最新中考数学专题训练隐形圆问题大全

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初三数学隐圆问题试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列关于隐圆的说法中，正确的是（）A. 隐圆是指在一个平面内，所有的点到某个定点的距离相等的图形B. 隐圆是指在一个平面内，所有的点到某个定直线的距离相等的图形C. 隐圆是指在一个平面内，所有的点到某个定点的距离相等的曲线D. 隐圆是指在一个平面内，所有的点到某个定直线的距离相等的曲线2. 在直角坐标系中，点P（2，3）到直线x+y=5的距离为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 若点P（x，y）到圆（x-1）^2+y^2=4的圆心的距离等于2，则点P的轨迹是（）A. 线段B. 圆C. 矩形D. 双曲线4. 在平面直角坐标系中，若点A（3，4）和点B（-1，2）关于点P（1，1）对称，则点P的坐标是（）A. （2，3）B. （1，2）C. （3，2）D. （2，2）5. 若一个圆的半径为r，圆心到直线x=2的距离为d，则该圆与直线x=2相交的条件是（）A. r>dB. r=dC. r<dD. r≥d6. 在平面直角坐标系中，若点A（1，2）在圆（x-3）^2+y^2=9上，则点A到圆心的距离是（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 若圆C的方程为（x+2）^2+y^2=16，则圆C的半径是（）A. 2B. 4C. 6D. 88. 在平面直角坐标系中，若点P（x，y）到圆x^2+y^2=1的距离等于2，则点P的轨迹是（）A. 线段B. 圆C. 矩形D. 双曲线9. 若点A（2，3）和点B（-3，2）关于原点对称，则点A和点B的中点坐标是（）A. （0，1）B. （1，0）C. （-1，0）D. （0，-1）10. 在平面直角坐标系中，若点P（x，y）到圆x^2+y^2=9的圆心的距离等于3，则点P的轨迹是（）A. 线段B. 圆C. 矩形D. 双曲线二、填空题（每题5分，共50分）1. 圆的方程为x^2+y^2=25，则该圆的半径是__________。

备战2025年中考数学冲刺专项训练(全国)专题13 隐圆问题3种模型(解析版)

专题13隐圆问题3种模型通用的解题思路：隐圆一般有如下呈现方式：（1）定点定长：当遇到同一个端点出发的等长线段时，通常以这个端点为圆心，等线段长为半径构造辅助圆；（2）定弦定角：当遇到动点对定点对定线段所张的角为定值时，通常把张角转化为圆周角构造辅助圆。

