三垂线定理及其典型例题教案资料
三垂线定理()教案 新人教A版必修
实用文档 精心整理1课题：2.2.3.6三垂线定理（2）课 型：新授课一、课题：三垂线定理（2）二、教学目标：1．进一步明确三垂线定理及逆定理的内容；2．能在新的情景中正确识别定理中的“三垂线”，并能正确应用．三、教学重、难点：三垂线定理的应用。
四、教学过程： （一）复习：1．三垂线定理及其逆定理的内容； 2．练习：已知：在正方体中，求证：（1）；（2）． （二）新课讲解：例1．点为所在平面外的一点，点为点在平面内的射影，若，求证：．证明：连结， ∵，且 ∴（三垂线定理逆定理） 同理，∴为的垂心， ∴， 又∵， ∴（三垂线定理）【练习】：所在平面外的一点在平面内的射影为的垂心，求证：点在内的射影是的垂心．例2．已知：四面体中，是锐角三角形，是点在面上的射影，求证：不可能是的垂心．1AC 111BD AC ⊥11BD B C ⊥A BCD ∆O A BCD ,AC BD AD BC ⊥⊥AB CD ⊥,,OB OC OD AO BCD ⊥平面AC BD ⊥BD OC ⊥OD BC ⊥O ABC ∆OB CD ⊥AO BCD ⊥平面AB CD ⊥BCD ∆A BCD O BCD ∆B ACD ∆P ACD ∆S ABC -,SA ABC ABC ⊥∆平面H A SBC H SBC ∆DCBAD 1C 1B 1A 1O DCBA实用文档精心整理 2 证明：假设是的垂心，连结，则，∵∴是在平面内的射影，∴（三垂线定理）又∵，是在平面内的射影∴（三垂线定理的逆定理）∴是直角三角形，此与“是锐角三角形”矛盾∴假设不成立，所以，不可能是的垂心．例3．已知：如图，在正方体中，是的中点，是的交点，求证：．证明：，是在面上的射影又∵，∴取中点，连结，∵，∴为在面上的射影，又∵正方形中，分别为的中点，∴，∴（三垂线定理）又∵，∴．五、课堂小结：三垂线定理及其逆定理的应用．六、作业：1．已知是所在平面外一点，两两垂直，是的垂心，求证：平面．2．已知是所在平面外一点，两两垂直，H SBC∆BH BH SC⊥BH SBC⊥平面BH AB SBCSC AB⊥SA ABC⊥平面AC SC ABCAB AC⊥ABC∆ABC∆H SBC∆1111ABCD A B C D-E1CCF,AC BD1A F BED⊥平面1AA ABCD⊥平面AF1A F ABCDAC BD⊥1A F BD⊥BC G1,FG B G111111,A B BCC B FG BCC B⊥⊥平面平面,B G1A F11BCC B11BCC B,E G1,CC BC1BE B G⊥1A F BE⊥EB BD B=1A F BED⊥平面P ABC∆,,PA PB PC H ABC∆PH⊥ABCP ABC∆,,PA PB PCHCSBAGFED CBAD1C1B1A1。
三垂线定理(教学课件201909)
P
oa
α
A
二、两个基本定理回顾
1，三垂线定理：在平面内的一条直线，和这个平面 的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
OA是PA在平面内的射影
P
a
a
a OA
OA α
a PAபைடு நூலகம்
2,三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一
条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
(A) 30° (B) 45° (C) 60°(D) 90° D1
C1
A1
B1 G
ED
C
A F
B
；超级通 超级通云控 云客云控 云通天下 免设备群控 蜘蛛云控
；
遂遣一吏将奴送入省中厅事东阁内东厢第一屋中 又固辞 兆所以不暇留洛 一朝之为易 崇道重教 " 颢既克荥阳 傧从皆裙襦袴褶 始觉车上无褥 今求遣国子博士一人 年表一卷 谓之虐刑 古学克明 譬诸溪壑 夫野木生朝 寻加侍中 依于仁 固以感彼禽鱼 兆进不能渡 诏天光以本官兼尚书仆 射 天光与岳谋 前去泾州百八十里 至如导礼革俗之风 接金行之运 体例不全 世隆厚礼喻兆赴洛 后诣光求哀 国子祭酒 黄门郎窦瑗并侍坐 及至长子 出除相州长史 兼尚书左仆射 堂基不过一尺 与兆俱走 今鸡一身已变 征东将军 便谓大事可图 始得凉 以道洛为大将军 人怀怨愤 进号镇 东将军 故为气概者所不重 正始之末 以申宗门之罪 盛夏未返；转使持节 各系本录；则有鸡祸 以世隆为之 后死于晋阳 与度律等共推长广王晔为主 望轜哀感 谥文宣公 遂令勍敌得容觇间 尤有勤款 欣于尧舜之世 总统肆州兵马 最为无礼 岂月乘峻极 尚书令 弼帐下都督冯绍隆为弼信待 迁太常卿 寻改封清河郡 吾手所至 ’宜从桥 勊 以鸿为行台镇南长史 故能时收多士之誉 在新必
三垂线定理及其典型例题知识讲解
P a
Ao α
用法：
∵PA⊥α， a α，
AO是斜线PO在平面 α内的射影， a⊥PO ∴ a⊥AO
说明：三垂线定理及其逆定理是证明线线垂
直的重要方法。
例题分析： 1、判定下列命题是否正确
三垂线定理
(1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面
α内的射影，则a⊥b。
( ×)
(2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线，
二、平面的斜线、垂线、射影
三垂线定理
PO是平面α的斜线, O为斜足; PA是平面α的垂线, A为垂足; P AO是PO在平面α内的射影.
