空间向量基本定理《知识讲解与解题策略》
第1章1.2空间向量基本定理课件(人教版)
2
1
3
1
+ − ＝ − − ，
2
2
2
1
1
3
1
3
1
2
所 以 · ＝ 2 + 2 · 2 − − 2 ＝ 4 − 2 2 +
1
1
1
3
1
1
1
2
2
· − · − · ＝ × 2 − × 2 + × 2 − ×2 － 0
01
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
1.2 空间向量基本定理
知识点一
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
空间向量基本定理
1．分向量
两两垂直
如果i，j，k是空间三个________的向量，那么对任意一个空间向量
xi＋yj＋zk
p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________．我们称
分向量
面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边
形)．数学家已经证明世界上面体、正八面体、正十二面体、正
二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2
(如图)，P，Q分别为棱AB，AD的中点，则 · ＝
________．
1.2 空间向量基本定理
3
2
2
6
2
1
1
+ + ＝－ − + .因为＝
3
6
6
2
1
1
+ ，所以x＝－ ，＝ − ，＝ .
3
6
6
1
−
2
−
问题式预习
1.2空间向量基本定理课件(可编辑图片版)
A．－1a－1b－c B.1a＋1b－c
22
22
C.1a－1b－c 22
D．－1a＋1b－c 22
解析：(1)
B→1M
＝
B→1B＋Biblioteka B→M＝－c＋1 2
B→D
＝－c＋
1 2
(b－a)＝－
1 2
a
＋12b－c.故选D.
答案：(1)D
(2)已知四面体ABCD中，A→B＝a－2c，C→D＝5a＋6b－8c，对角 线AC，BD的中点分别为E，F，则E→F＝________.
[方法技巧] (1)若→p ＝x→a ＋y→b ＋z→c ，则 x→a ＋y→b ＋z →c 叫做向量→a ，→b ， →c 的线性表达式或线性组合，或者说→p 可以由→a ，→b ，→c 线性表示．
[方法技巧] (2)对于基底{→a ，→b ，→c }，除了应知道→a ，→b ，→c 不共面外，还 应明确以下三点： ①基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示. 选用不 同的基底，同一向量的表达式也可能不同； ②由于 0 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面， 所以若三个向量不共面，就说明它们都不是 0； ③空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间向 量构成的；一个基向量是指基底中的某个向量，二者是相关联的不 同概念．
[方法技巧] 利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向 向量用基向量表示出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为 0.
探究 3 求空间角 例 4 已知三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面 ABC 内的射影为△ABC 的中心． (1)求异面直线 AA1 与 BC 的夹角； (2)求 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值． 分析：将向量A→B，A→C，A→A1作为一组基向量，再考虑用转化思 想求解.对于1，可转化为求向量A→A1与B→C的夹角；对于2，作出 AA1 在底面内的射影 AO，则所求角即为向量O→A1与A→B1的夹角的余 角.
空间向量基本定理(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
1.2空间向量基本定理
高中数学/人教A版/选修一
c
O
p
P
b
a
Q
1.2空间向量基本定理
思维篇
素养篇
知识篇
回顾：
平面向量基本定理
如果a,b是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向
量p，有且只有一对实数x、y，使p=xa+yb .
p
b
O
a
类似地，任意一个空间向量能否用三个不共线的向量a,b,c来表示呢？
方 1.先根据数据凭直观找边界点，确定动点P的轨迹类型；
法 2.再依据类型求轨迹测度.
数学模型
等和线
等和面
Q
P
上图中A、B分别为线段OC、OD中点.
P、Q分别为直线AB、CD上的动点，则
(1) OP xOA yOB
x+y=?；
(2) OQ xOA yOB
x+y=？
(先找特殊位置，然后给出一般化的结论)
思
想
问
题
之
是六面体AC'内部(含表面)一动点,满足条件：
=x+ + ’,
2
3
则点P轨迹的体积为
解
基
底
思
想
答
+
数
形
结
合
方
法
总
结
且0≤x+y+z≤3
.
1
1
=x+y( )+z( ’),
2
1
1
以， ， ’为基底,
2
2 空间向量的基本定理(精讲)(解析版)
1.2 空间向量的基本定理1．空间向量基本定理(1)如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a ，b ，c 中，没有零向量．(3)单位正交基底：如果{e 1，e 2，e 3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为1；且向量e 1，e 2，e 3有公共的起点．【题型精讲】考点一 基底的判断【例1】（2020·全国高二课时练习）在正方体1111ABCD A B C D 中，可以作为空间向量的一组基底的是（ ）A ．AB AC AD ，，B ．11AB AA AB ，，C ．11111D A DC D D ，，D ．111AC AC CC ，，【答案】C【解析】:AB AC AD ，，共面，排除A 11AB AA AB ，，共面，排除B 111AC AC CC ，，共面，排除D 11111 D A DC D D ，，三个向量是不共面的，可以作为一个基底.故选：C【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ）A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等【答案】C【解析】A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以A 错.B 项，空间基底有无数个, 所以B 错.D 项中因为基底不唯一，所以D 错.故选C .2．（2018·全国高二课时练习）设向量,,a b c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )A ．{,,}a b b a a +-B ．{,,}a b b a b +-C ．{,,}a b b a c +-D ．{,,}a b c a b c +++ 【答案】C【解析】选项A,B 中的三个向量都是共面向量，所以不能作为空间的一个基底.选项D 中，()a b c a b c ++=++，根据空间向量共面定理得这三个向量共面，所以不能作为空间的一个基底.选项C 中,,a b b a c +-不共面,故可作为空间的一个基底.故选：C.3．（2018·开平市忠源纪念中学高二期末（理））若{a ⃑,b ⃑⃑,c ⃑}构成空间的一组基底，则( )A ．b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,a ⃑不共面B ．b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,2b ⃑⃑不共面C ．b ⃑⃑+c ⃑,a ⃑,a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑不共面D ．a ⃑+c ⃑,a ⃑−2c ⃑,c ⃑不共面 【答案】A【解析】∵2b ⃑⃑=(b ⃑⃑+c ⃑)+(b ⃑⃑−c ⃑)，∴b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,2b⃑⃑共面 ∵a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑=(b ⃑⃑+c ⃑)+a ⃑，∴b ⃑⃑+c ⃑,a ⃑,a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑共面∵a ⃑+c ⃑=(a ⃑−2c ⃑)+3c ⃑，∴a ⃑+c ⃑,a ⃑−2c ⃑,c ⃑共面故选A考点二 基底的运用【例2】（2020·佛山市荣山中学高二期中）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，O 为11A C 的中点，AB a =，AD b =，1AA c =，则AO =（ ）A ．1122-++a b cB ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122a b c -+ 【答案】B【解析】O 为11A C 的中点， ∴()11111111111122AO AC AA AO AA AA A B A D =+=+++=()112AB AD AA =++()12c a b =++ 1122a c b =++． 故选：B ．【玩转跟踪】1．（2020·甘肃靖远。
原创1：3.1.2 空间向量的基本定理
典例分析
若{a，b，Ԧc}是空间的一个基底，判断{a＋b，b＋Ԧc，Ԧc＋a}能否
作为该空间的一个基底．
是否共面
【解析】假设a＋b，b＋Ԧc，Ԧc＋a共面，
则存在实数λ，μ使得
a＋b＝λ(b＋Ԧc)＋μ(Ԧc＋a)，
∴ a＋b ＝μa＋λb＋(λ＋μ)Ԧc.
