22.2.2 一元二次方程的解法-公式法(1)
22.2.2公式法
一元二次方程
22.2降次—— 解一元二次方程
22.2.2公式法
案例作者：浙江省温州市第二十中学 董连武 课件制作者：河北省藁城市增村中学 王志敏
1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？ （1）把二次项系数化为1； （2）移项，方程的一边为二次项和一次 项，另一边为常数项； （3）方程两边同时加上一次项系数一半 的平方； （4）用直接开平方法求出方程的根.
1.必做题：
教科书第37页练习第1题（2）（4）（6）； 第2 题. 教科书第42页习题22.2第4、5题. 2.选做题： 教科书第43页习题22.2第14题.
2 2
(2)当b 4ac 0时，
2
方程有两个相等的实数 根，
b x1 x2 . 2a
2 b 4ac 2 (3)当b 4ac＜0时， ＜0. 2 4a
因此方程无实数根 .
一般地，式子 b 4ac叫做方程
2
ax2 bx c 0(a 0)根的判别式， 通常用希腊字母 Δ表示，即Δ b 4ac.
2
2.利用求根公式解一元二次方程的方 法叫做公式法.
例2.解下列方程.
(1) x 4 x 7 0; 解：a 1, b 4, c 7
2
Δ b 4ac (4) 4 1 (7) 44 ＞0 (4) 44 x 2 1 x1 2 11, x2 2 11.
1.推导求根公式
b c 解：方程两边都除以 a, 得x x 0. a a b c 2 移项 , 得x x . a a b b 2 c b 2 2 配方 , 得x x ( ) ( ) . a 2a a 2a b 2 b 2 4ac 即： (x ) . 2 2a 4a
22.2.2 降次--解一元二次方程(公式法)
东辛店镇中学人教版初中数学九年级教学案
年级： 九年级 学科： 数学 命题人： 王金涛 审核人： 叶书生
东 辛 店 中 学 验 标 题
（满分： 50+20 时间： 10 分钟 成绩： ）
必做题：（共5题，每题10分）
1、方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式是 ，求根公式是 。
2、方程()()1422-=-+x x x 化为一般形式得 ，其中，a= ，b= ，c= ，=-ac b 42 ，用求根公式求得方程的两根=1x ，=2x 。
3、方程 ()()
22312+-=+x x x x 化简整理后，写出 ()002≠=++a c bx ax 的形式，其中a = ，b = ，c = 。
4、用公式法解下列方程：
（1）1382-=x x
（2）()()43213-+=-x x x
选做题：（共2题，每题10分）
1、（2012·德州）若关于x 的方程()0222
=+++a a ax 有实数解，那么实数a 的取值范围是 。
2、用长为100cm 的金属丝制成一个矩形框子，框子的面积不能是（ ）
A 2325cm
B 2500cm
C 2625cm
D 2
800cm。
一元二次方程的解法
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
1
1
x 6 x 7 ( x 7)(x 1) ①竖分二次项系数与常数项
2
7
②交叉相乘，和相加为一次项系数
1
③检验确定，横写因式
1 7 6
试一试：
3x 4 x - 15 ( x 3)(3x 5)
方法叫做配方法.
