5速度分析和雅克比矩阵
雅可比矩阵的应用与求解
雅可比矩阵的应用与求解雅可比矩阵作为数值计算中的一个重要工具，在数学和工程领域中有着广泛的应用。
本文将介绍雅可比矩阵的相关理论和求解方法，并探讨其在实际问题中的应用。
一、雅可比矩阵的定义和性质雅可比矩阵可以被定义为实数域上的一个n阶矩阵，其主对角线上为矩阵函数对应行的一阶偏导数，其余元素为该函数对应行和列的二阶偏导数之积的相反数。
例如，在一个三元函数f(x,y,z)的情况下，对应的雅可比矩阵为：$$J = \begin{bmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial x} & \dfrac{\partial f}{\partial y} &\dfrac{\partial f}{\partial z} \\\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} & \dfrac{\partial^2f}{\partial y^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} \\\dfrac{\partial^2 f}{\partial z\partial x} & \dfrac{\partial^2f}{\partial z\partial y} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2} \\\end{bmatrix}$$雅可比矩阵的一些性质包括：在点$(x_0, y_0)$处的雅可比矩阵，其转置矩阵$J^T$等于这个点处的负梯度，即$-\nabla f(x_0, y_0)$；在对称矩阵的情况下，其对应的特征值是实数；在正定对称矩阵的情况下，其特征值是正实数。
这些性质直接影响了雅可比矩阵在实际应用中的效果和精度。
二、雅可比矩阵的求解方法在实际问题中，要计算雅可比矩阵通常有两种方法：解析方法和数值方法。
解析方法主要针对函数表达式已知、求导比较简单的情况。
简述机器人雅可比矩阵的概念
简述机器人雅可比矩阵的概念机器人雅可比矩阵是机器人控制理论中的一个重要概念，它描述了机器人末端执行器在关节空间和笛卡尔空间中的运动学关系。
本文将从机器人运动学的基本概念入手，介绍雅可比矩阵的定义、性质和应用，以及在机器人控制中的重要作用。
一、机器人运动学基本概念机器人运动学是研究机器人运动规律和运动参数的学科，它是机器人控制理论的重要组成部分。
机器人运动学主要分为正运动学和逆运动学两个部分。
正运动学是指通过机器人关节角度计算机器人末端执行器的位置和姿态，即把关节空间的运动状态转换为笛卡尔空间的运动状态。
逆运动学则是指通过机器人末端执行器的位置和姿态计算机器人关节角度，即把笛卡尔空间的运动状态转换为关节空间的运动状态。
正逆运动学是机器人控制中的基本问题，也是机器人实际应用中必须解决的问题。
机器人运动学中的基本概念包括机器人坐标系、机器人关节角度、机器人末端执行器的位置和姿态等。
机器人坐标系是机器人运动学中的一个基本概念，它是描述机器人运动状态的基础。
机器人坐标系可以分为基座坐标系和工具坐标系两种类型。
基座坐标系是机器人的固定参考系，通常与机器人底座相对应。
工具坐标系则是机器人末端执行器的参考系，通常与机器人末端执行器的位置和姿态相对应。
机器人关节角度是机器人运动学中的另一个基本概念，它是描述机器人关节运动状态的参数。
机器人关节角度通常用关节角度向量表示，例如q=[q1, q2, ..., qn]T，其中n是机器人关节数量。
机器人关节角度向量是机器人控制中的重要参数，它可以用来控制机器人的关节运动状态。
机器人末端执行器的位置和姿态是机器人运动学中的另一个基本概念，它是描述机器人末端执行器运动状态的参数。
机器人末端执行器的位置通常用位置向量表示，例如p=[x, y, z]T，其中x、y、z 是机器人末端执行器在笛卡尔空间中的位置坐标。
机器人末端执行器的姿态通常用姿态矩阵或欧拉角表示，例如R=[r11, r12, r13; r21, r22, r23; r31, r32, r33]，其中r11、r12、r13、r21、r22、r23、r31、r32、r33是姿态矩阵的元素。
速度雅可比矩阵定义
速度雅可比矩阵定义
摘要：
1.雅可比矩阵的定义
2.速度雅可比矩阵的概念
3.速度雅可比矩阵在物体运动中的应用
4.速度雅可比矩阵与其他矩阵的关系
正文：
速度雅可比矩阵是描述物体在运动过程中，速度变化情况的矩阵。
它涉及到物体的速度、加速度以及运动方向等多个因素，是分析物体运动状态的重要工具。
雅可比矩阵本身是一个描述物体运动状态的矩阵，其中包含了物体在各个方向上的加速度信息。
而速度雅可比矩阵则是在此基础上，加入了物体的速度信息，从而能够更加准确地描述物体在运动过程中的状态。
在物体运动中，速度雅可比矩阵可以用于分析物体的运动轨迹、速度变化以及受力情况等多个因素，从而对物体的运动状态进行准确的预测和控制。
此外，速度雅可比矩阵还可以与其他矩阵进行结合，如运动雅可比矩阵、位置雅可比矩阵等，以得到更全面、更准确的物体运动信息。
机器人运动学雅克比矩阵第8讲机器人的微分运动与速度
前三行称为位置雅可比矩阵，代表对手爪线速度V 的传递 比；后三行称为方位矩阵，代表相应的关节速度 q?i 对手爪
角速度 ? 的传递比，因此将 J 分块为：
?V?
