复习专题三 函数的单调性

f(x1)-f(x2 )>0
所以f(x)在( 1,1)上是减函数。
例2：（1）函数y=-(x-3)|x|的单调递减区间 是___________________
（2）求函数 y log2 (4 3x x2 )
的单调区间
解：（1）图象法。答案：
（ ， 0],[ 3 , ) 2
（2）函数的定义域为：（ -∞,-1) ∪(4,+ ∞)
所以f(x)在（0, a ]上是减函数；
当 a<x1<x2时，x1x2 a, f(x1)<f(x2 ) 所以f(x)在( a,+)上是增函数。
因为f(x)是一个奇函数，函数f(x)在 对称区间上具有相同的单调性 所以有 (2)当x<0时f(x)在[- a,0)上是减函数；
在(-,- a )上是增函数。 综上知:函数f(x)的单调递增区间为： (-,- a )，（ a , ) 单调递减区间为：[- a,0)，（0，a ]
f
( x2 x1
•
x1)
f
(x1)
f
( x2 x1
)
f
(x1)
f
( x1 )
f
( x2 ) x1
因为
x2 x1
1,所以f
( x2 x1
)
0, 所以f
( x2 )
பைடு நூலகம்
f
( x1 )
0.
故f (x)在定义域上是增函数。
(2)因为f (x) f (8x 4) f (8x2 4x)
2 f (2) f (2) f (4)
令u=4+3x-x2,y=log2u,
x对
3 2
u=4+3x-x2在（ -∞,-1)上单调递增，在 (4,+
∞)上单调递减，y=log2u在（0， ,+ ∞)上是 增函数.由复合函数的单调性知： 函数 y log2(4 3x x2) 的单调递增区间为： （ -∞,-1) ，单调递减区间为： (4,+ ∞)
（2）求f(x)在[-3,0]上的最值
解：(1)由图象知（图略）： f(x)的单调递增区间为：(-∞,-1],[1,+∞) 单调递减区间为(-1,1) x∈ (-1,1)时，f(x)=-x2-2x+3,(单调性证明略) (2)由(1)知f(x)在[-3,-1]上单调递增，在(-1,0]上 单调递减。f(-3)=0,f(-1)=4,f(0)=3 所以，f(x)在[-3,0]上的最大值为4，最小值为0.
例4.已知函数f(x)的定义域为（0，+∞），当x>1时， f(x)>0,且对于任意的正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)
(1)证明：函数f(x)在定义域上是增函数
（2）如果f(2)=1且f(x)+f(8x-4) ≥2,求x的取值范围
（1）证明：设0 x1 x2
则f
(x2 )
f
(x1)
8x2 4x 4
所以x满足
x
0
, 解得x 1
8x 4 0
故实数x的取值范围是[1, )
例5.已知函数y=f(x)是偶函数，y=f(x-2)在[0,2]上 是单调减函数，试比较f(-1),f(0),f(2)的大小
解：令t=x-2,当x∈[0,2]时，t∈[-2,0] t=x-2在[0,2]上是增函数，f(x-2)在[0,2]上是 减函数，说明t∈[-2,0]时，f(t)单调递减 又因为y=f(x)是偶函数所以y=f(x)在[-2,0]上 是减函数，在[0,2]上是增函。 所以有：f(0)<f(1)<f(2),而f(1)=f(-1) 故：f(0)<f(-1)<f(2)
f x1 f x2(<00)⇔f(x)
x1 x2
(2)对于任意x1,x2∈[a,b],[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0 (<0)⇔f(x)在[a,b]是增(减)函数.
3.复合函数的单调性 对于f[g(x)]的单调性的判断,应先判断f(u),u=g(x)
的单调性,若y=f(u)与u=g(x)的单调性一致,则f[g(x)]的 单调递增,否则,单调性递减,简称“同增异减”.讨论复合 函数的单调性的解题步骤:①求出复合函数的定义域;②把 复合函数分解成若干个常见的基本函数,并判断其单调性; ③把中间变量的范围转化为自变量的变化范围;根据复合 函数的单调性判定其单调性.
例1.讨论函数x a (a 0)的单调性 x
解：函数的定义域为(-,0)(0,+)
且f(-x)=-f(x),所以f(x)是一个奇函数
（1）当x>0时，设0<x1<x2
则f(x1)-f(x2 )=x1+
a x1
x2
a x2
x1 x2 x1 x2
( x1 x2
a)
于是当0<x1<x2 a时，x1x2 a, f(x1)>f(x2 )
另外,在函数的单调性定义中的x1,x2满足:一是属于一个单 调区间;二是任意性;三是有大小,即x1<x2(或x1>x2).由于 区间端点不具有单调性,因此写单调区间时,可以写成包含
端点的闭区间,也可以写成不包含端点的开区间.
2.函数单调性定义的等价形式
(1)对于任意x1,x2∈[a,b], 在[a,b]是增(减)函数.
变式训练：若函数y=log2(x2-ax+3a)在 [2，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围。
解：由题意知函数u= x2-ax+3a在[2，+∞)上 是增函数，且u(2)>0
a 2
2
4 2a 3a 0
解得：a∈(-4,4]
例3：已知函数 f (x) | x 1| (x 3)
（1）求的f(x)的单调区间，并针对减区间给予证 明;
变式训练：讨论函数f
(x)
ax
x2
(a 1
0)
在x (1,1)上的单调性。
解:设-1<x1<x2 1
则f(x1)-f(x2 )=
ax1 x12 1
ax2 x22 1
a(x1x2 1)(x2 (x12 1)(x22
x1) 1)
x12 1 0, x22 1 0, x2 x1 0, a 0, x1x2 1 0
函数的单调性
知识梳理 1.函数的单调性的定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区 间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),则称f(x)在区间D上为减函数,若f(x1)>f(x2)则 称f(x)在区间D上为减函数,若f(x1)>f(x2)则称f(x)在区间D 上为减函数,区间D叫做y=f(x)的单调区间,函数的单调性是 函数在某个区间上的整体性质,所以讨论函数的单调性及单 调区间都必须考虑函数的定义域;