当遇到直角时，通常以斜边为直径构造辅助圆。

（3）四点共圆：对角互补的四边形的四个顶点共圆。

隐圆常与线段最值结合考查。

类型1：定点定长1．（2023•新城区校级三模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．（1）已知：如图1，OA OB OC∠=︒，则ACB∠=AOB==，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若7035︒．如图，Rt ABCAB=．∠=︒，2BCA∆中，90∠=︒，30ABC（2）已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和BEA∠的大小．（3）如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足45∠=︒且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，BQA若不存在，说明理由．【分析】（1）利用圆的定义知A，B，C三点共圆，再利用圆周角定理求解．（2）根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎刃而解．（3）因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出D点能够向右移动的最大距离，求出四边形的最大面积．【解答】（1）以O 为圆心，OA 为半径作辅助圆，如图，，70AOB ∠=︒ ，35ACB ∴∠=︒，故答案为35︒．（2）连接PB ，PE ，如图，，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30BCA ∠=︒，2AB =．4AC ∴=，60BAC ∠=︒，BC =．P 为Rt ABC ∆斜边AC 中点，122BP AC ∴==，线段AC 平移到DF 之后，2AB AD PE ===，2BP AE ==，∴四边形ABPE 为菱形，60BAC ∠=︒ ，30BEA ∴∠=︒，//CF BD ，且90ABC ∠=︒，∴四边形BDFC 为直角梯形，11()622S BD CF BC ∴=+⨯=⨯⨯=（3）如图所示，以AB 为斜边在AB 的右侧作等腰直角三角形OAB ，以O 为圆心，OA 为半径作O ，当AC 边沿BC 方向平移a 个单位至DF 时，满足45BQA ∠=︒且此时四边形BADF 的面积最大，∴直线DF 与O 相切于点Q ，连接OQ 交AD 于G ，过点O 作OH AD ⊥于H ，则90AHO OHG DQG ∠=∠=∠=︒，45OAH ∠=︒，30GDQ ∠=︒，90ABC ∠=︒ ，30BCA ∠=︒，2AB =，BC ∴=OA OB OQ ===1AH OH ∴==，3HG =，3OG =，3GQ ∴=，23DG GQ ==-，11AD AH HG GD ∴=++=++，1a ∴=+，此时直角梯形ABFD 的最大面积为：11()112222S BF AD AB =⨯+⨯=⨯++-++⨯=+．【点评】本题主要考查图形的平移，圆心角，圆周角之间的关系，解题的关键是数形结合，找到极值点求解．2．（2024•兰州模拟）综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问题，如图，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为平面内一点（点A ，B ，D 三点不共线），AE 为ABD ∆的中线．【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长AE 至点M ，使得ME AE =，连接DM ．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：①DM AC =；②180MDA DAB ∠+∠=︒；【类比探究】（2）如图2，将AD 绕点A 顺时针旋转90︒得到AF ，连接CF ．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：12AE CF =，请你帮他证明；【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点D 在以点A 为圆心，AD 为半径的圆上运动()AD AB >，直线AE 与直线CF 相交于点G ，连接BG ，在点D 的运动过程中BG 存在最大值．若4AB =，请直接写出BG的最大值．【分析】（1）利用SAS 证明ABE MDE ∆≅∆，可得AB DM =，再结合AB AC =，即可证得DM AC =；由全等三角形性质可得BAE DME ∠=∠，再运用平行线的判定和性质即可证得180MDA DAB ∠+∠=︒；（2）延长AE 至点M ，使得ME AE =，连接DM ．利用SAS 证得ACF DMA ∆≅∆，可得CF AM =，再由12AE AM =，可证得12AE CF =；（3）延长DA 至M ，使AM AD =，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，可证得()ACF ABM SAS ∆≅∆，利用三角形中位线定理可得//AE BM ，即//AG BM ，利用直角三角形性质可得11222GP AC AB ===，得出点G 在以P 为圆心，2为半径的P 上运动，连接BP 并延长交P 于G '，可得BG '的长为BG 的最大值，再运用勾股定理即可求得答案．【解答】（1）证明：①AE 为ABD ∆的中线，BE DE ∴=，在ABE ∆和MDE ∆中，BE DE AEB MED AE ME =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE MDE SAS ∴∆≅∆，AB DM ∴=，AB AC = ，DM AC ∴=；②由①知ABE MDE ∆≅∆，BAE DME ∴∠=∠，//AB DM ∴，180MDA DAB ∴∠+∠=︒；（2）证明：延长AE 至点M ，使得ME AE =，连接DM．由旋转得：AF AD =，90DAF ∠=︒，90BAC ∠=︒ ，360DAF BAC BAD CAF ∠+∠+∠+∠=︒，180BAD CAF ∴∠+∠=︒，由（1）②得：180MDA DAB ∠+∠=︒，DM AB AC ==，CAF MDA ∴∠=∠，在ACF ∆和DMA ∆中，AF AD CAF MDA AC DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF DMA SAS ∴∆≅∆，CF AM ∴=，12AE AM = ，12AE CF ∴=；（3）如图3，延长DA 至M ，使AM AD =，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，由旋转得：AF AD =，90DAF ∠=︒，AF AM ∴=，1809090MAF ∠=︒-︒=︒，90BAC ∠=︒ ，MAF CAM BAC CAM ∴∠+∠=∠+∠，即CAF BAM ∠=∠，在ACF ∆和ABM ∆中，AC AB CAF BAM AF AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF ABM SAS ∴∆≅∆，AFC AMB ∴∠=∠，即AFN KMN ∠=∠，ANF KNM ∠=∠ ，90FAN MKN ∴∠=∠=︒，BM CF ∴⊥，E 、A 分别是DB 、DM 的中点，AE ∴是BDM ∆的中位线，//AE BM ∴，即//AG BM ，AG CF ∴⊥，90AGC ∴∠=︒，点P 是AC 的中点，11222GP AC AB ∴===，∴点G 在以P 为圆心，2为半径的P 上运动，连接BP 并延长交P 于G '，BG ∴'的长为BG 的最大值，在Rt ABP ∆中，BP ==2BG BP PG ∴'=+'=+，BG ∴的最大值为2+．【点评】本题是几何综合题，考查了三角形的全等的性质与判定，两直线垂直的判定，三角形中位线定理，勾股定理，圆的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键．3．（2022•番禺区二模）已知抛物线23(0)2y ax bx a =+->与x 轴交于点A ，B 两点，OA OB <，4AB =．其顶点C 的横坐标为1-．（1）求该抛物线的解析式；（2）设点D 在抛物线第一象限的图象上，DE AC ⊥垂足为E ，//DF y 轴交直线AC 于点F ，当DEF ∆面积等于4时，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，点M 是抛物线上的一点，M 点从点B 运动到达点C ，FM FN ⊥交直线BD 于点N ，延长MF 与线段DE 的延长线交于点H ，点P 为N ，F ，H 三点构成的三角形的外心，求点P 经过的路线长．【分析】（1）利用对称性，求得A 和B 的坐标，然后用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）证明CGA ∆和DEF ∆都为等腰直角三角形，利用等面积法求得4DF =，再求得直线AC 的解析式为1y x =-，设点D 的坐标，得到点F 的坐标，然后求解即可；（3）先求得45BDF ∠=︒，推出点P 的运动路径时11H N 的中点绕点F 逆时针旋转90︒得到2N H 的中点之间的弧长，证明四边形2DN FE 为正方形，即可求解．【解答】解：（1）点A ，点B 两点关于直线1x =-对称，4AB =，(1,0)A ∴，(3,0)B -，代入232y ax bx =+-得，30239302a b a b ⎧+-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，解得：121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为21322y x x =+-．（2）如图1所示：//DF y 轴//GC ，GCA DFE ∴∠=∠，抛物线的解析式为22131(1)2222y x x x =+-=+-，∴顶点(1,2)C --，(1,0)A ，2AG ∴=，2CG =，CGA ∴∆为等腰直角三角形，45GCA DFE ∴∠=∠=︒，DE AC ⊥ ，DEF ∴∆为等腰直角三角形，DE EF ∴=，DF =，142DEF S DE EF ∆=⋅= ，DE ∴=，4DF ∴==，设直线AC 的解析式为y kx b =+，则02k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得：11k b =⎧⎨=-⎩，∴直线AC 的解析式为1y x =-，设点213(,22D x x x +-，则(,1)F x x -，221311(1)42222DF x x x x ∴=+---=-=，解得：3x =或3x =-（舍)，(3,6)D ∴，(3,2)F ．（3）如图2所示，NFH ∆ 是直角三角形，NFH ∴∆的外心是斜边NH 的中点，当点M 位于点B 时，△11N FH ，其外心是斜边11H N 的中点，当点M 位于点C 时，得△2N FE ，其外心是斜边22N H 的中点，即2N E 的中点，(3,6)D ，(3,0)B -，33tan 16BDF +∴∠==，45BDF ∴∠=︒，由（2）得，45FDE ∠=︒，45DBA BAC ∴∠=∠=︒，//BD AC ∴，FN BD ∴⊥，DF ∴平分BDE ∠，90BDE ∠=︒，∴点D ，N ，F ，H 四点共圆，∴点P 在线段DF 的垂直平分线上，即点P 在2N E 上运动，即点P 的运动轨迹是一条线段．2290DN F N DH DHF ∠=∠=∠=︒ ，2FN FE =，∴四边形2DN FE 为正方形，此时点P 在DF 上，且2EP =；当点M 与点C 重合时，此时点P 在DF 上，即为2P ，且222FP EP ==，由题意，224BN BD DN =-=，BF =2N F =，21//FN DH ，2BFN ∴∆∽△1BH D ，∴21BN BF BD BH =，解得1FH =，1FP ∴=，由勾股定理可得：121P P =，即点P 的运动轨迹长为1．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，三角形外接圆的性质，弧长公式，勾股定理，三角函数解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题的关键．4．（2021•红谷滩区校级模拟）（1）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在ABC ∆中，AB AC =，80BAC ∠=︒，D 是ABC ∆外一点，且AD AC =，求BDC ∠的度数．若以点A 为圆心，AB 为半径作辅助圆A ，则点C 、D 必在A 上，BAC ∠是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，从而可容易得到BDC ∠=40︒．（2）问题解决：如图，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，25BDC ∠=︒，求BAC ∠的度数．（3）问题拓展：抛物线21(1)34y x =--+与y 轴交于点A ，顶点为B ，对称轴BC 与x 轴交于点C ，点P 在抛物线上，直线//PQ BC 交x 轴于点Q ，连接BQ ．①若含45︒角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一顶点E 在PQ 上，求Q 的坐标；②若含30︒角的直角三角板一个顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上，点D 与点B ，点Q 不重合，求点P 的坐标．【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．（2）由A 、B 、C 、D 共圆，得出BDC BAC ∠=∠，（3）①先求出抛物线顶点的坐标，再由点D 、C 、Q 、E 共圆，得出45CQB OED ∠=∠=︒，求出CQ ，再求点Q 的坐标．②分两种情况，Ⅰ、当30︒的角的顶点与点C 重合时，Ⅱ、当60︒的角的顶点与点C 重合时，运用点D 、C 、Q 、E 共圆，求出CQ 即点P 的横坐标，再代入抛物线求出点P 的纵坐标，即可求出点P 的坐标．【解答】解：（1）AB AC = ，AD AC =，∴以点A 为圆心，点B 、C 、D 必在A 上，BAC ∠ 是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，1402BDC BAC ∴∠=∠=︒，（2）如图2，90BAD BCD ∠=∠=︒ ，∴点A 、B 、C 、D 共圆，BDC BAC ∴∠=∠，25BDC ∠=︒ ，25BAC ∴∠=︒，（3）①如图3点B 为抛物线21(1)34y x =--+的顶点，∴点B 的坐标为(1,3)，45︒ 角的直角三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一顶点E 在PQ 上，∴点D 、C 、Q 、E 共圆，45CQB CED ∴∠=∠=︒，3CQ BC ∴==，4OQ ∴=，∴点Q 的坐标为(4,0)，②如图4，Ⅰ、当30︒的角的顶点与点C 重合时，直角三角板30︒角的顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上∴点D 、C 、Q 、E 共圆，60CQB CED ∴∠=∠=︒，3CQ BC ∴==1OQ ∴=+，∴把1+代入21(1)34y x =--+得94y =，∴点P 的坐标是(1+94Ⅱ、如图5，当60︒的角的顶点与点C 重合时，直角三角板60︒角的顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上∴点D 、C 、Q 、E 共圆，30CQB CED ∴∠=∠=︒，CQ ∴==，1OQ ∴=+∴把1+21(1)34y x =--+得154y =-，∴点P 的坐标是(1+，154-综上所述，点P 的坐标是(1+94或(1+15)4-．【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键就是运用同弦对的圆周角相等．类型2：定弦定角1．（2022•雁塔区校级三模）问题提出（1）如图①，已知ABC ∆为边长为2的等边三角形，则ABC ∆的面积为问题探究（2）如图②，在ABC ∆中，已知120BAC ∠=︒，BC =，求ABC ∆的最大面积；问题解决（3）如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形ABCD ，其宽20AB =米，长24BC =米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD 上安装一台摄像头M 进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB 区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M 出发的观测角45AMB ∠=︒，请你通过所学知识进行分析，在墙面CD 区域上是否存在点M 满足要求？若存在，求出MC 的长度；若不存在，请说明理由．【分析】（1）作AD BC ⊥于D ，由勾股定理求出AD 的长，即可求出面积；（2）作ABC ∆的外接圆O ，可知点A 在 BC上运动，当A O BC '⊥时，ABC ∆的面积最大，求出A H '的长，从而得出答案；（3）以AB 为边，在矩形ABCD 的内部作一个等腰直角三角形AOB ，且90AOB ∠=︒，过O 作HG AB ⊥于H ，交CD 于G ，利用等腰直角三角形的性质求出OA ，OG 的长，则以O 为圆心，OA 为半径的圆与CD 相交，从而O 上存在点M ，满足45AMB ∠=︒，此时满足条件的有两个点M ，过1M 作1M F AB ⊥于F ，作1EO M F ⊥于E ，连接OF ，利用勾股定理求出OE 的长，从而解决问题．【解答】解：（1）作AD BC ⊥于D ，ABC ∆ 是边长为2的等边三角形，1BD ∴=，AD ∴==ABC ∴∆的面积为122⨯=；（2）作ABC ∆的外接圆O ，120BAC ∠=︒ ，BC =，∴点A 在 BC上运动，当A O BC '⊥时，ABC ∆的面积最大，60BOA '∴∠=︒，BH CH ==，3OH ∴=，6OB =，633A H OA OH ''∴=-=-=，ABC ∴∆的最大面积为132⨯=（3）存在，以AB 为边，在矩形ABCD 的内部作一个等腰直角三角形AOB ，且90AOB ∠=︒，过O 作HG AB ⊥于H ，交CD 于G ，20AB = 米，10AH OH ∴==米，OA =米，24BC = 米，14OG ∴=米，14> ，∴以O 为圆心，OA 为半径的圆与CD 相交，O ∴ 上存在点M ，满足45AMB ∠=︒，此时满足条件的有两个点M ，过1M 作1M F AB ⊥于F ，作1EO M F ⊥于E ，连接OF ，10EF OH ∴==米，1OM =114EM ∴=米，2OE ∴=米，18CM BF ∴==米，同理210212CM BH OE =+=+=（米)，MC ∴的长度为8米或12米．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识，熟练掌握定角定边的基本模型是解题的关键．2．（2023•灞桥区校级模拟）问题提出：（1）如图①，ABC ∆为等腰三角形，120C ∠=︒，8AC BC ==，D 是AB 上一点，且CD 平分ABC ∆的面积，则线段CD 的长度为4．问题探究：（2）如图②，ABC ∆中，120C ∠=︒，10AB =，试分析和判断ABC ∆的面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．问题解决：（3）如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在会场旁规划一个四边形花圃ABCD ，满足600BC =米，300CD =米，60C ∠=︒，60A ∠=︒，主办方打算过BC 的中点M 点（入口）修建一条径直的通道ME （宽度忽略不计）其中点E （出口）为四边形ABCD 边上一点，通道ME 把四边形ABCD 分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以供影迷休闲观赏．问是否存在满足上述条件的通道ME ？若存在，请求出点A 距出口的距离AE 的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意可知，CD 是ABC ∆的中线，利用等腰三角形的性质推出CD AB ⊥，利用三角函数求解即可解决问题；（2）当ABC ∆的AB 边上的高CD 最大时，三角形ABC 的面积最大，即CD 过圆心O ，连接AO ．求出CD 的最大值即可得出答案；（3）连接DM ，BD ．首先证明90BDC ∠=︒，求出BD ，推出BDC ∆的面积是定值，要使得四边形ABCD 的面积最大，只要ABD ∆的面积最大即可，因为BD 为定值，A ∠为定角60=︒，推出当ABD ∆是等边三角形时，求出四边形ABCD 的面积最大值，然后再求出90MDE ∠=︒，构建方程解决问题即可．【解答】解：（1）如图①，CD 平分ABC ∆的面积，AD DB ∴=，8AC BC == ，CD AB ∴⊥，1602ACD BCD ACB ∠=∠=∠=︒，cos 8cos 604CD AC ACD ∴=∠=︒=，CD ∴的长度为4，故答案为：4；（2）存在．如图②，10AB = ，120ACB ∠=︒都是定值，∴点C 在AB 上，并且当点C 在 AB 的中点时，ABC ∆的面积最大；连接OC 交AB 于点D ，则CD AB ⊥，152AD BD AB ===，1602ACD ACB ∠=∠=︒，∴tan AD ACD CD ∠=，tan 603AD CD ==︒，∴123ABC S AB CD ∆=⋅=，答：ABC ∆（3）存在．如图③，连接DM ，BD ，M 是BC 的中点，13002CM BC ∴==，CM CD ∴=，又60C ∠=︒ ，CMD ∴∆是等边三角形，60MDC CMD ∴∠=∠=︒，CM DM BM ==，30CBD MDB ∴∠=∠=︒，90BDC ∴∠=︒，tan 60BD CD ∴=⋅︒=米，在ABD ∆中，BD =60A ∠=︒为定值，由（2）可知当AB AD =时，即ABD ∆为等边三角形时ABD ∆的面积最大，此时也为四边形ABCD 的最大值(BDC ∆的面积不变），2130024max BDC BDA S S S ∆∆=+=⨯⨯=；ABD ∆ 是等边三角形，60ADB ∴∠=︒，90 ADM ADB BDM∴∠=∠+∠=︒，由12EMD CDM maxS S S∆∆+=，得：21130030022DE⨯+=⨯解得：DE=，AE AD DE∴=-==)，答：点A距出口的距离AE的长为米．【点评】本题是圆的综合题，考查了勾股定理，垂径定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意构造辅助圆，灵活运用所学知识解决问题，难度较大，属于中考压轴题．3．（2023•柯城区校级一模）如图，点A与点B的坐标分别是(1,0)，(5,0)，点P是该直角坐标系内的一个动点．（1）使30APB∠=︒的点P有无数个；（2）若点P在y轴上，且30APB∠=︒，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，APB∠是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时APB∠最大的理由；若没有，也请说明理由．【分析】（1）已知点A、点B是定点，要使30APB∠=︒，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60︒即可，显然符合条件的点P有无数个．（2）结合（1）中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标；当点P在y轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P的坐标．（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要APB∠最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得APB∠最大的点P，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．【解答】解：（1）以AB 为边，在第一象限内作等边三角形ABC ，以点C 为圆心，AC 为半径作C ，交y 轴于点1P 、2P ．在优弧1APB 上任取一点P ，如图1，则11603022APB ACB ∠=∠=⨯︒=︒．∴使30APB ∠=︒的点P 有无数个．故答案为：无数．（2）①当点P 在y 轴的正半轴上时，过点C 作CG AB ⊥，垂足为G ，如图1．点(1,0)A ，点(5,0)B ，1OA ∴=，5OB =．4AB ∴=．点C 为圆心，CG AB ⊥，122AG BG AB ∴===．3OG OA AG ∴=+=．ABC ∆ 是等边三角形，4AC BC AB ∴===．CG ∴===∴点C 的坐标为(3，．过点C 作CD y ⊥轴，垂足为D ，连接2CP ，如图1，点C 的坐标为(3，，3CD ∴=，OD =1P 、2P 是C 与y 轴的交点，1230APB AP B ∴∠=∠=︒．24CP CA == ，3CD =，2DP ∴== 点C 为圆心，12CD PP ⊥，12PD P D ∴==2(0P ∴，-．1(0P ，+．②当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可得：3(0,P -．4(0,P -．综上所述：满足条件的点P 的坐标有：(0，-、(0，、(0,--、(0,-+．（3）当过点A 、B 的E 与y 轴相切于点P 时，APB ∠最大．理由：可证：APB AEH ∠=∠，当APB ∠最大时，AEH ∠最大．由2sin AEH AE∠=得：当AE 最小即PE 最小时，AEH ∠最大．所以当圆与y 轴相切时，APB ∠最大．①当点P 在y 轴的正半轴上时，连接EA ，作EH x ⊥轴，垂足为H ，如图2．E 与y 轴相切于点P ，PE OP ∴⊥．EH AB ⊥ ，OP OH ⊥，90EPO POH EHO ∴∠=∠=∠=︒．∴四边形OPEH 是矩形．OP EH ∴=，3PE OH ==．3EA ∴=．90EHA ∠=︒ ，2AH =，3EA =，EH ∴===OP∴P∴．②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：(0,P．理由：①若点P在y轴的正半轴上，在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），连接MA，MB，交E于点N，连接NA，如图2所示．∆的外角，是AMNANB∠∴∠>∠．ANB AMB，APB ANB∠=∠∴∠>∠．APB AMB②若点P在y轴的负半轴上，同理可证得：APB AMB∠>∠．综上所述：当点P在y轴上移动时，APB∠有最大值，此时点P的坐标为和(0,．【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与性质，切线的性质、三角形外角性质等知识，综合性强．同时也考查了创造性思维，有一定的难度．构造辅助圆是解决本题关键．类型3：四点共圆1．（2022•中原区校级模拟）阅读下列材料，并完成相应的任务．西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图（1），已知ABC∆内接于O，点P在O上（不与点A，B，C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为点D，E，F．求证：点D，E，F在同一条直线上．如下是他们的证明过程（不完整）:如图（1），连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE．QF，则12EQ FQ PC PQ CQ====，（依据1)点E，F，P，C四点共圆，180FCP FEP∴∠+∠=︒．（依据2)又180ACP ABP∠+∠=︒，FEP ABP∴∠=∠．同上可得点B，D，P，E四点共圆，⋯⋯任务：（1）填空：①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②依据2指的是．（2）请将证明过程补充完整．（3）善于思考的小虎发现当点P是 BC的中点时，BD CF=，请你利用图（2）证明该结论的正确性．【分析】（1）利用直角直角三角形斜边上的中线的性质和圆内接四边形对角互补即可；（2）利用直角三角形斜边上中线的性质证明点E，F，P，C和点B，D，P，E四点分别共圆，再说明180FEP DEP∠+∠=︒，可证明结论；（3）连接PA，PB，PC，利用HL证明Rt PBD Rt PCF∆≅∆，从而得出结论．【解答】（1）解：①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，②依据2指的是圆内接四边形对角互补，故答案为：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补；（2）解：如图（1），连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE．QF，则12EQ FQ PC PQ CQ ====，∴点E，F，P，C四点共圆，180FCP FEP∴∠+∠=︒，又180ACP ABP∠+∠=︒，FEP ABP∴∠=∠，同上可得点B，D，P，E四点共圆，DBP DEP∴∠=∠，180ABP DBP∠+∠=︒，180FEP DEP∴∠+∠=︒，∴点D，E，F在同一直线上；（3）证明：如图，连接PA，PB，PC，点P 是 BC的中点，∴ BPPC =，BP PC ∴=，PAD PAC ∠=∠，又PD AD ⊥ ，PF AC ⊥，PD PF ∴=，Rt PBD Rt PCF(HL)∴∆≅∆，BD CF ∴=．【点评】本题主要考查了四点共圆，以及圆内接四边形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明Rt PBD Rt PCF ∆≅∆是解题的关键．2．（2021•哈尔滨模拟）（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是ABC ∆外一点，且AD AC =，求BDC ∠的度数．若以点A 为圆心，AB 为半径作辅助A ，则点C 、D 必在A 上，BAC ∠是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，从而可容易得到BDC ∠=45︒．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，25BDC ∠=︒，求BAC ∠的度数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE DF =．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是．【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．（2）由A 、B 、C 、D 共圆，得出BDC BAC ∠=∠，（3）根据正方形的性质可得AB AD CD ==，BAD CDA ∠=∠，ADG CDG ∠=∠，然后利用“边角边”证明ABE ∆和DCF ∆全等，根据全等三角形对应角相等可得12∠=∠，利用“SAS ”证明ADG ∆和CDG ∆全等，根据全等三角形对应角相等可得23∠=∠，从而得到13∠=∠，然后求出90AHB ∠=︒，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得112OH AB ==，利用勾股定理列式求出OD ，然后根据三角形的三边关系可知当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小．【解答】解：（1）如图1，AB AC = ，AD AC =，∴以点A 为圆心，AB 为半径作圆A ，点B 、C 、D 必在A 上，BAC ∠ 是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，1452BDC BAC ∴∠=∠=︒，故答案为：45；（2）如图2，取BD 的中点O ，连接AO 、CO ．90BAD BCD ∠=∠=︒ ，∴点A 、B 、C 、D 共圆，BDC BAC ∴∠=∠，25BDC ∠=︒ ，25BAC ∴∠=︒，（3）如图3，在正方形ABCD 中，AB AD CD ==，BAD CDA ∠=∠，ADG CDG ∠=∠，在ABE ∆和DCF ∆中，AB CD BAD CDA AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE DCF SAS ∴∆≅∆，12∴∠=∠，在ADG ∆和CDG ∆中，AD CD ADG CDG DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADG CDG SAS ∴∆≅∆，23∴∠=∠，13∴∠=∠，390BAH BAD ∠+∠=∠=︒ ，190BAH ∴∠+∠=︒，1809090AHB ∴∠=︒-︒=︒，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，则112OH AO AB ===，在Rt AOD ∆中，OD ===，根据三角形的三边关系，OH DH OD +>，∴当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小，最小值1OD OH =-=．（解法二：可以理解为点H 是在Rt AHB ∆，AB 直径的半圆 AB 上运动当O 、H 、D 三点共线时，DH 长度最小）1-．【点评】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．3．（2022•潢川县校级一模）如图1，点B 在直线l 上，过点B 构建等腰直角三角形ABC ，使90BAC ∠=︒，且AB AC =，过点C 作CD ⊥直线l 于点D ，连接AD ．（1）小亮在研究这个图形时发现，90BAC BDC ∠=∠=︒，点A ，D 应该在以BC 为直径的圆上，则ADB ∠的度数为45︒，将射线AD 顺时针旋转90︒交直线l 于点E ，可求出线段AD ，BD ，CD 的数量关系为；（2）小亮将等腰直角三角形ABC 绕点B 在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD ，BD ，CD 的数量关系是否变化，请说明理由；（3）在旋转过程中，若CD 长为1，当ABD ∆面积取得最大值时，请直接写AD 的长．【分析】（1）由90BAC ∠=︒，且AB AC =，可得45ACB ABC ∠=∠=︒，由90BAC BDC ∠=∠=︒，推出A 、B 、C 、D 四点共圆，所以45ADB ACB ∠=∠=︒；由题意知EAB DAC ∆≅∆，所以BE CD =，由AE AD =，90EAD ∠=︒，可知ADE ∆是等腰直角三角形，推出CD DB EB BD DE +=+==；（2）如图2，将AD 绕点A 顺时针旋转90︒交直线l 于点E ．易证()EAB DAC SAS ∆≅∆，则BE CD =，由AE AD =，90EAD ∠=︒，所以ADE ∆是等腰直角三角形，则DE =，由BD CD BD BE DE -=-=，推出BD CD-=；（3）当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，ABD∆的面积最大．【解答】解：（1）①如图，在图1中．=，，且AB AC∠=︒90BACACB ABC∴∠=∠=︒，45，∠=∠=︒90BAC BDC∴、B、C、D四点共圆，A∴∠=∠=︒；45ADB ACB②由题意可知，90∠=∠=︒，EAD BAC∴∠=∠，EAB DAC又AE AD=，AB AC=，EAB DAC SAS∴∆≅∆，()∴=，BE CD，90=AE AD∠=︒，EAD∴∆是等腰直角三角形，ADE∴=，DECD DB EB BD DE，+=+=∴+=；CD DB故答案为45︒，CD DB+=；（2）线段AD，BD，CD的数量关系会变化，数量关系为BD CD-=．理由如下：如图2，将AD绕点A顺时针旋转90︒交直线l于点E．则90∠=∠=︒，DAE CAB∴∠=∠，DAC EAB又AD AE=，AC AB=，∴∆≅∆，EAB DAC SAS()∴=，BE CD，90=AE AD∠=︒，EAD∴∆是等腰直角三角形，ADE∴=，DE，-=-=BD CD BD BE DE∴-=；BD CD（3）由（2）知，CDA BEA∆≅∆，∴∠=∠，CDA AEB，∠=︒DEA45∴∠=︒-︒=︒，AEB18045135∴∠=∠=︒，135CDA AEB∴∠+∠=︒+︒=︒，13545180CDA ABC∴、B、C、D四点共圆，A于是作A、B、C、D外接圆O，如图，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，DG经过圆心，此时DG最长，因此ABD∆的面积最大．作DG AB ⊥，则DG 平分ADB ∠，DB DA =，在DA 上截取一点H ，使得1CD DH ==，45ADB ACB ∠=∠=︒ ，22.5GDB ∴∠=︒，67.5DBG ∠=︒，67.54522.5DBC ∴∠=︒-︒=︒，4522.522.5HCB DHC HBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，HCB HBC ∴∠=∠，HB CH ∴==，1AD BD DH BH ∴==+=．【点评】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．。