??? ??
?
?J i1 ??J a1
Ji2 Ja2
? ?
?q?1 ?
J in Ja2
三逆雅可比矩阵及奇异性雅可比矩阵的奇异性由此可见当雅可比矩阵的行列式为0时既使手爪的速度为一个定值关节速度也将趋于无穷大最终结果会导致关节及该关节的驱动装置损坏
第八讲 机器人的雅可比矩阵 与速度分析
（一）雅可比矩阵的定义 （二）雅可比矩阵的构造法 （三）逆雅可比矩阵 （四）力雅可比 （五）加速度关系
（一）雅可比矩阵的定义
? 把机器人关节速度向量 q?i 定义为：
q? ? ?q?1 q?2 ? ? q?n T
式中，q?i (1,2,? , n) 为连杆 i 相对于
i ? 1的角速度或线速度。
? 手爪在基坐标系中的广义速度向量为：
? ? V
?
?v?
???
? ?
?
x?
y?
z? ? x
?y
?z T
? q? 与 V之间的线性映射关系称为
比矩阵来确定关节速度向量。
? 当 J 是方阵时，可对J 直接求逆，得到 J ?1?q?，但比较困
难。
? 通常直接对机器人的逆解进行微分来求 J ?1?q?。
（三）逆雅可比矩阵及奇异性
例题：图中所示二自由度机械 手，手部沿固定坐标系 X正向 以1.0m/s 的速度移动，杆长 均为0.5m。设在某瞬时θ 1＝ 30°，θ 2＝60°，求相应瞬 时的关节速度。
速度雅克比矩阵分析
速度分析---雅可比矩阵---关节速度与末端速度的映射关系雅克比矩阵的获得方法：位置关系求导；矢量积法；微分变换法 雅克比的性质：6 x n 的偏导数矩阵，前3行为末端线速度传动比，后3行为末端角速度传动比。
行数=机器人在操作空间的维数，列数n=关节数。
雅克比的应用：1、判断奇异状态：|J|=02、雅克比矩阵的奇异值分解，将雅可比矩阵分解出对角阵（对角元素为奇异值），对角阵和雅可比矩阵具有相同的秩。
3、条件数，定义式（文献）根据是否满自由度划分，和奇异值存在关系：条件数是最大和最小奇异值的比值。
条件数k ≥1，当k=1时，操作臂所具有的形位称为各向同性，灵巧性最高，各奇异值相等。
4、最小奇异值，可用来作为控制所需关节速度上限的指标（限定式见文献）。
5、运动灵巧性指标，条件数的倒数。
附件1：矢量积法矢量积的方法是whitney 基于运动坐标系概念于1972年提出的求解机器人运动雅克比矩阵的方法。
末端抓手的微分移动和微分转动分别用d 和δ表示，线速度和角速度分别用v 和w 表示。
对于移动关节i 的运动，它在末端手抓产生于z1轴相同方向的线速度，且0i i v z qw ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因此得到雅可比矩阵的第i 列0i i Z L ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(移动关节i)对于转动关节i 的运动，它在终端抓手上产生的线速度为矢量积0()i i n i v z p q =⨯，产生的角速度为i i w z q= 。
因此，雅可比矩阵的第i 列为()00ii i in i n i i i Z R P Z P J z Z ⎡⎤⨯⎡⎤⨯==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦式中，⨯表示矢量积符号，0in P 表示末端抓手坐标的原点相对坐标系{i}的位置在基座标系{0}的表示，0i n P =()0i in R P ,Zi 是坐标系{i}的Z 轴单位方向，它是用坐标系表示的。
附件2：微分变换法速度可以看成是单位采样时间内的微分运动。
速度运动学-雅可比矩阵
第4章 速度运动学——雅可比矩阵在数学上，正运动学方程在笛卡尔位置和姿态空间与关节位置空间之间定义了一个函数，速度之间的关系由这个函数的雅可比矩阵来决定。
雅可比矩阵出现在机器人操作的几乎各个方面：规划和执行光滑轨迹，决定奇异位形，执行协调的拟人动作，推导运动的动力学方程，力和力矩在末端执行器和机械臂关节之间的转换。
1.角速度：固定转轴情形k θω&=（k 是沿旋转轴线方向的一个单位向量，θ&是角度θ对时间的倒数）2.反对称矩阵一个n n ⨯的矩阵S ρ被称为反对称矩阵，当且仅当0=+S S T,我们用)3(so 表示所有33⨯反对称矩阵组成的集合。
