江苏省盐城中学2014-2015学年高二12月阶段性检测数学(理)试题

江苏省盐城中学2014-2015学年高二12月阶段性检测数学（理）试题
一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分） 1.已知i z 21-=，则z 的虚部是 . 2.已知)1(,1
1
->++=
x x x y ，则y 的最小值是 3.已知)2)(1(i i z +-=，则=z
4.已知双曲线C )0,(122
22>=-b a b
y a x 的焦距是10，点P （3,4）在C 的渐近线上，则双曲
线C 的标准方程是
5.在直角坐标系中，不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040
表示平面区域面积是4，则常数a 的值_______．
6.函数)1()(-=x e x f x
的图象在点()()1,1f 处的切线方程是 .
7.已知C z ∈,12=-i z ，则1-z 的最大值是 8.数列}{n a 的前n 项和为n S *)(N n ∈，且,2
1
1=a n n a n S 2=，利用归纳推理，猜想}{n a 的通项公式为
9.已知x a x x x f ln 2
1
2)(2++-=在),2[+∞上是增函数，则a 的取值范围是 . 10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4S ，84S S -，128S S -成等差数列； 类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积．
为n T ，则4T ， ，8
12
T T 成等比数列． 11.函数mx x x x f ++=23
3
)(在)0,2(-∈x 上有极值，则m 的取值范围是 12.
43:22
2b y x O =+,若C 上存在点P ,使得过
点P 引圆O 的两条切线,切点分别为,A B ,满足60APB ∠=︒,则椭圆C 的离心率取值范围是
13.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点21F F 、在x 轴上，21,A A 为左右顶点，焦距为2，左准线l 与x 轴的交点为M ，2MA ∶11||A F
=
6∶1．若点P 在直线l 上运动，且离心率2
1
<e ，则12tan F PF ∠的最大值为 ．
二、解答题（本大题共6小题，计90分.）
15. （本题满分14分）已知cx bx ax x f ++=2
3
)(在区间[0,1]上是减函数,在区间
),1(),0,(+∞-∞上是增函数,又.2
3
)21(-='f
(Ⅰ)求)(x f 的解析式;
(Ⅱ)若m x f ≤)(在区间∈x ]2,0[恒成立,求m 的取值范围.
16. （本题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，已知点A(0，1)，B 点在直线1-=y 上，
M 点满足//，⋅=⋅，M 点的轨迹为曲线C .
(1)求曲线C 的方程；
(2)斜率为1的直线l 过原点O ，求l 被曲线C 截得的弦长.
17. (本题满分14分) 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且方程02
=--n n a x a x 有一根为
)(1*N n S n ∈-.
(1)求21,S S ;
(2)猜想数列}{n S 的通项公式，并给出证明．
18. （本题满分16分）在淘宝网上，某店铺专卖盐城某种特产．由以往的经验表明，不考
虑其他因素，该特产每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克，51≤<x ）满足：当31≤<x 时，1
)3(2
-+
-=x b
x a y ，为常数）（b a ,；当53≤<x 时，70490y x =-+．已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产600千克；当销售价
格为3元/千克时，每日可售出150千克．
（1）求b a ,的值，并确定y 关于x 的函数解析式；
（2）若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该特产所获利润)(x f 最大（x 精确到0.1元/千克）．
19. （本题满分16分）如图，已知椭圆:C )0(122
22>>=+b a b x a y 的离心率为21，以椭圆
C 的上顶点Q 为圆心作圆)0()2(:222>=-+r r y x Q ，设圆Q 与椭圆C 交于点M 与点
N 。

（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）求⋅的最小值，并求此时圆Q 的方程； （3）设点P 是椭圆C 上异于,M N 的任意一点，
且直线,MP NP 分别与y 轴交于点,R S ，O 为坐标原点，求证：OS OR ⋅为定值。

20. （本题满分16分）设函数x ae x x f +=
4
112
1)(（其中a 是非零常数，e 是自然对数的底），记1()()n n f x f x -'=（2≥n ，*
N n ∈）
（1）求使满足对任意实数x ，都有)()(1x f x f n n -=的最小整数n 的值（2≥n ，*N n ∈）；
（2）设函数)()()()(54x f x f x f x g n n +⋯++=，若对5≥∀n ，*
N n ∈，)(x g y n =都
存在极值点n t x =，求证：点))(,(n n n n t g t A （5≥n ，*
N n ∈）在一定直线上，并求出该
直线方程；
（注：若函数)(x f y =在0x x =处取得极值，则称0x 为函数)(x f y =的极值点.） （3）是否存在正整数()4k k ≥和实数0x ，使0)()(010==-x f x f k k 且对于*
N n ∈∀，
)(x f n 至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的k 和0x ，若不存在，说明理由．
高二数学12月随堂测试答案
16. 【解】 (1)设M (x ，y )，由已知得B (x ，－1)且A (0， 1)，
∴MA →＝(－x ， 1－y )，MB →＝(0，－1－y )，AB →＝(x ，－2)， 由MA →·AB →＝MB →·BA →，得(MA →＋MB →)·AB →
＝0， ∴(－x ，－2y )·(x ，－2)＝0， 所以曲线C 的方程为y ＝1
4x 2
(2) 24 EF
17.【解】 (1)当n ＝1时，方程x 2
－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，
∴(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得1S =a 1＝1
2， 当n ＝2时，方程x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1，
又S 2－1＝a 1＋a 2－1＝a 2－1
2，
∴(a 2－12)2－a 2(a 2－12)－a 2＝0，解得a 2＝16.3
2
2=S
18. 解：（1）由题意：x=2时y=600，∴a+b=600,
又∵x=3时y=150，∴b=300
∴y 关于x 的函数解析式为：⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<-+
-=5
3,4907031,1300)3(3002
x x x x x y
（2）由题意：⎩⎨⎧≤<-+-≤<+--=-=53),1)(49070(3
1,300)1()3(300)1()(2x x x x x x x y x f ，
当31≤<x ，)8157(300300)1()3(300)(232-+-=+--=x x x x x x f ，
)3)(53()15143(300)(2--=+-='x x x x x f ∴35=
x 时有最大值9
5900。

当53≤<x 时，)1)(49070()(-+-=x x x f
∴4=x 时有最大值630
∵630<
95900
∴当35=x 时)(x f 有最大值9
5900
即当销售价格为1．7元的值，使店铺所获利润最大。

（3）()0(6)x n f x ae n ==≥无解，5k ⇒≤
①当5k =时，00
4500202
()()0120
x x ae f x f x x a e x ae ⎧+===⇒⇒=⇒=-⎨+=⎩ 而当2
a e
=-
时，165()0()222x x x f x ae f x ae e -=<⇒=+=-单调减，且5(1)0f = 4()f x ⇒在(,1)-∞上增，(1,)+∞上减，44(1)0()0f f x =⇒≤恒成立.
3()f x ⇒单调减，而211
33322()2,(1)10,(0)20x f x x e f f e e
--=--=-
>=-< ()3(1,0),0t f t ∃∈-=在(,)t -∞上32()0()f t f x <⇒在(,)t -∞上增，(,)t +∞上减，
3121
()23
t f t t e -=-，又
213223211
()20,()(1)033
t f t t e f t t t t t -=-=∴=-=-<
1()f t ∴在R 上单调递减
综上所述，∴存在5k =，2
a e
=-
满足条件
.。