向量的平行与垂直
向量垂直和平行的公式
向量垂直和平行的公式
向量垂直，平行的公式为：
若a，b是两个向量：a＝（x，y）b＝（m，n）；
则a⊥b的充要条件是a·b=0，即(xm+yn)=0；
向量平行的公式为：a//b→a×b=xn-ym=0；
向量，最初被应用于物理学。
很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量。
大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。
“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。
最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。
从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。
向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起。
18世纪末期，挪威测
量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi（a,b为有理数，且不同时等于0），并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算。
把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题。
人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学中。
平面向量与向量的平行与垂直性
平面向量与向量的平行与垂直性平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一，而向量的平行与垂直性是平面向量运算中的基本概念。
本文将通过对平面向量的定义、性质以及平行与垂直性的讨论，详细解释平面向量与向量的平行与垂直性的相关概念和运算。
一、平面向量的定义与性质平面向量又称二维向量，是由两个有序数对表示的有方向大小的量，常用记作AB→，其中A、B分别表示向量的起点与终点。
平面向量的性质包括：1. 平面向量的大小：一个平面向量AB→的大小，记作∣AB→∣，等于向量的模：∣AB→∣ = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)其中，(x1, y1)和(x2, y2)分别表示向量AB→的起点和终点的坐标。
2. 平面向量的方向：平面向量AB→的方向由向量的起点和终点确定。
通常使用方向角或单位向量来表示方向。
3. 平面向量的共线性：如果两个平面向量的方向相同或相反，即它们是平行的；如果两个平面向量的方向不同，则它们是非平行的。
二、平面向量的平行性平面向量的平行性是指两个向量的方向相同或相反。
要判断两个向量是否平行，可以使用以下方法：1. 向量的比例判断法：若向量AB→和向量CD→平行，则存在实数k，使得AB→ = k·CD→。
通过比较两个向量的坐标形式来判断是否满足该条件。
2. 向量的点乘法：向量的点乘可以判断两个向量之间的夹角，若夹角为0°或180°，则两个向量平行。
点乘公式为：AB→ · CD→ = ∣AB→∣∣CD→∣ cosθ其中，θ为向量AB→和CD→之间的夹角。
三、平面向量的垂直性平面向量的垂直性是指两个向量之间的夹角为90°。
要判断两个向量是否垂直，可以使用以下方法：1. 向量的垂直判断法：向量AB→与向量CD→垂直，当且仅当它们的数量积为0，即AB→ · CD→ = 0。
通过比较两个向量的坐标形式来判断是否满足该条件。
平面向量的平行与垂直关系解析
平面向量的平行与垂直关系解析平面向量在数学中起到了重要的作用，它们不仅可以表示物体在平面上的位移和方向，还可以用于求解几何问题、力的分解等。
其中，平行和垂直是向量之间最基本的关系之一。
本文将从解析的角度来探讨平面向量之间的平行与垂直关系。
一、平面向量的表示与基本性质平面向量可以用有序数对(x, y)表示，其中x和y分别是向量在x轴和y轴上的投影。
例如，向量a可以表示为(a₁, a₂)，向量b可以表示为(b₁, b₂)。
平面向量的加法满足交换律和结合律，即(a₁+b₁, a₂+b₂) =(b₁+a₁, b₂+a₂)和[(a₁+b₁)+c₁, (a₂+b₂)+c₂] = [a₁+(b₁+c₁),a₂+(b₂+c₂)]。
二、平行的判定条件两个向量a和b平行的判定条件之一是它们的方向相同或相反。
即，如果向量a可以表示为k乘以向量b，即a = kb，其中k是实数，则向量a与向量b平行。
具体来说，向量a=(a₁, a₂)与向量b=(b₁, b₂)平行的条件为：a₂/a₁ = b₂/b₁，或者a₁b₂ = a₂b₁。
三、垂直的判定条件两个向量a和b垂直的判定条件之一是它们的点乘积为0。
即，如果向量a与向量b的点乘积等于0，则向量a与向量b垂直。
具体来说，向量a=(a₁, a₂)与向量b=(b₁, b₂)垂直的条件为：a₁b₁ + a₂b₂ = 0。
四、平行和垂直的综合运用在解决具体问题时，我们常常需要利用平面向量的平行和垂直关系来求解。
例如，已知向量a=(2, 3)和向量b=(4, -6)，我们希望判断它们之间的关系。
首先，我们可以计算向量a和向量b的方向比，a₁/b₁=2/4=1/2，a₂/b₂=3/(-6)=-1/2。
由于方向比相同且不相反，所以向量a与向量b不平行。
其次，我们计算向量a和向量b的点乘积，a₁b₁ + a₂b₂ = 2*4 +3*(-6) = 8 - 18 = -10。
由于点乘积不为0，所以向量a与向量b不垂直。
47空间向量证明空间中的平行与垂直
变式迁移 证明 如图所示建立空间直角坐标系 D－xyz，则有 已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，E、F 分别是 BB1、 → A(2,0,0)、C(0,2,0)、C1(0,2,2)、E(2,2,1)、F(0,0,1)，所以F DD1 的中点，求证： → (1)FC1∥平面 ADE； → ＝(0,2,1)． DA＝(2,0,0)、AE (2)平面 ADE∥平面 B1C1F.
1 2， 3 ，0 ， 2
设 PA＝AB＝BC＝1，则 P(0,0,1)．
(1)∵∠ABC ＝ 60°， ∴△ABC 为 正 三 角 形 ． ∴C
1 E ， 4
2 3 2 3 → → 设 D(0， y,0)， AC⊥CD， 由 得AC· ＝0， y＝ CD 即 ， D0， 则 ，0， 3 3 3 3 1 → 1 → 1 ∴CD＝－ ， ，0.又AE＝ ， ， ， 6 4 2 2 4
方法二
如图所示，取 BC 的中点 O，连结 AO.
因为△ABC 为正三角形，所以 AO⊥BC.
因为在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中，平面 ABC⊥ 平面 BCC1B1， 所以 AO⊥平面 BCC1B1.
→ → → 取 B1C1 的中点 O1，以 O 为原点，以OB，OO1，OA为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2， 3)，A(0,0， 3)，B1(1,2,0)．
u ⇔ u1·2＝0
.
题型一 线面平行的证明方法 题型一 线面平行的证明方法 例 1 如图所示，已知四边形 ABCD、ABEF 为两个正方形，M、N 分别 在其对角线 BF 和 AC 上，且例 1 如图所示，已知四边形 ABCD、ABEF 为两个 FM＝AN，求证：MN∥平面 EBC.