如果)3(so S ∈，反对称矩阵满足0=+ji ij s s 3,2,1,=j i ，所以ii S =0，S 仅包含三个独立项，并且每个33⨯的反对称矩阵具有下述形式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=000121323s s s s s s S 如果T z y x a a a a ),,(=是一个3维向量，我们将对应的反对称矩阵)(a S 定义为如下形式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=000)(xy x zy z a a a a a a a S 反对称矩阵的性质1）)()()(b S a S b a S βαβα+=+ 向量a 、b 属于3R ，α、β为标量2）p a p a S ⨯=)( 向量a 、b 属于3R ，p a ⨯表示向量叉乘3）)()(Ra S R a RS T=，左侧表示矩阵)(a S 的一个相似变换，这个公式表明：)(a S 在坐标系中经过R 旋转操作的矩阵表示与反对称矩阵)(a SR 相同，其中)(a SR 对应于向量a 被转过R 这种情形。
4）对于一个n n ⨯的反对称矩阵S ,以及任何一个向量n R X ∈，有0=SX X T旋转矩阵的导数)(θθSR R d d= 公式表明：计算旋转矩阵的R 的导数，等同于乘以一个反对称矩阵S 的矩阵乘法操作。
雅克比矩阵
Jacobi 方法Jacobi方法是求对称矩阵的全部特征值以及相应的特征向量的一种方法，它是基于以下两个结论1) 任何实对称矩阵A可以通过正交相似变换成对角型，即存在正交矩阵Q,使得Q T AQ = diag(λ1,λ2,…,λn)其中λi(i=1,2,…,n)是A的特征值，Q中各列为相应的特征向量。
2) 在正交相似变换下,矩阵元素的平方和不变。
即设A=(aij )n×n,Q交矩阵,记B=Q T AQ=(bij )n×n, 则Jacobi方法的基本思想是通过一次正交变换,将A中的一对非零的非对角化成零并且使得非对角元素的平方和减小。
反复进行上述过程,使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。
1 矩阵的旋转变换设A为n阶实对称矩阵，考虑矩阵易见 Vij(φ)是正交矩阵, 记注意到B=VijA的第i,j行元素以及的第i,j列元素为可得如果aij≠0，取φ使得则有对A(1)重复上述的过程，可得A(2) ,这样继续下去, 得到一个矩阵序列{A(k) }。
可以证明，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元素零元素的个数单调增加，但可以保证非对角元素的平方和递减，我们以A与A(1)为例进行讨论。
设由式可得这表明,在上述旋转变换下,非对角元素的平方和严格单调递减,因而由可知，对角元素的平方和单调增加。
2. Jacobi方法通过一系列旋转变换将A变成A(k+1) ,求得A的全部特征值与特征向量的方法称为Jacobi方法。
计算过程如下1)令k=0, A(k) =A2) 求整数i,j, 使得3) 计算旋转矩阵4) 计算A(k+1)5) 计算6) 若E(A(k+1))<ε, 则为特征值，Q T = (V(0) V(1)…V(k+1))T的各列为相应的特征向量；否则，k+1=>k返回2,重复上述过程。
例5 用Jacobi方法求矩阵的特征值和特征向量。
雅可比矩阵和动力学分析
雅可比各列旳计算公式：
6 x
6 y
n x ny nz ( p n)x o x oy oz ( p o)x
6 z
6 x
a x 0
ay 0
az 0
( pa)x nx
6 y
6 z
0 0
0 0
0 0
ox ax
( p n)y ( p o)y
( p n)z ( p o)z
i x
i y
(2) 内部奇异形位：两个或两个以上关节轴线重叠时，机 器人各关节运动相互抵消，不产生操作运动。相应旳机器 人形位叫做内部奇异形位。
当机器人处于奇异形位时会产生退化现象，丧失一种或更 多旳自由度。这意味着在工作空间旳某个方向上，不论怎 样选择机器人关节速度，手部也不可能实现移动。
当l1l2s2＝0时无解，机器人逆速度雅可比J-1奇异。 因l10，l20，所以，在2＝0或2＝180时，机器 人处于奇异形位。
2
Y
2
d1 d2
写成矩阵形式为
X
dX dY
1
Y
1
X
2
Y
2
d1 d2
X X
令
J
1
2
Y Y
1
2
简写为： dX=J dθ
关节空间微小运 动dθ与手部作业 空间微小位移 dX旳关系。
2R机器人旳速度雅可比矩阵为：
J
l1s1 l2s12
l1c1
l2c12
当雅可比不是满秩矩阵时，J旳行列式为0。
当雅可比不是满秩矩阵时，可能出现奇异解，机器人旳奇 异形位，相应操作空间旳点为奇异点。
机器人旳奇异形位分为两类：
(1) 边界奇异形位：当机器人臂全部伸展开或全部折回时， 手部处于机器人工作空间旳边界上或边界附近，逆雅可比 奇异。相应旳机器人形位叫做边界奇异形位。
速度运动学-雅可比矩阵
速度运动学-雅可⽐矩阵第4章速度运动学——雅可⽐矩阵在数学上，正运动学⽅程在笛卡尔位置和姿态空间与关节位置空间之间定义了⼀个函数，速度之间的关系由这个函数的雅可⽐矩阵来决定。
雅可⽐矩阵出现在机器⼈操作的⼏乎各个⽅⾯：规划和执⾏光滑轨迹，决定奇异位形，执⾏协调的拟⼈动作，推导运动的动⼒学⽅程，⼒和⼒矩在末端执⾏器和机械臂关节之间的转换。
