2017年第34届全国中学生物理竞赛复赛

vC vD 4.22 104 m/s
第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 三、(40 分)一质量为M 的载重卡车A 的水平车板上载有一质量为m 的重物B ，在 水平直公路上以速度 v0 做匀速直线运动，重物与车厢前壁间的距离为L (L > 0)。 因发生紧急情况，卡车突然制动。已知卡车车轮与地面间的动摩擦因数和最大静摩擦 因数均为 μ1 ，重物与车厢底板间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为 μ2 (μ2 < μ1 )。若 重物与车厢前壁发生碰撞，则假定碰撞时间极短，碰后重物与车厢前壁不分开。重力 加速度大小为g 。 (1) 若重物和车厢前壁不发生碰撞，求卡车从制动开始到卡车停止的过程所花的时间 和走过的路程、重物从制动开始到重物停止的过程所花的时间和走过的路程，并导出 重物B 与车厢前壁不发生碰撞的条件； (2) 若重物和车厢前壁发生碰撞，求卡车从制动开始到卡车和重物都停止的过程所经 历的时间、卡车走过的路程、以及碰撞过程中重物对车厢前壁的冲量。
满足时，在车已停稳后重物仍会向前运动并且撞上车厢前壁。
第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 从制动到重物B 与车厢前壁碰撞前，重物B 克服摩擦力做功。设在碰撞前的瞬间重物 B 相对地面的速度为v2 ，由动能定理有
1 2 1 2 mv2 mv0 2 mg s1 L 2 2
2 v2 v0 2 2 g s1 L
当彗星运动到近日点 A 时，其 径向速度为零，设其到太阳的 距离为rmin ，由上式可得
1, E 0
L2 Mm G 2 2mrmin rmin
rmin
dr
RE L2 2 2GMm 3
dr M L2 v 2G 2 2 dt r mr
设彗星由近日点A 运动 到与地球轨道的交点C 所需的时间为Δt ，对 上式两边积分得
2 M 2 2 m v 1 2 M 1 2 1 2 0 v0t1 a2t1 s2 2 2 2g 1M 1 2 m
重物相对于车厢向前滑动的距离是
2 2 1 2 M m M v0 v0 s1 s2 s2 1M 1 2 m 2 g 1M 1 2 m 2 2 g
M
g
由匀减速运动公式，卡车从制动开始到静止时所用的时间t1 和移动的距离s1 分别为
2 2 v0 v0 M s1 2a1 1M 1 2 m 2 g
重物B 在卡车A 的车厢底板上做匀减速运动，设B 相对地面的加速度大小为a2 ；
2 mg ma2
v0 v0 t2 a2 2 g
dt
M L2 2G 2 2 r mr
2
t
RE
dr M L 2G 2 2 r mr
rmin
2GM
RE
rmin
rdr R r E 3
第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试
3 1 2 2 RE R 2 R rdr 2 t 2GM 2GM RE E RE RE E rmin 3 3 3 3 RE r 3 3 由对称性可知，彗星 10 3 RE 2 两次穿越地球轨道所 t T 2t 6.40 106 s 27 GM 用的时间间隔为

