2011考研数学一真题及答案解析-新修正版

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上． (1) 曲线234

(1)(2)(3)(4)y x x x x =----的拐点是( )

(A) (1,0)． (B) (2,0)． (C) (3,0)． (D) (4,0)． (2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞

=，1

(1,2,)n

n k

k S a

n ==

=∑ 无界，则幂级数

1

(1)

n

n n a x ∞

=-∑的收敛域为( )

(A) (1,1]-． (B) [1,1)-． (C) [0,2)． (D) (0,2]． (3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数

()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )

(A) (0)1f >，(0)0f ''>． (B) (0)1f >，(0)0f ''<． (C) (0)1f <，(0)0f ''>． (D) (0)1f <，(0)0f ''<．

(4) 设40

ln sin I x dx π

=

?

，4

ln cot J x dx π

=?，40

ln cos K x dx π

=?，则,,I J K 的大

小关系是( )

(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<．

(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3

行得单位矩阵，记11001

10001P ?? ?= ? ???，2100001010P ?? ?

= ? ???

，则A =( ) (A) 12P P ． (B) 112P P -． (C) 21P P ． (D) 1

21P

P -． (6) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T

是方程组

0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为( )

(A) 13,αα． (B) 12,αα． (C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα．

(7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )

(A)12()()f x f x ． (B)212()()f x F x ．

(C)12()()f x F x ． (D)1221()()()()f x F x f x F x +．

(8) 设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记{}max ,U X Y =，

{}min ,V X Y =则()E UV =( )

(A)()()E U E V ?． (B)()()E X E Y ?． (C)()()E U E Y ?． (D)()()E X E V ?．

二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9) 曲线0

tan (0)4

π

=

≤≤

?

x

y tdt x 的弧长s = ．

(10) 微分方程cos x

y y e x -'+=满足条件(0)0y =的解为y = ．

(11) 设函数2

sin (,)1xy

t

F x y dt t =

+?

，则22

2

x y F x ==?=? ．

(12) 设L 是柱面方程2

2

1x y +=与平面=+z x y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去

为逆时针方向，则曲线积分2

2

L y xzdx xdy dz ++

=? ． (13) 若二次曲面的方程2

2

2

32224x y z axy xz yz +++++=，经过正交变换化为

221144y z +=，则a = ．

(14) 设二维随机变量

()

,X Y 服从正态分布()

22,;,;0

N μμσσ，则

()2E XY = ．

三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

(15)(本题满分10分)

求极限1

1

0ln(1)lim(

)x e x x x

-→+．

(16)(本题满分9分)

设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1

x =处取得极值(1)1g =，求

211

x y z

x y

==???．

(17)(本题满分10分)

求方程arctan 0k x x -=不同实根的个数，其中k 为参数．

(18)(本题满分10分)

(Ⅰ)证明：对任意的正整数n ，都有111

ln(1)1n n n

<+<+ 成立． (Ⅱ)设1

1

1ln (1,2,)2

n a n n n

=+

++

-=，证明数列{}n a 收敛．

(19)(本题满分11分)

已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，

(,)D

f x y dxdy a =??，其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，

计算二重积分''(,)xy

D

I xy f

x y dxdy =??．

(20)(本题满分11分)

设向量组123(1,0,1)(0,1,1)(1,3,5)T T T ααα===，，，不能由向量组1(1,1,1)T

β=，

2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．

(I) 求a 的值；

(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示．

(21)(本题满分11分)

A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A -???? ? ?

= ? ? ? ?-????

．

(I) 求A 的特征值与特征向量；

(II) 求矩阵A ． (22)(本题满分11分)

设随机变量X 与Y

且{}

221P X Y ==．

(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ．

（23）（本题满分 11分） 设12,,

,n X X X 为来自正态总体20(,)μσN 的简单随机样本，其中0μ已知，

20σ>未知．X 和2

S 分别表示样本均值和样本方差．

(I) 求参数2

σ的最大似然估计量2

σ∧； (II) 计算2

()E σ∧

和2

()D σ∧．

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上． (1)【答案】(C)．

【解析】记11

11,1,0y x y y '''=-==，2222(2),2(2),2,y x y x y '''=-=-= 3233

3(3),3(3),6(3),y x y x y x '''=-=-=- 43244

4(4),4(4),12(4),y x y x y x '''=-=-=- (3)()y x P x ''=-，其中(3)0P ≠，3

0x y =''

=，在3x =两侧，二阶导数符号变化，

故选(C)．

(2)【答案】(C)．

【解析】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为1，幂级数收敛区间的中心在1x =处，故(A)，(B)错误；因为{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，所以0n a ≥，所以

