概率论答案

FY, (y) 2
y , 2( y ) 1 2 2y
1
y
e 2
1
2
2y
1
1 y
y 2e 2
2
故Y的密度函数为：PY
(
y)
1
y
1 y
2e 2
,
y
0
2 0
y0
19.设连续型随机变量 x 的概率分布为：
f
x
2, 0 0,
x 其他
1 2
, 求Y
4X
2
1的概率密度.
精选范本
.
解： FY ( y) PY
, k=2,3,…12
精选范本
.
3. 某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品 数X 的概率分布,并计算P{1≤X<2}
解：
,
4. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的
路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,
且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到
特别地，取（c, d） (1,1)得
1 P X (1,1) x 1 k1 1 2k k 1 2 (1)当x 1时，F (x) 0,当x 1时，F (x) 1.故可设定1 x 1，由全概率公式
PX x PX x, X 1 PX x, X 1 PX x, X 1 PX x, X 1
8 小时的概率 Q.
解：事件N t k表示设备在任何长为t的时间间隔内发生k次故障。
PN (t) k tk et (k 0,1,2,3....)
k! 当t 0时, P(T t) 0
当t 0时，事件T t与事件T t是互逆事件，且表示在长为t的时间内无故障发生，故它等价于
（1）由于T是非负随机变量，可见当t 0时，F (t) PT t 0 设t 0，则事件T t与N (t) 0等价，故当t 0时，有
(i
1,2,3)
“X 2” A1A2 A3 A1 A2 A3 A1A2 A3
PX
2
P( A1A2
A3 )
P( A1 A2 A3 )
P( A1A2 A3 )
1 2
2 3
1 4
11 23
3 4
1 2
2 3
3 4
11 24
3.设随机变量 X 的绝对值不大于 1,P{X=-1}= 1 ,P{X=1}= 1 .
红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布
解：X 的可能取值为 0,1,2,3 在第 i 个路口首次遇到红灯”；
(i=1,2,3)表示事件“汽车
相互独立，且 对于 m =0,1,2,3 ，有
= ，i=1,2,3
5．设随机变量 X 的概率密度为：
精选范本
若k
.
使得
, 求 k 的取值范围。
解： 当
时
，
2.一实习生用同一台机器接连独立地加工 3 个同种零件,第 i
个零是不合格品的概率
Pi
1 1
i
,(i=1,2,3,),此
X
表示
3
个零件
中合格品的个数,求 P{X=2}.
解：令Ai “加工的第i个零件是合格品”（i 1,2,3）
由题意A1,
A2 ,
A3相互独立,且P( Ai )
1 1 1 i
i 1
i
解：(1)
(2)
故，
即，a=111.84
14．设X 为一离散型随机变量,其分布律如下表,求:(1)q 的
值;(2)X 的分布函数.
X
-1
0
1
P
1-2q
精选范本
.
解：(1)
解得：
X
-1
0
1
P
分布律：
(2)由
知，
15. 设随机值变量X 在[2,5]上服从均匀分布,现对X 进行3次
独立观测,试求至少有2次观测值大于3的概率.
当
时，
10．从1个白球n-1个黑球中任取k 个,令X 表示取出的白球个 数.(1)求X 的分布律;(2)证
精选范本
.
解：(1)X的可能取值为0,1，且
故分布律：
(2)由分布律性质， 即
11．已知X 的概率密度为
,
计算P
解：
12．已知X 的概率密度为f(x)=C
精选范本
,确定常数C.
.
故，C= 13. 设X~N(108,9),(1)求P{101.1<x<117.6};(2)求常数a,使 P{X<a}=0.90.
PY
1
PCOS
2
X
PX
4
1 8
故Y COS X的分布律为: 2
Y
-1
0
1
P
1
3
13
1
24
8
18.设 X～N（0,1），求 Y= X 2 的密度函数。
解：若Y 0，则Y y是不可能事件，故FY ( y) PY y 0
若y 0，则有FY ( y) PY y P X 2 y P y X y 2( y ) 1
8
4
在事件{-1<X<1}出现的条件下,X 在(-1,1)内的任一子区间上
精选范本
.
取值的条件概
率与该子区间的长度成正比,求:
(1)X 的分布函数 F(x)=P{X≤x};(2)X 取负值的概率
解 : PX 1 0, PX 1 1, PX 1 1 PX 1 1 1 1 5 84 8
对任意的(c, d ) (1,1)有P X (c, d ) X 1 k(d c),其中k为比例系数，
2
Y ( y) Fx, (
y 1 )
24
1 f( y 1
y 1 )
2
4
20 y 1 , 0
y
y 1 2 1 1
1 2
2
22
1 1 y 0 y 1, 其他 0
故Y的概
率密度
为：Y
(
y)
1
1 y
1，1其 他y
0
0
(B)
1.随机变量 X 与 Y 均服从正态分布。X～N(μ, 42 ),Y～N(μ,52 ),
即：a b 1故( A)成立
(C)计算题
1.设测量误差 X～N(0,102 ),试求在 100 次独立重复测量中,至
少有三次测量误差的绝对值大于 19.6 的概率 α,并用泊松分布
求出 α 的近似值(要求小数点后取两位有效数字).
