公理化方法(精)

公理化方法的完善阶段----非欧几何

非欧几何的诞生是公理化方法完善的标志。
罗氏几何模型
黎蔓几何模型
公理化方法的形式化阶段----几何基础


希尔伯特的<几何基础 >把公理化方法本身推向 了形式化阶段。； <几何基础 >中 基本元素：点、直线、平面 基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系 基本公理：结合公理（8条）、顺序公理（4 条）、合同公理（5条）、连续公理（2条） 、 平行公理（1条）
公理化方法的概念



从尽可能少的、不加定义的基本概念和一组不加证明的 初始命题（基本公理）出发，应用严格的逻辑推理，使 某一数学分支成为演绎系统的方法，称为公理化方法。 应用公理化方法建立演绎体系的关键是引进基本概念， 设置一组公理，用它们定义新的概念，推导新的命题， 所有这些基本概念、公理、定义、定理则组成了公理化 方法的主要内容。 公理体系需要满足三个条件：独立性、相容性和完备性。
有理数




设E={（a，b）∣a，b∈Z,b≠0} 在该集合上定义关系：（a，b）∽（c，d）当且仅当 ad=bc 上述关系是等价关系，它将集合E划分成若干等价类， 把每一等价类叫做一个有理数，一切有理数所组成的集 合叫做有理数集，记为Q。 在集合Q上定义加法：（a，b）+（c，d）=（ad+bc， bd） (b≠0，d≠0) 在集合Q上定义乘法：（a，b）（c，d）=（ac，bd） (b≠0，d≠0)
现代公理法的意义与Leabharlann Baidu用



公理化方法是加工、整理知识，建立科学理论的工 具，公理系统的形成是数学分支发展的新起点。 公理化方法有助于发现新的数学成果，可以探索各 个数学分支的逻辑结构，发现新问题，促进和推动 新理论的创立和发展。 公理化方法是建立某些抽象学科的基础。 公理化方法对各门自然科学的表述具有积极的借鉴 作用。 公理化方法对于学生理解和掌握数学知识、数学方 法及培养学生逻辑思维能力具有重要作用。
公理化方法举例

数概念及其理论的公理化整理，自然数建立在皮 亚诺公理之上，整数集建立在自然数之上，有理 数建立在整数集之上，实数集建立在有理数集之 上，复数集建立在实数集之上。
自然数

皮亚诺公理：集合N如果满足下列一组公理，那么N叫做 自然数集，N的元素叫做自然数。 （1）1∈N； （2）对N中每一个元素n，在N中有且仅有一个确定的后 继元； （3）对N中任意元素n， n ≠1； n m （4）对N中任意两个元素n，m，如果 ， 那么n=m； （5）归纳公理：如果N的子集M满足①1∈M，②当n∈M 时， n ∈M，那么M=N。
进一步的工作



集合论悖论的出现，又一次引起了数学基础的危机。 希尔伯特的元数学（证明论）：（1）证明古典数学 的每一个分支都可以公理化；（2）证明每一个这样 的系统都是完备的、相容的；（3）证明每一个这样 的系统所应用的模型都是同构的；（4）寻找这样一 种方法，借助于它，可以在有限步骤内判断任一命 题的可证明性。 元数学理论的研究使公理化方法进一步精确化，把 公理化方法发展到一个新的阶段。形式化公理法不 仅推动了数学基础的研究，而且为计算机的广泛应 用开辟了广泛的前景。
自然数


在N上定义加法：f：N×N→N (n,m) →n+m 满足：（1）n+1 = n ( n m ) m （2）n+ = 在N上定义乘法：f：N×N→N (n,m) →n·m 满足：（1）n·1=n （2）n· m =n·m+n
整数




设D={（m，n）∣m，n∈N}， 在该集合上定义关系：（m，n）∽（p，q）当且仅当 m+q=n+p 上述关系是等价关系,它将集合D划分成若干等价类，把 每一等价类叫做一个整数,一切整数所组成的集合叫做 整数集，记为Z。 在集合Z上定义加法：（m，n）+（p，q）=（m+p，n+q） 在集合Z上定义乘法：（m，n）（p，q）=（mp+nq， mq+np）
公理化方法的产生阶段----几何原本



《几何原本》共13卷，467个命题。其中有5个公设，5 个公理。 公设：1.从一点到任一点作直线可能； 2.有限直线可 以延长；3.以任一点为中心和任一距离为半径作一圆； 4.所有直角彼此相等；5.若一直线与两直线相交，且 若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线延长后 相交于该侧的一点。 公理：1.与一件东西相等的一些东西，它们彼此也是 相等的；2.等量加等量，总量仍相等；3.等量减等量， 余量仍相等；4.彼此重合的东西是相等的；5.整体大 于部分。
公理化方法的思想源流


历史上第一个给出公理系统的学者是亚里士多德，他 在其《工具书》中，总结了古代积累起来的逻辑知识， 并以数学及其它学科为例，把完全三段论作为公理， 由此推出了别的所有三段论。 第一个在“知其然”的同时提出“知其所以然”的学 者是古希腊哲学家和数学家泰勒斯，他第一个证明了 下面定理(1)一个圆被它的一个直径所平分；（2）三 角形内角和等于两直角之和；（3）等腰三角形的两底 角相等；（4）半圆上的圆周角是直角；（5）对顶角 相等；（6）全等三角形的ASA定理。所以泰勒斯被称 为论证之父。
a a0
n n n n
a a1 a2 2 nn 10 10 10
复数


定义1:设C={（a，b）∣a，b∈R} 定义2:设C= {a+bi∣a，b∈R, i 2 =-1} 在集合C上定义加法： （a，b）+（c，d）=（a+c，b+d) 在集合C上定义乘法： （a，b）（c，d）=（ac-bd，ad+bc）
实数


定义1:十进小数 叫做实数。 定义2:如果有理闭区间序列{ [an , bn ] }满足 （1）[an1 , bn1 ] [an , bn ] 即 an an1 bn1 bn (n 1,2,3) （2）对于任意的 0 ，存在自然数N，当n>N时，恒 有 bn an ,那么称这个序列为退缩有理闭区间序列， 简称为有理闭区间套。 在集合 R上定义运算：实数a对应有理闭区间套 {[an , an ]}，实数b对应有理闭区间套{[ bn , bn ]}，那 么a+b对应有理闭区间套{[ a b , a b ]}，ab对应有 理闭区间套{[ an bn , an bn ]}。