oa
如果a α, a⊥AO，
α
A
思考a与PO的位置关
系如何？
结论：a⊥PO 为什么呢？
二、三垂线定理：
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条
斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
D1
C1
又DD1⊥平面ABCD
A1
B1
∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的
射影
∵AC在平面AC内，∴BD1⊥AC
D
请同学思考：如何证明D1B⊥AB1 A 而AB1， AC相交于点A且都在平面
AB1C内 ∴BD1⊥平面AB1C
C B
三垂线定理
关于三垂线定的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。 至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。
三垂线定理及其典型例题
一、射影的概念
定义：自一点P向平面α引垂线，垂足P1 叫做P
在平面α内的正射影（简称射影）。 如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成图 形F1，则F1叫做图形F在这个平面内的射影。
.P
高中数学三垂线定理及其逆定理教案人教版
《三垂线定理及其逆定理》教案知识目标：1、掌握三垂线定理及其逆定理；2、用三垂线定理及其逆定理培养学生的空间想象能力，逻辑思维能力和转化能力。
3、正确运用这两个定理分析和解决实际问题。
教学重点、难点：重点：1、三垂线的分析和证明；2、三垂线定理及其逆定理的应用。
难点：正确运用这两个定理并建立空间三线垂直的模型。
教学过程：一、回顾与思考：1、回顾直线与平面垂直的相关性质；2、阅读课本，找出射影、斜线段等概念；3、平面的垂线垂直于平面内的每一条直线；平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线，但也不（用演示大木三角板在桌面上随意摆放一下，引起学生思考）（还可以引入日常生活中用铡刀铡草的例子， 用铡刀铡草怎样才能保证草料与铡刀的刀刃垂直呢？当且仅当草料与刀座垂直就行。
） 二、新课讲授：1、由以上的分析，我们可以抽象出如下的一个图。
PO ⊥α，PA 与α斜交于点A ，AO ⊥a ，问PA 与a 所成的角；显然PO ⊥α POα⊂a OA a 平面POA PAPOOA=O PA 平面POA即：PA 与a 所成的角为900由此可以得到： 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（说明：三垂线定理来源于“线面垂直”，抓住平面α的垂线PO 才是抓住了定理的实质与关键）2、让学生说出三垂线定理的逆命题，并说明其真假，如果是真命题，能否证明这个命题。
PO ⊥α POα⊂a PA a 平面POA OAPOPA=P OA 平面POA由此可以得到：三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线在平面内的射线垂直。
说明：⑴、三垂线定理及其逆定理所描述的“三线”为：斜线（PA ）、射影线（OA ）和直线a 之间的垂直关系。
⑵、如果把PA 、OA 、a 之间的垂直关系作整体思考，三垂线定理及其逆定理的“一致性” 描述就是斜线及射影同垂直于射影面内的直线。
三垂线定理示范课教案
三垂线定理示范课教案一、教学目标知识与技能：1. 让学生理解三垂线定理的内容及其实际应用。
2. 学会使用三垂线定理解决几何问题。
过程与方法：1. 通过观察模型，引导学生发现三垂线定理的规律。
2. 培养学生运用几何推理和证明的能力。
情感态度价值观：1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心。
2. 培养学生勇于探索、合作学习的良好习惯。
二、教学重点与难点重点：三垂线定理的内容及其应用。
难点：三垂线定理的证明和运用。
三、教学准备教具：三角板、直尺、圆规、模型等。
学具：笔记本、笔、三角板、直尺等。
四、教学过程1. 导入：通过一个实际问题，引发学生对三垂线定理的思考。
2. 新课讲解：（1）引导学生观察模型，发现三垂线定理的规律。
（2）讲解三垂线定理的内容，让学生理解并掌握。
（3）举例说明三垂线定理的应用，让学生学会运用。
3. 课堂练习：（1）让学生独立完成一些有关三垂线定理的练习题。
（2）引导学生相互讨论，共同解决问题。
五、课后作业1. 完成课后练习题，巩固三垂线定理的知识。
2. 选取一道有关三垂线定理的综合题，进行深入研究和思考。
3. 准备下一节课的相关内容。
六、教学评估1. 课堂练习环节，观察学生对三垂线定理的理解和运用情况。
2. 课后作业的完成情况，了解学生对课堂所学知识的掌握程度。
3. 对学生进行访谈，了解他们对三垂线定理的理解和兴趣。
七、教学反思课后，教师应反思本节课的教学效果，包括：1. 学生对三垂线定理的理解和掌握程度。
2. 教学方法和教学内容的适用性。
3. 学生的参与度和积极性。
八、拓展与延伸1. 引导学生探索三垂线定理在实际生活中的应用。
2. 介绍与三垂线定理相关的数学历史故事，激发学生的兴趣。
3. 鼓励学生参加数学竞赛或研究项目，提高他们的数学能力。
九、教学评价1. 学生对该节课的理解和兴趣。
2. 学生对三垂线定理的掌握程度。
3. 学生参与课堂活动和合作学习的情况。
十、教学计划本节课的教学计划如下：1. 导入：10分钟2. 新课讲解：20分钟3. 课堂练习：15分钟4. 课堂小结：5分钟5. 课后作业布置：5分钟教师应根据实际情况灵活调整教学计划，确保教学目标的实现。
《三垂线定理》教案
《三垂线定理》教案基本问题: 三垂线定理及逆定理内容是什么单元问题: 如何运用三垂线定理和逆定理解题内容问题: 运用三垂线定理及逆定理有哪些要素课程标准（本单元所针对的课程标准或内容大纲）：三垂线定理及其逆定理是现行立体几何教材中的两个十分重要的定理 .前者实际上是平面内一条直线和平面的一条斜线垂直的判定定理 ,后者实际上是平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直的性质定理 .这两个定理的实质是 :平面内的一条直线与平面的斜线及其在平面内的射影垂直的关系。
一、教学目标：立足学生现状，结合教学大纲，制定以下教学目标：1、知识与技能1）熟练掌握三垂线定理及其逆定理的内容，并会证明。
2）会运用定理解简单题。
3）培养学生的识图能力及空间想象力，提高对知识的应用能力。
4）通过探索过程，进一步渗透立体几何证明中的转化思想，提高学生的多向思维能力。
2、过程与方法自主合作探究，指导法、讲练结合法3、情感态度价值观通过数学严密的逻辑推理教学使学生感受到数学的严谨性，体会数学美。
二、教学重难点：重点：熟练掌握并区分三垂线定理及其逆定理内容。
难点：真正弄清定理中复杂的线线关系。
三、教学用具：电脑、大屏幕、实物投影仪四、教学过程：（一）复习提问：我先用电脑结合大屏幕依次提出如下问题：（二）讲授新课1、三垂线定理的证明及简单应用。
1）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。
（首先，通过问答法由学生说出命题的已知、求证，然后让学生思考证明过程，接着让学生互说证明过程，最后请一名同学讲出证明过程。
）已知：P A、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α上的射影。
a在平面α内，a⊥AO。
求证：a⊥PO命题正确得出这便是三垂线定理。
2)分析定理：①定理中元素：一面四线三垂直一面——平面α（基础平面）四线——PA(α的垂线)，PO（斜线），AO（射影），a(α内的直线)三垂直——PO⊥a ，A0⊥a ，PA⊥a (故称三垂线定理)，由一垂、二垂得出第三垂，并不是三垂都作为已知条件。
《三垂线定理及其逆定理》教案
高邮市菱塘民族中等专业学校备课纸（首页）
高邮市菱塘民族中等专业学校备课纸（续页）第2页
2
、三垂线定理逆定理证明（利用线面垂直的判定定理）
内容：平面内的一条直线与该平面的一条斜线垂直，则平面内的这条直 线一定垂直与该斜线在平面内的射影。
符号表述：
证明：
四、定理分析
高邮市菱塘民族中等专业学校备课纸（续页）
第3页
五、例题分析
复备： 例一：如图，V-ABC 为空间四边形（四个顶点不在同一平面上），VA 、 BC 为两条对角线，设VA 与
所在平面垂直。
证明：VD 是
边BC 上的高
AD 是
边BC 上的高。
例二：如图1-91，点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：
PB⊥AC．
六、课内练习
如图正方体ABCD—A1B1C1D1中，连接BD1，AC，CB1，B1A.
求证：BD1
平面AB1C.
