公理化方法(精)
sx1208公理化方法
专题8 公理化方法的四个发展阶段每一科学理论包括一组概念和一组真的命题。
当对某一概念的涵义有疑问时，我们就通过另外一些概念来刻划它，这就是定义。
同样，当对某一命题的真实性有疑问时，我们就从其他一些已知为真的命题根据演绎推理的规则把它推演出来，这就是证明。
在数学中，一般要求概念都要是明确定义了的，命题（定理）都要是经过证明的。
但是，定义和证明必须有它们的出发点，否则就会发生“恶性循环”。
因此，我们必须选出少数不加定义的概念和不加证明的命题作为出发点。
这些不加定义的概念，称为原始概念；由原始概念定义的概念，称为定义概念。
不加证明的命题，称为原始命题或公理；从公理推演出来的命题，称为定理。
公理化方法就是运用严格的逻辑演绎规则，从原始概念和公理出发，定义其他一切概念，推演出其他一切定理，从而建立理论体系的方法。
从历史上看，公理化方法的发展大体上经历了四个阶段：实质公理系统，从实质公理系统向形式公理系统的过渡，形式公理系统，以形式系统为研究对象的元数学。
一、实质公理系统1．希腊：公理化方法的开端希腊人建立公理化的演绎数学体系的主要历程⑴泰勒斯 (Thales，约 624～547 B.C.)，把“证明”引入数学泰勒斯是古希腊哲学、科学鼻祖，他所创立的爱奥尼亚学派是古希腊哲学、科学思想的源头。
他认识到数学需要证明，并最早给出一批数学命题的证明。
这是使数学由经验上升到理论的最早努力，真正意义上的数学科学由此发端。
⑵毕达哥拉斯 (Pythagoras，约 572─497 B.C.)，发展证明思想与方法命题的逻辑证明。
注意到数学证明的逻辑顺序。
对数与图形的广泛研究。
不可通约量的发现。
⑶希波克拉底 (Hippocrates of Chios，公元前 5世纪)，引入“公理”的思想⑷柏拉图 ( Plato) 学派 (活跃于公元前 4世纪)，发展公理及证明方法圆锥曲线：梅内克莫斯 (Menaechmus，公元前 4世纪) ，因研究倍立方体问题而引入，用三种圆锥 [直角，锐角，钝角的] 及垂直于锥面一母线的平面截割生成。
公理化方法
公理化方法
公理化方法简介如下：
公理化方法公理化思想任何真正的科学都始于原理，以它们为基础，并由之而导出一切结果来随着假设演绎模型法的进一步发展，经济学日益走向公理化方法。
公理化是一种数学方法。
最早出现在二千多年前的欧几里德几何学中，当时认为“公理’(如两点之问可连一直线)是一种不需要证明的自明之理，而其他所谓“定理”(如三对应边相等的陌个三角形垒等)则是需要由公理出发来证明的,18世纪德国哲学家康德认为，欧几里德几何的公理是人们生来就有的先验知识，19世纪末，德国数学家希尔伯特在他的几何基础研究中系统地挺出r数学的公理化方法。
论经济学中的公理化方法
论经济学中的公理化方法公理化方法是指在建立理论模型时，首先明确定义一些基本概念，并且引入一些基本的前提假设，然后通过逻辑推理的方式来推导出理论的各种结论。
这些基本概念和前提假设就是所谓的公理。
在经济学中，通过公理化方法建立的理论模型具有逻辑严密性和系统性，能够清晰地描述经济现象，并为经济现象的解释和预测提供科学依据。
公理化方法在经济学中的应用广泛，比如在微观经济学中，从消费者行为到市场竞争，再到产业结构，都可以通过公理化方法建立相应的理论模型和分析框架。
公理化方法在经济学中的应用不仅概念清晰、逻辑严密，而且具有一定的预测和解释能力。
公理化方法建立的理论模型通常具有一定的预测能力，可以帮助经济学家们预测经济现象的发展趋势。
在宏观经济学中，通过建立一些基本的经济增长模型和商业周期模型，可以预测经济增长率和经济周期的走势。
公理化方法还可以帮助经济学家们解释各种经济现象背后的规律和原因。
在微观经济学中，通过建立效用最大化模型和成本最小化模型，可以解释消费者的行为和生产者的行为背后的原理和内在逻辑。
这就使得公理化方法在经济学中具有一定的应用和推广价值。
公理化方法在经济学中也面临着一些挑战和批评。
公理化方法建立的理论模型通常是用来描述和解释理想化的经济世界，难以真实地反映现实世界的复杂性和多样性。
在微观经济学中，通常假设市场是完全竞争的，而实际市场往往存在着垄断、不完全信息等问题，这就使得理论模型在解释和预测经济现象时存在一定的局限性。
公理化方法建立的理论模型通常需要依赖一些数学工具和形式化的逻辑推理，容易使经济学和数学相结合，导致模型过于抽象和脱离实际经济生活。
在宏观经济学中，通常会引入一些微分方程和差分方程，以便描述经济系统的动态演化，这就要求经济学家具有一定的数学功底，容易使经济学变得晦涩难懂。
数学中的公理化方法课件公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
2．公理化办法有助于比较数学各个分支实质 性异同，增进数学摸索与基础研究，推动数
学新理论产生。 • 从前面所述，能够看出，非欧几何就是在
研究和使用公理化办法过程中产生。
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3．数学公理化办法在科学办法论上， 对各门自然科学起着示范作用。