λ
1
2
3
4
5
6
7
精选范本
.
e
0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001
F (t) PT t 1 PT t 1 PN (t) 0 1 et
故服从参数为的指数分布。
(2)Q PT
16
T
8
PT 16,T PT 8
8
PT PT
16 8
e 16 e8
e8
17. 设 X 的分布律为：求 Y=的分布律。
X
1
2
3
4wk.baidu.com
P
1
1
1
1
4
6
12
8
求 Y=COS X 的分布律。
解：设 100 次独立重复测量中有 Y 次测量误差的绝对值大于
19.6，则 Y～B（100，p）,p=PX 19.6
X ～N(0,1)
10
p PX
19.6
P1X0
1.96
1
P
X 10
1.96 211.96 2(1 0.975) 0.05
2
PY 3 1
P Y i
1
(C1000
0.050
0.95100
C1 100
0.051
0.9599
C2 100
0.052
0.9598 )
i0
1 (0.95100 5 0.9599 100 99 0.052 0.9598 ) 0.881737019 2
若用泊松分布求的近似值，因 100 0.05 5则有
1 50 e5 51 e5 52 e5 118.5e5 118.5 0.007 0.87 0! 1! 2!
2
解：X 与 Y 的对应关系如下表:
5
6
5
1
24
6
X
1
2
3
4
5
6
Y
0
-1
0
1
0
-1
P
1
1
1
1
5
1
4
6
12
8
24
6
精选范本
.
可见 Y 的取值只有-1,0,1 三种可能。
PY
1
PCOS
2
X
1
PX
2
PX
6
1 6
1 6
1 3
PY
0
PCOS
2
x
PX
1
PX
3
PX
5
1 4
1 12
5 24
13 24
.
习题二答案
1．随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区
别？
答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是
连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都
可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离
散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机
变量的取值规律。它们的联系在于当知道了 X 的分布律，可
8．某仪器装有3只独立工作的同型号电子元件,其寿命(单位: 小时)都服从同一指数分布,概率密度为
求:在仪器使用的最初200小时内,至少有一只电子元件损坏的 概率α。
解： k=1,2,3
精选范本
.
9. 令X 表示向直角等腰三角形内投点时落点的第一坐标,求
F(x). 解：
当 时， =0 当 时， =1
解：因
且
故，
以Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数（即在3次独立实
验中事件A出现的次数）显然，Y服从参数为n=3，p= 的二 次分布
精选范本
.
16. 设一大型设备在任何长为 t 的时间间隔内发生故障的次
数 N(t)服从参数的泊松分布，求:
（1）相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布；
（2）在设备已经无故障工作 8 小时的情况下，再无故障运行
3.设 F1(x)与 F2(x)分别为随机变量 X1 与 X2 的分布函数,为使 F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某随机变量的分布函数,在下列给定的各 组数值中应取() (A)a=35,b=-25 (B)a=23,b=23 (C)a=-12,b=32 (D)a=12,b=-32 解： F1x, F2 x都是分布函数， F1 1, F2 1 为使Fx aF1x bF2 x是某一随机变量的分布函数，必满足条件：F 1
证 P1 =PX 4, P2 =PY 5,则()
(A)对任何实数 μ，都有 P1 P2
(B)对任何实数 μ，都有 P1 P2
(C)只对 μ 的个别值，才有 P1 = P2
(D)对任何实数 μ，都有 P1 > P2
解：p1
PX
4
P X
4
1
1
p2
PY
5
PY
5
11
PY
通过求概率
（x 取任意的值）求得 X 的分布函数 ;
仅之亦然。当知道了连续型随机变量的密度函数 ,可通过
积分
,求得分布函数 ,
可通过对
求导，即
（对一切
求得密度函数
2. 同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X 的概率分布,并
计算P{X≤3}和P{X>13}.
解：由题意 X 的正概率点为 2，3，…12
当
时
，
当
时
，
故要使得
，k 的取值范围是
6．设某射手每次射击命中目标的概率为 0.5， 现连续射击
10 次，求命中目标的次数 X 的概率分布，又设至少命中 3
次才可以参加下一步的考核，求次射手不能参加考核的概
率。
解：
,
k=0,1,2…,10
精选范本
.
设
，有
7．设 X 服从泊松分布，且已知
,求
解：由
得到 =2
PX x, X 1 PX x, X 1 PX 1P() X x X 1 PX 1 5 x 1 1 82 8
0
x 1
故F
(
x)
1 16
5x 1
1
2,
1 x x 1
1
（2） F (x)在(1,1)内是连续的， PX 0 F (0 0) F (0) 7
16
精选范本
5
1
11
X 1X 1 11即P1 P2故（A）成立。
精选范本
.
2.设随机变量 X～N(μ, 2 )，则随着 的增大，概率 PX ()
(A)单调增大(B)单调减小(C)保持不变(D)增减不定
解：X～N(μ, 2 )
X ～N(0,1)
P X
P
X
1 11 211故（C）成立。
y P 4x2 1 y
P
x
2
y 1
4
当y 1时,
y
4
1
0,
FY
(
y)
P
x2
0
P 0Y ( y) 0
当y
-1时, FY ( y)
P
x
2
y
1
4
P x
y 1
2
P
y 1 x 2
P
y 1 x
2
y 2
1
Fx
(
y 1 2 ) Fx (
y 2
1
)
Fx,
(
y 1 )
2
y 1