湘教版高中数学必修一集合教案
湘教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第1章 集合与逻辑 1.1.1 第1课时 集合与元素
此时集合A含有两个元素-4,-3,符合要求.
综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.
知识点三
名称
符号
自然数集
N
常见数集及其表示
整数集
Z
有理数集
Q
实数集
R
过关自诊
用符号“∈”或“∉”填空.
(1)1 ∈ N+;(2)-3 ∉
1
N;(3)3
∈ Q;(4) 3 ∉
1
Q;(5)-2
且5∉B,求a的值.
解 ∵5∈A,∴a2+2a-3=5,解得a=2或a=-4.
当a=2时,|a+3|=5;当a=-4时,|a+3|=1.
又5∉B,∴a=-4.
2.确定性:集合中的元素是确定的.
3.无序性:集合中的元素没有顺序.
名师点睛
对集合中元素的基本属性的理解
(1)确定性是集合中元素的基本特征,没有确定性就不能成子”,其中“难题”“聪明”因界定的标准模糊,故都不能
组成集合.
(2)互异性是判断能否组成集合的另一标准,也是最容易被忽视的属性.
解 由题意可知,x-2=-3或2x2+5x=-3.当x-2=-3时,x=-1,把x=-1代入2x2+5x,
得集合的三个元素分别为-3,-3,12,不满足集合中元素的互异性,故x≠-1;
当 2x +5x=-3
2
3
时,x=- 或
2
x=-1(舍去),
当
3
7
x=- 时,集合的三个元素分别为- ,-3,12,满足集合中元素的互异性,
综上可知,实数a的值为0.
变式探究
(1)本例若去掉条件“a∈A”,其他条件不变,求实数a满足的条件.
湘教版高中数学必修一教案集合
讲义一： 集合的含义与表示（Ⅰ）、基本概念及知识体系：1、了解集合的含义、领会集合中元素与集合的∈、∉关系；元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔开。
集合：用大写字母A ，B ，C ，…表示；2、能准确把握集合语言的描述与意义：列举法和描述法：注意以下表示的集合之区别：｛y=x 2+1｝；｛x 2-x-2=0｝，｛x| x 2-x-2=0｝,｛x|y=x 2+1｝；｛t|y=t 2+1｝；｛y|y=x 2+1｝；｛(x,y)|y=x 2+1｝； ∅；｛∅｝,｛0｝3、特殊的集合：N 、Z 、Q 、R ；N*、∅；（Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程：一、集合的概念以及元素与集合的关系：1、 元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔开。
集合：用大写字母A ，B ，C ，…表示；元素与集合的关系：∈、∉②、特殊的集合：N 、Z 、Q 、R ；N*、∅；③、集合中的元素具有确定性、互异性、无序性：★【例题1】、已知集合A=｛a-2,2a 2+5a,10｝,又-3∈A ，求出a 之值。
●解析：分类讨论思想；a=-1(舍去），a= -32▲★课堂练习：1、书本P5：练习题1；P11：习题1.1：题1、2、5：①②2、已知集合A=｛1，0，x ｝,又x 2∈A ，求出x 之值。
(解：x=-1)3、已知集合A=｛a+2,（a+1）2，a 2+3a+3｝,又1∈A ，求出a 之值。
（解：a=0)二、集合的表示---------列举法和描述法★【例题2】、书本P3：例题1、P4：例题2★【例题3】、已知下列集合：（1）、1A =｛n | n = 2k+1,k ∈N,k ≤5｝；（2）、2A =｛x | x = 2k, k ∈N, k ≤3｝；（3）、3A =｛x | x = 4k ＋1,或x = 4k －1,k ,N ∈k ≤3｝；问：（Ⅰ）、用列举法表示上述各集合；（Ⅱ）、对集合1A ，2A ，3A ，如果使k ∈Z,那么1A ，2A ，3A 所表示的集合分别是什么？并说明3A 与1A 的关系。
高考数学 专题1 集合与函数 1.1.1 第1课时 集合的概念学案 湘教版必修1
第1课时 集合的概念[学习目标] 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用.4.会判断集合是有限集还是无限集．[知识链接]1．在初中，我们学习数的分类时，学过自然数的集合，正数的集合，负数的集合，有理数的集合．2．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．3．解不等式2x －1＞3得x ＞2，即所有大于2的实数集在一起称为这个不等式的解集． 4．一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的解是x ＝1，x ＝2. [预习导引] 1．集合的概念在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些事物组成了一个集合，给这些对象的总的名称，就是这个集合的名字．这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素．我们约定，同一集合中的元素是互不相同的． 2．元素与集合的关系3.常用数集及符号表示4.集合⎩⎪⎨⎪⎧有限集：元素个数有限的集合无限集：元素无限多的集合空集：没有元素的集合，记作∅.要点一集合的基本概念例1 下列每组对象能否构成一个集合：(1)我们班的所有高个子同学；(2)不超过20的非负数；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；(4)3的近似值的全体．解(1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“3的近似值的全体”不能构成集合．规律方法判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．跟踪演练1 下列所给的对象能构成集合的是________．(1)所有正三角形；(2)第一册课本上的所有难题；(3)比较接近1的正整数全体；(4)某校高一年级的16岁以下的学生．答案(1)(4)解析要点二元素与集合的关系例2 所给下列关系正确的个数是( ) ①－12∈R ；②2∉Q ；③0∈N ＋；④|－3|∉N ＋.A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 －12是实数，2是无理数，∴①②正确．