新高考数学复习第一章 空间几何体单元测试(基础版)
高中数学第一章-空间向量与立体几何单元测试(基础卷)(解析版)
第一章空间向量与立体几何单元过关基础A 版解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．空间直角坐标系中，点()2,3,5-关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．()2,3,5--- B ．()2,3,5 C ．()2,3,5-- D ．()2,3,5-【答案】A 【解析】 【分析】关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标、竖坐标变为相反数． 【详解】关于y 轴对称的两点的纵坐标相同，横坐标、竖坐标均互为相反数． 所以点()2,3,5-关于y 轴对称的点的坐标是()2,3,5---． 故选：A ． 【点睛】本题考查空间平面直角坐标系，考查关于坐标轴、坐标平面对称的问题．属于基础题．2．如图所示，在一个长、宽、高分别为2、3、4的密封的长方体装置2223333DA B C D A B C -中放一个单位正方体礼盒1111DABC D A B C -，现以点D 为坐标原点，2DA 、2DC 、3DD 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则正确的是（ ）A ．1D 的坐标为(1,0,0)B ．1D 的坐标为(0,1,0)C ．13B B 293D ．13B B 14【答案】D【分析】根据坐标系写出各点的坐标分析即可. 【详解】由所建坐标系可得：1(0,0,1)D ，1(1,1,1)B ，3(2,3,4)B ，13B B ==.故选：D. 【点睛】本题考查空间直角坐标系的应用，考查空间中距离的求法，考查计算能力，属于基础题.3．空间直角坐标系中，已知点()()1,2,3345A B 、，，，则线段AB 的中点坐标为（ ） A ．()234，， B ．()134，， C ．()235，， D ．()245，， 【答案】A 【解析】点()()1,2,3345A B 、，，， 由中点坐标公式得中得为：132435,,222+++⎛⎫⎪⎝⎭，即()234，，. 故选A.4．已知空间中三点(0,1,0)A ，(2,2,0)B ，(1,3,1)C -，则（ ） A ．AB 与AC 是共线向量B ．AB 的单位向量是⎫⎪⎪⎝⎭C ．AB 与BCD ．平面ABC 的一个法向量是(1,2,5)- 【答案】D 【分析】根据向量的相关性质判断. 【详解】对于A 项，(2,1,0)AB =，(1,2,1)AC =-，所以AB AC λ≠，则AB 与AC 不是共线向量，所以A 项错误；对于B 项，因为(2,1,0)AB =，所以AB的单位向量为55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以B 项错误； 对于C 项，向量(2,1,0)AB =，(3,1,1)BC =-，所以cos ,11AB BC AB BC AB BC⋅==-⋅，所以C 项错误；对于D 项，设平面ABC 的法向量是(,,)n x y z =，因为(2,1,0)AB =，(1,2,1)AC =-，所以00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则2020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，令1x =，则平面ABC 的一个法向量为(1,2,5)n =-，所以D 项正确. 故选:D. 【点睛】本题考查共线向量的判断，单位向量的求法，夹角的求法，平面法向量的求法，属于空间向量综合题.5．两平行平面 α，β 分别经过坐标原点 O 和点 ()2,1,1A ，且两平面的一个法向量()1,0,1n =-，则两平面间的距离是()A ．32BC D ．【答案】B 【解析】两平行平面 α，β 分别经过坐标原点 O 和点 ()2,1,1A ，()2,1,1OA =，且两平面的一个法向量()1,0,1,n =-∴两平面间的距离22n OA n⋅-+===，故选B. 6．下图是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -木块的直观图，其中,,P Q F 分别是11D C ，BC ，AB 的中点，平面α过点D 且平行于平面PQF ，则该木块在平面α内的正投影面积是（ ）A ．43B ．33C ．23D 3【答案】A 【分析】先根据题意平面α可以平移至平面11A BC ，即木块在平面α内的正投影即可看成是在平面11A BC 的正投影，根据投影的性质可得投影为正六边形'''111A A BC C D ，最后根据正六边形面积公式可求出投影的面积． 【详解】解：根据题意可知平面α过点D 且平行于平面PQF ， 则平面α可以平移至平面11A BC ，木块在平面α内的正投影即可看成是在平面11A BC 的正投影， 根据投影的性质可得投影为正六边形'''111A A BC C D 如图所示， 因为正方体1111ABCD A B C D -棱长为2， 所以221222A B =+=则投影面内正六边形的边长为：'1226cos303A A ==根据正六边形面积公式可得投影的面积为：'''111233264323A A BC C D S ⎛=⨯= ⎝⎭故投影面积为：43故选：A【点睛】本题主要考查空间几何体和正投影得概念，考查面积公式是计算，考查空间想象力和推导能力，属于难题．7．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为3，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2||HP 的最小值是（ ）A ．21B ．22C ．23D ．13【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系,根据P 在11BCC B 内可设出P 点坐标，作1HM BB ⊥,连接PM ,可得222HP HM MP =+，作1PN CC ⊥，根据空间中两点间距离公式，再根据二次函数的性质，即可求得2HP 的范围. 【详解】根据题意,以D 为原点建立空间直角坐标系如图所示：作1HM BB ⊥交1BB 于M,连接PM ，则HM PM ⊥作1PN CC ⊥交1CC 于N ，则PN 即为点P 到平面11CDD C 距离. 