初中数学代数模型总结大全
初中数学代数知识点总结
初中数学代数知识点总结代数是研究数、数量、关系、结构与代数方程(组)属性的通用微积分及其性质的数学分支，初等代数一般初等在中学之时讲授。
下面是为大家整理的关于初中数学代数知识点总结，希望对您有所努力!初中数学代数知识点总结单项式与多项式仅含有一些数和字母的乘法(包括乘方)的式子叫做单项式单独的一个数或字母也是单项式单项式中的数字并集自变量叫做这个单项式(或字母因数)的数字系数，简称系数当一个无理数的系数是1或-1时，“1”通常省略不写一个单项式中，每种字母的指数指数的和叫做这个单项式的次数如果在几个单项式中所，不管它们的对数系数是不是相同，只要他们所含的字母相同，并且相同指数字母的指数为也分别相同，那么，这几个单项式就叫做同类单项式，简称同类项所有的常数常数甚至是同类项1、多项式有有限个单项式的代数和组成的式子，叫做多项式多项式里每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项，叫做常数项单项式可以看作是多项式的特例把同类单项式的系数相加相比之下或相减，而单项式中的字母的乘方指数不变在多项式中，所含的不同未知数的个数，称做这个多项式的元数经过合并同类项后，多项式所含单项式的个数，称为这个多项式的项数所含个单项式中最高次项的次数，就称为这个质数的次数2、多项式的值任何一个多项式，就是一个用加、减、乘、乘方运算把已知数和未知数连接起来的.式子3、多项式的恒等对于两个一元多项式f(x)、g(x)来说，当未知数x同取任一个数值a时，如果它们所得的值都是相等的，即f(a)=g(a)，那么，这两个多项式就夏敬观称为是恒等的记为f(x)==g(x)，或简记为f(x)=g(x)性质1如果f(x)==g(x)，那么，对于任一个数值a，都有f(a)=g(a)性质2如果f(x)==g(x)，那么，这两个多项式的个同类项系数就一定对应相等4、一元多项式的根一般地，能够使多项式f(x)的值等于0的未知数x的值，叫做多项式f(x)的根多项式的加、减法，乘法1、多项式的加、减法2、多项式的乘法单项式相乘，用它们系数作为积的系数，对于相同的字母因式，则连同它的市场指数作为积的一个因式3、多项式的乘法多项式与多项式正负，先用一个多项式等每一项乘以另一个多项式的先要各项，再把所得的积相加常用乘法公式公式I平方差公式(a+b)(a-b)=a^2-b^2两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差公式II完全平方公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2两数(或两式)和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍单项式的除法两个单项式相除，就是它们的系数、同底数的可数分别相除，而里边对于那些只在被除式里出现的字母，连同它们纳指的指数一起作为商的因式，对于只在除式里出现的字母，连同它们的志趣相投指数的相反数一起作为商的因式单项式一个多项式罚一个单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
初中数学常见模型及部分解题思路
初中数学常见模型解题思路代 数 篇1、循环小数化分数：(1)设元(2)扩大(3)相减抵消法【等式性质的运用】例：把0.108108108...化为分数.设a =0.108108108...①两边同时乘以1000，得 1000a =108.108108...②②-①，得999a =108，从而得a =108/999=4/37.2、对称式计算技巧：“平方差公式、完全平方公式”【整体思想的结合】 22,,,y x xy y x y x +-+中，知二求二. (加减配合，灵活变形.)如xy y x y x 2)(222++=+ xy y x y x 2)(222-+=+；xy y x xy y x y x 4)(2)(2222-+=-+=-.3、特殊公式21)1(222±+=±xx x x 的变型及应用. 4、立方和/差公式：).)(())((22332233y xy x y x y x y xy x y x y x ++-=-+-+=+；5、等差数列求和的法：首尾相加法. (方法+公式)例：计算1+2+3+4+...+2018. 【规律推导法；等式性质推导】6、等比数列求和法：(1)设元(2)乘等比(3)相减(4)求解.例：计算1+2+4+8+...+2n . 【这两种数列均可用等式性质进行推导】7、mnm n n m mn m n n m +=+-=-11;11的灵活应用. 例：计算(1)3801...3012011216121++++++；(2).171532151328...97167512538314⨯-⨯++⨯-⨯+⨯-⨯ 8、韦达定理求关于两根的代数式的值.(1) 对称式：变和积..1111222222yx y x y x xy y x ++++；；；(x 、y 为一元二次方程的两根) (2) 非对称式：根的定义 降次 变和积(一代入二韦达)9、三大非负数及三大永正数(如|x |+2).10、常用最值式：正数+±2)(y x 等11、换元大法.12、自圆其说加减法与两肋插刀法。
数学代数初中知识点归纳
数学代数初中知识点归纳数学代数是中学数学中的重要学科，它是培养学生逻辑思维和抽象能力的基础，也是学习高中数学的必备知识。
下面将对初中数学代数的重要知识点进行归纳和总结，希望能够帮助学生对代数知识有一个全面的了解与掌握。
一、代数基础知识1.数与代数- 数的分类：自然数、整数、有理数、无理数等。
- 代数表达式：由数、字母和运算符号组成的式子。
- 变量：用字母表示的未知数。
2.代数运算- 加减法：整数与整数相加减，有理数的加减运算法则。
- 乘法：整数的乘法法则、有理数的乘法法则、二项式的乘法。
- 除法：整数的除法法则、有理数的除法法则。
3.方程与不等式- 方程：由字母和常数组成的等式。
- 解方程：求满足等式的未知数的取值。
- 一元一次方程：解方程的基本方法与步骤。
- 不等式：包含不等号的等式。
- 解不等式：确定不等式的解集。
1.基本概念- 一元：方程中只有一个未知数。
- 一次：方程中未知数的最高指数为1。
2.解一元一次方程- 通过加减法或乘除法解方程的基本步骤。
- 方程两边的变形：由等价方程得到。
- 检验解：将解代入方程，验证是否成立。
3.应用- 实际问题的解答：通过列写并解方程来解决实际问题。
- 比例关系的解答：将比例关系转化为方程来解决问题。
三、整式与分式1.整式- 基本概念：只包含整数的代数表达式。
- 简单整式的运算：加减法、乘法。
2.分式- 基本概念：分数形式的代数表达式。
- 分式的化简：约分或通分的方法。
- 分式的运算：加减法、乘除法。
1.基本概念- 一元：方程中只有一个未知数。
- 二次：方程中未知数的最高指数为2。
2.解一元二次方程- 完全平方公式：根据公式求解方程。
- 因式分解法：将方程进行因式分解，再利用零乘积法则解方程。
- 配方法：通过变形配方，将二次项配成完全平方后再解方程。
- 二次方程根的性质：判别式与根的关系。
3.应用- 实际问题的解答：将实际问题转化为一元二次方程来解决。
五、数列1.基本概念- 数列：按照一定规律排列的数的序列。
七年级九大模型知识点
七年级九大模型知识点在学习数学的过程中，九大模型是七年级数学教学的重要内容。
这些模型帮助学生将数学问题转化为生活实际中的情境，从而更好地理解和应用数学知识。
在本文中，我们将探讨七年级九大模型的核心要点。
1. 分组模型分组模型是数学中最基础的模型之一。
当遇到有关分组、分配、组合、选择和排列等问题时，我们可以利用分组模型进行求解。
分组模型帮助学生理解计数原理，培养组织思维和逻辑推理能力。
2. 布尔代数模型布尔代数模型是一种逻辑运算的模型。
它主要用于表示和求解逻辑题和逻辑问题。
在布尔代数模型中，我们利用与、或、非等逻辑运算符对命题进行组合和演算，进而得出问题的解答。
3. 图形模型图形模型是通过图形来研究和解决数学问题的模型。
在七年级数学中，学生需要学习平面图形和立体图形的性质和计算方法。
图形模型培养了学生的几何思维和观察力，帮助他们更好地理解和应用几何知识。
4. 物理模型物理模型是将数学概念用于解决物理问题的模型。
通过建立数学模型，我们可以定量地研究和描述物理现象。
物理模型的应用涵盖了力学、电磁学、光学等多个领域。
通过学习物理模型，学生能够将数学知识应用到实际问题中，深化对数学的理解。
5. 概率模型概率模型是研究随机事件和概率问题的模型。
在日常生活中，我们经常会遇到一些有不确定性的情况，通过概率模型，我们可以量化这些不确定性。
学习概率模型可以帮助学生理解和计算概率，提高决策能力和判断能力。
6. 代数模型代数模型是数学中最常见的模型之一。
代数模型通过符号和字母的代换，将复杂问题简化为符号运算和方程求解。
它广泛应用于方程、不等式、函数等多个数学概念的研究和应用中。
学习代数模型可以帮助学生培养抽象思维能力和运算技巧。
7. 函数模型函数模型是描述变量关系的模型。
