东北大学概率论课后习题答案PPT3-4

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边缘分布函数与条件分布函数 边缘分布函数
设(X,Y)为二维随机变量，则称随机变量X的分布函 数为(X,Y)关于X的边缘分布函数；随机变量Y的分布函 数为(X,Y)关于Y的边缘分布函数，分别记为： FX(x),FY(y);
FX ( x) P{ X x} P{ X x, Y } F ( x,) FY ( y ) P{Y y} P{ X , Y y} F (, y )
[思考]
1, G ( x, y ) 0,
x y 0 x y 0
问G(x,y)能否作为分布函数？ 答 不能。 虽然G(x,y)满足分布函数的前三个性质，但不满足第四个 性质。当x1=0,x2=1,y1=0,y2=1时， G(1,1)-G(1,0)-G(0,1)+G(0,0) =1-1-1+0=-1<0
第四节二维随机变量的分布函数
设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函 数： F(x,y)=P{(X≤x) ∩(Y≤y)}=P(X≤x, Y≤y) 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X,Y 的联合分布函数。
y
( x, y)
o
x
二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)的含义
对离散型随机变量有
FX ( x) F ( x,)
xi x j 1
p
i 1 y j y

ij
FY ( y ) F (, y )
对连续型随机变量有
p
ij
FX ( x ) FY ( y )


x

y
f ( x, y ) dxdy f ( x, y ) dxdy
对于任意n个实数x1,x2, …xn，n元函数： F(x1,x2, …xn)=P{X1 ≤ x1 , X2≤ x2 , … , Xn ≤ xn, …} 称为n维随机变量(X1,X2, …Xn)的分布函数，或称为随机 变量X1,X2, …Xn的联合分布函数。它具有二维随机变量的 分布函数类似的性质。
二维连续型随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)定义为
F ( x, y )
x


y
f (u, v )dudv
反之，在密度函数f(x,y)的任意连续点(x,y)处，有 2 F ( x, y ) f ( x, y ) xy
例1：已知随机变量( X , Y )的分布函数为 x y F ( x, y ) A( B arctan )(C arctan ) 2 3 求常数A，B，C，P{0 x 2,0 y 3}和P{Y 3}
y
y2
y1
o
x1
Байду номын сангаас
x2
x
P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2} =F(x2,y2)-F(x2,y1) -F(x1,y2)+F(x1,y1)
联合分布函数的性质
(1)F(x,y)是x和y的不减函数。即对于任意固定的y， 当x2>x1时F(x2,y) ≥F(x1,y)；对于任意固定的x，当y2>y1 时，F(x,y2) ≥F(x,y1)。




( 2)0 F ( x , y ) 1, 且
x
lim F ( x , y ) 0, lim F ( x , y ) 0
y
x , y
lim
F ( x , y ) 0,
x , y
lim
F ( x, y) 1
( 3)F ( x , y )关 于x右 连续 ， 关 于 y也 右连 续； (4)对 任意 点 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 )， 若x1 x 2 , y1 y 2， 则 F ( x 2 , y 2 ) F ( x 2 , y1 ) F ( x1 , y 2 ) F ( x1 , y1 ) 0.
二维离散型随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)定义为
F ( x, y) P{ X xi , Y y j } pij
xi x y j y xi x y j y
反之，对任意实数x，y，有
P{ X x, Y y} F ( x, y) F ( x, y ) F ( x , y) F ( x , y )