设(),3,P x z ,则()()()1,3,2,3,3,2,0,3,F M N z ()03,03x z ≤≤≤≤ ∵点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长 ∴PN PF =由两点间距离公式可得()()2212x x z =-+-化简得()2212x z -=-,则210x -≥解不等式可得12x ≥综上可得132x ≤≤ 则在Rt HMP ∆中222HP HM MP =+()()222332x z =+-+-()223321x x =+-+-()2213x =-+132x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭所以213HP ≥（当时2x = 取等） 故选:D 【点睛】本题考查了空间直角坐标系的综合应用，利用空间两点间距离公式及二次函数求最值，属于难题. 8．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i =⋅⋅⋅是上底面上其余的八个点，则集合{},1238i y y AB AP i =⋅=⋅⋅⋅、、、、中的元素个数（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A 【分析】本题首先可根据图像得出i i AP AB BP =+，然后将i AB AP ⋅转化为2iAB A P B B +⋅，最后根据棱长为1以及i ABBP 即可得出结果.【详解】由图像可知，i i AP AB BP =+，则()2i i i AB BP AB AP AB B AB A P B ⋅==+⋅+， 因为棱长为1，i ABBP ，所以0i AB BP ⋅=，2101i i AB AP AB AB BP ⋅=+=+=⋅， 故集合{},1238i y y AB AP i =⋅=⋅⋅⋅、、、、中的元素个数为1， 故选：A . 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想，考查集合中元素的性质，是中档题.二、多选题9．给出下列命题，其中正确的有（ ） A ．空间任意三个向量都可以作为一组基底B ．已知向量//a b ，则a 、b 与任何向量都不能构成空间的一组基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA ，BM ，BN 不能构成空间的一组基底，则A ，B ，M ，N 共面D ．已知{,,}a b c 是空间向量的一组基底，若m a c =+，则{,,}a b m 也是空间一组基底 【答案】BCD 【分析】选项A 、B 中，根据空间基底的概念，可判断；选项C 中，可得,,BA BM BN 共面，又由,,BA BM BN 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，由此可判断；选项D 中：基向量,a b 与向量m a c =+一定不共面，由此可判断． 【详解】选项A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A 不正确；选项B 中，根据空间基底的概念，可得B 正确；选项C 中，由,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，可得,,BA BM BN 共面，又由,,BA BM BN 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，所以C 正确；选项D 中：由{},,a b c 是空间的一个基底，则基向量,a b 与向量m a c =+一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D 正确． 故选：BCD.10．已知v 为直线l 的方向向量，1n ，2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列选项中，正确的是（ ） A ．1n ∥2n ⇔α∥β B ．1n ⊥2n ⇔α⊥β C ．v ∥1n ⇔l ∥α D ．v ⊥1n ⇔l ∥α【答案】AB 【分析】根据线面直线的位置关系逐一判断即可. 【详解】解：v 为直线l 的方向向量，1n ，2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合）， 则1n ∥2n ⇔α∥β，1n ⊥2n ⇔α⊥β，v ∥1n ⇔l ⊥α，v ⊥1n ⇔l ∥α或l ⊂α. 因此AB 正确.故选：AB.11．在长方体ABCD A B C D ''''-中，2AB =，3AD =，1AA '=，以D 为原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A ．(3,2,1)BD '=--B ．异面直线A D '与BD '所成角的余弦值为35C ．平面A CD ''的一个法向量为(2,3,6)-- D ．二面角C A D D '''--的余弦值为37【答案】ACD 【分析】由向量法对每一选项进行逐一计算验证，可得答案. 【详解】由题意可得()()()3,0,0,3,2,0,0,2,0A B C ,()()()()0,0,1,3,0,1,0,2,1,3,2,1D A C B '''' 选项A: 所以(3,2,1)BD '=--，则A 正确.选项B:()3,0,1DA '=,(3,2,1)BD '=--,所以,cos ,10DA BDDA BD DA BD ''''==''⋅=所以异面直线A D '与BD '所成角的余弦值为35，则B 不正确. 选项C ：设平面A C D ''的一个法向量为(),,n x y z =由()3,0,1DA '=,()0,2,1DC '=，则00n DA n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩'' 所以3020x z y z +=⎧⎨+=⎩ ，取6z =，得()2,3,6n =--，则C 正确.选项D ：由上可得平面A C D ''的一个法向量为(2,3,6)n =-- 又平面A DD ''的法向量为()0,1,0m = 则3cos ,17n m n m n m⋅-==⨯⋅ 所以二面角C A D D '''--的余弦值为37，则D 正确. 故选：ACD12．