• 由于数学公理化办法表述数学理论简练性、 条理性和结构友好性，为其它科学理论表 述起到了示范作用。于是其它科学纷纷效 仿数学公理化模式，出现了各种理论公理 化系统，如理论力学公理化、相对论公理 化及伦理学公理化等等。
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• 非欧几何创建，大大提升了公理化办法信 誉，接着便有许多数学家致力于公理化办 法研究。如德国数学家康托尔与戴德金不 约而同地拟成了连续性公理、德国数学家 巴许拟成了顺序公理。在这个基础上，希 尔伯特于1899年发表了《几何学基础》一 书，改造了欧氏几何系统，完善了几何学 公理化办法。
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• 以后希尔伯特将将某种数学理论（如自然 数理论、几何理论等）作为一个整体加以 研究，提出了希尔伯特规则，即：证实古 典数学每个分支都能够公理化；证实每个 这样系统都是完备； 证实每个这样系统都 是相容；证实每个这样系统所相应模型都 是同构；寻找一个能够在有限环节内鉴定 任一命题可证实性办法。希尔伯特为详细 实行这个规划而创建了证实论即元数学理 论。
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希尔伯特对元数学研究，使公理化 办法进一步准确化：
• 把数学理论中定理及数学中使用逻辑规则 排成演绎体系，并使用数学符号和逻辑符 号把数学命题变成公式，这样，所有数学 命题便变成了公式集合，公理化数学理论 便变成了演绎形式系统。元数学思想提出， 标志着数学研究达到了新、更高水平，数 学研究对象已不是详细、特殊对象，而是 抽象数学结构。从而，公理化被推向一个 新阶段即纯形式化阶段。
论经济学中的公理化方法
论经济学中的公理化方法一、公理化方法的概念及特点公理化方法是经济学理论体系的基础和起点，它建立在严格的逻辑推理基础上。
公理化方法的核心是建立简单、基本、自洽的理论体系，从而完成对经济现象和经济规律的分析和解释。
公理化方法的要素包括公理、定理、假设和推论。
公理是理论体系的基础，是不需要证明的真理。
定理是根据公理推导得出的结论。
假设是公理化方法的出发点，是对一定现象和规律的理论假设。
推论是根据假设和公理推导得出的经济学结论。
通过这些要素的相互作用，建立起严谨的经济学理论体系。
公理化方法的特点主要包括简明性、严密性和一致性。
简明性是指公理化方法的理论体系应当简单而不失其基本特征。
严密性是指公理化方法应当有严格的逻辑推理过程，确保理论的严密性和可靠性。
一致性是指公理化方法的理论体系应当是内部一致的，不出现逻辑矛盾和自相矛盾的情况。
二、公理化方法在经济学研究中的作用公理化方法在经济学研究中起着至关重要的作用，具体表现在以下几个方面：1、理论建设的基础。
公理化方法是构建经济学理论体系的基础和起点，它通过建立简单、基本、自洽的理论结构，为经济学的来龙去脉提供了基本路径和逻辑依据。
2、经济分析的工具。
公理化方法所构建的理论结构为经济分析提供了强大的工具。
经济学家可以基于公理化方法的理论结构，分析和解释各种经济现象和规律，从而完善和丰富经济学的理论体系。
3、政策制定的参考。
公理化方法所得到的经济学结论，可以作为政策制定的重要参考。
政府和企业可以借鉴公理化方法所得到的理论结论，制定合理的经济政策和经营策略，推动经济社会的发展。
4、对经验现象的解释。
公理化方法可以帮助经济学家对各种经济现象进行深入的解释。
通过公理化方法的推导，可以对经济现象进行深入的分析和解释，发现其中的规律和本质。
1、对现实的抽象。
公理化方法在建立理论体系时，需要对真实经济现象进行抽象和简化。
这样的抽象过程往往会使理论与现实存在一定的距离，导致理论在解释现实经济问题时存在一定的局限性。
数学公理化方法
§5.3 使用RMI方法的条件从前述各例，我们可以归纳出正确使用RMI方法的条件。
（1）映射ϕ须是两类数学对象之间的一一对应关系；（2）所采用的映射ϕ须是可定映的，即目标映象能通过确定的有限多个数学手续从映象关系结构系统中寻求出来；ϕ必须具有能行性，即通过目标映象能将目标原象的某种（3）相对的逆映射（反演）-1需要的性态经过有限步骤确定下来。
以上几点也从另一角度说明，RMI方法并非是处处适应的万能法则。
正确有效地应用RMI方法的关键显然在于引进合乎要求的映射，这就要求使用者在如下方面去努力：一是理解原象关系结构系统的能力；二是抽象分析的能力；三是运用数学手段的能力；四是掌握常用的方法与变换的能力；五是寻求反演公式与手段的能力。
ϕ的可定映射ϕ，谁数学史的发展表明，谁能巧妙地引进非常有效且具有能行性反演-1就对数学的发展作出贡献。
反之，正因数学自身的发展（特别是它的现代发展），不断产生了一些新的重要的映射工具，也就为RMI方法的运用展示了更广阔的前景。
129第六章数学公理化方法数学公理化方法是一种演绎的方法，当一个理论体系达到充分发展，需要以演绎的形式来表达它的基本范畴之间，原理、原则之间的关系，形成逐渐演进和发展时，公理化方法是最为有力的手段。
可以说，它对各门数学分支学科都产生着巨大的影响，即使在数学教育中，也起着重要的作用。
