第7章 一阶电路和二阶电路时域分析例题
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第7章习题 一阶电路和二阶电路的时域分析
答案：5，7.5，0.000025（ ）
12、
答案
13、
答案：
14、
答案：
15、电路如图所示，开关S闭合已经很久了。在t=0时刻断开开关S，求t≥0+时的电感电流iL（t）。
其中电感电流初始值为：（），电流稳态值为：（），时间常数为：（）
答案：5A，1A，0.25s
16、
答案：
17、图示电路原已处于稳定状态。已知IS= 10 m A，R1= 3000 Ω，R2= 6000Ω，
R3= 2000 Ω，C = 2.5 μF。求开关k在t=0时闭合后电容电压uc和电流i，
并画出它们随时间变化曲线。
解：u ( 0+) =u ( 0-) = ISR2=10×10 ×6000= 60V
即uC（t）= 60e V
电容电流i=C = 2 .5×10 ×（-100）×60 e = - 15 e mA
电容电压、电流的波形如下图所示。
(a)(b)
电容电压、电流波形图
18、图示电路原已处于稳定状态。已知US= 100 V，R1= R2= R3= 100 Ω，
C = 10 μF。试求开关k在t = 0时断开后电容电压uc和流过R2的电流i2。
解：uC( 0+) =uC( 0-) = US[ R2/（R1+R2）] = 50V
在t0时开关s由位置1打到位置2试用三要素法求t0时的电容电压uct则uc初始值为v时间常数为suc稳态值为12答案13答案
1．如图所示电路t<0时已稳定，t=0时开关S闭合，此后电容上电压
uc(t)=20(1-e-0.1t)V,则电容C=（）
A．2F
B．1F
C．1.5F
D．0.即uC（t）= 50 e V
12、
答案
13、
答案：
14、
答案：
15、电路如图所示，开关S闭合已经很久了。在t=0时刻断开开关S，求t≥0+时的电感电流iL（t）。
其中电感电流初始值为：（），电流稳态值为：（），时间常数为：（）
答案：5A，1A，0.25s
16、
答案：
17、图示电路原已处于稳定状态。已知IS= 10 m A，R1= 3000 Ω，R2= 6000Ω，
R3= 2000 Ω，C = 2.5 μF。求开关k在t=0时闭合后电容电压uc和电流i，
并画出它们随时间变化曲线。
解：u ( 0+) =u ( 0-) = ISR2=10×10 ×6000= 60V
即uC（t）= 60e V
电容电流i=C = 2 .5×10 ×（-100）×60 e = - 15 e mA
电容电压、电流的波形如下图所示。
(a)(b)
电容电压、电流波形图
18、图示电路原已处于稳定状态。已知US= 100 V，R1= R2= R3= 100 Ω，
C = 10 μF。试求开关k在t = 0时断开后电容电压uc和流过R2的电流i2。
解：uC( 0+) =uC( 0-) = US[ R2/（R1+R2）] = 50V
在t0时开关s由位置1打到位置2试用三要素法求t0时的电容电压uct则uc初始值为v时间常数为suc稳态值为12答案13答案
1．如图所示电路t<0时已稳定，t=0时开关S闭合，此后电容上电压
uc(t)=20(1-e-0.1t)V,则电容C=（）
A．2F
B．1F
C．1.5F
D．0.即uC（t）= 50 e V
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析(part-2)
解
u C ( ∞ ) = 4i1 + 2i1 = 6i1 = 12 V u = 10 i1 → Req = u / i1 = 10 Ω
7.4.1 一阶RL电路的零输入响应
US iL ( 0 + ) = iL ( 0 − ) = = I0 R1 + Rห้องสมุดไป่ตู้应用KVL得：
d iL L + Ri L = 0 dt
iC = iC (∞) + [iC (0 + ) − iC (∞)] e
−
t RC
计算电流能否套用 公式？
套用全响应电压公式
R
C
uC (t ) = Ue − t / RC t ≥ 0
S(t = 0)
−
+
uC
duC iC = C dt
i
t U =− e RC t ≥ 0 −
R
(a= ) U uC (0 -)
(2) 确定稳态值 u c ( ∞ ) 由换路后电路求稳态值 u c ( ∞ ) 9mA
6× 3 3 uC ( ∞ ) = 9 × 10 × × 10 6+ 3 = 18 V
−3
+ R ) 6kΩ uC ( 0 −t=0-等效电路
(3) 由换路后电路求 时间常数 τ
τ = R0C 6× 3 −6 3 = × 10 × 2 × 10 6+ 3 −3 = 4 × 10 s
−
t L/ R
t ≥0
t − L/ R
L uL
–
d iL u L (t ) = L = − RI 0 e dt
τ时间常数
①电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数； I0 iL 连续 函数 t 0 -RI0 uL t 跃变
电路第七章一阶电路和二阶电路的时域分析.