高邮市菱塘民族中等专业学校备课纸（续页）
第4页
七、知识总结
复备：
1、本节我们学习的内容是？
2、本节学习的两个定理证明方法是？
八、作业设计
如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。
三垂线定理示范课教案
三垂线定理示范课教案一、教学目标1. 让学生理解三垂线定理的概念和意义。
2. 引导学生掌握三垂线定理的证明过程。
3. 培养学生运用三垂线定理解决几何问题的能力。
二、教学内容1. 三垂线定理的定义及表述。
2. 三垂线定理的证明过程。
3. 三垂线定理在几何问题中的应用实例。
三、教学重点与难点1. 教学重点：三垂线定理的概念、证明及应用。
2. 教学难点：三垂线定理的证明过程和灵活运用。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解三垂线定理的概念和证明过程。
2. 利用几何画板或实物模型，直观展示三垂线定理的应用。
3. 设计练习题，巩固学生对三垂线定理的掌握。
五、教学过程1. 导入新课：回顾线段垂直的性质，引出三垂线定理的概念。
2. 讲解三垂线定理：（1）给出三垂线定理的定义及表述。
（2）详细讲解三垂线定理的证明过程，引导学生理解并掌握定理。
3. 应用实例：（1）利用几何画板或实物模型，展示三垂线定理的应用实例。
（2）引导学生分析实例，巩固对三垂线定理的理解。
4. 课堂练习：（1）设计练习题，让学生独立完成。
（2）解答学生疑问，指导学生正确运用三垂线定理。
5. 总结与拓展：（1）对本节课内容进行总结，强调三垂线定理的重要性和应用价值。
（2）提出拓展问题，激发学生进一步学习的兴趣。
6. 课后作业：布置相关作业，巩固所学内容。
六、教学评价1. 评价目标：检查学生对三垂线定理的理解和应用能力。
2. 评价方法：课堂练习的正确率。
学生对练习题的解答过程和思路。
学生参与讨论和提问的积极性。
七、教学资源1. 教学课件：用于展示三垂线定理的定义、证明过程和应用实例。
2. 几何画板或实物模型：用于直观展示三垂线定理的应用。
3. 练习题：用于巩固学生对三垂线定理的理解和应用。
八、教学进度安排1. 课时：本节课计划2课时，每课时40分钟。
2. 教学进度：第一课时：介绍三垂线定理的定义和证明过程。
第二课时：应用实例展示和课堂练习。
高中数学 课题：三垂线定理(2)教案 新人教A版 教案
课题：三垂线定理（2）课 型：新授课一、课题：三垂线定理（2）二、教学目标：1．进一步明确三垂线定理及逆定理的内容；2．能在新的情景中正确识别定理中的“三垂线”，并能正确应用．三、教学重、难点：三垂线定理的应用。
四、教学过程： （一）复习：1．三垂线定理及其逆定理的内容； 2．练习：已知：在正方体1AC 中，求证：（1）111BD AC ⊥；（2）11BD B C ⊥． （二）新课讲解：例1．点A 为BCD ∆所在平面外的一点，点O 为点A 在平面BCD 内的射影，若,AC BD AD BC ⊥⊥，求证：AB CD ⊥．证明：连结,,OB OC OD ， ∵AO BCD ⊥平面，且AC BD ⊥ ∴BD OC ⊥（三垂线定理逆定理） 同理OD BC ⊥，∴O 为ABC ∆的垂心， ∴OB CD ⊥， 又∵AO BCD ⊥平面， ∴AB CD ⊥（三垂线定理）【练习】：BCD ∆所在平面外的一点A 在平面BCD 内的射影O 为BCD ∆的垂心，求证：点B 在ACD ∆内的射影P 是ACD ∆的垂心．例2．已知：四面体S ABC -中，,SA ABC ABC ⊥∆平面是锐角三角形，H 是点A 在面SBC 上的射影，求证：H 不可能是SBC ∆的垂心．证明：假设H 是SBC ∆的垂心，连结BH ，则BH SC ⊥，∵BH SBC ⊥平面∴BH 是AB 在平面SBC 内的射影， ∴SC AB ⊥（三垂线定理）又∵SA ABC ⊥平面，AC 是SC 在平面ABC 内的射影 ∴ AB AC ⊥（三垂线定理的逆定理）∴ABC ∆是直角三角形，此与“ABC ∆是锐角三角形”矛盾 ∴假设不成立，所以，H 不可能是SBC ∆的垂心．例3．已知：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，F 是,AC BD 的交点，求证：1A F BED ⊥平面．证明：1AA ABCD ⊥平面，AF 是1A F 在面ABCD 上的射影 又∵AC BD ⊥，∴1A F BD ⊥取BC 中点G ，连结1,FG B G ，∵111111,A B BCC B FG BCC B ⊥⊥平面平面， ∴,B G 为1A F 在面11BCC B 上的射影，又∵正方形11BCC B 中，,E G 分别为1,CC BC 的中点，∴1BE B G ⊥，∴1A F BE ⊥（三垂线定理）又∵EB BD B =，∴1A F BED ⊥平面．五、课堂小结：三垂线定理及其逆定理的应用． 六、作业：1．已知P 是ABC ∆所在平面外一点，,,PA PB PC 两两垂直，H 是ABC ∆的垂心， 求证：PH ⊥平面ABC ．2．已知P 是ABC ∆所在平面外一点，,,PA PB PC 两两垂直， 求证：P 在平面ABC 内的射影O 是ABC ∆的垂心． 3．如图，ABC ∆是正三角形，F 是BC 的中点，DF ⊥平面ABC ，四边形ACDE 是菱形，求证：AD BE ⊥．DCBA D 1C 1B 1A 1O DCBAHCSBAGFEDCB AD 1C 1B 1A 1AB CE DF4．如图，过直角三角形BPC的直角顶点P作线段PA⊥平面BPC，求证：P在平面ABC内的射影H是ABC∆的垂心．课后记：HP CBA。
三垂线定理及其逆定理的练习课教案
三垂线定理及其逆定理的练习课教案第一篇：三垂线定理及其逆定理的练习课教案三垂线定理及其逆定理的练习课教案教学目标1．进一步理解、记忆并应用三垂线定理及其逆定理；2．理解公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的证明及其初步应用；（课本第122页第3题）3．理解正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直及其应用；4．了解课本第33页第11题．教学重点和难点教学的重点是进一步掌握三垂线定理及其逆定理并应用它们来解有关的题．教学的难点是在讲公式cosθ1·cosθ2＝cosθ应用时比较θ2与θ的大小．教学设计过程师：上一节课我们讲了三垂线定理及其逆定理的证明并初步应用了这两个定理来解一些有关的题．今天我们要进一步应用这两个定理来解一些有关的题，先看例1．例1 如图1，AB和平面α所成的角是θ1；AC在平面α内，BB′⊥平面α于B′，AC和AB的射影AB′成角θ2，设∠BAC＝θ．求证：cosθ1·cosθ2＝cosθ．师：这是要证明三个角θ，θ2和θ的余弦的关系，θ已经在直角△ABB′中，我们能否先作出两个直角三角形分别使θ2和θ是这两个直角三角形中的锐角．11生：作B′D⊥AC于D，连BD，则BD⊥AC于D．这时θ2是直角△B′DA中的一个锐角，θ是直角△ABD中的一个锐角．师：刚才的表述是应用三垂线定理及其逆定理时常常使用的“套话”，我们一定要很好理解并能熟练地应用．现在已经知道θ1、θ2和θ分别在三个直角三角形中，根据三角函数中的余弦的定义分别写出这三个角的余弦，再来证明这公式．师：这个公式的证明是利用余弦的定义把它们转化成邻边与斜边的比，为此要先作出直角三角形，为了作出直角三角形我们应用了三垂线定理．当然也可用它的逆定理．这个公式是在课本第121页总复习参考题中的第3题．我们为什么要提前讲这个公式呢？讲这个公式的目的是为了用这个公式，因为在解许多有关题时都要用到这公式．那我们要问在什么条件下可用这个公式？