高考数学一轮复习全套课时作业2-4二次函数

2.4二次函数

一、单项选择题

1．若函数y ＝(x ＋4)2在某区间上是减函数，则这区间可以是( )

A ．[－4，0]

B ．(－∞，0]

C ．(－∞，－5]

D ．(－∞，4]

2．若二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1，则f(x)的表达式为( )

A ．f(x)＝－x 2－x －1

B ．f(x)＝－x 2＋x －1

C ．f(x)＝x 2－x －1

D ．f(x)＝x 2－x ＋1

3．已知m>2，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋1，y 3)都在二次函数y ＝x 2－2x 的图象上，则( )

A ．y 1

B ．y 3

C ．y 1

D ．y 2

4．(2020·杭州学军中学月考)已知函数f(x)＝x 2－2x ＋m ，若f(x 1)＝f(x 2)(x 1≠x 2)，则f ⎝⎛

⎭⎫x 1＋x 22的值为( ) A ．1

B ．2

C ．m －1

D ．m

5．已知函数f(x)＝－x 2＋4x ，x ∈[m ，5]的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是( )

A ．(－∞，－1)

B ．(－1，2]

C ．[－1，2]

D ．[2，5)

6．设abc ＞0，则二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )

7．(2021·郑州质检)若二次函数y ＝x 2＋ax ＋1对于一切x ∈⎝⎛⎦

⎤0，12恒有y ≥0成立，则a 的最小值是( ) A ．0

B ．2

C ．－52

D ．－3

二、填空题与解答题

8．若二次函数y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的值域为[0，＋∞)，则m ＝________．

9．(1)已知函数f(x)＝4x 2＋kx －8在[－1，2]上具有单调性，则实数k 的取值范围是________．

10．已知y ＝(cosx －a)2－1，当cosx ＝－1时，y 取最大值，当cosx ＝a 时，y 取最小值，则a 的取值范围是________．

11．函数f(x)＝x 2＋2x ，若f(x)>a 在区间[1，3]上满足：①恒有解，则a 的取值范围为________； ②恒成立，则a 的取值范围为________．

12．如果函数f(x)＝x 2－ax －a 在区间[0，2]上的最大值为1，那么实数a ＝________．

13．(2020·邯郸一中月考)已知函数f(x)＝x 2－6x ＋5，x ∈[1，a]，并且函数f(x)的最大值为f(a)，则实数a 的取值范围是________．

14．已知函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是________．

15．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .

(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；

(2)在(1)的条件下，f(x)>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求实数k 的取值范围．

16．(2021·山东济宁模拟)设函数f(x)＝⎩

⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c （x ≤0），2（x>0），若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x 的方程f(x)＝x 的解的个数为( )

A ．4

B ．2

C ．1

D ．3

17．二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a>0)，设f(x)＝x 的两个实根为x 1，x 2.

(1)如果b ＝2且|x 2－x 1|＝2，求a 的值；

(2)如果x 1<2－1.

2.4二次函数 参考答案

1．答案 C

2．答案 D

解析 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，由题意得

⎩

⎪⎨⎪⎧c ＝1，a （x ＋1）2＋b （x ＋1）＋c －（ax 2＋bx ＋c ）＝2x. 故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝1，

则f(x)＝x 2－x ＋1.故选D.

3．答案 A

解析 ∵m ＞2，∴m －1＞1.

∴三点均在对称轴的右边．

∵函数在[1，＋∞)上是增函数，

∴y 1＜y 2＜y 3.

4．答案 C

解析 由题意知，函数图象的对称轴为直线x ＝x 1＋x 22＝1，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝f(1)＝m －1.故选C.

5．答案 C

解析 二次函数f(x)＝－x 2＋4x 的图象是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x ＝2时取得，而当x ＝5或－1时，f(x)＝－5，结合图象可知m 的取值范围是[－1，2]．

6．答案 D

解析 若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则对称轴x ＝－b 2a

＞0，函数f(x)的图象与y 轴的交点(0，c)在x 轴下方．故选D.