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析 7.1 动态电路的方程及其初始条件
当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历 一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过 程称为电路的过渡过程。 过渡过程产生的原因: 电路内部含有储能元件L，C。电路在换路时能量发生变 化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
0
ic(t)
c
2 3
0.0184u t (s) 0 4
t RC
uc(0)= u0 2 3 4
t RC
RR u
t
(s)
du C t d u0 e C iC t C dt dt
u0 e R
2.时间常数
uc不能跃变， 结论: ic可以跃变。
解得 :
R 0 L
A I0
I0
iL(t)
iL t I 0e
R t L
t 0
0
R R t t diL t d L L u L t L L I e RI e 0 0 dt dt
2 3 4
t
(s)
t0
t 0 =RC
t0
f(0)
f(t) t
iL t iL 0e
=LG
0
4
(s)
C.零输入响应都是按指数规律衰减的，衰减的快慢由 决定,越小， uc(t),iL(t)衰减的越快。
D.时间常数的求法:
在换路后(即 t 0 )的电路中求。 R是从动态元件两端看进去的戴维宁等效电阻。
(３) 只有当电容器两端电压变化时，才有电流。
六.电感的伏安关系
1 . 电感中的电压 现象: a .开关合上： us + _ b .开关打开： us +
当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历 一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过 程称为电路的过渡过程。 过渡过程产生的原因: 电路内部含有储能元件L，C。电路在换路时能量发生变 化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
0
ic(t)
c
2 3
0.0184u t (s) 0 4
t RC
uc(0)= u0 2 3 4
t RC
RR u
t
(s)
du C t d u0 e C iC t C dt dt
u0 e R
2.时间常数
uc不能跃变， 结论: ic可以跃变。
解得 :
R 0 L
A I0
I0
iL(t)
iL t I 0e
R t L
t 0
0
R R t t diL t d L L u L t L L I e RI e 0 0 dt dt
2 3 4
t
(s)
t0
t 0 =RC
t0
f(0)
f(t) t
iL t iL 0e
=LG
0
4
(s)
C.零输入响应都是按指数规律衰减的，衰减的快慢由 决定,越小， uc(t),iL(t)衰减的越快。
D.时间常数的求法:
在换路后(即 t 0 )的电路中求。 R是从动态元件两端看进去的戴维宁等效电阻。
(３) 只有当电容器两端电压变化时，才有电流。
六.电感的伏安关系
1 . 电感中的电压 现象: a .开关合上： us + _ b .开关打开： us +
第七章一二阶电路的时域分析
+ U0 -
R1 R2 il(0-)
+
-
(b)t=0-时的等效电路
b.确定独立的初始条件：
R2 uc (0 ) u c (0 ) U0 , R1 R2
ic(0+) + + R2 uR2(0+) uc(0+) + ul(0+) il(0+) (c)t=0+时的等效电路
U0 il (0 ) il (0 ) R1 R2
第七章一二阶电路的时域分析
内容提要： 动态电路方程及其初始条件； 换路定律； 一阶电路的零输入响应； 一阶电路的零状态响应； 一阶电路的全响应；三要素法； 一阶电路的阶跃响应； 一阶电路的冲击响应； 二阶电路简介。
本章重点： 动态电路方程及其初始条件； 换路定律； 一阶电路的全响应；三要素法； 一阶电路的阶跃响应； 一阶电路的冲击响应。 本章难点： 含有受控源电路的时间常数的计算； 阶跃响应及冲击响应。
uc (0) U 0 e 0 U 0 通过计算可得：
uc ( ) U 0 e 1 0.386 0 U
t
t
零输入响应在任一时刻t 0 的值，经过一个时间常数 可以表示为： t t
uc (t 0 ) U 0 e
0
U 0 e 1 e
0
即通过一个时间常数 值的36.8%；
c.确定非独立的初始条件：根据 t 0 时的电路状态如图（c）可得：
U0 ic (0 ) il (0 ) , R1 R2
R2U 0 u R 2 (0 ) R2 il (0 ) , R1 R2
《电路分析》第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析
4Ω
K(t=0) 1F + uC –
4Ω
+ 10V –
i
4Ω 1F + uC –
i
4Ω
K(t=0) C
i
+ R
uC
–
+
uR
–
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2. RL电路的零输入响应
R1
K(t=0)
i L
+
US
-
+ uL –
t >0 + uL – i L R
US iL (0 ) iL (0 ) I0 R1 di L Ri 0 t 0 R dt R Lp R 0 p R L t
0+时刻的值
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用经典法求解线性常微分方程时, 必须根据电路的初始条件 来确定解中的积分常数。
3.电路的初始条件
(1) t = 0＋与t = 0－的概念 认为换路在 t=0时刻进行。 0－ ：换路前一瞬间 0+ ： 换路后一瞬间
f (0 ) f (0 )
f(t)
f (0 ) f (0 )
K(t=0) R
R
i
C
+
-
US
+u –
uC
–
+
已知 uC (0－) ；
t=0时K闭合。 求： uC(t) ， iC(t) （t≥0）
d uC RC uC U S dt
常系数一阶线性非齐次微分方程
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K(t=0)
+
-
R
R
iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
t RC
第7章一阶电路和二阶电路的时域分析
2019年4月25日星期四
4
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
引言 自然界事物的运动，在一定的条件下有一定的稳 定状态。当条件发生变化时，就要过渡到新的稳定状 态。从一种稳定状态转到另一种新稳定状态时，往往 不能跃变，而是需要一定时间，或者说需要一个过程， 在工程上称过渡过程。
