数学列举法的正确格式
小学数学解题方法解题技巧之列举法
小学数学解题方法解题技巧之列举法解应用题时，为了解题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限情况，一一列举出来加以分析、解决，最终达到解决整个问题的目的。
这种分析、解决问题的方法叫做列举法。
列举法也叫枚举法或穷举法。
用列举法解应用题时，往往把题中的条件以列表的形式排列起来，有时也要画图。
例1 一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？（适于三年级程度）解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。
个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。
十位是6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。
10+10=20（个）答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。
*例2从A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。
从A市经过B市到C市有几种走法？（适于三年级程度）解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。
第一种走法：A ① B ④ C第二种走法：A ① B ⑤ C第三种走法：A ② B ④ C第四种走法：A ② B ⑤ C第五种走法：A ③ B ④ C第六种走法：A ③ B ⑤ C答：从A市经过B市到C市共有6种走法。
*例3 9○13○7=10014○2○5=□把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用一次），并在长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都成立。
这时长方形中的数是几？（适于四年级程度）解：把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里，有许多不同的填法，要是逐一讨论怎样填会特别麻烦。
如果用些简单的推理，排除不可能的填法，就能使问题得到简捷的解答。
先看第一个式子：9○13○7=100如果在两个圆圈内填上“÷”号，等式右端就要出现小于100的分数；如果在两个圆圈内仅填“+”、“-”号，等式右端得出的数也小于100，所以在两个圆圈内不能同时填“÷”号，也不能同时填“+”、“-”号。
第二次课3——集合及其表示、集合之间的关系
精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号学员编号：年级：新高一课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题集合及其表示、集合之间的关系教学目标1、讲解集合的定义和表示方法；2、讲解集合之间的关系；重点、难点重点：集合的表示方法难点：集合的互异性、确定性考点及考试要求理解集合的定义；掌握集合的表示方法；掌握集合之间的关系教学内容一、逻辑思维能力1.有只猴子在树林采了100根香蕉堆成一堆，猴子家离香蕉堆50米，猴子打算把香蕉背会家，每次最多能背50根，可是猴子嘴馋，每走一米要吃一根香蕉，问猴子最多能背回家几根香蕉？2.、有三个人去住旅馆，住三间房，每一间房$10元，于是他们一共付给老板30元，第二天，老板觉得三间房只需要25元就够了于是叫小弟退回$5给三位客人，谁知小弟贪心,只退回每人1元，自己偷偷拿了2元，这样一来便等于那三位客人每人各花了九元，于是三个人一共花了27元，再加上小弟独吞了不2元，总共是29元。
可是当初他们三个人一共付出30元那么还有1元呢？二、高一新知识：一、集合及其表示1、定义:我们把能够确切指定的一些对象组合成的整体叫做集合，简称集。
集合中的各个对象叫做这个集合的元素。
如果a 是集合A 中的元素，那么记作A a ∈，读作a 属于A ；如果a 不是集合A 中的元素，那么记作A a ∉，读作a 不属于A 。
（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。
（2）互异性：集合中的元素没有重复。
（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序。
{1，2}和{2，1}表示同一个集合。
含有有限个元素的集合叫做有限集；含有无限个元素的集合叫做无限集。
我们把不含任何元素的集合称为空集，记作φ。
注：{0}和φ是不同的。
{0}是含有一个元素0的集合，φ是不含任何元素的集合。
