2005年专升本高等数学一答案

2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》参考答案

一．填空题：(每空格5分，共40分)

1．连续区间是),1()1,0()0,(+∞-∞ ，

2．

2

1， 3．（1）⎩⎨⎧==0

0z y 或者001z

y x ==，或者0,0,===z y t x （其中t 是参数）， （2）0=x

4．1,0-==b a ，

5．（1）y

x

r 2-， （2）x y 23.

三．计算题。

1．解 ：令)1l n(ln 2

+-=x x x y ， （3分）

则x x x x x x x x x y )1)](1ln(1

)

12([

222

'

+-+-++--= （7分） 2．解：)43(432'-=-=x x x x y ，驻点为3

4

,021==x x （2分）

（法一） 46''-=x y ，

04)0(''<-=y ， 1)0(=y （极大值）， （5分） 04)34('

'>=y ， 27

5

)34(-=y （极小值）. （7分）

（5分）

当0=x 时，1=y （极大值），当34=x 时，275-=y （极小值） （7分）

3．解：利用莱布尼兹公式

x n

n e n n nx x dx

f

d )]1(2[2-++= （7分） 4．解： ⎰⎰⎰------=--=+-0

1

01012]11

21[)2)(1(1231dx x x dx x x dx x x (3分)

＝3

4

ln

1

2

ln

1

=---x x (7分) 5．解：⎰+dx e

x 211

＝=+-+⎰dx e e e x

x x 22211 (3分)

++-=)1ln(2

1

2x e x C （其中C 是任意常数） （7分）

6．解：⎰

-+1

2)2(dx e x x x ＝=+--+⎰dx e x e

x x x x 1

010

2

)12()2( （3分）

＝2－⎰

+1

)12(dx e x x

＝2－)13(-e +10

2x e

=

＝e e e -=-+-12233。 （7分） 7．解：

)cos()sin(y x xy y x

z

++-=∂∂.(超纲,去掉) (3分) )s i n ()c o s (s i n 2y x xy xy xy y

x z +---=∂∂∂ . （7分）

8：解：

=-+

=+=

]2

111[2111x x y (2分)

])2

1()1()21()21(211[2132 +--++---+--=n n x x x x ＝∑∞

=+--01

2)1()1(n n n n x ， （5分） 收敛区间为（-1， 3）. （7分）

9.解：特征方程为0122

=+-λλ，特征值为1=λ（二重根），

齐次方程022

2=+-y dx dy

dx

y d 的通解是x e x c c y )(~21+=，其中21,c c 是任意常数. (3分)

x y dx dy dx

y d =+-22

2的特解是2+=*

x y ， （6分） 所以微分方程的通解是x e x c c x y y y )(2~21+++=+=*

，其中21,c c 是任意常数

（7分） 10．解：2

2

22b a b a -++＝=--+++)2()2()2()2(b a b a b a b a (3分)

＝26)(222

=+b a . （7分）

四．综合题： 1．解：（法一）

⎰++π

0212sin 212sin xdx m xdx n ＝－dx x m n x m n ])cos()1([cos 21

--++⎰π

（4分） ＝⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==-++-≠=---++++-⎰π

ππ00 ,21

]1)1[cos(21 ,0])sin(1)1sin(11[21

m n dx x m n m n x m n m n x m n m n （10分） （法二）当m n ≠时

⎰++π

212sin 212sin xdx m xdx n ＝－dx x m n x m n ])cos()1([cos 21

--++⎰π

（ 4分）

＝0])sin(1)1sin(11[210=---++++-

πx m n m n x m n m n （7分） 当m n =时 ⎰++π0212sin 212sin xdx m xdx n ＝⎰⎰=+-=+π

ππ000

2

21])12cos(1[21212sin x dx x n xdx n ＝2

π

（10分） 2．证明：（1）考虑函数dx cx bx ax x F +++=234)(, （2分） )(x F 在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，0)1()0(==F F ， 由罗尔定理知，存在)1,0(∈ξ，使得0)('=ξF ，即

0)()('==ξξf F ，就是=)(ξf 023423=+++d c b a ξξξ,

所以函数)(x f 在（0，1）内至少有一个根. （7分） （2）c bx ax x F x f 2612)()(2'''++==

因为ac b 832

<，所以0)83(129636)2)(12(4)6(222<-=-=-ac b ac b c a b ， )('x f 保持定号，)(x f 函数)(x f 在（0，1）内只有一个根. （10分）