在七年级数学中，学生将接触到线性函数、二次函数等基本函数类型。
函数模型帮助学生理解变量之间的关系，学习函数的图像、性质和应用。
函数模型培养了学生的数学建模能力和问题解决能力。
初中数学196个模型
初中数学196个模型篇一：初中数学是学生学习数学知识的重要阶段，也是培养他们数学思维能力和解决问题能力的关键时期。
在初中数学学习中，掌握数学模型是非常重要的，因为它能帮助学生将抽象的数学概念与现实生活中的问题相联系，使数学知识更加具体和实用。
在初中数学学习中，有许多重要的数学模型，下面将介绍其中的一些。
1. 几何模型：几何模型是初中数学中最基本的模型之一，它涉及到点、线、面、体等几何图形的性质和关系。
学生通过学习几何模型，可以掌握几何图形的特点，如直线的特性、平行线的性质、三角形的分类等，并能够运用几何模型解决实际问题。
2. 等式模型：等式模型是初中代数学习中的核心模型之一，它包括一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程等。
学生通过学习等式模型，可以掌握代数运算的基本规律，如加减乘除的计算，以及解方程、解不等式的方法，从而能够解决与等式相关的实际问题。
3. 概率模型：概率模型是初中数学学习中的一个重要模型，它涉及到随机事件的发生概率和统计推断等内容。
学生通过学习概率模型，可以了解事件发生的可能性，并能够运用概率模型解决与概率相关的实际问题，如掷硬币、抽卡片等。
4. 数列模型：数列模型是初中数学学习中的一个重要模型，它涉及到数列的概念、性质和应用等内容。
学生通过学习数列模型，可以了解数列的规律和特点，如等差数列、等比数列等，并能够运用数列模型解决与数列相关的实际问题，如找规律、预测未知数等。
5. 图形模型：图形模型是初中数学学习中的一个重要模型，它涉及到平面图形的性质和关系等内容。
学生通过学习图形模型，可以了解平面图形的分类、性质和变换等，并能够运用图形模型解决与图形相关的实际问题，如面积计算、图形的相似性等。
总之，初中数学学习中有许多重要的数学模型，通过学习这些模型，学生不仅可以增加对数学知识的理解和掌握，还可以培养数学思维能力和解决问题能力，为将来的学习和生活打下坚实的数学基础。
篇二：初中数学是学习和掌握数学基础知识的重要阶段。
(全)初中数学｜23种模型汇总
(全)初中数学｜23种模型汇总1. 数列模型数列模型是一组按照特定规律排列的数字，常见的数列有等差数列和等比数列。
在解题中，需要掌握其通项公式和求和公式。
2. 几何模型几何模型是通过图形来表示问题，需要熟练掌握各种几何图形的性质和定理，如圆、三角形、直线等。
3. 等式模型等式模型是通过等式来表示问题，需要掌握化简等式、配方、移项等技巧。
4. 方程模型方程模型是通过方程来表示问题，需要掌握解方程的方法和技巧，如消元法、相似变形法、套公式法等。
5. 数据分析模型数据分析模型需要对给定的数据进行处理和分析，如找出最大值、最小值、平均值等。
6. 概率模型概率模型需要根据事件发生的可能性来计算概率，需要掌握概率的基本原理和计算方法。
8. 百分数模型百分数模型需要将数值转化为百分数进行计算，需要掌握百分数的计算方法和应用。
9. 推理模型推理模型需要根据已知的信息推出未知的结果，需要掌握逻辑思维和推理技巧，如分类讨论法、反证法等。
10. 图表模型图表模型是通过图表来表示问题，需要掌握读图和解决图表问题的技巧。
11. 统计模型统计模型需要对给定的数据进行统计分析，如频数分布、统计量计算等。
12. 函数模型函数模型需要根据函数的定义和性质来计算未知量，需要掌握函数的基本概念和图像变化规律。
13. 同余模型同余模型需要根据同余关系来计算未知量，需要掌握同余关系的基本性质和计算方法，如模运算等。
14. 最优化模型最优化模型需要找出满足特定条件下的最优解，需要掌握最优化方法和技巧，如最大值最小值法、拉格朗日乘数法等。
16. 排列组合模型排列组合模型需要计算不同元素之间的排列和组合方式，需要掌握排列组合的基本概念和计算方法。
17. 质数模型质数模型需要计算满足质数条件的解，需要掌握质数的基本性质和计算方法，如质因数分解等。
23. 递推模型递推模型需要利用递推公式来计算未知项，需要掌握递推公式的推导方法和递推问题的解法。
初中数学代数知识点总结归纳
初中数学代数知识点总结归纳初中数学代数知识点总结归纳如下：
1. 代数ic:
- 代数ic运算：加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等
- 四则运算和运算顺序
- 代数式和方程
- 代数ic表达式化简和因式分解
- 代数式的值和未知数
- 求解一元一次方程和不等式
- 求解一元二次方程和不等式
- 线性函数和非线性函数
- 函数的图象和性质
2. 整式：
- 整式的加法、减法和乘法
- 整式的乘方和开方
- 整式的因式分解和积分
- 整式的除法和约分
- 多项式的乘法和除法
- 最大公因数和最小公倍数
3. 分式：
- 分式的加法、减法和乘法
- 分式的除法和约分
- 分式方程的解法
- 混合运算和连分数
- 分式的四则运算和运算顺序
4. 几何与代数：
- 直线和平面的方程
- 空间中点和向量的概念
- 平行和垂直线的性质
- 点、线、面的距离
- 矢量的加法、减法和数量积
- 矢量的夹角和正交性
- 向量的线性运算和向量积
以上是初中数学代数的主要知识点，希望对你有帮助。
初一数学模型总结
初一数学模型总结数学模型是数学与实际问题相结合的产物，它是一种用数学方法描述和解决实际问题的工具。
在初一的数学学习中，我们接触到了一些简单的数学模型，通过这些模型的学习，我们能够更好地理解数学知识的应用和实际意义。
一、线性方程模型线性方程模型是初一数学中最基础的模型之一。
线性方程可以表示为y = kx + b的形式，其中k和b分别代表直线的斜率和截距。
我们可以通过这个模型来解决一些实际问题，如解决简单的物品价格计算问题、直线运动问题等。
通过线性方程模型，我们能够更好地理解和应用数学中的代数知识。
二、百分数模型百分数模型是初一数学中另一个重要的模型。
百分数是以百分之一为单位的比例，可以表示为百分数/100。
我们可以通过百分数模型来解决一些实际问题，如计算打折后的价格、计算增长率等。
通过学习百分数模型，我们能够更好地理解和应用数学中的比例和百分数知识。
三、比例模型比例模型是初一数学中常见的模型之一。
比例是两个相等关系的比，可以表示为a:b（a与b成比例）。
我们可以通过比例模型来解决一些实际问题，如计算物体的缩放比例、计算材料的混合比例等。
通过学习比例模型，我们能够更好地理解和应用数学中的比例知识。
四、面积模型面积模型是初一数学中涉及到的模型之一。
面积是表示平面图形大小的物理量，可以通过数学方法计算得到。
我们可以通过面积模型来解决一些实际问题，如计算房间的面积、计算图形的面积等。
通过学习面积模型，我们能够更好地理解和应用数学中的几何知识。
五、概率模型概率模型是初一数学中较为复杂的模型之一。
概率是描述事件发生可能性的数值，可以表示为0到1之间的小数。
我们可以通过概率模型来解决一些实际问题，如计算抽奖的中奖概率、计算事件发生的可能性等。
通过学习概率模型，我们能够更好地理解和应用数学中的概率知识。
通过对初一数学模型的总结，我们可以发现数学模型在实际问题中的应用非常广泛。
通过学习数学模型，我们能够更好地理解和应用数学知识，提高解决问题的能力。
初中数学23种数学模型汇总
初中数学23种数学模型汇总数学模型是数学在实际问题中的应用，它可以帮助我们理解和解决各种问题。
下面是初中数学中常见的23种数学模型汇总：1. 线性函数模型：描述一个变量与另一个变量之间的简单关系，可以用方程 y = kx + b 表示。
2. 平方函数模型：描述一个变量与另一个变量之间的二次关系，可以用方程 y = ax^2 + bx + c 表示。
3.指数函数模型：描述一个变量与另一个变量之间的指数关系，可以用方程y=a*b^x表示。
4. 对数函数模型：描述一个变量与另一个变量之间的对数关系，可以用方程 y = log_b(x) 表示。
5. 正比例函数模型：描述两个变量之间的正比例关系，可以用方程y = kx 表示。
6.反比例函数模型：描述两个变量之间的反比例关系，可以用方程y=k/x表示。
7.几何模型：使用几何图形和关系来解决问题，如平面几何和立体几何问题。
8.统计模型：使用统计方法和数据来分析和解释问题，如平均数、中位数和众数等。
9.概率模型：使用概率理论来解决问题，如计算概率、期望值和方差等。
10.贝叶斯模型：使用贝叶斯定理来评估和预测事件的概率。
11.数列模型：描述一系列数字之间的关系和规律，如等差数列和等比数列等。
12.方程模型：使用代数方程来表示问题中的关系，如一元一次方程、一元二次方程等。
13.不等式模型：使用不等式来表示问题中的关系，如一元一次不等式、一元二次不等式等。
14.三角函数模型：使用三角函数来描述问题中的关系，如正弦函数、余弦函数等。
15.空间几何模型：描述三维空间中物体和其属性的关系，如平行四边形、正方体等。