§6.1数学公理化方法的意义所谓公理化方法就是从尽可能少的不加定义的原始概念和不加证明的原始命题（公理、公社）出发，按照逻辑规则推到出其他命题，建立起一个演绎系统的方法。
数学发展的历史有力地表明公理化方法在数学方法中有着重要的意义。
我们可以归纳出如下几点：1．总结性：恩格斯说：“数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定。
”这种方法将数学知识的概念、命题的形式进行了分析和总结，凡是得了公理化结构形式的数学，均可在已形成的逻辑关联中去使用。
公理化方法
公理化方法的思想源流
历史上第一个给出公理系统的学者是亚里士多德，他 在其《工具书》中，总结了古代积累起来的逻辑知识， 并以数学及其它学科为例，把完全三段论作为公理， 由此推出了别的所有三段论。 第一个在“知其然”的同时提出“知其所以然”的学 者是古希腊哲学家和数学家泰勒斯，他第一个证明了 下面定理(1)一个圆被它的一个直径所平分；（2）三 角形内角和等于两直角之和；（3）等腰三角形的两底 角相等；（4）半圆上的圆周角是直角；（5）对顶角 相等；（6）全等三角形的ASA定理。所以泰勒斯被称 为论证之父。
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公理化方法举例
数概念及其理论的公理化整理，自然数建立在皮 亚诺公理之上，整数集建立在自然数之上，有理 数建立在整数集之上，实数集建立在有理数集之 上，复数集建立在实数集之上。
自然数
皮亚诺公理：集合N如果满足下列一组公理，那么N叫做 自然数集，N的元素叫做自然数。 （1）1∈N； （2）对N中每一个元素n，在N中有且仅有一个确定的后 继元； （3）对N中任意元素n， n ≠1； n m （4）对N中任意两个元素n，m，如果 ， 那么n=m； （5）归纳公理：如果N的子集M满足①1∈M，②当n∈M 时， n ∈M，那么M=N。
自然数
在N上定义加法：f：N×N→N (n,m) →n+m 满足：（1）n+1 = n m = (n m ) （2）n+ 在N上定义乘法：f：N×N→N (n,m) →n·m 满足：（1）n·1=n （2）n· m =n·m+n
整数
设D={（m，n）∣m，n∈N}， 在该集合上定义关系：（m，n）∽（p，q）当且仅当 m+q=n+p 上述关系是等价关系,它将集合D划分成若干等价类，把 每一等价类叫做一个整数,一切整数所组成的集合叫做 整数集，记为Z。 在集合Z上定义加法：（m，n）+（p，q）=（m+p，n+q） 在集合Z上定义乘法：（m，n）（p，q）=（mp+nq， mq+np）
论经济学中的公理化方法
论经济学中的公理化方法经济学中的公理化方法是指根据一系列假设和公理，建立起一套严密的逻辑体系，并在该体系基础上进行分析和预测。
这种方法的主要目的是通过公理化建模，将人们在日常经济活动中的行动规律及其相互关系抽象出来，以便更好地理解和研究经济现象。
公理化方法的基本原则是建立简单而具有逻辑相容性的数学模型，以此分析和解释经济现象。
这些模型通常涉及到一系列公理或假设，如理性行为假设、效用最大化原则、市场均衡假设等。
这些假设和公理的作用在于简化经济现象，使之更加易于分析和解释。
同时，这些假设和公理也有助于提高经济学分析的准确性和解释力度，因为它们建立了一个严格的逻辑框架和分析体系，用于对经济现象进行分析和解释。
以现代宏观经济学为例，公理化方法的主要步骤包括建立数学模型、选择适当的公理和假设、分析模型的结构和性质、进行模型推导和分析等。
在宏观经济学中，公理化方法的主要目标是建立一个能够解释宏观经济现象的模型，如通货膨胀、失业、经济增长等。
这些模型通常包括均衡方程、需求曲线、供给曲线等，并围绕这些曲线建立逻辑关系和数学模型。
公理化方法的优点是可以将复杂的经济现象形式化，从而更好地进行数学模拟和分析。
这种模式化的分析有助于研究人员深入理解经济现象的本质，并从中提取有价值的信息。
此外，公理化方法的严谨性还使得经济学在应对各种复杂的问题时更具有严谨性和可预测性。
总的来说，公理化方法是经济学研究的一种重要方法，它通过建立数学模型，将经济现象形式化，提高了对经济现象的研究和解释的准确性和可预测性。
同时，公理化方法也有助于经济学家深入了解经济规律，创新经济分析方法和理论，并为制定有效的经济政策提供了理论和实践的支持。
论经济学中的公理化方法
论经济学中的公理化方法经济学中的公理化方法被认为是一种最为科学、可靠、客观的方法。
公理化方法的理论基础是逻辑学和数学，它的核心思想是将经济学的基本假设用准确、简明、可比较的方式表达出来，以便我们可以通过严密的逻辑推理和数学证明来分析和研究经济问题。
公理化方法具有以下特点：1.先验性公理化方法在分析经济问题时，假设一些基本前提或公理，并通过逻辑推理来得出经济学的结论。
这些基本前提与现实相比，可能在某些方面存在差异，但在理论分析中作为不可被否认的前提条件，是具有先验性的。
2.精确定义经济概念公理化方法中经济学概念的定义必须精确、准确、清晰明了，每一个经济学概念都有其清晰的定义。
这样可以准确地阐明经济学理论的各种概念和关系，避免了误解。
3.逻辑严密性公理化方法在推导经济学结论时，必须遵循严密的逻辑，保证推导的每一个步骤都有严谨的证明。