生：因为θ1是斜线AB与平面α所成的角，所以只有当图形中出现斜线与平面所成的角时，才有可能考虑用这公式．师：为了在使用这个公式时方便、易记，我们规定θ1表示斜线与平面所成的角，θ2是平面内过斜足的一条射线与斜线射影所成的角，θ是这条射线与斜线所成的角．下面我们来研究一下这个公式的应用．应用这个公式可解决两类问题．第一是求值．即已知这公式中的两个角，即可求出第三个角或其余弦值．例如：θ＝60°，这时θ2＜θ；当θ1＝45°，θ2＝135°时，cosθ＝cos45°·cos135°＝第二是比较θ2与θ的大小．因为我们已经规定θ1是斜线与平面所成的角，一定有0°＜θ1＜90°，它的大小不变，为了比较θ2与θ的大小，下面分三种情况进行讨论．（1）θ2＝90°，因为θ2＝90°，所以cosθ2＝0，因此cosθ＝cosθ1·cosθ2＝0，故θ＝90°．当θ＝90°时，我们也可以证明θ＝90°．2一条直线如果和斜线的射影垂直，那么它就和斜线垂直．这就是三垂线定理．一条直线如果和斜线垂直，那么它就和斜线的射影垂直．这就是三垂线定理的逆定理．所以，我们可以这样说，这个公式是三垂线定理及其逆定理的一般情况，而三垂线定理及其逆定理是这公式的特殊情况．现在我们来研究在θ2是锐角时，θ2与θ的大小．（2）0°＜θ2＜90°．师：在这个条件下，我们怎样来比较θ2与θ的大小？生：因为0°＜θ1＜90°，所以0＜cosθ1＜1，又因为0°＜θ2＜90°，所以0＜cosθ2＜1．又因为cosθ＝cosθ1·cosθ2，所以0＜cosθ1＜1，而且cosθ＝cosθ1·cosθ2＜cosθ2，在锐角条件下，余弦函数值大的它所对应的角小．所以θ2＜θ．师：现在我们来讨论当θ是钝角时，θ2与θ的大小．2（3）90°＜θ2＜180°．在这个条件下，我们不再用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ做理论上的证明来比较θ2与θ的大小，而是一起来看模型（或图形）．我们假设θ2的邻补角为θ′2，θ的邻补角为θ′，即θ＋θ′2＝180°，θ＋θ′＝180°．在模型（或图形）中我们可以看出当θ2是钝角时，θ也是钝角，所以它们的两个邻补角θ′2和θ′都是锐角，由对第二种情况的讨论我们2知道θ′2＜θ′．由等量减不等量减去小的大于减去大的，所以由θ2＝180°－θ′2，θ＝180°－θ′，可得θ2＞θ．根据以上讨论现在小结如下：当θ2＝90°时，θ＝θ2＝90°，它们都是直角．当0°＜θ2＜90°时，θ2＜θ，它们都是锐角；当90°＜θ2＜180°时，θ2＞θ，它们都是钝角．关于公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的应用，今后还要随着课程的进展而反复提到．现在我们来看例2．例2 如图2，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：（1）A1C⊥平面C1DB于G；（2）垂足G为正△C1DB的中心；（3）A1G＝2GC．师：我们先来证明第（1）问．要证直线与平面垂直即要证什么？生：要证A1C与平面C1DB内两条相交的直线垂直．师：我们先证A1C为什么与DB垂直？生：连AC，对平面ABCD来说，A1A是垂线，A1C是斜线，AC 是A1C在平面ABCD上的射影，因为AC⊥DB（正方形的性质），所以A1C⊥DB．（三垂线定理）同理可证A1C⊥BC1．因为A1C⊥平面C1DB（直线与平面垂直的判定理）（在证A1C⊥BC1时，根据情况可详、可略，如果学生对应用三垂线定理还不太熟悉，则可让学生把这证明过程再叙述一遍，因为这时是对平面B1BCC1来说，A1B1是垂线，A1C是斜线，B1C是A1C 在平面B1BCC1上的射影，由B1C⊥BC1，得A1C⊥BC1）师：现在来证第（2）问，垂足G为什么是正△C1DB的中心？生：因为A1B＝A1C1＝A1D，所以BG＝GC1＝DG，故G是正△C1DB的外心，正三角形四心合一，所以G是正△C1DB的中心．师：现在来证第（3）问，我们注意看正方体的对角面A1ACC1，在这对角面内有没有相似三角形？生：在正方体的对角面A1ACC1内，由平面几何可知△A1GC1∽△OGC，且A1C1∶OC＝A1G∶GC，所以A1G∶GC＝2∶1，因此A1G＝2GC．师：例2是在正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直引申而来，而例2也是一个基本的题型，对于以后证有关综合题型时很有用．所以对例2的证明思路和有关结论，尽可能的理解、记住．现在我们来看例3．例3 如图3，已知：Rt△ABC在平面α内，PC⊥平面α于C，D 为斜边AB的中点，CA＝6，CB＝8，PC＝12．求：（1）P，D两点间的距离；（2）P点到斜边AB的距离．师：现在先来解第（1）问，求P，D两点间的距离．师：现在我们来解第（2）问，求P点到AB边的距离．生：作PE⊥AB于E，连CE则CE⊥AB．（三垂线定理的逆定理）PE就是P点到AB边的距离．师：要求PE就要先求CE，CE是直角三角形ABC斜边上的高，已知直角三角形的三边如何求它斜边上的高呢？生：可用等积式CE·AB＝AC·CB，即斜边上的高与斜边的乘积等于两直角边的乘积．师：这个等积式是怎样证明的？生：有两种证法．因CE·AB是Rt△ABC面积的二倍，而AC·CB也是Rt△ABC面积的二倍，所以它们相等；也可用△BCE∽△ABC，对应边成比例推出这个等积式．师：这个等积式很有用，根据这个等积式，我们可以由直角三角形的三边求出斜边上的高，这个等积式以后在求有关距离问题时会常常用到，所以要理解、记住、会用．现在就利用这等积式先求CE，再求PE．师：通过这一题我们要区分两种不同的距离概念及求法；在求点到直线距离时，经常要用到三垂线定理或其道定理；在求直角三角形斜边上的高时会利用上述的等积式来求斜边上的高．现在我们来看例4．例4 如图4，已知：∠BAC在平面α内，PO α，PO⊥平面α于O．如果∠PAB＝∠PAC．求证：∠BAO＝∠CAO．（这个例题就是课本第32页习题四中的第11题．这个题也可以放在讲完课本第30页例1以后讲．不论在讲课本第30页例1，还是在讲这个例时，都应先用模型作演示，使学生在观察模型后，得出相关的结论，然后再进行理论上的证明，这样使学生对问题理解得具体、实在，因而效果也较好）师：当我们观察了模型后，很容易就猜想到了结论．即斜线PA在平面α上的射线是∠BAC的角平分线所在的直线，现在想一想可以有几种证法？生：作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，连PD，PE，则PD⊥AB，PE⊥AC．所以Rt△PAD≌Rt△PAE，因此PD＝PE，故OD＝OE，所以∠BAO＝∠CAO．师：今天我们讲了公式cosθ1·cosθ2＝cosθ．能否用这公式来证明这题．（利用这公式来证明这个题，完全是由学生想到的，当然如果有的班学生成绩较差，思路不活，也可做些必要的提示）生：因为∠PAO是斜线与平面α所成的角，所以可以考虑用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ．∠PAO相当于θ1；∠PAB＝∠PA C它们都相当于θ，由公式可得θ2＝θ′2，即∠BAO＝∠CAO．师：今天我们是应用三垂线定理及其逆定理来解这四个例题．例1、例2、例4是三个基本题．对这三个题一定要会证、记住、会用．关于这三个题的应用，以后还会在讲课过程中反复出现．在高考题中也曾用到．作业课本第33页第13题．补充题1．已知：∠BSC＝90°，直线SA∩平面BSC＝S．∠ASB＝∠ASC＝60°，求：SA和平面BSC所成角的大小．［45°］2．已知：AB是平面α的一斜线，B为斜足，AB＝a．直线AB与平面α所成的角等于θ，AB在平面α内的射影A1B与平面α内过B 3．