7．答案 C

解析 设g(x)＝ax ＋x 2＋1，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，则g(x)≥0在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在x ∈⎝⎛⎦

⎤0，12上恒成立．又h(x)＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上为单调递增函数，故h(x)max ＝h ⎝⎛⎭⎫12，所以a ≥－⎝⎛⎭⎫12＋2即a ≥－52

. 8．答案 9或25

解析 y ＝8⎝⎛⎭⎫x －m －1162＋m －7－8·⎝⎛⎭

⎫m －1162

，

∵值域为[0，＋∞)，∴m －7－8·⎝⎛⎭

⎫m －1162

＝0， ∴m ＝9或25.

9．(1)答案 (－∞，－16]∪[8，＋∞)

解析 函数f(x)＝4x 2＋kx －8的对称轴为x ＝－k 8，则－k 8≤－1或－k 8

≥2，解得k ≥8或k ≤－16. (2)答案 (－4，＋∞)

解析 函数y ＝x 2＋bx ＋2b －5的图象是开口向上，以x ＝－b 2

为对称轴的抛物线，所以此函数在⎝⎛⎭⎫－∞，－b 2上单调递减．若此函数在(－∞，2)上不是单调函数，只需－b 2

<2，解得b>－4.所以实数b 的取值范围为(－4，＋∞)．

10．答案 [0，1]

解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤0，－1≤a ≤1，∴0≤a ≤1. 11．答案 ①(－∞，15) ②(－∞，3)

解析 ①f(x)>a 在区间[1，3]上恒有解，等价于aa 在区间[1，3]上恒成立，等价于a

12．答案 1

解析 因为函数f(x)＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点取得．因为

f(0)＝－a ，f(2)＝4－3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥4－3a ，－a ＝1或⎩

⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 13．答案 [5，＋∞)

解析 ∵f(x)的对称轴为x ＝3，要使f(x)在[1，a]上的最大值为f(a)，由图象对称性知a ≥5.

14．答案 [0，4]

解析 因为函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f(x)＝1，其定义域是实数集R ；当m>0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0

15．答案 (1)f(x)＝x 2＋2x ＋1，单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]

(2)(－∞，1)

解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f （－1）＝a －b ＋1＝0，

解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.

所以f(x)＝x 2＋2x ＋1. 由f(x)＝(x ＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．

(2)由题意知，x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，

即k

令g(x)＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，

由g(x)＝⎝⎛⎭⎫x ＋122

＋34

，知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数． 则g(x)min ＝g(－1)＝1.所以k<1.

即k 的取值范围是(－∞，1)．

16．答案 D

解析 由解析式可得f(－4)＝16－4b ＋c ＝f(0)＝c ，解得b ＝4.

由f(－2)＝4－8＋c ＝－2，可求得c ＝2.

∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2（x ≤0），2（x>0）.又f(x)＝x ， 则当x ≤0时，x 2＋4x ＋2＝x ，解得x 1＝－1，x 2＝－2.

当x>0时，x ＝2，综上可知有三解．

17．答案 (1)a ＝－1＋22

(2)证明见解析 解析 (1)当b ＝2时，f(x)＝ax 2＋2x ＋1(a>0)．

方程f(x)＝x 为ax 2＋x ＋1＝0，则Δ＝1－4a>0，则0

. |x 2－x 1|＝2⇒(x 2－x 1)2＝4⇒(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4.则⎝⎛⎭⎫－1a 2－4a

＝4，即4a 2＋4a －1＝0. 解得a ＝－1＋22或a ＝－1－22

(舍去)． (2)证明：∵ax 2＋(b －1)x ＋1＝0(a>0)的两根满足x 1<20.

设g(x)＝ax 2＋(b －1)x ＋1(a>0)，

∴⎩⎪⎨⎪⎧g （2）<0，g （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2（b －1）＋1<0，16a ＋4（b －1）＋1>0⇒⎩

⎨⎧2a>14，b<14. ∴2a －b>0.此时，Δ＝(b －1)2－4a.

又∵函数f(x)的对称轴为x ＝x 0，

∴x 0＝－b 2a

>－1.