2025高考数学“隐形圆”问题课件练习题

2
2
｜ 1 2 ｜＝5，则7≤2｜｜≤13，即｜＋｜的取值范围是[7，13].
例1
例2
例3
训练1
例4
训练2
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突破1
“隐形圆”问题
1. 已知直线 l ： y ＝ k ( x －2)＋1( k ∈R)上存在一点 P ，满足｜ OP ｜＝1，其中 O 为
坐标原点，则实数 k 的取值范围是(
确定动点的轨迹是圆，进而解决与圆相关的问题.
｜｜
(2)已知平面上相异两点 A ， B ，则满足
＝ k ( k ＞0， k ≠1)的动点 P 的轨迹是
｜｜
一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆.
例1
例2
例3
训练1
例4
训练2
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突破1
“隐形圆”问题
训练1 (1)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A (－ t ，0)， B ( t ，0)， t ＞0，点 C 满足
3
1
2
设 E ， F 分别为 AC ， BC 上的点，且＝，＝，则 P ， E ， F 三点共
线.因为｜｜＝｜｜＝｜｜，所以 P 是△ ABC 的外心，即三边中垂线的交
点，由 F 是 CB 的中点得直线 EF 是边 BC 的中垂线，则｜EB｜＝｜EC｜＝2｜EA｜.
则｜ PQ ｜＝2 2 ，圆( x ＋2)2＋ y 2＝4的圆心 N (－2，0)到直线 l 的距离 d ＝
|−2+0−2｜
2
＝2 2 ，所以点 M 到直线 l 的距离的最小值为2 2 －2，
1
2
所以( S △ MPQ )min＝ ×2 2 ×(2 2 －2)＝4－2 2 .故选D.

第24章圆之专题练习：隐形的圆——“道是无圆却有圆”

专题：隐形的圆——“道是无圆却有圆”方法技巧常见的隐圆有两类：(1)到定点的距离等于定长的点在同一个圆上(圆的定义)；(2)若定长线段的张角是定角(定弦定角)，则定角的顶点在定弦所对的一条弧上运动．利用“辅助圆”的丰富性质转换角，求线段的长或最值是隐圆类问题的基本模式．题型一利用“定点定长”构隐圆【例1】如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝60°，点E为平面内的一动点，点P为CE的中点，若AE＝1，求BP的最大值．【例2】如图，O是长度为4的线段AB上的一点，且OA＝1，以OA为半径作⊙O，点M是⊙O上的一动点，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△MBC，使∠MBC＝90°(M，B，C三点为逆时针顺序)，连接AC．求AC长度的取值范围．题型二利用“定弦定角”构隐圆【例3】如图，在正方形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，点P 为对角线BD 上的一点，作PE ⊥AP 交BC 于点E ．若∠CAE ＝15°，求PBPE的值．【例4】如图，⊙O 的半径为1，AB 为⊙O 的弦，将弦AB 绕点A 逆时针旋转120°，得到AC ，连接OC ，求OC 长度的最大值．针对练习61．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦(CD 与AB 不平行)，点M 是CD 的中点，CE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AB 于点F ．①当∠EMF ＝60°时，求CDAB的值；②当∠EMF ＝90°时，CD AB 的值为；当∠EMF ＝120°时，CDAB的值为．AC上的一动点，PEAB上的一点，且∠AOC＝120°，点P是⌒2．如图，AB是半圆⊙O的直径，点C是⌒⊥OA于点E，PF⊥OC于点F，CD⊥OB于点D，求证：EF＝CD．3．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB＝1，BC＝2，点P为射线DA上的一动点，过B，D，P三点的圆交PC于点Q．求DQ的最小值．4．如图，△ABC的两个顶点A，B在半径为6的⊙O上，∠A＝30°，∠B＝90°，点C在⊙O内．当点A在圆上运动，且OC的长最小时，求弦AB的长．。

