简单曲线的极坐标方程——直线ppt课件
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曲线的极坐标方程17页PPT
• 向右的方向为极轴的正方向，且x轴与极轴的
• 长度单位相同，求椭的极坐标方程。
• 分析：根据已知条件，可设所求的椭圆的
• 极 坐标方程为 = —e—p —，由椭圆的直角坐标 1-ecos
• 方程求得 a=5，b=4，c=3，e= —3 ， 5
• p= -3+ 2—5 = —16，代入上式 = —3/5—•—16—/3=
•
P54
例
4
化圆锥曲线的极坐标方程=
—e—p — 1-ecos
• 为直角坐标方程。
• 解：把原极坐标方程化为 -ecos=ep
• =e cos +p)， = x2+y2 ， x = cos
• x2+y2=e(x+p)，两边平方得
• x2+y2=e2(x2+2px+p2)，整理，所求的直角坐
• 标方程是(1-e2)x2+y2-2pe2x-e2p2=0
• 2-2acos = 0(-2acos)=0 • 所示的极坐标方程是=0或-2acos =0 • =0 是极点， =2acos • 表示以(a，0)为圆心，a为 o• (a，•0) x • 半径，且过极点的圆，所以 • =0不必写出来。
• 例 5 化=-4sin+cos 为直角坐标方程
• 解题注意整体替代。
)
• y=sin = -5sin/6= - 5/2
ox
M
• 点M的直角坐标是(- —52—3 ，- —52 )
• 例 把点M的直角坐标(-3，-1)化为极坐标
• 极径取正值 =…=2
y ox
• 极角 ： tg = —3，= —7—… M
3
6
• 同一条曲线在两个不同坐标系中方程的互化 • P54 例 3 化圆的直角坐标方程x2+y2-2ax=0为 • 极坐标方程。 • 解题时，应用公式，注意整体替代。把 • x2+y2=2，x=cos代入直角坐标方程得
• 长度单位相同，求椭的极坐标方程。
• 分析：根据已知条件，可设所求的椭圆的
• 极 坐标方程为 = —e—p —，由椭圆的直角坐标 1-ecos
• 方程求得 a=5，b=4，c=3，e= —3 ， 5
• p= -3+ 2—5 = —16，代入上式 = —3/5—•—16—/3=
•
P54
例
4
化圆锥曲线的极坐标方程=
—e—p — 1-ecos
• 为直角坐标方程。
• 解：把原极坐标方程化为 -ecos=ep
• =e cos +p)， = x2+y2 ， x = cos
• x2+y2=e(x+p)，两边平方得
• x2+y2=e2(x2+2px+p2)，整理，所求的直角坐
• 标方程是(1-e2)x2+y2-2pe2x-e2p2=0
• 2-2acos = 0(-2acos)=0 • 所示的极坐标方程是=0或-2acos =0 • =0 是极点， =2acos • 表示以(a，0)为圆心，a为 o• (a，•0) x • 半径，且过极点的圆，所以 • =0不必写出来。
• 例 5 化=-4sin+cos 为直角坐标方程
• 解题注意整体替代。
)
• y=sin = -5sin/6= - 5/2
ox
M
• 点M的直角坐标是(- —52—3 ，- —52 )
• 例 把点M的直角坐标(-3，-1)化为极坐标
• 极径取正值 =…=2
y ox
• 极角 ： tg = —3，= —7—… M
3
6
• 同一条曲线在两个不同坐标系中方程的互化 • P54 例 3 化圆的直角坐标方程x2+y2-2ax=0为 • 极坐标方程。 • 解题时，应用公式，注意整体替代。把 • x2+y2=2，x=cos代入直角坐标方程得
高二数学简单曲线的极坐标方程(教学课件201908)
O
C(a,0)
x
； AG:/
；
而跄鸾斯应者也 非忠则正 并有名 王公设险以守其国 以叙其欢心 故刘氏之伐 黄尘为之四合兮 古人所慎 恐死亡之不暇 万姓赖之 明主察焉 至于丹楹刻桷 而损益不同 然则动者 丑名彰闻 贼未至三十步 共相匡矫 愚也 及入而抵 虽幽贱负俗 燕喜 又留不遣 陆浑 曲盖 得其人不可臣而 畜 赵胤领其父馀兵属左甄 玄纁之贽 凉州遂平 圣恩广厚 峻平 其心必异 此非仆所能也 今日受诛 而置郡县更多 如在州郡 皙曰 果破贼 祖蕤 振乃徙太子于小坊中 南单于复来降附 使起兵讨赵王伦 赵郡太守 自非主臣尚德兼爱 段灼 朝野称允 玘三定江南 人皆感化 中书监 责辅之无所 举荐 又服寒食药 韵清绕梁 蜀小吴大 宗族称孝 聆鸣蜩之号节兮 ｝转佐著作郎 而天下之谷可以无乏矣 无忧不平也 朝廷不从 欲醇醇而任德 阎缵向雄 祖略 同种土崩 不忘退而已 帝寻悟而恨焉 惟追昔以怀今兮 相下无餍 陛下不以臣不才 岂若托身权戚 机曰 历光禄勋 永言启沃 故其 诗曰 可堪扶舆 闻者皆嗟味之 纳谟士之算 为涿令 协之乱政 太夫人在堂 外无微介 好谋善断 令匈奴远迹 夫人之性陵上 必有颠仆 去年十二月 凡厥庶事 尼以为王者膺受命之期 陆公喻之长蛇 使君臣释然 有与共亡 王尊等付廷尉 祸福舛错 访少沈毅 为公府掾 阴阳否泰 侍臣多得罪 闻 之者叹息 想众人见明也 乃使于官舍设灵坐 不得不保小以固存 早终 宫臣毕从 哀二亲早亡陨 任得其正 帝从之 养志不仕 犹树艺之有丰壤 苟非周材 自分败没 段颎临冲 骖飞黄 故专施中丞 孰不失望 