拓展1
例、用配方法解下列方程：
(1)
(2)
x 6x 7 0
2
2 x 3x 1 0
2
请归纳配方法解一元 二次方程的步骤
1、若二次项系数不是1，把二次项系数化为1(方程两 边都除以二次项系数)； 2、把常数项移到方程右边； 3、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方， 使左边成为完全平方； 4、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方 法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无解。
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1o方程右边不为零的化为 零（化成一般式） 。 2o将方程左边分解成两个一次因式的乘 积。 3o至少 有一个一次因式为零，得到两 个一元一次方程。 一元一次方程的解就是原方程的 4o两个 解。
解题步骤演示
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为 方程右边化为零 x2+2x－8 =0 (x－2)(x+4)=0 左边分解成两个一次因式 的乘积 x－2=0或x+4=0 至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程 两个一元一次方程的解就是原方程的 ∴ x1=2 ,x2=-4 解
• 补充： • 平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)
1、方程x2- 4=0，这个方程可以化成x2 = 4，所以方程的根 x1=2，x2= - 2
22.2.2公式法
1 x 4 x 7 0; 2 2 2 x 2 2 x 1 0; 2 3 5 x 3x x 1; 2 4 x 17 8 x
2
随堂练习
请同学们马上完成课本12页第1题.（限时10分钟） 请同学们核对答案：
32 32 , x2 1 x1 2, x2 3 2 x1 2 2 3 15 3 15 3 , x2 3 x1 4 x1 0, x2 3 3 2 2 14 2 14 , x2 5 x1 3, x2 3 6 x1 2 2
2 b 4ac （2） b2－4ac=0，此时 =0，由得，方程有两个相等的实数根 2 4a
x1 x 2
b ; 2a
2 b 2 4ac b x ﹤0，而x取任何实 （3）b2－4ac=0，此时 4a 2 ﹤0，由可知 2a
b 数都不能使 x ﹤0，因此方程无实数根 2a
当堂测试
1
1、下列方程中，有两个不等实数根的是（ 2 B． A．
D）
x 3x 8
2
C．
7 x 14 x 7 0
9 m 2
D．
x 5x 10 x2 7 x 5x 3
2
2、当m满足
时，关于x的方程
x2－4x+m－
1 2
= 0有两个
不相等的实数根．
3、如果关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数 1 k 且k 0 根，那么k的取值范围是 . 4
2
ax bx c 0 a 0
2
有两个相等的实数根； 无实数根； 我们可以不解 方程判断出根 的情况！
22.2.2降次--解一元二次方程公式法(一)
b b2 4ac x 2a 2a
x2
-b-
即 因为a≠0,所以4 a >0
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
4ac b (2) b 4ac 0, 这时 0 4a b b 4ac ＝0 即 x
2
2a
2a
此时，方程有两个相等的实数根 b x1 x2 2a
即 因为a≠0,所以4 a >0
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
b 而x取任何实数都不可能使 ( x ) 2a
因此方程无实数根
4ac b (3) b 4ac 0, 这时 0 4a
例2 用公式法解下列方程
（1） （2） （3 ） （4 ）
x - 4x - 7 0
2
2x - 2 2x 1 0
2
5x - 3x x 1
2
x 17 8x
2
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
2、求出 b 4ac 的值，
2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为 互为相反数？
2
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解
b b 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
2
x2 4、写出方程的解： x1、
随堂 练习 用公式法解下列方程：
解一元二次方程(公式法)课件
,
x2
b
b2 4ac ; 2a
（2）当 b2 4ac 0 时，一元二次方程
ax2 bx c 0（a 0）有两个相等的实数根．
b
x1
x2
; 2a
（3）当 b2 4ac 0 时，一元二次方程
ax2 bx c 0（a 0）无实数根．
2．求根公式
ax2 bx c 0(a 0) ax2 bx c 0(a 0)
（x
b ）2 2a
b2
4ac 4a2
方程右边的值有哪些情况呢？ 从而方程的解的个数及解的情况又 如何呢？说说你的想法。
因为a≠0,4a2＞0,式子b2－4ac的值有以下三种情况：
（1）当 b2 4ac 0 时，一元二次方程 ax2 bx c 0（a 0） 有两个不相等的实数根．
x1 b
x b b2 4ac 2a
3．知识归纳
方程 ax2 bx c 0(a 0)
x b b2 4ac 2a
x1
x2
b ; 2a
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值.
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无实数根. 3、代入求根公式 : x b b2 4ac ；
1.探究新知
问题：我们知道，任意一个一元 二次方程都可以转化为一般形式
ax2 bx c 0(a 0)
你能用配方法得出它的解吗？试试看！
解： 移项，得 ax2 bxc
二次项系数化为1，得
x2 b x c
a
a
配方，得
x2
b a
x
b
2
2a
c a
b
2
22.2.2一元二次方程解法公式法1
心动
2
不如行动
公式法是这样生产的
ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
你能用配方法解方程
5.开方:根据平方根意义,方程两 b b 4ac 边开平方; x . 2a 2a 6.求解:解一元一次方程; 2 b b 4ac 2 x . b 4ac 0 . 7.定解:写出原方程的解.