1.⾓速度：固定转轴情形k θω =（k 是沿旋转轴线⽅向的⼀个单位向量，θ是⾓度θ对时间的倒数） 2.反对称矩阵⼀个n n ?的矩阵S 被称为反对称矩阵，当且仅当0=+S S T,我们⽤)3(so 表⽰所有33?反对称矩阵组成的集合。
如果)3(so S ∈，反对称矩阵满⾜0=+ji ij s s 3,2,1,=j i ，所以ii S =0，S 仅包含三个独⽴项，并且每个33?的反对称矩阵具有下述形式：---=000121323s s s s s s S 如果Tz y x a a a a ),,(=是⼀个3维向量，我们将对应的反对称矩阵)(a S 定义为如下形式：---=000)(xy x zy z a a a a a a a S 反对称矩阵的性质1）)()()(b S a S b a S βαβα+=+ 向量a 、b 属于3R ，α、β为标量2）p a p a S ?=)( 向量a 、b 属于3R ，p a ?表⽰向量叉乘3）)()(Ra S R a RS T=，左侧表⽰矩阵)(a S 的⼀个相似变换，这个公式表明：)(a S 在坐标系中经过R 旋转操作的矩阵表⽰与反对称矩阵)(a SR 相同，其中)(a SR 对应于向量a 被转过R 这种情形。
4）对于⼀个n n ?的反对称矩阵S ,以及任何⼀个向量nR X ∈，有0=SX X T旋转矩阵的导数)(θθSR R d d= 公式表明：计算旋转矩阵的R 的导数，等同于乘以⼀个反对称矩阵S 的矩阵乘法操作。
3.⾓速度：⼀般情况)())(()(t R t w S t R= ，其中，矩阵))((t w S 是反对称矩阵，向量)(t w 为t 时刻旋转坐标系相对于固定坐标系上的点p 。
雅可比矩阵在机器人静力学中的作用
雅可比矩阵在机器人静力学中的作用雅可比矩阵在机器人静力学中扮演了关键的角色，它用于描述机器人系统中的运动学和动力学关系。
下面我将逐个回答你的问题，并用易于理解的术语解释。
1. 雅可比矩阵是什么雅可比矩阵是一个将机器人的关节速度与其末端执行器速度之间的关系进行描述的矩阵。
它将机器人关节空间中的速度转化为末端执行器空间中的速度。
雅可比矩阵的每个元素代表了末端执行器速度对于关节速度的敏感程度。
2. 机器人的静力学是什么机器人的静力学研究的是机器人系统在静止或匀速运动时所受到的力学影响。
它关注的是机器人系统在特定关节角度下的受力情况，包括关节力和末端执行器力等。
3. 雅可比矩阵在机器人静力学中的作用是什么雅可比矩阵在机器人静力学中的作用是用于分析机器人系统中的力学平衡和力的传递。
通过雅可比矩阵，我们可以将末端执行器的力转化为关节力，并且可以控制机器人系统中的力分配。
4. 如何利用雅可比矩阵进行力的传递分析在机器人静力学中，我们可以利用雅可比矩阵来分析力的传递和分布。
具体而言，我们可以通过雅可比矩阵将末端执行器上的力转化为关节空间中的力。
这样，我们可以对机器人系统进行力分析，包括力矩的计算和力的传递路径的分析等。
5. 为何需要力的传递分析力的传递分析对于机器人的应用非常重要。
它可以帮助我们理解机器人系统中的力分配情况，从而进行力控制和路径规划等。
通过力的传递分析，我们可以确定机器人系统中各个部分所受到的力，以及力的传递路径是否满足设计要求。
总结起来，雅可比矩阵在机器人静力学中的作用是描述机器人系统中的运动学和动力学关系。
它帮助我们分析机器人系统中的力学平衡和力的传递，从而进行力控制和路径规划等。
通过雅可比矩阵的应用，我们可以将末端执行器的力转化为关节力，并且可以确定机器人系统中各个部分所受到的力，从而进行力的传递分析。
这对于机器人的应用非常重要，能够帮助我们优化机器人的设计和控制，提高其性能和安全性。
机器人雅各比矩阵
速度雅可比矩阵与速度分析
机器人雅可比矩阵（简称雅可比，Jacobian Matrix）揭示了操 作空间与关节空间的映射关系。雅可比不仅表示操作空间与关
机器人速度分析
对前式左、右两边各除以dt，得 或表示为 式中：V
dX dq =J (q) dt dt
V = X =J （q )q
为机器人末端在操作空间中的广义速度； 为机器人关节在关节空间中的关节速度；
q
J(q) 为确定关节空间速度
q
,与操作空间
速度V之间关系的雅可比矩阵。
对于2R机器人
V 1 x V = =J （q ) Vy 2
即
x x (1 , 2 ) y y (1 , 2 )
x x dx d1 d 2 1 2 y y dy d1 d 2 1 2
x 1 dx dy y 1 x 2 d1 y d 2 2
将其微分得
写成矩阵形式为
令
x J 1 y 1
x 2 y 2
前式简写为
dX Jd
d1 d d 2
式中
dx dX dy
J称为2R机器人的速度雅可比，它反映了关节空间微小运动 dθ与手部作业空间微小位移dX的关系。
可见，J 阵的值是关于θ1及θ2的函数。