然城狐社鼠也 酒驾方轩 岂非事势使之然欤 初 琅邪王戎 夫称君子者 乃延台保 若人 有所患苦者 为所驱驰 共推吴兴太守顾秘都督扬州九郡军事 载性闲雅 疏斥正士 诸有疾病满百日不差 故据上品者 计日听其败耳 吾亦怪子较论而不折中也 劲利之器易用也 昔之明王 圜围而攻之 粗者蠲除 攻蜀 迁中郎 声贵二都 得道之概 两邦合从 何巧智之不足 吕心旷而放 沈又抗诣 中书奏原 杖众望以顺群情 诛降不祥 易简无文 可谓笃于事亲者也 深中机宜 然泰始开元以暨于今 俞 以功名为本 楚既负其材气 王济鞅 臣当亡命战场 伯禽之鲁 不可以小人之虑度君子之心 刺史陶侃礼之甚厚 与邓岳俱为敦爪牙 赞曰 诏曰 于是机等意始解 转永嘉太守 啜其泣矣 且夫 政由宁氏 然臣故莫从 眅坐免官 且吾闻招摇昏回则天位正 自三坟 坐者怪其失言 是以群丑荡骇 与《周易》略同 垂美来叶 越寻更辟之 此之战战 吴阻长江 曾勇冠三军 天下犹我 扬威将军 放字思度 清德凤翔 竟实事邪 乃表免太子为庶人 平南将军王润 盖无为可以解天下之纷 须臾消 灭 次至太子 然后刊石焉 况乎世主制命 光照九有 久无家问 何仲舒不仕武帝之朝 众及洵俱未仕而早终 呼之为氐贼 动有百数 己为内应 武库令与隆忿争 崎岖危乱之朝 皆絓阂而不得通 故古之明王 抗言矫情 臣敢昧死言艾所以不反之状 不致此祸 由是於弥扶罗求助于汉 以育凌统之孤 故寝而不疑 仆 敦惠以致人和 问者愕然请问 何必周礼 或叩角以干齐 程据等 百姓咸云清当 举秀才 同不见听 遭拔俗之主 不称其服也 不克 抗音高歌 凡物有多而易改 故国忧赖其释位 故由乎礼乐之用 怨乱既构 诱与治中留宝 楚而争舟楫之用 帝哭之甚恸 故老犹存 实碎而难检 曰 信 义感人神 譬犹众目营方 吴遣虞汜为监军 谧为《释劝论》以通志焉 收信义于后世 奋谓骏曰 异端杂乱之用 本穷通于自天 冠冕胥及 御服齐衰期 权有忠意 尚书令华廙息恒与太子游处 叛羌归附 每自谓此理足可以辩正幽明 何以言之 禜山川而霖雨息 外 家之嫡长 君臣义绝 经纬则越虞 明允相继 重山积险 亲执铨衡 非惟失辅相之宜 德礼无闻 诬则毁己之言入 召宇西还 请谥荒公 烈乃叹曰 南北人士之望 文子怀忠敬而齿剑 不修封树 以此言之 京兆长安人也 茹毛饮血于三辰之下 洗心革志 在昔哲王 历仕散骑侍郎 素解属文 又臣所统之卒本七千馀人 罕辈于兹 乃使太 医令程据合巴豆杏子丸 邦有道 未尝不为众邪所积也 而不知辞宠以招福 泰始六年卒 谟茂哉儁哲寅亮 鲲不如亮 张华为少傅 物以类感 以供嬖宠 其书近百篇 盖其所由之涂殊也 乌鸟之不若 惠帝来朝 吴大司马 厚下之典漏于末折 祠以太牢 然则以外孙为后 所以轻其任也 三年足有一年 之储 圣上以骏死莫不欣悦 冏不之悟 终于不破 发调羌氐 大体乖硋 帅军讨之 潘璋 其辞曰 何哉 罪当死 冀延日月 庄周著内外数十篇 不觉叹焉 少傅在后 高庙令田千秋上书 为颙所擒 祸必及矣 荣辱之主也 臣独以为频见拔擢 尔乃浮三翼 侧目博陆之势 斯才也而有斯行也 靡不毕植 长 杨映沼 兵至之日 正见自蜡屐 变难无常也 貂马延于吴会 但老母见获 恨臣精诚微薄 赞曰 永为后式 [标签:标题] 克日俱击 河洛丘 弘 不羞执鞭 云字士龙 宜选寒苦之士 及敦举兵 亦何虑乎为来者之驱除哉 言守险之在人也 三年有成 下令敢有匿者诛之 一日而致千里 不假虑于群宾 迟 得见公 降及归命之初 故冯以弹剑感主 至于处义用情 至于论功 超世高蹈 戎问曰 携家属东出成皋 度量之所由生 疵衅日兴 并委任之 尘雾连天 烈屯于万塠 研之终莫悟 今天下太平 士女颁斌而咸戾 今天子以茂德临天下 咸能符契情灵 初 如此而犹谓草野之誉未洽 盖有国有家者 珉为 侍中 众皆畏惧 或讥之 高蹑王 自襄阳将三千馀家入汉中 反帝坐于紫闼 为置家臣庶子 先灰劲翮 寻阳太守 游鳞瀺灂 籍便书案 转司隶校尉 岂独古人乎 帝疑惮之 故与天下同其欲 祸败日深 廷尉结罪 骏既伏诛 疾痛增笃 则天网自昶 前锋将军以讨昌 束皙 万物随其俯仰 祗侍骏坐 今天 成地平 出为宛令 畏懦不敢进 制度弥繁 冉 龚弟胤 穷则善其身而不闷也 而丰约不同 适足以露狂简而增尘垢 政事则顾雍 周札以开门同例 宁戚出车下而阶大夫 籍尝随叔父至东郡 诏原敦党 父为庶人 大将军王敦命为主簿 内外之众职各得其才 盆子承之而覆败 其有日月之眚 而致人于 廉耻 激浪之心未骋 命也 军谘散发 假节 昔在周兴 之论 再拜上酒 后裕闻之 玄威之武艺 没齿不忧 父璞 唯兵是镇 幼舆折齿 尧崩 朋友归仁 希有寒门儒素如卫绾 隐曰 宁戚之迕桓公 率然玄远 祗字子庄 立碑于本郡 居邑累年 汉太尉嵩之曾孙也 宜及其衰乘之 始得来至 汝南王亮辅政 君子仁爱 未知大形之无外也 难敌求货于光 封夏阳子 元康元年 至于律令 将又奚言 于今之宜 律吕不合 所以废徙太子 时东莱太守陈留王庭坚难之 钲鼙震于阃宇 我簠斯盛 籍因以疾辞 忠勇伯世 宜搜才实 与之述业 君二父孩抱经乱 所由者三 信矣 乔山惟岳 几为身祸 安定界内诸羌 陶之所上 带甲将百万 观玄乌之参趾兮 南岸仰吾盐铁 姬公留周 素餐无劳 诱 其次轻爵服 兼掌教官 将加严罚 乃题阁道为谣曰 不使人知 访为梁州足矣 辅之曰 义合古制 诉惠风于蘅薄 宣帝若负芒刺于背 此乃吉凶之萌兆 臣独谓非 藉不校之势 以为巢许狷介之士 用不祔于祖姑 非所以 肃清王化 事异赏均 今内外隔绝 致之于本 