考研数学三分类模拟题2019年(15)_真题(含答案与解析)-交互
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考研数学三分类模拟题2019年(15)
(总分72, 做题时间90分钟)
一、填空题
1.
______.
SSS_FILL
分值: 1
因为
所以原式
2.
SSS_FILL
分值: 1
答案:0
3.
设f(x)在x=0处存在二阶导数,f(0)=0,f'(0)=a(a≠0),则=______.
SSS_FILL
分值: 1
而
所以
所以原题=.4.
若二次型f(x
1,x
2
,x
3
)=ax
1
2+4x
2
2+ax
3
2+6x
1
x
2
+2x
2
x
3
是正定的,则a的取值范
围是______.
SSS_FILL
分值: 1
二次型f的矩阵为
因为f正定A的顺序主子式全大于零,即
Δ
1
=a>0
Δ
2
==4a-9>0
Δ
3
=|A|=4a2-10a>0
故f正定.
二次型x T Ax正定≠0,恒有x T Ax>0A的特征值全大于0二次型的正惯性指数p=n A与E合同,即有可逆矩阵C使A=C T C A的顺序主子式全大于0.
二次型x T Ax正定的必要条件:a
ii
>0与|A|>0.
5.
设=5,则=______.
SSS_FILL
分值: 1
答案:10ln3
由所给极限及(3x-1)=0得到
,
从而(x→0).
故.
6.
x=b,即
设线性方程组A
3×4
有通解k[1,2,-1,1]T+[1,-1,0,2]T,其中k是任意常数,则方程
x=b即
组B
3×3
有一个特解是______.
SSS_FILL
分值: 1
答案:(-3,1,1)T
由观察,方程组(2)比方程组(1)减少了一个未知量.若方程组(2)有解ξ=(a,b,c)T,则η=(0,a,b,c)必是方程组(1)的解,现已知方程组(1)有无穷多解k(1,2,-1,1)T+(1,-1,0,2)T,其中k是任意常数,选择任意常数k,使(1)的解的第一个分量为0,即选k=-1,得(1)的一个特解为(0,-3,1,1)T,则向量(-3,1,1)T满足方程组(2),是方程组(2)的一个特解.
二、选择题
1.
设A是n阶矩阵,下列命题错误的是______.
• A.若A2=E,则-1一定是矩阵A的特征值
• B.若r(E+A)<n,则-1一定是矩阵A的特征值
• C.若矩阵A的各行元素之和为-1,则-1一定是矩阵A的特征值
• D.若A是正交矩阵,且A的特征值之积小于零,则-1一定是A的特征值SSS_SIMPLE_SIN
A B C D
分值: 1
答案:A
若r(E+A)<n,则|E+A|=0,于是-1为A的特征值;
若A的每行元素之和为-1,则根据特征值特征向量的定义,-1为A 的特征值;若A是正交矩阵,则A T A=E,令AX=λX(其中X≠0),则X T A T=λX T,于是X T A T AX=λ2X T X,即(λ2-1)X T X=0,而X T X>0,故λ2=1,再由特征值之积为负得-1为A的特征值,选A.
2.
若常数p,q,r,满足p≤q≤r,且使得广义积分收敛,则______ •**+q<1.
•**+r>1.
•**+q<1,q+r>1.
**<1,r>1.
SSS_SIMPLE_SIN
A B C D
分值: 1
答案:D
设
min{p,q,r}=p,当x→0+时,由于x p+x q+x r
所以,当min{p,q,r}=p<1时,收敛.
max{p,q,r)=r,当x→+∞时,由于x p+x q+x r
所以,当max{p,q,r)=r>1时,收敛.
综上,当min{p,q,r)=p<1,且max{p,q,r}=r>1时,收敛.3.
设总体X~N(0,σ2)(σ2已知),X
1,…,X
n
是取自总体X的简单随机样本,
S2为样本方差,则下列正确的是______ A.
B.
C.
D.
SSS_SIMPLE_SIN
A B C D
分值: 1
答案:C
由X~N(0,σ2),有X
i
~N(0,σ2),.选项A不正确,因为
选项B不正确,因为
选项C正确,因为
又与S2独立,则由χ2分布的可加性知
选项D不正确,因为
4.
设f(x)=|x|,g(x)=x2-x,则等式f[g(x)]=g[f(x)]成立时,x的变化范围为______
• A.(-∞,1]∪{0}.
• B.(-∞,0].
• C.[0,+∞).
• D.[1,+∞)∪{0}.
SSS_SIMPLE_SIN
A B C D
分值: 1
答案:D
f[g(x)]=|g(x)|=|x2-x|,
g[f(x)]=f2(x)-f(x)=|x|2-|x|=x2=|x|.
由f[g(x)]=g[f(x)],得|x2-x|=x2-|x|.
当x2≥x,即x≤0或者x≥1时,有x2-x=x2-|x|,即x=|x|x≥0.
综合得x≥1或x=0.
当x2≤x,即1≥x≥0时,x-x2=x2-x x=1或x=0.
综上所述,当x≥1或x=0时,f[g(x)]=g[f(x)].
5.
设f(x)在x=x
0的某邻域内有定义,则“存在等于A”是“f'(x
)存在等
于A”的
• A.充分条件而非必要条件.
• B.必要条件而非充分条件.
• C.充要条件.
• D.既非充分又非必要条件.
SSS_SIMPLE_SIN
A B C D
分值: 1
答案:D