N ＋表示正整数集，∴③和④不正确．规律方法 1.由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a 与集合A ，在“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种情况中必有一种且只有一种成立．2．符号“∈”和“∉”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系． 3．“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合．跟踪演练2 设不等式3－2x ＜0的解集为M ，下列关系中正确的是( ) A ．0∈M,2∈M B ．0∉M,2∈MC ．0∈M,2∉MD ．0∉M,2∉M答案 B解析 本题是判断0和2与集合M 间的关系，因此只需判断0和2是不是不等式3－2x ＜0的解即可，当x ＝0时，3－2x ＝3＞0，所以0∉M ；当x ＝2时，3－2x ＝－1＜0，所以2∈M . 要点三 集合中元素的特性及应用例3 已知集合B 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈B ，试求实数a 的值． 解 ∵－3∈B ，∴－3＝a －3或－3＝2a －1. 若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合B 含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a －1，则a ＝－1.此时集合B 含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.规律方法 1.由于集合B 含有两个元素，－3∈B ，本题以－3是否等于a －3为标准，进行分类，再根据集合中元素的互异性对元素进行检验．2．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准． 跟踪演练3 已知集合A ＝{a ＋1，a 2－1}，若0∈A ，则实数a 的值为________． 答案 1解析 ∵0∈A ，∴0＝a ＋1或0＝a 2－1.当0＝a ＋1时，a ＝－1，此时a 2－1＝0，A 中元素重复，不符合题意． 当a 2－1＝0时，a ＝±1.a ＝－1(舍)，∴a ＝1. 此时，A ＝{2,0}，符合题意.1．下列能构成集合的是( ) A ．中央电视台著名节目主持人 B ．我市跑得快的汽车 C ．上海市所有的中学生 D ．香港的高楼 答案 C解析 A 、B 、D 中研究的对象不确定，因此不能构成集合． 2．集合A 中只含有元素a ，则下列各式一定正确的是( ) A ．0∈A B ．a ∉A C ．a ∈A D ．a ＝A 答案 C解析 由题意知A 中只有一个元素a ，∴a ∈A ，元素a 与集合A 的关系不能用“＝”，也不能确定a 是否等于0，故选C.3．设A 表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳________A ；广州________A (填∈或∉)． 答案 ∉ ∈解析 深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．4．已知①5∈R ；②13∈Q ；③0∈N ；④π∈Q ；⑤－3∉Z .正确的个数为________．答案 3解析 ①②③是正确的；④⑤是错误的． 5．已知1∈{a 2，a }，则a ＝________. 答案 －1解析 当a 2＝1时，a ＝±1，但a ＝1时，a 2＝a ，由元素的互异性知a ＝－1.1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看研究对象是否确定．若研究对象不确定，则不能构成集合．2．集合中的元素是确定的，某一元素a 要么满足a ∈A ，要么满足a ∉A ，两者必居其一．这也是判断一组对象能否构成集合的依据．3．集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性．求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.一、基础达标1．有下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④直角三角形的全体．其中能构成集合的个数是( )A．2B．3C．4D．5答案 A解析①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，多小算“比较小”没明确标准．③④均可构成集合，因为任取一个元素是不是此集合的元素有明确的标准可依．2．已知集合A由x＜1的数构成，则有( )A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1∉A答案 C解析很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．3．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是( ) A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案 D解析根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形．4．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A，则a为( )A．2 B．2或4 C．4 D．0答案 B解析若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A.故选B.5．已知集合A中只含有1，a2两个元素，则实数a不能取的值为________．答案±1解析由a2≠1，得a≠±1.6．若x∈N，则满足2x－5＜0的元素组成的集合中所有元素之和为________．答案 3解析由2x－5＜0，得x＜52，又x∈N，∴x ＝0,1,2，故所有元素之和为3. 7．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)参加2012年伦敦奥运会的所有国家构成一个集合； (2)未来世界的高科技产品构成一个集合； (3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素；(4)我校的年轻教师构成一个集合．