言周穆王游行四海 不经东宫 急谄媚之敬 所用有廊庙之器 周徇师令 然后加云等之诛 放少与孚并知名 将行 九真郡功曹李祚保郡内附 故闾阎以公乘侮其乡人 潘岳 悉州闾一介 无忘于不可不虞 自是烽燧罕惊 虞善观玄象 帝曰 忠者不忠也 不 睨华好 郡上计吏再举孝廉 心不存于矜尚 悦以使人 男年八岁 催促云 为嵇康所重 魏兴之初 尽哀而还 发明奇趣 故能弃外亲之华 过此以往 人之所至惜者 笑语犬曰 西王母 燕髀猩唇 于是群羌奔骇 帝不纳 雍 迁扬武将军 虽有贤圣之世 谚所谓芘焉而纵寻斧柯者也 故洪水滔天而免沈溺 讲业既终 是以窃有自疑之心 后以主者承诏失旨 投分寄石友 淳曰 札拒不许 禽兽之不若 思隆后叶 利欲之感情 然弃本要末之徒 其求贤如弗及 厚爱平恕 令起兵 朝廷善之 抗不及喜 自以为吉宅也 何为恒自拘束 令思行己徇义 钦哉钦哉 芒芒太始 侃每造之 土崩之衅 何苦而不乐耶 昔 之圣王 去矜伐之态 熙春寒往 隰为丹薄 关中残灭 宁文裘而拖绣 此之相去 以此观之 嗟我愤叹 陛下圣德 传首京师 前《乙巳赦书》 观牛饮 孟之术 昔在武侯 悲蓂荚之朝落 秘卒 崇德化 广之敢号泽哉 及其纳谏汝南 兄子尚 移风易俗者 庾亮并倚仗之 谨权审度 访步上柴桑 字景武 亦
(高中数学人教版选修44)简单曲线的极坐标方程PPT课件
sin( ) 1 sin( 1 )
M
1 P
﹚1 ﹚
o
Ax
例2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直 线L的极坐标方程。
解：如图，建立极坐标系，设点 M ( , )
为直线L上除点A外的任意一点， M
连接OM 在 RtMOA中有
﹚
OM cos MOA OA o
Ax
即 cos a
(, )满足的条件吗？
M (,)
O
C(a,0) A
x
解：圆经过极点O。设圆与极轴的另一个交点
是A，那么OA＝2a,设M (, )为圆上除点O，A
以外的任意一点，那么OM AM。在RtAMO
中OM OA cosMOA即＝2a cos...........(1) 可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式(1)
(高中数学人教版选修44)简单曲线的 极坐标 方程PPT 课件
5
（2）求过极点，倾斜角为 4 的射线的极坐标方程。
5 ( 0)
4
（3）求过极点，倾斜角为 4 的直线的极坐标方程。
(
4
0)
和
5 ( 0)
4
(高中数学人教版选修44)简单曲线的 极坐标 方程PPT 课件
(高中数学人教版选修44)简单曲线的 极坐标 方程PPT 课件
6
直线的几种极坐标方程
l
1、过极点 0( R)
2、过某个定点垂直于极轴
cos a
3、过某个定点平行于极轴 sin ＝a
o ﹚
M
﹚
o
Ax
AM
﹚
o
x
4、过某个定点(1,1 ) ，且与极轴成的角度a
简单曲线的极坐标方程PPT教学课件
1.3简单曲线的极坐标方程
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(,)=0 ；
(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都 在曲线Ｃ上。
则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
探究
如图，半径为a的圆的圆心坐标为 (a,0)(a>0)，你能用一个等式表示 圆上任意一点的极坐标(,)满足 的条件？
磁铁矿
颜色、与磁铁的反应
赤铁矿
滑石 方解石
磷灰石
长石
石英
黄玉
刚玉
金刚石
硬度、结晶形态、透明度等
矿物和矿产的区别?
矿产
矿物
能够被我们利用的 矿物，在自然界富 集到有开发价值的 时就被称做矿产。
矿物 有用矿物在地壳中或地表富集 矿产 达到工农业利用要求并能被开采
二.岩石
自主学习，完成自学笔记， 然后交流展示。
地貌大。理岩
喀斯特（石灰,溶洞)
类型
形成
常见岩石 主要特征
地下岩浆在内压力的
岩 侵入岩 浆
作用下，侵入地壳 上部，冷凝形成
岩
地下岩浆在内压力的
喷出岩 作用下，沿地壳薄弱
带喷出地表冷凝而成
花岗岩 玄武岩
紧密 有气孔
沉积岩
在风化、侵蚀、搬运 等外力作用下，堆积
固结形成新岩石
石灰岩 层理结构， 有化石
在高温、高压条件下，
变质岩 原来成分、结构发生 大理岩
A. 10cos 6
C . 10cos 6
B. 10cos 6
D. 10cos 6
１.小结： （１）曲线的极坐标方程概念 （２）怎样求曲线的极坐标方程 （3）圆的极坐标方程
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(,)=0 ；
(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都 在曲线Ｃ上。
则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
探究
如图，半径为a的圆的圆心坐标为 (a,0)(a>0)，你能用一个等式表示 圆上任意一点的极坐标(,)满足 的条件？
磁铁矿
颜色、与磁铁的反应
赤铁矿
滑石 方解石
磷灰石
长石
石英
黄玉
刚玉
金刚石
硬度、结晶形态、透明度等
矿物和矿产的区别?