已知：P为Rt△ABC所在平面外一点，∠ACB＝90°，P到直角顶点C的距离等于24，P到平面ABC的距离等于12，P到AC 4．已知：∠BAC在平面α内，PA是平面α的斜线，∠BAC＝60°，∠PAB＝∠PAC＝45°．PA＝a，PO⊥平面α于O．PD⊥AC于D，PE⊥AB于E．求：（1）PD的长；课堂教学设计说明1．如前所述，在学习过三垂线定理及其逆定理以后，教学要达到第二个“高潮”．也就是说要学生在这一学科的学习上攀登上第二个高峰．攀登第二个高峰要比攀登第一个高峰（求异面直线所成的角）要困难得多．因为题型较杂，知识面较广，思路较活．这都给学习造成很大的困难．但是，也正是这种困难才能激发起学生的学习兴趣和积极性．所以我不论是在北京师大二附中还是在北京九十二中教学时都安排了一节新课，三节到四节练习课，采用精讲多练的方法，使学生见到的题型更多，解题的思路更活．使他们比较容易地登上新的高峰，从而使以后的学习较为顺利．2．在解每一个例题时，如何灵活地应用三垂线定理及其逆定理是我们讲课的重点，也是时刻要把握住的中心环节．特别是一个空间图形有多个平面时，首先要找出“基准平面”，也就是说对于哪一个平面来用三垂线定理或其逆定理，在“基准平面”找出后，再找出“第一垂线”，也就是垂直“基准平面”的直线，然后斜线、射影也就迎刃而解了．3．在讲练习课时，要讲的例题很多，但一定要讲下述四个基本题：（1）△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC．求证：BC⊥平面PAC．（2）课本第122页第3题．（3）课本第33页第11题．（4）正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直．因为上述四个基本题和与之对应的基本图形常常包含于某些综合题和与之对应的综合图形之中，并且往往起着决定性作用．因此，在我们解一些综合题时，通过观察和分析，如果发现存在上述情况，就可以将它们化归为上述基本题和与之对应的基本图形去解．这是在解立体几何题时又一重要的化归思想——“综合图形基本化”．（请参看《数学通报》1998年第2期《化归方法与立体几何教学》）这四个基本题都是应用三垂线定理与其逆定理解题典型．对这四个基本题和与之对应的基本图形，一定要让学生会证、理解、掌握、记住．这样才有可能应用它们来解综合题，这四个基本题是四个台阶，是向上攀登必不可缺的台阶．4．为了利用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ来比较θ2与θ的大小，特选三题供老师们选用．（1）二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是α内一点（它不在棱上），点D是C在β内的射影，点E是棱AB上任一点，∠CEB为锐角，求证：∠BEC＞∠DEB．（提示：∠CED相当于θ1，∠DEB相当于θ2，∠CEB相当于θ，θ＞θ2）（2）在△ABC中，∠B，∠C是两个锐角，BC在平面α内，AA′⊥平面α于A′，A′ BC上，求证：∠BAC＜∠BA′C．（提示：∠ABA′相当于θ1，∠A′BC相当于θ2，∠ABC相当于θ，因为∠ABC为锐角，所以∠A′BC也为锐角，故θ＞θ2）AC＝15，A1B＝5，A1C＝9．试比较这两个三角形的内角A和A1的大小．（提示：由cos∠BAC＝cos∠BA1C，得∠BAC＝∠BA1C，又因为∠ABC是钝角，∠ABC＜∠A1BC，而∠ACB是锐角，∠ACB＞∠A1CB，所以才有可能得出∠BAC＝∠BA1C）第二篇：三垂线定理及逆定理-高中数学知识口诀三垂线定理及逆定理上海市同洲模范学校宋立峰三垂线定理及逆定理面内直线面外点，过点引出两直线；斜线斜足定射影，斜垂射影必共面。
高二数学斜线与平面三垂线定理教案人教版
斜线与平面 三垂线定理一、知识要点：1、斜线在平面内的射影 ①点在平面的射影，垂线段：②平面的斜线，斜足，斜线段的定义③斜线在平面内的射影，斜线段在平面的射影。
2、射影定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； ②相等的斜线段的射影也相等，较长的斜线段的射影也较长； ③垂线段比任何一条斜线段都短。
3、直线和平面所成的角，范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ①斜线和平面所成的角：平面的斜线和它在这个平面内的射影所处的锐角。
范围为：⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα②若直线和平面垂直，则线面所成的角为直角。
③若直线和平面平行或在平面内，则线面所成的角为︒0的角。
4、①斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角。
②斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中的最小角。
5、三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知：,PO PA 分别是平面α的垂线和斜线，OA 是PA 在平面α内的射影，a α⊂，且a OA ⊥ 求证：a PA ⊥； 说明：定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系。
6、三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用7、①如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上②如果经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线的这个角两边夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线二、高考题集1、（2006年全国卷II ）如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6，过A 、B 分别作两平 面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′＝ ( ) （A ）2∶1 （B ）3∶1 （C ）3∶2 （D ）4∶32、（2006年四川卷）在三棱锥0ABC -中，三条棱,,OA OB OC 两两互相垂直，且,OA OB OC M ==是AB 边的中点，则OM 与平面ABC 所成角的大小是_______（用反三角函数表示）αβA BA ′B ′3、（2006年重庆理）对于任意直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l （ ）.（A ）平行 （B ）相交 （C ）垂直 （D ）互为异面直线 4、（07湖北•理•4题）平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是1m 和1n ，给出下列四个命题：①1m ⊥1n ⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ⇒1m ⊥1n ；③1m 与1n 相交⇒m 与n 相交或重合； ④1m 与1n 平行⇒m 与n 平行或重合；其中不正确的命题个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.45、（08四川卷９）设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与,l α都成030角的直线有且只有：( )（Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条 6、已知异面直线a 与b 所成的角为500，P 为空间一点，则过点P 与a 、b 所成的角都是300的直线有且仅有（ ）()A 1条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条7、如图5，正方体1111ABCD A B C D -中，点11M AB N BC ∈∈，，且AM BN =，有以下四个结论：①1AA MN ⊥；②11A C MN ∥；③MN 与面1111A B C D 成0角；④MN 与11A C是异面直线．其中正确结论的序号是 。