答案
②③
典例分析
空间四边形OABC中，M，N是△ABC，△OBC的重心，设＝a，
＝b， ＝Ԧc，用向量a，b，Ԧc表示向量， ， .
利用线性运算，结合图形，
【解析】如图，取BC中点P，
O
对向量进行分解
则A、M、P，O、N、P分别共线，
a
cԦ
连结AP，OP.
2
AM＝OA＋AM＝a＋ AP
＝ k ＝k( + )
跟踪训练
＝k( − + − )
＝ − + −
＝ + .
所以E、F、G、H共面．
(2) ＝ − ＝k( − )＝k ，
且由第(1)问的证明中知＝k，
于是EF∥AB，EG∥AC.且EF∩EG＝E，AB∩AC＝A，
已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量
＝k， ＝k ， ＝k ， ＝k ＝k，
求证：(1)四点E、F、G、H共面；
(2)平面EG∥平面AC.
证明：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，
所以 = + ，
= − ＝ k － k
第三章 空间向量与立体几何
§3.1.2
空间向量的基本定理
高中数学选修2-1·精品课件
引入课题
《空间向量的基本定理》课件2-优质公开课-人教B版选修2-1精品
1.可以根据空间向量的基本定理确定空间任意一点的位 置。这样，就建立了空间任意一点与惟一的有序实数组 （x、y、z）之间的关系，从而为空间向量的坐标运算 作准备，也为用向量方法解决几何问题提供了可能。 2.推论中若x+y+z=1，则必有P、A、B、C四点共面.
数学运用 例1、 已 知 向 量 a, b, c 是 空 间 的 一 个 基 底 ， a 从 , b, c
中 选 哪 个 向 量 ， 一 定以 可 与 向 量p a b, q a b
向量c，因为如果c与a b， a b共面，那么c与a， b共面，这与已知矛盾。
构 成 空 间 的 另 一 个 基？ 底
练习
1、如果a, b与任何向量都不能构成空间的一个基底， 则a与b 有什么关系？ 共线
建构数学
空间向量分解定理:
（1)e1, e2 , e3不共面
e1 , e2 , e3 --基向量 强调：对于基底 {e1, e2 , e3}
{e1 , e2 , e3}—-基底
（3）e1, e2 , e3中能否有0 ?
(2)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
B’
D’ C A’ M B E O A D
思 考
空间四边形 OABC, M , N分别是OA, BC的中点 , G是ABC的重心 ,
点E满足ME 2EN，
设 OA a, OB b, OC c, 用 a, b,c, 表示下列向量
（ 1 ） OG
（ 2）MN
（ 3） OE
练习 3、 如 图 所 示 ， 四 面 体 ABCD的 六 边 都 相 等 ， O1、O2 是BCD和ACD的 中 心 ， 以 向 量 AB ， AC ， AD 为 一 个 基底，求 O1O（ 2 用基底表示）。 解：由正三角形的性质知
人教版选修21第三章空间向量的基本定理讲义
人教版选修21第三章空间向量的基本定理讲义课堂协作研讨重点难点打破知识点一 共线向量定理〔1〕定理内容：对空间两个向量()0,≠b b a ，b a //的充要条件是存在独一的实数x ， 使xb a =。
此定理可以分解为以下两个命题；①假定()0//≠b b a ，那么存在独一实数x ，使xb a =。
②存在实数x ，使()0≠=b xb a ，那么b a //。
〔2〕在定理中为什么要规则0≠b 呢?事先0=b ，假定0=a ，那么b a //，也存在实数x 使xb a =；但假定0≠a ，我们知道零向量和任一非零向量共线，但不存在实数x ，使xb a =，因此在定理中规则了0≠b 。
假定将定理写成xa b b a =⇔//，那么应规则0≠a 。
说明：①在xb a =功中，关于确定的x 和b ，xb a =功表示空间与b 平行或共线且长度为xb 的一切向量；②应用共线向量定理可以证明两线平行，或三点共线。
知识点二 共面向量定理〔1〕共面向量向量a ，作a =，假设的基线平行于平面a ，记作α//a 〔右图〕，通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。
说明：①α//a 是指a 的基线在平面α内或平行平面α。
②共面向量是指这些向量的基线平行或在同一平面内，共面向量的基线能够相交、平行或异面。
我们，对空间恣意两个向量，它们总是共面的，但空间恣意三个向量就不一定共面了。
例如，在以下图中的长方体，向量AB 、、AD ，无论怎样平移都不能使它们在同一平面内。
〔2〕共面向量定理共面向量定理：假设两个向量a 、b 不共线，那么向量c 与向量a 、b 共面的充要条件是，存在独一的一对实数y x ,，使yb xa c +=。
说明：①在证明充要条件效果时，要证明两个方面即充沛性和必要性。
②共面向量的充要条件给出了平面的向量表示，说明恣意一个平面可以由两个不共线的平面向量表示出来，它既是判别三个向量能否共面的依据，又是共面条件的另一种方式，可以借此共面条件化为向量式，以便我们的向量运算。
空间向量的基本定理
空间向量的基本定理空间向量的基本定理是高中数学中的一个重要内容，它涉及到空间向量的表示、运算和应用。
本文将从以下几个方面介绍空间向量的基本定理：一、空间向量的概念和性质1.1 空间向量的定义空间向量是指空间中具有大小和方向的量，它可以用一个有向线段来表示。
有向线段的起点叫做向量的始点，终点叫做向量的终点，箭头表示向量的方向。
用字母 a, b, c 等表示向量，用 AB 表示以 A 为始点，B 为终点的向量。
1.2 空间向量的相等如果两个向量的长度相等且方向相同，那么这两个向量就是相等的。
相等的向量可以用平行移动的方法来判断，即如果一个向量平行移动后与另一个向量重合，那么这两个向量就是相等的。
例如，AB 和 CD 是相等的，因为 AB 平行移动后与 CD 重合。
1.3 空间向量的线性运算空间向量可以进行加法、减法和数乘三种线性运算，它们遵循以下法则：加法交换律：→a +→b =→b +→a加法结合律：(→a +→b )+→c =→a +(→b +→c )减法定义：→a −→b =→a +(−→b )数乘交换律：k →a =→ak 数乘结合律：(k 1k 2)→a =k 1(k 2→a )数乘分配律：(k 1+k 2)→a =k 1→a +k 2→a 和 k (→a +→b )=k →a +k →b空间向量的加法和减法可以用三角形法则或平行四边形法则来进行几何表示。
空间向量的数乘可以理解为对向量的长度和方向进行缩放，即数乘后的向量与原向量平行，长度为原长度与数乘因子的乘积，方向由数乘因子的正负决定。
例如，2→a 是 →a 的两倍长且同方向的向量，−12→b 是 →b 的一半长且反方向的向量。
二、空间坐标系和空间向量的坐标表示2.1 空间直角坐标系为了在空间中确定任意一点或任意一个向量的位置，我们需要建立一个参照系。
在数学中，我们常用空间直角坐标系来作为参照系。
空间直角坐标系由三条互相垂直且相交于原点 O 的坐标轴组成，分别称为 x 轴、y 轴和 z 轴。
《空间向量基本定理》教案新人教B版选修