这种逻辑严密性确保了理论的稳健性，同时也有助于增强理论的说服力。
4.具有形式严格性公理化方法最基本要求是使用形式语言来描述和分析现象。
因此，公理化方法必须具有形式严格性。
可以通过各种符号来表述经济问题中的关系，例如，用代数式表示经济学中的关系。
公理化方法的优点有很多，主要有以下几个方面：1.精确性公理化方法能够帮助经济学家精确地表述经济学理论并清晰说明各种概念和关系。
它不仅有助于加强经济学理论的逻辑和严密性，还有助于增强理论的说服力和可靠性。
2.统一性公理化方法可以提供一种统一的分析经济问题的方法，经济学家可以用同样的方法来分析不同国家、不同地区和不同时间的经济问题。
这使得经济学家在研究经济问题时可以更好地协作和交流。
3.可比性公理化方法可以提供一个标准化的分析经济问题的方法，使经济学家可以对不同方案进行比较。
例如，公理化方法可以用来比较不同的市场结构下的企业利润、劳动力收入等经济指标，以确定最佳政策。
4.预测性公理化方法使经济学家能够进行精确的预测，例如，通过使用数量经济学的方法，可以预测某种经济政策对GDP和失业率的影响等。
华师版九年级数学广角 数学素材 公理化方法
[科目]数学
[关键词]公理化方法
[标题]公理化方法
[内容]
公理化方法
平面几何中的公理是大家所熟悉的概念。
简单地说，公理就是不证自明的道理，它是人们研究问题的基础。
而公理化方法则指从尽可能少的原始概念（不加定义的概念，又称原名）公理出发，利用逻辑推理展开研究的方法。
平面几何就是用这种方法组织起来的一门学问，而且是用得最早和最完善的。
20世纪以来，公理化方法在数学中得到了广泛的应用，现代代数学、现代概率论等数学分支都是用公理化方法建立起来的。
物理学的公理化作为希尔伯特第六问题，自20世纪初提出以来也获得了很大进展。
公理化方法
公理化方法的特征及功能数学家欧几里得以亚里士多德的演绎逻辑为工具总结了人类长期以来所积累的大量几何知识，于公元前300年完成了他的名著《几何原本》，它是演绎逻辑与几何相结合的产物。
因此它的出现使演绎逻辑第一次成功的应用于数学。
欧几里得的《几何原本》是有史以来用公理思想建立起来的第一门演绎数学，后来成为公理化方法的初级阶段，既然是初级阶段，就少不了后来人的应用和发展。
它不仅作为基础为后来人的研究打下基础，也激发了许多杰出数学家的研究几何演绎与公理化的热情。
希尔伯特在1899年出版的名著《几何基础》就是在之后的研究热潮中的重要成果的突出代表。
他在《几何基础》中放弃了欧几里得《几何原本》中公理的直观显然性把那些在对空间直观进行逻辑分析时无关重要的内容加以摒弃，着眼于对象间的联系，强调了逻辑推理，首次提出了一个简明、完整、逻辑严谨的形式公理系统。
从此，公理化方法不仅是数学中一个重要方法，而且已经被其他学科领域所采用。
以下介绍希尔伯特在《几何基础》中对于几何的应用提出的公理化方法，以及上面所提到在其他领域中应用的几个例子，总结公理化方法在教学中的启示。
几何学公理化方法结合公理：Ⅰ1对于任意两个不同的点A、B，存在着直线a通过每个点A、B．Ⅰ2对于任意两个不同的点A、B，至多存在着一条直线通过每个点A、B．Ⅰ3在每条直线上至少有两个点；至少存在着三个点不在一条直线上．Ⅰ4对于不在一条直线上的任意三个点A、B、C，存在着平面α通过每个点A、B、C．在每个平面上至少有一个点．Ⅰ5对于不在一条直线上的任意三个点A、B、C，至多有一个平面通过每个点A、B、C．Ⅰ6如果直线a上的两个点A、B在平面α上，那么直线a上的每个点都在平面α上．Ⅰ7如果两个平面α、β有公共点A，那么至少还有另一公共点B．Ⅰ8至少存在着四个点不在一个平面上．顺序公理：Ⅱ1如果点B在点A和点C之间，那么A、B、C是一条直线上的不同的三点，且B也在C、A之间．Ⅱ2对于任意两点A和B，直线AB上至少有一点C，使得B在A、C之间．Ⅱ3在一条直线上的任意三点中，至多有一点在其余两点之间．Ⅱ4设A、B、C是不在一条直线上的三个点；直线a在平面ABC上但不通过A、B、C中任一点；如果a通过线段AB的一个内点，（①线段AB的内点即A、B之间的点．）那么a也必通过AC或BC的一个内点(巴士(Pasch，1843—1930)公理)．合同公理：Ⅲ1如果A、B是直线a上两点，A′是直线a或另一条直线a′上的一点，那么在a或a′上点A′的某一侧必有且只有一点B′，使得A′B′≡AB．又，AB≡BA．Ⅲ2如果两线段都合同于第三线段，这两线段也合同．Ⅲ3设AB、BC是直线a上的两线段且无公共的内点；A′B′、B′C′是a或另一直线a′上的两线段，也无公共的内点．如果AB≡A′B′，BC≡B′C′，那么AC≡A′C′．Ⅲ4设平面α上给定∠(h，k)，在α或另一平面α′上给定直线a′和a′所确定的某一侧，如果h′是α′上以点O′为端点的射线，那么必有且只有一条以O′为端点的射线k′存在，使得∠(h′，k′)≡∠(h，k)．Ⅲ5设A、B、C是不在一条直线上的三点，A′、B′、C′也是不在一条直线上的三点，如果AB≡A′B′，AC≡A′C′，∠BAC≡∠B′A′C′，那么∠ABC≡∠A′B′C′，∠ACB≡∠A′C′B′．