微专题22“隐形圆”问题(解析)

1. [4，6] 解析：圆 C： (x － 3)2＋ (y － 4)2＝ 1 的圆心 C(3， 4) ，半径 r ＝ 1，设 P(a， b)
在圆
C 上，则 A→P ＝ (a＋ m，b)，B→P＝ (a－ m，b)，因为∠
APB
＝
90°，所以
A→P
⊥ B→P，所以
A→P
→ · BP
＝(a＋ m)(a － m)＋ b2＝ 0，所以 m2＝ a2＋b2＝ OP2，所以 m 的最大值即为 OP 的最大值，等于
，所以
A→P ·→B＝P (x － 2)(x － 6) ＋
3x＋ 3 2 4 －9＝
1 (25x 2－ 110x＋ 57)．又 A→P ·→B＋P2λ＝ 0，所以 1 (25x 2－ 110x＋ 57)＋ 2λ＝ 0，所以 Δ＝ (－ 110)2
16
16
－4× 25×(57＋ 32λ)>0，解得 λ<2，所以实数 λ的取值范围是 (－∞， 2)．
3或 0<t ≤ 2－
3，因此最
小正整数 t 的值为 4.
1. (－ 9， 0) 解析：假设存在这样的点 B(t ， 0) ，使得 PB为常数 λ，则 PB2＝ λ2PA2，所
5
PA
以(x － t)2＋ y2 ＝λ2[(x ＋5)2 ＋y2] ，将 y2＝ 9－x 2 代入得 x 2－ 2xt ＋ t2 ＋9－ x 2＝ λ2(x 2 ＋10x ＋ 25＋9
所以 x2＋ (y － 1)2＝ 4，因为圆 C 上存在点 M ，满足 MA 2＋MO 2＝ 10，所以两圆相交或相切，
所以 1≤ a2＋（ a－ 3） 2≤ 3，所以 0≤a≤ 3.
1. 解析： (1) 圆 C 的标准方程为 (x －2) 2＋ y2＝ 4，所以圆心 C(2 ，0)，半径为 2.

专题复习“隐形圆”问题

“隐形圆”问题江苏省通州高级中学一、问题概述江苏省高考考试说明中圆的方程是 C 级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．二、求解策略如何发现隐形圆（或圆的方程）是关键，常见的有以下策略．策略一利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆例 1（1）如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4 上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数 a 的取值范围是．? 6 ? a ? 0 5略解：到原点的距离为 1 的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知圆相交求解．（2）（2016 年南京二模）已知圆 O ：x 2＋y 2＝1，圆 M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆 M 上存在点 P ，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A ，B ，使得∠APB ＝60°，则 a 的取值范围为．解：由题意得 OP ? 2 ，所以 P 在以 O 为圆心 2 为半径的圆上，即此圆与圆 M 有公共点，因此有 2 ? 1 ? OM ? 2 ? 1 ? 1≤ a ? (a ? 4)≤9 ? 2 ? a ≤ 2 ?? 2 2（3）（2017 年苏北四市一模）已知 A 、B 是圆 C : x ? y ? 1 上的动点， AB = 是圆C : (x ? 3）? ( y ? 4) ? 1 上的动点，则 PA ? PB 的取值范围是．1 略解：取 AB 的中点 M ，则 C 1M =2 1 ，所以 M 在以 C 1 圆心，半径为 2的圆上，且PA ? PB ? 2PM ，转化为两圆上动点的距离的最值．（4）若对任意??R ，直线 l ：x cos ?＋y sin ?＝2sin(?＋ ? )＋4 与圆 C ：(x －m )2＋(y － 6＝1 均无公共点，则实数 m 的取值范围是． (? 1 , 5 )2略解：直线 l 的方程为：(x -1)cos ?＋(y ?＝4，M l 距离为 4，所以 l 是以 M 为圆心半径为 4 M 与圆O?2 ，?注：直线l：(x-x0)cos?＋(y- y0)sin?＝R 为圆M：(x ?x )? (x ?y )?R的切线系．例2（2017 年南通市一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知B，C 为圆x?y? 4 上两点，点A(1，1) ，且AB⊥AC，则线段BC 的长的取值范围为．解：法一（标解）：设BC 的中点为M?x,y?，因为OB?OM ?BM ?OM ?AM ，所以4 ?x?y??x?1???y ?1?， B MC 化简得?x ?1 ? ??y ?1 ? ?3 ，A? 2 ?? 2 ?2????所以点M 的轨迹是以?1 1 ?为圆心，为半径的2?圆，所以AM 的取值范围是，2 ?，所2 2??例2???以BC 的取值范围是．法二：以AB、AC 为邻边作矩形BACN，则BC＝AN ，由矩形的几何性质（矩形所在平面上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方和相等），有OB?OC?OA?O N ，所以ON＝ 6 ，故N 在以O 为圆心，半径为BC 的取值范围是．变式1 （2014 年常州高三期末卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O : x?y?16 ，点P (1, 2) ，M、N 为圆O PM ?PN ? 0 ，若PQ 的最小值为．y变式2 已知圆C：x ?y? 9 ，圆C：x ?y? 4 ，定点P(1, 0) ，动点A, B 分别在圆C和圆C上，满足?APB ? 90 ，则线段AB 的取值范围．11]变式3 已知向量a、b、c 3, b ? 2, c ?1,(a ?c) ?(b ?c) ?为．11]策略二动点 P 对两定点 A 、B 张角是 90（ k ? k ? ?1 ，或 PA ? PB ? 0）确定隐形圆例 3 （1）（2014 年北京卷）已知圆 C ： (x ? 3)? ( y ? 4)? 1 和两点 A (?m , 0) ， B (m , 0) ，若圆上存在点 P ，使得 ?APB ? 90 ，则 m 的取值范围是．?4, 6?略解：由已知以 AB 为直径的圆与圆 C 有公共点．（2）（海安 2016 届高三上期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P (?1，0) ，Q (2 ，1) ，直线 l ：ax ? by ? c ? 0 其中实数 a ，b ，c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上的射影为 H ，则线段 QH 的取值范围是．解：由题意，圆心C (1，－2)在直线 ax ＋by ＋c ＝0 上，可得 a －2b ＋c ＝0，即 c ＝2b －a ．直线l ：(2a －b )x ＋(2b －c )y ＋(2c －a )＝0，即 a (2x ＋y －3)＋b (4－x )＝0， ?2x ? y ? 3 ? 0,由 ? ?4 ? x ? 0，可得 x ＝4，y ＝－5，即直线过定点 M (4，－5)，由题意，H 在以PM 为直径的圆上，圆心为 A (5，2)，方程为(x －5)2＋(y －2)2＝50， ∵|CA |＝CH 最小为CH 最大为 ∴线段（3）（通州区 2017 ? R ，直线 l ： x ? my ? 0 与直线l ： mx ? y ? 2m ? 4 ? 0 交于点 P (x , y ) ，则 x ? y ? 2x 的取值范围是．[12 ??略解：l 1 过定点 O (0，0)，l 2 过定点 A (2，-4)，则 P 在以 OA 为直径的圆上（除去一点），变式（2017 年南京二模）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 1：kx －y ＋2＝0 与直线 l 2： x ＋ky －2＝0 相交于点 P ，则当实数 k 变化时，点 P 到直线 x －y －4＝0 的距离的最大值为．3 2策略三两定点 A 、B ，动点 P 满足 PA ? PB ? ? 确定隐形圆例 4 （1）（2017 年南通密卷 3）已知点 A (2, 3) ，点 B (6, ?3)，点 P 在直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 上，若满足等式 AP ? BP ? 2? ? 0 的点P 有两个，则实数 ? 的取值范围是．解：设P （x ，y ），则 AP ? (x ? 2, y ? 3) ， BP ? ( x ? 6, y ? 3) ，根据 AP ? BP ? 2? ? 0 ，有 ? x ? 4?? y ? 13 ? 2? ? ? ? 13 ? .由题意 ?? 2 ? ?? ?心，圆： ? x ? 4?? y ? 13 ? 2? ? ? ? 13 ? 圆与直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 相交， ?? 2 ?圆心到直线的距离 d 3 ?? ? 2 . （2）（2016 2，动点 C 满足 CA ? C B ? ? （? 为常数），且点 C 总不在以点 B 为圆 1 2 为半径的圆内，则负数 ? 的最大值是 . ? 34略解：动点 C 满足方程 x ? y ? ? ? 1 .策略四两定点 A 、B ，动点 P 满足PA ? PB 是定值确定隐形圆例 5 （1）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1，点 A (0，2)，若圆 C 上存在点 M ，满足 MA 2＋MO 2＝10，则实数 a 的取值范围是．[0，3]略解：M 满足的方程为 x ? ( y ?1)? 4 ，转化为两圆有公共点（2）（2017 年南京、盐城一模）在 ?ABC 中，A ，B ，Ca ,b ,c ，若 a ? b ? 2c ? 8 ，则 ?ABC 面积的最大值为．解：以 AB 的中点为原点，AB 所在直线为 x 轴，建系.设 A (? c , 0) ， B ( c , 0) ， C (x , y ) ，则由 a ? b ? 2c ? 8 ，2 2得 (x ? c )? y ? ( x ? c ) ? y ? 2c ? 8 ，即 x ? y ? 4 ? 5 c ，2 2 所以点 C 在此圆上，S ≤ c r ?2 策略五两定点 A 、B ，动点 P 满足 PA ? ?(? ? 0, ? ? 1) 确定隐形圆（阿波罗尼斯圆） PB例 6（1）略解：点 P 满足圆的方程为 x ? y ? 4 ，转化到直线与圆相交.（2）（2016 届常州一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点 P 在直线 x ? ? b ? 0 上，过点 P 作圆 O ，O 1 的两条切线，?3 切点分别为 A ，B ，若满足 PB ? 2PA 的点 P 有且仅有两个，则 b 的取值范围． ?－ 20 ,4 ??? 3 ? ?? ? 例 7（2017 年南通二模）一缉私艇巡航至距领海边界线 l （一条南北方向的直线）3.8 海里的A 处，发现在其北偏东 30°方向相距 4 海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的 3 倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1成功；（参考数据： sin17 °? 5.7446 ）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．北解：（1）略7（2）如图乙，以 A 为原点，正北方向所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系则 B ?2 ，船相遇，则 PA ? 3 ，即 ? 3 ． PB 整理得， ? 9 ? ?9 3? 9x ? 4 ? y ? 4 ? 4 ，所以点 P (x ，y ) 的轨迹是以点 9 ，为圆心， 4 2 为半径的圆．图乙因为圆心 ?9到领海边界线 l ： x ? 3.8 的距离为 1.55，大于圆半径 3 ， 4 2 所以缉私艇能在领海内截住走私船．策略六由圆周角的性质确定隐形圆例 8 （1）已知 a , b , c 分别为 ?ABC 的三个内角 A , B , C 的对边， a ? 2 ，(a +b )(sin A -sin B )=(c -b )sin C 则 ?ABC 面积的最大值为．略解：cos∠A＝1，∠A＝60°，设?ABC 的外接圆的圆心为O，外接圆的半径为2O 到BC 则边BC 上的高h 的最大值为则面积的最大值（2）（2017 年常州一模）在△ABC 中，∠C＝45o，O 是△ABC 的外心，若OC ?mOA ?nOB (m，n∈R)，则m＋n 的取值范围是．[略解：∠AOB＝2∠C＝90°，点C 在以O OA 的圆上（在优弧AB 上）．三、同步练习1．已知直线l : x ?2y?m ? 0 上存在点M 2, 0) , B(2, 0) 连线的斜率之积为?1 ，则实数m 的取值范围是．[?2．(2016 年泰州一模)已知实数a，b，c 满足a? 0 ，则ba ? 2c的取值范围为．[?3．已知?,t?R ，则(cos??t ? 2)? (sin??t ? 2)的取值范围是．1, 1] 4．已知圆C :(x? 3)?(y ? 4)?1和两点A(?m, 0), B(m, 0) (m ? 0) ．若圆C P PA ?PB ?1，则m 的取值范围是．7．（2016 年无锡一模）已知圆C : ( x? 2)?y? 4 ，线段EF 在直线l : y ?x ?1 上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A、B，使得PA ?PB ≤0 ，则线段EF 长度的最大值是．8．如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C 是圆x2＋y2＝1 上的动点(与点A,B 不重合)，连接BC 并延长至D，使得|CD|＝|BC |，则线段 PD 的取值范围． ( 2 , 2) 39．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A ( ? t ，0)(t ? 0) ， B (t ，0) ，点 C 满足 AC ? BC ? 8 ，且点 C 到直线 l ： 3x ? 4y ? 24 ? 0 的最小距离为 9 ，则实数 t 的值是．1 510．（2013 年江苏卷第 17 题改编）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 O (0, 0) ， A (0, 3) 如果圆 C : ( x ? a )? ( y ? 2a ? 4)? 1 上总存在点 M 使得 MA ? 2MO ，则圆心C 的横坐标 a 的取值范围是．[0, 12 ] 511．已知向量 a 、b 、c 满足 a b ? a ? b = 3 ，若 (c ? 2a )(2 b ?3c ) ?0 ，则 b ? c 的最大值是．1 12．设点 A , B 是圆 x ? y ? 4 上的两点，点 C (1, 0) ，如果 ?ACB ? 90 ，则线段 AB 长度的取1 1]13．在 ?ABC 为边作等腰直角三角形 ABD (B 为直角顶点，C 、D )．当∠C 变化时，线段 CD 长的最大值为． 3 14．（2016 年南通三模）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C : ? x ? 1?? y ? 2 ，圆 C : ? x ? m ?? ? y ? m ?? m ，若圆 C 上存在点 P 满足：过点 P 向圆作两条切线C PA 、PB ，切点为 A 、B ， ?ABP 的面积为 1，则正数 m 的取值范围是．解：设 P (x ，y ) ，设 PA ，PB 2? ．△ABP 的面积 S = 1 PA sin 2? ? PA ?? PA ? 1．2 PC PC? PC ? PA ? 2 ，解得 PA ?所以 PC ? 2 ，所以点 P 在圆 (x ? 1) ? y ? 4 上．所以 m ? 2 ? 2 ，解得1≤ m ≤3 ? 2 3。