解 (1)正确．因为参加2012年伦敦奥运会的国家是确定的，明确的． (2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一个元素，故这个集合含有三个元素． (4)不正确．因为年轻没有明确的标准． 二、能力提升8．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 的值为( ) A ．2B ．3C ．0或3D ．0,2,3均可答案 B解析 因为2∈A ，所以m ＝2或m 2－3m ＋2＝2，解得m ＝0或m ＝2或m ＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m 的所有取值进行一一验证可得m ＝3，故选B.9．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2＜x ＜a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________. 答案 6解析 ∵x ∈N ，且2＜x ＜a ，∴结合数轴知a ＝6.10．如果有一集合含有三个元素1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________． 答案 x ≠0,1,2，1±52.解析 由集合元素互异性可得x ≠1，x 2－x ≠1，x 2－x ≠x ，解得x ≠0,1,2，1±52.11．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求实数a . 解 由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ， ∴a ＝－1或a ＝－32.则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去． 当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，∴a ＝－32.三、探究与创新12．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？ 解 ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6； 当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8； 当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个． 13．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1)．求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集． 证明 (1)若a ∈A ，则11－a ∈A .又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A .∵－1∈A ，∴11－(－1)＝12∈A .∵12∈A ，∴11－12＝2∈A . ∴A 中另外两个元素为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a， 即a 2－a ＋1＝0，方程无解．∴a ≠11－a ，∴集合A 不可能是单元素集．。
湘教版高中数学必修一集合学案(6)
集合的概念（预习学案）一、预习目标：(1)使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法（2）使学生初步了解“属于”关系的意义（3）使学生初步了解有限集、无限集的意义二、预习方法：独立思考，生生交流，小组交流，师生交流。
三、预习提纲：１、阅读教材第一部分，问题如下:（1）有那些概念？是如何定义的？（2）有那些符号？是如何表示的？（3）集合中元素的特性是什么？要正确认识集合中元素的特性学生可以独立思考，可以讨论交流，教师巡视指导。
２、阅读教材第二部分，问题如下：（1）．集合的表示方法有几种？分别是如何定义的？（2）．有限集、无限集、空集的概念是什么？试各举一例。
四、典型习题：1、练习2、下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数。
（）（2）好心的人。
（）（3）1，2，2，3，4，5．（）五、预见性问题：１、在预习集合中元素的特性时，可能有部分同学忽略，（1）、确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。
集合中的元素必须是确定的．这就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了．例如，给出集合{地球上的四大洋}，它的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋．其他对象都不用于这个集合．如果说“由接近的数组成的集合”，这里“接近的数”是没有严格标准、比较模糊的概念，它不能构成集合．（2）、互异性：集合中的元素是互异的．这就是说，集合中的元素是不能重复的，集合中相同的元素只能算是一个．例如方程x2+2x+1=0有两个重根,其解集只能记为｛1｝，而不能记为｛1，1｝．（３）、无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）．集合中的元素是不分顺序的．集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点（l，0）和点（0，l）表示不同的两个点，而集合｛1，0｝和｛0，1｝表示同一个集合．２、注意：（1）、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……（2）、“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写。
湘教版高中数学《集合》教学课件
1. 在区间 ， 上是增函数的充要条件是对任意的 ，
+ ℎ ∈ ， ，且ℎ ≠ 0，有
+ℎ −
ℎ
y
y
f ( x h) f ( x )
h
O
>0.
x
xh x
f ( x)
f ( x h)
O xh
x
x
6
课后延伸
2.研究函数 = +
1
> 0 的单调性，并结合描点法画出函数的草图.