S (t=0) i R
+
uC
=
US
uC
=
US
+
A
e
-
1 RC
t
(t≥0+) i R
S +
+ uR - +
US
-UC(S0+) = uC(0-) = 0
所以零状态响应为
US
uC , i
稳态分量
uC''
uC =
US (1-e-
t
)，
=
RC
US
R
uC=uC' + uC''
i
t
i=C
duc dt
阻尼及临界阻尼的概念及分析； (8)二阶电路的阶跃响应。
2019年4月25日星期四
3
难点
(1)应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建 立动态电路方程；
(2)电路初始条件的概念和确定方法； (3)二阶电路的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼放电过
程分析方法和基本物理概念。
与其它章节的联系
本章讨论的仍是线性电路，因此前面讨论的线 性电路的分析方法和定理全部可以用于本章的 分析中。第9章讨论的线性电路的正弦稳态响应 就是动态电路在正弦激励下的稳态分量的求解。
=
US R
第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析(2010-2011第一学期 邱关源)
uC (0) U 0e0 U 0
uC ( ) U 0e1 0.368U 0
即经过一个时间常数τ 后，衰减了63.2％，为原值 的36. 8％。 理论上，t = ∞时，uC才能衰减到零，但实际上， 当t = 5τ 时，所剩电压只有初始值的0.674％，可以认 为放电已完毕。因此，工程上常取t = (3-5)τ 作为放电 完毕所需时间。τ 越大，衰减越慢，反之则越快。
uR uC U 0 e
t
可以看出，电压uC、uR及电流i都是按照同样的 指数规律衰减的。它们衰减的快慢取决于指数中τ 的大小。
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
τ 的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度， 它是反映过渡过程特性的一个重要的量。可以计算得 t = 0时， t =τ 时，
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
经过全部放电过程，电阻上所吸收的能量为
WR
0
Ri 2 (t )dt
0
U 0 t 2 R ( e ) dt R
0
2 U0 R
0
e
2t RC
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
河北大学数学与计算机学院
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
电容和电感的VCR是通过导数（积分）表达 的。当电路中含电容和电感时，电路方程是以电流 和电压为变量的微分方程或微分―积分方程。 对于仅含一个电容或电感的电路，当电路的无 源元件都是线性和时不变时，电路方程将是一阶线 性常微分方程，称为一阶动态电路。 电路结构或参数变化引起的电路变化统称为 “换路”。换路可能使电路改变原来的工作状态， 转变到另一个工作状态。
uC ( ) U 0e1 0.368U 0
即经过一个时间常数τ 后，衰减了63.2％，为原值 的36. 8％。 理论上，t = ∞时，uC才能衰减到零，但实际上， 当t = 5τ 时，所剩电压只有初始值的0.674％，可以认 为放电已完毕。因此，工程上常取t = (3-5)τ 作为放电 完毕所需时间。τ 越大，衰减越慢，反之则越快。
uR uC U 0 e
t
可以看出，电压uC、uR及电流i都是按照同样的 指数规律衰减的。它们衰减的快慢取决于指数中τ 的大小。
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
τ 的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度， 它是反映过渡过程特性的一个重要的量。可以计算得 t = 0时， t =τ 时，
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
经过全部放电过程，电阻上所吸收的能量为
WR
0
Ri 2 (t )dt
0
U 0 t 2 R ( e ) dt R
0
2 U0 R
0
e
2t RC
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
河北大学数学与计算机学院
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
电容和电感的VCR是通过导数（积分）表达 的。当电路中含电容和电感时，电路方程是以电流 和电压为变量的微分方程或微分―积分方程。 对于仅含一个电容或电感的电路，当电路的无 源元件都是线性和时不变时，电路方程将是一阶线 性常微分方程，称为一阶动态电路。 电路结构或参数变化引起的电路变化统称为 “换路”。换路可能使电路改变原来的工作状态， 转变到另一个工作状态。
CH7 一阶电路和二阶电路的时域分析2
端电压。
5
2A + –
10
10 +
解
Req 10 10 20
u
K
2H
U S 2 10 20V L / Req 2 / 20 0.1s i L ( ) U S / Req 1 A
iL
t>0
uL
–
i L ( t ) (1 e
uL ( t ) U S e
i L (t ) 6 ( 2 6)e
i2 (t ) 4 ( 2 4)e
5 t
5 t
6 4e
5 t
5 t
t0
i1 ( t ) 2 (0 2)e 5 t 2 2e 5 t A 4 2e A
例
解
已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t) 。
0
t
uc ( t ) uc ( ) [uc (0 ) uc ( )]e
t
uC 0.667 ( 2 0.667)e 0.5 t 0.667 1.33e 0.5 t t 0
例
解
t=0时,开关闭合，求t>0后的iL、i1、i2
i1 5 5
i L (0 ) i L (0 ) 10 / 5 2 A
f (t ) (t ) (t t0 )
f(t) 1 t O t0 O t O -1 t0 t
(t) 1
( t- t0 )
激励
响应
(t )
R
+ uS(t) _ + uC(t ) _
u C (t ) (1 e )(t )
例 t=0时 , 开关K闭合，已知 uC（0－）=0，
第七章_一阶电路和二阶电路的时域分析习题
t=0，K开，有 uC (0 ) uC (0 ) 8V iL (0 ) iL (0 ) 1A
2Ω
K
10V
t=0
+ uL
iL L
iC
-
C
+ -
uC
8Ω
0+等效电路:
iC (0 ) iL (0 ) 1A uR (0 ) 8V uL (0 ) 0
