高中数列知识点、解题方法和题型大全

一 高中数列知识点总结1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和()()11122n n a a n n n S nad +-==+性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --=（5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.当100a d <>，，由10n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.(6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n Snd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇. 2. 等比数列的定义与性质定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=. 等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！）性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =··（2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么？1n =时，11a S =；2n ≥时，1n n n a S S -=-.二 解题方法1 求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法如：数列{}n a ，12211125222n n a a a n +++=+……，求n a解 1n =时，112152a =⨯+，∴114a = ①2n ≥时，12121111215222n n a a a n --+++=-+…… ②①—②得：122n n a =，∴12n n a +=，∴114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩［练习］数列{}n a 满足111543n n n S S a a +++==，，求n a注意到11n n n a S S ++=-，代入得14n nS S +=；又14S =，∴{}n S 是等比数列，4n n S = 2n ≥时，1134n n n n a S S --=-==……·（2）叠乘法如：数列{}n a 中，1131n n a na a n +==+，，求n a解3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11n a a n=又13a =，∴3n a n =. （3）等差型递推公式由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法2n ≥时，21321(2)(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫⎪-=⎪⎬⎪⎪-=⎭…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++……（4）等比型递推公式1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+- 令(1)c x d -=，∴1d x c =-，∴1n d a c ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为11d a c c +-，为公比的等比数列∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭·，∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭（5）倒数法如：11212nn n a a a a +==+，，求n a 由已知得：1211122n n n n a a a a ++==+，∴11112n n a a +-= ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，111a =，公差为12，∴()()11111122n n n a =+-=+·， ∴21n a n =+(附：公式法、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==、累加法、累乘法.构造等差或等比1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)2 求数列前n 项和的常用方法 (1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：{}n a 是公差为d 的等差数列，求111nk k k a a =+∑解：由()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭·∴11111223111111111111nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑…… 11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭［练习］求和：111112123123n+++++++++++ (121)n n a S n ===-+…………， （2）错位相减法若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.如：2311234n n S x x x nx -=+++++……①()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……②①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-……1x ≠时，()()2111nnnx nx S xx -=---，1x =时，()11232n n n S n +=++++=……（3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫⎬=++++⎭…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……［练习］已知22()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由2222222111()111111x x x f x f x x x xx ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴原式11111(1)(2)(3)(4)111323422f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦(附：a.用倒序相加法求数列的前n 项和如果一个数列{a n }，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n 项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。

b.用公式法求数列的前n 项和对等差数列、等比数列，求前n 项和S n 可直接用等差、等比数列的前n 项和公式进行求解。

运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

c.用裂项相消法求数列的前n 项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n 项和。

d.用错位相减法求数列的前n 项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。

即若在数列{a n ·b n }中，{a n }成等差数列，{b n }成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n 项和。

e.用迭加法求数列的前n 项和迭加法主要应用于数列{a n }满足a n+1=a n +f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成a n+1-a n =f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出a n ，从而求出S n 。

f.用分组求和法求数列的前n 项和所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

g.用构造法求数列的前n 项和所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n 项和。

)三 方法总结及题型大全方法技巧数列求和的常用方法一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1.等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q qa a q q a q na S n n n)1(211+==∑=n n k S nk n )12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n213)]1(21[+==∑=n n k S nk n例1设{}n a 是公比大于1的等比数列，nS 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的等差数列．（2）令31ln 12n n b a n +==，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得22a =．设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得1322a a qq ==，．又37S =，可知2227q q ++=，即22520q q -+=，解得12122q q ==，．由题意得12q q >∴=，． 11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=．（2）由于31ln 12n n b a n +==，，，，由（1）得3312nn a +=3ln 23ln 2n n b n ∴==， 又13ln 2n n nb b +-={}n b ∴是等差数列．12n nT b b b ∴=+++1()2(3ln 23ln 2)23(1)ln 2.2n n b b n n n +=+=+= 故3(1)ln 22n n n T +=．练习：设Sn ＝1+2+3+…+n ，n ∈N*,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式）∴1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-n n 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法 设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则数列{}n n b a 的前n 项和n S 求解，均可用错位相减法。