极坐标与参数方程数学讲义教师版

2013届选修4—4《极坐标与参数方程》复习讲义

一、考纲要求

1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.

2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程. 二、知识结构

1.参数方程的概念

在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数

⎩

⎨

⎧==),(),

(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称

参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 常见的曲线的参数方程

2.直线的参数方程

(1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是

⎩⎨⎧+=+=a

t y y a

t x x sin cos 00 (t 为参数，其几何意义是．．．．．PM ．．的数量．．．

) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=

a

b

的直线的参数方程是 ⎩

⎨

⎧+=+=bt y y at x x 00(t 为参数，1

tan t α=) ② 3.圆锥曲线的参数方程

(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨

⎧+=+=ϕ

ϕ

sin cos r b y r a x (φ是参数)

(2)椭圆 椭圆122

22

=+b

y a x (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨

⎧==ϕϕ

sin cos b y a x (φ为参数)

椭圆122

22=+b

y a y (a ＞b ＞0)的参数方程是

⎩⎨

⎧==ϕ

ϕ

sin cos a y b x (φ为参数) (3)抛物线 抛物线px y 22

=的参数方程为()为参数t pt y pt x ⎩

⎨

⎧==222

4.极坐标

极坐标系 在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极

点，射线Ox 叫 做极轴.

①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.

点的极坐标 设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度 ，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.

注意：①点),(θρP 与点),(1θρ-P 关于极点中心对称；②点),(θρP 与点),(2πθρ+-P 是同一个点；③如果规定0,02ρθπ>≤<，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。④极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的． P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．

圆的极坐标方程

①以极点为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 a ρ=；

②以(,0)a )0(>a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =； ③以(,

)2

a π

)0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =；

直线的极坐标方程

①过极点的直线的极坐标方程是)0(≥=ραθ和(0)θπαρ=+≥.

②过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos . 化为直角坐标方程为x a =. ③过点(,

)2

A a π

且平行于极轴的直线l 的极坐标方程是sin a ρθ=. 化为直角坐标方程为

y a =.

极坐标和直角坐标的互化

(1)互化的前提条件

①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合

③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式．．．．

⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩

⎪

⎨⎧≠=+=)

0(222x x y

tg y x θρθ的象限由点(x,y)所在的象限确定 三、课前预习

1．直线12+=x y 的参数方程是（ ）

A 、⎩⎨⎧+==122

2

t y t x （t 为参数） B 、⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数）

C 、 ⎩⎨⎧-=-=121

t y t x （t 为参数） D 、⎩⎨

⎧+==1

sin 2sin θθy x （t 为参数） 答案：C

2．已知⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( )

A 、⎪⎭

⎫

⎝

⎛

-

3,5π

B 、⎪⎭

⎫ ⎝

⎛34,

5π C 、⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-

32,5π D 、

⎪⎭⎫ ⎝

⎛

--35,5π

答案：A

3．在极坐标系中，圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标系是（ ）

A 、(1,

)2

π

B 、(1,)2π

- C 、 (1,0) D 、(1，π)

解：将极坐标方程化为普通方程得：022

2=++y y x ，圆心的坐标为)1,0(-，其极坐标

为)2

3,

1(π

，选B 4．点()

3,1-P ，则它的极坐标是 ( )

A 、⎪⎭

⎫

⎝⎛3,

2π

B 、⎪⎭

⎫ ⎝

⎛

34,

2π C 、⎪⎭

⎫

⎝

⎛-

3,2π D 、

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-34,2π

答案：C

5．直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在

曲线13cos :sin x C y θθ

=+⎧⎨=⎩ （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( )

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4 答案：A