2
公式法
1.变形:化已知方 程为一般形式;
例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0
2.确定系数:用 a,b,c写出各项系 数; 3.计算: b2-4ac 的值; 4.代入:把有关数 值代入公式计算; 5.定根:写出原方 程的根.
6 x1 ; x2 2. 5
b b 2 4ac x 2a 4 256 4 16 . 25 10 28 5
老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
书P42归纳
学习是件很愉快的事
解 : a 5, b 4, c 12
b 2 4ac 4 4 5 (12) 256 0.
用公式法解一元二次方程的
小结
一般步骤：
由配方法解一般的一元二 1、把方程化成一般形式, 次方程 ax2+bx+c=0 并写出a，b，c的值。 (a≠0) 若 b2-4ac≥0 2、求出b2-4ac的值。 得 3、代入求根公式 :
求根公式 : X=
X=
(a≠0, b2-4ac≥0) 4、写出方程的解： x1=?, x2=?
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
课件：22.2.2一元二次方程解法 配方法 (共12张PPT)
配方法
知识回顾：
一元二次方程的解法
上节课我们主要学习了哪两种解一元二次 方程的方法?我们应该如何选择合适的解法? (1) 直接开平方法 当左边是一个完全平方形式，而右边 是一个非负常数时，用直接开平方法非常 简单; (2) 因式分解法
当右边为零，而左边可以分解因式时， 可以用因式分解法.
(2) 4x2 -12x-1 = 0
解: 移项,得 两边除以4，得x2
2
4x2 -12x = 1
1 - 3x = ，配方，得 4
2 2
x2 –2 · x· 2 + 22 = -1+ 22
即:
(x -2)2 =3 x1=2+
3 3 1 3 x 2x 2 2 4 2 3 2 10 (x - ) 即: 2 4
演练
用配方法解下列方程:
(1) 3x2 -6x -1 = 0 解:
1 x 2x 3
2
(2) 2x2–4 = 5x 解:
2
2x2 5x 4 5 25 25 x x 2 2 16 16 5 57 x 4 16 x 5 57 4 4
2
1 2 x 2x 1 1 3 x 12 4 3 x 1 x1 2 3 3
(4)
4x2 -6x
+( )= 4(x -
9 4
4 3 2 4) =(2x
-
3 )2 2
2．用配方法解下列方程：
(1) x2 + 8x –2 = 0 (2) x2 -5x -6 = 0
一元二次方程的解法
例. 用配方法解方程: x2 + px + q = 0 ( p 2 – 4q ≥ 0 ) 解: 移项，得 x2 + px = -q 方程左边配方，得 即
22.2解一元二次方程公式法教案
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0（a≠0）的方程。它在数学和物理学等多个领域有广泛的应用，是解决实际问题的有力工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示一元二次方程在实际中的应用，以及如何运用公式法帮助我们解决问题。
4.增强学生的数据分析观念，通过对判别式Δ的分析，培养学生对数学问题进行深入探讨的能力。
5.激发学生的数学探究精神，鼓励他们通过一元二次方程的学习，探索数学问题的内在规律，培养创新意识。
本节课将紧密围绕核心素养目标，注重培养学生的综合运用能力和数学思维能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解一元二次方程的标准形式及其相关概念，特别是系数a、b、c的作用和意义。
-提供多道练习题，让学生在教师的指导下逐步完成，特别关注符号的准确使用。
（4）对于解的情况的分类讨论，教师可以通过以下方式帮助学生理解：
-通过图形展示，当Δ > 0时，抛物线与x轴有两个交点；当Δ = 0时，抛物线与x轴有一个交点；当Δ < 0时，抛物线与x轴无交点。
-引导学生思考，为什么在实际情境中，无实数根可能意味着某件事不可行或不存在。
-掌握一元二次方程的求根公式，并能够熟练运用公式进行计算。
-理解判别式Δ的计算方法及其与方程根的关系，能够根据Δ的值判断根的情况。
-能够将实际问题抽象为一元二次方程，并运用公式法解决。
举例解释：在讲解重点内容时，教师可以通过以下例题进行强调：
（1）方程2x² - 5x + 3 = 0中，指出a、b、c的值及其对应的物理意义。
（2）给定方程的系数，如a = 1, b = -3, c = 2，要求学生直接写出求根公式并计算。
22.2.2公式法-解一元二次方程
b 2a
.