16.排列组合模型：使用排列和组合方法来计算问题中的可能性，如计算排列数和组合数等。
17.图论模型：使用图论方法来解决问题，如最短路径问题、连通性问题等。
18.线性规划模型：使用线性规划方法来优化问题，如最大化利润、最小化成本等。
19.矩阵模型：使用矩阵和线性代数来解决问题，如线性方程组和矩阵运算等。
数学中考模型知识点总结
数学中考模型知识点总结一、代数运算1. 有理数的加减法有理数的加减法是指正数、负数以及零的加减运算。
在加减法中需要注意同号相加为正，异号相加为差的原则。
2. 有理数的乘除法有理数的乘法是指正数、负数以及零的乘法运算。
在乘法中需要注意同号得正，异号得负的原则。
有理数的除法需要注意除数不为零的原则。
3. 整式的加减法整式的加减法是指多项式的加减运算。
需要注意同类项的加减法则，即同类项相加减后，保留它们的字母部分并进行其系数的加减。
4. 一元一次方程一元一次方程是指形如ax+b=0的方程，其中a、b为已知的数，a≠0。
解一元一次方程需要遵循方程两边同时加减同一个数、同一个式子、同一个隐含式子、同一个式子乘除同一个不为零的数的原则。
5. 一元一次不等式一元一次不等式是指形如ax+b>0的不等式，其中a、b为已知的数，a>0。
解一元一次不等式需要注意同操作同一个式子不改变不等式方向，可乘除同一正数不改变不等式方向，可乘除同一个负数改变不等式方向的原则。
6. 实数的绝对值实数的绝对值是数a与0之间的距离，记作|a|。
实数的绝对值在不同情况下的计算和应用。
7. 分式分式是指有一元一次多项式在除法的过程中所得的有理式，分母不为零。
解分式运算的过程中需要注意分式的通分、约分以及分式的加减乘除法则。
8. 整式的乘除法整式的乘法是指多项式的乘法运算。
整式的乘法需要注意多项式乘法的用字母表示法则。
整式的除法需要注意整式除法的过程及规律。
二、函数1. 函数的概念函数f：x→y是对应关系，它是一个把定义域D上的每一个元素x，按照一个确定的法则对应唯一的一个元素y。
这里x称为自变量，y称为因变量。
2. 函数的性质包括奇偶性、周期性以及有界性等性质。
在图象上，奇函数在原点对称，偶函数关于y轴对称；周期函数呈现出规律的重复性；有界函数在定义域内具有一个上确界和一个下确界。
3. 利用函数求值利用函数进行代入计算以求解函数的值。
代数式化简求值-初中数学常见的模型方法专题
代数式化简求值方法一：先化简，再代入例1：1. 化简求值：()2222252342ab a b ab ab a b --+-，其中3a =-，12b =． 【答案】24ab ，3-．【解析】【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a 与b 的值代入计算即可求出值．【详解】解：()2222252342ab a b ab ab a b --+- 2222252342ab a b ab ab a b =-+-+24ab =，当3a =-，12b =时， 原式()214332⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 变：1－12. 先化简，再求值：()()23223232324xy y x y x y y xy y +---++-，其中2x =，3y =-．【答案】xy 2+y 3，9．【解析】【分析】原式去括号合并得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值．【详解】解：2(xy 2+3y 3−x 2y )−(−2x 2y +y 3+xy 2)−4y 3=2xy 2+6y 3-2x 2y +2x 2y -y 3-xy 2-4y 3=xy 2+y 3，当x =2，y =-3时，原式=()()2322339⨯⨯-+-=．【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 变式1－2 3. 先化简，再求值：()22222333a ab a ab ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭，其中6a =-，23b =. 【答案】232a ab ++,26【解析】【分析】先对整式去括号、合并同类项，再将6a =-，23b =代入求值即可． 【详解】解：()222222223346332323a ab a ab a ab a ab a ab ⎛⎫+-+-=+--+=++ ⎪⎝⎭， 当6a =-，23b =时， 原式()()22636236122263=-+⨯-⨯+=-+= 【点睛】本题考查整式化简求值，解题关键是熟练运用整式的运算法则. 变式1－34. 先化简，再求值：221122y x y x y x xy y ⎛⎫-÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中x ，y =1﹣．【答案】x y x y-+ 【解析】【分析】先将括号里的通分得()()()()x y x y x y x y +---+，再将2222y x xy y -+分母用完全平方式转化，再将除法转化成乘法，进行化简，化简之后将x ，y 的值代入求解即可.【详解】解：原式=()()()()()2·2x y x y x y x y x y y+----+=()()·2x y x y x y x y y -+-++=x y x y -+ ；当x ，y =1时，原式（ . 方法二：赋值求值法赋值求值法是指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这是一种开放型题目，答案不唯一，在赋值时，要注意取值范围． 例25. 请将式子211111x x x -⎛⎫⨯+ ⎪-+⎝⎭化简后，再从0，1，2三个数中选择一个你喜欢且使原式有意义的x 的值代入求值．【答案】2x +；当0x =时，原式值为2或当2x =时，原式值为4【解析】【分析】先计算括号内的分式的加法运算，再计算乘法运算，结合分式有意义的条件确定x 的值，再代入计算即可. 【详解】解：原式(1)(1)11111x x x x x x +-+⎛⎫=⋅+ ⎪-++⎝⎭ 2(1)21x x x x +=+⋅=++． 依题意，只要1x ≠就行，当0x =时，原式=22x +=或当2x =时，原式=24x ．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算是解题的关键. 变式2－16. 先化简，2211(1)x x x-+÷，然后请你自选一个理想的x 值求出原式的值 【答案】x x 1-，x=2时，原式=2. 【解析】【分析】本题可先把分式化简，再将x 的值代入求解；为了使原分式有意义，x 取1，-1和0以外的任何数． 【详解】原式=()2x 1x x (x 1)x 1+⨯+- =x x 1- x=2时，原式=2.【点睛】本题需注意的是：化简后代入的数不能使分母的值为0，变式2－27. 先化简，再求值：2221169x x x x x -⎛⎫-⋅ ⎪--+⎝⎭，其中x 是从1，2，3中选取的一个合适的数． 【答案】3x x -；-2 【解析】【分析】先计算括号内的异分母分式减法，再计算乘法，最后将可选取的x 值代入计算即可． 【详解】解：原式23(1)1(3)3x x x x x x x --=⋅=---， 当x 2=时，原式2223==--． 【点睛】此题考查分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则及确定字母的可取数值是解题的关键．方法三：先变形，再整体代入从整体上认识问题和思考问题是一种重要的思想方法，在数学学习中有很广泛的应用，整体思想主要是将所考察的对象作对一个整体来对待，而这个整体是各要素按一定的思路组合成的有机统一体．不求字母的值，将所求代数式变形成与已知条件有关的式子． ①变换条件后，整体代入求值例318. 已知2410x x -=+，求43228481x x x x +--+的值．【答案】 1.-【解析】【分析】由2410x x -=+可得232214,4,41,x x x x x x x =-=-+=再利用整体代入的方法把原式降到是二次多项式，再整体代入求值即可. 【详解】解： 2410x x -=+，232214,4,41,x x x x x x x ∴=-=-+=∴ 43228481x x x x +--+()()22221484481x x x x x =-+---+ 22221632832481x x x x x x =-++---+24163x x =--+()2443x x =-++43 1.=-+=-【点睛】本题考查的是利用整体思想求解代数式的值，掌握降次的思想方法是解题的关键.变式3－1－19. 已知212a a -+=，则222a a a a+--的值为________． 【答案】1【解析】 【分析】由已知可知21a a -=，则21a a -=-，代入即可求值．【详解】解：212a a -+=，21a a ∴-=，则21a a -=-，2222111a a a a ∴+-=-=-． 