u2 (0 ) 0 i2 (0 ) 0
例1: 图示电路，t<0，K开，电路稳定，t=0， K闭。
求iC (0+)、u L1 (0+) 、u L2 (0+)。 解： t<0，K开， 电路稳定，有
i1(0 ) 0 i2 (0 ) 3A
+
12Ω K
i1 + uL1 -
t=0 iC
L1 +
36V
uC+-
C
uL2 L2 3A - i2
uC 0.667 (2 0.667)e0.5t 0.667 1.33e0.5t t 0
例4: 图示电路， t<0，K在a，电路稳定。t=0，K从
a打到b。求 t>0时的电流i (t)和iL (t)及其波形。
aa KK 11ΩΩ ii 33HH
解： t<0，K在a，电路稳定，有
(t)
1
f(t)
同理 f (t) (t t0)dt f (t0)
例
(sin
t
t
)
(t
6
)dt
f(0) 0 f(t)在 t0 处连续
t
sin 1 1.02
2Ω
K
10V
t=0
+ uL
iL L
iC
-
C
+ -
uC
8Ω
0+等效电路:
iC (0 ) iL (0 ) 1A uR (0 ) 8V uL (0 ) 0
u2 (0 ) 0 i2 (0 ) 0
例1: 图示电路，t<0，K开，电路稳定，t=0， K闭。
求iC (0+)、u L1 (0+) 、u L2 (0+)。 解： t<0，K开， 电路稳定，有
i1(0 ) 0 i2 (0 ) 3A
+
12Ω K
i1 + uL1 -
t=0 iC
L1 +
36V
uC+-
C
uL2 L2 3A - i2
uC 0.667 (2 0.667)e0.5t 0.667 1.33e0.5t t 0
例4: 图示电路， t<0，K在a，电路稳定。t=0，K从
a打到b。求 t>0时的电流i (t)和iL (t)及其波形。
aa KK 11ΩΩ ii 33HH
解： t<0，K在a，电路稳定，有
(t)
1
f(t)
同理 f (t) (t t0)dt f (t0)
例
(sin
t
t
)
(t
6
)dt
f(0) 0 f(t)在 t0 处连续
t
sin 1 1.02
电路理论第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析(7.5-7.8)
US 0
t
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例
求电流 i 的零状态响应。 i1 2A + 2W
0.5u1 1/6F 1H 2W
解 首先写微分方程
i1= i － 0.5 u1 = i － 0.5(2－ i)2 = 2i －2
S
u1 2W - 2-i
i
di 2i 由KVL： 2(2 i ) 2i1 6 i1dt d t d 2i di 8 12i 12 整理得： 2 dt dt 二阶非齐次
A1 U 0 A2 U 0
u U 0 1 δ t e δ t C 非振荡放电 duC U 0 δ t i C te 临界阻尼 dt L di u L U 0 1 δ t e δ t L dt
经典法求二阶电路零输入响应的步骤： 1、根据基尔霍夫定律和元件特性列出换路后电路的微 分方程（二阶）。 2、由特征方程求出特征根，并判断电路是处于衰减放 电还是振荡放电还是临界放电状态。 p1t p 2t L R2 过阻尼， 非振荡放电 uc A1e A2 e C L t t u A e A te R2 临界阻尼， 非振荡放电 c 1 2 C L t u Ae sin(t ) R2 欠阻尼， 振荡放电 c C
uc
U0
0
0 t U0e uc零点：t = -，2- ... n-
t
t=0时 uc=U0
- 2- 2
衰减系数： = R/2L ， 越大，衰减振荡的振幅衰 减得就越快，反之则越慢。 振荡角频率： ， 越大，衰减振荡的振荡速度就越 快，振荡周期越小，反之则速度越慢、周期越大。
ic=0
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《电路原理》第7-13、16章作业答案
12-5题12-5图所示对称Y—Y三相电路中，电压表的读数为1143.16V， ， 。求：（1）图中电流表的读数及线电压 ；（2）三相负载吸收的功率；（3）如果A相的负载阻抗等于零（其他不变），再求（1）（2）；（4）如果A相负载开路，再求（1）（2）。（5）如果加接零阻抗中性线 ，则（3）、（4）将发生怎样的变化？
12-6题12-6图所示对称三相电路中， ，三相电动机吸收的功率为1.4kW，其功率因数 （滞后）， 。求 和电源端的功率因数 。
题12-6图
第十三章“非正弦周期电流电路和信号的频谱”练习题
13-7已知一RLC串联电路的端口电压和电流为
试求：（1）R、L、C的值；（2）3的值；（3）电路消耗的功率。
13-9题13-9图所示电路中 为非正弦周期电压，其中含有 和 的谐波分量。如果要求在输出电压 中不含这两个谐波分量，问L、C应为多少？
题13-9图
第十六章“二端口网络”练习题
16-1求题16-1图所示二端口的Y参数、Z参数和T参数矩阵。（注意：两图中任选一个）
（a）（b）
题16-1图
16-5求题16-5图所示二端口的混合（H）参数矩阵。（注意：两图中任选一个）
题10-21图
第十一章“电路的频率响应”练习题
11-6求题11-6图所示电路在哪些频率时短路或开路？（注意：四图中任选两个）
（a）（b）（c）（d）
题11-6图
11-7RLC串联电路中， ， ， ，电源 。求电路的谐振频率 、谐振时的电容电压 和通带BW。
11-10RLC并联谐振时， ， ， ，求R、L和C。
题9-19图
9-25把三个负载并联接到220V正弦电源上，各负载取用的功率和电流分别为： ， （感性）； ， （感性）； ， （容性）。求题9-25图中表A、W的读数和电路的功率因数。
12-6题12-6图所示对称三相电路中， ，三相电动机吸收的功率为1.4kW，其功率因数 （滞后）， 。求 和电源端的功率因数 。
题12-6图
第十三章“非正弦周期电流电路和信号的频谱”练习题
13-7已知一RLC串联电路的端口电压和电流为
试求：（1）R、L、C的值；（2）3的值；（3）电路消耗的功率。
13-9题13-9图所示电路中 为非正弦周期电压，其中含有 和 的谐波分量。如果要求在输出电压 中不含这两个谐波分量，问L、C应为多少？
题13-9图
第十六章“二端口网络”练习题
16-1求题16-1图所示二端口的Y参数、Z参数和T参数矩阵。（注意：两图中任选一个）
（a）（b）
题16-1图
16-5求题16-5图所示二端口的混合（H）参数矩阵。（注意：两图中任选一个）
题10-21图
第十一章“电路的频率响应”练习题
11-6求题11-6图所示电路在哪些频率时短路或开路？（注意：四图中任选两个）
（a）（b）（c）（d）
题11-6图
11-7RLC串联电路中， ， ， ，电源 。求电路的谐振频率 、谐振时的电容电压 和通带BW。
11-10RLC并联谐振时， ， ， ，求R、L和C。
题9-19图