例1已知集合A={a-2,2a 2+5a,10},且-3∈A,求实数a2、常用数集N ：全体自然数组成的集合，即自然数集 *N ：不包括0的自然数集Z ：全体整数组成的集合，即整数集 +Z ：正整数集 -Z ：负整数集Q :全体有理数组成的集合，即有理数集 +Q ：正有理数集 -Q ：负有理数集R ：全体实数组成的集合，即实数集 +R ：正实数集 -R ：负实数集3、集合的表示方法（一）列举法：在大括号内将集合中的元素一个个列举出来，元素之间用逗号隔开，具体又分以下三种情况： ①元素个数少且有限时，全部列举；如{1，2，3}②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，列举几个元素，取决于能否普遍看出其规律，称中间省略列举。
小学数学解题方法——例举法
方法点一表格列举法例1用一根80厘米长的铁丝围成一个长方形，长和宽都是5的倍数。
哪一种方法围成的长方形面积最大？方法指导要想知道哪种方法围成的长方形面积最大，应将符合条件的围法一一列举出来，然后加以比较。
因为长方形的周长是80厘米，所以长与宽的和是40厘米。
列表如下：分别求出这四种方法围成的长方形面积，再比较这四个长方形的面积。
正确解答80÷2=40（厘米）40=5+35=10+30=15+25=20+2035×5=175（平方厘米）30×10=300（平方厘米）25×15=375（平方厘米）20×20=400（平方厘米）175＜300＜375＜400,所以当长方形的长是20厘米，宽是20厘米时，围成的长方形的面积最大。
例2一只小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，不断往返。
已知小船最初在南岸。
（1）摆渡11次后，小船是在南岸还是在北岸，为什么？（2）有人说摆渡100次后，小船在北岸。
他的说法对吗？为什么？方法指导用表格列举出摆渡的次数和小船所在的位置关系，然后观察表格找出摆渡次数与小船所在的位置关系的规律。
从表中发现：摆渡奇数次后，小船在北岸，摆渡偶数次后，小船在南岸。
正确解答（1）摆渡11次后，小船在北岸。
因为11是奇数，而摆渡奇数次后，小船应在北岸。
（2）他的说法不对。
因为100是偶数，而摆渡偶数次后，小船应在南岸。
例3在我国民间常用十二生肖进行纪年，十二生肖的排列顺序是：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪。
2013年是蛇年，2052年是12生肖中的什么年？方法指导用表格列举出部分生肖年份。
观察上表可以发现，生肖年份每12年是一个周期，用实际年份与2013的差除以周期12，整除时是蛇年，余数是1时是马年，余数是2时是羊年，余数是3时是猴年……2013年至2052年之间有39年，用39除以12，再根据余数与生肖年份的关系，判定2052年是哪个生肖年。
列举法求概率
列举法求概率概率是数学中一个重要的概念，它描述了某个事件发生的可能性大小。
列举法是求解概率的一种常用方法，下面将详细介绍列举法求概率的步骤和应用。
一、列举法求解概率的基本步骤1. 定义事件首先需要明确所要研究的事件，例如掷一枚硬币出现正面或反面、从一副扑克牌中抽出一张红桃牌等。
2. 构建样本空间样本空间是指所有可能结果组成的集合。
对于掷硬币这个例子，样本空间为{正面，反面}；对于抽扑克牌这个例子，样本空间为{红桃A、红桃2、……、红桃K、方块A、方块2、……、方块K、黑桃A、黑桃2、……、黑桃K、草花A、草花2、……、草花K}。
3. 确定事件发生的可能性在构建好样本空间后，需要确定所关注事件发生的可能性。
例如掷硬币出现正面和反面的概率相等，则P(正面)=P(反面)=1/2；抽到一张红桃牌的概率为P(红桃)=13/52=1/4。
4. 计算事件发生的概率最后，根据所得到的可能性，计算事件发生的概率。
例如掷硬币出现正面的概率为P(正面)=1/2；抽到一张红桃牌的概率为P(红桃)=1/4。
二、列举法求解概率的应用1. 掷骰子掷骰子是一个常见的游戏，我们可以使用列举法求解掷出某个点数的概率。
样本空间为{1,2,3,4,5,6}，而掷出某个点数的事件可以表示为{1}、{2}、{3}、{4}、{5}或{6}。
因此，每个点数出现的概率均为1/6。
2. 抽扑克牌抽扑克牌也是一个常见的游戏，我们可以使用列举法求解抽到某种牌型（如顺子或同花顺）的概率。
样本空间为52张牌组成的集合，而顺子和同花顺分别有10种可能性（以A2345、23456、34567……10JQKJQKA等序列为例），因此它们出现的概率均为10/2598960。
3. 抛硬币抛硬币是一个简单的实验，我们可以使用列举法求解正反面出现的概率。
样本空间为{正面，反面}，而正反面出现的概率均为1/2。
4. 抽彩票抽彩票也是一个常见的活动，我们可以使用列举法求解中奖的概率。
五年级下册数学思维能力训练：列举法 全国通用