故答案为1．【点睛】本题考查了求代数式的值，关键是由已知条件求出21a a -=和21a a -=-，考查了整体代入的思想．变式3－1－2 10. 116a b +=，求312a ab b a ab b-+++的值． 【答案】16【解析】【分析】结合题意，根据分式加法的性质，得6a b ab +=；再根据分式性质计算，即可得到答案． 【详解】∵116a b+= ∴6a b ab+= ∴6a b ab += ∴312a ab b a ab b -+++3=12a b ab a b ab +-++63=612ab ab ab ab -+318ab ab = 16=． 【点睛】本题考查了分式、代数式的知识，解题的关键是熟练掌握分式、代数式的性质，从而完成求解．②变换结论后，整体代入求值例3.211. 如果1m n +=，那么代数式()22221m n m n m mn m +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭的值为（ ）A. -3B. -1C. 1D. 3【答案】D【解析】 【分析】原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【详解】解：原式=()22221m n m n m mn m +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭ 2()()()()m n m n m n m n m m n m m n ⎡⎤+-=+⋅+-⎢⎥--⎣⎦ 3()()3()()m m n m n m n m m n =⋅+-=+- 1m n +=∴原式=3，故选D.【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 变式3－2－112. 已知2xy =-，3x y +=，求整式(310)[5(223)]xy y x xy y x ++-+-的值．【答案】22【解析】【分析】先把整式化简，然后把xy ，x y +分别作为一个整体代入求出整式的值．【详解】(310)[5(223)]xy y x xy y x ++-+-310(5223)xy y x xy y x =++--+3105223xy y x xy y x =++--+5310232x x y y xy xy =++-+-88x y xy =++8()x y xy =++．把2xy =-，3x y +=代入得，原式83(2)24222=⨯+-=-=．【点睛】求整式的值，一般先化简后求值，但当题目中含未知数的部分可以看成一个整体时，要用整体代入法，即把“整体”当成一个新的字母，求关于这个新的字母的代数式的值，这样会使运算更简便．变式3－2－213. 已知12x x -=，则221x x +的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】 【分析】根据完全平方公式得到214x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，据此求解即可． 【详解】解：∵12x x -=， ∴214x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即41222=+-x x ， ∴2216x x +=， 故选：C ．【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是解决此题的关键．③变换条件和结论后，整体代入求值例3.314. 若2250a ab b +-=，则b a a b-的值为______． 【答案】5【解析】 【详解】∵2250a ab b +-=，∴225b a ab -=，∴b a a b -=22b a ab -=5ab ab =5， 故答案为5．【点睛】本题考查了分式化简求值，正确地对所给的式子进行变形是解决此题的关键.变式3－3－115. 已知x 2﹣3x+1＝0，求x 221x +的值． 【答案】7【解析】 【分析】先将等式两边同时除以x ，并整理可得x 1x+=3，然后利用完全平方公式的变形即可求出结论．【详解】解：∵x 2﹣3x+1＝0，∴x ﹣31x +=0， ∴x 1x+=3， ∴x 221x +=（x 1x+）2﹣2＝32﹣2＝7． 【点睛】此题考查的是等式的变形和完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的变形是解题关键．变式3－3－216. 先化简，再求值（1a b -，22b a b -，÷2222+a ab a ab b --，其中a，b 满足a+b，12=0， 【答案】原式=1a b+=2 【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】，1a b -，22b a b -，÷2222+a ab a ab b-- =()()()()2•a b a b b a b a b a a b -+-+-- =1a b+ 由a+b ﹣12=0，得到a+b=12， 则原式=112=2．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 方法四：隐含条件求值法先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值．例417. 若单项式23m a b --与12n b a +是同类项，求代数式()222332m mn n n --++的值． 【答案】0【解析】【分析】先通过3ab -与ba 是同类项这一条件，将m 、n 的值求出，然后再化简求值式后求值．【详解】∵23m a b --与12n b a +是同类项，∴2211m n -=⎧⎨+=⎩， 解得：00m n =⎧⎨=⎩∴()222332m mn n n --++ 223m mn n =+-0300=+⨯-0=．【点睛】本题考查了整式运算、代数式、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握同类项、代数式的性质，从而完成求解．变式4－118. 已知2|2|(1)0a b -++=，求()22225242ab a b ab a b ⎡⎤---⎣⎦的值． 【答案】34【解析】【分析】先通过已知式2|2(1)0a b -++=∣， 求出a 、b 的值，因为绝对值式和平方式都具有非负性，如果两个非负数之和等于0，那么它们均为0，再去括号，合并同类项把原式化简，最后代入求值即可.【详解】解：∵2|2|(1)0a b -++=，又∵|2|0-≥a ，2(1)0b +≥，∴2010a b -=⎧⎨+=⎩，解得：21a b =⎧⎨=-⎩．， ∴()22225242ab a b ab a b ⎡⎤---⎣⎦ 222544ab ab a b =+-2294ab a b =-．当2a =，1b =-时，原式2292(1)42(1)=⨯⨯--⨯⨯-1816=+34=．【点睛】本题考查的是非负数的性质，整式的加减运算，化简求值，掌握去括号，合并同类项是解题的关键.变式4－219.|83|b -互为相反数，则2127ab ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 【答案】37【解析】【分析】直接利用非负数的性质进而得出1﹣3a ＝0，8b ﹣3＝0，求出a ，b 的值，再代入所求代数式中即可求出答案．|83|0b -=，0≥，830b -≥∴130a -=，830b -=， ∴13a =，38b =， ∴222112727827371338ab ⎛⎫ ⎪⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⨯⎝⎭． 故答案为37．【点睛】本题考查了非负数的性质，解题时利用了绝对值和二次根式的非负性，也利用了互为相反数的两个数的和为0这个结论．方法五：利用“无关”求值或说理方法总结要说明一个代数式值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0；若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关． 例520. 有这样一道题：计算2222213823333535x x xy y x xy y ⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值，其中12x =-，2y =．甲同学把“12x =-”错抄成了“12x =”，他的计算结果也是正确的，你知道这是怎么回事吗？【答案】见解析．【分析】原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断． 【详解】解：2222213823333535x x xy y x xy y ⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2222213823333535x x xy y x xy y =--++++ 2y =，结果与x 的取值无关，故甲同学把“12x =-”错抄成了“12x =”，但他计算的结果也是正确的．