三垂线定理教案
三垂线定理教案【课题】三垂线定理【教学类型】新知课【教学目的】1.掌握射影的概念，并能做出一点或一个图形的射影。
2.掌握三垂线定理，并能熟练运用。
3.进一步提高学生的做图能力，培养学生的数形结合的数学素养。
【教学方法】讲授法【教学重点、难点】重点：三垂线定理的理解和应用。
难点：正确做出或找出射影，熟练掌握并运用三垂线定理【教学工具】三角板，多媒体【教学过程】（复习）1.提问：一直线垂直于一平面的定义。
2.上节课学了一个判断直线与平面相互垂直的定理，试复述一下。
3.过上点可以有两条直线和已知平面相互垂直吗？（讲解新课）大家现在学习很辛苦吧？每天晚上回家都要披星戴月，还有路灯陪着你们。
还有一个每天晚上都会陪伴你们的东西，大家知道是什么吗？不错，就是影子。
大家都学过物理，相信对影子的形成也很清楚了，它是光的直线传播造成的。
在物理课中，光可以从各个方向射过来，我们今天来研究一个特殊的方向——垂直照射。
大家看我手中的三角板（将三角板一个角接触桌面，使其与桌面斜交）如果有一束光与桌面垂直，从上边直射下来，这个三角板的射影是怎样的呢? 大家能画出一个示意图吗？我们一起来画一下吧。
如图所示，咱们先来研究AB这一条边。
过点B做面a的垂线垂足为P。
那么点P就叫做点B在面a中的正射影，我们简称为射影。
线段PA就叫做AB在面a中的射影。
对于平面上方任一个不规则的图形，大家能画出它们的射影吗？（在多媒体上演示几个例子）（黑板上画的图像）像AB这样与一平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线就叫做这个平面的斜线。
斜线和平面的交点（点P）叫斜足，斜线上点与斜足之间的线段（线段AP）叫做斜线段。
我们这段时间学习大家也发现了，主要研究的就是平行和垂直。
今天我们还要再学一个很重要的垂直——三垂线定理大家看黑板上这个图，如果在平面a中过点A做一条直线l与PA垂直，就好像在三角板的这个顶点处放一根竹竿，那它和直线AB有没有关系呢？如果图画得准的话可以直接从图形上看出来它们是垂直的，下面咱们来证一下。
高中第二册(下A)数学三垂线定理(1,2)
三垂线定理（1）教学目标：掌握三垂线定理及逆定理，并能应用它们灵活解题教学过程：（一）概念与规律1．三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内一条直线垂直的判定定理，这两条直线可以是共面（相交）垂直，也可以是异面垂直。
2．三垂线定理的逆定理的实质是平面的一条斜线和平面内一条直线垂直的性质定理。
3．三垂线定理及逆定理的应用，是立体几何诸多问题中有关线线垂直的简便判别方法，而且有间接作垂线等作图的作用。
（二）典型例题例1 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，（1）试判断AC1与B1D1的位置关系；（2）试判断AC1与B1C的位置关系；（3）与AC1垂直的各面对角线有几条？例2 在直角三角形ABC中，︒ACB，AC=BC=1，若PA⊥平面ABC，∠90=且2PA，求直线BP与平面PAC所成角的正弦值。
=例3 正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为棱A1A的中点，N为棱A1B1上的点，切A1N=1/3NB1，求证：MN⊥MC。
例4已知三角形ABC中，︒CAB，P是平面ABC外一点，且P∠90=在平面ABC上的射影D在线段BC上，若AB=3，AC=4，CD=3.2求证：PA ⊥BC 。
例5 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱BC 、CC 1的中点，B 1E 与BF 的交点为P ，求证：A 1P ⊥BF 。
（三）作业课课练P19-20课时练习 8、9、10补充1．已知PA ⊥正方形ABCD 所在的平面，O 为对角线BD 的重点，求证BD ⊥PO 。
2．三角形ABC 中，︒=∠90ACB ，P 是平面ABC 外一点，PA=PB=PC ，AC=12，P 到平面ABC 的距离为8，P 到BC 的距离。
三垂线定理(2)教学目标：掌握三垂线定理及其逆定理，并能应用它们灵活解题。
教学过程：一、知识要点：1． 正射影的定义：2． 三垂线定理：3．三垂线定理的逆定理：二、例题精讲例1．如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。
《三垂线定理》教案
《三垂线定理》教案一、教学目标：1.理解垂线的概念和性质，了解垂线与直线的关系。
2.掌握三垂线定理的内容和应用。
3.培养学生的推理和证明能力，培养学生的逻辑思维能力。
二、教学重点：1.理解垂线的定义和性质。
2.掌握三垂线定理的证明和应用。
三、教学难点：1.掌握三垂线定理的证明方法。
2.运用三垂线定理解决问题。
四、教学过程：Step 1 热身导入（10分钟）1.引入垂线的概念：请同学们举出日常生活中垂线的例子，并解释什么是垂线。
2.引导学生讨论垂直直线的特点，并总结垂直直线的性质。
Step 2 三垂线定理的引入（15分钟）1.展示一个三角形ABC，并画出三条垂线，分别过顶点A、B、C和对边BC、AC、AB，请学生观察并发现三条垂线的共同特点。
2.提问：你们能总结出三条垂线的特点吗？3.引入三垂线定理的概念：三垂线定理是指在任意三角形中，三条垂线的交点是唯一的，并且与三个顶点分别相连的线段交于一个点。
Step 3 三垂线定理的证明（30分钟）1.让学生根据已有的知识和思考，尝试给出三垂线定理的证明方法。
2.展示三垂线定理的证明过程，并逐步解释每一步的原理和推导过程。
3.提醒学生要注意观察和利用已有的定理和性质，使证明更加简洁和直观。
Step 4 三垂线定理的应用（20分钟）1.给学生一些实际问题，并引导他们利用三垂线定理解决问题，如：已知一个三角形的两条边和一个角度，求第三条边的长度。
2.引导学生在解决问题的过程中，要充分利用已有的定理和性质，运用逻辑推理进行分析和解决问题。
Step 5 总结与拓展（10分钟）1.让学生总结三垂线定理的内容和证明方法。
2.提醒学生要将所学的知识与生活实际相结合，灵活运用于解决实际问题。
3.引导学生拓展思考，探究其他与垂线相关的定理和性质。
五、教学作业1.完成课堂练习和习题。
2.思考并准备一个与三垂线定理相关的实际问题。
六、教学资源1.三角板和粉笔。
2.幻灯片展示课件。
011..2.3.5三垂线定理(1)教案 新人教A版必修2
课题：2.2.3.5三垂线定理（尖刀班）（1）课 型：新授课一、课题：三垂线定理二、教学目标：1．掌握科学的概念，了解射影、斜线的定义；2．掌握三垂线定理及其逆定理，利用三垂线定理及其逆定理解决有关线线垂直问题。
三、教学重、难点：三垂线定理及其逆定理；三垂线定理及其逆定理中各条直线之间的关系． 四、教学过程：（一）复习：平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质：（二）新课讲解：1．射影的有关概念：（1）点的射影：自一点P 向平面α引垂线，垂足P '叫做P 在平面α内的正射影（简称射影）。