再看几个例子：
单词element中出现的字母组成一个集合，e是这个集合的一个元素；
太阳系的八大行星组成一个集合，地球是这个集合的一个元素；
所有大于2的素数组成一个集合，7是这个集合的一个元素．
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3
归纳探索
问题3：能不能根据自己的理解，说说集合和元素的关系．
3
归纳探索
问题4：集合是数学中最基本的概念，能不能根据自己的理解，分析一下集合的
②赤兔马是红马．
③红马是马．
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2
创设情景
2
创设情景
在讨论问题或思考问题时，常常需要把一些对象放在一起考虑，并且给这些对
象一个总的名称．
比如：0，1，2，3，4…，这样的数，我们称之为自然数．
太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋，我们称之为四大洋．
问题1：同学们，你还能举出相应的例子来么？2创设情景 Nhomakorabea答：
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课堂练习
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课堂练习
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课堂练习
高中数学 集合的含义与表示教案 湘教版必修1
集合的含义与表示（1课时）一、教学目标1.理解集合的含义（概念和性质），体会元素与集合的从属关系。
2.初步掌握集合的表示方法，能用自然语言和集合语言描述不同的具体问题。
3.初步掌握分类讨论、数形结合等数学思想。
二、重点难点1.正确判断对象与集合的从属关系。
2.理解集合的三个基本性质。
3.利用集合的基本性质求解元素带有参数的集合中的参数。
4.能用集合语言对具体问题进行描述。
三、教学过程1.新课引入教师发问：相信大家对“集合”这个词语并不陌生吧！“集合”、“全体”、“整体”这种概念在我们的日常生活中是随处可见的。
现在先请一些同学来列举日常生活中一些关于“集合”的例子。
（学生思考）教师发问：现在有哪一位同学能从我们刚才所举的众多实例中提炼出集合的共同特征（概念）呢？（学生思考）（教师总结，引入新课学习）2.数学史话集合论的诞生集合论是数学的一个基本分支，在数学中占据着一个极其独特的地位，其基本概念已渗透到数学的所有领域。
如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么可以说集合论正是构成这座大厦的基石，由此可见它在数学中的重要性。
其创始人康托尔也以其集合论的成就被誉为对二十世纪数学发展影响最深的学者之一。
集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。
十七世纪，数学中出现了一门新的分支：微积分。
在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果。
其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础。
十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动。
正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端。
到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念。
他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素。
人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日。
2024-2025学年高一数学必修第一册(配湘教版)教学课件1.1.1第2课时表示集合的方法
(2)使 y=
有意义的实数 x 组成的集合;
2-
≥
0,
解 要使该式有意义,需有
解得 x≤2,且 x≠0.
≠ 0,
故此集合可表示为{x|x≤2,且 x≠0}.
(3)200以内的正奇数组成的集合;
解 {x|x=2k+1,x<200,k∈N}.
(4)方程x2-5x-6=0的解组成的集合.
解 {x|x2-5x-6=0}.
x∈R可省略不写,如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20}.
(5)多层描述时,应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语,如
{x|x<-1或x>1}.
(6)“{
}”有“所有”“全体”的含义,如所有实数组成的集合可以用描述法表
示为{x|x是实数},但如果写成{x|x是所有实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是
(3)一次函数 y=x-1 与
解 方程 y=x-1 与
2
4
y=- x+ 的图象的交点构成的集合.
3
3
2
4
y=-3x+3可分别化为
=
- = 1,
则方程组
的解是
2 + 3 = 4
=
x-y=1 与 2x+3y=4,
7
,
5
2 所求集合可表示为
,
5
7 2
,
5 5
.
规律方法
列举法应用的解题策略
(1)一般地,当集合中元素的个数较少时,可采用列举法;当集合中元素较多
(1)写清该集合中元素的代表符号,如{x|x>1}不能写成{x>1}.