(3)当 b 4 ac＜ 0 时 ， 方 程 无 实 数 根
当 b 4 a c≥ 0 时 ， 方 程 方 程 方 程 ax + b x + c 0 （ a ≠ 0）
2 2
的实数根可写为x
b
2
b 4ac
2
的形式，
2a 这 个 式 子 叫 做 方 程 ax + b x + c 0 （ a ≠ 0） 的 求 根 公 式 。
练 习 4 ： 若 方 程 2 x -8 x + m = 0 有 解 ， 则 m 的 取 值 范 围 是 （ ）
练 习 5： 设 m 是 实 数 ， 求 证 ： 方 程 ( x - 1 ) ( x - 2 ) = m 有两个不相等的实数根。
2
体验中考
【解析】
奋斗就是生活，人生只有前进. ——巴金
式 子 b 4 a c叫 做 ax + b x + c= 0 （ a ≠ 0 ） 跟 的 判 别 式 ，
2 2
通 常 用 希 腊 字 母 表 示 它 ， 即 b 4 a c.
2
例 题 1:用 公 式 法 求 方 程 2x +7 x=4 的 解 解 ： 原 方 程 可 化 为 2 x + 7 x -4 = 0 , a= 2 ,b = 7 ,c= -4 = b 4 a c 7 4 x 2 -4 = 8 1＞ 0
2
（ 3） 3 x -2 3 x + 1 = 0
2
(4 )4 x x + 1 0
2
例 题 2： 不 解 方 程 ， 判 断 下 列 方 程 的 根 的 情 况 。 (1) x (5 x 2 1) 2 0 (2) x 9 6 x
22.2.2公式法解一元二次方程(一)
x
2
b a
x
c a
2
c a
配方
b a
x(
b 2a
)
2
(
b 2a
)
2
∴(x
b 2a
)
2
b 4 ac 4a
2
第一种情况：b 4ac 0
2
(x
b 2a
)
2
b 4 ac
2
4a
2
∵ a 0
2
,∴ 4 a
2
有以下三种情况:
(1) b 4 ac 0
4a
∴
(x
b 2a
) 0
2
此时方程无实根
梳理
一般地，式子 b 4 ac 叫作一元二次方
2
程 ax bx c 0 ( a 0 ) 根的判别式，通常
2
用希腊字母 表示它，即 b 2 4 ac .
梳理
(x
b 2a
)
2
b 4 ac
2
4a
2
（1）当 0 时，方程 ax （2）当 0 时，方程 ax
复习回顾
1、什么是配方法解一元二次方程？ 通过配成完全平方形式来解一元二次方程 的方法,叫做配方法. 2、用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的一般步骤是什么？ ①化二次项系数为1；②移项； ③配方；④开平方；⑤求解；⑥定解.