八种隐圆类最值问题,圆来如此简单(原卷版)

八种隐圆类最值问题，圆来如此简单在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。

正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。

“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏圆”。

一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！知识点梳理题型一定点定长得圆2023年湖北省鄂州市中考数学真题2023·邵阳市中考真题2023·广西南宁市二模2022·辽宁抚顺·中考真题2022·长春·中考真题题型二直角的对边是直径2023·菏泽市中考真题2022·通辽·中考真题2023·汕头市金平区一模2023·广州市天河区三模2022·成都市成华区二诊题型三对角互补得圆2023年·广元市一模题型四定弦定角得圆2023·成都市新都区二模2023·成都市金牛区二模2023·达州·中考真题题型五四点共圆题型六相切时取到最值2023·随州市中考真题2022·江苏无锡·中考真题2022扬州中考真题题型七定角定高面积最小、周长最小问题题型八米勒角（最大张角）模型徐州中考知识点梳理一、定点定长得圆在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算二、直角的对边是直径前世：在⊙O中，AB为直径，则始终有AB所对的∠C=90°今生：若有AB是固定线段，且总有∠ACB＝90°，则C在以AB为直径径的圆上．(此类型本来属于定弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类)xB三、对角互补前世：在⊙O 上任意四点A ，B ，C ，D 所围成的四边形对角互补今生：若四边形ABCD 对角互补，则A ，B ，C ，D 四点共圆四、定弦定角模型定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算．前世：在⊙O 中，若弦AB 长度固定则弦AB 所对的圆周角都相等(注意：弦AB 在劣弧AB 上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)今生：若有一固定线段AB 及线段AB 所对的∠C 大小固定，根据圆的知识可知C 点并不是唯一固定的点，C 在⊙O 的优弧ACB 上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C 的大小，小于90°，则C 在优弧上运动；等于90°，则C 在半圆上运动；大于90°则C 在劣弧运动)五、四点共圆模型前世:在⊙O 中，ABCD 是圆的内接四边形，则有∠1=∠2，∠3=∠4，△BPC~△APD(同理△BPA~△CPD) 今生:若四边形ABCD 中有∠1=∠2(通常情况下∠5=∠6对顶角相等，故不需要∠3=∠4，实际应用中长用∠1=∠2，∠5=∠6)则ABCD 四点(某些不能直接使用四点共圆的地区，可以通过证明两次三角形相似也可)，选填题可以直接使用六、定角定高（探照灯模型）什么叫定角定高，如右图，直线BC 外一点A ，A 到直线BC 距离为定值（定高），∠BAC 为定角。

中考数学隐形圆专题含答案

类型一：定点到动点定长点A为定点，点B为动点，AB为定长，则点B的轨迹为圆心为点A，半径为AB的圆。

【经典例题1】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F 是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是___.【解析】如图所示：当∠BFE=∠B′EF，点B′在DE上时，此时B′D的值最小，根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，∴EB′⊥B′F，∴EB′=EB，∵E是AB边的中点，AB=4，∴AE=EB′=2，∵AD=6，∴DE=1022622=+，∴B′D=102−2.练习1-1如图③，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是AB 边上一点，且AE=2，点F 是BC 边上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG 、CG ，四边形AGCD 的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF 的长度。

若不存在，请说明理由。

【解析】（3）如图3，△四边形ABCD 是矩形，△CD=AB=3，AD=BC=4，△ABC=△D=90°，根据勾股定理得，AC=5， △AB=3，AE=2，△点F 在BC 上的任何位置时，点G 始终在AC 的下方，设点G 到AC 的距离为h ，△S 四边形AGCD =S △ACD +S △ACG =21AD×CD+21AC×h=21×4×3+21×5×h=25h+6， △要四边形AGCD 的面积最小，即：h 最小，△点G 是以点E 为圆心，BE=1为半径的圆上在矩形ABCD 内部的一部分点， △EG△AC 时，h 最小，由折叠知△EGF=△ABC=90°，延长EG 交AC 于H ，则EH△AC ，在Rt△ABC 中，sin△BAC=AC BC =54，在Rt△AEH 中，AE=2，sin△BAC=AE EH =54， △EH=54AE=58，△h=EH -EG=58-1=53 △S 四边形AGCD 最小=25h+6=25×53+6=215．练习1-2如图，等边△ABC 的边AB=8，D 是AB 上一点，BD=3，P 是AC 边上一动点，将△ADP 沿直线DP 折叠，A 的对应点为A'，则CA'的长度最小值是 .【解析】2练习1-3如图，在平行四边形ABCD 中，△BCD =30°，BC =4，CD=M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△AMN ，连接A'C ，则A'C 长度的最小值是 .【解析】如图，连接MC ；过点M 作ME△CD ，交CD 的延长线于点E ；△四边形ABCD 为平行四边形，△AD△BC ，AD=BC=4，△点M 为AD 的中点，△BCD=30△，△DM=MA=2，△MDE=△BCD=30△， △ME=21DM=1，DE=3， △CE=CD+DE=43，由勾股定理得：CM 2=ME 2+CE 2，第4题图AB C DA'M N△CM=7;由翻折变换的性质得：MA′=MA=2，显然，当折线MA′C 与线段MC 重合时，线段A′C 的长度最短，此时A′C=7−2=5，故答案为5.练习1-4如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60∘，点M 是AD 边的中点，点N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连结A′C ，则A′C 长度的最小值是( ) A. 7 B. 7−1 C. 3 D. 2【解析】如图所示：∵MA′是定值，A′C 长度取最小值时，即A′在MC 上时，过点M 作MF ⊥DC 于点F ，∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60∘，M 为AD 中点，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60∘，∴∠FMD=30∘，∴FD=21MD=21，∴FM=DM×cos30∘=23， ∴MC=722=+CF FM ，∴A′C=MC−MA′=7−1.故选：B.变式：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F 在边AC 上，并且CF=2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是_____解题思路：同上题，不难看出点P 的运动轨迹为以点F 为圆心，PF 为半径的圆上运动，求点P 到AB 的距离最小，可过点F 作AB 的垂线于点M ，交圆 F 于点P ，此时，最小值为PM 。

专题11 圆的最值问题(隐圆模型)(解析版)(人教版)

专题11圆的最值问题（隐圆模型）【知识点梳理】隐圆模型汇总固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径A．1B．作正方形ABCD关于直线BC对称的正方形则点D的对应点是F，连接FO交BC于P，交半圆O于根据对称性有：PD PF=，则有：PE PD PE PF+=+，则线段EF的长即为PE PD+的长度最小值，【答案】634-【分析】取AD 的中点O ，连接OF BC ⊥于F ，交CD 于G 取AD 的中点O ，连接OM ，过点于F ，交CD 于G ，则OM ME + AB CD ，60DAB ∠= ，AD ∴120ADC ∠=︒，AD CD =，【答案】3∴BD＝2，∴11 2BD=．D运动的一个动点，联结EF，将AEF沿EF折叠，点A落在点G处，在运动的过程中，点G运动的路径长为（）A．23πB C．3πD．1【答案】A【详解】解：∵点E 为AB 中点，点F 为AD 边上从A 到D 运动的一个动点，联结EF ，将AEF 沿EF 折叠，∴AE EB EG ==，∴G 点在以E 为圆心，AE 长为半径的圆上运动．当F 与D 点重合时，如图，则G 点运动的路径为 AG ．∵AB ＝2，点E 为AB 中点，∴112AE AB ==，∵矩形ABCD ，∴90EAD ∠=︒，∵1AE =，AD =，90EAD ∠=︒，∴tan AD AED AE ∠==60AED ∠=︒．∵将AEF 沿EF 折叠，∴60DEG AED ∠=∠=︒，∴120AEG ∠=︒，∵1AE =，∴ 120223603AG AE π=⨯⨯=．故选：A ．3．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，5AC =，12BC =，D 是以点A 为圆心，3为半径的圆上一点，连接BD ，M 是BD 的中点，则线段CM 长度的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【详解】作AB 的中点E ，连接EM 、CE 、AD ，则有AD =3，∵∠ACB =90°，即在Rt ABC 中，13AB ==，∵E 是Rt ABC 斜边AB 上的中点，∴11322CE AB ==，∵M 是BD 的中点，E 是AB 的中点，∴1322ME AD ==，∴在CEM 中，1331332222CM -+＜＜，即58CM ＜＜；当C 、M 、E 三点共线时有133822CM +==或者133522CM -==；即58CM ≤≤，∴CM 最小值为5，故选：C ．【答案】21022-【分析】由题意可知，AGB ∠圆周角45APB ∠=︒的圆上，（要使。

初中隐圆问题经典题型

初中隐圆问题经典题型
1. 有一圆心角为60°的圆，半径为5cm，求圆心角所对的弧长。

解析：由圆心角的定义可知，它所对应的弧长等于圆周长的60/360，即1/6。

所以弧长为1/6 × 2πr = 5π/3 ≈ 5.24cm。

2.若一圆的圆心角A比B小90°，则弧AB的长度是弧BC的的2倍，求A的大小。

解析：设圆心角A的大小为x，则圆心角B的大小为x+90°。

又因为
弧AB的长度是弧BC的2倍，所以：
2x/360×2πr=(x+90)/360×2πr/3。

化简得：
4x=x+90。

x=22.5°。

所以圆心角A的大小为22.5°。

3.垂直于直线AB，在其上选一点C，将圆O截得弧AC和弧BC。

若
AC=BC，则圆心O在直线AB上。

解析：考虑圆O的直径线段DE与直线AB的交点F，连接OF。

可知弧AC和弧BC所对圆心角相等，即∠AOC=∠BOC。

又因为AC=BC，所以OF垂
直于AC、BC的平分线，即OF为圆O的切线。

由切线定理可得，DE垂直
于OF，所以DE//AB。

而圆O的直径线段DE必过圆心O，所以圆心O在直
线AB上。

中考数学复习-隐形圆问题大全(后有专题练习无答案)

2.应用：（1）如图，四边形ABCD二定线+定角1.依据：与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆周角的弧。

