3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式 教案

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式

教学目的：1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式. 2、能用公式进行简单的求值.

3、培养学生的创新意识与应用意识.

教学重点：两角和与差的正弦、余弦公式及其简单应用. 教学难点：1、两角和余弦与两角差余弦之间的关系 2，两角和差正弦与相应的余弦之间的关系. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体 教学过程：

一、 复习巩固

上节课我们学习了两角差的余弦公式，可以解决类似于cos15º=cos(45º-30º)

之类问题，而cos75º=cos(45º+30º) 之类问题我们又如何解决？我们能否由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，以及其他的三角函数公式？ 二、 公式推导

借助于两角差的余弦公式cos(βα-)=cos αcos β+sin αsin β,则有： 思考途径一：把βα+转化为)(βα--

cos(βα+)=cos[)(βα--]=cos αcos(-β)+sin αsin(-β) =cos αcos β-sin αsin β. 思考途径二：把任意角β换成-β

cos(βα+)=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β. 即：

两角和的余弦公式 cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β. 注意：1两角和差余弦公式的异同之处.

2两角和、差余弦公式间的关系. 3公式中的角具有任意性.

4 cos(βα+)=cos α + cos β一定成立吗？

练习1、利用和角余弦公式求下列各三角函数的值

（1） cos75º （2） cos105º

练习2、证明公式 cos(

2

π

-α)=sin α 如何利用两角和与差的余弦公式 cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β和 cos(βα-)=cos αcos β+sin αsin β推导出两角和与差的正弦公式？

运用公式cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β及诱导公式有： sin()βα+=cos[

)(2

βαπ

+-]=cos[βαπ

--)2

(]

=cos(

απ-2

)cos β+sin(

απ-2

)sin β= sin αcos β+cos αsin β

即：两角和的正弦公式 sin()βα+= sin αcos β+cos αsin β.

在上式中用-β代换β 得：sin()βα-= sin αcos （-β）+cos αsin

（-β）

即：两角差的正弦公式 sin()βα-= sin αcos β-cos αsin β

注意：1公式的推导应启发学生自己完成，老师做归纳总结.

2 两公式间的关系、异同.

3明确角、函数名和排列顺序以及公式中每一项的符号. 4牢记公式，熟练左右互化.

练习3、利用和角正弦公式求下列各三角函数的值

(1) sin75º (2) sin105º

练习4、证明公式 sin(2

π

-α)=cos α

如何根据两角和与差的正、余弦公式推导出利用两角和与差的正切公式？

利用正切函数与正、余弦函数的关系，当cos(βα+)≠0时，将公式sin()βα+= sin αcos β+cos αsin β 与

cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β两边分别相除，有：

β

αβαβ

αβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(-+=++=

+

若cos αcos β≠0 时，上式即为:

两角和的正切公式 β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(-+=

+

用-β代换β，则有：

两角差的正切公式 βαβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=

-

练习5、利用和与差的正切公式求下列各三角函数的值

(1) tan75º (2) tan105º

注意：

1、 和角公式: S )(βα+、 C )(βα+ 、 T )(βα+

差角公式： S )(βα-、 C )(βα- 、 T )(βα-

2、公式之间的内在联系.

3、明确各三角函数的意义.

4、公式的逆向变换、多向变换.

5、理解公式推导中角的代换的实质.

6、和差公式可看成是诱导公式的推广，诱导公式可看成是和差公式的特例 如：ααααπαπαπcos sin 0cos 1sin 2sin cos 2cos )2cos(=⋅-⋅=-=+

7、形如asinx+bsinx(a 、b 不同时为0)的变化.

三、例题

33sin ,sin(),54

cos(),tan()44a π

ααππαα=--+-例：已知是第四象限的角，求的值。

,αα3

解：由sin =-是第四象限的角，得

5

4cos ,5α===sin 3

tan cos 4

ααα==-所以)sin cos cos sin 444

πππααα-=-于是有

sin(43()55=

--=

解：由公式得，

课堂练习：

1.求tan15︒和tan75︒的值：

2、化简：

答案： ()().

tan 2;tan tan 1αβα+3

2636123333331331-=-=+-=+

-

=

︒

︒+︒-︒30tan 45tan 130tan 45

tan =2+

131263

+

++==(1)tan(α+β)(1-tanαtanβ)

tan(α-β)+tanβ(2)1-tan(α-β)tanβ()()().

15tan 115tan 13;70sin 20sin 70cos 20cos 2;42sin 72cos 42cos 72sin 1︒-︒+︒︒-︒︒︒︒-︒︒();2130sin 4272sin 42sin 72cos 42cos 72sin )1(=︒=︒-︒=︒︒-︒︒()();090cos 7020cos 70sin 20sin 70cos 20cos 2=︒=︒+︒=︒︒-︒︒()().360tan 1545tan 15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 13=︒=︒+︒=︒︒-︒+︒=︒-︒+tan75︒= tan(45︒+30︒)=