【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 变式5－121. 已知2231A x xy y =++-，2B x xy =-．（1）若2A B -的值与y 的值无关，求x 的值．（2）若3A mB x --的值与x 的值无关，求y 的值．【答案】（1）x 的值为1-；（2）y 的值为1．【解析】【分析】（1）将A ，B 代入A -2B ，再去括号，再由题意可得10x +=，求解即可； （2）将A ，B 代入A −mB −3x ，再去括号，再由题意可得20m -=，30y my +-=，求解即可；【详解】解：（1）∵A 2231x xy y =++-，B =2x xy -，∴A -2B=（2231x xy y ++-）-2（2x xy -）=2223122x xy y x xy ++--+331xy y =+-()311x y =+-，∵A -2B 的值与y 的值无关，∴10x +=，∴1x =-；∴x 的值为1-；（2）∵A 2231x xy y =++-，B =2x xy -，=（2231x xy y ++-）-m （2x xy -）−3x=222313x xy y mx mxy x ++--+-()()22331m x y my x y =-++-+-∵A −mB −3x 的值与x 的值无关，∴20m -=，30y my +-=，∴2m =，1y =；∴y 的值为1．【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减的运算法则是解题的关键． 变式5－222. 已知多项式2233x mx nx x -++-+值与x 的取值无关，求()3232mn m mn m mn ⎡⎤---+⎣⎦的值．【答案】2.【解析】【分析】对多项式2233x mx nx x -++-+进行变形为(3)(1)3n x m x -+-+，根据多项式的值与x 的取值无关，则令30n -=，10m -=，求出m 、n 的值，然后代入()3232mn m mn m mn ⎡⎤---+⎣⎦进行计算即可.【详解】2233x mx nx x -++-+解：原式(3)(1)3n x m x =-+-+因为与x 的取值无关所以：30n -=3n =10m -=1m =()3232mn m mn m mn ⎡⎤---+⎣⎦32332mn m mn m mn =-+--2323mn m m =--当1m =，3n =时原式23213311=⨯⨯-⨯-6312=--=【点睛】本题主要考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键.方法六：配方法若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果．例623. 已知a 2，b 2，2a ，4b ，5，0，求2a 2，4b ，3的值．【答案】7，【解析】【详解】试题分析：利用交换律凑出完全平方公式，求出a,b 的值，再代入目标整式求值.试题解析：解：因为a 2+b 2+2a -4b +5=0，，，a 2+2a +1，+，b 2-4b +4，=0,即（a +1，2+，b -2，2=0，，a +1=0且b -2=0，，a =-1且b =2，，原式=2×，-1，2+4×2-3=7，变式6－224. 已知2228170x x y y -+++=，求2()x y +的值．【答案】9【解析】【分析】利用配方法将2228170x x y y -+++=变为22(1)(4)0x y -++=，根据非负数的性质得到1,4==-x y ，最后求出答案．【详解】解：∵2228170x x y y -+++=∴22(21)(816)0x x y y -++++=，∴22(1)(4)0x y -++=∴10,40x y -=+=，∴1,4==-x y ，∴22()(14)9x y +=-=．【点睛】本题考查了配方法的应用以及代数式求值，关键在于将已知方程的左侧进行正确的配方．方法七：平方法在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根（即以退为进的策略），但要注意最后结果的符号．例725. 已知7x y +=且12xy =，则当x y <时，11x y 的值等于________． 【答案】112【解析】【分析】利用分式的加减运算法则与完全平方公式把原式化为：222()4x y xy x y +-，再整体代入求值，再利用平方根的含义可得答案.【详解】解：因为7x y +=，12xy =， 所以2222211()y x x y x y xy x y ⎛⎫⎛⎫---== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22222()47412112144x y xy x y +--⨯===， 又因为x y <，所以110x y->， 所以11112x y -=， 故答案为：112． 【点睛】本题考查的是由条件式求解分式的值，掌握变形的方法是解题的关键. 变式7－126. 已知13x x +=，则1x x-的值是________．【答案】【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理求出221x x +的值，再利用完全平方公式即可求出所求式子的值． 【详解】解：由13x x +=，得到219x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2217x x +=， ∴2221125x x x x ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭，∴1x x-=故答案为：【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握完全平方公式的变形是解本题的关键．变式7－227. 若22212,60a b c a b c ++=++=，求ab ac bc ++的值【答案】42【解析】【分析】根据题意先将式子a ＋b ＋c ＝12进行完全平方后展开可得式子2222()144,222a b c a b b ab a c c c +++++=++=结合22260,a b c ++=求出ab ＋ac ＋bc 的值．【详解】根据题意可得：2222()144222a c b ac a b c c b b a +++++=+=+， 将22260a b c ++=代入式子可得2()60144222ab a a b c c bc +++=++=， 则42ab ac bc +=+故答案为42．【点睛】此题考查完全平方公式，解题关键在于结合实际运用完全平方公式． 方法八：特殊值法有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单．例828. 若3230123)x a a x a x a x =+++，则()()220213a a a a +-+的值为【答案】1【解析】【分析】把1x =代入已知计算得到301231)a a a a +++=；把1x =-代入已知计算得到301231)a a a a -+-=+；再利用平方差公式即可求解．【详解】解：由3230123)x a a x a x a x =+++，若令1x =，则301231)a a a a +++=；若令1x =-，则301231)a a a a -+-=+，所以()()220213a a a a +-+ ()()02130213a a a a a a a a =++++--331)1)=31)]=1=．故答案为：1．【点睛】本题考查了代数式求值，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．变式8－129. 已知实数a ，b 满足1a b ⋅=，那么221111a b +++的值为（ ） A. 14 B. 12C. 1D. 2 【答案】C【解析】【分析】把所求分式通分，再把已知条件代入求解．【详解】解：∵•1a b =，∴()2221a b ab ==， ∴22222222112111a b a b a b b a +++=+++++ 2222211a b b a ++=+++1=．故选：C ．【点睛】本题考查了分式的化简求值， 妥题的关键是利用a•b=1，把a•b=1代入通分的式子就可得到，分子分母相等的一个分式，所以可求出答案是1． 方法九：设参法遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可． 例930. 已知234x y z ==，求222xy yz zx x y z ++++的值． 【答案】2629【解析】 【分析】先根据234xy z ==设出(0)234x y z k k ===≠，得到2x k =，3y k =，4z k =，然后代入分式求值即可． 