固体物理(黄昆)第五章总结

第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动

1. 准经典运动

晶体中电子在外加场中运动的讨论方法 ①解波动方程；②把电子当作经典粒子处理 1.1 波包和电子速度

波包中心0r 为粒子的中心，中心0k 称为粒子的动量，波包由布洛赫波组成，

()

[]

(,)()E k'i k'r t k'k'r t e

u r ϕ⋅-

=，其中，0 k'k k =+（k 很小），0

0 () ()()k k E k'E k k E ≈+⋅∇，

,,22

x y z k k k ∆∆-

≤≤ 电子的概率密度分布函数：

02

2

2

226

sin(/2)sin(/2)sin(/2)|(,)||()|/2/2/2k u v w r t u r u v w ϕ∆∆∆=∆∆∆∆，

波包中心u = v = w = 0，001

()k k r E t =

∇，0226|(,)||()|k r t u r ϕ=∆取得最大值，波包形状与0

2|()|k u r 无关

粒子速度：0

01

()k k k v E =

∇

当波包远远大于原胞（自由程远远大于原胞线度）才能把电子看作准经典粒子

1.2 在外力作用下状态的改变和准动量

d (

)0d k k F v t -⋅=，d d k F t

=，k 即为准动量

1.3 加速度和有效质量

对于准经典运动，00

1

()k k k v E =∇，

d d k F t =，2

2d 1()d v a F E k t k k ααββ

βα∂==∂∂∑， 2222

222

22222

2

1x x y x z x x y y y x y y z z z z x

z y

z E E E k k k k k a F E E E a F k k

k k k a F E E E k k k k k ⎛⎫

∂∂∂ ⎪∂∂∂∂∂

⎪

⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

∂∂∂ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭

倒有效质量张量：

22222

22*22222

2

11x x y x z y x y y z z x

z y

z E E E k k k k k E E E m k k k k k E E E k k k k k ⎛⎫

∂∂∂ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪

⎪

∂∂∂⎛⎫ ⎪= ⎪

⎪∂∂∂∂∂⎝⎭

⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭

，即2*211E m k k αβαβ∂⎛⎫

= ⎪∂∂⎝⎭ 选 k x ，k y ， k z 轴沿张量主轴方向，则

222*2222 00110

000

x

y z E k E m k E k ⎛⎫∂ ⎪∂ ⎪ ⎪∂⎛⎫ ⎪= ⎪∂ ⎪⎝⎭

⎪∂ ⎪ ⎪∂⎝

⎭

引入有效质量张量：

22

2*

2*2

2*2

22/ 00 00000/000

/x x y y z z E k m E m k m E k ⎛⎫∂ ⎪

∂ ⎪⎛⎫ ⎪

∂ ⎪

⎪= ⎪∂ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭∂ ⎪ ⎪∂⎝

⎭

，则 ***

x x x y y y z z z m a F m a F m a F === 由此可以计算简单立方的有效质量，能带底或能带顶，有效质量是各向同性的，这是所有立方对称的结果。结论：能带底的有效质量总是正的，能带顶的有效质量总是负的。

2. 恒定电场作用下电子的运动

2.1 紧束缚近似下电子的速度和有效质量

对于一维紧束缚近似，电子色散010 () 2cos (1cos )2

i

i W

E k J J ka E ka ε=--=+-， 其中，001 2i E J J ε=--，140W J =>（能带宽度），则

电子有效速度和质量：1d 1() sin d 2

E Wa

v k ka k =

=，22

*2

122d 2()() d cos E m k k Wa ka

-==

2.2 恒定电场作用下电子的运动

d (0)d k

F eE E t

==-< （E 沿k 轴负向），电子在 k 空间的匀速运动

d d k F t

=，1

( 00)k Ft t k ===设，， 1 sin sin 22

Wa Wa v ka a Ft ==（速度随时间振荡）

2.3 布洛赫振荡

电子速度的振荡，意味着电子在实空间的振荡，即布洛赫振荡，条件：1B ωτ>>，主要在超晶格中观察到。布洛赫振荡频率 B eEa

ω=

，隧道效应。

3. 导体绝缘体和半导体

3.1 满带电子不导电

在满带情形中，电场并不改变布里渊区中电子的分布情况，所以在有外场时，满带中的电子也不产生宏观的电流。

3.2 导体和非导体模型

部分填充能带中的电子在无外场作用时也不产生电流，有外场作用时将产生电流

3.3 导体、绝缘体和半导体的能带论解释 能带解释（简答题必考）：

⑴ 在金属能带中，价带与导带迭合，没有能隙，故电子易迁移进入较高能量状态的空能级

中，金属具有优异的导电性；

⑵ 在绝缘体的能带中，其价带全部填满，而导带全部为空能级，在价带与导带之间存在很

宽的禁带（>3.0eV ），因而电子难以由价带跃迁到导带中，绝缘体的导电性很差； ⑶ 半导体的能带结构与绝缘体相似，但其禁带较窄(<3.0eV),因而在外电场激发下(如热激

发),电子可由价带跃进导带中而导电,如果在禁带中靠近导带(或价带)的位置引入附加能级(施主或受主)将显著提高半导体的导电性。 绝缘体的必要条件：原胞内价电子数目为偶数 绝缘体：能带全满或全空，导带与价带能隙大 金属：一个或更多的能带被部分填满 半导体或半金属：价带能隙小

空穴在外加电场或磁场中的行为犹如它带有正电荷 +e ：h e k k =-，h h e e ()()E k E k =-，

h e v v =，**

h e m m =-，

h h d 1

()d k e E v B t c

=+⨯ 4. 在恒定磁场中电子的运动

准经典运动方程：1

()k v k E =

∇，

d ()d k

ev k B t

=-⨯