方差分析的基本思想

N ( 3 , 2 ) 。三组数据分别为来自三个总体的样本，问题是
推断 1 , 2 和 3 之间有无显著差异。 由 x1 , x2 , x3 不相等， 不能直接得出 1 , 2 , 3 不尽相等的 结论，原因是：造成 x1 , x2 , x3 不相等可能有两个方面因素： 一是 1 , 2 , 3 不等，二是 1 2 3 ，但由于抽样误差， 造成 x1 , x2 , x3 之间有差异。现在的任务是通过样本推断
┆
x
i 1 j 1
k
ni
ij
, 2 k 1 欲推断： 有无显著异
SS间 MS间 n间
k ni
SS内 MS内＝ n内
先考虑总离差平方和 SS 总
SS 总

i 1
j 1
( x ij x ) 2
SS 总由组间离差和组内离差构成
1. 若各组内个体大小一致 则 SS 总即为 SS 间 ,
二、方差分析的直观思想
２．如果 1 , 2 , 3 有差异，则组间差异不仅 有个体差异的影响还要受到总体差异的影 响，这时组间方差 MS 比组内方差MS 大得
间
内
多，据此，可以按假设检验的方法来处理 组间方差 H : 。如果 不是太大，则接受 组内方差
0 1 2 3
原假设；若比值很大则否定原假设。具体 定量检验ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ要了解比值的分布并且要给出
MS间 MS内

F~F (k 1, N k )
，n内 ) (n间
查表得 F 结论
的值
五、平方和分解公式
由前面知
SS 总 ＝（X
ij
2 X）
SS 间＝ ni ( x i x ) 2
2 SS内＝（x ij x i）
SS ＝ SS ＋ SS 总 间 内 则有
上述称为平方和分解公式（经简单推导就可得） 注意：下式是否成立 MS 总 ＝ MS 间 + MS 内 ？
方差分析的基本思想
一、 二、 三、 四、 五、 六、 七、 八、 问题的提出 方差分析的直观思想 MS 间 和MS 的数量表示 Ｆ检验 平方和分解公式 方差分析的实质 关于方差分析适用条件的说明 复习思考题
内
一、问题的提出
例 8.1 为了探索简便易行的发展大学生心血 管系统机能水平的方法，在某年级各项身 体发育水平基本相同，同年龄女生中抽取 36人随机分为三组，用三种不同的方法进 行训练，三个月后，测得哈佛台阶指数如 表8.1 ，试分析三种不同的训练方法对女大 学生心血管系统的影响有无显著性差异。
1 , 2 , 3 之间有无显著性差异。
二、方差分析的直观思想
１．如果 1 , 2 , 3 之间没有差异，则三 个样本之间的差异（以组间方差衡量）由 抽样误差带来， 实质上由各组内个体之间 的差异造成，组内个体之间的差异的大 小，以组内方差来衡量。这时，组间方差
ＭＳ ＭＳ 内 相近 间 与组内方差
k 1, n内 (ni 1) ni k n间
故
SS间 ni ( xi x )2 MS间 n k 1 间
ni 1 n总
MS 内=
SS 间 n内
(x x n k
ij i
i
)2
四、Ｆ检验
H0 ：
F
1 2 k
x 将各组内个体 ij
取成 xi ，
( xi x ) ni ( xi x ) 2
2 i 1 k
此时
SS 间＝SS 总＝ i j
2．若各组平均水平一致， 则 SS 总即为 SS 内, 故用 xij xi 代替 x ij
2 SS SS ( x x ) ij i 内 此时 总
六、方差分析的实质
按指定来源分解变异， 方差分析是分解变异 的一种技巧。
七、关于方差分析适用条件的说明 1．各总体均服从正态分布 2．各样本相互独立 3．各总体方差相等 其实以上并非方差分析的适用条 件，而是实际问题的条件。
复习思考题
1. 方差分析的基本思想与实质 2. 组内离差平方和，组间离差平方和
表 8.1
2 , N( 1 )
2 ( , N 2 )
N ( 3 , 2 )
A3
编号 １ ２ ┆ 12 x
A1
A2
76.53 60.05 ┆ 56.24 60.15
43.12 42.54 ┆ 42.40 56.19
61.31 60.00 ┆ 67.26 69.05
分析
根据研究目的，这里有三个正态总体N ( 1 , 2 ) ，N ( 2 , 2 ) ，
MS间 和 MS内 的计算表达式
三、 MS间 和MS内 的数量表示 考虑一般情况
N ( 1 , 2 ) N ( 2 , 2 )
x21 x22
┄ ┄ ┄ ┄ ┄ ┄ ┄
N ( k , 2 )
xk1 xk 2 xknk xk
1 x11 x12 ┆ x1n1 x1
1 x ni
2
K
┆ x2 n 2 x2
与总离差平方和各反映了什么？ 3. 总方差与组间方差和组内方差的关 系