编号21山西大学附中高三年级函数模型及其应用复习

山西大学附中高中数学(高三)导学设计 编号21

函数模型及其应用

【学习目标】 1.知道常用函数模型;

2.能够区分各类函数模型,并且会求一些简单函模型

【学习重点】 求解简单函模型

【学习难点】求解简单函模型

【学习过程】

（一）知识梳理

1．常用的函数模型__________，二次函数，________，________，幂函数．

2．指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的比较

一般地，在区间[)+∞,0上，尽管函数)1(>=a a y x ，)1(log >=a x y a 和)0(>=n x y n ，

都是增函数，但是它们的__________不同，而且不在同一个“档次上”．随着x 的增大，)1(>=a a y x 的增长速度__________会越过并远远大于)0(>=n x y n 的_________；而)1(log >=a x y a 的增长速度会________，因此，会存在一个0x ，当0x x >时，有_____．

3．函数模型的应用实例的基本题型

(1)给定函数模型解决实际问题；(2)建立______的函数模型解决问题；

(3)建立拟合函数模型解决实际问题．

（二）巩固练习

1.用长度为m 24的材料围成一个矩形家禽养殖场，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为

A.m 3

B.m 4

C.m 6

D.m 12

2.某商店已按每件80元的成本购进某商品1000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售时就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件

A.100元

B.110元

C.150元

D.190元

3.某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为)12()1(2

1)(+⋅+=n n n n f 吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保证环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是

A.5年

B.6年

C.7年

D.8年

4.某市2009年新建住房100万平方米，其中有25万平方米经济适用房，有关部门计划以后每年新建住房面积比上一年增加%5，其中经济适用房每年增加10万平方米．按照此计划，当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是 (参考数据：28.10

5.1,22.105.1,1

6.105.1,10.105.15

432====)

A.2011年

B.2012年

C.2013年

D.2014年

5．如图所示，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 边的中点，则当点P 沿着M C B A ---运动时，以点P 经过的路程x 为自变量，将三角形APM 的面积y 看作路程x 的函数，则其函数图象大致是

6.某出租车公司规定“打的”收费标准如下：3公里以内为起步价8元(即行程不超过3公里，一律收费8元)，若超过3公里除起步价外，超过部分再按1.5元/公里收费计价，若某乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为

7.4，则乘客应付的车费是________元．

7.一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)

给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水．则一定能确定正确的论断序号是________．

8.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为x 4万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次购买多少吨？

9.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为)10(≥x x 层，则每平方米的平均建筑费用为x 48560+（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）

10.如图，今有网球从斜坡O 点处抛出路线方程是2214x x y -

=；斜坡的方程为x y 2

1=，其中y 是垂直高度(米)，x 是与O 的水平距离(米)．(1)网球落地时撞击斜坡的落点为A ，写出B 点的垂直高度，

以及A 点与O 点的水平距离．(2)在图像上，标出网球所能达到的最

高点B ，求OB 与水平线OX 之间的夹角的正切值．

11.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数.当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．

（Ⅰ）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式;

（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）()().f x x v x =可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）.

12.据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动， 其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点

)0,(t T 作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h )内

沙尘暴所经过的路程s (km)．(1)当4=t 时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城．如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．

13.已知扇形OPQ 是半径为1，圆心角为3

π，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记α=∠COP ，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积.

D P C