练习
用配方法解下列方程：
(1) x 8 x 7 0
2
4a
2
2
( 2 ) b 4 ac 0
2
则
b 4 ac 4a
一元二次方程的解法--公式法文档
22.2.2 一元二次方程的解法------公式法巩固·同步练习1．方程5422=-x x 中，=-ac b 42 .2．方程14)52)(3(-=-+x x 的一般形式是 ， =-ac b 42 .3．一元二次方程032=+x x 的解是（ ）A ．3-=xB ．3,021==x x C ．3,021-==x x D ．3=x 4．一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）Ａ．有两个相等的实数根Ｂ．有两个不相等的实数根Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根5．（2008鄂州市）下列方程中，有两个不等实数根的是（ ）A ．238x x =-B ．2510x x +=-C ．271470x x -+=D ．2753x x x -=-+6．若关于x 的一元二次方程220x x m -+=没有实数根，则实数m 的取值是（ ）A. 1m <B. 1m >-C.1m >D.1m <- 拓展·探究创新7．（2008聊城）已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ）A ．2-B ．2C ．3-D ．3 8.在下列方程中，有实数根的是（ ）（A ）2310x x ++= （B 1=- （C ）2230x x ++= （D ）111x x x =-- 9．方程08)2)((2222=----n m n m 中，22n m -的值为（ ）A ．4 B.-2 C. 4或-2 D.-4或210．用公式法解下列方程：（1）（2008连云港市）2410x x +-=．（2）y y 21)2(2+=+（3）1)2)(53(=--x x11．用公式法解关于x 的方程：02222=+--a b ax x12.为k 何值时,关于x 的二次三项式5102++-k x x 为一个完全平方式?13. 用配方法解关于x 的方程02=++q px x14．（2008湘潭市）阅读材料：如果1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++= 的两根，那么有1212,b c x x x x a a +=-=. 这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例12,x x 是方程2630x x +-=的两根，求2212x x +的值.解法可以这样：126,x x +=-123,x x =-则222212112()2x x x x x x +=+-=2(6)2(3)42--⨯-=. 请你根据以上解法解答下题： 已知12,x x 是方程2420x x -+=的两根，求：（1）1211x x +的值；（2）212()x x -的值.实战·中考链接14．（2008威海市）关于x 的一元二次方程()220x mx m -+-=的根的情况是A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定15．（2008长春市）阅读材料：设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下关系12b x x a +=-，x 1.2x =a c 根据该材料填空： 已知1x ，2x 是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为____ __ 16．（2008太原市）2620x x --=．答案1. 562.0132=++x x 133.C4.B5.D6.C7.B8.A9.C 10.(1)52--=x ,522+-=x(2)无解 (3)61311,6131121-=+=x x 11.b a x b a x -=+=21, 12.20=k13.当042≥-q p 时,242q p p x -±-= 当042<-q p 时,原方程无解.14.(1) 2 (2) 8 15.B 16. 10 17.73,7321-=+=x x。
一元二次方程解法——配方法(1)教学设计
22.2.2一元二次方程的解法——配方法（1）教学设计一、内容与内容分析内容：华东师大版九年级数学上册“22.2.2一元二次方程的解法-配方法”。
解析：一元二次方程的解法是本章的重点内容之一，“配方法”是学生接触到的第三种一元二次方程的解法。
配方法是一元二次方程解法中的通法，它是以直接开方法为基础的一次深入探究，是一个由特殊到一般的拓展过程，又为后继学习公式法、二次函数的配方等知识奠定了基础，具有承上启下的作用。
考虑到我班学生实际和配方法的重要性，我安排了两个课时：第一课时，配方的推导及初步运用；第二课时，用配方法解方程。
今天我设计的是第一课时的内容，通过几何拼图，引导学生加深对配方的理解，培养学生“数形结合”的建模思想。
二、目标与目标解析教学目标：知识与技能：理解配方法，能用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
数学思考与问题解决：经历探究配方的过程，体验知识的发生与发展过程，感受利用数形结合、转化、归纳等数学思想方法解决数学问题的策略，培养学生观察、归纳和概括能力。
情感态度：在探究配方过程中融入数学史，感受数学文化，提高学习数学的兴趣。
解析：通过启发式教学，引导学生自主探究、合作交流，经历观察、猜想、验证、归纳的过程，让学生在数学活动的过程中体验学习的快乐，感悟数学文化。
进一步培养学生的推理能力和创造性思维能力，渗透建模、化归、数形结合等数学思想；鼓励学生探究解决问题方法的多样化，培养学生的应用意识、创新意识及解决问题的能力。
三、教学问题诊断分析前面学生已经系统的学习了完全平方式、直接开平方法等知识，同时也具备了一定的自主探究、合作学习能力。
但是他们在解决以下问题时还是会遇到困难：如何配方？为什么这样配方？其原因是学生未真正理解配方的基本方法。
所以在教学中尽可能多地让学生动手操作，参与配方的探究过程，归纳得出配方的基本方法。
基于此，本节课的重点是：探究配方法及如何配方而本节课的难点是：配方法的探究为了更有效突出重点，突破难点，在教学中我以学生活动为主线，直观演示、设疑诱导为辅。
公式法解一元二次方程说课课件
b 4ac 0 当 2
时，原方程有实数解，解是多少可以将a、
b、c的值带入公式 式”。
x b b2 4ac 而得到，这个公式就称为“求根公 2a
利用它解一元二次方程叫做公式法。
探索与归纳
公式法是这样生产的
解 : x2 b x c 0. aa
x2 b x c ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ aa
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边;
6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
教学过程 例题讲解
例 用公式法解下列方程
（1） 2x2 x 1 0
（2） x 2
2x 1 0 2
（3） 4x2 3X 2 0
设计意图：规范解题格式；体验用公式法解一元二次方程 的步骤。
教学过程 总结步骤
1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。
x2 b x b 2 b 2 c .