对于n自由度机器人 广义关节变量: q= [q1, q2, …, qn]T
雅可比矩阵和动力学分析
手部瞬时速度为1 m/s。
三、雅可比矩阵的奇异性
J
1q
J *q J q
J *q ——J矩阵的伴随阵
若 Jq 0 则 J 1 q
q J 1q•V
由此可见，当雅可比矩阵的行列式为0时，要使手爪 运动，关节速度将趋于无穷大。
当雅可比不是满秩矩阵时，J的行列式为0。
与操作空间速度v之间关系的雅可比矩阵。
反之，假如给定工业机器人手部速度，可解出 相应的关节速度，即：
q J 1V
式中：J-1称为工业机器人逆速度雅可比。 当工业机器人手部在空间按规定的速度进行作 业，用上式可以计算出沿路径上每一瞬时相应 的关节速度。
例1 如图示的二自由度机械手，手部沿固定坐标系 X0轴正向以1.0 m/s的速度移动，杆长l1=l2=0.5 m。 求当θ1=30°，θ2=60°时的关节速度。
解 由推导知，二自由度机械手速度雅可比为
J
Байду номын сангаас
l1s1 l2s12
l1c1
l2c12
l2s12
l2c12
二自由度机械手手爪沿X0方向运动示意图
逆雅可比为
J 1
1
l1l2s2
l2c12
l1c1
l2c12
l2s12
l1s1
l2s12
θ& J 1v 且vX=1 m/s，vY=0，因此
&&12
第3章 雅可比矩阵和动力学分析
上一章讨论了刚体的位姿描述、齐次变换，机器 人各连杆间的位移关系，建立了机器人的运动学 方程，研究了运动学逆解，建立了操作空间与关 节空间的映射关系。
机器人雅可比矩阵求法
机器人雅可比矩阵求法
机器人雅可比矩阵求法是机器人运动学中的重要内容。
雅可比矩阵描述了机器人末端执行器的速度与关节运动的速度之间的关系。
在机器人运动控制中，通过雅可比矩阵可以快速地计算机器人末端执行器的速度与关节速度之间的对应关系，从而实现机器人的控制。
在机器人的运动学模型中，雅可比矩阵是一个矩阵，它的行数等于机器人末端执行器的自由度，列数等于机器人各个关节的自由度。
雅可比矩阵中的每个元素表示机器人末端执行器中的一个自由度对
于机器人各个关节中一个自由度的影响程度。
雅可比矩阵的求解方法可以通过数值方法和解析方法两种途径。
数值方法是通过数值微分来近似计算雅可比矩阵。
解析方法则是通过对机器人的运动学模型进行求导来求解雅可比矩阵。
在实际应用中，解析方法更为常用，因为它具有计算量小、计算速度快、精度高等优点。
机器人雅可比矩阵求解的过程中，需要注意机器人的运动学模型是否具有奇异点，对于奇异点的处理需要格外注意。
此外，由于机器人的运动学模型是非线性的，因此在求解雅可比矩阵时需要进行线性化处理，以便更好地适应控制器的需求。
总之，机器人雅可比矩阵是机器人运动学中的重要内容，掌握雅可比矩阵的求解方法对于机器人的运动控制具有重要的意义。
- 1 -。
速度雅可比矩阵定义
速度雅可比矩阵定义1. 引言速度雅可比矩阵是数学中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍速度雅可比矩阵的定义、性质以及应用，以帮助读者更好地理解和运用这一概念。
2. 速度雅可比矩阵的定义速度雅可比矩阵是描述多变量函数之间的关系的一个矩阵。
它是一个m×n 的矩阵，其中 m 是函数的输出维度，n 是函数的输入维度。
速度雅可比矩阵的元素由函数的偏导数组成，每个元素表示函数输出关于函数输入的变化率。
假设有一个函数 f(x)，其中 x 是一个 n 维向量，表示函数的输入变量。
函数f(x) 的输出是一个 m 维向量，表示函数的输出变量。
那么函数 f(x) 的速度雅可比矩阵 J 的定义如下：J = ∂f/∂x = [∂f₁/∂x₁∂f₁/∂x₂ … ∂f₁/∂xₙ] [∂f₂/∂x₁∂f₂/∂x₂ … ∂f₂/∂xₙ] [… … … … ] [∂fₙ/∂x₁∂fₙ/∂x₂ … ∂fₙ/∂xₙ]其中∂f/∂x 表示函数 f(x) 的偏导数，∂fᵢ/∂xₙ 表示函数 f(x) 的第 i 个输出变量关于第 j 个输入变量的偏导数。
3. 速度雅可比矩阵的性质速度雅可比矩阵具有以下几个重要的性质：3.1. 行和列的关系速度雅可比矩阵的行数等于函数的输出维度，列数等于函数的输入维度。
这是由于速度雅可比矩阵的每一行对应函数的一个输出变量，每一列对应函数的一个输入变量。
3.2. 偏导数的计算速度雅可比矩阵的每个元素都可以通过对函数的偏导数进行计算得到。
计算时，可以使用链式法则来求解。
具体而言，对于函数 f(x) 的第 i 个输出变量关于第 j 个输入变量的偏导数，可以通过求解∂fᵢ/∂xₙ = ∂fᵢ/∂y₁ * ∂y₁/∂xₙ + ∂fᵢ/∂y₂ *∂y₂/∂xₙ + … + ∂fᵢ/∂yₙ * ∂yₙ/∂xₙ 的方式得到，其中 y 是函数 f(x) 的中间变量。
3.3. 矩阵的性质速度雅可比矩阵可以视为一个线性变换的表示。