【详解】解：设(0)234x y z k k ===≠， 则2x k =，3y k =，4z k =． ∴222xy yz zx x y z ++++ 22222261284916k k k k k k++=++ 2226262929k k ==． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意，当条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数k ，得出x ，y ，z 与k 的关系，然后再代入待求的分式化简是解题的关键．变式9－131. 若x y a b b z c c a==---，求x y z ++的值． 【答案】0【解析】 【分析】设===---x y z k a b b c c a，则()x k a b =-，()y k b c =-，()z k c a =-，然后计算即可得到答案． 【详解】解：∵x y a b b z c c a ==---， 设===---x y z k a b b c c a， ∴()x k a b =-，()y k b c =-，()z k c a =-，∴()()()x y z k a b k b c k c a ++=-+-+-=ka kb kb kc kc ka -+-+-=0；【点睛】本题考查了比例的性质，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握比例的性质进行解题．变式9－232. 已知0347x y z ==≠，求3x y z y ++的值． 【答案】5【解析】【分析】设已知等式等于k ，表示出x ，y ，z ，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：设347x y z k ===， 则x =3k ，y =4k ，z =7k ， ∴394754x y z k k k y k++++==． 【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出x =3k ，y =4k ，z =7k 是解题关键．方法十：利用根与系数的关系如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值． 直接用根与系数的关系求值例10.133. 阅读材料：设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下关系12b x x a +=-，12c x x a⋅=根据该材料填空： 已知1x ，2x 是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为_____ 【答案】10【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得代数式的值．【详解】解：由题意知，12126,3b x x x x a+=-=-=， 所以()2222121221211212122(6)23103x x x x x x x x x x x x x x +-⋅+--⨯+====⋅⋅. 故答案为：10．变式10－1－134. 已知1x 、2x 是一元二次方程220x x --=的两个根，则1211+x x 的值是（ ） A. 1 B. 12 C. 1- D. 12- 【答案】D【解析】 【分析】根据1x 、2x 是一元二次方程220x x --=的两个根得到12121,2x x x x +==-，再将1211+x x 变形为1212x x x x +，然后代入计算即可． 【详解】解：∵1x 、2x 是一元二次方程220x x --=的两个根，∴12121,2x x x x +==- ∵12121211x xx x x x ++=， ∴121212111122x x x x x x ++===--， 选D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与系数的关系：若方程的两根为1x 、2x ，则1212,b c x x x x a a+=-=，熟记知识点与代数式变形是解题的关键．②构造一元二次方程，利用根与系数的关系求值．例10.235. 已知21a a -=，21b b -=，求a b b a+的值．【答案】-3【解析】【分析】由已知得a ，b 是方程210x x --=的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵21a a -=，21b b -=，即210a a --=，210b b --=， ∴a ，b 是方程210x x --=的两个根，∴1a b +=，1ab =-，∴2222()212(1)31a b a b a b ab b a ab ab ++--⨯-+====--． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练地掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．方程20ax bx c ++=(0a ≠)的两根为12x x 、，则有12b x x a +=-，12c x x a=． 变式10－2－136. 已知2430m m -+=，22310n n -+=，1mn ≠，求值221m n +． 【答案】5或13或10【解析】【分析】通过求解一元二次方程，并结合题意，得到m 和n 的值，再代入计算即可得到答案．【详解】∵2430m m -+=∴()()130m m --=∴1m =或3m =∵22310n n -+=∴()()2110n n --=∴12n =或1n = ∵1mn ≠ ∴当1m =时，12n =；当3m =时，12n =或1n = ∴2215m n +=或13或10． 【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．③根的含义和根与系数的关系结合使用求值例10.337. 已知1x ，2x 是方程2310x x -+=的两根，求2211222584x x x x ++++的值．【答案】34 【解析】【分析】由1x ，2x 是方程2310x x -+=的两根，可得123x x +=，21131x x =-，22231x x =-，再把原式降次为：()12111x x ++，从而可得答案.【详解】解：∵1x ，2x 是方程2310x x -+=的两根∴123x x +=，21131x x =-，22231x x =-∴221122112225846253184x x x x x x x x ++++=-++-++()1211133134x x =++=+=【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，掌握降次的思想是解题的关键.变式10－3－238. 已知α、β是方程210x x --=的两个实根，求5325αβ+的值． 【答案】21 【解析】【分析】由方程的解与根与系数的关系可得：2210,10,+=11,ααββαβαβ--=--==-，再把5325αβ+降次为2255155ααββ++++，再变形，整体代入计算即可得到答案. 【详解】解： α、β是方程210x x --=的两个实根，2210,10,+=11,ααββαβαβ∴--=--==-， 22=+1,=+1,ααββ∴()()2532+5=2+1+5+1αβααββ∴32224255αααββ=++++()22214255ααααββ=+++++226455ααββ=+++ 2255155ααββ=++++()()25251αβαβαβ⎡⎤=+-+++⎣⎦()51251121.=⨯++⨯+=【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，掌握降次的思想是解题的关键.方法十一：利用分式的基本性质求值例1139. 已知3x y =,求222223x xy y x xy y +--+的值.【答案】127【解析】【详解】试题分析：由3x y =可得：3x y =代入式子222223x xy y x xy y +--+中化简即可. 试题解析， ，3xy=, ， x =3y.∴()()()222222222232322312127733y y y y x xy y y x xy y y y y y y+⨯⨯-+-===-+-⨯+ . 例11－140. 先化简，再求值：2222m n m mn n +-+·(m，n)，其中mn，2.【答案】原式=2m nm n+-=5. 【解析】【详解】【试题分析】先将分母进行因式分解，再约分化简，最后代入即可.2222m n m mn n +-+·(m，n)，()22m n m n +-·(m，n)，2m nm n +-. 因为m n ，2，所以m，2n. 所以原式＝42n nn n+-，5. 【试题解析】2222m n m mn n +-+·(m，n)，()22m n m n +-·(m，n)，2m nm n +-. 