若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．11B E A B ⊥B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π【答案】CD 【分析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算11B E A B ⋅值即可判断A ；分别求出平面1B CE ，平面1A BD 的法向量，判断它们的法向量是否共线，即可判断B ；利用等体积法，求出三棱锥11-B CC E 的体积即可判断C ；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故求出长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积即可判断D.【详解】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-，因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y = 所以(1,2,1)n =，同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误； 在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高， 所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△， 故C 正确；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径22222462R ++==，所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】本题主要考查用向量法判断线线垂直、面面平行，等体积法的应用及几何体外接球的表面积.三、填空题13．若直线l 的方向向量为()4,2,m ，平面α的法向量为()2,1,1-，且l α⊥，则m =______． 【答案】2- 【分析】由已知可知，直线l 的方向向量与平面α的法向量平行，根据空间向量平行的充要条件可得到一个关于λ和m 的方程组，解方程组即可得到答案. 【详解】 解：l α⊥，直线l 的方向向量为()4,2,m ，平面α的法向量为()2,1,1-，∴直线l 的方向向量与平面α的法向量平行.则存在实数λ使()4,2,m λ=()2,1,1-，即422m λλλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴2m =-. 故答案为：2-.【点睛】本题考查向量语言表述线面垂直，直线的方向向量与平面的法向量平行是解本题的关键，属于基础题.14．若(1,1,0),(1,0,2),a b a b ==-+则与同方向的单位向量是________________【答案】【解析】 试题分析：，与同方向的单位向量是考点：空间向量的坐标运算；15．如图，在正四面体P ABC -中，,M N 分别为,PA BC 的中点，D 是线段MN 上一点，且2ND DM =，若PD xPA yPB zPC =++，则x y z ++的值为_______．【答案】23【分析】利用基向量表示PD ,结合空间向量基本定理可得. 【详解】1111111()2323366PD PM MD PA MN PA PN PM PA PB PC =+=+=+-=++ 所以11,36x y z ===，所以23x y z ++=.【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理，把目标向量向基底向量靠拢是求解的主要思路.16．如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形ABCD 是上底面正中间一个正方形，正方形1111D C B A 是下底面最大的正方形，已知点P 是线段AC 上的动点，点Q 是线段1B D 上的动点，则线段PQ 长度的最小值为_______．334【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出目标PQ 的表达式，从而可得最小值. 【详解】以1B 为坐标原点，1111,B C B A 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,0,1,2,3,2,1,3,2,2,3B A C D , 设11B Q B D λ=,AP AC μ=,[],0,1λμ∈.()12,2,3B Q λλλ=,()1111,2,3B P B A AP B A AC μμμ=+=+=+-. ()1112,22,33QP B P B Q μλμλλ=-=+----, ()()()2222122233QP μλμλλ=+-+--+-222215191730221417217234λλμμλμ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当1517λ=且12μ=时，2QP 取到最小值934，所以线段PQ 长度的最小值为33434. 【点睛】本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量求解距离的最值问题时，一般是把目标式表示出来，结合目标式的特征，选择合适的方法求解最值.四、解答题17．如图，已知1111ABCD A B C D -是四棱柱，底面ABCD 是正方形，132AA AB ==，，且1160C CB C CD ︒∠=∠=，设1,,CD C a b B CC c ===.（1）试用,,a b c 表示1AC ； （2）已知O 为对角线1A C 的中点，求CO 的长.【答案】（1）1AC a b c =---；（2）292. 【分析】（1）由11AC A A AD DC =++可表示出来； （2）由21||()4CO a b c =++可计算出. 【详解】（1）11AC A A AD DC =++1AA BC CD =-+- 1CC CB CD c b a a b c =---=---=---；（2）由题意知||2,||2,||3a b c ===，110,233,23322a b a c a b ⋅=⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯=，111()22CO CA a b c ==++，∴21||()4CO a b c =++ ()22212224a b c a b a c b c =+++⋅+⋅+⋅， ()2221292922302323442=⨯++++⨯+⨯==. 