湘教版高中数学必修一集合学案
集合（一）集合的含义与表示1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题（二）集合间的基本关系1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2．在具体情境中，了解全集与空集的含义.（三）集合的基本运算1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。
2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.3．能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算。
根据考试大纲的要求，结合2009年高考的命题情况，我们可以预测2010年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现第1课时 集合的概念一、集合1．集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象 就成为一个集合，简称 ．集合中的每一个对象叫做这个集合的 2．集合中的元素属性具有：(1) 确定性； (2) ； (3) ．3．集合的表示法常用的有 、 和韦恩图法三种，有限集常用 ，无限集常用 ，图示法常用于表示集合之间的相互关系． 二、元素与集合的关系4．元素与集合是属于和 的从属关系，若a 是集合A 的元素，记作 ，若a 不是集合B 的元素，记作 ．但是要注意元素与集合是相对而言的． 三、集合与集合的关系5．集合与集合的关系用符号 表示．6．子集：若集合A 中 都是集合B 的元素，就说集合A 包含于集合B （或集合B 包含集合A ），记作7．相等：若集合A 中 都是集合B 的元素，同时集合B 中 都是集合A 的元素，就说集合A 等于集合B ，记作 ．8．真子集：如果 就说集合A 是集合B 的真子集，记作 ．9．若集合A 含有n 个元素，则A 的子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个．10．空集∅是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，∅是任何集合的 ，∅是任何非空集合的 ，解题时不可忽视∅．例1.已知集合8|6A x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，试求集合A 的所有子集.解：由题意可知6x -是8的正约数，所以 6x -可以是1,2,4,8；相应的x 为2,4,5，即{}2,4,5A =.∴A 的所有子集为,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5}{2,4,5}φ.变式训练1.若a,b ∈R,集合{}1,,0,,,b a b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭求b-a 的值.解：由{}1,,0,,b a b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭可知a ≠0，则只能a+b=0，则有以下对应关系：1a b ba ab +=⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ ①或 01a b b a b a⎧⎪+=⎪=⎨⎪⎪=⎩ ② 由①得1,1a b =-⎧⎨=⎩符合题意；②无解.所以b-a=2. 例2. 设集合2{2,3,23}U a a =+-，{|21|,2}A a =-，{5}U C A =，求实数a 的值. 解：此时只可能2235a a +-=，易得2a =或4-。
湘教版高中数学必修第一册第1章1-1-1第1课时集合与元素课件
[解] 由题意可知，a＝1或a2＝a， (1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1． (2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0， 满足集合中元素的互异性，符合题意． 综上可知，实数a的值为0．
三个元素．]
5
题号
1
√
2
3
D [由题意可知，a∈R且a∉Q，所以a是无理数．故选D．]
4
5
题号
4．若1∈A，且集合A与集合B相等，则1___∈_____B(填“∈”或 1
“∉”)．
2
∈ [由集合相等的定义可知，1∈B．]
3
4
5
5．已知集合A由a2－a＋1，|a＋1|两个元素构成，若3∈A，则a的 值为___－__1_或__－__4___．