第七讲列举法列举法(也叫枚举法)指的是首先根据题意,按照某一种顺序（这样可避免重复和遗漏）将各种可能的答案逐一地列举出来,然后求出所需要的答案.这种方法的优点在于,当列举完成时,答案也就出来了.但这种方法有时需要列举很多情况,因此,我们在进行列举时,一定要注意观察、分析,看看有无规律,若有,则可按规律求解.例1：从0写到99,共写了个3,带有3的数有个.分析与解：可将0到99的数中写3的情况分成下面这几类进行列举：（1）个位上写3的数有3、13、23、33、…、93共有10个；（2）十位上写3的数有30、31、32、33、34、…、39共有10个.所以从0写到99,共写了10＋10=20（个）.从上面的列举中不难看出,这20个数都是带有3的数,但是一个数中不管要写（）个3,它却只能算一个带有3的数,而33这个数被列举了两次.所以0到99的数中,带有3的数有20－1=19（个）.例2：一本186页的书,编这本书的页码一共要用个数字.分析与解：这本书使用的数字,可分为下面几种情况进行列举：（1）第1~9页,每页要用1个数字,共用数字：1×9=9个；（2）第10~99页,每页要用2个数字,共用数字：99－10＋1=90页,2×90=180个；（3）第100~186页,每页用3个数字,共用数字：186－100＋1=87页,3×87=261个；（4 全书共用数字：9＋180＋261=450（个）.巩固练习2：一本97页的书,编这本书的页码一共要用个数字.一本276页的书,编这本书的页码一共要用个数字.一本1328页的书,编这本书的页码一共要用个数字.例3：从1、2、3、……、2014、2015这些自然数中,取出一些数来,要求所取的数中任意两个数的差都不等于6,那么最多可以取出个数.分析与解：要想取出的数最多,应考虑从小到大依次取,不妨对可取和不可取的数进行列举：1、2、3、4、5、6可取；7、8、9、10、11、12不可取；13、14、15、16、17、18又可取；19、20、21、22、23、24又不可取；……如此可发现规律：从1开始可连续取6个,不取接着的6个,又取接下来的6个,又不取接下来的6个……所以可将12个数看作一组,每组最多取6个,则此题可解.解：每12个数为一组,每组最多取6个.2015÷12=167……11,（余下的11个中最多可以取6个）最多可取：167×6＋6=1008.巩固练习3：从1、2、3、……、199、200这些自然数中,取出一些数来,要求所取的数中任意两个数的差都不等于3,那么最多可以取出个数.从1、2、3、……、999、1000这些自然数中,取出一些数来,要求所取的数中任意两个数的差都不等于7,那么最多可以取出个数.从1、2、3、……、2014、2015这些自然数中,取出一些数来,要求所取的数中任意两个数的差都不等于9,那么最多可以取出个数.例4：8个互不相同的非零自然数的总和是56,如果去掉最小和最大的数,那么剩下的数的总和是44,剩下的数中,最小的数是 .分析与解：从已知条件可以求出,最大的数与最小的数的和是：56－44=12,那么最大数与最小数可能是：11和1；10和2；9和3；……；逐一列举分析,此题可解.解：最大数与最小数之和为：56－44=12,最大数与最小数的可能值有：11和1；10和2；9和3；8和4；7和5.1、若是11和1：则应从2~10中选出6个数使其和为44,2~10的总和为：（2＋10）×9÷2==54,54－44=10,因为10=2＋3＋5,所以这6个数为： 4、6、7、8、9、10.则剩下的数中最小的数为：42、若是10和2：则应从3~9中选出6个数使其和为44,3~9的总和为：（3＋9）×7÷2==42,因为42＜44,不符合条件.巩固练习4：将十一个互不相同的非零自然数,从小到大依次排成一列.已知它们的总和是105,如果去掉最大的数与最小的数,那么剩下的数的总和是89,在原来排成的次序中,第二个数最小是 .将十四个互不相同的非零自然数,从小到大依次排成一列.已知它们的总和是170,如果去掉最大的数与最小的数,那么剩下的数的总和是150,在原来排成的次序中,第二个数是 .十个互不相同的非零自然数的和是75,且其中最大数与最小数的差是9,那么最大数与最小数的乘积是 .例5：《小学奥数特长生手册》分上、下两册,编页码时都从1开始编.已知下册比上册多16页,两册书共用了768个数字,那么,这大套书的下册共有页.分析与解：此题为前面例2页码问题的逆向思维,但由于两册书的页数不同,不便于分析,所以解题关键是将两册书的页数看作相同之后,再解决问题就容易了.值得注意的是,当作相同时,下册比上册多的16页究竟多了（）个数字,是需要细致判断的.解：因为：9×2＜768,9×2＋180×2＜768,而768＜2700,所以：下册比上册多的16页为三位数的页码.下册比上册多用数字：16×3=48（个）一本下册共用数字：（768＋48）÷2=408（个）,下册页数：（408－9－180）÷3＋99=172（页）.巩固练习5：某套书,分上、下两册,已知上册比下册多10页；在编页码时,都从1开始往后编, 一共用了828个数字.那么下册有页.