1

n

n a

∞

=∑为正项级数，将2x =代入幂级数得

1

n

n a

∞

=∑，而已知S n =

1

n

k

k a

=∑无界，故原幂级数在2

x =处发散，(D)不正确．当0x =时，交错级数1

(1)

n

n n a ∞

=-∑满足莱布尼茨判别法收敛，故0

x =时

1

(1)

n

n n a ∞

=-∑收敛．故正确答案为(C)．

(3)【答案】(A)． 【解析】

(0,0)(0,0)|()ln ()|(0)ln (0)0z

f x f y f f x

?''=?==?, (0,0)(0,0)()|()|(0)0,()z f y f x f y f y '?'=?==?故(0)0f '=, 2(0,0)(0,0)2|()ln ()|(0)ln (0)0,z

A f x f y f f x

?''''==?=?>?

22

(0,0)(0,0)()[(0)]|()|0,()(0)

z f y f B f x x y f y f ''?'==?==??

222

(0,0)(0,0)22

()()[()][(0)]|()|(0)(0).()(0)

z f y f y f y f C f x f f y f y f ''''?-''''==?=-=? 又2

2

[(0)]ln (0)0,AC B f f ''-=?>故(0)1,(0)0f f ''>>． (4)【答案】(B)．

【解析】因为04

x π

<<

时， 0sin cos 1cot x x x <<<<，

又因ln x 是单调递增的函数，所以lnsin lncos lncot x x x <<． 故正确答案为(B)． (5)【答案】 (D)．

【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故

100110001A B ?? ?

= ? ???

， 即1AP B =，1

1A BP

-=． 由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故

100001010B E ??

?= ? ???

， 即2,P B E =故122B P P -==．因此，1

21A P P -=，故选(D)．

(6)【答案】(D)．

【解析】由于(1,0,1,0)T

是方程组0Ax =的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0T

A =，且

()413r A =-=，即130αα+=，且0A =．由此可得*

||A A A E O ==，即

*1234(,,,)A O =αααα，这说明1234,,,αααα是*0A x =的解．

由于()3r A =，130αα+=，所以234,,ααα线性无关．又由于()3r A =，所以

*()1r A =，因此*0A x =的基础解系中含有413-=个线性无关的解向量．而234,,ααα线

性无关，且为*0A x =的解，所以234,,ααα可作为*0A x =的基础解系，故选(D)．

(7)【答案】(D)． 【解析】选项(D)

1122()()()()f x F x f x F x dx +∞

-∞

??+???

2211()()()()F x dF x F x dF x +∞

-∞??=+???

21()()d F x F x +∞

-∞

??=??

?

12()()|F x F x +∞

-∞=1=． 所以1221()()f F x f F x +为概率密度．

(8)【答案】(B)．

【解析】因为 {},,max ,,,X X Y U X Y Y X Y ≥?==?

min ,,Y X Y V X Y X X Y ≥?==?

所以，UV XY =，于是()()E UV E XY = ()()E X E Y =．

二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9)

【答案】(ln 1．

【解析】选取x 为参数，则弧微元

sec ds xdx ===

所以4

40

sec ln sec tan ln(1s xdx x x π

π

=

=+=+?

． (10)【答案】sin x

y e x -=．

【解析】由通解公式得

(cos )dx dx

x y e e x e dx C --??=?+?

(cos )x e xdx C -=+?

(sin )x

e x C -=+．

由于(0)0,y =故C =0．所以sin x

y e x -=．

(11)【答案】4． 【解析】

2sin 1()

F xy

y x xy ?=??+， 22

222

cos sin 2[1()]F y xy xy xy y x xy ?-?=??+， 故2(0,2)

2|4F

x

?=?． (12)【答案】π．

【解析】取2

2

:0,1S x y z x y +-=+≤，取上侧，则由斯托克斯公式得，

原式=

2

2

S

S dydz dzdx dxdy ydydz xdzdx dxdy x y z y xz

x

???

=++?????

??．

因'

'

,1, 1.x y z x y z z =+==由转换投影法得

221

[(1)(1)1]S

x y ydydz xdzdx dxdy y x dxdy +≤++=?-+-+????

．

221

(1)x y x y dxdy π+≤=

--+=??

221

x y dxdy π+≤=

=??

．

(13)【答案】1a =．

【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵A 的特征值，故A 的特征值为0，1，4．二次型所对应的矩阵

1131111a A a ?? ?= ? ???