√A．一切很大的数
√B．好心人
题号
√C．漂亮的小女孩
D．不小于3的自然数
1 2
ABC [“很大”“好”“漂亮”等词没有严格的标准，故选项A，3
4
B，C中的元素均不能构成集合．故选ABC．]
5
2．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为( )
题号
A．1
B．2
1
√C．3
D．4
2
3
C [由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k” 4
[母题探究] 本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围． [解] 由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1．
反思领悟 根据集合中元素的基本属性求值的3个步骤
[跟进训练] 3．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x． (1)求实数x应满足的条件； (2)若－2∈A，求实数x的值．
高中数学第一章《集合》教学案湘教版必修1
高中数学第一章《集合》教学案湘教版必修1一、课题：集合二、教学目标1. 要求学生进一步理解集合的定义,元素与集合及集合与集合间的关系2. 掌握集合的三种表示方法3. 强化集合运算的训练4. 熟练地解决集合的应用问题三、教学重点集合的表示方法及集合运算和应用问题是本章的重难点四、要点精讲同上五、基础训练1. 下面四个命题：（1）零属于空集；（2）方程x2-3x+5=0的解集是空集；（3）方程x2-6x+9=0的解集是单元集；（4）不等式2 x-6>0的解集是无限集；其中正确的命题有__________.21世纪教育网版权所有2. 用列举法表示集合D={2(,)8,,x y y x x N y N =-+∈∈}为________3.已知集合M={a,0}，N={1，2}，且M ∩N={1}，那么M ∪N 的真子集有___个4. 已知集合{}{}{}2220,0,2M x x px N x x x q M N =++==--=?=且，则q p ,的值为________5.表示图形中的阴影部分________________6.定义集合运算:{}B y A x y x xy Z Z B A ∈∈+==Θ,),(设集合A={}1,0,B={}3,2,则集合B A Θ的所有元素之和为____________五、典型例题 A B C例1、设全集R U =,{}5≥=x x A ,{}50<≤=x x B ,求()B A C U ?和()()B C A C U U ?,你从中发现了什么结论?并证明例2、设R b a ∈,,集合{}=+b a b a b a ,,0,,1,求a b -例3、已知集合{}R x x a x a x A ∈=+++-=,01)1()1(22中仅有一个元素,求a 的值例4.已知集{}{}}{02,0)1(,023222=+-==-+-==+-=mx x x C a ax x xB x x x A 若C C A A B A =?=?,,求实数a 和m 的值或者取值范围六、课后作业1.设全集{}{}{}4,3,5,4,6,5,4,3,2,1===B A U 则()B A C U ?___________2.设{}{}R x x y y N R x x x y y M ∈-==∈+-==,1,,342,则N M ?______________3.对于命题{}{}{}{}{}3,22)5(,0)4(,0)3(,3)2(,1723)1(∈?∈∈∈≤?N Q x x 其中正确的是___________4.设全集R I =,集合{}{}4,3,2,1,31=+≤=N x x M 则()N M CI ?_____________5.*已知道集合∈∈-=Z a N a a M ,56*,则M=_____________6.* *设集合≤∈<∈==3,,2,,*n N n m Z m n mx x M 用列举法表示集合M________________7.已知集合{}()(){}0431,053222=-++==+-=x x x x B x x x A且B P A ??求满足条件的集合P8.已知集合{}{},1,1,3,3,1,122+--=-+-=a a a B a a A 若{}2-=?B A ,求实数a 的值9.**已知集合{}4=-=a x x A ,集合{}b B ,2,1=1.是否存在实数a 使得对于任意实数b 都有B A ??若存在,求出相应的a,否则说明理由2.若B A ?成立,求出相应的实数对()b a ,10.设A B ≠，求满足{}12,A B a a ?=的集合A,B 的一切可能组成情况。