数学：3.1.2《空间向量基本定理》教案（新人教B版选修2-1）空间向量的基本定理教学目标：⒈了解空间向量基本定理及其推论；⒉理解空间向量的基底、基向量的概念教学重点：向量的分解（空间向量基本定理及其推论）．教学难点：空间作图．教学方法：讲授法．教学过程设计：一、复习引入1．复习向量与平面平行、共面向量的概念．区别：（1）向量与平面平行时，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的．（2）平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．2．空间共面向量定理及其推论．（1）共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p 与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使得p= xa+yb ．（2）共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使得，或对于空间任意一定点O，有．②③今天我们将对平面向量基本定理加以推广，应用上面的三个公式我们可以解决与四点共面有关的问题，得出空间向量基本定理．二、新课讲授问题1：右图中的向量、、是不共面的三个向量，请问向量与它们是什么关系？由此可以得出什么结论？．由此可知，始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量．问题2：如果向量、、分别和向量a、b、c共线，能否用向量a、b、c表示向量？＝xa+yb+zc事实上，对空间任一向量，我们都可以构造出上述平行六面体，由此我们得到了空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对于空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使 p＝xa+yb+zc．证明：存在性：（见课本P31）唯一性：设另有一组实数x'、y'、z'，使得p＝x'a+y'b+z'c，则有xa+yb+zc＝x'a+y'b+z'c，∴(x－x' ) a+(y－y' )b+( z－z' )c＝0．∵a、b、c不共面，∴x－x'＝y－y'＝z－z'＝0，即x＝x'且y＝y'且z＝z'．故实数x、y、z是唯一的．由上述定理可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成，我们把｛a、b、c｝叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量．说明：①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量．（零向量与任意非零向量共线，与任意两个非零向量共面）③一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量．由定理的证明过程（P32第一行）可以得到下面的推论：设O、A、B、C是不共面的四个点，则对空间任一点P，都存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使．说明：若x＋y＋z＝１，则根据共面向量定理得：P、A、B、C四点共面．三、课堂练习课本四、课时小结⒈空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了以"项".证明的思路、步骤也基本相同．⒉空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向量方法解几何问题很有用，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备．五、课后作业⒈课本教学后记：。
《空间向量基本定理》课件
万有引力是一个向量，通过向量的运 算可以研究天体之间的相互作用和地 球上的重力现象。
04
向量的运算律与性质
向量的运算律
01
02
03
交换律
$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$
结合律
$(vec{a} + vec{b}) + vec{c} = vec{a} + (vec{b} + vec{c})$
《空间向量基本定 理》ppt课件
目 录
• 空间向量的基本概念 • 空间向量的基本定理 • 向量在空间几何中的应用 • 向量的运算律与性质 • 向量在解决实际问题中的应用
01
空间向量的基本概念
向量的表示与性质
向量的表示
向量可以用有向线段来表示，起 点为A，终点为B，记作 $overrightarrow{AB}$。
总结词：推论二
详细描述：推论二：如果三 个向量$mathbf{a}$、 $mathbf{b}$、 $mathbf{c}$共面，那么对 于任意向量$mathbf{p}$， 不存在有序实数组$x, y, z$ ，使得$mathbf{p} = xmathbf{a} + ymathbf{b} + zmathbf{c}$。
力的合成与分解
在物理中，力是一个向量，通过力的 合成与分解，可以分析物体的运动状 态和力的作用效果。
速度和加速度的研究
速度和加速度都是向量，通过向量的 运算可以深入理解速度和加速度的概 念，以及它们在运动学中的作用。
向量在物理中的应用
动量与冲量
动量和冲量都是向量，通过向量的运 算可以研究物体的动量变化和力的作 用效果。
《空间向量基本定理》专题精讲
《空间向量基本定理》专题精讲空间向量基本定理:(1)定理如果三个向量,,a b c 不共面,那么对任意一个空间向量p ,存在唯一的有序实数组(,,)x y z ,使得x y z =++p a b c .(2)基底我们把定理中的{,,}a b c 叫做空间的一个基底,,,a b c 都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.(3)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{,,}i j k 表示.(4)空间向量的正交分解由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a ,均可以分解为三个向量,,x y z i j k ,使x y z =++a i j k ,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.注意:(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.(2)一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.(3)由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量.典例1 已知{}123,,e e e 是空间的一个基底,且1232,OA =+-e e e 12332,OB =-++e e e 123OC =+-e e e ,且判断{,,}OA OB OC 能否作为空间的一个基底.思路:本题考查空间基底的概念,在理解空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底的概念的基础之上,通过分析计算进行判定.解析:设OA xOB yOC =+,则(1231223x +-=-++e e e e e )()31232y ++-e e e e ,即1231232(3)()(2)y x x y x y +-=-+++-e e e e e e ,∴31,2,21,y x x y x y -=⎧⎪+=⎨⎪-=-⎩此方程组无解.即不存在实数,x y ,使得OA xOB yOC =+,所以,,OA OB OC 不共面.所以{,,}OA OB OC 能作为空间的一个基底.