近世代数期末考试题库

世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（ c ）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ d ）个元素。

A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b，ya=b， a,b∈G都有解，这个解是（b ）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c ）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。

5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合；，则有。

2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。

4、偶数环是整数环的子环。

5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。

6、每一个有限群都有与一个置换群同构。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a的逆元是a-1。

8、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么---------。

9、一个除环的中心是一个-域-----。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。

2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

奇1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：可知为奇置换，为偶置换。

和可以写成如下对换的乘积：2解：设A是任意方阵，令，，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且。

若令有，这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵，则，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：，，所以，表示法唯一。

3、设集合，定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则（，）是不是群，为什么？四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、设是群。

证明：如果对任意的，有，则是交换群。

2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。

1、对于G中任意元x，y，由于，所以（对每个x，从可得）。

2、证明在F里有意义，作F的子集显然是R的一个商域证毕。

近世代数模拟试题二一、单项选择题二、1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（c ）是子群。

A、B、C、D、2、下面的代数系统（G，*）中，（d ）不是群A、G为整数集合，*为加法B、G为偶数集合，*为加法C、G为有理数集合，*为加法D、G为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ b ）A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2bD、a*b=|a-b|4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），则=（b ）A、B、C、D、5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ a ）。

A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个---变换全-------同构。

2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。

3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于-25-----。

4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与--模n乘余类加群-----同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B=---2--。

6、若映射既是单射又是满射，则称为---双射--------------。

7、叫做域的一个代数元，如果存在的--不都等于林---使得。

8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为----单位元-----。

9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、--消去律成立-------。

10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集。

2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？1、解：H的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )}H的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )}2、答：（E，）不是群，因为（E，）中无单位元。

3、解方法一、辗转相除法。

列以下算式：a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到(a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。

然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以p=4, q=-5.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明设e是群<G，*>的幺元。

令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。

所以，x＝a－1*b是a*x ＝b的解。

若x∈G也是a*x＝b的解，则x＝e*x＝(a－1*a)*x＝a－1*(a*x)＝a－1*b＝x。

所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。

2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为，称之为模m剩余类。

若m︱a–b也记为a≡b(m)。

当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、若<G，*>是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。

2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a〜b当且仅当m︱a–b。

近世代数模拟试题三一、单项选择题1、6阶有限群的任何子群一定不是（ c ）。

A、2阶B、3 阶C、4 阶D、6 阶2、设G是群，G有（c）个元素，则不能肯定G是交换群。

A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ d ）。

4、下列哪个偏序集构成有界格（d ）A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂A、（N,）B、（Z,）C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、(P(A),)5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（a ）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。

2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则----a------。

3、区间[1，2]上的运算的单位元是--2-----。

4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=———24———————。

5、环Z8的零因子有-----------------------。

6、一个子群H的右、左陪集的个数---相等-------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-----商权----。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的---特征--------。

9、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为---mIn----。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。

S1+S2也是子环吗？3、设有置换，。

1．求和；2．确定置换和的奇偶性。

群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。

用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。

2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1∩S2：因为S1，S2是A的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2 ，因而a-b, ab∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。

S1+S2不一定是子环。

在矩阵环中很容易找到反例：3、解：1．，；2．两个都是偶置换。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。

1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a，由理想的定义，因而R的任意元这就是说=R，证毕。

2、证必要性：将b代入即可得。

充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e，近世代数模拟试题四一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ d ）个元素。

A.2B.5C.7D.102.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（ c ）A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射3.设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ a ）A.(1)，(123)，(132)B.(12)，(13)，(23)C.(1)，(123)D.S3中的所有元素4.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（ d ）个。

A.2B.4C.6D.85.下列集合关于所给的运算不作成环的是（ b ）A.整系数多项式全体Z［x］关于多项式的加法与乘法B.有理数域Q上的n级矩阵全体Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：m， n∈Z， mn＝0D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：m， n∈Z， mn＝1二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。