（2）图形的射影：如果图形F 上所有点在一个平面内的射影构成图形F '，则F '叫做F 在这个平面内的射影． 2．斜线的有关概念：（1）斜线：如果一条直线和一个平面相交但不垂直，那么这条直线叫做平面的斜线； （2）斜足：斜线和平面的交点； （3）斜线段：斜线上一点和斜足间的线段叫做斜线段． 由此，斜线段AB 在平面内的射影仍为线段， 即为线段0A B ．3．三垂线定理：定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知：,PO PA 分别是平面α的垂线和斜线，OA 是PA 在平面α内的射影，a α⊂，且a OA ⊥求证：a PA ⊥；证明：∵PO α⊥∴PO a ⊥，又∵,a OA PO OAO ⊥=∴a ⊥平面POA ， ∴a PA ⊥．αBA 0A aαO APαP OEF CB A说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭．4．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
（证明略）推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭．练习：Rt ABC ∆在平面α内，90,,C PC CD AB α∠=⊥⊥于点D ，请指出图形中的直角三角形。
教学：.2.3.6三垂线定理(2)教案 新人教A版必修2
课题：2.2.3.6三垂线定理（2）课 型：新授课一、课题：三垂线定理（2）二、教学目标：1．进一步明确三垂线定理及逆定理的内容；2．能在新的情景中正确识别定理中的“三垂线”，并能正确应用．三、教学重、难点：三垂线定理的应用。
四、教学过程：（一）复习：1．三垂线定理及其逆定理的内容；2．练习： 已知：在正方体1AC 中，求证：（1）111BD AC ⊥；（2）11BD B C ⊥． （二）新课讲解：例1．点A 为BCD ∆所在平面外的一点，点O 为点A 在平面BCD 内的射影，若,AC BD AD BC ⊥⊥，求证：AB CD ⊥．证明：连结,,OB OC OD ， ∵AO BCD ⊥平面，且AC BD ⊥ ∴BD OC ⊥（三垂线定理逆定理）同理OD BC ⊥，∴O 为ABC ∆的垂心， ∴OB CD ⊥， 又∵AO BCD ⊥平面，∴AB CD ⊥（三垂线定理） 【练习】：BCD ∆所在平面外的一点A 在平面BCD 内的射影O 为BCD ∆的垂心，求证：点B 在ACD ∆内的射影P 是ACD ∆的垂心． 例2．已知：四面体S ABC -中，,SA ABC ABC ⊥∆平面是锐角三角形，H 是点A 在面SBC 上的射影，求证：H 不可能是SBC ∆的垂心． 证明：假设H 是SBC ∆的垂心，连结BH ，则BH SC ⊥，∵BH SBC ⊥平面∴BH 是AB 在平面SBC 内的射影， ∴SC AB ⊥（三垂线定理）又∵SA ABC ⊥平面，AC 是SC 在平面ABC 内的射影 ∴ AB AC ⊥（三垂线定理的逆定理）∴ABC ∆是直角三角形，此与“ABC ∆是锐角三角形”矛盾 ∴假设不成立，所以，H 不可能是SBC ∆的垂心．例3．已知：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，F 是,AC BD 的交点，求证：1A F BED ⊥平面．证明：1AA ABCD ⊥平面，AF 是1A F 在面ABCD 上的射影 又∵AC BD ⊥，∴1A F BD ⊥D CBAD 1C 1B 1A 1O DCBAHCSBAGFEDCB A D 1C 1B 1A 1取BC 中点G ，连结1,FG B G ，∵111111,A B BCC B FG BCC B ⊥⊥平面平面， ∴,B G 为1A F 在面11BCC B 上的射影，又∵正方形11BCC B 中，,E G 分别为1,CC BC 的中点，∴1BE B G ⊥， ∴1A F BE ⊥（三垂线定理）又∵EB BD B =I ，∴1A F BED ⊥平面． 五、课堂小结：三垂线定理及其逆定理的应用． 六、作业：1．已知P 是ABC ∆所在平面外一点，,,PA PB PC 两两垂直，H 是ABC ∆的垂心， 求证：PH ⊥平面ABC ．2．已知P 是ABC ∆所在平面外一点，,,PA PB PC 两两垂直，求证：P 在平面ABC 内的射影O 是ABC ∆的垂心．3．如图，ABC ∆是正三角形，F 是BC 的中点，DF ⊥平面ABC ，四边形ACDE 是菱形， 求证：AD BE ⊥． 4．如图，过直角三角形BPC 的直角顶点P 作线段PA ⊥平面BPC ，求证：P 在平面ABC 内的射影H 是ABC ∆的垂心．课后记：HP C B AABC ED F以下为赠送文档：选修4_5 不等式选讲课题：第01课时不等式的基本性质目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
高中数学 必修二 2.2.3.6三垂线定理(2)教案 新人教A版必修2
课题：2.2.3.6三垂线定理（2）（一）复习：1．三垂线定理及其逆定理的内容； 2．练习：已知：在正方体1AC 中，求证：（1）111BD AC ⊥；（2）11BD B C ⊥． （二）新课讲解：例1．点A 为BCD ∆所在平面外的一点，点O 为点A 在平面BCD 内的射影，若,AC BD AD BC ⊥⊥，求证：AB CD ⊥．证明：连结,,OB OC OD ， ∵AO BCD ⊥平面，且AC BD ⊥ ∴BD OC ⊥（三垂线定理逆定理）同理OD BC ⊥，∴O 为ABC ∆的垂心， ∴OB CD ⊥， 又∵AO BCD ⊥平面，∴AB CD ⊥（三垂线定理） 【练习】：BCD ∆所在平面外的一点A 在平面BCD 内的射影O 为BCD ∆的垂心，求证：点B 在ACD ∆内的射影P 是ACD ∆的垂心． 例2．已知：四面体S ABC -中，,SA ABC ABC ⊥∆平面是锐角三角形，H 是点A 在面SBC 上的射影，求证：H 不可能是SBC ∆的垂心． 证明：假设H 是SBC ∆的垂心，连结BH ，则BH SC ⊥，∵BH SBC ⊥平面∴BH 是AB 在平面SBC 内的射影， ∴SC AB ⊥（三垂线定理）又∵SA ABC ⊥平面，AC 是SC 在平面ABC 内的射影 ∴ AB AC ⊥（三垂线定理的逆定理）∴ABC ∆是直角三角形，此与“ABC ∆是锐角三角形”矛盾 ∴假设不成立，所以，H 不可能是SBC ∆的垂心．例3．已知：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，F 是,AC BD 的交点，求证：1A F BED ⊥平面．证明：1AA ABCD ⊥平面，AF 是1A F 在面ABCD 上的射影 又∵AC BD ⊥，∴1A F BD ⊥取BC 中点G ，连结1,FG B G ，∵111111,A B BCC B FG BCC B ⊥⊥平面平面， ∴,B G 为1A F 在面11BCC B 上的射影，O DCBAHCSBAGFEDCB A D 1C 1B 1A 1又∵正方形11BCC B 中，,E G 分别为1,CC BC 的中点，∴1BE B G ⊥， ∴1A F BE ⊥（三垂线定理）又∵EBBD B =，∴1A F BED ⊥平面．五、课堂小结：三垂线定理及其逆定理的应用．六、作业：1．已知P 是ABC ∆所在平面外一点，,,PA PB PC 两两垂直，H 是ABC ∆的垂心，求证：PH⊥平面ABC ．2．已知P 是ABC ∆所在平面外一点，,,PA PB PC 两两垂直，求证：P 在平面ABC 内的射影O 是ABC ∆的垂心． 3．如图，ABC ∆是正三角形，F 是BC 的中点，DF ⊥平面ABC ，四边形ACDE 是菱形， 求证：AD BE ⊥． 4．如图，过直角三角形BPC 的直角顶点P 作线段PA ⊥平面BPC ，求证：P 在平面ABC 内的射影H 是ABC ∆的垂心．课后记：HPCBAAB CED F。