集合的概念教学设计
集合的概念教学设计集合的概念及相关运算教学设计一、教材分析1.知识来源：集合的概念选自湖南教育出版社必修一中第一章集合与函数概念的第一小节；2. 知识背景：作为现代数学基础的的集合论，集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学中一些冗长的文字语言．高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，作为一种数学简单符号来探究。
通过本节课的学习，是阶段性的要求，学生将领悟集合的抽象性及其具体性，学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，逐渐发展运用数学语言进行交流的能力。
3.知识外延：集合相关知识的学习对于接下来函数的学习至关重要，高中函数的概念将建立在集合间关系的基础上的。
二、学情分析1．学生心理特征分析：集合为高一上学期开学后的第一次授课知识，是学生从初中到高中的过渡知识，存在部分同学还沉浸在暑假的懒散中，从而增加了授课的难度。
再者，与初中直观、具体、易懂的数学知识相比，集合尤其是无限集合就显得抽象、不易理解，这会给学生产生一定的心理负担，对高中数学知识的学习产生排斥心理。
因此本节授课方法就显得十分重要。
2．学生知识结构分析：对于高一的新生来说，能够顺利进入高中知识的学习，基本功还是较扎实的，有良好的学习态度，也有一定的自主学习能力和探究能力。
对集合概念的知识接纳和理解打下了良好的基础，在教学过程中，充分调动学生已掌握的知识，增强学生的学习兴趣。
三、教学目标(一)知识与技能目标1．了解集合的含义与表示，理解集合间的基本关系，掌握集合的基本运算。
能从集合间的运算分析出集合的基本关系，同时对于分类讨论问题，能区分取交还是取并．2．学会在具体的问题中选择恰当的集合表示方法，理解集合有限和无限的特征，理清“元素和集合关系”和“集合与集合关系”符号的区别，不混淆。
3.学会正确使用集合补集思想，即为“正难则反”的思想。
(二)过程与方法目标1．通过学生自主知识梳理，了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学习的内容网络化、系统化．2．在解决问题的过程中，学生通过自主探究、合作交流，领悟知识的横、纵向联系，体会集合的本质．3. 学生通过集合概念的学习，应掌握分类讨论思想、化简思想以及补集思想等。
专题1集合的综合问题2024-2025学年新教材高中数学必修1同步教学设计(湘教版)
授课内容
授课时数
授课班级
授课人数
授课地点
授课时间
教材分析
“专题1集合的综合问题”是2024-2025学年新教材高中数学必修1同步教学设计（湘教版）中的一个重要部分。本专题主要涉及集合的基本运算、集合之间的关系以及集合在实际问题中的应用。通过对本专题的学习，学生能够深入理解集合的概念，掌握集合的基本运算方法，了解集合之间的关系，并能运用集合解决实际问题。
（3）鼓励学生：对学生的努力和进步给予肯定和鼓励，激发他们的学习积极性和自信心。
3.学生反馈
（1）学生自我评价：鼓励学生进行自我评价，让他们反思自己的学习过程和收获，培养他们的自我学习能力。
（2）学生互评：组织学生之间的相互评价，让他们互相学习和借鉴，提高解题能力和团队合作能力。
（3）学生对教学的反馈：收集学生对教学的评价和建议，了解他们的需求和期望，不断改进教学方法和策略。
1.理解并运用集合的基本概念和运算方法，提升数学抽象能力。
2.掌握集合之间的关系，培养逻辑推理能力。
3.能够运用集合解决实际问题，提升数学建模能力。
学习者分析
1.学生已经掌握了哪些相关知识：在学习本专题之前，学生应该已经掌握了初中阶段的集合基本概念和简单的集合运算，如并集、交集、补集等。他们应该能够理解集合的表示方法，如列举法和对角线法，并能够运用这些知识解决一些基本问题。
2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：学生可能对集合的综合问题感兴趣，尤其是那些喜欢解决实际问题和探究数学规律的学生。他们在学习能力上可能存在差异，有些学生可能擅长逻辑推理和证明，而有些学生可能更擅长运用集合解决实际问题。学生的学习风格也可能各不相同，有的喜欢通过直观的图形来理解集合运算，有的则更喜欢通过实例和案例来学习。
1.1.1集合 2023-2024学年高一上学期数学湘教版 必修第一册
1−a
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素． (2)集合A不可能是单元素集．
变式探究 本例前提条件不变，求证以下两个问题：
(1)若3∈A，则A中必还有另外两个元素．
(2)若a∈A，则1－1∈A.