（2）如图，∠XOY = 45°，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB = 2，那么OC的最大值为.简析：作ΔABC的处接圆（4）如图,在平面直角坐标系中三三点定圆1.依据：不在同一直线上的三点确定一个圆。

2.应用：ΔABC中，∠A＝45°，AD⊥BC于D，BD=4，CD=6，求AD的长。

简析：作ΔABC的外接圆，如下图，易得AD=7+5=12。

四四点共圆1.依据：对角互补的四边形四个顶点共圆（或一边所对两个角相等）。

2.应用：如图，在矩形ABCD中， AB=6，AD=8，P、E分别是线段AC、BC上的点，四边形PEFD为矩形，若AP=2，求CF的长。

简析：因∠PEF=∠PDF=∠DCE=90°，知D、F、C、E、P共圆，如下图，由∠1=∠2、∠4=∠5，易得ΔAPD∼ΔDCF，CF：AP＝CD：AD，得CF＝1.5。

五旋转生圆1.如图，圆O的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB=6，以为AB边作正方形ABCD（点D、P在直线两侧），若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为_____ 。

简析：CD旋转一周扫过的图形可以用两点确定，一是最远点距离为PC，二是最近点距离为P到直线CD的垂线段，从而确定两个圆，CD即为两圆之间的圆环，如下图。

2.如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=5cm，AC=2cm，将ΔABC绕顶点C按顺时针方向旋转至ΔA'B'C的位置，则线段AB扫过区域的面积为_____。

中考数学压轴题隐形圆及最值问题

专题18 隐形圆及最值问题本文主要从以下四个方面去介绍：一、从圆的定义构造圆（折叠类问题）二、定边对直角三、定边对定角四、四点共圆一、从圆的定义构造圆（折叠类问题）圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．1、几个点到某个定点距离相等可用圆（定点为圆心，相等距离为半径）例：如图，若AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的大小是_______例：如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为__________2、动点到定点距离保持不变的可用圆（先确定定点，定点为圆心，动点到定点的距离为半径）例：木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）如图，在Rt ABCBC=，点F在边AC上，并且2AC=，8CF=，点E为∆中，90C∠=︒，6边BC上的动点，将CEF∆沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．二、定边对直角知识回顾：直径所对的圆周角是直角．构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．图形释义：PPABOP例：若AB是一条定线段，且∠APB=90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆．如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，8AC=cm，3BC=cm．D是BC边上的一个动点，连接AD，过点C作CE AD⊥于E，连接BE，在点D变化的过程中，线段BE的最小值是（）A．1 B．3C．2 D．5例：如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（）A2B2πC3D．2π三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆．PPA BP例：（2018•日照）如图，已知点(1,0)A-，(3,0)B，(0,1)C在抛物线2y ax bx c=++上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使PBC∆面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使BQC BAC∠=∠？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．ABCDE若平面上A、B、C、D四个点满足ABD ACD∠=∠=90︒，则A、B、C、D在以AD中点E为圆心、EA长为半径的圆上（可证EA EB EC ED===）．EDCBA若平面上A、B、C、D四个点满足ABC ADC∠=∠=90︒，则A、B、C、D在以AC中点E为圆心、EA为半径的圆上（可证EA EB EC ED===）．若平面上A、B、C、D四个点满足ADB ACB∠=∠，则A、B、C、D四点共圆．证明条件：线段同侧张角相等．ODC BA若平面上A 、B 、C 、D 四个点满足ABC ADC ∠+∠=180︒，则A 、B 、C 、D 四点共圆．证明条件：1．四边形对角互补； 2．四边形外角等于内对角．两条线段被一点分成（内分或外分）两段长的乘积相等，则这两条线段的四个端点共圆．四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于H ，若AH CH BH DH ⋅=⋅，则A B C D 、、、四点共圆.四边形ABCD 的对边BA 、CD 的延长线交于P ，若PA PB PD PC ⋅=⋅，则A B C D 、、、四点共圆.例题1：如图1，在四边形ABCD 中，98DAC ∠=︒，82DBC ∠=︒，70BCD ∠=︒，BC AD =，则ACD ∠=______________．（2）如图2，在ABC △的边AB 、AC 上分别取点Q 、P ，使得12PBC QCB A ∠=∠=∠．求证：BQ CP =．QPC BA图1 图2例：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝4cm ，CD 是中线，点E 、F 同时从点D 出发，以相同的速度分别沿DC 、DB 方向移动，当点E 到达点C 时，运动停止，直线AE 分别与CF 、BC 相交于G 、H ，则在点E 、F 移动过程中，点G 移动路线的长度为（）MABCP QDCABH OBCDAPBACDA．2 B．πC．2πD．2 2π圆中最值问题方法总结：圆中求最值的方法：(在圆中，注意圆的半径长为定值，要围绕半径构造模型解题)①结合半径，利用垂线段最短直接构造直角三角形求解，如T1，T2；②根据圆的对称性，将线段转换到一起，再利用两点之间线段最短求解，如T3，T10；③利用直径是圆中最长的弦求解，如T5；④寻找隐含条件(如中位线、直角三角形斜边上的中线等)，构造直角三角形或隐圆解题，如T6，T9.1．如图，等边ABC∆的边长为2，A的半径为1，D是BC上的动点，DE与A相切于E，DE的最小值是()A．1B．2C．3D．22．如图，在O中，弦1AB=，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD OC⊥交O于点D，则CD的最大值为．3．如图点A 是半圆上一个三等分点（靠近点N 这一侧），点B 是弧AN 的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，若O 半径为3，则AP BP +的最小值为．4．如图，ABC ∆是O 的内接三角形，且AB 是O 的直径，点P 为O 上的动点，且60BPC ∠=︒，O 的半径为6，则点P 到AC 距离的最大值是．5．如图，AC 是O 的弦，5AC =，点B 是O 上的一个动点，且45ABC ∠=︒，若点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则MN 的最大值是．6．如图，在平面直角坐标系中，已知(3,4)C ，以点C 为圆心的圆与y 轴相切．点A 、B 在x 轴上，且OA OB =．点P 为C 上的动点，90APB ∠=︒，则AB 长度的最大值为．7．已知点A是圆心为坐标原点O且半径为3的圆上的动点，经过点(4,0)B作直线l x⊥轴，点P是直线l上的动点，若45∆的面积的最大值为．∠=︒，则BOPOPA8．如图，已知O的半径为m，点C为直径AB延长线上一点，BC m=．过点C任作一直线l，若l上总存在点P，使过P所作的O的两切线互相垂直，则ACP∠的最大值等于．9．如图，P是矩形ABCD内一点，4AD=，AP BPAB=，2⊥，则当线段DP最短时，CP=．10．如图，AB是O的直径，点C、D是O上的点，且//OD BC，AC分别与BD、OD 相交于点E、F．（1）求证：点D为AC的中点；（2）若6AB=，求DF的长；CB=，10（3）若O的半径为2，80+的最DOA∠=︒，点P是线段AB上任意一点，试求出PC PD小值．。

中考数学复习指导：发现“隐形”圆巧求最小值

发现发现““隐形隐形””圆巧求最小值在近几年的中考数学试题中，常有一些涉及到求线段最小值的问题.这些题目入手较难，得分率很低，分析其原因不难发现，学生对题目中运动变化的本质没有搞清楚.在这些蕴含运动变化的问题中，并没有显性的圆，但是仔细分析题目的条件，如果能发现某个点的运动路径是一个圆(或是一段弧)，可谓是“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”，将会对问题的解决起着重要的作用.下面举例说明.一、翻折中的“隐形”圆例1 如图1，在Rt ABC ∆中，90,6,8C AC BC ∠=°==，点F在边AC 上，并且2CF =，点E 为边BC 上的动点，将CEF ∆沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是 .解如图2，当点E 在BC 上运动时, PF 的长固定不变，即2PF CF ==.所以点P 在以点F 为圆心，以2为半径的圆上运动.过点F 作FH AB ⊥交⊙F 于点P ，垂足为H ，此时PH 最短.由AFH ABC ∆∆:，得FH FA BC AB=.又由已知易得4,10AF AB ==.所以4810FH =，即165FH =.所以P 到AB 距离的最小值166255PH FH FP =−=−=.点评本题关键的地方在于抓住无论点E 的位置在哪，翻折,FCE PF ∆的长度始终等于FC 的长度，即2PF =.也就是说动点P 到定点F 的距离是定值2，所以点F 的运动路径是以点F 为圆心，2为半径的圆(或部分).如此，这个问题就最终转化为在圆上找一个到定直线距离最短的点.我们可以利用图3的模型1来作出直观解释.模型1 如图3，直线m 与⊙O 相离，过D 点O 作直线m 的垂线，垂足为点H ，交⊙O 与点P 、点Q ，则⊙O 上点P 到直线m 的距离最短，点Q 到直线m 的距离最长理由简述在⊙O 上任意找一点P ′，过P ′作P H ′′⊥直线m ，垂足为点H ′.由三角形三边关系及直角三角形斜边大于直角边可得:OP P H OH OH ′′′′+>>，而OH OP PH =+,OP OP ′=，所以P H PH ′′>，所以点P 到直线m 的距离最短.类似的方法可以说明点P 到直线m 的距离最长.例2如图4，在边长为2的菱形ABCD 中，60,A M ∠=°对是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点.将AMN ∆沿MN 所在的直线翻折得到A MN ′∆，连结A C ′，则A C ′长度的最小值是 .解当点N 在AB 边上运动时，MA ′的长度固定不变，即1MA MA ′==，所以点A ′在以点M 为圆心，1为半径的圆上运动，如图5，连接CM ，与⊙M 交于点A ′，此时CA ′最短.过点C 作CG AD ⊥交AD 的延长线于点G .因为2,60CD CDG A =∠=∠=°，所以1,DG CG ==，在Rt CMG ∆中，由勾股定理，得CM == 点评同例1，无论N 点在何处，沿MN 翻折后，线段MA ′的长度(1MA MA ′==)保持不变，而且点M 是定点，所以点A ′的运动轨迹是以M 为圆心，1为半径的圆(部分).要求A C ′的最小值，回归到模型1中，连结圆外定点C 与圆心M 与圆M 交于点A ′，此时A C ′的长度即为最小值.我们可以借助图6利用模型2来作出直观解释.模型2 如图6，点P 为⊙O 外一定点，连结PO 交⊙O 于点A ，延长线与⊙O 交于另一点B ，则PA 的长度为⊙O 外一点P 到⊙O 的最短距离，PB 的长度为⊙O 外一点P 到⊙O 的最长距离.理由简述在⊙O 上再任意找一点A ′ ,连接PA ′，由三角形三边关系，可得OA PA OP ′′+>.又,OP OA AP OA OA ′=+=，所以PA PA ′>.类似的方法可以说明PB 的长度为⊙O 外一点P 到⊙O 的最长距离.例3 如图7，菱形ABCD 的边8,60AB B =∠=°,P 是AB 上一点，3,BP Q =是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠, A 的对应点为A ′.当 CA ′的长度最小时，CQ 的长为 .解如图8，过C 作CE AB ⊥，连结AC .因为ABCD 是菱形，60B ∠=°，所以ABC ∆为等边三角形，所以84,3,12AE EB BP EP =====.要使CA ′的长度最小，则梯形APQD 沿直线PQ 折叠后A 的对应点A ′应落在CP 上，且对称轴PQ 应满足//PQ DE .由作图知，DEPQ 为平行四边形，所以1,817DQ EP CQ CD DQ ===−=−=.点评点Q 在线段CD 上无论运动到何处，梯形APQD 沿直线PQ 折叠后PA ′的长度始终保持不变，因此A ′点的运动路径就是以点P 为圆心，PA 长为半径的圆.借助模型2，可知，当点A ′落在线段CP 与⊙P 的交点时，CA ′的长度最小.由PQ 平分,//APC CD AB ∠，可得CQ CP =.作CE AB ⊥，构造Rt CEP ∆，从而可以求出CP 的长.二、直角中的“隐形”圆例4 如图9，在正方形ABCD 中，动点,E F 分别从,D C 两点同时出发，以相同的速度在直线,DC CB 上移动.连结AE 和DF 交于点P ,由于点,E F 的移动，使得点P 也随之运动，请你画出点P 运动路径的草图.若2AD =,试求出线段CP 的最小值.解由题意，可得DE CF =.又因为,90AD CD ADC DCB =∠=∠=°,所以ADE DCF ∆≅∆,所以DAE CDF ∠=∠.因为90ADP CDF ∠+∠=°，所以90DAE ADP ∠+∠=°.由于点P 在运动中保持90APD ∠=°.听以点P 的路径是一段以AD 为直径的弧.设AD 的中点为O ，连结OC 交弧于点P ，此时CP 的长度最小.在Rt ODC ∆中，OC ===，所以1CP OC OP =−=−. 点评此题的本质是抓住动点,E F 在运动过程中，始终保持AE DF ⊥，即90APD ∠=°,这样点P 的运动路径就确定了，即点P 在以AD 为直径的圆弧上，再根据模型2求解即可.例5如图10, Rt ABC ∆中，,6,4,AB BC AB BC P ⊥==是ABC ∆内部的一个动点，且满足PAB PBC ∠=∠，则线段CP 长的最小值为 .解因为90ABC ∠=°,所以90ABP PBC ∠+∠=°.又因为PAB PBC ∠=∠,所以90BAP ABP ∠+∠=°，即90APB ∠=°，所以点P 在以AB 为直径的⊙O 上.连结OC 交⊙O 于点P ，此时PC 最小，在Rt BCO ∆中，90,4,3OBC BC OB ∠=°==，可得5OC =,所以532PC OC OP =−=−=，即PC 最小值为2.点评首先，根据题目的条件不难得出90APB ∠=°，从而可以证明点P 在以AB 直径的⊙O 上.利用模型2，连结OC ，与⊙O 交于点P ，此时PC 最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题.以上例题说明，在求一类线段最值问题中，如果遇到动点的运动路径是圆时，只需利用上面提到的模型1或模型2就可以解决.然而难点在于如何知道动点的运动路径是圆，如何将这个隐身“圆”找出来?从以上例子中可以得出以下两种方法:①观察到定点的距离，即圆是到定点距离等于定长的点的集合;②“定弦对定张角”，如例5中线段AB是定值，当动点P在运动过程中，APB∠的大小不变等于90°(当然不一定为直角)，点P的运动路径也是圆(或弧).因此，教师在教学时，要让学生理解概念的本质，还要培养学生对常见模型的敏感性，从而在有限的考试时间内，能快速获得破解难题的策略.。