9-25把三个负载并联接到220V正弦电源上，各负载取用的功率和电流分别为： ， （感性）； ， （感性）； ， （容性）。求题9-25图中表A、W的读数和电路的功率因数。
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
二阶电路
6/61
结论： （1）描述动态电路的电路方程为微分方程； （2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；
一阶电路 一阶微分方程；一个动态元件
稳态分析和动态分析的区别
稳态 恒定或周期性激励 换路发生很长时间后状态 微分方程的特解
动态
任意激励 换路发生后的整个过程 微分方程的一般解
2021年1月23日星期六
t
uc (t ) Uoe RC
说明在动态电路的分析中，初始条件是得到确定解答的必 需条件。
2021年1月23日星期六
10/61
(2) 电容的初始条件
1 uC (t) C
t
i( )d
i+ uc- C
t = 0+时刻
1
0 i( )d 1
t
i( )d
C
C 0
uC
(0
)
1 C
t
i( )d
-开
路
uC(0－)=8V
(2) 由换路定律
+ i 10k
+
uC (0+) = uC (0－)=8V
8V
(3) 由0+等效电路求 iC(0+)
- 10V
iC
0+等效电路
2021年1月23日星期六
-
电容用电 压源替代
iC
(0
)
10 10
8
0.2mA
iC(0－-)=0 iC(0+)
14/61
例 4 t = 0时闭合开关k , 求 uL(0+)
2021年1月23日星期六
9/61
例2 图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求
电路原理作业第七章
电路原理作业第七章第七章“一阶电路和二阶电路的时域分析”练习题7-1 题7-1图（a ）、（b ）所示电路中开关S 在t =0时动作，试求电路在t =0+ 时刻电压、电流的初始值。
10Ω10V+-i C 1+-u CC 2F5V -+(t =0)2S5Ω10V+-i L 1+-u LL 1H(t =0)2S 5Ω（a ）（b ） 题7-1图解:(a)第一步 求t<0时,即开关S 动作前的电容电压(0)c u -。
由于开关动作前，电路处于稳定状态，对直流电路有cdu dt=，故0c i =，电容看作开路，0t -=时的电路如题解7-1图（a1）所示,可得(0)10c u V -=。
题解7-1图第二步 根据换路时，电容电压cu 不会跃变，所以有(0)(0)10ccu u V +-==应用替代定理, 用电压等于(0)10c u V +=的电压源代替电容元件,画出0+时刻的等效电路如题解7-1图（a2）所示。
第三步 由0+时刻的等效电路，计算得105(0) 1.510c i A ++=-=-(0)10(0)10( 1.5)15Rc ui V++=⨯=⨯-=-换路后，ci 和Ru 发生了跃变。
（b ） 第一步 由t<0时的电路，求(0)Li -的值。
由于t<0时电路处于稳定状态，电感电流L i 为常量，故0Ldi dt=，即0L u =，电感可以看作短路。
0t -=时的电路如图解7-1图（b1）所示，由图可知10(0)155Li A -==+题解7-1图第二步 根据换路时，电感电流Li 不会跃变，所以有 (0)(0)1LLi i A +-==应用替代定理, 用电流等于(0)1Li A +=的电流源代替电感元件,画出0+时刻的等效电路如题解7-1图（b2）所示。
第三步 由0+时刻的等效电路，计算初始值 2(0)(0)5(0)515R L u u i V +++=-=⨯=⨯=(0)(0)1RLi i A ++==显然电路换路后，电感电压2u 发生了跃变。
第七章 复习题
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析一、是非题1.若电容电压(0)0c u -=,则接通时电容相当于短路。
在t=∞时,若电路中电容电流0c i =,则电容相当于开路。
2. 换路定则仅用来确定电容的起始电压(0)c u +及电感的起始电流(0)L i +,其他电量的起始值应根据(0)c u +或(0)L i +按欧姆定律及基尔霍夫定律确定。
3. 在一阶电路中，时间常数越大，则过渡过程越长。
4.一阶电路的时间常数只有一个，即一阶电路中的各电压、电流的时间常数是相同的。
5. 零输入的ＲＣ电路中,只要时间常数不变,电容电压从100V 放电到50V 所需时间与从150V 放电到100V 所需时间相等。
6.在Ｒ、Ｃ串联电路中，由于时间常数与电阻成正比，所以在电源电压及电容量固定时，电阻越大则充电时间越长，因而在充电过程中电阻上消耗的电能也越多。
7.单位冲激函数是单位阶跃函数的一阶导数，因此线性电路的单位冲激响应是单位阶跃响应的一阶导数。
（ ） 8.一阶RL 电路在冲激函数()t δ作用下，换路定律()()00L L i i +-=不再适用。
（ ）二、选择题1.RC 电路在零输入条件下，时间常数的意义是A 、响应的初始值衰减到0.632倍时所需时间B 、响应的初始值衰减到0.368倍时所需时间C 、过渡过程所需的时间D 、过渡过程结束所需的时间c2.一阶电路的零状态响应，是指： (A) 电容电压()00VC u +=或电感电压()00VL u += (B) 电容电压()00VC u +=或电感电流()00VL i +=(C) 电容电流()00VC i +=或电感电压()00V L u += (D) 电容电流()00V C i +=或电感电流()00VL i +=3.R 、C 放电电路经过1.2秒后，电容器电压降为原来的36.8%，则其时间常数τ为 (A) 0.4s (B) 1.2s (C) 0.8s (D) 0.6s4. R 、C 串联电路，已知全响应()()1083V 0tC u t et -=-≥，其零状态响应为：( )(A) 1088V te-- (B) 1083V te-- (C) 103V te-- (D) 105V te-5.电压波形的数值表达式为_____. (Ａ) -2ε(t)+ε(t-1) (Ｂ) -2ε(t)+3ε(t+1)-ε(t+3)(Ｃ) -2ε(t)+3ε(t-1)-ε(t-3) (Ｄ) -2ε(t)+3ε(t-1)6.一阶电路的全响应u C (t)＝[10-6 e-10t]Ｖ,初始状态不变而若输入增加一倍，则全响应u C (t)为______。
《电路原理》第7-13、16章作业参考
（a）
（b）
（c）
题10-5图
解：（1）首先作出原边等效电路，如解10-5图（a）所示。
解10-5图
其中 (亦可用去耦的方法求输入阻抗)
（2）首先作出并联去耦等效电路，如解10-5图（b）所示。
即
（3）首先作出串联去耦等效电路（反接串连），如解10-5图（b）所示。
其中
10-17如果使100电阻能获得最大功率，试确定题10-17图所示电路中理想变压器的变比n。