g 6R r
第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 (2) 用F 表示小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小， θ1 和 θ2 分别为小圆柱与圆筒转过的角度(规定小圆柱相对于大 圆筒向右运动为正方向，开始时小圆柱处于最低点位置 θ1 = θ2 = 0)。对于小圆柱和圆筒，由转动定理分别得
2 1 F m M
设从开始制动到发生碰 撞时的时间间隔为t ，此 时有几何条件
t2 t t1
(重物在卡车停下后与车 厢前壁发生碰撞) (重物在卡车停下前与车 厢前壁发生碰撞)
s2 t s1 t L
t t1
第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 (i) 当 t2 > t > t1 ，即卡车在t1 时停下，重物B 继续运动，在t 时与车厢前壁发生碰撞 卡车停下的时间和向前滑动的距离分别为t1 和s1 ，同时重物相对于地面滑动的距离是
考虑小圆柱绕其自身轴的转动，由转动定理得 联立上述方程
d 2 2g 0 2 dt 3 R r
d 21 1 2 R r d 2 rF J 2 mr dt 2 r dt 2
sin
f 1
可得小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动 是简谐振动，其振动频率为
式中，r 是P 到太阳S 的距离，θ 是矢径SP 相对于极轴SA 的夹角(以逆时针方向为正)， k = L2/(GMm2)，L 是P 相对于太阳的角动量，G = 6.67 × 10 11 m3 kg 1 s 2 为引力 常量， M 1.99 × 1030 kg 为太阳的质量，m 和E 分别为P 的质量和机械能。假设有一 颗彗星绕太阳运动的轨道为抛物线，地球绕太阳运动的轨道可近似为圆，两轨道相交 于C、D 两点，如图所示。已知地球轨道半径RE 1.49 × 1011 m，彗星轨道近日点A 到 太阳的距离为地球轨道半径的三分之一，不考虑地球和彗星之间的相互影响。求彗星
(2)彗星在运动过程 中机械能守恒
1 2 Mm mv G E0 2 r
2GM r
当彗星经过C、D 处时
式中v 是彗星离太 阳的距离为r 时的 运行速度的大小。
v
联立上述方程，可得彗 星经过C、D 两点处的 速度的大小为
rC rD RE
2GM vC vD RE
1 2 M m v02 2 gL 2 1M 1 2 m
设碰撞后瞬间重物B 与卡车A 的速度均为v ，由于碰撞时间极短，碰撞前后动量守恒
mv2 M m v
m m v v2 M m M m
碰撞过程中重物B 对 车厢前壁的冲量为
v
2
才最终停止下来(对于卡车而言，这是第二次停下来)。 重物撞上车厢前壁的时间是
t2
v0 v2 2 g
所以，从卡车制动到车和重物 都停下所用的总时间为
卡车移动的总路程为
t
i
v0 v2 v2 m t t2 2 g 1 M m g g
2 2 2 1 2 M m v0 v0 v0 L s2 s1 2a2 2a1 2 1M 1 2 m 2g
(2) 由上式可知，重物和车厢前壁发生碰撞条件是
2 1 2 M m v0 L s2 s1 2 1M 1 2 m 2g
2 2 d d 2 1 r 2 R 2 dt dt
1 2 d 21 rF mr 2 2 dt 2 d 2 2 RF MR 2 dt
R r 1 R 2
设在圆柱横截面上小圆柱质心到圆筒中心轴的垂线与竖直 方向的夹角θ ，由于小圆柱与圆筒间做无滑滚动，有
1 2 M m v02 2 gL 2 1M 1 2 m 1 2 M m v02 2 gL 2 1M 1 2 m
Mm I Mv 0 M m
第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 碰撞后，卡车和重物又一起运动了一段时间
a2
2 mg
m
2 g
从卡车从制动开始到重物对地面速度为零时所用的时间t2 和重物移动距离s2 分别为
2 2 v0 v0 s2 2a2 2 2 g
第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 因为 (μ2 < μ1 ) ，可得 t2 > t1 ，即卡车先停，重物后停 若 s2 ≤ s1 + L ，重物B 与车厢前壁不会发生碰撞，因此不发生碰撞的条件是
R
第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 (1)如图，θ 为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中 心轴的垂线与竖直方向的夹角。小圆柱受三个力作用：重 力，圆筒对小圆柱的支持力和静摩擦力。设圆筒对小圆柱 的静摩擦力大小为F ，方向沿两圆柱切点的切线方向(向右 为正)。考虑小圆柱质心的运动，由质心运动定理得
第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 (1) 若重物和车厢前壁不发生碰撞。 卡车在水平直公路上做匀减速运动，设其加速度大小为a1 ；
1 M m g 2 mg Ma1
v0 v0 M t1 a1 1M 1 2 m g
a1
1M 1 2 m
M
如果
s1 L s2 s1 s2
即
1 2 M m M v02 L 1 2 M m v02 2 2g 2g 2 1M 1 2 m M m 1 1 2
F mg sin ma
式中， a 是小圆柱质心运动的加速度。
R
θ θ1
由于小圆柱与圆筒间作无滑滚动，小圆柱绕其中心轴转过 的角度θ1 (规定小圆柱在最低点时θ1 = 0)与之间的关系为
R r 1
d 21 d 2 a r 2 R r 2 dt dt
v2 v m t 1 g 1 M m g g
2
再移动了 一段路程
2 1 m 1 2 M m v0 s1 2 2 gL 2 1 g 21 g M m 1M 1 2 m
(1) 先后两次穿过地球轨道所用的时间； (2) 经过C、D 两点时速度的大小。
已知积分公式

3 1 xdx 2 x a 2 2a x a 2 C xa 3
式中C 是任意常数。
第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 (1) 由题设，彗星的运动轨道为抛物线，故