人教版八年级上册数学课本知识点归纳

第十五章整式的乘除与因式分解

一、整式的乘法

1.同底数幂的乘法:a m·a n＝a m+n(m,n都就是正整数)即同底数幂相乘,底数不变,指数相加。

2.幂的乘方法则:(a m)n＝a mn(m,n都就是正整数)幂的乘方,底数不变,指数相乘。

3.积的乘方法则:(ab)n＝ a n·b n(n为正整数) 积的乘方=乘方的积

4.单项式与单项式相乘法则:(1)系数与系数相乘(2)同底数幂与同底数幂相乘(3)其余字母及其指数不变作为积的因式

5.单项式与多项式相乘:就就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。

6.多项式与多项式相乘:先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。

二、乘法公式

1.平方差公式:(a＋b)(a－b)＝a2－b2。

2.完全平方公式:(a±b)2＝a2±2ab＋b2

口诀:前平方,后平方,积的两倍中间放,中间符号瞧情况。(这个情况就就是前后两项同号得正,异号得负。)

3.添括号:添括号时,如果括号前面就是正号,括到括号里面的各项都不变符号;如果括号前面就是负号,括到括号里面的各项都改变符号。

三、整式的除法

1.a m÷a n==a m－n(a≠0,m,n都就是正整数,且m＞n)即同底数幂相除,底数不变,指数相减。

2. a0=1(a≠0)任何不等于0的数的0次幂都等于1。

3.单项式除以单项式:(1)系数相除(2)同底数幂相除(3)只在被除式里的幂不变

4.多项式除以单项式:先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加。

四、因式分解

1.因式分解:把一个多项式化成几个整式乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。

2.公因式: 一个多项式中各项都含有的相同的因式,叫做这个多项式的公因式。

3.分解因式方法:

(1)提公因式法: ma+mb+mc =m(a+b+c)。

(2)运用公式法:把整式中的乘法公式反过来使用;

a 1 c 1 a 2 c 2

X ①平方差公式: a 2－b 2＝ (a ＋b)(a －b)

②完全平方公式:a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b)2 ;a 2＋b 2＝(a ＋b)2－ 2ab

a 2－2a

b ＋b 2＝(a －b)2 ;a 2＋b 2＝(a －b)2 ＋2ab

③立方差公式: x 3-y 3=(x-y)(x2+xy+y2)

(3)①十字相乘法1(二次项系数就是1): x 2+(p+q)x+pq= (x+p)(x+q)。①二次项系数就是1;②常数项就是两个数之积;③一次项系数就是常数项的两个因数之与。

②十字相乘法2(二次三项式):

即将二次三项式ax 2+bx+c 的系数a 分解成a 1a 2,常数项c 分解成c 1c 2,并且把a 1a 2,c 1c 2排列如下:

这里按斜线交叉相乘,再相加得到a 1 c 2+ a 2 c 1,如果它正好等于b ( a 1 c 2+ a 2 c 1=b),那么ax 2+bx+c 就可以分解成(a 1x+ c 1)( a 2x+ c 2)。

评注:利用十字相乘法分解因式的关键就是把二次三项式中二次项系数与常数项分解因式,使得它们按斜线交叉相乘之积的与刚好等于原二次三项式中一次项的系数。

④十字相乘法3(二次六项式):又叫双十字相乘法。对于某些二次六项

式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f。可以瞧做关于x的二次三项式,ax2+ (by+ d) x + (cy2+ey+f)。先用十字相乘法将常数项(cy2+ey+f)分解,再利用十字相乘法将关于x的二次三项式分解。

(4)分组分解法:(1)定义:分组分解法,适用于四项以上的多项式,例如a2−b2+a−b,既没有公因式,又不能直接利用公式法分解,但就是如果将前两项与后两项分别结合,把原多项式分成两组。再提公因式,即可达到分解因式的目的。例如:

a2−b2+a−b=( a2−b2) +( a−b) =( a−b) ( a+b) +( a−b) =( a−b) ( a+b+1), 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

(5) 待定系数法 :即先假定一个含有待定系数的恒等式,然后根据各项恒等的性质,列出几个含有待确定系数的方程组,解之求得待定系数的值;或者从方程组中消去这些待定系数,求出原来那些已知系数间所存在的关系,从而解决问题。

整体换元法;巧选主元法;活用配方法;求根公式法。