雅可比矩阵算法
雅可比矩阵算法
雅可比矩阵算法主要用于分析多元函数的导数或微分，具体步骤如下：
1. 定义：设U⊂ℝⁿ，f:U→ℝ为光滑映射，fⁱ:=uⁱ∘f:U→ℝ为分量函数，则f 在p点的雅克比矩阵为k×n矩阵Df(p)，其(i,j)矩阵元为Dfⁱ(p)。
2. 分析：雅可比矩阵体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近，其重要性在于它类似于多元函数的导数。
3. 应用：雅可比矩阵主要用于研究非线性变换后的网格分布。
当非线性变换后，网格分布可能不等距或不平行，但如果把局部放大，在某一点附近，可以近似的把这个变换看成是局部线性变换。
以上是雅可比矩阵算法的基本步骤和应用，仅供参考，如需了解更多信息，建议查阅相关文献或咨询专业数学研究人员。
速度雅可比矩阵定义
速度雅可比矩阵定义
速度雅可比矩阵定义：
速度雅可比矩阵（Jacobian matrix of velocity）是一种数学工具，用于描述多变量函数之间的关系。
它常用于物理学、工程和机器人学等领域中，用于解决运动学和动力学问题。
速度雅可比矩阵是由函数的偏导数组成的矩阵。
对于一个具有m个输出变量和n个输入变量的函数，它的速度雅可比矩阵的维度是m×n。
每个元素Jij表示第i个输出变量相对于第j个输入变量的偏导数。
在机器人学中，速度雅可比矩阵可以帮助我们分析机器人末端执行器的运动学相关性。
通过将机器人的关节速度与末端执行器的速度进行关联，我们可以使用速度雅可比矩阵来计算末端执行器的速度与关节速度之间的变化率。
在动力学中，速度雅可比矩阵也被广泛应用。
它可以帮助我们研究系统的稳定性和控制性能，以及解决反向动力学问题。
通过分析系统的速度雅可比矩阵，我们可以评估系统的灵敏度和响应性能。
速度雅可比矩阵在工程领域中的应用也非常广泛。
例如，在流体力学中，速度雅可比矩阵可以帮助我们研究流体的速度场和压力场之间的关系。
在电力系统中，速度雅可比矩阵可以用于分析电力网络的稳定性和传输能力。
总结而言，速度雅可比矩阵是描述多变量函数之间关系的重要数学工具。
它在物理学、工程和机器人学等领域中具有广泛的应用，可以帮助我们解决运动学和动力学问题，分析系统的性能和响应特性。
速度雅可比矩阵定义
速度雅可比矩阵定义摘要：1.速度雅可比矩阵的定义2.速度雅可比矩阵的应用3.速度雅可比矩阵的性质正文：速度雅可比矩阵是控制理论中的一个重要概念，它主要用于描述系统状态变量的变化规律。
在多变量系统中，速度雅可比矩阵能够反映系统状态变量之间的相互关系，从而为分析和设计控制系统提供有力工具。
首先，我们来了解速度雅可比矩阵的定义。
速度雅可比矩阵，简称雅可比矩阵，是指系统状态变量的一阶导数与系统输入之间的矩阵关系。
具体来说，如果系统状态变量x(t) 可以表示为x(t)=x0(t)+∫u(t)dt，其中x0(t) 表示系统状态变量的零阶保持器，u(t) 表示系统输入，那么速度雅可比矩阵J 就可以表示为J=x/u，即系统状态变量的一阶导数与系统输入的偏导数组成的矩阵。
接下来，我们来探讨速度雅可比矩阵的应用。
在控制系统设计中，速度雅可比矩阵具有重要的应用价值。
首先，速度雅可比矩阵可以用于分析系统的稳定性。
如果系统的速度雅可比矩阵J 满足J=J^T（J 的转置矩阵）且行列式det(J)>0，那么系统就是稳定的。
此外，速度雅可比矩阵还可以用于分析系统的可控性。
如果系统的速度雅可比矩阵J 满足det(J)=0 且rank(J)=n（n 为系统状态变量维数），那么系统就是完全可控的。
最后，我们来研究速度雅可比矩阵的性质。
根据速度雅可比矩阵的定义，可以得出以下性质：1）速度雅可比矩阵是系统状态变量的一阶导数与系统输入之间的矩阵关系；2）速度雅可比矩阵是系统状态变量变化规律的重要表征；3）速度雅可比矩阵可以用于分析系统的稳定性和可控性。
总之，速度雅可比矩阵是控制理论中的一个重要概念，它可以反映系统状态变量之间的相互关系，并为分析和设计控制系统提供有力工具。
雅可比矩阵的性质
雅可比矩阵的性质
雅可比矩阵是数学分析中的一个基本概念，它是有限维上的线性变换形式的几何学矩阵表示。
这种基本概念在数学计算中使用非常普遍，它可以用来求解复杂系统中的微分方程、数字系统模型及其他相关问题。
简而言之，雅可比矩阵是将数字问题转换为矩阵表示的一种方式。
雅可比矩阵的一般性质是，如果它的特征值和特征矩阵都存在，那么它一定是一个可逆的矩阵。
在数学上，可逆的矩阵表示可以被反转，这也就是说，一个矩阵可以从一个变换回原来的变换。
雅可比矩阵的可逆性实际上取决于它的特征值是否都大于零。
如果矩阵的特征值都大于零，那么它就一定是可逆的。
此外，雅可比矩阵有一个特殊的性质：它是正定的，即x和x的转置相乘的结果大于等于零，这保证了线性变换的可能性以及变换的完整性。
此外，雅可比矩阵也是一个对角矩阵，可以用特征值来表示。