平行公理：过定直线外一点，至多有一条直线与该直线平行连续公理：Ⅴ1如果AB和CD是任意两线段，那么以A为端点的射线AB上，必有这样的有限个点A1，A2，…，An，使得线段AA1，A1A2，…，An-1An都和线段CD合同，而且B在An-1和An之间(阿基米德公理)．Ⅴ2一直线上的点集在保持公理Ⅰ1，Ⅰ2，Ⅱ，Ⅲ1，Ⅴ1的条件下，不可能再行扩充．注1．有些《几何基础》书中，常以康托(Cantor，1845—1918)公理代替上述的Ⅴ2：“一条直线上如果有线段的无穷序列A1B1，A2B2，A3B3，…，其中每一线段都在前一线段的内部，且对于任何线段PQ总有一个n存在，使得AnBn<PQ，那么在这直线上必有且只有一点X落在A1B1，A2B2，A3B3，…的内部．”注2．也有的书中，用与V1，V2等价的戴德金(Dedekind，1831—1916)公理作为连续公理：“如果线段AB及其内部的所有点能分为有下列性质的两类：(1)每点恰属一类；A属于第一类，B属于第二类；(2)第一类中异于A的每个点在A和第二类点之间．那么，必有一点C，使A、C间的点都属于第一类，而C、B间的点都属于第二类．”各个领域的应用应用公理化设计，进行可用于在轨组装飞行器总体设计的步骤为：1) 了解组装服务的需求：根据任务的实施环境、任务类型及任务特点，获取“5WlH”（why、what、where、when、who、how）等需求信息；2) 定义满足这些需求所需解决的问题：将任务需求转化；3) 通过综合分析产生或选择解决方案，将由组装服务需求转化而成的功能需求和设计参数进行“之”字型展开，根据独立公理调整FR 或DP，使得二者层级上各层次的射矩阵为对角阵或三角阵。
论经济学中的公理化方法
论经济学中的公理化方法经济学中的公理化方法是一种将经济学理论建立在一系列公理或假设之上的方法。
公理化方法在经济学研究中起到重要的作用，它帮助经济学家建立模型，推导经济学原理，并进行经济政策的分析和预测。
公理化方法要求经济学的理论建立在一组公理或假设之上。
这些公理或假设是被视为不争议的基本前提，它们不需要被证明，而只需要被接受。
公理通常是清晰、简洁和一致的，它们提供了建立经济模型的框架和规则。
在边际效用理论中，假设人们在决策时会根据边际效用来权衡各种选择；在供求理论中，假设市场上的价格是由供给和需求的均衡决定的。
公理化方法要求推导经济学原理的过程是严谨和逻辑的。
通过逻辑推理和数学工具，经济学家可以从公设中推导出一系列的经济学原理。
从需求曲线和供给曲线的交点可以推导出市场价格和数量的均衡点，从机会成本的概念可以推导出人们在决策时的最佳选择。
公理化方法的另一个重要特点是其预测性。
通过建立模型和推导过程，经济学家可以预测和分析各种经济现象和政策。
通过分析需求曲线和供给曲线的变化，经济学家可以预测价格的上升或下降，以及市场数量的变化。
这些预测可以为政府和企业提供决策的依据和指导。
公理化方法并不是没有争议的。
一些人认为，公理化方法过分简化了经济学的复杂性，忽略了现实世界中的各种复杂因素。
公理化方法假设人们在决策时是理性的，而实际上人们的决策往往受到各种心理和社会因素的影响。
公理化方法也存在一些假设的限制和局限性，这些假设的合理性和适用性需要经验和实证数据的支持。
公理化方法在经济学中具有重要的地位和作用。
它帮助经济学家建立模型、推导原理、预测现象和政策，并为经济政策的制定和评估提供了理论基础。
公理化方法也需要我们对其假设和结论持有一定的审慎和批判态度，将其与实际数据和观察相结合，才能更好地理解和应用经济学。
公理化方法
公理化方法基本定义折叠编辑本段恩格斯曾说过：数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定。
公理化方法能系统的总结数学知识、清楚地揭示数学的理论基础，有利于比较各个数学分支的本质异同，促进新数学理论的建立和发展。
现代科学发展的基本特点之一，就是科学理论的数学化，而公理化是科学理论成熟和数学化的一个主要特征。
产生发展折叠编辑本段产生折叠公理化方法发展的第一阶段是由亚里斯多德的完全三段论到欧几里得《几何原本》的问世．大约在公元前3世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里斯多德总结了几何学与逻辑学的丰富资料，系统地研究了三段论，以数学及其它演绎的学科为例，把完全三段论作为公理，由此推导出其它所有三段论法，从而使整个三段论体系成为一个公理系统．因此，亚里斯多德在历史上提出了第一个成文的公理系统．亚里斯多德的思想方法深深地影响了当时的希腊数学家欧几里得．欧几里得把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上的重要著作《几何原本》．他从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理．他总结概括出14个基本命题，其中有5个公设和9条公理，然后由此出发，运用演绎方法将当时所知的全部几何学知识推演出来，整理成为演绎体系．《几何原本》一书把亚里斯多德初步总结出来的公理化方法应用于数学，整理、总结和发展了希腊古典时期的大量数学知识，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑．公理学研究的对象、性质和关系称为“论域”，这些对象、性质和关系，由初始概念表示．例如欧氏《几何原本》中只需取“点”、“直线”、“平面”；“在……之上”、“在……之间”、“叠合”作为初始概念．前三个概念所表示的三类对象和后三个概念所表示的三种关系就是这种几何的论域．按照“一个公理系统只有一个论域”的观点建立起来的公理学，称为实质公理学．这种公理学是对经验知识的系统整理，公理一般具有自明性．因此，欧氏<几何原本>就是实质公理学的典范．基本发展折叠编辑本段公理化方法的发展大致经历了这样三个阶段：实质（或实体）公理化阶段、形式公理化阶段和纯形式公理化阶段，用它们建构起来的理论体系典范分别是《几何原本》、《几何基础》和ZFC公理系统。
数学的公理化方法
• 拓扑结构：领域、连续、极限、连通性、 维数等构成一般拓扑学的研究对象
• 14．中学教材中的公理系统—— • 平面几何公理： • 经过两点有一条直线，并且只有一条直线 • 在所有连接两点的连线中，线段最短 • 平行公理：经过直线外一点，有一条而且只有
相等的
• 等量加等量，总量仍相等 • 等量减等量，余量仍相等 • 彼此重合的东西是相等的 • 整体大于部分 • 7．罗巴切夫斯基引入了一个与第五公设完全相
反的公设：过平面上一个已知直线外一点至少 可以引出两条直线与已知直线平行。
• 8．罗巴切夫斯基的新几何——锐角假设的双曲 式几何
• 黎曼——钝角假设的椭圆式几何 • 从而非欧几何被人们所承认
一条直线和该直线平行 • 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，
那么这两条直线平行 • 边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的
两个三角形全等 • 角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的
两个三角形全等 • 矩形的面积等于它的长a和宽b的积
• 立体几何公理：
• 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这 条直线上的所有点都在这个平面内
• 6．欧几里得列出五个公设和五个公理，公理是适用于 一切科学的真理，而公设则只用于几何。
• 欧几里得《几何原本》中以直观几何背景为基础构成的 体系，它代表的是“实质性公理体系”（也称实体性公 理体系），这种公理化方法也称为实质性公理化方法。
• 欧几里得从上述的五个公设和五个公理出发，推出了 465个命题。
• 定理：经过公理推演出来的命题
• 5．亚里士多德提出了历史上第一个成文的三段论式的演 绎方式的公理化方法。
• 第一次把公理化方法系统用于数学中的是古希腊的欧几 里得，他把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学
第四节 数学公理化
其次，公理化方法可以将一门数学分支的基础分析 得清清楚楚，从而有利于比较不同几何学的本质差异和 逻辑相关性，从而对它们进行严格的区分．例如，通过 对欧几里得几何的公理系统和罗巴切夫斯基几何的公理 系统的对比，可以清楚地看出这两者之间就在于平行公 理的对立，而其他公理完全相同．因此，用平行公理以 外的其他公理所推导出来的概念和定理体系是两种几何 所公有的，一般称为中性几何或绝对几何．这样，研究 绝对几何的结构可以取得事半功倍的作用，一举两得， 同时通过对平行公理的作用的研究，可以进一步了解两 种几何的差异．
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再次，几何公理化方法对科学方法论有示范 作用，说明了科学方法的重要性，推动了对科学 方法的研究．这种方法产生于几何，同样也适用 于其他数学分科，在代数、概率论、泛函分析、 现代数理逻辑、拓扑学等的研究和整理中都起到 了重要的作用；此外还渗透到其他自然科学领域, 如理论力学和相对论的公理化等等． 应当注意，公理化方法并不是研究数学的惟 一方法，此外还有代数方法、拓扑方法、统计方 法等等．
这些获奖人不仅在当时做出重大成果，而且日后
继续取得成果，证明他们不是昙花一现的人物。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4．菲尔兹奖的特点
菲尔兹倡议，得奖人不但应已获得 重大成果，同时还应有进一步获得成就 的希望。因此获奖者应是中青年。当时 获奖者都不超过40岁，开始是不成文的， 后来则对此作了明文规定。 （华人：丘成桐，陶哲轩）
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几何原本的缺陷
《几何原本》是古希腊数学的代表作，出现在两 千多年前，这是难能可贵的。但用现代的眼光看，也 还有不少缺陷。主要是： ⑴有些定义不够严格，本身含糊不清； ⑵默认了图形平移不改变其性质； ⑶公理系统不完备，公理不够用，致使许多证明不得 不借助于直观。 尽管如此，《几何原本》开创了数学公理化的正确 道路，对整个数学的影响，超过了历史上的任何其他著
论经济学中的公理化方法