某套书,分上、下两册,已知下册比上册少15页；在编页码时,都从1开始往后编, 一共用了1389个数字.那么上册有页.例6：小明买红、蓝两种笔各一支,共用了17元.两种笔的单价都是整元,并且红笔比蓝笔贵.小强打算用35元钱来买这两种笔（也允许只买其中一种）,可是他无论怎么买,都不能把35元恰好用完.那么红笔的单价是元.（95年奥赛决赛题）分析与解：红、蓝两种笔各一支,共用了17元,又单价都是整元.因此两种笔的价格可能是：1和16,2和15,3和14,4和13,5和12,6和11,7和10,8和9；无论怎么买,都不能把35元恰好用完,而35的约数有：1、5、7；所以两种笔的价格不可能是：1和16,5和12,7和10.剩下还有2和15,3和14,4和13,6和11,8和9；35=15+2×10,35=11+6×4,35=9×3+8,而4和13却不能用完,所以红笔的价格是13元.巩固练习6：小乐和小天各用26元钱买红笔和蓝笔,他们买的红笔是5元一支,蓝笔是3元一支,小乐买了红笔比小天多,小乐和小天一共买了支红笔, 支蓝笔.3只玩具兔卖10元,5只玩具熊卖20元,某幼儿园花了70元共买了18只玩具兔和玩具熊,那么其中玩具兔有只.（1999年奥赛初赛B卷试题）某种商品的价格是：每一个1分钱,每五个4分钱,每九个7分钱,莹莹的钱最多能买50个,维维的钱最多能买500个,维维的钱比莹莹的钱多分.。
高一数学必修1各章知识点总结
高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。
◆注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1）列举法：{a,b,c……}2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图:4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。
A⊆A②真子集:如果A⊆B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)③如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C④如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A B（读由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A B设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）作‘A 交B ’），即A B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝． （读作‘A 并B ’），即A B ={x|x ∈A ，或x ∈B})．记作A C S，即C S A=},|{A x S x x ∉∈且韦 恩 图 示A B图1AB图2性质 A A=A A Φ=Φ A B=B A A B ⊆A A B ⊆B A A=A A Φ=A A B=B A A B ⊇Ａ A B ⊇B(C u A) (C u B)= C u (A B) (C u A) (C u B)= C u (A B) A (C u A)=U A (C u A)= Φ．例题：1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）A 某班所有高个子的学生B 著名的艺术家C 一切很大的书D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a ，b ，c }的真子集共有 个3.若集合M={y|y=x 2-2x+1,x ∈R},N={x|x ≥0}，则M 与N 的关系是 . 4.设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ⊆B ，则a 的取值范围是 5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。
用列举法表示集合
用列举法表示集合集合是数学中的一个基本概念，用于表示具有共同特征或满足特定条件的对象的整体。
在数学中，我们常常使用列举法来表示集合。
列举法是一种直观且简单的表示方法，通过列举集合中的元素来描述集合的内容。
下面我将用中文来描述一些常见的集合，并使用列举法来表示它们。
1. 自然数集合（N）：自然数集合是由所有正整数组成的集合。
它可以用列举法表示为：N={1, 2, 3, 4, 5, ...}，其中省略号表示集合中的元素是无穷多的。
2. 整数集合（Z）：整数集合是由所有整数组成的集合。
它可以用列举法表示为：Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}，其中省略号表示负无穷到正无穷的整数。
3. 有理数集合（Q）：有理数集合是由所有可以表示为两个整数的比值的数构成的集合。
