点，则，若方程组有解，则必须；直线与1C 有交点，则，若方程组有解，则必须故直线至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2型点”.（3）本质上是是否存在直线和曲线12,C C ，有交点，和圆有两个交点，显然这样的直线必有斜率方法一：直线y kx b =+和圆有两个交点，圆心到直线的距离小于半径，可得()22112b k <+ ①直线和双曲线有交点，直线与双曲线联立，0∆>，可得2221b k ≥- ② ①，②结合，可得21k <数形结合可得：直线y kx b =+和圆有两个交点，且与曲线2C 有交点，则21k > 故不存在这样的直线方法二： 根据对称性，不妨设直线斜率存在且与曲线C 2交于点，则直线与圆化简得，............① 若直线与曲线C 1有交点，则化简得，.....②(1))±x =y kx =(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩||1k >y kx =2222(12)222y kxk x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩212k <y kx =l (,1)(0)t t t +≥:(1)()(1)0l y t k x t kx y t kt =+=-⇒-++-=l 2212x y +=2<221(1)(1)2t tk k +-<+l2222211()2(1)(1)10212y kx kt t k x k t kt x t kt x y =-++⎧⎪⇒-++-++-+=⎨-=⎪⎩22222214(1)4()[(1)1]0(1)2(1)2k t kt k t kt t kt k ∆=+---+-+≥⇒+-≥-22(1)2(1)t kt k +-≥-由①②得， 但此时，因为，即①式不成立；当时，①式也不成立综上，直线若与圆内有交点，则不可能同时与曲线C 1和C 2有交点，即圆内的点都不是“C 1-C 2型点” ．222212(1)(1)(1)12k t tk k k -≤+-<+⇒<2210,[1(1)]1,(1)12t t k k ≥+-≥+<212k =l 2212x y +=2212x y +=。