《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案[1]

一．填空题（每小题3分，共计15分）

1．

2

31i -的幅角是（ 2,1,0,23

±±=+-

k k ππ

）

； 2.)1(i Ln +-的主值是（ i 4

32ln 21π

+ ）； 3. 2

11)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ）， 4．0=z 是 4

sin z

z

z -的（ 一级 ）极点； 5．

z

z f 1

)(=

，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数

),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）

； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；

（C ）

y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.

2．C 是正向圆周

3=z ，如果函数=)(z f （ D ）

，则0d )(=⎰C

z z f ． （A ）

23-z ； （B ）2

)

1(3--z z ； （C ）

2)2()1(3--z z ； （D ）

2

)2(3

-z .

3．如果级数∑∞

=1

n n n

z c 在

2=z 点收敛，则级数在（C ）

（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；

（C ）

i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．

４．下列结论正确的是( B )

（A ）如果函数

)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；

(B) 如果

)(z f 在C 所围成的区域内解析，则

0)(=⎰

C

dz z f

（C ）如果0)(=⎰

C

dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；

（D ）函数

),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、)

,(y x v

在该区域内均为调和函数．

5．下列结论不正确的是（ D ）．

的可去奇点；为、z A 1

sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞

.sin )(的孤立奇点为

、z C 11

∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a

解：因为

)(z f 解析，由C-R 条件

y v x u ∂∂=∂∂ x

v

y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+

,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c

给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

（2）．计算⎰-C z

z z

z e d )1(2其中C 是正向圆周： 解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程 因为函数

z

z e z f z

2

)1()(-=在复平面内只有两个奇点1,021==z z ，分别以21,z z 为圆心画互不相交

互

不

包

含

的

小

圆

2

1,c c 且位于c 内

⎰⎰⎰-+-=-21

d )1(d )1(d )1(222C z C z C z

z z z e z z

z e z z z e

i z e i

z e i z z

z z πππ2)1(2)(20

2

1=-+'===

无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。

（3）．

⎰=++3342215

d )2()1(z z z z z

解：设

)(z f 在有限复平面内所有奇点均在：3

]),([Re 2d )2()1(3342215

∞-=++⎰=z f s i z z z z z π -----（5分） ]1

)1([Re 22z z f s i π= ----（8分）

2

3

42215

21))1(2()11()1(1)1(z z z

z z z f ++= 0,z )12()1(1

1)1(34222=++=有唯一的孤立奇点z z z z z f 1)

12()1(11)1(]0,1)1([Re 3

4220202lim lim =++==→→z z z z zf z z f s z z ⎰==++∴33

42215

2d )2()1(z i z z z z π --------（10分）

（4）函数

2

3

32)3()(sin )2)(1()(-+-=z z z z z z f π在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，

请指出它的级. 解

：

∞±±±==-+-=，的奇点为 ,3,2,1,0,)

(sin )3()2)(1()(3

2

32k k z z z z z z z f π（1）的三级零点，）为（032103

=±±±==z k k z πsin ,,,,,

（2）的可去奇点，是的二级极点，为，)()(,z f z z f z z 210-=±== （3）的一级极点，为)(3z f z =

（4）的三级极点；，为)(4,3,2z f z ±-= （5）

的非孤立奇点。为)(z f ∞

备注：给出全部奇点给5分 ，其他酌情给分。 四、（本题14分）将函数

)

1(1

)(2-=

z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数；

（1）110<-<

z ，

（2）10<

z