【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查利用向量计算长度，属于基础题.18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 中点，O 为AC 中点，222AD AB AP ===.（1）证明：OE //平面PAB ；（2）异面直线PC 与OE 所成角的余弦值.【答案】（1）见详解； （2）33【分析】（1）连接BD ，得到O 为BD 中点，然后利用中位线定理，可得//OE PB ，根据线面平行的判定定理，可得结果.（2）通过建系，可得,PC OE ，然后利用向量的夹角公式，可得结果. 【详解】（1）证明：连接BD ，则O 为BD 中点， 又E 为PD 中点，∴OE //PB .∵PB ⊂平面PAB ，OE ⊄平面PAB ， ∴OE //平面PAB（2）以A 为原点建立空间直角坐标系， 如图，则(0,0,1),(1,2,0),(0,2,0)P C D ，110,1,,,1,022E O ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴11(1,2,1),,0,22PC OE ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， ∴3cos ,162PC OE ==⋅即异面直线PC 与OE 3【点睛】本题考查线面平行的判定定理以及建系通过利用向量的方法解决线线角，将几何问题用代数方法来解决，化繁为简，属基础题.19．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，2DE =，M 为线段BF 的中点．（1）求M 到平面DEC 的距离及三棱锥M CDE -的体积； （2）求证：DM ⊥平面ACE ．【答案】（1）M 到平面DEC 的距离为3，233M CDE V -=；（2）证明见解析. 【分析】 （1）设ACBD O =，以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过O 且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点M 到平面DEC 的距离，计算出CDE △的面积，利用锥体的体积公式可计算出三棱锥M CDE -的体积；（2）利用向量法证明出0AC DM ⋅=，0AE DM ⋅=，可得出DM AC ⊥，DM AE ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得DM ⊥平面ACE . 【详解】 （1）设ACBD O =，以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过O 且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．易知z 轴在平面BDEF 内，且////BF DE z 轴，则()0,3,0C 、()1,0,0D -、()1,0,2E -、()1,0,1M ，()0,0,2DE ∴=，()1,3,0DC =，()2,0,1DM =，设平面DEC 的一个法向量(),,n x y z =，则2030n DE z n DC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取3x =，得()3,1,0n =-，M ∴到平面DEC 的距离23331DM n h n⋅===+， 又1122222DECSDE DC =⨯⨯=⨯⨯=， 因此，三棱锥M CDE -的体积112323333M CDE DEC V S h -=⨯⨯=⨯⨯=△； （2）证明：由（1）易知()0,3,0A -，则()0,23,0AC =，()1,3,2AE =-，02230010AC DM ⋅=⨯+⨯+⨯=，1230210AE DM ⋅=-⨯+⨯+⨯=，DM AC ∴⊥，DM AE ⊥，ACAE A =，DM ∴⊥平面ACE .【点睛】本题考查利用空间向量法计算点到平面的距离、三棱锥体积的计算，同时也考查了利用空间向量法证明线面垂直，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是正方形，侧面PDC 是边长为a 的正三角形，且平面PDC ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）求异面直线PA 与DE 所成角的余弦值； （2）求直线AP 与平面ABCD 所成角的正弦值． 【答案】（16（26【分析】取CD 的中点O ，连接PO ，证明出PO ⊥平面ABCD ，然后以点O 为坐标原点，OC 、OP 所在的直线分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系.（1）写出PA 、DE 的坐标，利用空间向量法可求得异面直线PA 与DE 所成角的余弦值； （2）求得平面ABCD 的一个法向量，并写出PA ，利用空间向量法可求得直线AP 与平面ABCD 所成角的正弦值． 【详解】取DC 的中点O ，连接PO ，PDC △为正三角形，O 为DC 的中点，则PO DC ⊥．又平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC平面ABCD DC =，PO ⊂平面PDC ，PO ∴⊥平面ABCD ．