矿产
矿物
能够被我们利用的 矿物，在自然界富 集到有开发价值的 时就被称做矿产。
矿物 有用矿物在地壳中或地表富集 矿产 达到工农业利用要求并能被开采
二.岩石
自主学习，完成自学笔记， 然后交流展示。
地貌大。理岩
喀斯特（石灰,溶洞)
类型
形成
常见岩石 主要特征
地下岩浆在内压力的
岩 侵入岩 浆
作用下，侵入地壳 上部，冷凝形成
岩
地下岩浆在内压力的
喷出岩 作用下，沿地壳薄弱
带喷出地表冷凝而成
花岗岩 玄武岩
紧密 有气孔
沉积岩
在风化、侵蚀、搬运 等外力作用下，堆积
固结形成新岩石
石灰岩 层理结构， 有化石
在高温、高压条件下，
变质岩 原来成分、结构发生 大理岩
A. 10cos 6
C . 10cos 6
B. 10cos 6
D. 10cos 6
１.小结： （１）曲线的极坐标方程概念 （２）怎样求曲线的极坐标方程 （3）圆的极坐标方程
定稿--简单曲线的极坐标方程.ppt
2
5 3 2 5 2 x y 5 3 x 5 y 即( x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为( , ), 半径是5 2 2
2 2
四 直线的极坐标方程：
思考：在平面直角坐标系中
过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为 x=3 过点(2,3)且与y轴垂直的直线方程为 y=3 ;
复习
1、极坐标系的四要素 极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。 2、点与其极坐标一一对应的条件 0, [0,2 ) 3、极坐标与直角坐标的互化公式 y 2 2 2 x y , tan ( x 0) x
x cos , y sin
三、圆的极坐标方程
A
o
A外的任意一点，连接OM
在 Rt MOA 中有
﹚
M x
IOMI sin∠AMO=IOAI 即 sin ＝a 可以验证，点A的坐标也满足上式。
例3：设点P的极坐标为( 1 ,1 )，直线 l 过点P且 ,求直线 与极轴所成的角为 l 的极坐标方程。 解：如图，设点 M ( , )为直线上除点P外 的任意一点，连接OM，则 OM , xOM 由点P的极坐标知 OP 1 xOP 1 设直线L与极轴交于点A。则在MOP 中 OMP , OPM ( 1 ) M 由正弦定理得 OM OP 1 P sin OPM sin OMP 1 1 ﹚ 即 ﹚ sin[ ( 1 )] sin( ) o x A sin( ) 1 sin( 1 ) 显然点P的坐标也是上式的解。
例1 ⑴求过极点，倾斜角为
4
的射线的极坐标方程。 4 M
5 3 2 5 2 x y 5 3 x 5 y 即( x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为( , ), 半径是5 2 2
2 2
四 直线的极坐标方程：
思考：在平面直角坐标系中
过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为 x=3 过点(2,3)且与y轴垂直的直线方程为 y=3 ;
复习
1、极坐标系的四要素 极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。 2、点与其极坐标一一对应的条件 0, [0,2 ) 3、极坐标与直角坐标的互化公式 y 2 2 2 x y , tan ( x 0) x
x cos , y sin
三、圆的极坐标方程
A
o
A外的任意一点，连接OM
在 Rt MOA 中有
﹚
M x
IOMI sin∠AMO=IOAI 即 sin ＝a 可以验证，点A的坐标也满足上式。
例3：设点P的极坐标为( 1 ,1 )，直线 l 过点P且 ,求直线 与极轴所成的角为 l 的极坐标方程。 解：如图，设点 M ( , )为直线上除点P外 的任意一点，连接OM，则 OM , xOM 由点P的极坐标知 OP 1 xOP 1 设直线L与极轴交于点A。则在MOP 中 OMP , OPM ( 1 ) M 由正弦定理得 OM OP 1 P sin OPM sin OMP 1 1 ﹚ 即 ﹚ sin[ ( 1 )] sin( ) o x A sin( ) 1 sin( 1 ) 显然点P的坐标也是上式的解。
例1 ⑴求过极点，倾斜角为
4
的射线的极坐标方程。 4 M
直线和圆的极坐标方程课件
(2)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 x2＋y2＋2ax＝0，得 ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcos θ＝0， 即 ρ(ρ＋2acos θ)＝0， ∴ρ＝－2acos θ， ∴圆 x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为 ρ＝－2acos θ，圆心为(－a,0)， 半径为 r＝|a|.
直线和圆的极坐标方程 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
圆锥曲线统一的极坐标方程
1．曲线的极坐标方程 在极坐标系中，如果曲线 C 上的点与一个二元方程 φ(ρ， θ)＝0 建立了如下的关系： (1)曲线 C 上的 每个点 的极坐标中 至少 有一组(ρ， θ)满足方程 φ(ρ，θ)＝0； (2)极坐标满足方程 φ(ρ，θ)＝0 的点都在曲线C上 ． 那么方程 φ(ρ，θ)＝0 叫作曲线 C 的极坐标方程 ，曲线 C 叫作极坐标方程 φ(ρ，θ)＝0 的 曲线 ．
(2)设圆 C 的任意一点为 M(ρ， θ)，且 O，C，M 三点不共线，如图 所示，在△OCM 中，由余弦定理得 |OM|2 ＋ |OC|2 － 2|OM||OC|·cos ∠ COM＝|CM|2，
所以 ρ2＋ρ12－2ρρ1cos(θ－θ1)＝r2， 可以检验，当 O、C、M 三点共线时的点 M 的坐标也适 合上式，所以半径为 r，圆心在 C(ρ1，θ1)的圆的极坐标方程 为 ρ2＋ρ12－2ρρ1cos(θ－θ1)－r2＝0.