典例2 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,,E F 分别是1,DD BD 的中点,点G 在棱CD 上,且13CG CD =. (1)证明:1EF B C ⊥;(2)求EF 与1C G 所成角的余弦值.思路:本题考查空间基底的应用,利用空间的正交基底向量表示其他向量,经过分析计算、推理验证最终得到所要证明的结论.解析:(1)设1,,DA DC DD ===i j k ,则{,,}i j k 构成空间的一个正交基底. 所以1111()2222EF ED DF DA AB =+=-++=+k i j 111,2B C B B BC -=+=--k i k ,所以1EF B C ⋅=2211111()||||022222⎛⎫+-⋅--=-+= ⎪⎝⎭i j k i k i k ,所以1EF B C ⊥. (2)111111,2223EF C G C C CG =+-=+=--i j k k j,22222111111||||||||3222444EF ⎛⎫=+-=++= ⎪⎝⎭i j k i j k , 2222111||3,||||439EF C G ⎛⎫==--=+=+ ⎪⎝⎭k j k j 1440210,993C G ==, ∴111cos ,||EF CG EF C G EF CG ⋅==⋅111143⎛⎫⎛⎫+-⋅-- ⎪ ⎪==i j k k j。
1.2空间向量的基本定理-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册课件
而在i, j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对
( x, y )，使得OQ xi yj
从而OP OQ zk xi yj zk
因此，如果i, j , k是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量P, 存在
M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，
用基底{a，b，c}表示以下向量.
→
(1)AP；
解 连接 AC，AD′
→ 1 → —→ 1 → → —→
AP＝ (AC＋AA′)＝ (AB＋AD＋AA′)
2
2
→
(2)AM；
→ 1 →
—→ 1
解 AM＝2(AC＋AD′)＝2(a＋2b＋c)
空间向量的基本定理
1．我们把具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量．
2．什么是零向量？什么是相反向量？什么是相等向量？
3．空间向量加法满足 交换律
、 结合律
．
4．你还记得平面向量的数乘运算及共线向量定理吗？
5. 平面向量基本定理的内容是什么？在空间中有类似的
定理吗？
1．共线向量与共面向量
共线(平行)向量
→
(3)AN；
→ 1 —→ —→
解 AN＝ (AC′＋AD′)
2
→ —→
1 → → —→
＝ [(AB＋AD＋AA′)＋(AD＋AA′)]
2
1
＝ a＋b＋c.
2
用任意三个不共面的向量a, b, c来表示呢？
如图所示，设i, j , k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段
1.2空间向量基本定理 课件(共16张PPT)
略解:⑴ MN MO ON
1 OA 1 (OB OC )= 1 (a b c)
22
2
MP OP OM = 1 (c a) 2
⑵易知 a b
bc
ca
1,
2
a
2
b
2
c
1 ,∴ MN
MP
1
2
4
13
巩固练习
OP OQ zk xi y j zk x
p
j
P Q
y
由此可知,如果 i, j, k 是空间两两垂直的向量,
那么,对空间任一向量 p , 存在一个有序实数组
{x,y,z}使得 p xi y j zk.我们称 xi, y j, zk 为向
量 P 在 i, j, k 上的分向量.
11
巩固练习
2、已知向量{a,b,c}是空间的一个基底． 求证:向量a+b,a-b,c能构成空间的一个基底.
14
达标练习
15
课堂小结 应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可 求两条异面直线所成的角等. 首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直 线所在的向量用基向量表示. (1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0; (2)若证明线线平行,只需证明两向量共线; (3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).
a, b, c都叫做基向量
4
学习新知
特别提示：对于基底{a,
b,
c},除了应知道
a,b,c
不共面，
还应明确： （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.
（2）由于可视 0 为与任意一个非零向量共线,与任意两个 非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都不是0.
《空间向量的基本定理》公开课课件
4）AQ
B
空间向量的基本性质
习题
主要内容：
• 1、共线向量定理。 对空间任意两个向量a、（b b 0），a // b的
充要条件是存在实数，使a＝b。
•2、共面向量定理。
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb。
3、向量的数量积
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1
e1＋2
e
。
2
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
空间向量基本定理：
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空 间任一向量p，存在一个唯一的有序实数 组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc。
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空间向量基本定理
复习：
共线向量定理。
对空间任意两个向量a、（b b 0），a // b的
充要条件是存在实数，使a＝b。
共面向量定理。 如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb。为空间的一 个基底。
推论：设 o、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点 P，都存在唯一的有序实 数对x，y， z，使op＝xoA＋yoB＋zoC。
证明
P C
OB
B‘
A
A’
P‘
例题
已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC， M，N，分别是对边OA，BC的中点，点G在 线段MN上，且使MG=2GN，用基向量OA， OB，OC表示向量OG。
O
M
A
G
空间向量基本定理ppt课件
定理的必要性是由平面向量基本定理保证的，而充分性只要
注意到当 xa 与 xb 不共线时，xa，xb，xa+xb 分别是平行四边形的
两条邻边和一条对角线即可．
例 1 如图所示，已知斜三棱柱
= ，
=
1
= ，在
1上和
−
1
1 1 中，
上分别有一点 和 ，且
，其中 0⩽ ⩽1. 求证：
，a，c 共面.