论经济学中的公理化方法一、公理化方法的概念公理化方法是一种在数学、逻辑学和哲学思维中广泛应用的一种方法，它的核心思想是通过提出一些简单而且基本的前提，然后从这些前提中推导出更为复杂的结论。
在经济学中，公理化方法是指将一系列基本的假设或者公理构建成一个理论体系，然后通过逻辑推导来得出经济学原理和结论。
这些基本的假设通常被视为是不可证明的，而是根据经验观察和逻辑推理所得出的。
二、公理化方法的发展历程公理化方法在经济学中的应用可以追溯到19世纪末20世纪初的边际主义革命。
边际主义者如瓦尔拉斯、杰文斯和马歇尔等经济学家，首次将边际效用和边际成本等概念系统化，并且将这些概念作为经济理论的基础公理。
此后，公理化方法逐渐成为经济学中一种广泛应用的方法论工具，特别是在新古典经济学中，公理化方法得到了充分的发展和应用。
20世纪后期，随着计量经济学的兴起，公理化方法在建立和检验经济模型中的地位更加突出，成为经济学中不可或缺的一部分。
三、公理化方法在经济学中的应用公理化方法在经济学中的应用非常广泛，它在宏观经济学和微观经济学中都有着重要的作用。
在宏观经济学中，公理化方法被用来构建宏观经济模型，比如凯恩斯总量经济模型和新古典增长模型等，通过建立一系列的基本假设和公理来推导宏观经济原理和政策结论。
在微观经济学中，公理化方法被用来推导出一系列供求关系、消费者选择和生产者行为等微观经济学原理。
通过公理化方法的应用，经济学家可以更加系统和逻辑地分析和解释经济现象。
公理化方法在经济学中的应用也有一些争议，一些经济学家指出，过于简化的公理化方法可能忽略了经济现实中的复杂性和不确定性，影响了经济学的解释和预测能力。
如何在保持简化的基础上更好地反映经济现实，是公理化方法在经济学中应用中需要思考和完善的问题。
在未来的发展中，公理化方法可以结合其他方法论工具，比如计量经济学、实证分析等，来更好地反映经济现实的复杂性和多样性。
公理化方法也可以结合信息技术的发展，通过大数据分析和机器学习等手段来深入挖掘经济学规律和发现新的经济现象，从而进一步完善经济学理论体系。
论经济学中的公理化方法
论经济学中的公理化方法经济学中的公理化方法是一种形式化的推理方法，它采用数学模型的形式来描述和分析经济现象。
公理化方法的基本思想是，从一些既成事实（公理）出发，利用逻辑推理来推导出其他经济结论。
这种方法在经济学中被广泛用于建立理论模型，为实证经济学提供基础。
经济学中的公理化方法以形式化的公理作为理论分析的基础，这些公理是已经被广泛接受的经济学假设，如需求曲线的凸性和供给曲线的正斜率等。
这些公理是独立于具体经济现象的普遍规律，在建立经济模型时，需要从这些公理出发进行逻辑推导。
通过这种方式，可以避免对具体经济现象的直接观察和实证分析，而是从已知的经济规律出发，得出理论上的推论。
这种方法可以大大提高理论研究的准确性和一般性。
公理化方法的核心是逻辑推理，即从一系列已知的经济事实出发，通过严格的逻辑推导，得出新的经济理论结果。
这种方法的优势在于可以建立严格的经济模型和理论框架，分析和解释复杂的经济现象。
通过建立模型和推导理论公式，可以对经济行为进行精确的定量分析和模拟实验。
这种方法还可以帮助经济学家预测特定政策或市场变化对经济行为的影响，为政策制定提供决策参考。
公理化方法的局限性在于其所基于的公理都是抽象的、理论性的假设，与现实经济现象存在偏差，因此在实证分析中可能存在一定的局限性。
此外，数学模型的建立需要大量的数据和计算能力支持，往往需要精心设计和优化，才能使其适用于特定的经济现象。
最后，公理化方法还需要依赖一定的数学和逻辑知识，其复杂性对不具备相关技能和知识的研究者来说可能会产生一定的门槛和困难。
总的来说，经济学中的公理化方法是一种重要的理论分析工具，它可以帮助经济学家在理论上理解和解释经济现象，并预测经济变化的影响。
公理化方法的优势在于建立科学的经济模型和理论框架，可以进行精确的定量分析和模拟实验。
同时需要注意的是，公理化方法的局限性在于其公理是抽象的、理论性的假设，而与具体经济现象存在偏差。
因此需要结合实证研究来综合分析和评估经济问题，才能做出科学的决策。
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现代公理法的意义与作用
公理化方法是加工、整理知识，建立科学理论的工 具，公理系统的形成是数学分支发展的新起点。 公理化方法有助于发现新的数学成果，可以探索各 个数学分支的逻辑结构，发现新问题，促进和推动 新理论的创立和发展。 公理化方法是建立某些抽象学科的基础。 公理化方法对各门自然科学的表述具有积极的借鉴 作用。 公理化方法对于学生理解和掌握数学知识、数学方 法及培养学生逻辑思维能力具有重要作用。
进一步的工作
集合论悖论的出现，又一次引起了数学基础的危机。 希尔伯特的元数学（证明论）：（1）证明古典数学 的每一个分支都可以公理化；（2）证明每一个这样 的系统都是完备的、相容的；（3）证明每一个这样 的系统所应用的模型都是同构的；（4）寻找这样一 种方法，借助于它，可以在有限步骤内判断任一命 题的可证明性。 元数学理论的研究使公理化方法进一步精确化，把 公理化方法发展到一个新的阶段。形式化公理法不 仅推动了数学基础的研究，而且为计算机的广泛应 用开辟了广泛的前景。