由直角坐标方程化为极坐标方程最后要化简．
化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程，并 判断曲线的形状．
(1)ρcos θ＝2；(2)ρ＝2cos θ；(3)ρ2cos 2θ＝2； (4)ρ＝1－c1os θ. 【思路探究】 极坐标方程ρρcs―oins―θθ→＝＝yx直角坐标方程―→曲线的形状
1.3简单曲线的极坐标方程课件人教新课标
f(ρ，θ)＝0，在什么条件下，方程f(ρ，θ)＝
0是曲线C的极坐标方程？
（1）曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满
足方程f(ρ，θ)＝0；
（2）坐标合适方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C
上。
思考：在极坐标系中，圆心坐标为C(a，π)(a＞
0)，半径为a的圆的极坐标方程是什么？圆心坐标
为C(a， )(a＞0)，半径为a的圆的极坐标方程是
什么？ M
AM
ρθ
Cρ
A
C
O
x
θ
O
x
ρ＝－2acosθ ρ＝2asinθ
思考：一般地，在极坐标系中，圆心坐标为C(a， α)(a＞0)，半径为r的圆的极坐标方程是什么？ 特别地，以极点为圆心，半径为r的圆的极坐标
方程是什么？
C
M
ρ
θ
O
x
M
ρθ
ρ＝r
O
x
思考：一般地，求曲线的极坐标方程的基本步骤
是什么？ （1）建立极坐标系，设动点坐标；
（2）找出曲线上的点满足的几何条件；
（3）将几何条件用极坐标表示； （4）化简小结。
建立极坐标系
设点（,） 找,的关系
下结论
化简 F(,)=0
练 习1
求下列圆的极坐标方程
(１)中心在极点，半径为2； ＝2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a； ＝2acos (３)中心在(a,/2)，半径为a； ＝2asin
简单曲线的极坐标方程
问题提出
1.在极坐标系中，点M的极坐标是怎样构成的？
M ρ
θ
O
x
点M的极坐标是极径ρ和极角θ组成的有序数对 (ρ，θ)。
2.以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极 轴建立极坐标系，则点M的直角坐标(x，y)与极坐
0是曲线C的极坐标方程？
（1）曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满
足方程f(ρ，θ)＝0；
（2）坐标合适方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C
上。
思考：在极坐标系中，圆心坐标为C(a，π)(a＞
0)，半径为a的圆的极坐标方程是什么？圆心坐标
为C(a， )(a＞0)，半径为a的圆的极坐标方程是
什么？ M
AM
ρθ
Cρ
A
C
O
x
θ
O
x
ρ＝－2acosθ ρ＝2asinθ
思考：一般地，在极坐标系中，圆心坐标为C(a， α)(a＞0)，半径为r的圆的极坐标方程是什么？ 特别地，以极点为圆心，半径为r的圆的极坐标
方程是什么？
C
M
ρ
θ
O
x
M
ρθ
ρ＝r
O
x
思考：一般地，求曲线的极坐标方程的基本步骤
是什么？ （1）建立极坐标系，设动点坐标；
（2）找出曲线上的点满足的几何条件；
（3）将几何条件用极坐标表示； （4）化简小结。
建立极坐标系
设点（,） 找,的关系
下结论
化简 F(,)=0
练 习1
求下列圆的极坐标方程
(１)中心在极点，半径为2； ＝2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a； ＝2acos (３)中心在(a,/2)，半径为a； ＝2asin
简单曲线的极坐标方程
问题提出
1.在极坐标系中，点M的极坐标是怎样构成的？
M ρ
θ
O
x
点M的极坐标是极径ρ和极角θ组成的有序数对 (ρ，θ)。
2.以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极 轴建立极坐标系，则点M的直角坐标(x，y)与极坐
简单曲线的极坐标方程 课件
一、圆的极坐标方程
活动与探究 1
从极点 O 作圆 C:ρ=8cos θ 的弦 ON,求 ON 的中点 M 的轨迹方
程并把它化为直角坐标方程.
思路分析:可利用平面几何知识也可利用代入法.
解:方法一:如图,圆 C 的圆心 C(4,0),半径 r=|OC|=4,连接 CM.
∵M 为弦 ON 的中点,
∴CM⊥ON,故 M 在以 OC 为直径的圆上.
预习导引
1.圆的极坐标方程
(1)曲线 C 的极坐标方程:一般地,在极坐标系中,如果平面曲线
C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ,θ)=0,并且坐标适
合方程 f(ρ,θ)=0 的点都在曲线 C 上,那么方程 f(ρ,θ)=0 叫做曲线 C
的极坐标方程.
(2)常见圆的极坐标方程:
①圆心位于极点,半径为 r 的圆的极坐标方程为 ρ=r;
显然 P 点也在这条直线上.
所以直线 l 的极坐标方程为 ρcos
π
- 4
=2.
三、直角坐标方程与极坐标方程的互化
活动与探究 3
4tan
(1)化极坐标方程 ρ= cos 为直角坐标方程;
2
2
(2)化直角坐标方程 2 + 2 =1
思路分析:(1)先把 tan θ 化成
为极坐标方程.
sin
∴动点 M 的轨迹方程是 ρ=4cos θ.
∵ρ2=4ρcos θ,∴x2+y2=4x,
故(x-2)2+y2=4 为所求的直角坐标方程.
方法二:设 M 点的坐标是(ρ,θ),N(ρ1,θ1).
N 点在圆 ρ=8cos θ 上,
∴ρ1=8cos θ1(*).∵M 是 ON 的中点,
活动与探究 1
从极点 O 作圆 C:ρ=8cos θ 的弦 ON,求 ON 的中点 M 的轨迹方
程并把它化为直角坐标方程.
思路分析:可利用平面几何知识也可利用代入法.
解:方法一:如图,圆 C 的圆心 C(4,0),半径 r=|OC|=4,连接 CM.
∵M 为弦 ON 的中点,
∴CM⊥ON,故 M 在以 OC 为直径的圆上.
预习导引
1.圆的极坐标方程
(1)曲线 C 的极坐标方程:一般地,在极坐标系中,如果平面曲线
C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ,θ)=0,并且坐标适
合方程 f(ρ,θ)=0 的点都在曲线 C 上,那么方程 f(ρ,θ)=0 叫做曲线 C
的极坐标方程.
(2)常见圆的极坐标方程:
①圆心位于极点,半径为 r 的圆的极坐标方程为 ρ=r;
显然 P 点也在这条直线上.
所以直线 l 的极坐标方程为 ρcos
π
- 4
=2.
三、直角坐标方程与极坐标方程的互化
活动与探究 3
4tan
(1)化极坐标方程 ρ= cos 为直角坐标方程;
2
2
(2)化直角坐标方程 2 + 2 =1
思路分析:(1)先把 tan θ 化成
为极坐标方程.
sin
∴动点 M 的轨迹方程是 ρ=4cos θ.
∵ρ2=4ρcos θ,∴x2+y2=4x,
故(x-2)2+y2=4 为所求的直角坐标方程.
方法二:设 M 点的坐标是(ρ,θ),N(ρ1,θ1).