专题三 平面向量的平行与垂直(解析版)
专题三 平面向量的平行与垂直1．平面向量平行(共线)的充要条件的两种形式(1)平面向量平行(共线)充要条件的非坐标形式：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ．(2)平面向量平行充要条件的坐标形式：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0； 至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的用(2)．这是代数运算，用它解决平面向量平行(共线)问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．当x 2y 2≠0时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．公式x 1y 2－x 2y 1＝0无条件x 2y 2≠0的限制，便于记忆；公式x 1x 2＝y 1y 2有条件x 2y 2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．乘积形式可总结为：“相异坐标的乘积的差为0”．2．三点共线的充要条件的三种形式(1)A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)(2)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )(3)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．3．非零向量垂直的充要条件的两种形式(1)平面向量垂直的非坐标形式：a ⊥b ⇔ a ·b ＝0．(2)平面向量垂直的坐标形式：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，数量积的运算a ·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a ·b ＝0，但不能说a ⊥b ．一般情况涉及坐标的用(2)．坐标形式可总结为：“相应坐标的乘积的和为0”．考点一 平面向量的平行【方法总结】两平面向量平行的充要条件既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当然也可解决三点共线的问题．高考试题中一般是考查已知两向量平行或三点共线求参数，并且以给出向量的坐标为主．解决此类问题的方法是借助两平面向量平行的充要条件列出方程(组)，求出参数的值．注意方程思想和待定系数法的运用．【例题选讲】[例1] (1)设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2BF →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直答案 A 解析 由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，BE →＝BA ＋AE ＝BA ＋13AC ，CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋13BA ，因此AD ＋BE ＋CF ＝CB ＋13(BC ＋AC －AB )＝CB ＋23BC ＝－13BC ，故AD ＋BE ＋CF 与BC 反向平行．(2)已知向量m ＝(1，7)与向量n ＝(k ，k ＋18)平行，则k 的值为( )A ．－6B ．3C ．4D ．6答案 B 解析 因为m ∥n ，所以7k ＝k ＋18，解得k ＝3．故选B ．(3)(2018·全国Ⅲ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．答案 12 解析 2a ＋b ＝(4，2)，因为c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )，所以1×2＝4λ，即λ＝12． (4)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线答案 B 解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →，∴BD →，AB →共线，又有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．故选B ．(5)若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案 －54解析 AB →＝(a －1，3)，AC →＝(－3，4)，根据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)－3×(－3)＝0，即4a ＝－5，∴a ＝－54． (6)已知向量a ＝(1，1)，点A (3，0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB →∥a ，则点B 的坐标为________．答案 (－3，－6) 解析 设B (x ，2x )，则AB →＝(x －3，2x )．∵AB →∥a ，∴x －3－2x ＝0，解得x ＝－3，∴B (－3，－6)．【对点训练】1．已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________．1．答案 6 解析 ∵a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ，∴－2m －4×3＝0，∴m ＝－6．2．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(λ，－1)，若c ∥(2a ＋b )，则λ等于( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．122．答案 A 解析 ∵a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，∴2a ＋b ＝(4，2)，又c ＝(λ，－1)，c ∥(2a ＋b )，∴2λ＋4 ＝0，解得λ＝－2，故选A ．3．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(1，3)，c ＝(k ，7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________．3．答案 5 解析 因为a ＝(3，1)，b ＝(1，3)，c ＝(k ，7)，所以a －c ＝(3－k ，－6)．因为(a －c )∥b ，所 以1×(－6)＝3×(3－k )，解得k ＝5．4．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________．4．答案 1 解析 ∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b ∥c ，∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1．5．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝( )A ．4B ．－5C ．6D ．－65．答案 D 解析 a ＋2b ＝(－3，3＋2k )，3a －b ＝(5，9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6．故选D ．6．已知向量a ＝(λ＋1，1)，b ＝(λ＋2，2)，若(a ＋b )∥(a －b )，则λ＝________．6．答案 0 解析 因为a ＋b ＝(2λ＋3，3)，a －b ＝(－1，－1)，且(a ＋b )∥(a －b )，所以2λ＋3－1＝3－1，所 以λ＝0．7．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，c ＝(2，3)，若a ＋λb 与c 共线，则实数λ＝( )A ．25B ．－25C ．35D ．－357．答案 B 解析 解法一：a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2，3)，因为a ＋λb 与c 共线，所以必定存在唯一实数μ，使得a ＋λb ＝μc ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，4＋λ＝3μ，解得⎩⎨⎧μ＝65，λ＝－25.解法二：a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2，3)，由a ＋λb 与c 共线可知3(2－λ)＝2(4＋λ)，得λ＝－25． 8．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －3b 共线，则m n＝________． 8．答案 －13 解析 由2－1≠32，所以a 与b 不共线，又a －3b ＝(2，3)－3(－1，2)＝(5，－3)≠0．那么 当m a ＋n b 与a －3b 共线时，有m 1＝n －3，即得m n ＝－13． 9．在平面直角坐标系xOy 中，已知点O (0，0)，A (0，1)，B (1，－2)，C (m ，0)．若OB →∥AC →，则实数m的值为( )A ．－2B ．－12C ．12D ．2 9．答案 C 解析 因为OB →＝(1，－2)，AC →＝(m ，－1)．又因为OB →∥AC →，所以m 1＝－1－2，m ＝12．故选C ． 10．已知A (1，1)，B (3，－1)，C (a ，b )，若A ，B ，C 三点共线，则a ，b 的关系式为________．10．答案 a ＋b ＝2 解析 由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →．∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2．11．已知点A (0，1)，B (3，2)，C (2，k )，且A ，B ，C 三点共线，则向量AC →＝( )A ．⎝⎛⎭⎫2，23B ．⎝⎛⎭⎫2，53C ．⎝⎛⎭⎫23，2D ．⎝⎛⎭⎫53，2 11．答案 A 解析 AB →＝(3，1)，AC →＝(2，k －1)，因为A ，B ，C 三点共线，所以可设AB →＝λAC →，即(3，1)＝λ(2，k －1)，所以2λ＝3，即λ＝32，所以AC →＝1λAB →＝⎝⎛⎭⎫2，23． 12．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0．若a ∥b ，则m n＝________． 12．答案 －2 解析 ∵a ∥b ，∴m ×(－1)＝2×n ，∴m n＝－2． 13．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．13．答案 12 解析 ∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得 ⎩⎨⎧ λ＝12，t ＝12.14．已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．14．答案 (3，3) 解析 法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)，所以点P 的坐标为(3，3)． 法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y ．又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3，3)．15．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(1，1)，且a ∥b ，则向量a 的坐标是__________．15．答案 ⎝⎛⎭⎫22，22或⎝⎛⎭⎫－22，－22 解析 a ＝(x ，y )，因为平面向量a ，b 满足|a|＝1，b ＝(1，1)，且 a ∥b ，所以x 2＋y 2＝1，且x －y ＝0，解得x ＝y ＝±22．所以a ＝⎝⎛⎭⎫22，22或⎝⎛⎭⎫－22，－22． 16．已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是__________．16．答案 ⎝⎛⎭⎫35，－45 解析 AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45 17．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( )A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D17．答案 B 解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．18．