3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方;
a 2a 2a a
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
.
当b2 4ac 0时,
4.变形:方程左分解因式, 右边合并同类;
5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方;
x b b2 4ac . b2 4ac 0 .
（2） 4x x 9 0
（3） x2 2 5 10 0
设计意图（1） 熟悉公式法，强化解题格式， （2） 及 时发现错误及时解决。
教学过程 课时小结
本节课你学会了哪些知识？
（1） 学生作知识总结：本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方 程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并按照公式法的步骤解一元二 次方程．
用公式法解一元二次方程(1)
数学教研组◆九年级数学导学案◆我们的约定：我的课堂我作主！执笔：陈招22.2用公式法解一元二次方程（1）1.使学生熟练应用求根公式解一元二次方程。
2．使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。
难点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；重点：对文字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误。
一、课前准备1．用配方解一元二次方程的步骤是什么？2．用配方法解下例方程：（1）x2-4x=5；（2）2x2-7x+3=0；3．如何用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）？二、新课导学1．推导公式用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).因为a≠0，方程两边都除以a，得__________________________________. 移项，得 x2＋abx＝________，配方，得 x2＋abx＋______＝______－ac,即 (____________) 2＝___________因为 a≠0，所以4 a2＞0，当b2－4 ac≥0时，直接开平方，得_________________________ 所以 x＝_______________________由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式：aacbbx242-±-=（b2－4 ac≥0）利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做___________2．一元二次方程要的情况（1）当b2－4ac＞0时，方程有______个______的实数根；（填相等或不相等）（2）当b2－4ac＝0时，方程有______个______的实数根x1＝x2＝______（3）当b2－4ac＜0时，方程______实数根.三、例题精析◆例题用公式法解一元二次方程（1）0232=++xx（2）22x-4x-1＝0.。
22.2_一元二次方程的解法(直接开平方法配方法公式法因式分解)--
9.x 12x 27 0;
2
8.x1 0; x2 1. 9.x1 3, x2 9.
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。
2.移项整理 得 x2+px=-q 3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系 数 p的一半的平方。 x2+px+( )2 = -q+( ) 2= )2 -q
1 2
例2：用配方法解下列方程
x 6 x 16 0
2
x 8x 1 0
2
二次项系数为1
2 x 1 3x
2 2
二次项系数不为1
3x 6 x 4 0 可以先将系数化为1
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 系数化为1：将二次项系数化为1； 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方 ; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
用公式法解一元二次方程的一般
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
步骤：
1、把方程化成一般形式。 并写出a，
b，c的值。
例1.用公式法解方程2x2+5x3=0
①
2、求出b2-4ac的值。
解: a=2, b=5,
∴ 3)=49 ∴x =
= =
c= -3,
②
3、代入求根公式 : X=
b2-4ac=52-4×2×(③
对于方程（2） χ2－1=0 ，你可以怎样解它？
还有其它的解法吗？
22.2一元二次方程的解法(公式法)
22．2一元二次方程的解法（公式法）教学目标：1、 理解一元二次方程求根公式的推导过程。
2、 会用公式法解一元二次方程。
学情分析：本节是在学生已经掌握了配方法解一元二次方程的基础上,从问题入手,推导求根公式,并能用公式法解简单系数的一元二次方程。
教学重难点：重点：本节教学的重点是用公式法解一元二次方程。
难点：一元二次方程的求根公式的推导过程比较复杂，涉及多方面的知识和能力，是本节教学的难点。
教学过程： 一、 复习引入请你用配方法解下列一元二次方程： 08922=+-x x学生先独立完成，由一名学生板演，师生共同评价。