，

由于3

1

0i

i A λ

==

=∏，故11

3101111

a a a =?=．

(14)【答案】()

22μμσ+．

【解析】根据题意，二维随机变量(),X Y 服从()

22,;,;0N μμσσ．因为0xy ρ=，所以由二维正态分布的性质知随机变量,X Y 独立，所以2

,X Y ．从而有

()()()()()()22222

E XY E X E Y D Y E Y μμμσ??==+=+??

． 三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

(15)(本题满分10分)

【解析】1

1

0ln(1)lim[

]x e x x x

-→+0ln(1)1

lim[1].1

x x x x e e →+--=

2

ln(1)lim

x x x

x e

→+-=222

01

()2lim x x x o x x x e

→-+-=

222

01

()2lim x x o x x e

→-+=1

2

e -

=．

(16)(本题满分9分) 【解析】[],()z f xy yg x =

[][]12,(),()()z

f xy y

g x y f xy yg x yg x x

?'''=?+??

[][]2111

12,()(,())(,())()z

f xy y

g x y f xy yg x x f xy yg x g x x y

?'''''=++?? []{}212

22(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+?+?+． 因为()g x 在1x =可导，且为极值,所以(1)0g '=，则

21111

121

|(1,1)(1,1)(1,1)x y d z

f f f dxdy =='''''=++． (17)(本题满分10分)

【解析】显然0x =为方程一个实根． 当0x ≠时，令(),arctan x

f x k x

=

-

()()

22

arctan 1arctan x

x x f x x -

+'=

． 令()2

arctan 1x g x x x R x =-

∈+，

()()()

22

2222211220111x x x x g x x x x +-?'=-=>+++， 即(),0x R g x '∈>． 又因为()00g =，

即当0x <时，()0g x <； 当0x >时，()0g x >． 当0x <时，()'0f x <；当0x >时，()'0f x >．

所以当0x <时，()f x 单调递减，当0x >时，()f x 单调递增 又由()00lim lim

1arctan x x x

f x k k x

→→=-=-，

()lim lim arctan x x x

f x k x

→∞→∞=-=+∞， 所以当10k -<时，由零点定理可知()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞内各有一个零点； 当10k -≥时，则()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞内均无零点．

综上所述，当1k >时，原方程有三个根．当1k ≤时，原方程有一个根．

(18)(本题满分10分)

【解析】(Ⅰ)设()()1ln 1,0,f x x x n ??=+∈????

显然()f x 在10,n

??

????

上满足拉格朗日的条件，

()1111110ln 1ln1ln 1,0,1f f n n n n n ξξ????????-=+-=+=?∈ ? ? ? ?+????????

所以10,

n ξ??

∈ ???

时， 1

11111

11101n n n n

ξ?

111111n n n ξ

111ln 11n n n

??<+< ?+??． 结论得证．

（II ）设111

11

1ln ln 23

n

n k a n n n k

==+++

+-=-∑． 先证数列{}n a 单调递减．

()111111111ln 1ln ln ln 1111n n n n k k n a a n n k k n n n n ++==????????

-=-+--=+=-+ ? ?????+++????????

∑∑，

利用（I ）的结论可以得到11ln(1)1n n <++，所以

11ln 101n n ??

-+< ?+??

得到1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减．

再证数列{}n a 有下界．

11

11ln ln 1ln n

n

n k k a n n k k ==??

=->+- ???∑∑，

()11112341ln 1ln ln ln 1123n

n

k k k n n k k n ==++??????

+==??

=+ ? ? ???????

∑∏， ()11

11ln ln 1ln ln 1ln 0n

n

n k k a n n n n k k ==??

=->+->+-> ???∑∑．

得到数列{}n a 有下界．利用单调递减数列且有下界得到{}n a 收敛．

(19)(本题满分11分) 【解析】1

1''

(,)xy I xdx yf x y dy =

?

?11

'0

(,)x xdx ydf x y =??

()()1

1

1'000,|,x x xdx yf x y f x y dy ??'=-????

??

(

)

1

1

''0

(,1)(,)x x xdx f x f x y dy =-??．

因为(,1)0f x =，所以'

(,1)0x f x =．

11'0

(,)x I xdx f x y dy =-??11

'0

(,)x dy xf x y dx =-??

1

11000(,)|(,)dy xf x y f x y dx ??=--??????1100(1,)(,)dy f y f x y dx ??=--????

??

D

fdxdy =??a =．

(20)(本题满分11分)

【解析】(I)由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：

123123113101(,,,,,)12401313115a ?? ?

= ?

???

βββααα

113101011112023014a ?? ?→- ? ?-??113101011112005210a ?? ?→- ? ?--??

