ADF检验

引自Ruey S. Tsay著，王辉、潘家柱译《金融时间序列分析》（第2版）

DF检验

为了检验资产的对数价格p t是否服从一个随机游动或一个带漂移的随机游动，对模型

p t=ϕ1p t−1+e t (1)

p t=ϕ0+ϕ1p t−1+e t (2)

其中e t为误差项。考虑原假设H0:ϕ1=1;H1:ϕ1<1，即是一个单位根检验问题。一个方便的检验统计量就是在原假设下ϕ1的最小二乘估计的t−比。对(1)式，由最小二乘法得

ϕ1=

p t−1p t

T

t=1

t−1

T

t=1

,σe2=

p t−ϕ1p t−12

T

t=1

其中p0=0，T为样本容量。t−比为

DF≡t−比=

ϕ1−1

ϕ1的标准差

=

p e

T

σe p t−12

T

t=1

这个t−比检验通常称为DF检验。若e t为一个白噪声序列，其稍高于二阶的矩是有限的，则当T⟶∞时DF统计量趋于一个标准布朗运动的函数。如果ϕ0=0但我们采用了(2)式，则所得的检验ϕ1=1的t−比将趋于另一种非标准的渐进分布。上述两种情形都是用模拟方法来得到检验统计量的临界值。然而如果ϕ0≠0且使用的是(2)式，则用来检验ϕ1=1的t−比是渐进正态的，但此时将需要很大的样本容量来保证渐进正态分布的使用。

ADF检验

用x t表示一个AR(p)时间序列，为了验证序列是否存在单位根，通常人们采用ADF检验来验证，即可以用如下回归来进行假设检验（H0:β=1;H1:β<1）：

x t=c t+βx t−1+ϕiΔx t−i+e t

p−1

i=1

其中c t是关于时间t的确定性函数，Δx j=x j−x j−1是x t的差分序列。在实际中，c t可以是常数或者c t=ω0+ω1t。β−1的t−比为

ADF−检验=

β−1β的标准差

其中β为β的最小二乘估计，上述t−比就是著名的ADF检验。注意到由于一阶差分，上面x t的式子等价于一个带确定性函数c t的AR(p)模型，可以改写为

Δx t=c t+βc x t−1+ϕiΔx t−i+e t

p−1

i=1

其中βc=β−1，相应的检验为H0:βc=0;H1:βc<0。