师：对于任意的一个一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）是不是有一种万能的方法，都能求出一元二次方程的解呢？下面我们一起研究02=++c bx ax 的特点。
引出课题：用公式求一元二次方程的解 二、 授新课 1、 探究活动怎样用配方法解用一般形式表示的一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）。
请完成下面的填空：1）化1:把二次项系数化为1： 2）移项:把常数项移到方程的右边：3）配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方： 4）变形:方程左分解因式,右边合并同类：5）开方:根据平方根意义,方程两边开平方： 6）求解:解一元一次方程： 7）定解:写出原方程的解。
想一想：为什么0,042≠≥-a ac b ？如果042<-ac b 一元二次方程有没有实数根？（学生思考后由一名优生回答） 2、给出求根公式一般地,对于一元二次方程 02=++c bx ax （0≠a ）：板书：1）上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。
2）用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法(solving by formular). 教师强调：用公式法解一元二次方程的前提是：1）必需是一般形式的一元二次方程：02=++c bx ax （0≠a ）） .0:2=++ac x a b x 解.2ac x a b x -=+.22222ac a b a b x a b x -⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++.442222a acb a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,042时当≥-ac b .2422aac b a b x -±=+().04.2422≥--±-=∴ac b aac b b x 它的根是时当,042≥-ac b ().04.2422≥--±-=ac b aac b b x 042≥-ac b3.概括一元二次方程根的情况：当042 ac b -时，方程有两个不相等的实数根； 当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根； 当042 ac b -时，方程无实数根。
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(a≠0)。 。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为 ， ， 满足什么条件时， 互为相反数？ 互为相反数 练习 用公式法解下列方程： 用公式法解下列方程：
（1）2x2-9x+8=0; ） （2）9x2+6x+1=0; ） （3）16x2+8x=3. ）
思考题
1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 、 取什么值时 取什么值时， 有两个相等的实数解
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax + bx + c = 0
2
解: 把方程两边都除以 a 移项，得 移项， 配方， 配方，得
b c x + x+ =0 a a b c 2 x + x= a a
2
b b c b x + x+ = + a a 2a 2a
2
2
2
即
b b2 4ac x + 2a = 4a 2
即：
x1 = x2 = 3
解方程： 例 3 解方程：( x 2 ) ( 1 3 x ) = 6 解：去括号，化简为一般式： 去括号，化简为一般式：
b ± b 2 4ac x= 2a
3x 7x + 8 = 0
2
这里
2
a = 3、 b= - 7、 c= 8
2
Q b 4ac =（ 7 4 × 3 × 8 ） = 49 96 = - 47 < 0
即：
x1 = 9 x 2 = 2
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、 、 的值。 、把方程化成一般形式，
2、求出 b 4ac 的值， 、 的值，
2
特别注意:当 特别注意 当 b 2 4ac < 0 时无解
b ± b 2 4ac 3、代入求根公式 : ∴ x = 、 2a
2
一元二次方程的 求根公式
b ± b 2 4ac x= 2a
解方程： 例 1 解方程： x 7 x 18 = 0
2
解： 这里 a = 1 b = 7 c = 18
Q b 4ac =（ 7 4 × 1 × 18 = 121 ） （ ）
2 2
7 ± 121 7 ± 11 ∴ x= = 2×1 2
2
更多资源 更多资源
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax + bx + c = 0
2
当 b2 + 4ac ≥ 0 时 Q 4a > 0 ∴
2
b b 4ac x+ =± 2a 4a 2
2
特别提醒
即
b b 4ac x+ = ± 2a 2a
2
b ± b 4ac ∴ x= 2a
x 4、写出方程的解： x1、 2 、写出方程的解：
b ± b 2 4ac x= 2a
解方程： 例 2 解方程： x + 3 = 2 3 x
2
解： 化简为一般式：x 2 2 3 x + 3 = 0 化简为一般式：
3、 这里 a = 1、 b= - 2 3、 c= 3
Q b 2 4ac =（ 2 3 2 4 × 1 × 3 = 0 ） （ ） -2 3 ± 0 2 3 ∴ x= = = 3 2×1 2