已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B ．43C ．12D ．1318．答案 A 解析 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线，所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23． 19．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．219．答案 B 解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ．又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∵a ，b 不共线，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1．20．设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(2m ，－1)，OC →＝(－2n ，0)，m ，n ∈R ，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则m ＋n 的最大值为( )A ．－3B ．－2C ．2D ．320．答案 A 解析 由题意易知，AB →∥AC →，其中AB →＝OB →－OA →＝(2m －1，1)，AC →＝OC →－OA →＝(－2n －1，2)，所以(2m －1)×2＝1×(－2n －1)，得：2m ＋1＋2n ＝1．2m ＋1＋2n ≥22m＋n ＋1，所以2m ＋n ＋1≤2－2，即m ＋n ≤－3．考点二 两个非零向量的垂直【方法总结】两平面向量垂直的充要条件既可以判定两向量垂直，也可以由垂直求参数．高考试题中一般是考查已知两向量垂直求参数，如果已知向量的坐标，根据两平面向量垂直的充要条件(2)，列出相应的关系式，进而求解参数．如果未知向量的坐标，则可通过向量加法(减法)的三角形法则转化为已知模和夹角的向量的数量，根据两平面向量垂直的充要条件(1)，列出相应的关系式，进而求解参数．如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，则可建立平面直角坐标系求出未知向量的坐标从而把问题转化为已知向量的坐标求参数的问题．注意方程思想和等价转化思想的运用．【例题选讲】[例1](1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC答案 D 解析 在△ABC 中，由BC ＝AC －AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又AB ＝2a 且|AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b|cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )·BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC ，D 正确，故选D ．(2)(2017·全国Ⅰ)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________．答案 7 解析 因为a ＋b ＝(m －1，3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7．(3)(2018·北京)设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________．答案 －1 解析 由题意得，m a －b ＝(m ＋1，－m )，根据向量垂直的充要条件可得1×(m ＋1)＋0×(－m )＝0，所以m ＝－1．(4)(2020·全国Ⅲ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________．答案 22解析 由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0．因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°，所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22． (5)(2016·山东)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos<m ，n >＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4C ．94D ．－94答案 B 解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋|n |2＝0，∴t|m ||n |cos<m ，n >＋|n |2＝0．又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4．故选B ． (6)如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，若E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且满足BE BC ＝AF AB＝λ，则当AE →·DF →＝0时，λ的值所在的区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫18，14B ．⎝⎛⎭⎫14，38C ．⎝⎛⎭⎫38，12D ．⎝⎛⎭⎫12，58 答案 B 解析 在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，可得<AD →，BC →>＝60°，所以<AB →，AD →>＝60°，<AB →，BC →>＝120°，所以AB →·AD →＝4×2×12＝4，AB →·BC →＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－4，AD →·BC →＝2×2×12＝2，又BE BC ＝AF AB＝λ，所以BE →＝λBC →，AF →＝λAB →，则AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →，DF →＝AF →－AD →＝λAB →－AD →，所以AE →·DF →＝(AB →＋λBC →)·(λAB →－AD →)＝λAB →2－AB →·AD →＋λ2AB →·BC →－λAD →·BC →＝0，即2λ2－7λ＋2＝0，解得λ＝7＋334(舍去)或λ＝7－334∈⎝⎛⎭⎫14，38． 【对点训练】1．已知平面向量a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数m 的值为( )A ．－23B ．23C ．43D ．631．答案 B 解析 因为a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，所以a －b ＝(－2，m )－(1，3)＝(－3，m －3)．由 (a －b )⊥b ，得(a －b )·b ＝0，即(－3，m －3)·(1，3)＝－3＋3m －3＝3m －6＝0，解得m ＝23，故选B ．2．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )A ．－8B ．－6C ．6D ．82．答案 D 解析 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)．因为(a ＋b )⊥b ，所以 (a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8.法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a ·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝83．设向量a ＝(1，m )，b ＝(m －1，2)，且a ≠b ，若(a －b )⊥a ，则实数m ＝( )A ．12B ．13C ．1D ．2 3．答案 C 解析 因为a ＝(1，m )，b ＝(m －1，2)，且a ≠b ，所以a －b ＝(1，m )－(m －1，2)＝(2－m ， m －2)，又(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝0，可得(2－m )×1＋m (m －2)＝0，解得m ＝1或m ＝2．当m ＝2时，a ＝b ，不符合题意，舍去，故选C ．4．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．－14．答案 A 解析 因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0， 解得k ＝－3．5．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3D ．1525．答案 C 解析 ∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0．∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，∴2a －3b ＝(2k －3， －6)．∴(2k －3，－6)·(2,1)＝0，即(2k －3)×2－6＝0．∴k ＝3．6．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．－16．答案 A 解析 因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0， 解得k ＝－3．7．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)，若λ为实数，(b ＋λa )⊥c ，则λ的值为( )A ．－311B ．－113C ．12D ．357．答案 A 解析 b ＋λa ＝(1，0)＋λ(1，2)＝(1＋λ，2λ)，又c ＝(3，4)，且(b ＋λa )⊥c ，所以(b ＋λa )·c＝0，即3(1＋λ)＋2λ×4＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－311． 8．在△ABC 中，三个顶点的坐标分别为A (3，t )，B (t ，－1)，C (－3，－1)，若△ABC 是以B 为直角顶点 的直角三角形，则t ＝________．8．答案 3 解析 由已知，得BA →·BC →＝0，则(3－t ，t ＋1)·(－3－t ，0)＝0，∴(3－t )(－3－t )＝0，解得t＝3或t ＝－3，当t ＝－3时，点B 与点C 重合，舍去．故t ＝3．9．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________．9．答案 1 解析 ∵a 与b 为两个不共线的单位向量，∴|a|＝|b |＝1，又a ＋b 与k a －b 垂直，∴(a ＋b )·(k a －b )＝0，即k a 2＋k a ·b －a ·b －b 2＝0，∴k －1＋k a ·b －a ·b ＝0，即k －1＋k cos θ－cos θ＝0(θ为a 与b 的夹角)，∴(k －1)(1＋cos θ)＝0．又a 与b 不共线，∴cos θ≠－1，∴k ＝1．10．(2013·全国Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________．10．答案 2 解析 因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a ·b ＝12， 由b ·c ＝0得b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0，所以12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2． 11．已知△ABC 中，∠A ＝120°，且AB ＝3，AC ＝4，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( )A ．2215B ．103C ．6D ．12711．答案 A 解析 因为AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，所以有AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AB →·AC →＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，解得λ＝2215．。
(完整版)平面向量的平行与垂直
AC a b(, R),则A, B,C三点共线的充要条件是
是_______1__.