a
证明：(1)因为3∈A，
所以 1 ＝－1∈A，
所以B＝{－3，3}．
(3)由ቊy
y==−x2x++2，5，得ቊyx
= =
1， 3，
所以一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的交点为(1，3)，所以D＝{(1，3)}．
题型2 描述法表示集合 例2 用描述法表示下列集合： (1)小于10的所有非负整数构成的集合； (2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合； (3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合； (4)集合{1，3，5，7，…}．
要点四 常用数集及表示符号
名称 记法
自然数集 ___N____
_
正整数集 _N_*_或_N__＋_
_
整数集 ___Z____
_
有理数集 ___Q____
_
实数集 ___R____
_
要点五 集合的分类 (1)有限集：元素个数__有__限____的集合叫有限集(或有穷集)． (2)无限集：元素__无__限_多___的集合叫无限集(或无穷集)． (3)空集： 没有元素的集合叫空集，记作___∅_____．
方法归纳 判断一组对象能否组成集合的策略 (1)注意集合中元素的确定性，看是否给出一个明确的标准，使得对 于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素，若具 有此“标准”，就可以组成集合；否则，不能组成集合． (2)注意集合中元素的互异性、无序性．
湘教版高中数学必修第一册第1章1-1-1第2课时表示集合的方法课件
体验2．(1)用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是( )
A．{x|y＝3x＋1}
B．{y|y＝3x＋1}
√C．{(x，y)|y＝3x＋1}
D．{y＝3x＋1}
(2)用描述法表示不等式4x－5<7的解集为__{_x|_x_<_3_}__．
(1)C (2){x|x<3} [(1)该集合是点集，故可表示为{(x，y)|y＝3x＋1}，
思考1．(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？ (2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？ [提示] (1)元素的共同特征为x∈R，且x<5． (2){x|x<5，x∈R}． 提醒 用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集，区分的关 键是代表元素．如{x|x>3，x∈R}是数集，{(x，y)|y＝x＋1}是点集．
A．{x|－3<x<11，x∈Z}
题号
B．{x|－3<x<11}
1
C．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈N}
2
3
√D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}
4
5
D [由题意可知，满足题设条件的只有选项D．故选D．]
3．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是( A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2} C．{(－2，1)}
[跟进训练] 4．已知区间(a2＋a＋1，7]，则实数a的取值范围是__(－__3_，__2_)__． (－3，2) [由题意可知a2＋a＋1<7， 即a2＋a－6<0， 令函数y＝a2＋a－6，由函数图象(图略)可知， 当y＜0时，－3<a<2， 所以实数a的取值范围是(－3，2)．]
2024-2025学年高一数学必修第一册(配湘教版)教学课件1.1.3集合的交与并
规律方法
求两个集合的并集时,若用描述法给出的集合,要先明确集合中
的元素是什么,有时直接观察可写出并集,有时则需借助Venn图或数轴写出
并集;若用列举法给出集合,则依据并集的定义,可直接观察或借助于Venn
图写出并集.
探究点三
集合运算性质的运用
【例3】 设A={x|x2-2x=0},B={x|x2-2ax+a2-a=0}.
B={x|x≤1或x>6},则A∩∁RB=( D )
A.{2,3,4}
B.{x|1<x<4}
C.{x|1<x≤6}
D.{x|1<x≤4}
解析 由题意可知,∁RB={x|1<x≤6},
又A={x|0<x≤4},所以A∩∁RB={x|1<x≤4}.故选D.
1 2 3 4
2.已知集合A={x|x-a>0},B={x|2-x<0},且A∪B=B,则实数a满足的条件是
两个集合的交集运算
【例1】 设A={x|x2-7x+6=0},B={x|4<x<9,x∈N},求A∩B.
解 A={1,6},B={5,6,7,8},用Venn图表示集合A,B,如图所示,
依据交集的定义,观察可得A∩B={6}.
规律方法
求两个集合的交集的解题策略
求两个集合的交集时,首先要识别所给集合,其次要简化集合,即明确集合
3
.
1 2 3 4
4.已知全集U=R,A={x|-3≤x≤1},B={x|-1<x≤5},P={x|x≤1或x≥2}.求:
(1)∁UA,∁UB,∁UP;
(2)∁UA∩∁UB,B∪∁UP,P∩∁UA.
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课题：集合
教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。
另一方面，集合论及其
所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。
课型：新授课
教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；
（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体
问题，感受集合语言的意义和作用；
教学重点：集合的基本概念与表示方法；
教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：
一、引入课题
军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
阅读课本P2-P3内容
二、新课教学
（一）集合的有关概念
1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到
这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），
也简称集。
3.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生
的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
4.关于集合的元素的特征
（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，
或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），
因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样
5.元素与集合的关系；
（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a∉A（或
a A）（举例）
∈
6.常用数集及其记法
非负整数集（或自然数集），记作N
正整数集，记作N*或N+；
整数集，记作Z
有理数集，记作Q
实数集，记作R
（二）集合的表示方法
我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还
常用列举法和描述法来表示集合。
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；
例1．（课本例1）
思考2，引入描述法
说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。
（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范
围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}，…；
例2．（课本例2）
说明：（课本P5最后一段）
思考3：（课本P6思考）
强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素
{(x,y)|y= x2+3x+2}与{y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。
辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。
下列写法{实数集}，{R}也是错误的。
说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注
意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
（三）课堂练习（课本P6练习）
三、归纳小结
本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。