= ，
( x y )e1 ( x 2 y )e2 ( x 2 y )e3 .因为 e1, e2 , e3 是空间的一组基底，所以
5
x
,
2
k x y,
1
x 2 y 3, 解得 y , 故选 D.
4
x 2 y 2,
9
k
AC1 113 .
9.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，BC1 与 B1C 交于点 O，A1 AB A1 AC 60 ，
BAC 90 ， A1 A 4 ， AB AC 2 ， AO xAB yAC z AA1 ，则
xyz _________， | AO | __________.
第一章 空间向量与立体几何
课标要点
核心素养
1.理解共线向量
数学抽象
2.了解共面向量定理
数学运算
3.了解空间向量基本定理
数学运算
共线向量基本定理 如果 a≠0 且 b∥a，则存在唯一的实数 λ，使得
b＝λa．
平面向量基本定理 如果平面内两个向量 a 与 b 不共线，则对该平
空间向量基本定理《知识讲解与解题策略》
∴向量MA， MB， MC共面．
(2)由(1)知向量M→A，M→B，M→C共面，三个向量的基线又 过同一点 M，∴M、A、B、C 四点共面，∴M 在面 ABC 内．
1．空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在 有序实数对(x，y)，使M→P＝xM→A＋yM→B.满足这个关系式的点 P 都在平面 MAB 内；反之，平面 MAB 内的任一点 P 都满足 这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．
又∵M→N＝M→C＋C→E＋E→B＋B→N＝－12C→A＋C→E－A→F－12F→B， ∴12C→A＋A→F＋12F→B＝－12C→A＋C→E－A→F－12F→B， ∴C→E＝C→A＋2A→F＋F→B＝2(M→A＋A→F＋F→N)， ∴C→E＝2M→N，∴C→E∥M→N，又∵C 不在 MN 上，∴CE∥MN.
其中，表达式 xa＋yb＋zc 叫做向量 a，b，c 的线性 表达式或线性组合， a，b，c 叫做空间的一个基底，记 作 {a，b，c} ，a，b，c 都叫做基向量.
共线向量的判定 如图 3－1－11 所示，已知四边形 ABCD 是空间 四边形，E，H 分别是边 AB，AD 的中点，F，G 分别是边 CB， CD 上的点，且C→F＝23C→B，C→G＝23C→D.求证：四边形 EFGH 是 梯形．
设 e1，e2 是两个不共线的向量，已知A→B＝2e1＋ke2，C→B＝ e1＋3e2，C→D＝2e1－e2，若 A、B、D 三点共线，求 k 的值．
【解】 A→D＝A→B＋B→C＋C→D＝2e1＋ke2－e1－3e2＋2e1－e2＝3e1＋(k－4)e2， 又∵A、B、D 三点共线，∴A→D＝λA→B＝λ(2e1＋ke2)
1．判断或证明两向量 a，b(b≠0)共线，就是寻找实 数 λ，使 a＝λb 成立，为此常结合题目图形，运用空间向 量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表 达．
课件4：3.1.2空间向量的基本定理
向量 OP＝xO→A＋yO→B＋zO→C且 x＋y＋z＝1，
则 P、A、B、C 四点共面． (3)常用的一个向量等式 已知向量 a，b，c 不共面，若 xa＋yb＋zc＝0， 则 x＝y＝z＝0.
典例精析
例 1 已知斜三棱柱 ABC—A′B′C′(如图)，设A→B＝a， A→C＝b，AA′＝c.在面对角线 AC′上和棱 BC 上分别取点 M 和 N，使A→M＝kA→C′，B→N＝kB→C (0≤k≤1). 求证：M→N与向量 a 和 c 共面.
3.1.2 空间向量的基本定理
课标要求 1．了解共线(平行)向量、共面向量的意义，掌握它 们的表示方法． 2．能理解共线向量定理和共面向量定理及其推论， 并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题．
核心扫描 1．空间向量基本定理及基底、基向量、向量的线 性组合的概念．(重点) 2．空间向量基本定理的应用．(难点)
3.空间向量分解定理 (1)空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间 向量的一个基底． 所以基底的选择范围很广，但在具体的题目或几 何体中往往选择具有特殊关系的三个不共面向量 作为基底.
注意：注意基底与基向量的区别，一个基底是由 三个不共面的基向量组成的．
(2)建立基底的作用 将空间不同向量用同一组基向量表示，便于判断向
如下向量：A→C′，B→D′，C→A′，D→B′.
解 A→C′＝A→B＋B→C＋CC′ ＝a＋b＋c； B→D′＝B→A＋A→D＋DD→′＝－a＋b＋c；
CA′＝C→B＋B→A＋AA′＝－a－b＋c； DB′＝D→A＋A→B＋BB′＝a－b＋c.
例 3 已知空间四边形 OABC 中，M，N 分别是对边 OA，
证明 显然A→M＝kA→C′＝kb＋kc，而且 A→N＝A→B＋B→N＝a＋kB→C
《空间向量的基本定理 》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教】
2
∴ 与， 共面．
知识梳理
反思判断三个(或三个以上)向量共面，主要使用空间向量共面定理，即
其中一个向量能用另两个向量线性表示即可.通常应结合图形，选择其中
某两个向量作为基向量，其他向量都用这两个基向量线性表示.当然，必
要时也可选择目标向量以外的一组基底，通过待定系数法，建立这三个
向量的一个线性关系式.
求证： 与， 共面．
分析：在图中找封闭的四边形，建立向量相等的关系式.