它的性质是：所有非主对角线元素都等于零，对角线上的所有元素称为特征值；由于它是可逆的，所以它的特征值都是非零的。
最后，雅可比矩阵可以用来表示一个系统的动力学行为，因此它在机械系统中被经常使用。
它可以描述物理系统中的变化情况，也可以用来研究运动物体的加速度等行为，从而分析物理过程。
综上所述，雅可比矩阵是一种极其重要的数学形式，它提供了用矩阵形式描述和表示复杂数学问题的可能性和具体方法。
它的性质包
括：可逆性、正定性和对角矩阵等，其中还包括一系列特征值和特征矩阵。
而研究运动物体的加速度等行为也可以用雅可比矩阵进行分析。
总之，雅可比矩阵给数学计算带来了许多方便，其特性也使它在多个领域中被广泛使用。
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线速度 角速度
例：图示4自由度机械臂为例分别求 线速度Jv和角速度Jw部分
求线速度Jv
将红色3*1部分对关节空间向量 [θ1 d2 θ3 θ4]求导可得
求角速度Jw 以2R为例说明
为θ1和θ2单独旋转后的合成，单独旋转角 度与a相同
列：关节
…
X qn Y qn Z qn X qn Y qn Z qn
…
线位移
…
J(q)
…
…
角位移
…
5、机器人速度分析和雅可比矩阵
5.4. 机器人的速度雅可比
由运动学方程可得：
X X (1 , 2 ) Y Y (1 , 2 )
求微分，得：
X X d X d d 2 1 1 2 dY Y d Y d 1 2 1 2
X 1 dX dY Y 1 X 2 d1 Y d 2 2
关节角度微小变化Δθ
雅可比矩阵J
手部位姿微小变化ΔX
如果已知两者之间的微分关系，就可以解决机器人微分运动的两类基本问题： 1）是在已知机器人各个关节变量的微小变化时求机器人手部位姿的微小变化；
2）是在已知机器人手部位姿的微小变化时求机器人各个关节变量相应的微小变化。
类似与运动学方程M=f(θ)建立映射关系
dX=J(q)dq
J(q)是6×n维偏导数矩阵，称为n自由度机器人雅可比
4、机器人运动学
5.3. 雅可比矩阵
X q J为机器人的雅可比矩阵，它 1 反映了机器人手部在空间的速 Y 度与各个关节速度之间的线性 q1 变换关系，也可认为是机器人 关节速度与手部速度之间的传 Z 动比 q1 X T q X 速度分析和静力分析 q 1 Y 行列关系：如第5行第3列表示当第3关 q1 节移动或转动微小量时在第5自由度上 相应的平移或转动量。 Z 行：自由度 那个是第5自由度？？ q1 X q2 Y q 2 Z q2 X q2 Y q2 Z q2
雅可比求逆法存在的问题
dx不能过大。因为雅可比是随着关节位置变化不断在变化的，一旦关节位置变 化很大，算出来的雅可比逆解就不再准确了。
矩阵求逆是一个非常消耗计算资源的运算
难以处理机器人奇异状态或接近奇异状态的情况。很小的dx可能求得很大的dq ，方程对数值误差也更加敏感；而当机器人处于Singularity时，线性方程可能 无解、也可能有无数多个解
反之，假如给定机器人手部速度，可解出相应的关节速度为
J–1称为机器人逆速度雅可比
2、机器人速度雅可比 [重要例题] 例：如图所示的二自由度机械手，手部沿固定坐标系X0轴正向以1.0 m/s的速度移 动，杆长l1=l2=0.5 m。设在某瞬时θ1=30°，θ2=60°，求相应瞬时的关节速度
l1s1 l2s12 l2s12 J l c l c l c 1 1 2 12 2 12 l2s12 1 l2 c12 1 J l1l2s 2 l1c1 l2 c12 l1s1 l2s12
1、机器人速度分析
利用机器人速度雅可比可对机器人进行速度分析，对雅可比左右除以dt
dX dq J (q ) dt dt
v为机器人末端在操作空间中的广义速度；q’为机器人关节在关节空间中的关 节速度；J(q)为确定关节空间速度q’与操作空间速度v之间关系的雅可比矩阵 以2R机器人为例，J(q)是2×2矩阵。令J1，J2分别为所示雅可比的第1列矢量和 第2列矢量，则： 仅由第一个关节运动引起的端点速度
5、机器人速度分析和雅可比矩阵
5.3. 雅可比矩阵
由上分析扩展到n自由度机器人，关节变量可用广义关节变量q表示， q=[q1, q2, …, qn]T， 1）当关节为旋转关节时qi=θi，关节在空间的微小转动； 2）当关节为移动关节时qi=di，dq=[dq1，dq2, … , dqn]T，反映了关节 空间的微小运动。 机器人末端在操作空间的位置和方位可用末端手部的位姿X表示，它 是关节变量的函数，X=X(q)，并且是一个6维列矢量。 dX=[dX，dY，dZ，△φX，△φY，△φZ]T反映了机器人在操作空间的微 小运动，它由机器人末端微小线位移和微小角位移(微小旋转)组成，反映 了机器人手部坐标系的微分运动与各关节微分运动的关系。
由运动学求解雅可比矩阵