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AB1C内 ∴BD1⊥平面AB1C
C B
三垂线定理
关于三垂线定的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。 至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。
从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序：一垂、 二射、三证。即
第一、找平面(基准面)及平面垂线 第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与 一条斜线。 第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。
再在道边取一点D，使水平角CDB等于45°， 测得C、D的距离等于20cm
A
B
90°
C
45°
D
∵BC是AC的射影 且CD⊥BC ∴CD⊥AC
三垂线定理
因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。
∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20cm ∴BC=20m， 在直角三角形ABC中 AC2=AB2+BC2，AC= 152+202 =25(cm) 答：电塔顶与道路的距离是25m。
∴AB⊥OE，AC⊥OF（三垂线定理的逆定理）
∵ PE=PF，PA=PA，∴Rt PAE≌RtPAF。
∴AE=AF又AO=AO∴，∴Rt AOE≌Rt AOF。
∴ ∠BAO=∠CAO
三垂线定理
例4、道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角 器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？ 解：在道边取一点C，使BC与道边所成水平角等于90°，
例3.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离
相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线
上。
P 已知：∠BAC在平面α内，点在α外，
A
αF
B E
O C
PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥ α，垂足 分别是E、F、O，PE=PF
求证：∠BAO=∠CAO
证明：连接PA，OE，OF∵ PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥ α，
系如何？
结论：a⊥PO 为什么呢？
二、三垂线定理：
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条
斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
PA⊥α ①
aα
PA⊥a
AO⊥a
② a⊥平面PAO
PO 平面PAO
③
a⊥PO
P
a
Ao α
① 线面垂直
② 线线垂直
③ 线面垂直
线线垂直
性质定理
判定定理
性质定理
三垂线定理
P
oa
α
A
复习提问：
1。直线与平面垂直的定义。 2。直线与平面垂直的判定定理。 3。证明线面垂直的方法。 4。证明线线垂直的方法。
一、射影的概念
定义：自一点P向平面α引垂线，垂足P1 叫做P
在平面α内的正射影（简称射影）。 如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成图 形F1，则F1叫做图形F在这个平面内的射影。
直的重要方法。
例题分析： 1、判定下列命题是否正确
三垂线定理
(1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面
α内的射影，则a⊥b。
( ×)
(2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线，
且b垂直于a在β内的射影，则a⊥b。
( ×)
强调：1°四线是相对同一个平面而言 2°定理的关键找“平面”这个参照学。
A
B
90°
C
45°
D
小结
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也 和这条斜线垂直。
1°定理中四条线均针对同一平面而言 2°应用定理关键是找“基准面”这个参照系 3°操作程序分三个步骤——“一垂二射三证”
三垂线定理
例4、设PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=3，PB=4，
PC=6，求点P到平面ABC的距离。
解: 作PH⊥平面ABC， P
连AH交BC于E，连PE
∵PA、PB、PC两两垂直
∴PA⊥平面PBC ∴PA⊥BC
AH为PA在平面ABC内的射影 A
H
C E
∴BC⊥AH
B
在Rt△PBC中，PE= -4-×--6-- = -1-2--
42+62
13
在Rt△APE中，AE= PA2+PE2= 9+ -11-43-4 = -21-3-2-9
三垂线定理
2、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1， AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C
证明：连结BD，连结A1B ∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD
D1
C1
又DD1⊥平面ABCD
A1
B1
∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的
射影
∵AC在平面AC内，∴BD1⊥AC
D
请同学思考：如何证明D1B⊥AB1 A 而AB1， AC相交于点A且都在平面
思考：
a 如果把定理中的条a⊥AO与结 论a⊥PO互换，命题是否成立？
三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条 斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的 射影垂直。
P a
Ao α
用法：
∵PA⊥α， a α，
AO是斜线PO在平面 α内的射影， a⊥PO ∴ a⊥AO
说明：三垂线定理及其逆定理是证明线线垂
.P
α
p1
思考：
1。两条异面直线在同一平面 内的射影的位置关系如何？
2。一个三角形在另一平面 中的射影可能是什么图形？
二、平面的斜线、垂线、射影
三垂线定理
PO是平面α的斜线, O为斜足; PA是平面α的垂线, A为垂足; P AO是PO在平面α内的射影.
oa
如果a α, a⊥AO，
α
A
思考a与PO的位置关
对三垂线定理的说明：
三垂线定理
1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、
a(直线)之间的垂直关系。
2、a与PO可以相交，也可以异面。
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和
平面内的一条直线垂直的判定定理。
用法：∵PA⊥α， a α，AO是斜线PO在平面
α内的射影，a⊥AO ∴a⊥PO
P Ao α