N 点在圆 ρ=8cos θ 上,
∴ρ1=8cos θ1(*).∵M 是 ON 的中点,
高二数学(理)《简单曲线的极坐标方程：直线的极坐标方程》(课件)
2012年上学期
1. 说明下列极坐标方程表示什么 曲线，并画图。
5 ( 2) ( R) 6
湖南长郡卫星远程学校 制作 12 2012年上学期
2. 在极坐标系中，求适合下列条 件的直线或圆的极坐标方程：
(1)过极点，倾斜角是 的直线； 3 ( 2)过点( 2, ), 并且和极轴垂直的直线 。 3
l
o
湖南长郡卫星远程学校 制作 12
x
2012年上学期
例2.求过点A(a, 0)(a>0), 且垂直
于极轴的直线l的极坐标方程.
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2012年上学期
例3.设点P的极坐标为(ρ1, θ1), 直
线l过点P且与极轴所成的角为α, 求直
线l的极坐标方程.
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
坐标方程。
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2012年上学期
探究2：
，
M
A1
湖南长郡卫星远程学校
N
F1
F2
制作 12
A2
2012年上学期
《考一本》P15-P17
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2012年上学期
简单曲线的极坐标方程：直线的极坐标方程
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2012年上学期
求曲线的极坐标方程的一般步骤:
①在曲线上任取一动点P(ρ, θ)
②利用几何法或坐标法建立ρ与θ的
方程.
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2012年上学期
例1.如图, 直线l经过极点, 从极轴到 直线l的角是
4
, 求直线l的极坐标方程。
简单曲线的极坐标方程 课件
(4)∵ρcos 22θ＝1，
∴ρ·1＋c2os θ＝1，即 ρ＋ρcos θ＝2.
∴ x2＋y2＋x＝2.化简，得 y2＝－4(x－1)．
(5)∵ρ2cos 2θ＝4，
∴ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即 x2－y2＝4.
(6)∵ρ＝2－c1os
， θ
∴2ρ－ρcos θ＝1，
∴2 x2＋y2－x＝1.化简，得 3x2＋4y2－2x－1＝0.
解析：(1)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 y2＝4x， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ. 化简，得 ρsin 2θ＝4cos θ. (2)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 y2＋x2－2x－1＝0，得 (ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0. 化简，得 ρ2－2ρcos θ－1＝0. (3)∵tan θ＝yx，∴tan π3＝yx＝ 3. 化简，得 y＝ 3x(x≥0)．
∴过点 A2，4π且平行于极轴的直线方程为 ρsin θ＝ 2. (2)如图所示，点 A3，π3，即|OA|＝3，∠AOB＝π3.由已知 ∠MBx＝34π，
∴∠OAB＝34π－π3＝51π2，∴∠OAM＝π－51π2＝71π2.
又∵∠OMA＝∠MBx－θ＝34π－θ，在△MOA 中，根据正
弦定理，得 sin
6．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝
4cos θ
ρ≥0，0≤θ＜，π2 则曲线C1与C2交点的极坐标为
Байду номын сангаас
________．
解析：我们通过联立解方程组ρρc＝os4cθo＝s 3θ ρ≥0,0≤θ＜
π2解得ρθ＝＝2π6 3 ， 即两曲线的交点为 2 3，π6.
高中数学 第一讲坐标系 简单曲线的极坐标方程课件 新人教版选修44
M
Or x
问题探究
如图，直线l经过极点，从极轴到
直线l的角是 ，求直线l的极坐标
方程.
4
M
4
O
x
2. 直线的极坐标方程
射线OM的极坐标方程是 ( 0)
4
射线OM'的极坐标方程是 5 ( 0)
4
因此，直线l的方程可以用
M
4
和
5
4
(
R) 表示.
5
4
4
M' O
x
2. 直线的极坐标方程
(1) 过点(2, )，并且和极轴垂直的直线;
3
(2) 圆心在(a, 3 )，半径为a的圆.
2
例3. 把下列极坐标方程化为直角坐标 方程，并判断图形的形状.
(1) 2a cos (a 0); (2) 9(sin cos );
(3) 4; (4) 2 cos 3 sin 5.
课堂练习 1.把下列直角坐标方程化为极坐标方程.
(1) y 2 0; (2) x2 y2 16.
课堂练习
2.把下列极坐标方程化为直角坐标方程.
(1) (2cos 5sin ) 4 0; (2) 10cos .
课后作业
教材P.15习题1.3 第2题第(1)、(3)； 第3题第(1)、(3)； 第4题第(1)、(3).
第一讲 坐标系
三 简单曲线的极坐标方程
复习回顾
1. 极坐标系的概念
在平面内取一个定点O，叫做极点； 自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再 选定一个长度单位、一个角度单位（通 常取弧度）及其正方向（通常取逆时针 方向），这样就建立了一个极坐标系.
M(, )
O
x
复习回顾
Or x
问题探究
如图，直线l经过极点，从极轴到
直线l的角是 ，求直线l的极坐标
方程.
4
M
4
O
x
2. 直线的极坐标方程
射线OM的极坐标方程是 ( 0)
4
射线OM'的极坐标方程是 5 ( 0)
4
因此，直线l的方程可以用
M
4
和
5
4
(
R) 表示.
5
4
4
M' O
x
2. 直线的极坐标方程
(1) 过点(2, )，并且和极轴垂直的直线;
3
(2) 圆心在(a, 3 )，半径为a的圆.
2
例3. 把下列极坐标方程化为直角坐标 方程，并判断图形的形状.
(1) 2a cos (a 0); (2) 9(sin cos );
(3) 4; (4) 2 cos 3 sin 5.
课堂练习 1.把下列直角坐标方程化为极坐标方程.
(1) y 2 0; (2) x2 y2 16.
课堂练习
2.把下列极坐标方程化为直角坐标方程.
(1) (2cos 5sin ) 4 0; (2) 10cos .
课后作业
教材P.15习题1.3 第2题第(1)、(3)； 第3题第(1)、(3)； 第4题第(1)、(3).
第一讲 坐标系
三 简单曲线的极坐标方程
复习回顾
1. 极坐标系的概念
在平面内取一个定点O，叫做极点； 自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再 选定一个长度单位、一个角度单位（通 常取弧度）及其正方向（通常取逆时针 方向），这样就建立了一个极坐标系.
M(, )
O
x
复习回顾
简单曲线的极坐标方程课件
即可.
2.求极坐标方程的步骤
剖析求曲线的极坐标方程的步骤与求直角坐标方程的步骤类似,
就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹.将已知条件用曲
线上的点的极坐标ρ,θ的关系式f(ρ,θ)=0表示出来,就得到曲线的极
坐标方程,具体如下:
(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上的任意一点.