它可以用列举法表示为：Q={1/2, 3/4, -2/5, 0, ...}，其中的分数表示所有整数之间的比值。
4. 实数集合（R）：实数集合是由所有可以用小数或分数表示的数构成的集合。
它包括了整数和有理数集合，以及那些无理数（如π、√2）和无限不循环小数（如1.23456789...）等。
由于实数是无穷多的，所以不能通过列举法来表示实数集合。
5. 空集合（∅）：空集合是一个不包含任何元素的集合。
它可以用列举法表示为：∅={}。
6. 单元素集合：单元素集合是指只包含一个元素的集合。
例如，{1}表示包含元素1的集合。
7. 两个元素的集合：两个元素的集合可以有多种情况。
例如，{1, 2}表示包含元素1和2的集合；{a, b}表示包含元素a和b的集合。
8. 多个元素的集合：多个元素的集合可以列举其中的一部分元素，然后用省略号表示省略的部分。
例如，{1, 2, 3, ...}表示包含所有自然数的集合。
9. 等差数列集合：等差数列是由一个初值和公差确定的数列。
例如，{1, 3, 5, 7, ...}表示以初值1，公差为2的等差数列。
列举法的表示方法
列举法的表示方法在数学和逻辑学中，列举法是一种常见的表示方法，用于将一组元素或事物按照一定的顺序逐个列出来，以便进行研究、分析或描述。
它是一种简洁明了的方式，可以帮助我们更好地理解和运用相关概念。
本文将介绍列举法的表示方法，并以实例进行说明。
一、逐个列举法逐个列举法是最基本和直接的表示方法之一。
它通常用于将有限数量的元素逐个列出，并用逗号或其他符号进行分隔。
例如，我们可以使用逐个列举法表示自然数集合{1，2，3，4，5}，其中每个元素都被列出并用逗号分隔。
二、横线表示法横线表示法是一种常见的列举法，尤其适用于表示具有一定规律的元素集合。
它使用横线将元素进行连接，以表示它们之间的关系或规律。
例如，我们可以使用横线表示法表示偶数集合{2，4，6，8，...}，其中省略号表示元素的规律性延续。
三、集合表示法集合表示法是一种常用的数学表示方法，用于表示集合的元素和特征。
它使用大括号包围元素，并使用逗号分隔不同的元素。
同时，还可以使用条件句描述集合中元素的特征。
例如，我们可以使用集合表示法表示正整数集合{x | x > 0}，其中x表示正整数，并使用竖线与条件句相连。
四、表格表示法表格表示法是一种清晰而整齐的列举方式，常用于展示具有多个属性或特征的元素集合。
它使用表格来呈现元素以及与之相关的特征，每一行表示一个元素，每一列表示一个属性。
例如，我们可以使用表格表示法列举一个学生名单，包括学生的姓名、年龄、性别等属性。
五、图形表示法图形表示法是一种直观而生动的列举方式，常用于呈现具有空间关系的元素集合。
它通过图形或图表的形式展示元素之间的关系或特征。
例如，我们可以使用图形表示法列举一个城市的地标，标示出每个地标在地图上的位置。
六、数列表示法数列表示法用于表示具有一定规律的数值序列，它以一个或多个初始项开始，并使用递推关系确定后续的项。
数列表示法可以使用通项公式或递归公式来描述元素之间的关系。
例如，我们可以使用数列表示法表示斐波那契数列{xx | xx = xx−1 + xx−2，x0 = 0，x1 = 1}，其中xx表示斐波那契数列的第x个元素。
人教版九年级数学 25.2 用列举法求概率(学习、上课课件)
班级恰好都抽到种花的概率是( D )
A.13
B.23
C.16
D.19
感悟新知
知2－练
2-2.[中考·衢州] 飞往成都每天有2趟航班.小赵和小黄同一 天从衢州飞往成都，如果他们可以选择其中任一航班， 1 则他们选择同一航班的概率等于___2___ .
感悟新知
知2－练
例3 [中考·吉林] 2023 年6 月4 日，神舟十五号载人飞船返 回舱成功着陆，某校为弘扬爱国主义精神，举办以航 天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定， 现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着费俊龙、 邓清明、张陆三位航天员的姓名，依次记作A，B，C， 卡片除正面姓名不同外，其余均相同.
感悟新知
知2－练
三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一 张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后 乙选手再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或 列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是 同一位航天员的概率.
感悟新知
知2－练
解题秘方：紧扣放回两次操作相同，不放回两次操 作不相同，反映在表格中的实质就是舍不舍去表格 中一条对角线上的所有结果来求概率.
