固体物理(黄昆)第五章总结

第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动
1. 准经典运动
晶体中电子在外加场中运动的讨论方法 ①解波动方程；②把电子当作经典粒子处理 1.1 波包和电子速度
波包中心0r 为粒子的中心，中心0k 称为粒子的动量，波包由布洛赫波组成，
()
[]
(,)()E k'i k'r t k'k'r t e
u r ϕ⋅-
=，其中，0 k'k k =+（k 很小），0
0 () ()()k k E k'E k k E ≈+⋅∇，
,,22
x y z k k k ∆∆-
≤≤ 电子的概率密度分布函数：
02
2
2
226
sin(/2)sin(/2)sin(/2)|(,)||()|/2/2/2k u v w r t u r u v w ϕ∆∆∆=∆∆∆∆，
波包中心u = v = w = 0，001
()k k r E t =
∇，0226|(,)||()|k r t u r ϕ=∆取得最大值，波包形状与0
2|()|k u r 无关
粒子速度：0
01
()k k k v E =
∇
当波包远远大于原胞（自由程远远大于原胞线度）才能把电子看作准经典粒子
1.2 在外力作用下状态的改变和准动量
d (
)0d k k F v t -⋅=，d d k F t
=，k 即为准动量
1.3 加速度和有效质量
对于准经典运动，00
1
()k k k v E =∇，
d d k F t =，2
2d 1()d v a F E k t k k ααββ
βα∂==∂∂∑， 2222
222
22222
2
1x x y x z x x y y y x y y z z z z x
z y
z E E E k k k k k a F E E E a F k k
k k k a F E E E k k k k k ⎛⎫
∂∂∂ ⎪∂∂∂∂∂
⎪
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
∂∂∂ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭
倒有效质量张量：
22222
22*22222
2
11x x y x z y x y y z z x
z y
z E E E k k k k k E E E m k k k k k E E E k k k k k ⎛⎫
∂∂∂ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪
⎪
∂∂∂⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪∂∂∂∂∂⎝⎭
⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭
，即2*211E m k k αβαβ∂⎛⎫
= ⎪∂∂⎝⎭ 选 k x ，k y ， k z 轴沿张量主轴方向，则
222*2222 00110
000
x
y z E k E m k E k ⎛⎫∂ ⎪∂ ⎪ ⎪∂⎛⎫ ⎪= ⎪∂ ⎪⎝⎭
⎪∂ ⎪ ⎪∂⎝
⎭
引入有效质量张量：
22
2*
2*2
2*2
22/ 00 00000/000
/x x y y z z E k m E m k m E k ⎛⎫∂ ⎪
∂ ⎪⎛⎫ ⎪
∂ ⎪
⎪= ⎪∂ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭∂ ⎪ ⎪∂⎝
⎭
，则 ***
x x x y y y z z z m a F m a F m a F === 由此可以计算简单立方的有效质量，能带底或能带顶，有效质量是各向同性的，这是所有立方对称的结果。

结论：能带底的有效质量总是正的，能带顶的有效质量总是负的。

2. 恒定电场作用下电子的运动
2.1 紧束缚近似下电子的速度和有效质量
对于一维紧束缚近似，电子色散010 () 2cos (1cos )2
i
i W
E k J J ka E ka ε=--=+-， 其中，001 2i E J J ε=--，140W J =>（能带宽度），则
电子有效速度和质量：1d 1() sin d 2
E Wa
v k ka k =
=，22
*2
122d 2()() d cos E m k k Wa ka
-==
2.2 恒定电场作用下电子的运动
d (0)d k
F eE E t
==-< （E 沿k 轴负向），电子在 k 空间的匀速运动
d d k F t
=，1
( 00)k Ft t k ===设，， 1 sin sin 22
Wa Wa v ka a Ft ==（速度随时间振荡）
2.3 布洛赫振荡
电子速度的振荡，意味着电子在实空间的振荡，即布洛赫振荡，条件：1B ωτ>>，主要在超晶格中观察到。

布洛赫振荡频率 B eEa
ω=
，隧道效应。

3. 导体绝缘体和半导体
3.1 满带电子不导电
在满带情形中，电场并不改变布里渊区中电子的分布情况，所以在有外场时，满带中的电子也不产生宏观的电流。

3.2 导体和非导体模型
部分填充能带中的电子在无外场作用时也不产生电流，有外场作用时将产生电流
3.3 导体、绝缘体和半导体的能带论解释 能带解释（简答题必考）：
⑴ 在金属能带中，价带与导带迭合，没有能隙，故电子易迁移进入较高能量状态的空能级
中，金属具有优异的导电性；
⑵ 在绝缘体的能带中，其价带全部填满，而导带全部为空能级，在价带与导带之间存在很
宽的禁带（>3.0eV ），因而电子难以由价带跃迁到导带中，绝缘体的导电性很差； ⑶ 半导体的能带结构与绝缘体相似，但其禁带较窄(<3.0eV),因而在外电场激发下(如热激
发),电子可由价带跃进导带中而导电,如果在禁带中靠近导带(或价带)的位置引入附加能级(施主或受主)将显著提高半导体的导电性。

绝缘体的必要条件：原胞内价电子数目为偶数 绝缘体：能带全满或全空，导带与价带能隙大 金属：一个或更多的能带被部分填满 半导体或半金属：价带能隙小
空穴在外加电场或磁场中的行为犹如它带有正电荷 +e ：h e k k =-，h h e e ()()E k E k =-，
h e v v =，**
h e m m =-，
h h d 1
()d k e E v B t c
=+⨯ 4. 在恒定磁场中电子的运动
准经典运动方程：1
()k v k E =
∇，
d ()d k
ev k B t
=-⨯
E k不随时间变化，即电结论：①波矢k沿磁场方向的分量不随时间改变；②电子的能量()
子在k空间的等能面上运动；③电子在k空间的运动轨迹为垂直于磁场的平面与等能面的交线；④kz保持不变，在kx-ky面内作匀速圆周运动，回旋频率wc = eB/m，
5.回旋共振
利用回旋共振测定有效质量
6.德哈斯-范阿尔芬效应
磁化率随磁感强度倒数1/B周期性振荡，这种现象称为德·哈斯和范·阿尔芬效应。