4. 若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2， －1)共线，则实数a的值为________．
5. 平面上三个向量a,b, c 的模均为1，它们相互
之间的夹角均为120°，求证：(a
b)
⊥c
选做题： 在△ABC中,角A,B,C的对边分别 为a,b,c,且cosC= 3
x1y2 xห้องสมุดไป่ตู้ y1 0
(b 0)
ab
a b 0
x1x2 y1y2 0
(a 0, b 0)
一、基础训练
r
r
rr
1.已知平面向量 a (3,1),b (x, 3), a // b,则x
等于_____-_9______
r
r
2.已ar 知br 与平面ar 向垂量直，a=则（1是,－_3_）__，b_-_=1_（_4_,－__2_），
r
b
r
(1, 3r)
c
(k , 2)
，若
10
(a
c)
b
则k= 0
;若(
a ，
c)
∥
b
则k
=
3
． ，
2. 已知向量a (1, 2) b (2,3) 若向量 c 满足(c a) / /b
77
c (a b) ，则c ___(__9_,__3_) _______
3. 已知a,b是不共线的向量，AB a b,
平面向量的平行与垂直
涟水县第一中学
陈刚
基础知识回顾：
1．平行(共线)向量定义：
方向 记作
相ar∥同或br；相反
立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直
立体几何中的向量方法（一）证明平行与垂直【考点梳理】1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥αn⊥m⇔n·m＝0 l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，m α∥βn∥m⇔n＝λm α⊥βn⊥m⇔n·m＝0【考点突破】考点一、利用空间向量证明平行问题【例1】如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD ＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.[解析]法一如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz.由题意知，A(0，2，2)，B(0，－2，0)，D(0，2，0).设点C的坐标为(x0，y0，0).因为AQ→＝3QC →， 所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，12.因为M 为AD 的中点，故M (0，2，1). 又P 为BM 的中点，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，所以PQ→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0. 又平面BCD 的一个法向量为a ＝(0，0，1)，故PQ →·a ＝0. 又PQ ⊄平面BCD ， 所以PQ ∥平面BCD .法二 在线段CD 上取点F ，使得DF ＝3FC ，连接OF ，同法一建立空间直角坐标系，写出点A ，B ，C 的坐标，设点C 坐标为(x 0，y 0，0).∵CF→＝14CD →，设点F 坐标为(x ，y ，0)，则 (x －x 0，y －y 0，0)＝14(－x 0，2－y 0，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34x 0，y ＝24＋34y 0，∴OF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0 又由法一知PQ→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0， ∴OF→＝PQ →，∴PQ ∥OF .又PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ， ∴PQ ∥平面BCD .【类题通法】1．恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.2．证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.【对点训练】如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点.求证：PB ∥平面EFG .[解析] ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形， ∴AB ，AP ，AD 两两垂直.以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0).法一 ∴EF→＝(0，1，0)，EG →＝(1，2，－1)，设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，即⎩⎨⎧y ＝0，x ＋2y －z ＝0，令z ＝1，则n ＝(1，0，1)为平面EFG 的一个法向量，∵PB→＝(2，0，－2)， ∴PB→·n ＝0，∴n ⊥PB →， ∵PB ⊄面EFG ， ∴PB ∥平面EFG .法二 PB→＝(2，0，－2)，FE →＝(0，－1，0)，FG→＝(1，1，－1).设PB →＝sFE →＋tFG →， 即(2，0，－2)＝s (0，－1，0)＋t (1，1，－1)，∴⎩⎨⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2. ∴PB→＝2FE →＋2FG →， 又∵FE→与FG →不共线， ∴PB→，FE →与FG →共面. ∵PB ⊄平面EFG ， ∴PB ∥平面EFG .考点二、利用空间向量证明垂直问题【例2】如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD .证明：(1)P A ⊥BD ；(2)平面P AD ⊥平面P AB .[解析] (1)取BC 的中点O ，连接PO ，∵平面PBC ⊥底面ABCD ，△PBC 为等边三角形， ∴PO ⊥底面ABCD .以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝ 3.∴A (1，－2，0)，B (1，0，0)，D (－1，－1，0)，P (0，0，3). ∴BD →＝(－2，－1，0)，P A →＝(1，－2，－3). ∵BD →·P A →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0， ∴P A →⊥BD→，∴P A ⊥BD . (2)取P A 的中点M ，连接DM ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，32.∵DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，PB →＝(1，0，－3)，∴DM→·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0，∴DM→⊥PB →，即DM ⊥PB .∵DM →·P A →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0， ∴DM →⊥P A →，即DM ⊥P A .又∵P A ∩PB ＝P ，∴DM ⊥平面P AB . ∵DM ⊂平面P AD ，∴平面P AD ⊥平面P AB . 【类题通法】1．利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.2．用向量证明垂直的方法①线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.②线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.③面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.