初中数学竞赛讲义一元二次方程公共根问题定稿版

初中数学竞赛讲义一元二次方程公共根问题精

编W O R D版

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一元二次方程公共根问题

若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题，

解题方法：

1、直接求根法，再讨论根与根之间的公共关系。

2、由题意用以下解题步骤：若两个一元二次方程只有一个公共根，则：

（1）.设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程；

（2）.用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；

（3）.把共公根代入原方程中的任何一个方程，然后通过恒等变形求出公共根．或求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．

例1 已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根，

1.求k的取值范围．

2.如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有

一个相同的根，求此时m的值．

解：

（1）b2－4ac＝16－4k＞0, k<4；

（2）由题意得：k＝3.∴x2－4x＋3＝0,即（x－1）（x－3）＝0，解方程，得x1=3，x2=1，

当x=3时9＋3m－1＝0, m＝-8/3,

当x=1时，1＋m－1＝0,m=0。

∵m2＋4＞0 ∴此时 m 的值为m＝0,或m＝-8/3.

例2 若两个关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0只有一个公共的实数根，求a的值

解：设两个方程的公共根为α，则有α2+α+a=0 ① α2+aα+1=0 ②

①-②得（1-a）α+a-1=0，即（1-a）（α-1）=0因为只有一个公共根，所以

a≠1，所以α=1

把α=1代入x2+x+a=0得12+1+a=0，a=-2

又解：两个方程相减，得：x+a-ax-1=0，整理得：x（1-a）-（1-a）=0，即（x-1）（1-a）=0，若a-1=0，即a=1时，方程x2+x+a=0和x2+ax+1=0的b2-4ac都小于0，即方程无解；故a≠1，∴公共根是：x=1．把x=1代入方程有：1+1+a=0∴a=-2．

例3、已知a＞2，b＞2，试判断关于x的方程x2-（a+b）x+ab=0与x2-abx+（a+b）=0有没有公共根，请说明理由．

解：不妨设关于x的方程x2-（a+b）x+ab=0与x2-abx+（a+b）=0有公共根，设为x0，

则有x

02(a+b)x

+ab＝0① x

2abx

+(a+b)＝02

整理可得（x

0+1）（a+b-ab）=0．∵a＞2，b＞2，∴a+b≠ab，∴x

=-1；

把x

=-1代入①得1+a+b+ab=0，这是不可能的．所以关于x的两个方程没有公共0

根．

又解：x2- (a+b)x + ab = (x-a)(x-b) = 0?

所以其两根分别是a 和 b?

若方程：x2- abx + (a+b) = 0 有1根x = a,代入,得：

a2– a2b + a + b = 0?

(b-1)a2 - a - b = 0?

( (b-1)a - b ) ( a + 1 ) = 0?

得：a = b/(b-1) ,或 a = -1（a < 2 ,舍去）

由a = b/(b-1) > 2,（其中b-1>0）,得：

b > 2(b-1)

即：b < 2?

这与 b > 2 矛盾?

同理,方程：x2 - abx + (a+b) = 0 有1根x = b,也能推出同样的矛盾?

所以两个方程没有公共根

例4、求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．

解答：

不妨设a 是这两个方程相同的根，由方程根的定义有

a 2+ka-1=0，①

a 2+a+（k-2）=0．②

①-②有ka-1-a-（k-2）=0，

即（k-1）（a-1）=0，所以k=1，或a=1．

（1）当k=1时，两个方程都变为x 2+x-1=0，所以两个方程有两个相

同的根，

没有相异的根；

（2）当a=1时，代入①或②都有k=0，

此时两个方程变为x 2-1=0，x 2+x-2=0．

解这两个方程，x 2

-1=0的根为x 1=1，x 2=-1； x 2+x-2=0的根为x 1=1，x 2=-2．

∴x=1为两个方程的相同的根．

例5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和

222

(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求a b b a b a a a --++的值。

解答：

由方程（a-1）x 2-（a 2+2）x+（a 2+2a ）=0得，[（a-1）x-（a+2）]（x-a ）=0

x 2=a ；

同理可由方程（b-1）x 2-（b 2+2）x+（b 2+2b ）=0?解得

x 2=b ；

∵a，b 为不相等的正整数，而两个方程有一个公共根．

所以a-1只能为1或3，即a=2，b=4，或a=4，b=2．

（若有也是同样的结果）

当a=2，b=4，

（把a=4，b=2代入计算的结果一样）

例6已知关于x 的两个一元二次方程：方程①：01)2()2

1(2=-+++x k x k 方程②：032)12(2=--++k x k x