以点O 为坐标原点，OC 、OP 所在的直线分别为y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，则30,0,2P a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、,,02a A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭、0,,02a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭、0,,02a D ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）设异面直线PA 与DE 所成的角为θ，E 为PC 的中点，30,4a E ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，330,4DE a ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，3,,2a PA a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 233330244a a PA DE a a ∴⋅=⨯-⨯=-，2PA a =，32DE =，2364cos cos ,4322a PA DE PA DE PA DEa a θ⋅=<>===⋅⨯， 因此，异面直线PA 与DE 6 （2）设直线AP 与平面ABCD 所成的角为α，易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =，362cos ,421aPA n PA n a PA n-⋅<>===-⨯⋅. 因此，直线AP 与平面ABCD 所成角的正弦值为64. 【点睛】本题考查利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值以及线面角的正弦值，考查计算能力，属于中等题.21．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD 、底面ABCD 为菱形，E 为PD 的中点.（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设1,120PA BAD ︒=∠=，菱形ABCD 的面积为23D AE C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）14. 【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则//PB OE ，利用线面平行的判定定理，即可得证； （2）根据题意，求得菱形ABCD 的边长，取BC 中点M ，可证AM BC ⊥，如图建系，求得点坐标及,AE AC 坐标，即可求得平面ACE 的法向量，根据AM ⊥平面P AD ，可求得面ADE 的法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则O 、E 分别为,AB ACAM PAD AE AC =⊥、PD 的中点，所以//PB OE ， 又OE ⊂平面,ACE PB ⊄平面ACE 所以//PB 平面ACE（2）由菱形ABCD 的面积为23，120BAD ︒∠=，易得菱形边长为2， 取BC 中点M ，连接AM ，因为AB AC =，所以AM BC ⊥，以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，AD 方向为y 轴，AP 方向为z 轴，建立如图所示坐标系.则()())10,2,0,0,0,0,0,1,,3,1,02D A E C⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()10,1,,3,1,02AE AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭设平面ACE 的法向量()1,,n x y z =，由11,n AE n AC ⊥⊥得10230y z x y ⎧+=⎪⎪+=⎩，令3x =3,6y z =-= 所以一个法向量()13,3,6n =-，因为AM AD ⊥，AM PA ⊥，所以AM ⊥平面P AD ， 所以平面ADE 的一个法向量()21,0,0n = 所以12121231cos ,43936n n n n n n ⋅<>===++，又二面角D AE C --为锐二面角，所以二面角D AE C --的余弦值为14【点睛】解题的关键是熟练掌握证明平行的定理，证明线面平行时，常用中位线法和平行四边形法来证明；利用空间向量求解二面角为常考题型，步骤为建系、求点坐标、求所需向量坐标、求法向量、利用夹角公式求解，属基础题.22．如图，在四棱锥M ABCD -中，//AB CD ，90ADC BM C ∠=∠=，M B M C =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（1）求证：//CD 平面ABM ； （2）求证：AC ⊥平面BCM ；（3）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π？若存在，求出AEAM 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在；23AE AM=【分析】（1）由线面平行判定定理证明即可；（2）由勾股定理得出2BC =，进而得AC BC ⊥，再由面面垂直的性质定理即可证明AC ⊥平面BCM ；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】证明：（1）因为AB CD ∥，AB 平面ABM ，CD ⊄平面ABM ，所以CD ∥平面ABM .（2）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中， 易知2AN BN CD ===CN AB ⊥.在Rt CNB △中，由勾股定理得2BC =. 在ACB △中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ， 且平面BCM平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM .（3）取BC 的中点O ，连接OM ，ON . 所以ON AC ∥， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,1M ，()0,1,0B ，()0,1,0C -，()2,1,0A -，()2,1,1AM =-，()0,2,0BC =-，()2,2,0BA =-.易知平面BCM 的一个法向量为()1,0,0m =.假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π.不妨设AE AM λ=（01λ≤≤）， 所以()22,2,BE BA AE λλλ=+=--， 设(),,n x y z =为平面BCE 的一个法向量，则0,0,n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即()20,220,y x z λλ-=⎧⎨-+=⎩令x λ=，22z λ=-，所以(),0,22n λλ=-.从而2cos ,2m n m nm n ⋅==⋅.解得23λ=或2λ=. 因为01λ≤≤，所以23λ=. 由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π， 此时23AE AM=.【点睛】本题主要考查了证明线面平行，线面垂直以及由面面角求其他量，属于中档题.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高中数学第一章空间几何体练习题第一章空间几何体练习题