【对点训练】如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点.求证：AB 1⊥平面A 1BD .[解析] 法一 设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m ＝λBA 1→＋μBD →.令BB 1→＝a ，BC →＝b ，BA →＝c ，显然它们不共面，并且|a |＝|b |＝|c |＝2，a ·b ＝a ·c ＝0，b ·c ＝2，以它们为空间的一个基底，则BA 1→＝a ＋c ，BD →＝12a ＋b ，AB 1→＝a －c ， m ＝λBA 1→＋μBD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ， AB 1→·m ＝(a －c )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μ－2μ－4λ＝0.故AB 1→⊥m ，结论得证.法二 如图所示，取BC 的中点O ，连接AO . 因为△ABC 为正三角形， 所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， 所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，分别以OB →，OO 1→，OA →所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0). 设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0).因为n ⊥BA 1→，n ⊥BD →， 故⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BD →＝0，⇒⎩⎨⎧－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝－3，故n ＝(1，2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量， 而AB 1→＝(1，2，－3)，所以AB 1→＝n ，所以AB 1→∥n ， 故AB 1⊥平面A 1BD .考点三、利用空间向量解决探索性问题【例3】如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥AA 1；(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1？若存在，求出点P 的位置；若不存在，请说明理由.[解析] (1)设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，∴A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3，∴AO 2＋A 1O 2＝AA 21，∴A 1O ⊥AO . 由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ， 平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ， A 1O ⊂平面AA 1C 1C ， ∴A 1O ⊥平面ABCD ，以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)，A 1(0，0，3)，C 1(0，2，3).由于BD →＝(－23，0，0)，AA 1→＝(0，1，3)， AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0， ∴BD →⊥AA 1→，即BD ⊥AA 1. (2)假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，设CP →＝λCC 1→，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0，1，3).从而有P (0，1＋λ，3λ)，BP →＝(－3，1＋λ，3λ). 设n 3⊥平面DA 1C 1，则⎩⎪⎨⎪⎧n 3⊥A 1C 1→，n 3⊥DA 1→，又A 1C 1→＝(0，2，0)，DA 1→＝(3，0，3)， 设n 3＝(x 3，y 3，z 3)，⎩⎨⎧2y 3＝0，3x 3＋3z 3＝0，取n 3＝(1，0，－1)，因为BP ∥平面DA 1C 1，则n 3⊥BP →，即n 3·BP →＝－3－3λ＝0，得λ＝－1，即点P 在C 1C 的延长线上，且C 1C ＝CP .【类题通法】向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题1．根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，并用向量表示出来，然后再加以证明，得出结论.2．假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在.【对点训练】如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0＜λ＜2).(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ ⊥平面PQMN ？若存在，求出实数λ的值；若不存在，说明理由.[解析] (1)以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)，M (2，1，2)，N (1，0，2)，BC 1→＝(－2，0，2)，FP →＝(－1，0，λ)，FE →＝(1，1，0)，MN→＝(－1，－1，0)，NP →＝(－1，0，λ－2).当λ＝1时，FP→＝(－1，0，1)，因为BC 1→＝(－2，0，2)， 所以BC 1→＝2FP →， 即BC 1∥FP . 而FP ⊂平面EFPQ ， 且BC 1⊄平面EFPQ ， 故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧FE →·n ＝0，FP →·n ＝0，可得⎩⎨⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0.于是可取n ＝(λ，－λ，1).同理可得平面PQMN 的一个法向量为m ＝(λ－2，2－λ，1). 则m ·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0， 即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22. 故存在λ＝1±22，使平面EFPQ ⊥平面PQMN .。
平面向量与向量的平行与垂直关系
平面向量与向量的平行与垂直关系平面向量是数学中一种重要的概念，它能够描述平面上物体的运动和位移。
在平面向量中，向量的平行与垂直关系是一种基本的性质。
本文将介绍平面向量的定义与性质，并详细讨论向量的平行与垂直关系。
一、平面向量的定义与性质平面向量是由大小和方向组成的有向线段，可以用有序数对表示。
设有平面上两点A和B，记作向量AB或者→AB，其中箭头表示有向性。
平面向量具有以下性质：1. 平面向量的相等性：两个向量相等当且仅当它们的大小和方向都相同。
2. 平面向量的加法：设有平面向量→AB和→CD，向量→AB+→CD 的大小等于线段AC的长度，方向与线段AC的方向相同。
3. 平面向量的数乘：设有平面向量→AB和实数k，向量k→AB的大小等于|k|乘以线段AB的长度，方向与线段AB的方向相同（当k>0）或相反（当k<0）。
二、向量的平行关系当两个向量的方向相同或相反时，它们被称为平行向量。
向量平行的定义如下：定义：设有平面向量→AB和→CD，如果存在一个实数k，使得→AB=k→CD，那么向量→AB与→CD平行。
向量平行的判定方法如下：1. 向量共线判定法：若向量→AB与→CD共线，则必有k使得→AB=k→CD。
其中，k为常数。
2. 比例判定法：若向量→AB与→CD平行，那么它们的对应坐标的比例相等。