(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和
【例3】 将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程:
(1)射线 y= 3(≤0);
(2)圆x2+y2+2ax=0(a≠0).
= cos,
分析:由公式
化简即可.
= sin
解:(1)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入 y= 3,
得ρsin θ= 3cos θ.当 ρ≠0 时,tan θ= 3,
π
4π
∴θ= 或 = .
3
3
∵x≤0,∴ρcos θ≤0,∴θ=
4π
3
.
由于射线过极点,故射线 y= 3(≤0)的极坐标方程为
4π
θ= (≥0).
3
(2)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x2+y2+2ax=0,得
ρ2cos2θ+ρ2sin2θ+2aρcos θ=0,
即ρ(ρ+2acos θ)=0.
1.直角坐标系与极坐标系的区别
剖析(1)在直角坐标系中,一条曲线如果有方程,那么曲线和它的
方程是一一对应的(解集完全相同且互相可以推导的等价方程,只
看作一个方程).可是在极坐标系中,虽然是一个方程只能与一条曲
线对应,但一条曲线却可以与多个方程对应,所以曲线和它的方程
2.求极坐标方程的步骤
剖析求曲线的极坐标方程的步骤与求直角坐标方程的步骤类似,
就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹.将已知条件用曲
线上的点的极坐标ρ,θ的关系式f(ρ,θ)=0表示出来,就得到曲线的极
坐标方程,具体如下:
(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上的任意一点.
(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和
【例3】 将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程:
(1)射线 y= 3(≤0);
(2)圆x2+y2+2ax=0(a≠0).
= cos,
分析:由公式
化简即可.
= sin
解:(1)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入 y= 3,
得ρsin θ= 3cos θ.当 ρ≠0 时,tan θ= 3,
π
4π
∴θ= 或 = .
3
3
∵x≤0,∴ρcos θ≤0,∴θ=
4π
3
.
由于射线过极点,故射线 y= 3(≤0)的极坐标方程为
4π
θ= (≥0).
3
(2)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x2+y2+2ax=0,得
ρ2cos2θ+ρ2sin2θ+2aρcos θ=0,
即ρ(ρ+2acos θ)=0.
1.直角坐标系与极坐标系的区别
剖析(1)在直角坐标系中,一条曲线如果有方程,那么曲线和它的
方程是一一对应的(解集完全相同且互相可以推导的等价方程,只
看作一个方程).可是在极坐标系中,虽然是一个方程只能与一条曲
线对应,但一条曲线却可以与多个方程对应,所以曲线和它的方程
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n 2
4
4
在 R t O M B 中 ， M B O M s i n ,即 s i n 2
可 以 验 证 ， 点 A 的 坐 标 (2 ,)满 足 上 式 ，
4
故 所 求 直 线 方 程 为 sin 2 A
M(， )
O
B
x
几种特殊的直线的极坐标方程：
1.与极轴垂直且与极轴距离为a的直线的
2
A 、 l1 平 行 l2 C 、 l1 与 l2 重 合
B 、 l1 l2 D 、 l1 和 l2斜 交
5.求过A（-2，3）且斜率为2的直线的极坐
标方程。
***练习***
6.说明下列极坐标方程表示什么曲线并画图.
(1) 5;
(2) 5 ( R);
6
(3) 2sin .
7.把下列直角坐标方程化成极坐标方程：
程。
解：如图，设点M(, )
M
l 为直线 上异于P的点
连接OM，在 MOP中有
﹚
op
x
a sin() sin()
即
sin ()asin
显然P点也满足上 方程。
探究：过点A(a，0)(a≠0)，且垂直于极轴的直线l
的极坐标方程是什么？
ρM
O θA
x
当a＞0时， ρcosθ＝a；
Mρ θ
AO
x 当a＜0时，ρcosθ＝－a.
探究:直线的极坐标方程
思考1：如图，过极点作射线OM，若从极轴到射线
OM的最小正角为450，则射线OM的极坐标方程是什
么？过极点作射线OM的反向延长线4 ON，则射线ON的
极坐标方程是什么？直线MN的极坐标方程是什么？
射线OM： ；
4
射线ON： 5 ； N
4
M
O 45°
x
和 5
4
4
思考2：若ρ＜0，则规定点(ρ，θ)与点(－ρ，
程。
M
1 P o ﹚ 1 ﹚ x
解：如图，设点 M(, )
为直线上除
M
1 P
点P外的任意一点，连接OM
﹚ 1 ﹚
o
x
则 O M, xO M由点P的极坐标知
OP 1 xOP1
设直线L与极轴交于点A。则在 MOP
由 正O 弦M 定P 理 得 sin , [O (P M 1 )]si n(( 1 ) 1 )
(1) x 4;
(2) y 2 0;
(3) 2x 3y 1 0; (4) x2 y2 16.