． 当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r ββββββα=≠=，此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故123,,ααα不能由123,,βββ线性表示．

(II)对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换：

123123101113(,,,,,)013124115135?? ?

= ? ???

αααβββ

101113013124014022?? ?→ ? ???101113013124001102?? ?→ ? ?--??

1002150104210001102?? ?→ ? ?--??

， 故112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-．

(21)(本题满分11分)

【解析】(I)由于111100001111A -????

? ?

= ? ? ? ?-????

，设()()121,0,1,1,0,1T T αα=-=，则

()()1212,,A αααα=-，即1122,A A αααα=-=，而120,0αα≠≠，知A 的特征值

为121,1λλ=-=，对应的特征向量分别为()1110k k α≠，()2220k k α≠．

由于()2r A =，故0A =，所以30λ=．

由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()3123,,T

x x x α=，则

13230,0,T T

?=?=?αααα即13130,

0x x x x -=??+=?．

解此方程组，得()30,1,0T

α=，故30λ=对应的特征向量为()3330k k α≠．

(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：

))()3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0T T T

αααβββααα=

=-====． 令()123,,Q βββ=，则110T

Q AQ -??

?=Λ= ? ???

， T

A Q Q =Λ

02201220011000

1002

2

?

-?? ?

?-?? ?? ?= ?? ?

? ? ??? ? ?

- ? ???

??

?

22

001

22

0000000

22

100

010

?

-

??

- ? ?

??

? ? ?

==

? ? ?

? ? ?

??

? ?

? ?

?? ?

??

．

（22）（本题满分11分）

【解析】(I)因为{}

221

P X Y

==，所以{}{}

2222

10

≠=-==

P X Y P X Y．即{}{}{}

0,10,11,00

P X Y P X Y P X Y

==-=======．

利用边缘概率和联合概率的关系得到

{}{}{}{}1 0,000,10,1

3

P X Y P X P X Y P X Y

====-==--===；{}{}{}1

1,110,1

3

P X Y P Y P X Y

==-==--==-=；

{}{}{}1

1,110,1

3

P X Y P Y P X Y

====-===．

即

(II)Z的所有可能取值为1,0,1

-．

{}{}1

11,1

3

P Z P X Y

=-===-=．

{}{}1

11,1

3

P Z P X Y

=====．

{}{}{}1

0111

3

P Z P Z P Z

==-=-=-=．

Z XY

=的概率分布为

(III)因为

XY

Cov XY E XY E X E Y

ρ

-?

==，

其中

()()1111010333E XY E Z ==-?+?+?=，()111

1010333

E Y =-?+?+?=．

所以()()()0-?=E XY E X E Y ，即X ，Y 的相关系数0ρ=XY ． （23）（本题满分 11分）

【解析】因为总体X 服从正态分布，故设X

的概率密度为202

()2()x f x μσ--

=

，

x -∞<<+∞．

(I) 似然函数

22

0022

1

1

()()222222

1

1

()(;)](2)

n

i i i x n n

n

x i i i L f x e

μμσ

σσσπσ=--

--

-==∑===∏∏；

取对数：22

2

02

1

()ln ()ln(2)22n

i i x n L μσπσσ=-=--∑； 求导：22022221()ln ()()22()n

i i x d L n

d μσσσσ=-=-+∑2

20

22

1

1[()

]2()n

i

i x μσσ==--∑．

令22

ln ()0()d L d σσ=，解得2

2011()n i i x n σμ==-∑． 2

σ的最大似然估计量为02

21

1()n

i i X n σμ∧==-∑．

(II) 方法1：

2

0~(,)μσi X N ，令2

0~(0,)i i Y X N μσ=-，则2

2

1

1n i i Y n σ=∧=∑．

2212

2

21()()()()[()]n i i i i i E E Y E Y D Y E Y n σσ=∧===+=∑．

22222122

2111

1

()()()()n i n i i D D Y D Y Y Y D Y n n

n

σ∧

===++

+=

∑ 442244

112{()[()]}(3)σσσ=-=-=

i i E Y E Y n n n

． 方法2：

2

0~(,)μσi X N ，则

~(0,1)i X N μσ

-，得到()2

2

01~n

i

i X Y n μχσ=-??= ??

?∑，即()2

2

01

n

i i Y X σμ==-∑．

()()22222201

11

11()n i i E E X E Y E Y n n n n n μσσσσσ=∧????=-===?= ???????∑．

()()22444022222111

112()2n i i D D X D Y D Y n n

n n n n μσσσσσ=∧????=-===?= ???????∑．