=iL（ ）+〔iL（0+）－iL（ ）〕e－1/ =1.2+(－4－1.2) e－100s=1.2－5.2 e－100s
=L(diL/ dt)=52 e－100sV
7-26题7-26图所示电路在开关S动作前已达稳态；t=0时S由1接至2，求t0时的 。
题7-26图
解：由图可知，t＜0时 因此t=0时电路的初始条件为
9-25把三个负载并联接到220V正弦电源上，各负载取用的功率和电流分别为： ， （感性）； ， （感性）； ， （容性）。求题9-25图中表A、W的读数和电路的功率因数。
题9-25图
解：表W的读数为P1+P2+P3=19.8KW令 求电流 、 、 、 即有
⑴
⑵
⑶
根据KCL有： = + + =
功率因数
（右） =g （KCL）
= （KVL）右网孔电流方程可以不用列出
结点电压方程为： = +
（2）如题9-17图b所示，设顺时针网孔电流为 （左上）、 （左下）、 （中）
（右）。网孔电流方程为： ，
（2+j8） = (左上）
－（1+j8） =0(左下） （中）
（b）
（c）
题10-5图
解：（1）首先作出原边等效电路，如解10-5图（a）所示。
解10-5图
其中 (亦可用去耦的方法求输入阻抗)
（2）首先作出并联去耦等效电路，如解10-5图（b）所示。
即
（3）首先作出串联去耦等效电路（反接串连），如解10-5图（b）所示。
其中
10-17如果使100电阻能获得最大功率，试确定题10-17图所示电路中理想变压器的变比n。
=iL（ ）+〔iL（0+）－iL（ ）〕e－1/ =1.2+(－4－1.2) e－100s=1.2－5.2 e－100s
=L(diL/ dt)=52 e－100sV
7-26题7-26图所示电路在开关S动作前已达稳态；t=0时S由1接至2，求t0时的 。
题7-26图
解：由图可知，t＜0时 因此t=0时电路的初始条件为
9-25把三个负载并联接到220V正弦电源上，各负载取用的功率和电流分别为： ， （感性）； ， （感性）； ， （容性）。求题9-25图中表A、W的读数和电路的功率因数。
题9-25图
解：表W的读数为P1+P2+P3=19.8KW令 求电流 、 、 、 即有
⑴
⑵
⑶
根据KCL有： = + + =
功率因数
（右） =g （KCL）
= （KVL）右网孔电流方程可以不用列出
结点电压方程为： = +
（2）如题9-17图b所示，设顺时针网孔电流为 （左上）、 （左下）、 （中）
（右）。网孔电流方程为： ，
（2+j8） = (左上）
－（1+j8） =0(左下） （中）
[物理]电路 第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析
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何谓“零状态响应”？ 一、RC串联充电电路 初始无储能，输入不为零
i
R
uC uR U s
duC uC RC Us dt
一阶线性非齐次微分方程
Us
C
uc
“一阶非齐次线性方程的通解等于其对应的齐 次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。”
摘自《高等数学》下册第343页
第 1 章
U0
1
2
L
iL
uL
R
初始条件为： i(0 ) i(0 ) I 0 通解为：
i Ae pt
R L
L
iL
uL
R
特征方程为： Lp R 0 特征根为：
p
解得：
i I 0e
R t L
R t di uL L RI 0 e L dt
电压电流都以同样的指数规律衰减，衰减快慢取决于 衰减的时间常数 L
静电场
uc uc uc Us uc
uc uc
非齐次方程的特解 对应齐次方程的通解
U s e uc
1 t RC 1 t RC
1 t U s RC i e R
因此 uc U s (1 e
)
稳态分量和瞬态分量
Us uc
强制分量、与外激励有关；
R1
1
例7-1：
U0
R2
L
C
uc ic
iL
第 1 章
静电场
换路前后瞬间电容电压与电感电流不能跃变！
第 1 章
静电场
7.2 一阶电路的零输入响应
i
R
uC uR U s
duC uC RC Us dt
一阶线性非齐次微分方程
Us
C
uc
“一阶非齐次线性方程的通解等于其对应的齐 次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。”
摘自《高等数学》下册第343页
第 1 章
U0
1
2
L
iL
uL
R
初始条件为： i(0 ) i(0 ) I 0 通解为：
i Ae pt
R L
L
iL
uL
R
特征方程为： Lp R 0 特征根为：
p
解得：
i I 0e
R t L
R t di uL L RI 0 e L dt
电压电流都以同样的指数规律衰减，衰减快慢取决于 衰减的时间常数 L
静电场
uc uc uc Us uc
uc uc
非齐次方程的特解 对应齐次方程的通解
U s e uc
1 t RC 1 t RC
1 t U s RC i e R
因此 uc U s (1 e
)
稳态分量和瞬态分量
Us uc
强制分量、与外激励有关；
R1
1
例7-1：
U0
R2
L
C
uc ic
iL
第 1 章
静电场
换路前后瞬间电容电压与电感电流不能跃变！
第 1 章
静电场
7.2 一阶电路的零输入响应
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电 感 用 2A 电 流 uL (0 ) 2 4 8V 源 注意 uL (0 ) uL (0 ) 替 代
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-
解 ①先求 iL (0 ) 1 4 + 10V 电感 iL 短路 -
+ uL -
10 iL (0 ) 2A 1 4
例6 求 iC(0+) , uL(0+)
Uo
t RC
p 1 RC
t RC
代入初始条件得： k
uc (t ) U oe
明确
在动态电路分析中，初始条件是得 到确定解答的必需条件。
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②电容的初始条件
1 t uC (0 ) 0 i ( )d C 0 0 1 t = 0+ 时刻 u (0 ) u (0 ) i ( ) d C C C 0
解 这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有：
uC U 0 e
t RC
t0
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U 0 24 V RC 5 4 20 s
S
5F + uC －
i1 2 3 i3
i2 6
t 20
5F +
uC 4 －
i1
uc 24e V
t0
t 20
i1 uC 4 6 e A
wR 0 Ri dt 0 250 10 (80e ) dt 800 J
2 3 t 2
t
5800 5000 J