即有x2-x1/y2-y1=z2-z1，其中(x1, y1)和(x2, y2)分别为向量→AB和→CD的坐标。
三、向量的垂直关系两个向量的方向相互垂直时，它们被称为垂直向量。
向量垂直的定义如下：定义：设有平面向量→AB和→CD，如果→AB·→CD=0（点乘结果为0），那么向量→AB与→CD垂直。
向量垂直的判定方法如下：1. 向量垂直的性质：若向量→AB与→CD垂直，则有→AB·→CD=0。
2. 向量垂直判定法：将向量→AB和→CD的坐标代入→AB·→CD=0的公式，若等式成立，则向量→AB与→CD垂直。
平面向量与向量的平行与垂直性质
平面向量与向量的平行与垂直性质在数学中，向量是一个有大小和方向的量。
而平面向量则是指被放置在平面上的向量。
平面向量的性质和运算在几何学和线性代数中非常重要，其中包括平行和垂直性质。
本文将探讨平面向量的定义，平行和垂直的概念以及相关的性质和应用。
一、平面向量的定义在数学中，平面向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
平面向量可以通过两个有序实数对 (a, b)来表示，称为向量的坐标。
其中 a 称为向量的横坐标，b 称为向量的纵坐标。
二、平行和垂直性质1. 平行性质当两个向量的方向相同或相反时，它们被称为平行向量。
如果向量a 和向量b 平行，则可以表示为 a ∥ b。
为了判断两个向量是否平行，需要比较它们的方向。
具体而言，可以计算两个向量的坐标比值，如果得到的比值相等，则两个向量平行。
2. 垂直性质当两个向量的内积为零时，它们被称为垂直向量。
如果向量 a 和向量 b 垂直，则可以表示为 a ⊥ b。
为了判断两个向量是否垂直，可以计算它们的内积，如果内积为零，则两个向量垂直。
三、平行和垂直性质的性质与应用1. 平行性质的性质与应用- 平行向量的数乘若向量 a 平行于向量 b，且 r 为实数，则 r * a 也与 b 平行。
这一性质可以用来确定平行向量的倍数关系。
- 平行向量的加法若向量 a 平行于向量 b，且向量 c 与向量 a 具有相同的方向，则向量 b 与向量 c 也平行。
这一性质可以用来确定平行向量的加法规律。
- 平行向量与平行四边形平行向量的性质可以应用于平行四边形的性质研究中，例如平行四边形对角线的分割、以及平行四边形的面积计算。
2. 垂直性质的性质与应用- 垂直向量的数乘若向量 a 垂直于向量 b，则 r * a 仍与 b 垂直。
这一性质可以用来确定垂直向量的倍数关系。
- 垂直向量的加法若向量 a 垂直于向量 b，且向量 c 垂直于向量 a，则向量 c 也与向量 b 垂直。
立体向量平行公式和垂直公式
立体向量平行公式和垂直公式在咱们学习数学的奇妙旅程中，立体向量可是个相当有趣的家伙！今天咱就来好好聊聊立体向量中的平行公式和垂直公式。
先来说说平行公式吧。
两个向量平行，那它们之间可是有着特别的关系哟。
假设咱有向量 a = (x₁, y₁, z₁) ，向量 b = (x₂, y₂, z₂) ，如果这俩向量平行，那就有 x₁ / x₂ = y₁ / y₂ = z₁ / z₂。
这就好像是两条在三维空间里“齐头并进”的小队伍，它们前进的步伐比例是一样一样的。
我给您举个例子哈。
比如说有个向量 a = (2, 4, 6) ，然后又有个向量b ，要是 b 和 a 平行，那 b 可能就是 (4, 8, 12) 。
您瞧， 2/4 = 4/8 = 6/12 ，它们的比例是不是完全一致？这就说明它们在三维空间里是一块儿往前跑的。
再讲讲垂直公式。
当两个向量垂直的时候，那就更有意思啦！如果向量 a = (x₁, y₁, z₁) ，向量 b = (x₂, y₂, z₂) ，那么它们垂直就满足x₁ * x₂ + y₁ * y₂ + z₁ * z₂ = 0 。
这就好像是这两个向量在三维空间里“互不理睬”，谁也不影响谁，谁也不顺着谁，完全是“各自为政”。
我想起之前给学生们讲这部分内容的时候，有个学生就特别迷糊，怎么都搞不清楚平行和垂直的区别。
我就跟他说：“你就想象啊，平行的向量就像是两个一起逛街的好朋友，步伐一致；垂直的向量呢，就像是两个吵架的人，谁也不顺着谁，方向完全不同。
”这孩子一下子就明白了，后来做题也很少出错。
在解决实际问题的时候，这两个公式可太有用啦！比如说在计算立体几何中的线线关系、线面关系或者面面关系的时候，通过判断向量的平行和垂直，就能轻松得出结论。
而且啊，您知道吗？立体向量的平行和垂直公式不仅仅在数学里重要，在物理啊、工程学啊等好多领域都有着广泛的应用呢。
就像工程师在设计建筑结构的时候，就得用到这些知识来确保建筑的稳定性和安全性。
小题练透：第23讲 向量平行与垂直
A.(−4,6) B. (4,6)
C.(−3,2) D. (3,2)
6.下列向量中与向量a⃗ = (1, 2) 垂直的是 ( ) A.b⃗ = (1, 2) B.b⃗ = (1, −2) C.b⃗ = (2, 1)
D.b⃗ = (2, −1)
7.(19T7)已知向量 a⃗ = (x, −3),b⃗ = (3,1),若 a⃗ ⊥ b⃗，则 x= ( )
百题挑一 详讲每一道题；左思右想 细讲每个知识点
第 23 讲 向量的平行与垂直
1.平行向量：方向相同或相反的非零向量a⃗, b⃗叫做平行向量，记作：a⃗ ∥ b⃗.平行向量也叫共线向量 2.两个非零向量平行(共线)的充要条件：a⃗ ∥ b⃗ ⇔存在唯一实数 λ,使 b⃗ = a⃗ 3.向量垂直：如果向量a⃗与b⃗的夹角是90 ，则a⃗与b⃗垂直，记作a⃗ ⊥ b⃗,即a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ 〈a⃗, b⃗〉 = 90 ⇔a⃗. b⃗ = 0 4.设非零向量a⃗ = (x , y ), b⃗ = (x , y ),
A.−9 B.9 C.−1 D.1
8.(16T12) 设三点A(1,2),B(−1,3)和 C(x − 1, 5)，
若AB⃗与BC⃗共线，则 x= ( )
A.−4 B.−1 C.1 D.4
9.(11T6)已知三点O(0,0), A(k, −2), B(3,4) 且OB⃗ ⊥ AB⃗,则 k= ( )
则a⃗ ∥ b⃗ ⇔ = ⇔x . y − x . y = 0 (对应成比例)
a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ x x + y y = 0 ⇔a⃗. b⃗ = 0 5.零向量和任何向量平行. 零向量和任何向量垂直. 零向量的方向是任意的 即:.(0⃗ ∥ a⃗, 0⃗ ⊥ a⃗) 6.(1)若 a⃗ + b⃗ = a⃗ − b⃗ ,则a⃗ ⊥ b⃗
空间向量的应用平行,垂直
,
解
得
x 2a 3
y 2 a, 3
za
N
(
2a 3
,
2a 3
,
a)
B
C
z
同理：M(a, 2a , a ) 33
MN ( a ,0, 2a ) 33
(1)ED ( a ,0, a) 2
C1
x B1
MN 2 ED MN // ED，即MN // ED 3
D N
A
M
D1
Ey
A1
(2)设面BB1C1C的一个法向量为n
A
D1
E
C1
N
B1 F
D
C
B
练2习：
C'
B'
在三棱柱ABC A' B 'C '中，
A'
底面是正三角形，AA' 底面ABC，
A'C AB ',求证：BC ' AB '
C
B
A
练2习：
C'
B'
在三棱柱ABC A' B 'C '中，
A'
底面是正三角形，AA' 底面ABC，
A'C AB ',求证：BC ' AB '
设底面边长为2,高为h,
如图建立空间直角坐标系. C
B
A( 3,0,0), B(0,1,0),C(0,1,0).
A
uAuu'ur( 3,0, h), B'(0uu,1uu,rh),C'(0,1, h). uuuur
AB ' ( 3,1, h), A'C ( 3, 1, h), BC ' (0, 2, h)
向量法证明平行与垂直
α∥β α⊥β
n∥m⇔n＝λm
n· m＝0 n⊥m⇔____________
基础诊断 考点突破
分别为n，m
4
[常用结论与微点提醒] 1.用向量知识证明立体几何问题，仍离不开立体几何中的定理.若用直线的方向向量
与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.