隐圆问题最值问题 7种题型知识点+例题+练习(非常好分类全面)

4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是_________.
3、过定点做折叠的可用圆
（定点为圆心，对应点到定点的距离为半径）
例1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB= 5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是．
例2、平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是___________
练习、如图，AB为直径，AB=4，C、D为圆上两个动点，N为CD中点，CM⊥AB于M，当C、D在圆上运动时保持∠CMN=30°，则CD的长（）
A．随C、D的运动位置而变化，且最大值为4
教学内容
隐圆问题
教学目标
掌握隐圆的题型
重点
隐圆
难点
隐圆
教学过程
隐圆专题
1、几个点到某个定点距离相等可用圆
（定点为圆心，相等距离为半径）
例1：如图，若AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的大小是_______
练习：如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为__________
B．随C、D的运动位置而变化，且最小值为2
C．随C、D的运动位置长度保持不变，等于2
D．随C、D的运动位置而变化，没有最值
6、一边固定及其所对角不变可用圆（定弦定角角）
（圆心在弦的垂直平分线上且和弦的两端点形成的圆心角等于圆周角的两倍）
例1：已知在中，，，则的最大面积为_____________

专题11 隐圆问题(解析版)

专题11 隐圆问题直线与圆是高中数学的C 级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现．但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题类型一利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆典例1 如果圆22(2)(3)4x a y a -+--=上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是________【答案】605a -<<【解析】到原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知圆相交求解2121-<<+∴605a -<<类型二由圆周角的性质确定隐形圆典例 2 已知圆22:5,,O x y A B +=为圆O 上的两个动点，且2,AB M =为弦AB 的中点，()(),2C a D a +.当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的取值范围为__________．【答案】()(),20,-∞-⋃+∞【解析】由题意得2OM ==， ∴点M 在以O 为圆心，半径为2的圆上．设CD 的中点为N ，则()1N a +，且2CD =． ∵当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，∴以O 为圆心，半径为2的圆与以()1N a +为圆心，半径为1的圆外离．3>，整理得()211a +>，解得2a <-或0a >．∴实数a 的取值范围为()(),20,-∞-⋃+∞．类型三两定点A 、B ，动点P 满足(0,1)PAPBλλλ=>≠确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）典例3 一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8 海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4 海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3 倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据： sin17 5.7446︒≈≈ ）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．【答案】（1）略（2）能【解析】：（1）略（2）如图乙，以A 为原点，正北方向所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系xOy ．则(2,B ，设缉私艇在P (x ，y )处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私船相遇，则3PAPB=3=,229944x y ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎝⎭⎝因为圆心94⎛⎝到领海边界线l ：x = 3.8的距离为1.55，大于圆半径32所以缉私艇能在领海内截住走私船．1．已知ABC ∆中，AB AC == ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC∆面积的最大值为__________．【解析】设2BC a =，以BC 所在直线为x 轴、其中垂线OA 所在直线为y 轴建立直角坐标系（如图所示），则()()(,0,,0,B a C a A -，设(),P x y ，由22233PB PC PA +==，得222((3{ (1x x yy y x +++=+=，即22222232{31x y a x y a +=-+-+-=，则2722{ 11a y -=≤≤，则()()222323aa --≤≤-+即()()2222272323223232a a a a a ---≤-≤-+-，解得234a ≤，即2241523233216ABC S a a a a ∆=⨯⨯-=-≤，即ABC ∆面积的最大值为52316.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点A(1,1)，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为_______ 【答案】[62,62]-+ 【解析】设BC 的中点为M (x,y)，,因为22222OB OM BM OM AM =+=+，所以22224(1)(1)x y x y =++-+-，化简得22113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点M 的轨迹是以11,22⎛⎫⎪⎝⎭32为半径的圆，所以AM 的取值范围是6262-+⎣⎦，所以BC 的取值范围是[62,62]．3．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()(22:161C x y -+-=和两点()(),2,,2A a a B a a ---，且1a >，若圆C 上存在两个不同的点,P Q ，使得90APB AQB ∠=∠=︒，则实数a 的取值范围为__________．【答案】17117a ≤+【解析】原问题等价于以,A B 为圆心的圆与圆C 有两个交点，AB 中点坐标为()0,0，以,A B 为圆心的圆的半径1R = 且圆C 的圆心为(，半径为21R =，两圆的圆心距为： 5d ==，结合1a >可得关于实数a 的不等式组：15 15≤≥，求解关于实数a的不等式组可得实数a的取值范围为11a ≤≤4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （1-，0），B （1，0）均在圆C ： ()()22234x y r -+-=外，且圆C 上存在唯一一点P 满足AP BP ⊥，则半径r 的值为____．【答案】4【解析】根据题意,点A(−1,0),B(1,0)，若点P 满足AP BP ⊥，则点P 在以AB 为直径的圆上，设AB 的中点为M,则M 的坐标为 (0,0)， |AB|=2，则圆M 的方程为221x y +=，若圆C 上存在唯一一点P 满足AP BP ⊥，则圆C 与圆M 只有一个交点，即两圆外切，则有5=，解可得r=4.5．已知等边ABC ∆的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足等式•PA PB λ=的点P 有两个，则实数λ的取值范围是_____．【答案】104λ-<≤ 【解析】以AB 中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则()()(()10,10,,,A B C P x y -，，，AC：()10y x =-≤≤由•PA PB λ=得221x y λ-+= ，()22111,1010044λλλ∴>-=-≤-+-=∴-<≤⎝⎭6.已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB＝60°，则实数a 的取值范围为____________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－22，2＋22【解析】设P(x ，y)，sin ∠OPA ＝sin30°＝1x 2＋y2，则x 2＋y 2＝4 ①.又P 在圆M 上，则(x －a)2＋(y －a＋4)2＝1 ②.由①②得1≤a 2＋（a －4）2≤3，所以4－22≤a ≤4＋22.7.在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为____________．【答案】364【解析】∵ 圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0，整理，得其标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴ 圆C 1的圆心坐标为(3，0)；设直线l 的方程为y ＝kx ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立(x －3)2＋y 2＝4，y ＝kx ，消去y 可得(1＋k 2)x2－6x ＋5＝0，由题知x 1＝12x 2, y 1＝12y 2，由韦达定理化简可得k 2＝35，即k ＝±155，直线l 的方程为y ＝±155x ，由点到直线的距离公式知，所求的距离为364.8.在平面直角坐标系xOy 中，过点P(－2，0)的直线与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，与圆(x －a)2＋(y －3)2＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a 的值为____________．【答案】4【解析】圆x 2＋y 2＝1半径为1，PO ＝2，则直线PT 的倾斜角为30°，则直线方程为x －3y ＋2＝0，PT ＝3，RS ＝3，圆(x －a)2＋(y －3)2＝3的半径为3，则圆(x －a)2＋(y －3)2＝3的圆心(a ，3)到直线PT 的距离为32，由点到直线距离公式得|a －1|＝3，则正数a ＝4.9.在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a)2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为__________．【答案】3【解析】根据题意，圆M 与以N 为圆心的圆的位置关系是内切或内含．则d MN ≤d ON －1，即1≤d ON －1.所以d ON ≥2恒成立．因为N 在圆M 上运动，所以d ON 的最小值为d OM －1，即d OM －1≥2，所以a 2＋（3－a ）2≥3，解得a≥3，所以a 的最小值为3.10.已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ(λ为常数)，且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则实数λ的最大值是__________．【答案】－34【解析】建立平面直角坐标系，B(0，0)，A(2，0)，设C(x ，y)，则CA →·CB →＝x(x －2)＋y 2＝λ，则(x －1)2＋y 2＝λ＋1，得（x －1）2＋y 2＝λ＋1，点C 的轨迹是以(1，0)为圆心λ＋1为半径的圆且与x 2＋y 2＝14外离或相切．所以λ＋1≤12，λ的最大值为－34. 11.在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足OC →＝54OA →＋34OB →，则r 的值为________．【答案】10【解析】OC →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54OA →＋34OB →2＝2516OA →2＋2·54OA →·34OB →＋916OB →2，即r 2＝2516r 2＋158r 2cos ∠AOB ＋916r 2，整理化简得cos ∠AOB ＝－35，过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则cos ∠AOB ＝2cos 2∠AOD －1＝－35，得cos 2∠AOD ＝15.又圆心到直线的距离为OD ＝22＝2，所以cos 2∠AOD ＝15＝OD 2r 2＝2r 2，所以r 2＝10，r ＝10.12.已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点．若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC＝60°，则点A 横坐标的取值范围是__________．【答案】[1，5]【解析】圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4上存在两点B ，C ，使得∠BAC＝60°，说明点A(x ，y)到M (1，1)的距离小于等于4，即(x －1)2＋(y －1)2≤16，而y ＝6－x ，得x 2－6x ＋5≤0，即1≤x≤5.点A 横坐标的取值范围为[1，5]．13.已知点A(0，2)为圆M ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＝0(a ＞0)外一点，圆M 上存在点T 使得∠MAT＝45°，则实数a 的取值范围是________________．【答案】3－1≤a＜1【解析】点A(0，2)在圆M ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＝0(a ＞0)外，得4－4a ＞0，则a ＜1.圆M 上存在点T 使得∠MAT ＝45°，则AM2≤r ＝2a ，即AM≤2a，(a －2)2＋a 2≤4a 2(a ＞0)，解得3－1≤a.综上，实数a 的取值范围是3－1≤a＜1.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 1，圆O 2均与x 轴相切且圆心O 1，O 2与原点O 共线，O 1，O 2两点的横坐标之积为6，设圆O 1与圆O 2相交于P ，Q 两点，直线l ：2x －y －8＝0，则点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为____________．【答案】855－ 6【解析】设圆O 1的方程为(x －a)2＋(y －ka)2＝k 2a 2①，圆O 2的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －6a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －6k a 2＝36k2a 2 ②，②－①，得2ax －12a x ＋2aky －12a ky ＋36a 2－a 2＝0，即2x ＋2y －a －6a ＝0.设P(x 0，y 0)，则(x 0－a)2＋(y 0－ka)2＝k 2a 2，即x 20＋y 20＝2ax 0＋2ay 0－a 2，又2x 0＋2y 0－a －6a＝0，可得2ax 0＋2ay 0－a 2＝6，故x 20＋y 20＝6，即点P 的轨迹是以原点为圆心，半径为6的圆，则点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为855－ 6.15.已知直线l 过点P(1，2)且与圆C ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，△ABC 的面积为1，则直线l 的方程为________________．【答案】x －1＝0，3x －4y ＋5＝0【解析】由S △ABC ＝12×2×sin ∠ACB ＝1，sin ∠ACB ＝1，∠ACB ＝90°，则点C(0，0)到直线l 的距离为1，设直线l 的方程为y －2＝k(x －1)，利用距离公式可得k ＝34，此时直线l 的方程为3x －4y ＋5＝0，当k 不存在时，x －1＝0满足题意．16.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过A 作圆C 的弦AB ，记线段AB 的中点为M.若OA ＝OM ，则直线AB 的斜率为________．【答案】2【解析】设点B(x 0，y 0)，则M ⎝⎛⎭⎪⎫x 0－22，y 02，圆x 2＋(y －1)2＝5与x 轴负半轴的交点A(－2，0)，OA ＝OM ＝2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 022，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 022＝4.又 x 20＋(y 0－1)2＝5，两式相减得y 0＝2x 0＋4.而A(－2，0)也满足y 0＝2x 0＋4，即直线AB 的方程为y 0＝2x 0＋4，则直线AB 的斜率为2.17.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x ＋1)2＋(y －6)2＝25，圆C 2：(x －17)2＋(y －30)2＝r 2.若圆C 2上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆C 1依次交于点A 、B ，满足PA ＝2AB ，则半径r 的取值范围是______________．【答案】[5，55]【解析】在圆C 2上任取一点P ，过点P 可作一条射线与圆C 1依次交于点A 、B ，当AB 过圆心时，此时PA 在该点处最小，AB 在该点情况下最大，此时在P 点情况下PAPB 最小，当P ，A ，B 三点共线时，如图1，2，PA 为所有位置最小，且PA AB 是所有位置中最小，所以只要满足PAAB ≤2，即满足题意，错误! 5≤r ≤55.18.直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A 、B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞ 【解析】以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则C 点到直线l 的距离小于1，即d ＝|k ＋2|k 2＋1≤1，解得k ≤－34.19平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a)2＋(y －a ＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO 2＝10，则实数a 的取值范围是________．【答案】[0，3]【解析】设M(x ，y)，由MA 2＋MO 2＝10，A(0，2)，得x 2＋(y －1)2＝4，而(x －a)2＋(y －a ＋2)2＝1，它们有公共点，则1≤a 2＋(a －3)2≤9，解得实数a 的取值范围是[0，3]．20.平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60°，则圆M 的方程为______________．【答案】(x －1)2＋y 2＝1【解析】∵ 当P 在圆C 上运动时∠APB 恒为60°，∴ 圆M 与圆C 一定是同心圆，∴ 可设圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝r 2.当点P 坐标是(3，0)时，设直线AB 与x 轴的交点为H ，则MH ＋HP ＝2，MH ＝12r ，AB ＝2×32r ，所以12r ＋2×32r ×32＝2，解得r ＝1，所以所求圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.。