公理化方法的思想源流
历史上第一个给出公理系统的学者是亚里士多德，他 在其《工具书》中，总结了古代积累起来的逻辑知识， 并以数学及其它学科为例，把完全三段论作为公理， 由此推出了别的所有三段论。 第一个在“知其然”的同时提出“知其所以然”的学 者是古希腊哲学家和数学家泰勒斯，他第一个证明了 下面定理(1)一个圆被它的一个直径所平分；（2）三 角形内角和等于两直角之和；（3）等腰三角形的两底 角相等；（4）半圆上的圆周角是直角；（5）对顶角 相等；（6）全等三角形的ASA定理。所以泰勒斯被称 为论证之父。
自然数
在N上定义加法：f：N×N→N (n,m) →n+m 满足：（1）n+1 = n ( n m ) m （2）n+ = 在N上定义乘法：f：N×N→N (n,m) →n·m 满足：（1）n·1=n （2）n· m =n·m+n
整数
设D={（m，n）∣m，n∈N}， 在该集合上定义关系：（m，n）∽（p，q）当且仅当 m+q=n+p 上述关系是等价关系,它将集合D划分成若干等价类，把 每一等价类叫做一个整数,一切整数所组成的集合叫做 整数集，记为Z。 在集合Z上定义加法：（m，n）+（p，q）=（m+p，n+q） 在集合Z上定义乘法：（m，n）（p，q）=（mp+nq， mq+np）
公理化方法的完善阶段----非欧几何
非欧几何的诞生是公理化方法完善的标志。
罗氏几何模型
黎蔓几何模型
公理化方法的形式化阶段----几何基础
希尔伯特的<几何基础 >把公理化方法本身推向 了形式化阶段。； <几何基础 >中 基本元素：点、直线、平面 基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系 基本公理：结合公理（8条）、顺序公理（4 条）、合同公理（5条）、连续公理（2条） 、 平行公理（1条）
公理化方法的产生阶段----几何原本
《几何原本》共13卷，467个命题。其中有5个公设，5 个公理。 公设：1.从一点到任一点作直线可能； 2.有限直线可 以延长；3.以任一点为中心和任一距离为半径作一圆； 4.所有直角彼此相等；5.若一直线与两直线相交，且 若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线延长后 相交于该侧的一点。 公理：1.与一件东西相等的一些东西，它们彼此也是 相等的；2.等量加等量，总量仍相等；3.等量减等量， 余量仍相等；4.彼此重合的东西是相等的；5.整体大 于部分。
公理化方法的概念
从尽可能少的、不加定义的基本概念和一组不加证明的 初始命题（基本公理）出发，应用严格的逻辑推理，使 某一数学分支成为演绎系统的方法，称为公理化方法。 应用公理化方法建立演绎体系的关键是引进基本概念， 设置一组公理，用它们定义新的概念，推导新的命题， 所有这些基本概念、公理、定义、定理则组成了公理化 方法的主要内容。 公理体系需要满足三个条件：独立性、相容性和完备性。
公理化方法举例
数概念及其理论的公理化整理，自然数建立在皮 亚诺公理之上，整数集建立在自然数之上，有理 数建立在整数集之上，实数集建立在有理数集之 上，复数集建立在实数集之上。
自然数
皮亚诺公理：集合N如果满足下列一组公理，那么N叫做 自然数集，N的元素叫做自然数。 （1）1∈N； （2）对N中每一个元素n，在N中有且仅有一个确定的后 继元； （3）对N中任意元素n， n ≠1； n m （4）对N中任意两个元素n，m，如果 ， 那么n=m； （5）归纳公理：如果N的子集M满足①1∈M，②当n∈M 时， n ∈M，那么M=N。
实数
定义1:十进小数 叫做实数。 定义2:如果有理闭区间序列{ [an , bn ] }满足 （1）[an1 , bn1 ] [an , bn ] 即 an an1 bn1 bn (n 1,2,3) （2）对于任意的 0 ，存在自然数N，当n>N时，恒 有 bn an ,那么称这个序列为退缩有理闭区间序列， 简称为有理闭区间套。 在集合 R上定义运算：实数a对应有理闭区间套 {[an , an ]}，实数b对应有理闭区间套{[ bn , bn ]}，那 么a+b对应有理闭区间套{[ a b , a b ]}，ab对应有 理闭区间套{[ an bn , an bn ]}。有理数 Nhomakorabea
设E={（a，b）∣a，b∈Z,b≠0} 在该集合上定义关系：（a，b）∽（c，d）当且仅当 ad=bc 上述关系是等价关系，它将集合E划分成若干等价类， 把每一等价类叫做一个有理数，一切有理数所组成的集 合叫做有理数集，记为Q。 在集合Q上定义加法：（a，b）+（c，d）=（ad+bc， bd） (b≠0，d≠0) 在集合Q上定义乘法：（a，b）（c，d）=（ac，bd） (b≠0，d≠0)
a a0
n n n n
a a1 a2 2 nn 10 10 10
复数
定义1:设C={（a，b）∣a，b∈R} 定义2:设C= {a+bi∣a，b∈R, i 2 =-1} 在集合C上定义加法： （a，b）+（c，d）=（a+c，b+d) 在集合C上定义乘法： （a，b）（c，d）=（ac-bd，ad+bc）