知识梳理
证明：由题意知， ＝＋＋ ，①
且 ＝＋ ＋ ．②
∵E，F 分别为 AB，CD 的中点，
∴ ＝ − ， ＝ − ，
∴①＋②得 2 ＝＋ ，
1
1
即 ＝ ＋ ，
(4)空间中任意两个向量一定是共面向量.零向量与任意向量共面.
知识梳理
2.如何理解空间向量分解定理?
剖析：(1)只有三个向量a，b，c不共面，其线性组合xa+yb+zc才能生成所
有的空间向量，否则，若向量a，b，c共面，由数乘向量和向量加法的几
何意义，可知其线性组合xa+yb+zc表示的只是与a，b，c共面的向量，而
选项D符合共面向量定理.特别地，若向量a，b共线，则p与向量a，b共线，
仍有p与向量a，b共面.
答案：D
知识梳理
反思注意理解空间向量共线、共面的意义，重视零向量与任意向量共线、
共面，弄清构成空间向量的一个基底的条件.
知识梳理
判定空间向量共面
【例 2】 如图所示，设 E，F 分别为 AB，CD 的中点，
剖析：(1)共线向量定理中注意b≠0，否则当b=0时，若a≠0，显然a∥b，但
是不存在唯一的实数x，使a=xb，从而“存在唯一的实数x，使a=xb”不再
空间向量基本定理(解析版)
第2讲空间向量基本定理新课标要求了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解。
知识梳理定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝x a＋y b＋z c，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．名师导学【例1-1】有以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，则点一定共面；已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底其中正确的命题是A. B. C. D.【分析】本题考查空间向量的基本定理，以及共线向量与共面向量，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．根据空间向量的基本定理即可判断的正误，找出反例判断命题错误，即可得到正确选项．【解答】解：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线，不正确．反例：如果中有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的．已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．故选C．【变式训练1-1】已知向量是空间的一个基底，下列能构成空间的另一个基底的是A. B.C. D.【分析】本题考查空间向量的基本定理，属于基础题型，能构成空间的另一个基底的条件是不共面，由此逐项判断即可； 【解答】解：因为，所以，，共面．又因为，所以，，共面．不存在，，使得，所以，，不共面，故可作为空间的一个基底．故选C.【例2-1】（龙华区校级期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别在面对角线AC ，1A C 上且2CM MA =，12A N ND =．记向量1,,AB a AD b AA c ===，用,,a b c 表示MN ．【分析】利用空间向量基本定理，即可得出结论． 【解答】解：11MN MA AA A N =++11111123312()()3311123333111333111.333AC AA A DAB AD AA A A AD ABAD AA ADa b cMN a b c =-++=-++++=--++=-++∴=-++【例2-2】如图所示，在平行六面体中，，，，，．求的长；求与的夹角的余弦值．【解析】解，．． 设与的夹角为，设，，，依题意得，．【变式训练2-1】如图，四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP→＝c ，E ，F 分别为PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示BF →，BE →，AE →，EF →.【解】 BF→＝12BP →＝12(OP →－OB →)＝12[OP →－(OA →＋OC →)]＝12c －12a －12b .BE→＝BC →＋CE →＝－OA →＋12CP →＝－a ＋12(OP →－OC →)＝－a ＋c 2－b 2.AE →＝AO →＋OE →＝－a ＋12(OP →＋OC →)＝－a ＋12c ＋12b .又∵E ，F 分别为PB ，PC 的中点，∴EF→＝12CB →＝12OA →＝12a .【变式训练2-2】如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点．求求EG 的长． 【答案】解：设，，，则，，，，，，，；，，，即EG 的长为．名师导练A组-[应知应会]1.若向量，，是空间的一个基底，向量，，那么可以与，构成空间的另一个基底的向量是A. B. C. D.【分析】本题考查空间向量的共面定理的应用问题，属于基础题．根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论．【解答】解：由题意和空间向量的共面定理，结合，得与、是共面向量，同理与、是共面向量，与不能与、构成空间的一个基底，又与和不共面，可与、构成空间的一个基底．故选C．2.（东城区期末）在四面体ABCD中，点F在AD上，且2AF FD=，E为BC中点，则EF等于()A．112223EF AC AB AD=+-B．112223EF AC AB AD=--+C．112223EF AC AB AD=-+D．112223EF AC AB AD=-+-【分析】直接利用向量的线性运算的应用求出结果．【解答】解：在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点， 所以211112()322223EF AF AE AD AB AC AC AB AD =-=-+=--+． 故选：B ．3．（菏泽期末）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面11A C 的中心，若1AE AA xAB y AD =++则(x y += )A ．12B ．1C ．32D ．2【分析】推导出111111111()222AE AA A E A B A D AB AD =+=+=+，由此能求出x y +的值．【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面11A C 的中心， 111111111()222AE AA A E A B A D AB AD =+=+=+，1AE AA xAB y AD =++，11122x y ∴+=+=． 故选：B ．4．（济宁期末）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若1,,AB a AD b AA c ===，则(CM = )A ．1122a b c ++B ．1122a b c -+C ．1122a b c -++D ．1122a b c --+【分析】利用向量加法的三角形法则以及平行六面体的性质即可求解． 【解答】解：在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点；∴CM CB BM =+111()2CB BA BC =++111122AD BA BC =-++1111()()22AD BA AA BC CC =-++++1111112222AD AB AA AD AA =--+++ 1122a b c =--+；故选：D ．5．（阳泉期末）如图，在四面体OABC 中，D 是BC 的中点，G 是AD 的中点，则OG 等于( )A ．111333OA OB OC ++B ．111234OA OB OC ++C ．111244OA OB OC ++D ．111446OA OB OC ++【分析】在四面体OABC 中，D 是BC 的中点，G 是AD 的中点，可得1()2OG OA OD =+，1()2OD OB OC =+．即可得出．【解答】解：在四面体OABC 中，D 是BC 的中点，G 是AD 的中点， 则1()2OG OA OD =+，1()2OD OB OC =+．∴111244OG OA OB OC =++． 故选：C ．6．（烟台期末）三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.