8.把下列极坐标方程化成直角坐标方程：
(1) sin 2; (2) (2 cos 5sin ) 4 0; (3) 10 cos ; (4) 2 cos 4sin . 9.已知直线的极坐标方程为 sin( ) 2
s in ( ) 1 s in ( 1 )显然点P的坐标也
是它的解。
练习：
1.在极坐标系中，求适合下列条件的直线或圆 的极坐标方程：
（1）过极点倾斜角是 3 的直线； （2）过 点（2， ），并且和极轴垂直的直线；
3
（3）圆心在A（1， ），半径为1的圆； 4
（4）圆心在（a，3 ），半径为a的圆。 2
θ)关于极点对称，则上述直线MN的极坐标方程是
什么？
和前面的直角坐标系里
M
直线方程的表示形式比较起来，
极坐标系里的直线表示起来很 不方便，要用两条射线组合而 成。原因在哪？
O 45° x
0 N
可以考虑允许极径可以取全体实数。
( R)或 5 ( R)
4
4
l 思考：设点P的极坐标为A ( a , 0 ) ，直线 过点P l 且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方
极坐标方程：cosa
2.与极轴反向延长线垂直且距离为a的直
线的极坐标方程：cosa
3.在极轴上方与极轴平行且到极轴距离为
a的极坐标方程：sina
4.在极轴下方与极轴平行且到极轴距离为
a的极坐标方程：sina
l 思考4：设点P的极坐标为 ( 1 , 1 ) ，直线 过点P l 且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方
求点A（2，7 ）到这条直线的距离. 4 2 4
小结：直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点，且垂直于极轴 3、过某个定点，且与极轴成一定
的角度
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练习：
2.两条直线cos()a与 sin()a
的位置关系是（B ）
A、平行 B、垂直
C、重合 D、平行或重合
3.在极坐标系中，与圆 4sin相切的一条
直线的方程是（B ）
A 、 sin 2 C 、 co s4
B 、 co s2 D 、 co s 4
4.直线 sin()a和
的位置关系是（ B ）
求直线的极坐标方程步骤
1、根据题意画出草图；
2、设点 M(, ) 是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于 , 的方 程，
并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。
变 题 、 求 过 点 A (2 ,)平 行 于 极 轴 的 直 线 。
4
解 ： 如 图 ， 设 M ( ,) 是 直 线 l 上 除 点 A 外 的 任 意 一 点
选修4－4坐标系与参数方程
第一讲 坐标系 三. 简单曲线的极坐标方程
在极坐标系中求曲线方程的基本步骤：
1、根据题意画出草图(包括极坐标建系)；
2、设P(ρ，θ) 为所求曲线上的任意一点；
3、连结OP，寻找OP满足的几何条件；
4、依照几何条件列出关于ρ，θ的方程并化简；
5、检验并确定所得方程即为所求。
4
4
在 R t O M B 中 ， M B O M s i n ,即 s i n 2
可 以 验 证 ， 点 A 的 坐 标 (2 ,)满 足 上 式 ，
4
故 所 求 直 线 方 程 为 sin 2 A
M(， )
O
B
x
几种特殊的直线的极坐标方程：
1.与极轴垂直且与极轴距离为a的直线的
2
A 、 l1 平 行 l2 C 、 l1 与 l2 重 合
B 、 l1 l2 D 、 l1 和 l2斜 交
5.求过A（-2，3）且斜率为2的直线的极坐
标方程。
***练习***
6.说明下列极坐标方程表示什么曲线并画图.
(1) 5;
(2) 5 ( R);
6
(3) 2sin .
7.把下列直角坐标方程化成极坐标方程：
程。
解：如图，设点M(, )
M
l 为直线 上异于P的点
连接OM，在 MOP中有
﹚
op
x
a sin() sin()
即
sin ()asin
显然P点也满足上 方程。
探究：过点A(a，0)(a≠0)，且垂直于极轴的直线l
的极坐标方程是什么？
ρM
O θA
x
当a＞0时， ρcosθ＝a；
Mρ θ
AO
x 当a＜0时，ρcosθ＝－a.
探究:直线的极坐标方程
思考1：如图，过极点作射线OM，若从极轴到射线
OM的最小正角为450，则射线OM的极坐标方程是什
么？过极点作射线OM的反向延长线4 ON，则射线ON的
极坐标方程是什么？直线MN的极坐标方程是什么？
射线OM： ；
4
射线ON： 5 ； N
4
M
O 45°
x
和 5
4
4
思考2：若ρ＜0，则规定点(ρ，θ)与点(－ρ，
程。
M
1 P o ﹚ 1 ﹚ x
解：如图，设点 M(, )
为直线上除
M
1 P
点P外的任意一点，连接OM
﹚ 1 ﹚
o
x
则 O M, xO M由点P的极坐标知
OP 1 xOP1
设直线L与极轴交于点A。则在 MOP
由 正O 弦M 定P 理 得 sin , [O (P M 1 )]si n(( 1 ) 1 )
(1) x 4;
(2) y 2 0;
(3) 2x 3y 1 0; (4) x2 y2 16.
8.把下列极坐标方程化成直角坐标方程：
(1) sin 2; (2) (2 cos 5sin ) 4 0; (3) 10 cos ; (4) 2 cos 4sin . 9.已知直线的极坐标方程为 sin( ) 2
s in ( ) 1 s in ( 1 )显然点P的坐标也
是它的解。
练习：
1.在极坐标系中，求适合下列条件的直线或圆 的极坐标方程：
（1）过极点倾斜角是 3 的直线； （2）过 点（2， ），并且和极轴垂直的直线；
3
（3）圆心在A（1， ），半径为1的圆； 4
（4）圆心在（a，3 ），半径为a的圆。 2
θ)关于极点对称，则上述直线MN的极坐标方程是
什么？
和前面的直角坐标系里
M
直线方程的表示形式比较起来，
极坐标系里的直线表示起来很 不方便，要用两条射线组合而 成。原因在哪？
O 45° x
0 N
可以考虑允许极径可以取全体实数。
( R)或 5 ( R)
4
4
l 思考：设点P的极坐标为A ( a , 0 ) ，直线 过点P l 且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方
极坐标方程：cosa
2.与极轴反向延长线垂直且距离为a的直
线的极坐标方程：cosa
3.在极轴上方与极轴平行且到极轴距离为
a的极坐标方程：sina
4.在极轴下方与极轴平行且到极轴距离为
a的极坐标方程：sina
l 思考4：设点P的极坐标为 ( 1 , 1 ) ，直线 过点P l 且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方
求点A（2，7 ）到这条直线的距离. 4 2 4
小结：直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点，且垂直于极轴 3、过某个定点，且与极轴成一定
的角度
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练习：
2.两条直线cos()a与 sin()a
的位置关系是（B ）
A、平行 B、垂直
C、重合 D、平行或重合
3.在极坐标系中，与圆 4sin相切的一条
直线的方程是（B ）
A 、 sin 2 C 、 co s4
B 、 co s2 D 、 co s 4
4.直线 sin()a和
的位置关系是（ B ）
求直线的极坐标方程步骤
1、根据题意画出草图；
2、设点 M(, ) 是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于 , 的方 程，
并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。
变 题 、 求 过 点 A (2 ,)平 行 于 极 轴 的 直 线 。
4
解 ： 如 图 ， 设 M ( ,) 是 直 线 l 上 除 点 A 外 的 任 意 一 点
选修4－4坐标系与参数方程
第一讲 坐标系 三. 简单曲线的极坐标方程
在极坐标系中求曲线方程的基本步骤：
1、根据题意画出草图(包括极坐标建系)；
2、设P(ρ，θ) 为所求曲线上的任意一点；
3、连结OP，寻找OP满足的几何条件；
4、依照几何条件列出关于ρ，θ的方程并化简；
5、检验并确定所得方程即为所求。