勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法

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勾股定理(毕达哥拉斯定理) 是一个,是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。是的一个特例。约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的之一。“”是勾股定理最基本的公式。勾股数组方程a 2+b 2=c 2的正整数组(a ,b ,c )。(3,4,5)就是。也就是说,设直角三角形两直角边为a 和b ,斜边为c ,那么a 2+b 2=c 2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理

命题1如果的两条直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么

。 勾股定理的逆定理

命题2如果的三边长a ,b ,c 满足

,那么这个三角形是直角三角形。

【证法1】(赵爽证明)

以a 、b 为直角边(b>a ),以c 为斜边作四个全等的直角三角形,则每

个直角三角形的面积等于2

1ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.

∵∠HAD+∠HAD=90o,∴∠EAB+∠HAD=90o,

∴ABCD 是一个边长为c 的正方形,它的面积等于c2.

∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o.

∴EFGH 是一个边长为b―a 的正方形,它的面积等于.

∴.

【证法2】(课本的证明) 做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、b ,斜边长为c ,再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a+b ,所以面积相等.

即,整理得.

【证法3】(1876年美国总统Garfield 证明)以a 、b 为直角边,以c 为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.

∵∠AED+∠ADE=90o,∴∠AED+∠BEC=90o.∴∠DEC=180o―90o=90o.

∴ΔDEC 是一个等腰直角三角形,它的面积等于

.又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,∴AD∥BC.∴

ABCD 是一个直角梯形,它的面积等于 ∴.∴.

【趣闻】:在1876年一个周末的傍晚,在美国华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么?只见那个小男孩头也不抬地说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答到:“是5呀。”小男孩又问道:“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道:“先生,你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心

理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下

的难题。他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,并给出了简洁

的证明方法。1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对

勾股定理的这一证法。1881年,伽菲尔德就任美国第二十任总统后来,人们为

了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统。”证法。

【证法4】(欧几里得证明)做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B 三点在一条直线上,连结BF、CD.过C作CL⊥DE,交AB于点M,交DE于点L.∵AF=AC,AB=AD,∠FAB=∠GAD,∴ΔFAB≌ΔGAD,

∵ΔFAB的面积等于,ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半,

∴矩形ADLM的面积=.同理可证,矩形MLEB的面积=.

∵正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积

∴,即.

【证法5】(利用相似三角形性质证明)

如图,在RtΔABC中,设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD⊥AB,垂足是D.在ΔADC和ΔACB中,

∵∠ADC=∠ACB=90o,∠CAD=∠BAC,∴ΔADC∽ΔACB.

∴AD∶AC=AC∶AB,即.

同理可证,ΔCDB∽ΔACB,

从而有

.∴,即

【证法6】(邹元治证明)

以a、b为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B 三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上.

∵RtΔHAE≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF.

∵∠AEH+∠AHE=90o,∴∠AEH+∠BEF=90o.

∴∠HEF=180o―90o=90o.

∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.

∵RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠HGD=∠EHA.

∵∠HGD+∠GHD=90o,∴∠EHA+∠GHD=90o.

又∵∠GHE=90o,∴∠DHA=90o+90o=180o.

∴ABCD是一个边长为a+b的正方形,它的面积等于.

∴.∴.

【证法7】(利用切割线定理证明)

在RtΔABC中,设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c.

如图,以B为圆心a为半径作圆,

交AB及AB的延长线分别于D、E,则BD=BE=BC=a.

因为∠BCA=90o,点C在⊙B上,

所以AC是⊙B的切线.由切割线定理,得

===,

即,∴.

【证法8】(作直角三角形的内切圆证明)

在RtΔABC中,设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c.作RtΔABC的内切圆⊙O,切点分别为D、E、F(如图),设⊙O的半径为r.

∵AE=AF,BF=BD,CD=CE,

==r+r=2r,即,∴.

∴,

即,

∵,

∴,又∵

====,

∴,

∴,

∴,

∴.

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