因为m n ，2，所以m，2n. 所以原式＝42n nn n+-，5. 【方法点睛】本题目是一道分式的化简求值，方法是：先将每个式子进行因式分解，再约分，化简.方法十二：利用消元法求值若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母． 例1241. 如果2a b =，则2222a ab b a b -++= ( ) A.45B. 1C. 35D. 2【答案】C 【解析】【详解】由题意可知，2a b =，因此222222222224233455a ab b b b b b a b b b b -+-+===++，故选C 变式12－142. 若43a b =，则a bb-的值是（ ） A.13 B.23C. 1D.43【答案】A 【解析】【分析】由已知得到43a b =，再代入原式计算即可求解． 【详解】解：∵43a b =， ∴43a b =， ∴4133b ba b b b --==， 故选：A ．【点睛】本题考查了比例的性质，由已知得到43a b =再代入计算是解题的关键． 变式12－243. 已知2a c b d ==，求a b a +和c d c d -+值．【答案】32，13【解析】【分析】由2a cb d==可得2a b =，2c d =，再代入求值即可. 【详解】解：∵2a cb d ==，∴2a b =，2cd =．∴2322a b b b a b ++==， 2123c d d d c d d d --==++． 【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握利用含有一个字母的代数式表示另外一个字母是解题的关键.变式12－344. 若29a b c +=，25a b c -=，则22222223749a b c a b c ++=-+________． 【答案】2 【解析】【分析】结合题意，通过求解二元一次方程组，分别的a 、b 和c 的关系式；再通过分式性质运算，即可得到答案．【详解】∵2925a b ca b c+=⎧⎨-=⎩，∴7a cb c=⎧⎨=⎩∴22222223749a b ca b c++=-+2222222(7)37(7)49c c cc c c++-+22108254cc==故答案为：2．【点睛】本题考查了二元一次方程组、分式运算、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、合并同类项、分式、代数式的性质，从而完成求解．方法十三：利用倒数法求值倒数法是指将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值的一种方法．例1345. 已知21 13 xx=+，求241xx+的值．【答案】1 7【解析】【分析】由21 13 xx=+可得0x≠，再取倒数可得：213xx+=，即13xx+=，再求解原代数式的倒数242221112,xx xx x x+⎛⎫=+=+-⎪⎝⎭从而可得答案.【详解】解：由21 13 xx=+知0x≠，所以213xx+=，即13xx+=．所以2422221112327xx xx x x+⎛⎫=+=+-=-=⎪⎝⎭．故241xx+的值为17．【点睛】本题考查的是利用倒数法求解分式的值，掌握222112x xx x⎛⎫+=+-⎪⎝⎭是解题的关键. 变式13－146. 已知21315x x x =-+，求2421x x x ++的值． 【答案】163【解析】【分析】已知等式分子分母除以x 变形求出1x x +的值，两边平方求出221x x+的值，原式分子分母除以2x 变形后，将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】解：由21315x x x =-+知0x ≠，∴2315x x x -+=，即135x x -+=． ∴18x x+=． ∴2164x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴22162x x +=， ∴4222211162163x x x x x ++=++=+=．∴2421163x x x =++． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．变式13－247. 若22237y y ++的值为14，则21461y y +-的值为( )．A. 1B. －1C. -17 D. 15【答案】A 【解析】【详解】解:设234x x y += ，∵22347x x ++ 的值为14, ∴2174y =+,计算得出y=1, ∴2111681121x x ==+-⨯-.所以A 选项是正确的.点睛：本题主要考查了计算分式的值，设234x x y +=是解题关键，注意整体代入思想的运用.变式13－348. 已知14x x -=，则24251x x x =-+_______．【答案】113． 【解析】【分析】计算21()16x x-=，从而得到221+18x x =，然后先求原式的倒数，从而求解． 【详解】解：∵14x x-= ∴21()16x x-=221-2+16x x = ∴221+18x x = 42222551118513x x x x x --+=-==+∴24215113x x x =-+ 故答案为：113． 【点睛】本题考查倒数，完全平方公式的运用及分式的化简求值，掌握完全平方公式的结构以及分式的化简计算是解题关键．总结：事实上，以上这些方法并不是绝对孤立不变的，有时需要多种方法一起使用才能灵活解决问题，解题时，要仔细观测，深入分析，以便选择合理的解题方法，做到简洁、快速解题．。
初三上册数学模型归纳总结
初三上册数学模型归纳总结数学模型在初中数学教学中起着重要的作用，它能够帮助学生将抽象的数学概念与实际问题相结合，从而更好地理解和应用数学知识。
在这篇文章中，我将对初三上册所学的数学模型进行归纳总结，以期帮助同学们更好地掌握和运用数学模型。
一、函数模型函数模型是初中数学中最常见的数学模型之一。
其基本思想是通过建立输入与输出之间的映射关系，描述出实际问题中各个变量之间的关系。
在初三上册，我们学习了一元一次函数、一元二次函数等。
1. 一元一次函数模型一元一次函数模型以"y = kx + b"的形式进行描述，其中k和b分别是常数。
有时候，我们会遇到一些实际问题，需要通过一元一次函数模型来解决。
比如在物理学中，我们可以通过建立运动物体位移距离与时间之间的一元一次函数模型，来描述运动物体的运动规律。
2. 一元二次函数模型一元二次函数模型以"y = ax^2 + bx + c"的形式进行描述，其中a、b、c是常数且a不等于0。
这种函数模型经常用于描述与抛体运动相关的问题。
例如，我们可以通过建立抛物线模型来分析投掷物体的轨迹、高度等。
二、图形模型图形模型是基于数学图形的建模方法。
通过观察、分析和描述数学图形的特点，我们可以得到一些数学模型，进而解决实际问题。
在初三上册，我们学习了二维图形和三维图形的相关知识。
1. 二维图形模型二维图形模型包括各种平面图形，如三角形、矩形、圆等。
我们可以通过观察这些图形的性质和特点，建立相应的数学模型，从而解决与二维图形相关的问题。
例如，在计算面积和周长时，我们可以利用矩形、三角形等形状的模型进行计算。
2. 三维图形模型三维图形模型主要涉及到立体图形，如长方体、圆柱体、球体等。
通过观察这些图形的性质，我们可以建立相应的数学模型，解决与三维图形相关的问题。
例如，在计算体积和表面积时，我们可以利用长方体、球体等形状的模型进行计算。
三、统计模型统计模型是通过收集和分析大量数据，建立数学模型来描述数据的分布、关系等。
初中数学16种模型必背
初中数学16种模型必背初中数学学习中，积累掌握各种数学模型是非常重要的。
下面将介绍16种常见的数学模型，希望能为同学们提供一定的指导和帮助。
1.等式思想模型：如解方程、组合等式的题目，需要将问题转化为等式，并运用代数法解决。
2.比重模型：涉及到相对比较、平均数、集合比较的题目，要掌握将问题转化为比重关系的方法。
3.图形关系模型：如几何图形的面积、周长、体积等问题，需要通过图形关系进行解答。
4.倍数关系模型：涉及到最小公倍数、最大公约数等题目，需要掌握倍数关系的应用。
5.增量模型：如等差数列、等比数列的题目，需要观察数值之间的增量规律，并进行计算。
6.比例模型：涉及到长度比、面积比、速度比等题目，需要掌握比例关系的应用。
7.排列组合模型：如从一组元素中选择若干个进行排列、组合的题目，需要利用排列组合的原理进行解答。
8.图表模型：运用柱状图、折线图、饼图等图表进行数据分析、比较和计算。
9.分数模型：涉及到分数的加减乘除、比较大小等问题，需要熟练掌握分数的运算和应用。
10.百分数模型：涉及到百分数的比较、计算和应用，需要掌握百分数在实际生活中的应用。
11.方程模型：如利用二次方程解决问题的题目，需要将实际问题转化为方程，并进行求解。
12.三角形模型：涉及到三角形的边长、角度、面积等问题，需要熟悉三角形的性质和应用。