中考专题北师大版本九下专题隐形圆的最值问题

3、应用隐圆解决实际问题；最值问题之“隐圆再现”的问题【知识要点】点到圆的最小距离和最大距离总结：（圆外一点到圆上最短距离是与圆心的连线；最长距离是与圆心连线的延长线。

）圆内一点P到圆上的最短距离为PA，最长距离为PB；(P、A、0、B四点在同一条直线上，即P，A，B三点过圆心O) ．二、圆的存在条件（常见的类型，还有定半径长度类）类型1、圆的定义：（定长）在一个平面内，线段 AB 绕它固定的一个端点 A 旋转一周，另一个端点 B 所形成的图形叫做圆；类型2、定直角：直径所对的圆周角为90°；应用几何性质：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长．【例题精讲】知识点一、翻折定点定长--隐圆现。

例1．如图，在Rt△ABC中，∠C=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．2.如图，在矩形ABCD中，AC=6，BC=8，点F是边AC的中点，点E为边BC上的动点，将△CEF 沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到点D的距离的最小值是．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是．5．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN 所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1C，则A1C的最小值是．知识点二、动点定直角---隐圆现1.如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为．2．如图，在Rt△ABC中，BC＝AC＝2，点M是AC边上一动点，连接BM，以CM为直径的⊙O 交BM于N，则线段AN的最小值为．3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE 的最小值为．6．如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为．4、（湖北武汉3分）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF 交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．知识点三、动点定长隐圆现1．如图，⊙O的半径为2，AB.CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P从点A运动到点D时，点Q所经过的路径长为（）．2．如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A⇒B⇒C⇒D⇒A滑动到A止，同时点R从点B 出发，沿图中所示方向按B⇒C⇒D⇒A⇒B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（）A．2B．4﹣πC．πD．π﹣13．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G 为EF的中点，点P为BC上一动点，则P A+PG的最小值为（）A．3B．4C．2D．5【立马试试】2．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN 沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．在MN上存在一动点P．连接A'P、CP，问△A'PC 周长是否存在最小值是，若存在，请计算出这个最小值；若不存在，请说明理由．7．如图，一块∠BAC为30°的直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点E在量角器的圆弧边缘处从A到B运动，连接CE，交直径AB于点D．(1)当点E在量角器上对应的刻度是90°时，则∠ADE的度数为多少？(2)若AB=8，P为CE的中点，当点E从A到B的运动过程中，点P也随着运动，则点P所走过的路线长为多少？类型四、三条相等线段造成的隐形圆1．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（）A．68°B．88°C．90°D．112°2．如图，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD2的值为（）A．14B．15C．18D．12【课堂总结】隐形圆的几种存在情况1.2.3.4.【2019锦江1诊真题再现】（武侯二诊）24．（4分）如图，点O是矩形ABCD的对角线的交点，AB＝15，BC＝8，直线EF 经过点O，分别与边CD，AB相交于点E，F（其中0＜DE＜）．现将四边形ADEF沿直线EF折叠得到四边形A′D′EF，点A，D的对应点分别为A′，D′，过D′作D′G⊥CD于点G，则线段D′G的长的最大值是，此时折痕EF的长为．（2018•锦江区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝43，对角线AC、BD相交于点O，现将一个直角三角板OEF的直角顶点与O重合，再绕着O点转动三角板，并过点D作DH⊥OF 于点H，连接AH．在转动的过程中，AH的最小值为．【课后练习】3．如图，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝15°，在△OCD中，OC＝OD，∠COD＝45°，且点C在边OA上，连接CB，将线段OB绕点O逆时针旋转一定角度得到线段OE，使得DE＝CB，则∠BOE的度数为（）A．15°B．15°或45°C．45°D．45°或60°4．直线y＝x+4分别与x轴、y轴相交于点M，N，边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交于点P，若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0，2）长度的最小值是（）A．2﹣2B．3﹣2C．D．1二．填空题（共5小题）5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是．三．解答题（共2小题）7．（阿氏圆）问题背景如图1，在△ABC中，BC＝4，AB＝2AC．问题初探请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB＝，AC＝．问题再探如图2，在AC右侧作∠CAD＝∠B，交BC的延长线于点D，求CD的长．问题解决求△ABC的面积的最大值．8．已知A（2，0），B（6，0），CB⊥x轴于点B，连接AC画图操作：（1）在y正半轴上求作点P，使得∠APB＝∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹）理解应用：（2）在（1）的条件下，①若tan∠APB＝，求点P的坐标；②当点P的坐标为时，∠APB最大拓展延伸：（3）若在直线y＝x+4上存在点P，使得∠APB最大，求点P的坐标．9．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A，B在一个半径为2的圆上，顶点C，D在该圆内，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为______．。

中考数学复习(福建专版 ) 拓展专项三隐形圆及最值问题

④C，B，F，E四点共圆，圆心在BC的中点处； ⑤B，A，E，D四点共圆，圆心在AB的中点处； ⑥C，D，F，A四点共圆，圆心在AC的中点处．
(2)求证：∠ADF＝∠ADE.
证明：如答图1，由B，D，H，F四点共圆，
得∠ADF＝∠1.
同理，由A，B，D，E四点共圆，
得∠ADE＝∠1.
∴∠ADF＝∠ADE.
OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 ________．
(图5)
【点拨】如答图3，连接OD，设⊙O的半径为r.
∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，
∴CD＝ OD2－OC2＝ r2－OC2.
∵OD的长度为定值， ∴当OC的值最小时，CD的值最大，
(答图3)
而OC⊥AB时，OC的值最小，此时D、B两点重合，
第六章圆拓展专项三隐形圆及最值问题
教材梳理篇
1 四点共圆问题 2 从圆的定义构造圆(折叠类问题) 3 圆中最值问题
1 四点共圆问题
若平面上A、B、C、D四个点满足∠ABD＝∠ACD＝ 90°，则A、B、C、D在以AD的中点E为圆心、EA的长为半径的圆上，如图(可证EA＝EB＝EC＝ED)．
10 5 a.
∵∠FA′G＝∠FBG＝90°，∴∠A′FB＋∠A′GB＝180°.
又∵∠A′GC＋∠A′GB＝180°，∴∠A′FB＝∠A′GC.
又∵AA′′GF＝CBGF＝12，∴△A′FB∽△A′GC， ∴ AA′′BC＝AA′′GF＝12，∴A′C＝2A′B.
2 从圆的定义构造圆(折叠类问题)
例1 如图1，AD，BE，CF为△ABC的三条高，H为三条高线的交点，问：
(1)图中有多少组四点共圆？并指出圆心的位置；

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中考数学复习隐形圆问题大全
一定点+定长
1.依据：到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆。

2.应用：
（1）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD=2，BC=1，AB∥CD，求BD的长。

简析：因AB=AC=AD=2，知B、C、D在以A为圆2为半径的圆上，由AB∥CD 得DE=BC=1，易求BD=15。

（2）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC 边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是.
简析：E为定点，EB′为定长，B′点路径为以E为圆心EB′为半径的圆，作穿心线DE得最小值为210。

（3）ΔABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在ΔABC外作正方形BCDE，BD、CE 交于点O，则线段AO的最大值为.
简析：先确定A、B点的位置，因AC=2，所以C点在以A为圆心，2为半径的圆上；因点O是点C以点B为中心顺时针旋转45度并1：√2缩小而得，所以把圆A旋转45度再1：2缩小即得O点路径。

如下图，转化为求定点A到定圆F的最长路径，即AF+FO=32。

二定线+定角
1.依据：与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆周角的弧。

2.应用：
（1）矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是CD上的动点，当∠APB=90°时求DP的长.
简析：AB为定线，∠APB为定角（90°），P点路径为以AB为弦（直径）的弧，如下图，易得DP为2或8。

（2）如图，∠XOY = 45°，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB = 2，那么OC的最大值为.
简析：AB为定线，∠XOY为定角，O点路径为以AB为弦所含圆周角为45°的弧，如下图，转化为求定点C到定圆M的最长路径，即CM+MO=3+1+2。

（3）已知A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，点C是y轴上的动点，当∠ACB最大时，则点C的坐标为_____．
简析：作ΔABC的处接圆M，当∠ACB最大时，圆心角∠AMB最大，当圆M 半径最小时∠AMB最大，即当圆M与y轴相切时∠ACB最大。

如下图，易得C点坐标为（0，22）或（0，-22）。

（4）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax^2-3ax-4a的图象经过点C(0,
2),交轴于点A、B，(A点在点左侧),顶点为D.
①求抛物线的解析式及点A、B的坐标;
②将ΔABC沿直线BC对折,点A的对称点为A',试求A'的坐标;
③抛物线的对称轴上是否存在点P,使∠BPC=∠BAC？若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
简析③：定线BC对定角∠BPC=∠BAC，则P点在以BC为弦的双弧上（关于BC对称），如下图所示。