第二十五章 概率初步
25.2 用列举法求概率
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
枚举法(直接列举法) 列表法 画树状图法
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 枚举法（直接列举法）
知1－讲
1.定义 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个， 且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过
感悟新知
知2－讲
特别提醒 1.列表法适用于求两步试验的概率，利用表格的行和列，
数学列举法的正确格式
数学列举法的正确格式
数学列举法（Listing Method）通常用于列出一组具有某些共同特征的元素。
下面是数学列举法的正确格式：
{元素1, 元素2, 元素3, ..., 元素n}
其中，元素1到元素n表示要列出的元素，用逗号隔开，而整个集合用大括号括起来。
例如，下面是一个使用数学列举法列出偶数的集合：
{2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}
这个集合包含所有偶数，可以用数学列举法来表示。
总结：
1.首先明确问题：确定需要列举的对象或情况。
2.列出所有可能的情况：尽可能地列出所有情况，确保没有
遗漏。
3.确认列出的情况是否满足问题的限制条件：检查列出的情
况是否符合问题的要求和条件。
4.计算得出答案：根据问题的要求，从列出的情况中找出符
合条件的答案。
5.检查答案的正确性：再次检查答案是否符合问题的要求和
条件。
6.在列出所有可能的情况时，可以使用表格、图表、树形结
构等方式来帮助组织思路。
在检查答案的正确性时，可以使用反证法、归纳法等方式来证明答案的正确性。
高职高考数学 集合与集合的表示方法
14.绝对值不大于 3 的实数的全体构成的集合 {x||x|≤3,x∈R}.
15.根据集合中元素的互异性可得：数集{x,x2-2}中的 x 取值范围
第一章 集合与逻辑用语
【考试内容】
1.集合及其运算.
2.数理逻辑用语.
【考纲要求】
1.理解集合、子集、真子集、补集、交集、并集的概念.
了解空集和全集的意义.理解属于包含、相等关系的意义.理
解有关的术语和符号.
2.掌握交集、并集和补集等运算.
3.理解充要条件的含义.
【知识结构】
1.1 集合与集合的表示方法
A.本班性格开朗的同学全体
B.与0接近的实数的全体
C.本校数学科学得好的同学全体
D.大于2小于20的偶数的全体
(
)
【点评】 根据集合对象(元素)的含义:A、B、C中的“性
格开朗”、“接近”、“学得好”没有绝对标准,模糊,对象
确定不了归属,故A、B、C不能构成集合,而D能确定元素的
归属,故答案为D.
【例2】 用∈,∉,=,≠符号填空:
B.{3,5,6}
C.{4,5,7}
D.{3,5,7}
【答案】D
4.不大于2的非负整数的集合
(
A.{1,2}
B.{x|x≤2}
C.{x|0≤x≤2}
D.{0,1,2}
【答案】D
)
5.满足方程:x+y=5,x∈N+,y∈N+的点的集合
(
)
A.{1,4,2,3}
B.{(1,4),(2,3),(4,1),(3,2)}
1.大于0.9并且小于4.9的自然数的集合.
2.15的正因数的集合.
3.绝对值等于2的整数的集合.
集合的表示方法
3
例题讲解
例5．选择适当方法用符号表示下列用自然语言说明的集合． （1）平面E上以点A为圆心，半径为5的圆上所有点的集合（这里平面E指 该平面上所有点组成的集合）； （2）由方程x2+y2=100的所有整数解组（x,y）构成的集合S．
答：
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3
归纳探索
区间：数学里最常用的一类集合叫区间． 设a，b是两个实数，且a<b. 所有大于a并且小于b的实数组成的集合叫做
3
归纳探索
问题8：表示一个集合，就是把它有哪些元素交代清楚．根据以上例题，能不能 说说怎样能够交代清楚一个集合中的元素．
列举法：把集合中的元素一一列举出来，这叫做列举法．数学里用列举法表示 集合，常用的格式是在一个大括号里写出每个元素的名字，相邻的名字用逗号 隔开． 例如：小于10的正偶数组成的集合，用列举法可以表示为{2,4,6,8}或{8,2,6,4}
5
学以致用
掌握了集合与元素的关系，试着回答这节课最初提出的问题吧？ 思考：下面三句话里的“是”各自的含义是什么? ①关羽千里走单骑的坐骑是赤兔马。 ②赤兔马是红马。 ③红马是马。
(a, +) {x | x a}
[a, +) {x | x a}
(,b) {x | x b}
(,b] {x | x b}
3
例题讲解
例6．用区间表示集合．
答：
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4 课堂练习
4
课堂练习
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4
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4
课Байду номын сангаас练习
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一个开区间，记作（a,b）．(a,b) {x | a x b}
高中数学必修一第一章集合知识点总结
高中数学必修一第一章集合一、集合的概念1、集合的含义：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。