13.函数模型：如利用函数关系解决问题的题目，需要了解函数的概念、性质和应用。
14.平方根模型：涉及到平方根的计算和应用，需要熟练掌握平方根的性质和运算。
15.几何变换模型：如平移、旋转、镜像等几何变换的题目，需要了解几何变换的规律和应用。
16.几何证明模型：涉及到几何定理的证明题目，需要运用几何定理和逻辑推理进行证明。
以上就是初中数学学习中常见的16种数学模型。
通过熟练掌握这些模型，同学们能更好地解决数学问题，并在实际生活中应用数学知识。
希望同学们能够在学习中不断积累，并灵活运用这些数学模型，提高数学解题的能力。
七年级下册数学模型笔记
以下是一份七年级下册数学模型笔记，供您参考：一、代数模型1. 线性方程组线性方程组是七年级下册数学学习的重点之一。
在解决实际问题时，通常需要将问题转化为线性方程组的形式，然后通过解方程组得到问题的解。
线性方程组的一般形式为Ax=b，其中 A 是系数矩阵，x 是未知数矩阵，b 是常数矩阵。
解线性方程组的方法有多种，包括高斯消元法、逆矩阵法等。
2. 一次函数一次函数是七年级下册数学的另一个重点。
一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k 和 b 是常数，x 是自变量，y 是因变量。
通过分析函数的图像和性质，可以解决许多实际问题，例如最优化问题、不等式问题等。
3. 数据的表示和分析在七年级下册数学中，数据的表示和分析也是一个重要的内容。
数据的表示方法包括统计图表、直方图等，数据分析则涉及到平均数、中位数、众数、方差等统计指标的计算和应用。
这些方法在日常生活和工作中也经常用到。
二、几何模型1. 平行线与三角形平行线和三角形是七年级下册几何学习的两个重要概念。
平行线的性质定理和判定定理是解决几何问题的关键，而三角形则是一个基本的几何图形，涉及到许多重要的几何概念和定理。
2. 四边形与多边形四边形和多边形是初中几何中另一个重要的内容。
四边形是由两组平行线组成的封闭图形，而多边形则是由一组直线段连接的封闭图形。
这些图形的性质和面积计算方法也是初中几何学习的重点。
三、概率与统计模型1. 概率初步知识概率初步知识是七年级下册数学中的一个重要内容。
概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P 表示。
通过学习概率的知识，可以更好地理解随机现象的本质和规律。
2. 统计初步知识统计初步知识也是七年级下册数学中的一个重要内容。
统计是通过收集、整理、分析数据来认识客观现象的一种方法。
初中阶段学习的统计初步知识主要包括数据的收集和整理、平均数、中位数、众数、方差等统计指标的计算和应用。
这些知识可以帮助我们更好地理解和分析实际问题。
初中代数中的几种常见数学模型
（ １） 求ｙ与ｘ的函数关系式。
（ ２） 若该班每年需要纯净水３８０
桶 ， 且ａ为１２０时 ， 请 你 根 据 提 供 的 信 息分析一下； 该班学生集体改饮桶装 纯净水与个人买饮料， 哪一种花钱更 少？
（ ３） 当ａ至少为多少时， 该班学生 集体改饮桶装纯净水一定合算？ 从计 算结果看， 你有什么感想？
ｘ＝４．２（ 元）
作者单位
该班学生集体饮用桶装纯净水
泸西县中枢镇中枢小学
的每年总费用为：
◇责任编辑 高 戈 李 酋◇
２８ 云南教育·中学教师 ２００７·６
就 能 通 过 运 用 函 数 的 知 识 、方 法 来 解
决有关的问题。
例４“ 龟兔赛跑”讲述了这样的
故事： 领先的兔子看着缓慢爬行的乌
龟， 骄傲起来， 睡了一觉， 当它醒来
时， 发现乌龟快到终点了， 于是急忙
追赶， 但为时已晚， 乌龟还是先到达
了 终 点 … … 。用 Ｓ１、Ｓ２分 别 表 示 乌 龟 和 兔子所行路程， ｔ为时间， 则下列图象
模型， 如： 方程模型、不等式（ 组） 模型 们可以建立数学模型为：
购买备选奖品中应用， 则可以选择两种
等， 那么建模的方法和步骤是怎样的 呢？ 我认为应该分为以下几个步骤： ①调研； ②简化假设； ③建立模型； ④ 模型求解； ⑤模型的分析、检验、预 测； ⑥修正； ⑦运用。
第一种模型： 方程模型， 方程是从 小学到中学的一个过渡， 然而在中学 教学中它是一个重要的数学模型， 如 用方程的思想解决生活中的存贷问 题、盈亏问题、工程问题、平均增长率问 题、人员调配等问题。方程模型是把我 们生活实际中的简单问题联系起来的 一种基本模型， 它也是中考必考和常 考模型。我们往往给予学生的是把模 型建立起来， 让学生去解它， 而对于如 何建立是学生的一个难点， 也是一个 重点。如： Ｓ＝ｖ（ｔ ｓ表示路程、ｖ表示速度、ｔ 表示行驶时间） ， 这是一个从物体的匀 速运动中建立起来的数学模型。学生 到现在建立Ｓ＝ｖｔ模型是比较容易， 但对 于一些存贷、增长率等问题的模型就 是他们最大的难点和重点。
中考数学常见模型
中考数学常见模型中考数学常见模型是中等难度的数学问题，涵盖了数学的各个方面，包括代数、几何、概率等等。
下面将列举一些常见的数学模型，以帮助同学们更好地准备中考数学。
一、代数模型：1.一次函数模型：y=kx+b，其中k和b为常数，表示一条直线的方程。
常用于描述速度、距离等线性关系。
2.二次函数模型：y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数。
常用于描述抛物线的形状，如物体自由落体的高度和时间关系。
3.百分比模型：常用于计算百分比，如增长率、折扣率等。
4.平均数模型：用于求平均数，如求一组数的算术平均数、几何平均数等。
5.方程与不等式模型：常用于解决方程和不等式问题，如线性方程、二次方程、绝对值和分数方程等。
二、几何模型：1.面积和体积模型：常用于求解平面图形和立体图形的面积和体积，如矩形、三角形、圆形、圆柱体、球体等。
2.相似模型：用于表示两个形状相似的几何图形之间的比例关系。
3.三角模型：用于解决三角形相关问题，如正弦定理、余弦定理、面积公式等。
4.坐标模型：用于求解平面上的坐标问题，如平面直角坐标系和极坐标系等。
三、概率模型：1.事件模型：用于描述事件的概率，如事件的可能性、互斥事件、相对频率等概念。
2.随机模型：用于分析随机事件的发生概率和期望值，如抛硬币、掷骰子等。
3.条件概率模型：用于计算在已知某些条件下的事件发生概率，如加法原理、乘法原理等。
四、函数模型：1.函数关系模型：用于描述函数之间的关系，如函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等。
2.复合函数模型：用于把多个函数组合成一个新函数，如复合函数的求导、求导法则等。
3.反函数模型：求一个函数的反函数，如对数函数和指数函数的互为反函数等。
以上只是一部分常见的数学模型，同学们在备考中还需根据自己的实际情况进行重点复习和应用。
在解题过程中，要善于分析题意，理解问题，找到合适的数学模型进行求解。
并且要注意解题的思路和方法，培养逻辑思维能力，灵活运用各种数学知识和模型，提高解题的准确性和效率。
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初中数学代数模型总结大全
代数模型是将数学概念应用于实际问题中的一种方法，是数学解决实际问题的重要手段。
初中数学中，代数模型是一个非常重要的知识点，通过代数模型可以将实际问题转化为数学问题，从而更好地解决问题。
本文将总结初中数学代数模型的相关知识点。
一、代数式的应用
代数式是代数模型的基石，它是由字母和数字组成的一种式子，可以代表一些具体的数值。
在实际问题中，代数式可以帮助我们描述一系列数学关系。
例如，可以通过代数式描述物体的运动状态，解决面积和周长的问题等等。
从代数式的应用到实际问题中，我们需要了解代数式的一些性质和运算法则，如加、减、乘、除等，以及各种常见代数式的含义和应用。
在学习过程中多加练习，可以掌握代数式的运用能力。
二、一元一次方程式的应用
一元一次方程式是一种形如ax+b=c的式子，其中a、b、c是确定的数字或变量，x为未知数。
一元一次方程式是数学中最简单的方程式。
在实际问题中，一元一次方程式可以用来解决一些实际的数学问题，例如求未知数的值、解决搬运问题等等。
学习一元一次方程式，需要熟练掌握方程式的基本原理和解题方法。
在学习过程中，可以通过练习类似的数学题目，加深对方程式解题的理解。
二元一次方程组由两个一元一次方程组成，其中每个方程有两个未知数。
在实际问题中，二元一次方程组可以用来描述两个未知数之间的关系。
函数是一种在数学上描述输入和输出之间的关系的工具。
在实际问题中，函数可以用来描述一些复杂的数学关系，例如动态规划问题、贝叶斯公式等。
五、三角函数的应用
六、指数和对数的应用
指数和对数是一种描述数值增长和减少的工具。
在实际问题中，指数和对数可以用来计算复利、解决乘法和除法问题等等。
二次函数是一种非常常见的函数类型，在实际问题中，二次函数可以用来描述一些变化情况，例如汽车行驶路程、人口增长等等。
总之，代数模型在初中数学中占据重要地位，掌握代数模型的应用，可以更加深入地理解数学知识，更好地解决实际问题。