【分析】本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，考查空间向量基本定理，向量的数量积公式及应用，考查学生的计算能力，属于较难题．先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，然后利用夹角公式求异面直线与所成角的余弦值即可．【解答】解：如图，设，，，棱长均为1，则，，，，，，，，，异面直线与所成角的余弦值为，故选A．7．（多选）（南通期末）设a ，b ，c 是空间一个基底( ) A ．若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥B ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，)z ，使p xa yb zc =++D ．则a b +，b c +，c a +一定能构成空间的一个基底 【分析】利用a ，b ，c 是空间一个基底的性质直接求解． 【解答】解：由a ，b ，c 是空间一个基底，知：在A 中，若a b ⊥，b c ⊥，则a 与c 相交或平行，故A 错误； 在B 中，a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面，故B 正确；在C 中，对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，)z ，使p xa yb zc =++，故C 正确； 在D 中，a b +，b c +，c a +一定能构成空间的一个基底，故D 正确． 故选：BCD ．8．（邯郸期末）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为BD 的中点，若11A E xAA y AB z AD =++，则x y z ++= ．【分析】根据向量的三角形法则结合已知条件即可求解； 【解答】解：连接AE （图略）， 由题意可得1122AE AB AD =+， 则1111122A E AE AA AB AD AA =-=+-． 因为11A E xAA y AB z AD =++， 所以1x =-，12y z ==，所以0++=．x y z故答案为：09.已知四棱柱的底面ABCD是矩形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为_____________．【分析】本题考查空间向量的运算及模的求法，属于中档题．【解答】解：设则，，，，则对角线的长为．故答案为．10.已知为空间的一个基底，且，，，能否以作为空间的一个基底______ 填“能”或“不能”．【解析】解：为空间的一个基底，且，，，设向量，，共面，则存在实数m，n，使，，解得，；因此不能作为空间的一个基底．故答案为：不能．11．（兴庆区校级期中）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于1，点E，F，G分别是AB ，AD ，CD 的中点，设AB a =，AC b =，AD c =，,,a b c 为空间向量的一组基底，计算： （1）EF BA ； （2）||EG ．【分析】（1）利用数量积公式先求c a 的值，再根据11()()22EF BA c a a =--求得结果；（2）由111222EG EB BC CG a b c =++=-++，先平方，再开平方．【解答】解：（1）由题意，AB a =，AC b =，AD c =， 则||||||1a b c ====，a <，b b >=<，c c >=<，60a >=︒，∴111()()224EF BA c a a =--=； （2）111222EG EB BC CG a b c =++=-++，∴222211111114442222EG a b c a b a c b c =++--+=， 2||2EG ∴=，即||EG =． 12．（三门县校级期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，5AB =，3AD =，14AA =，90DAB ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，设AB a =，AD b =，1AA c =．（1）用a ，b ，c 表示AC ； （2）求AC 的长．【分析】（1）由空间向量加法法则得111AC AB BC CC AB AD AA =++=++，由此能求出结果． （2）221()AC a b c =++，由此能求出1AC 的长．【解答】解：（1）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c =，∴111AC AB BC CC AB AD AA a b c =++=++=++．（2）5AB =，3AD =，14AA =，90DAB ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，111AC AB BC CC AB AD AA a b c =++=++=++．∴221()AC a b c =++222222a b c a b a c b c =+++++259160254cos60234cos60=++++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒ 82=．1AC ∴的长1||82AC =．13.如图，在空间四边形OABC 中，已知E 是线段BC 的中点，G 在AE 上，且．试用向量，，表示向量；若，，，，，求异面直线OG与AB 所成角的余弦值．【分析】本题考查平面向量数量积的运算、向量的加法、减法、数乘运算、向量的模及平面向量基本定理的应用，属于基础题．由，得出，即，即可求出结果；利用，和数量积的定义，代入求出，再求出，代入夹角公式，即可求出结果．【解答】解：，，，又，；由知又，，，，，，，，，即，，，．B组-[素养提升]1.已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且，如图所示，则当的值为多少时，平面并给予证明．【分析】本题考查线面垂直的判定，考查空间向量的基本定理及应用，考查向量垂直的判断与证明，考查分析与计算能力，属于中档题．要使平面，可证明且，欲证，则可证明，即，计算求证即可求解．【答案】证明：当时，平面．证明如下：要使平面，可证明且．欲证，则可证明，即，即．由于，显然当时，上式成立．同理可得，当时，．因此，当时，平面．。
空间向量基本定理(上课用)
THANKS
感谢您的观看
究它们的分布和变化规律。
Part
03
空间向量基本定理的推论
向量分解定理
定理内容
如果三个向量$vec{a}$、$vec{b}$、$vec{c}$不共面，那么它们可以作为空间的一个基 底，并且任何一个空间向量$vec{p}$都可以唯一地分解为这三个向量的线性组合。
证明
假设$vec{a}$、$vec{b}$、$vec{c}$不共面，那么它们可以作为空间的一个基底。设 $vec{p} = k_1vec{a} + k_2vec{b} + k_3vec{c}$，其中$k_1$、$k_2$、$k_3$为实数。
向量线性表示定理
定理内容
如果向量$vec{p}$在向量$vec{a}$和$vec{b}$的线性组合下表示出来，即$vec{p} = kvec{a} + lvec{b}$，那么当 且仅当存在实数$k$和$l$使得$vec{p} = kvec{a} + lvec{b}$时，向量$vec{p}$、$vec{a}$和$vec{b}$共面。
空间向量基本定理(上 课用)
• 引言 • 空间向量基本定理的内容 • 空间向量基本定理的推论 • 空间向量基本定理的应用 • 总结与展望
目录
Part
01
引言
空间向量的定义与性质
定义
空间向量是具有大小和方向的量，表示为$overrightarrow{AB}$，其中A和B是空间中的 点。
性质
空间向量具有加法、数乘、向量的模等基本性质，还具有向量的数量积、向量的向量积、 向量的混合积等运算性质。
如果$vec{p} = vec{0}$，则有$k_1 = k_2 = k_3 = 0$，因此分解是唯一的。
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已知 a＝i＋k－2j，b＝－i＋2k＋3j，c＝－3i＋7j，证明 这三个向量共面．
【解】 ∵a＝i＋k－2j，b＝－i＋2k＋3j，c＝－3i＋7j， 设 c＝ma＋nb，
－3＝m－n， ∴0＝m＋2n，
7＝－2m＋3n，
解得mn＝＝1－2 .