注意：在集合中，通常用小写字母表示点（元素），用大写字母表示点（元素）的集合，而在几何中，通常用大写字母表示点（元素），用小写字母表示点的集合，应注意区别。
2、空集的含义：不含任何元素的集合叫做空集，记为Ø。
3、集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。
（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，这叫集合元素的确定性。
（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素，这叫集合元素的互异性。
集合中的元素互不相同。
例如：集合A={1，a}，则a不能等于1。
（3）集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样，这叫集合元素的无序性。
例{0，1，2}有其它{0，2，1}、{1，0，2}、{1，2，0}、{2，0，1}、{2，1，0}等共六种表示方法。
4、元素与集合之间只能用“∈”或“∉”符号连接。
5、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合。
（2）无限集：含有无限个元素的集合。
（3）空集：不含任何元素的集合。
6、常见的特殊集合：；（1）非负整数集（即自然数集）N（包括零）；（2）正整数集N*或N+（3）整数集Z（包括负整数、零和正整数）；（4）实数集R（包括所有有理数和无理数）；（5）有理数集Q（包括整数集Z和分数集→正负有限小数或无限循环小数）；（6）复数集C，虚数可以指不实的数字或并非表明具体数量的数字。
在数学中，虚数就是形如a+b*i 的数，其中a，b是任意实数，且b≠0，i²=-1。
二、集合的表示方式1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，然后用一个花括号全部括上。
2020新教材：第一章 1.1 集合的概念 第2课时 集合的表示
④若a－b∈[0]，则整数a，b属于同一“类”.
其中，正确结论的个数是
A.1
B.2
√C.3
D.4
素养 评析
(1)命题者以考试说明中的某一知识点为依托，自行定义新概念、新公式、新运算 和新法则，做题者应准确理解应用此定义，在新的情况下完成某种推理证明或指 定要求. (2)对新定义的理解，是获得数学概念和规则的基础，突出培养学生数学抽象的核 心素养.
核心素养之数学抽象
HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE CHOU XIANG
新定义的集合
典例 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]
＝ 5n＋k|n∈Z，k＝0,1,2,3,4，给出如下四个结论： ①2 016∈[1]；
②－3∈[3]；
③若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]；
跟踪训练1 用列举法表示下列集合. (1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
解 满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}.
(2)由1～20的所有素数组成的集合.
解 设由1～20的所有素数组成的集合为C， 那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.
题型二 用描述法表示集合
例2 试用描述法表示下列集合. (1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合； 解 设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为 A＝{x∈R|x2－2＝0}. (2)由大于10小于20的所有整数组成的集合. 解 设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10<x<20.故用描述法表示为B ＝{x∈Z|10<x<20}.
1.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为
列举法描述法集合的表示方法
列举法描述法集合的表示方法
一。
集合是数学中一个非常重要的概念，它就像是一个装着各种元素的“大口袋”。
咱们先来说说列举法。
1.1 列举法那可真是简单直接，一目了然。
比如说一个集合里有数字 1、2、3，那就直接写成{1, 2, 3}，清清楚楚，明明白白。
就像咱把兜里的东西一股脑儿倒出来给人看，一点儿不藏着掖着。
1.2 再比如集合里有字母 a、b、c，那就是{a, b, c}。
这种方法简单粗暴，谁都能看懂。
二。
接下来是描述法。
2.1 描述法呢，就像是给集合画了一幅“画像”。
比如说{x x 是大于 5 的整数}，这就告诉咱，这个集合里装的都是大于 5 的整数。
2.2 再比如{y y = 2x + 1，x 是自然数}，这就像是给了个“配方”，按照这个“配方”能找到集合里的元素。
2.3 描述法能更准确地表达集合的特征，让咱一下子就明白这个集合里的元素是咋来的。
三。
这两种表示方法各有各的妙处。
3.1 列举法在元素比较少，而且容易写清楚的时候，那是相当好用，一眼就能看明白。
3.2 描述法在元素比较多，或者规律比较明显的时候，那就是“大显身手”啦，能把集合的特点说得清清楚楚。
集合的表示方法就像是我们手里的工具，得根据具体情况来选择，用对了才能事半功倍。
不管是列举法还是描述法，都是为了让我们更清楚地理解和处理集合这个数学概念。
就像俗话说的，“不管白猫黑猫，能抓住老鼠的就是好猫”，能把集合表示清楚的方法，就是好方法！。