考研数学三分类模拟题2019年(15)_真题(含答案与解析)-交互

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考研数学三分类模拟题2019年(15)

(总分72, 做题时间90分钟)

一、填空题

1.

______.

SSS_FILL

分值: 1

因为

所以原式

2.

SSS_FILL

分值: 1

答案:0

3.

设f(x)在x=0处存在二阶导数,f(0)=0,f'(0)=a(a≠0),则=______.

SSS_FILL

分值: 1

所以

所以原题=.4.

若二次型f(x

1,x

2

,x

3

)=ax

1

2+4x

2

2+ax

3

2+6x

1

x

2

+2x

2

x

3

是正定的,则a的取值范

围是______.

SSS_FILL

分值: 1

二次型f的矩阵为

因为f正定A的顺序主子式全大于零,即

Δ

1

=a>0

Δ

2

==4a-9>0

Δ

3

=|A|=4a2-10a>0

故f正定.

二次型x T Ax正定≠0,恒有x T Ax>0A的特征值全大于0二次型的正惯性指数p=n A与E合同,即有可逆矩阵C使A=C T C A的顺序主子式全大于0.

二次型x T Ax正定的必要条件:a

ii

>0与|A|>0.

5.

设=5,则=______.

SSS_FILL

分值: 1

答案:10ln3

由所给极限及(3x-1)=0得到

从而(x→0).

故.

6.

x=b,即

设线性方程组A

3×4

有通解k[1,2,-1,1]T+[1,-1,0,2]T,其中k是任意常数,则方程

x=b即

组B

3×3

有一个特解是______.

SSS_FILL

分值: 1

答案:(-3,1,1)T

由观察,方程组(2)比方程组(1)减少了一个未知量.若方程组(2)有解ξ=(a,b,c)T,则η=(0,a,b,c)必是方程组(1)的解,现已知方程组(1)有无穷多解k(1,2,-1,1)T+(1,-1,0,2)T,其中k是任意常数,选择任意常数k,使(1)的解的第一个分量为0,即选k=-1,得(1)的一个特解为(0,-3,1,1)T,则向量(-3,1,1)T满足方程组(2),是方程组(2)的一个特解.

二、选择题

1.

设A是n阶矩阵,下列命题错误的是______.

• A.若A2=E,则-1一定是矩阵A的特征值

• B.若r(E+A)<n,则-1一定是矩阵A的特征值

• C.若矩阵A的各行元素之和为-1,则-1一定是矩阵A的特征值

• D.若A是正交矩阵,且A的特征值之积小于零,则-1一定是A的特征值SSS_SIMPLE_SIN

A B C D

分值: 1

答案:A

若r(E+A)<n,则|E+A|=0,于是-1为A的特征值;

若A的每行元素之和为-1,则根据特征值特征向量的定义,-1为A 的特征值;若A是正交矩阵,则A T A=E,令AX=λX(其中X≠0),则X T A T=λX T,于是X T A T AX=λ2X T X,即(λ2-1)X T X=0,而X T X>0,故λ2=1,再由特征值之积为负得-1为A的特征值,选A.

2.

若常数p,q,r,满足p≤q≤r,且使得广义积分收敛,则______ •**+q<1.

•**+r>1.

•**+q<1,q+r>1.

**<1,r>1.

SSS_SIMPLE_SIN

A B C D

分值: 1

答案:D

min{p,q,r}=p,当x→0+时,由于x p+x q+x r

所以,当min{p,q,r}=p<1时,收敛.

max{p,q,r)=r,当x→+∞时,由于x p+x q+x r

所以,当max{p,q,r)=r>1时,收敛.

综上,当min{p,q,r)=p<1,且max{p,q,r}=r>1时,收敛.3.

设总体X~N(0,σ2)(σ2已知),X

1,…,X

n

是取自总体X的简单随机样本,

S2为样本方差,则下列正确的是______ A.

B.

C.

D.

SSS_SIMPLE_SIN

A B C D

分值: 1

答案:C

由X~N(0,σ2),有X

i

~N(0,σ2),.选项A不正确,因为

选项B不正确,因为

选项C正确,因为

又与S2独立,则由χ2分布的可加性知

选项D不正确,因为

4.

设f(x)=|x|,g(x)=x2-x,则等式f[g(x)]=g[f(x)]成立时,x的变化范围为______

• A.(-∞,1]∪{0}.

• B.(-∞,0].

• C.[0,+∞).

• D.[1,+∞)∪{0}.

SSS_SIMPLE_SIN

A B C D

分值: 1

答案:D

f[g(x)]=|g(x)|=|x2-x|,

g[f(x)]=f2(x)-f(x)=|x|2-|x|=x2=|x|.

由f[g(x)]=g[f(x)],得|x2-x|=x2-|x|.

当x2≥x,即x≤0或者x≥1时,有x2-x=x2-|x|,即x=|x|x≥0.

综合得x≥1或x=0.

当x2≤x,即1≥x≥0时,x-x2=x2-x x=1或x=0.

综上所述,当x≥1或x=0时,f[g(x)]=g[f(x)].

5.

设f(x)在x=x

0的某邻域内有定义,则“存在等于A”是“f'(x

)存在等

于A”的

• A.充分条件而非必要条件.

• B.必要条件而非充分条件.

• C.充要条件.

• D.既非充分又非必要条件.

SSS_SIMPLE_SIN

A B C D

分值: 1

答案:D

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