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例11 t=0时,打开开关S，求uv 。电压表量程：50V
S(t=0) + R=10 uV 10V V RV 10k –
iL
L iL 10 S C + － uC 10 10 + 20V iL + 1A 10 10
uL
ik
－ + 10V － uC － 10 iC 10 + 10 20V + 10 -20V -
解 ①确定0－值
20 iL (0 ) iL (0 ) 1A 20
uC (0 ) uC (0 ) 10V
L 6 1s R 6
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S(t=0)
+
2
1
4
24V
–
2
iL
+ －
3
4 uL 6H
t >0 6
i
6
uL
–
+
6H
diL iL 2e A uL L 12et V t 0 dt iL t u12 24 4 24 4e V 2
uC U S (1 e
t RC
) 100(1-e
t RC
- 200t
)V (t 0)
duC U S i C e dt R
0.2e
200t
A
(2)设经过t1秒，uC＝80V
80 100(1-e
- 200t1
) t1 8.045ms
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例14 t=0时,开关S打开，求t >0后iL、uL的变化规律。
iL L
iS
iS
+ uL –
S(t=0)
R
iC C
+ uC –
+
uL
– R
iC + RiS –
解 iS
由0－电路得： R 0－电路
由0+电路得：
RiS iC (0 ) is 0 R
iL(0+) = iL(0－) = iS uC(0+) = uC(0－) = RiS
uL(0+)= - RiS
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例7 求k闭合瞬间各支路电流和电感电压
2 + 48V S L 2 + uL iL 3 C + i u iC 3 3 + 2 L + ++ 12A i 48V 2 L 48V uC 24V 2 -－ 由0+电路得：
解 由0－电路得：
iL (0 ) iL (0 )
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⑤电路初始值的确定
(1) 由0－电路求 uC(0－)
+ 10k 10V 40k + uC 电 容 开 路
例4 求 iC(0+)
i 10k + 40k 10V iC S + uC iC
电 容 用 电 压
-
uC(0－)=8V
(2)由换路定律
+ i
-
10k + 8V 10V
-
uC (0+) = uC (0－)=8V
例2
RC电路
应用KVL和电容的VCR得：
(t >0) + Us -
R i + uC –
C
Ri uC uS (t ) duC iC dt
若以电流为变量：
duC RC uC uS (t ) dt 1 Ri idt uS (t ) C
di i duS (t ) R dt C dt
2 分流得： i2 i1 4e A 3
t 20
1 i3 i1 2e A 3
t 20
返 回
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例10 求:(1)图示电路k闭合后各元件的电压和电流随
时间变化的规律，(2）电容的初始储能和最终时 刻的储能及电阻的耗能。 S i
C1=5F C2=20F
+
250k u u2（0-）=24V +
100t
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例15 t=0开关k打开，求t >0后iL、uL及电流源的电压。
2A 5 + K10 10 + t>0 2H u L iL – + + Req 2H uL Uo – iL －
u –
解 这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：
Req 10 10 20 U 0 2 10 20V L / Req 2 / 20 0.1s iL () U 0 / Req 1A
解 L=4H
iL (0+) = iL(0－) = 1 A
iL e
t /
t0
L 4 4 10 4 s R RV 10000
2500t
uV RV iL 10000 e
uV (0+)=－ 10000V 造成 V
损坏。
t0
+ 10V 返 回
R
iL
L
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②给出0＋等效电路
20 10 ik (0 ) 1 2A 10 10 uL (0 ) iL (0 ) 10 10V
iC (0 ) uC (0 ) / 10 1A
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例9 图示电路中的电容原充有24V电压，求k闭合后，
电容电压和各支路电流随时间变化的规律。 i1 S i2 2 等效电路 5F + i1 5F + 3 6 uC uC 4 t > 0 － － i3
+ Us -
(t →) R i + uL –
+ Us -
(t →) R i + k uL –
k未动作前，电路处于稳定状态： uL= 0, k断开瞬间
i=Us /R
i = 0 , uL =
注意 工程实际中在切断电容或电感电路时
会出现过电压和过电流现象。
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2. 动态电路的方程
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1 -6 初始储能 w1 (5 10 16) 40 J 2 1 w2 (20 10-6 24 2 ) 5760 J 2 最终储能 1 -6 2 w w1 w1 (5 20) 10 20 5000 J 2
电阻耗能
iL (t ) (1 e
R 80 300
200 10A + S 2H uL iL – 10A t>0 + 2H uL iL – Req
解
这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：
Req 80 200 // 300 200Ω
L / Req 2 / 200 0.01s
iL (t ) 10(1 e )A iL () 10A 100t 100t uL (t ) 10 Req e 2000 e V
L
+ Us -
(t →) R i + uL –
i k未动作前，电路处于稳定状态： US/R i = 0 , uL = 0
US k接通电源后很长时间，电路达到新的稳定 状态，电感视为短路： uL= 0, uL i=Us /R 有一过渡期 t1 t 0
新的稳定状态
?