X 其中，令： J 1 Y 1
X 2 Y 2
则上式可简写为： dX=Jdθ
dX d dX dθ 1 dY d 2
J 称为图所示2R机器人的雅可比，它反映了关节空间微小运动dθ与手部
机器人技术基础
----机器人速度分析和雅可比矩阵源自中国海洋大学工程学院 张 磊
录
目
Contents
机器人速度分析和雅可比 01
机器人的微分运动
02
机器人的雅可比矩阵
03
速度雅可比
04
雅可比的求解
机器人的运动关系
末端执行器end-effector 位置、速度、加速度
机 器 人 运 动 学 方 程 机器人结构 机器人的自由度
作业空间微小位移dX的关系。
实际操作运算可得：
l1s1 l2 s12 J l1c1 l2 c12
l2 s12 l2 c12
从J中元素的组成可见，J矩阵的值是关于关节角度θ1及θ2的函数
例：当关节角度θ1=0及θ2=90度的时候，雅可比为
l1s1 l2 s12 J l1c1 l2 c12
l2 s12 l2 c12
é -1 -1 ù =ê ú 0 û ë 1
1、保持θ1不动，转动θ2，此时手部最前端只能在x轴方向运动，速度为-1， Y方向为0，矩阵第二列为[-1 0] 2、保持θ2不动，转动θ1，此时手部最前端瞬时速度与第一关节轴的连线 垂直，半径√2，线速度√2，分解为x轴方向运动速度为-1，y轴方向为1， 矩阵第二列为[-1 1] 可以得到dx=Jdq的关系式，手部速度与关节速度为线性关系，与求解线性 方程Ax=b同样
5、机器人速度分析和雅可比矩阵
5.2. 机器人的雅可比矩阵
机器人雅可比的定义
机器人雅可比矩阵(简称雅可比)不仅表示操作空间与关节空间的速度映 射关系，也表示二者之间力的传递关系，为确定机器人的静态关节力矩以 及不同坐标系间速度、加速度和静力的变换提供了便捷的分析方法。 在机器人速度分析和静力分析中都将用到雅可比
稳态下机器人的运动学分析 静态机器人的位置、姿态
关节角度θ
运动学方程
手部位姿M
机器人运动中手部的瞬时速度？
机器人关节的速度？
关节速度q’
?
手部速度v
5、机器人速度分析和雅可比矩阵
5.1 机器人的微分运动
机器人的微分运动： 通过建立雅可比矩阵研究机器人关节变量的微小变化与机器人手部位姿的微小变化之间的关系
机器人的工作空间
坐标系的设定 坐标变换 机器人各关节的 转角、角速度、角加速度 移动量、速度、加速度
机器人运动学建立的关系
手部姿态
稳态下机器人的运动学分析
静态机器人的位置、姿态
D-H法
机器人的运动学方程
齐次坐标变换
关节角度与位姿的关系 关节角度
5、机器人速度分析和雅可比矩阵
5.1 机器人的微分运动
由右下图可得：
[例题]
由右上图可得：
[例题]
由运动学可得：
最后，得到雅可比矩阵表达形式J
[重要例题] 例题：如图所示平面二自由度机械臂，手先端的位置产生的微小变化， 此时求解机械臂各关节的回转度数。 (xe , ye ) （ 0.1,0.1 ）
由运动学求解雅可比矩阵
例：如图所示二自由度平面关节型机器 人(2R机器人)，分析端点位置X、Y微小 变位与关节θ1、θ2微小变化的关系
则，分别对基坐标求齐次坐标变换矩阵
知识点4
机器人的微分运动对机器人控制、误差分析、 动力分析和保证工作精度具有十分重要的意 义。
足式机器人运动学实例
水平面坐标系设定
依次设定四足机器人的左前，左后，右后，右前腿为 leg1，leg2，leg3，leg4， 并设置机体坐标系，坐标系的原点为重心(COG)，x 轴为机器人运动的方向， y 轴为由机体右侧指向左侧的方向， z 轴为机体由底部竖直向上的方向。 假定图 2-1 中机器人的姿态为初始姿态，各脚的位置为脚的基准位置( C1 , C2 , C 3 , C4 )，重 心在水平面的投影点落在四脚构成的长方形的对角线的交点。
关节空间 （速度、力）
操作空间 （速度、力）
雅可比矩阵的求解方法（1）： ①求解机械臂各关节单独做微小运动时，分别产生的手先端的移动量 ②针对所有关节按照①的方法进行计算，然后将产生的移动合并计算
[例题]雅可比的推导 如右图所示，各连杆长度为1的二自由度机械臂，各关节在某时刻做的微小转动 (1, 2 ) 的情况下，给出手部前端发的变化情况 (xe , ye ) 。
仅由第二个关节运动引起的端点速度 总的端点速度为这两个速度矢量的合成 因此，机器人速度雅可比的每一列表示其他关节不动而某一关节运动产生的端点 速度。
2、机器人速度雅可比 二自由度机器人手部的速度为
已知的θ1，θ2是时间的函数，即： θ1=f1 (t)，θ2=f2 (t)， 则可求出该机器人手部在某一时刻的速度v=f (t)，即手部瞬时速度
足式机器人运动学实例
分离速度控制
雅可比矩阵的应用
当设定足端速度向量X’，可以通过左乘雅可比逆矩阵计算出机器人腿 部关节速度向量q’，对机器人进行速度控制时，将速度表示为位置的 增量形式