解析 ∵a＝(1，0，2)，n＝(－2，0，－4)，
答案 B
8
基础诊断
考点突破
4.已知 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面 ABC 法向量的是 ( ) B.(1，－1，1)
D.
A.(－1，1，1)
C.－
3 3 3 ，－ ，－ 3 3 3
3 Q x0， 4
2 3 1 ＋ y 0， . 4 4 2
1 P0，0，2，
因为 M 为 AD 的中点，故 M(0， 2，1).
又 P 为 BM 的中点，故
3 2 3 → 所以PQ＝ x0， ＋ y0，0. 4 4 4
→ 又平面 BCD 的一个法向量为 a＝(0，0，1)，故PQ·a＝0.
第7节
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
1
基础诊断
考点突破
最新考纲
1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线
线、线面、面面的平行和垂直关系； 3.能用向量方法证明立体几何中有关 线面位置关系的一些简单定理.
2
基础诊断
考点突破
知识梳理 1.直线的方向向量和平面的法向量 (1) 直线的方向向量：如果表示非零向量 a 的有向线段所在直线与直线 平行或重合 ，则称此向量a为直线l的方向向量. l_______________ (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α
向量垂直和平行公式
向量垂直和平行公式
向量垂直和平行是向量运算中的重要概念，下面将分别介绍它们的公式。
1. 向量垂直公式：
当两个向量相互垂直时，它们的点积为0。
点积又称为内积或数量积，是两个向量的乘积后再求和的结果。
设向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)垂直，即a⊥b，则它们的点积为0：
a·b = a1b1+a2b2+a3b3 = 0
这个公式可以用来判断两个向量是否垂直，如果它们的点积为0，则它们垂直；反之，如果它们的点积不为0，则它们不垂直。
2. 向量平行公式：
当两个向量相互平行时，它们的叉积为0。
叉积又称为外积或向量积，是两个向量的乘积后再求模长的结果。
设向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)平行，即a∥b，则它们的叉积为0：
a×b = |a||b|sinθ= 0
其中，θ为a和b之间的夹角，|a|和|b|分别为向量a和b的模长。
这个公式可以用来判断两个向量是否平行，如果它们的叉积为0，则它们平行；反之，如果它们的叉积不为0，则它们不平行。
注意：在二维空间中，向量垂直和平行的概念可以通过向量的斜率来判断。
两个向量垂直当且仅当它们的斜率之积为-1；两个向量平行当且仅当它们的斜率相等。
向量法证明平行与垂直-人教版高中数学
第02讲一向量法证明平行与垂直知识图谱-利用向量证明空间中的平行关系-利用向星证明空间中的垂直关系宜线的方向向量与直线的向量方程利用向量方法证明线面平行关系利用向星方法证明线线与面面的平行关系利用向星方法证明线线垂直平面的法向星利用向星方法证明线面垂直利用向量方法证明面面垂直第02讲-向量法证明平行与垂直错题回顾利用向量证明空间中的平行关系知识Si井一・直线的方向向量与直线的向量方程1.点的位置向量在空间中，我们取一定点0作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量成来表示，我们把向量质称为点P的位置向量.2.直线的方向向量空间中任一直线I的位置可以由I上的一个定点A以及一个定方向确定，如图，点村是直线，上的一点，向量或表示直线［的方向向量，则对于直线［上任一点户，有步弟，这样点工和向量成,不仅可以确定直线，的位置，还可具体表示出/上的任意点;直线I上的向量S以及与3共线的向量叫做i的方向向量・3.直线I的向量方程直线上任意一点P定存在实数，，使得衣=龙①，①式可以看做直线［的参数方程，直线f的参数方程还可以作如下表示：对空间中任意一确定点。
，点户在直线［上的充要条件是存在唯一的实数，满足等式灵=鬲*②，如果在，上取后=株，则上式可以化为灸=扇以刀=函硕赤-&)=(1-!)宓H房①；①②③都叫做空间直线的向量参数方程.二•平面的法向量1.平面法向量的定义已知平面a，如果向量成的基线与平面a垂直，则向量成叫作平面”的法向量或者说向量成与平面a正交.2.平面法向量的性质(1)平面“上的一个法向量垂直于平面“共面的所有向量；(2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行.三.用向量方法证明空间中的平行关系1.牺平行设直线4房的方向向量分别是'，5，则要证明4"《或4与"重合，只需要证明加,即M疗.2.线面平行(1)设直线，的方向向量是a,平面。
的法向量是元，要证明〃r/,只需要证明Sz；=o;(2)根据线面平行的判定定理：如果直线(平面夕卜)与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行；所以，要证明2直线和一个平面平行，也可以在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可；(3)根据共面向量定理可知：如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共面向量确定的平面一定平行.已知两个不共线向量名逡与平面“共面，一条直线］的一个方向向量为亍，则由共面向量定理，可得E或［在位内9存在两个实数W,使土戒+>£.3平行(1借能求出平面s月的法向量元足，要证明耻，只需要证明河即可.(2)由面面平行的判定定理：要证明面面平行,只要转化为相应的线面平行、线线平行即可，已知两个不共线的向量相与与平面“共面，则由两平面平行的判定与性质，得。
空间向量垂直平行公式
空间向量垂直平行公式以空间向量垂直平行公式为标题，本文将详细介绍空间向量的垂直和平行关系，以及相关公式的推导和应用。
在空间几何中，向量是表示位移、力、速度等物理量的重要工具。
当涉及到多个空间向量时，我们常常需要判断它们之间的垂直和平行关系。
垂直和平行向量在物理和几何应用中具有重要的意义，如力的分解、平面和直线的垂直关系等。
我们来讨论空间向量的垂直关系。
当两个向量相互垂直时，它们的点乘结果为零。
设空间中两个向量分别为A和B，它们的坐标分别为A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)，则它们的点乘结果为：A·B = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2如果A·B = 0，则向量A和B垂直。
这个公式可以用于判断任意两个向量是否垂直，只需要计算它们的点乘结果并判断是否为零即可。
接下来，我们来讨论空间向量的平行关系。
当两个向量平行时，它们可以表示为一个向量的倍数关系。
设空间中两个向量分别为A和B，它们的坐标分别为A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)，则它们的平行关系可以表示为：A=kB其中，k为常数。
这个公式表明，如果两个向量A和B平行，则它们的坐标分量之间满足一个倍数关系。
除了垂直和平行关系的判断，空间向量还有一种特殊的关系，即共线关系。
当两个向量共线时，它们可以表示为一个向量的相等关系。
设空间中两个向量分别为A和B，它们的坐标分别为A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)，则它们的共线关系可以表示为：A=B这个公式表明，如果两个向量A和B共线，则它们的坐标分量之间满足一个相等关系。
垂直和平行关系的判断在物理和几何应用中具有广泛的应用。
例如，在力的分解中，我们常常需要将一个力分解为两个垂直或平行的分力，以便进行更详细的分析。
在平面和直线的垂直关系中，我们可以利用两个向量的垂直关系来判断它们是否相互垂直。
除了垂直和平行关系的判断，我们还可以利用垂直和平行向量的性质进行向量运算。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
向量的平行与垂直
一、基础知识回顾：
1．平行向量定义：①方向 或 的非零向量叫平行向量，向量a 、b 平行，记作a ∥b
；
②规定：0
与任一向量 ； ③共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.
2. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件：有且只有一个实数λ，使b =λa
.
（等价于：存在两个不同为零的实数λ1、λ2，使得).21=+λλ
3. 非零向量和的数量积的定义：²= （向量和的夹角为θ）
4. 非零向量和垂直的定义：如果两个非零向量和 ，则说和垂直，记作⊥
5.非零向量垂直的充要条件：符号语言：⇔⊥
坐标语言：设→
a =(x 1,y 1), →
b =(x 2,y 2)，则⇔⊥b a
6. 向量共线的充要条件：符号语言：⇔//b =λa （a
≠，R ∈λ）
坐标语言：设→
a =(x 1,y 1), →
b =(x 2,y 2)，则⇔//
二、基础训练
1．与向量)4,3(-=a 垂直的单位向量是_________ _____. 2．与向量)4,3(-=平行的单位向量是_______ _______.
3．若D B A e e CD e e CB e k e AB e e ,,,2,3,2,,21212121若已知是两个不共线的向量-=+=+=三点共线，则k =______________. 4．若的是则
b a y y
x x y x b y x a //),,(),,(2
1212211=== （ ）
A.充要条件
B.充分非必要条件
C.必要非充分条件
D.既非充分又非必要条件
三、典型例题
例1．已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b ===+ ，2v a b =-
，且//u v ，求实数x 的值。
例2．已知).1,2(),0,1(==b a （1）求|3|b a
+； （2）当k 为何实数时，k -a b 与b a 3+平行， 平行时它们是同向还是反向？. （3）当k 为何实数时，k -a b 与b a
3+垂直？.
例3．已知点)5,4(),2,1(),0,0(B A O 及t ⋅+=,试问:
（1）当t 为何值时,P 在x 轴上? P 在y 轴上? P 在第三象限?
（2）O 、A 、B 、P 四点能否构成平行四边形?若能,则求出t 的值.若不能,说明理由.
例4.已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°， （1）求证：)(b a -⊥c ；（2）若1||>++c b a k
)(R k ∈，求k 的取值范围.
四、课后作业 班级 姓名
（ ）1．如果)4,1()3,22(++=--=x x b x a 与互相垂直，则实数x 等于
A ．
2
1 B ．
2
7 C ．
21或2
7
D ．
2
7
或－2 （ ）2．三点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(x 3,y 3)共线的充要条件是
A ．x 1y 2－x 2y 1=0
B ．x 1y 3－x 3y 1=0
C ．))(())((12131312y y x x y y x x --=--
D ．))(())((13121312y y y y x x x x --=-- （ ）3．已知为则且⋅==,2||,1||//
A ．2
B ．－2
C ．±2
D ．±3
（ ）4．非零向量、b a b a b a b a b -+=与则向量不平行于且满足,|,|||的位置关系是
A ．平行
B ．垂直
C ．共线且同向
D ．共线且反向 （ ）5．下列命题中正确的是
A ．若0,0==⋅b a b a 或则
B ．若b a b a //,0则=⋅
C ．若2)(,b a b a b a ⋅=⋅⊥则
D ．若||||,,b a b a b a =⋅则共线
（ ）6.向量→
AB ＝（3，4）按向量a =(1,2)平移后为 A 、（4，6） B 、（2，2） C 、（3，4） D 、（3，8） （ ）7．下面四个条件：
53=-=+且① ②)0(≠∈=b R b a 且唯一且λλλ
③),(2121R x x x x ∈=+ )0,(0=+∈=+y x R y x y x 且④
其中能使与共线的是
A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．③④
（ ）8. 在△ABC 中，∠C=90°，),3,2(),1,(==k 则k 的值是
A ．1.5
B ．－1.5
C ．5
D ． －5
9．已知.//,_______,______),3,4(),7,(x x x x 时时当===+== 10.设)3
1,(cos ),sin ,23(αα==b a ,且有b a //,则锐角=α 。
11．已知平行四边形ABCD 的三个顶点为A(－1,－2)，B(3,－1)，C(5,6)，则顶点D 的坐标
为__ ____.
12．给出下列命题： （1）如果;)R 0(b a b a =∈≠=那么，λλλλ （2）如果;),(=≠⋅=⋅那么 （3）如果与那么,0||||≠⋅-=⋅方向相反； （4）如果;,0⊥=⋅那么 （5）如果b a b a 与那么,0<⋅的夹角为钝角.
其中假命题是____________（将假命题的序号都填上）
13．已知在梯形ABCD 中，.),2//(),7,3(),2,3(),1,1(,//点坐标求若D AB BD AD C B A CD AB ----
14．已知平面内三个点A （1，7），B （0，0），C （8，3），D 为线段BC 上一点，且
D 求,)(⊥++点坐标.
B 组
（ ）1.已知k Z ∈，(,1),(2,4)==
AB k AC ，若AB ≤ 则△ABC 是直角三角
形的概率是 A ．
17 B ．27 C ．37 D ．47
2.有两个向量1(1,0)e = ，2(0,1)e = ，今有动点P ，从0(1,2)P -
开始沿着与向量12e e +
相同的方向作匀速直线运动，速度为12||e e + ；另一动点Q ，从0(2,1)Q --开始沿着与向量1232e e +
相同的方向作匀速直线运动，速度为12|32|e e +
．设P 、Q 在时刻0t =秒时分别在0P 、0Q 处，则当00PQ P Q ⊥
时，t = 秒．
（ ）3.已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P 线段AB 上且
AP =t AB (0≤t ≤1)则OA ²OP 的最大值为
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12。