∴c＝－2a＋b，
即这三个向量共面．
空间向量分解定理的应用
如图 3－1－12 所示，空间四边形 OABC 中，G、 H 分别是△ABC、△OBC 的重心，设 OA＝a，O→B＝b，O→C＝ c，试用向量 a、b、c 表示向量G→H.
【自主解答】 ∵E，H 分别是 AB、AD 的中点，∴A→E＝12A→B，A→H＝12A→D， 则E→H＝A→H－A→E＝12A→D－12A→B＝12B→D＝12(C→D－C→B) ＝12(32C→G－32C→F)＝34(C→G－C→F)＝34F→G，
∴E→H∴∥F→G且|E→H|＝34|F→G|≠|F→G|. 又 F 不在直线 EH 上，∴四边形 EFGH 是梯形．
这类问题的一般解决方法是： (1)选择几个空间封闭多边形． (2)空间封闭多边形选择原则． ①尽量含有多个基向量； ②这些多边形要有公共有向线段． (3)由多边形建立相应的向量等式． (4)解向量方程组化简即可．
已知矩形 ABCD，P 为平面 ABCD 外一点，且 PA⊥平面 ABCD，
M、N 分别为 PC、PD 上的点，且 M 分P→C成定比 2，N 分P→D成 定比 1，求满足M→N＝xA→B＋yA→D＋zA→P的实数 x，y，z 的值．
【思路探究】 本题已知基底{a，b，c}，只要充分利用 重心的性质将G→H与基向量联系起来，重心的性质是将中线分 成 2∶1 两段，故A→G＝2G→D，O→H＝2H→D.
如图 3－1－12 所示，空间四边形 OABC 中，G、 H 分别是△ABC、△OBC 的重心，设 OA＝a，O→B＝b，O→C＝ c，试用向量 a、b、c 表示向量G→H.
其中，表达式 xa＋yb＋zc 叫做向量 a，b，c 的线性 表达式或线性组合， a，b，c 叫做空间的一个基底，记 作 {a，b，c} ，a，b，c 都叫做基向量.
共线向量的判定 如图 3－1－11 所示，已知四边形 ABCD 是空间 四边形，E，H 分别是边 AB，AD 的中点，F，G 分别是边 CB， CD 上的点，且C→F＝23C→B，C→G＝23C→D.求证：四边形 EFGH 是 梯形．
空间向量分解定理 【问题导思】 1．如图 3－1－10 所示平行六面体中，若A→B＝a，A→D＝b， A→A1＝c，能否用 a，b，c 表示向量A→C1？
【提示】 A→C1＝a＋b＋c.
2．在图中任找一向量 p，是否都能用 a，b，图c 来【3－表提1示示－？】10 是． 存在有 如序 果实 三数 个组 向量 {x，a，y，b，z}，c 不使共得面p，＝那么x对a＋空y间b＋任zc一向量. p，
共线向量定理 【问题导思】 在共线向量定理中，为何要求 b≠0? 【提示】 当 b＝0 时，若 a≠0，仍有 a∥b，但此时不 存在实数 x 使 a＝xb.
对于空间两个向量 a、b(b≠0)，则 a∥b 的充要条件是存
在唯一的实数 x 使 a＝xb .
共面向量定理
如果两个向量 a、b 不共线，则向量 c 与 a、b 共面的充 要条件是存在唯一的一对实数 x、y 使 c＝xa＋yb .
【思路探究】 证明向量共面只需证明M→A，M→B，M→C之
中的一个能用其它两个向量表示即可．
【自主解答】 (1)∵O→M＝13O→A＋13O→B＋13O→C，∴O→A＋O→B＋O→C＝3O→M，
→→ →→ →→ →→→ →→ ∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)，∴MA＝BM＋CM＝－MB－MC，
→→→
∴向量MA， MB， MC共ห้องสมุดไป่ตู้．
(2)由(1)知向量M→A，M→B，M→C共面，三个向量的基线又 过同一点 M，∴M、A、B、C 四点共面，∴M 在面 ABC 内．
1．空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在 有序实数对(x，y)，使M→P＝xM→A＋yM→B.满足这个关系式的点 P 都在平面 MAB 内；反之，平面 MAB 内的任一点 P 都满足 这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．
【思路探究】 (1)E→H与F→G共线吗？怎样证明图？3－1－11 (2)|E→H|与|F→G|相等吗？
如图 3－1－11 所示，已知四边形 ABCD 是空间 四边形，E，H 分别是边 AB，AD 的中点，F，G 分别是边 CB， CD 上的点，且C→F＝23C→B，C→G＝23C→D.求证：四边形 EFGH 是 梯形．
【自主解答】 由题意知G→H＝O→H－O→G.
∵O→H＝23O→D＝23×12(O→B＋O→C)＝13(b＋c)．
O→G＝O→A＋A→G＝O→A＋23A→D ＝O→A＋23(O→D－O→A)＝13O→A＋23×12(O→B＋O→C) ＝13a＋13(b＋c)， ∴G→H＝13(b＋c)－13a－13(b＋c)＝－13a， 即G→H＝－13a.
设 e1，e2 是两个不共线的向量，已知A→B＝2e1＋ke2，C→B＝ e1＋3e2，C→D＝2e1－e2，若 A、B、D 三点共线，求 k 的值．
【解】 A→D＝A→B＋B→C＋C→D＝2e1＋ke2－e1－3e2＋2e1－e2＝3e1＋(k－4)e2， 又∵A、B、D 三点共线，∴A→D＝λA→B＝λ(2e1＋ke2)
3＝2λ
∵e1、e2
不共线，∴ k－4＝λk
，∴λ＝32 k＝－8
，∴k＝－8.
共面向量的判定
已知 A、B、C 三点不共线，对平面 ABC 外的任
一点 O，若点 M 满足O→M＝13O→A＋13O→B＋13O→C，判断(1)M→A，M→B， M→C三个向量是否共面；(2)点 M 是否在平面 ABC 内．