前一个稳定状态
过渡状态
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t
返 回
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例13 t=0时,开关S闭合，已知 uC(0－)=0，求(1)电容
电压和电流,(2) uC＝80V时的充电时间t 。 500 S 解 (1)这是一个RC电路零 + i 状态响应问题，有： + 100V 10F uC 5 3 RC 500 10 5 10 s － -
48 / 4 12 A
uC (0 ) uC (0 ) 2 12 24V
iC (0 ) (48 24) / 3 8A
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-
解 ①先求 iL (0 ) 1 4 + 10V 电感 iL 短路 -
+ uL -
10 iL (0 ) 2A 1 4
例6 求 iC(0+) , uL(0+)
Uo
t RC
p 1 RC
t RC
代入初始条件得： k
uc (t ) U oe
明确
在动态电路分析中，初始条件是得 到确定解答的必需条件。
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②电容的初始条件
1 t uC (0 ) 0 i ( )d C 0 0 1 t = 0+ 时刻 u (0 ) u (0 ) i ( ) d C C C 0
解 这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有：
uC U 0 e
t RC
t0
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U 0 24 V RC 5 4 20 s
S
5F + uC －
i1 2 3 i3
i2 6
t 20
5F +
uC 4 －
i1
uc 24e V
t0
t 20
i1 uC 4 6 e A
wR 0 Ri dt 0 250 10 (80e ) dt 800 J
2 3 t 2
t
5800 5000 J
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例11 t=0时,打开开关S，求uv 。电压表量程：50V
S(t=0) + R=10 uV 10V V RV 10k –
iL
L iL 10 S C + － uC 10 10 + 20V iL + 1A 10 10
uL
ik
－ + 10V － uC － 10 iC 10 + 10 20V + 10 -20V -
解 ①确定0－值
20 iL (0 ) iL (0 ) 1A 20
uC (0 ) uC (0 ) 10V
L 6 1s R 6
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S(t=0)
+
2
1
4
24V
–
2
iL
+ －
3
4 uL 6H
t >0 6
i
6
uL
–
+
6H
diL iL 2e A uL L 12et V t 0 dt iL t u12 24 4 24 4e V 2
uC U S (1 e
t RC
) 100(1-e
t RC
- 200t
)V (t 0)
duC U S i C e dt R
0.2e
200t
A
(2)设经过t1秒，uC＝80V
80 100(1-e
- 200t1
) t1 8.045ms
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例14 t=0时,开关S打开，求t >0后iL、uL的变化规律。
iL L
iS
iS
+ uL –
S(t=0)
R
iC C
+ uC –
+
uL
– R
iC + RiS –
解 iS
由0－电路得： R 0－电路
由0+电路得：
RiS iC (0 ) is 0 R
iL(0+) = iL(0－) = iS uC(0+) = uC(0－) = RiS
uL(0+)= - RiS
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例7 求k闭合瞬间各支路电流和电感电压
2 + 48V S L 2 + uL iL 3 C + i u iC 3 3 + 2 L + ++ 12A i 48V 2 L 48V uC 24V 2 -－ 由0+电路得：
解 由0－电路得：
iL (0 ) iL (0 )
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⑤电路初始值的确定
(1) 由0－电路求 uC(0－)
+ 10k 10V 40k + uC 电 容 开 路
例4 求 iC(0+)
i 10k + 40k 10V iC S + uC iC
电 容 用 电 压
-
uC(0－)=8V
(2)由换路定律
+ i
-
10k + 8V 10V
-
uC (0+) = uC (0－)=8V
例2
RC电路
应用KVL和电容的VCR得：
(t >0) + Us -
R i + uC –
C
Ri uC uS (t ) duC iC dt
若以电流为变量：
duC RC uC uS (t ) dt 1 Ri idt uS (t ) C
di i duS (t ) R dt C dt
2 分流得： i2 i1 4e A 3
t 20
1 i3 i1 2e A 3
t 20
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例10 求:(1)图示电路k闭合后各元件的电压和电流随
时间变化的规律，(2）电容的初始储能和最终时 刻的储能及电阻的耗能。 S i
C1=5F C2=20F
+
250k u u2（0-）=24V +
100t
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例15 t=0开关k打开，求t >0后iL、uL及电流源的电压。
2A 5 + K10 10 + t>0 2H u L iL – + + Req 2H uL Uo – iL －
u –
解 这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：
Req 10 10 20 U 0 2 10 20V L / Req 2 / 20 0.1s iL () U 0 / Req 1A
解 L=4H
iL (0+) = iL(0－) = 1 A
iL e
t /
t0
L 4 4 10 4 s R RV 10000
2500t
uV RV iL 10000 e
uV (0+)=－ 10000V 造成 V
损坏。
t0
+ 10V 返 回
R
iL
L
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②给出0＋等效电路
20 10 ik (0 ) 1 2A 10 10 uL (0 ) iL (0 ) 10 10V
iC (0 ) uC (0 ) / 10 1A
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例9 图示电路中的电容原充有24V电压，求k闭合后，
电容电压和各支路电流随时间变化的规律。 i1 S i2 2 等效电路 5F + i1 5F + 3 6 uC uC 4 t > 0 － － i3
+ Us -
(t →) R i + uL –
+ Us -
(t →) R i + k uL –
k未动作前，电路处于稳定状态： uL= 0, k断开瞬间
i=Us /R
i = 0 , uL =
注意 工程实际中在切断电容或电感电路时
会出现过电压和过电流现象。
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2. 动态电路的方程
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1 -6 初始储能 w1 (5 10 16) 40 J 2 1 w2 (20 10-6 24 2 ) 5760 J 2 最终储能 1 -6 2 w w1 w1 (5 20) 10 20 5000 J 2
电阻耗能
iL (t ) (1 e
R 80 300
200 10A + S 2H uL iL – 10A t>0 + 2H uL iL – Req
解
这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：
Req 80 200 // 300 200Ω
L / Req 2 / 200 0.01s
iL (t ) 10(1 e )A iL () 10A 100t 100t uL (t ) 10 Req e 2000 e V
L
+ Us -
(t →) R i + uL –
i k未动作前，电路处于稳定状态： US/R i = 0 , uL = 0
US k接通电源后很长时间，电路达到新的稳定 状态，电感视为短路： uL= 0, uL i=Us /R 有一过渡期 t1 t 0
新的稳定状态
?
前一个稳定状态
过渡状态
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t
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例13 t=0时,开关S闭合，已知 uC(0－)=0，求(1)电容
电压和电流,(2) uC＝80V时的充电时间t 。 500 S 解 (1)这是一个RC电路零 + i 状态响应问题，有： + 100V 10F uC 5 3 RC 500 10 5 10 s － -
48 / 4 12 A
uC (0 ) uC (0 ) 2 12 24V
iC (0 ) (48 24) / 3 8A