第一章《空间几何体》一、选择题1．【05广东】 已知高为3的直棱柱ABC —A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三角形（如图1所示），则三棱锥B ′—ABC 的体积为 A ．41 B ．21C ．63D ．432．【05福建·理】如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是A ．515arccosB ．4πC ．510arccos D ．2π 3．【05湖北·理】如图，在三棱柱C B A ABC '''-中，点E 、F 、H 、K 分别为C A '、B C '、B A '、C B '' 的中点，G 为ΔABC 的重心从K 、H 、G 、B '中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为A ．KB ．HC ．GD ．B '4．【05湖南·理】如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面AB C 1D 1的距离为 A ．21B ．42C ．22 D ．235．【05湖北·文】木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的A ．60倍B ．6030倍C ．120倍D ．12030倍6．【05江苏】在正三棱柱111C B A ABC -中，若AB=2，11AA =则点A 到平面BC A 1的距B'A'A CB C'如图1 D 1C 1B 1A 1ED C B FA K F H EC'ACBA'GD 11B 1A ODC B离为 A ．43 B ．23 C ．433 D ．3 7．【05江西·理】矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为A ．π12125 B ．π9125 C ．π6125 D ．π31259．【05全国Ⅰ·理】一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为A ．π28B ．π8C ．π24D ．π410．【05全国Ⅰ·理】如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为 A ．32 B ．33 C ．34 D ．2311．【05全国Ⅱ·理】将半径都为１的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为A．3 B ．2+3 C ．4+3D．312．【05全国Ⅱ·文】ABC ∆的顶点在平面α内，A 、C 在α的同一侧，AB 、BC 与α所成的角分别是30和45．若AB ＝３，BC＝AC ＝５，则AC 与α所成的角为A ．60B ．45C ．30D ．1513．【05全国Ⅲ·理】设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B-APQC 的体积为A ．16V B ．14V C ．13V D ．12V14．【05山东·理】设地球半径为R ，若甲地位于北纬045东经0120，乙地位于南纬度075东经0120，则甲、乙两地球面距离为 AB ．6R πC ．56R πD ．23R π 15．【05重庆·理】如图，在体积为1的三棱锥A —BCD 侧棱AB 、AC 、AD 上分别取点E 、F 、G ， 使AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记O 为三平面BCG 、CDE 、DBF 的交点，则三棱锥O —BCD 的体积等于A ．91 B ．81 C ． 71 D ．4116．【05重庆·文】有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各连接中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7二、填空题1．【05辽宁】如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点，A 、B 、M 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是 .2．【05江西·理】如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=BC=2，BB 1=2， 90=∠ABC ，E 、F 分别为AA 1、C 1B 1的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 . 3．【05北京春考·理】如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，将该正方体沿对角面D D BB 11切成两块，再将这两块O GFABCD EAPM DC B A F1B 1A 1A B拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为__________． 4．【05江西·理】如图，在三棱锥P —ABC 中，PA=PB=PC=BC ，且2π=∠BAC ，则PA 与底面ABC 所成角为 . 5． 【05上海·理】 有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a (0)a >。
高中数学高一上册《第1章 空间几何体》单元测试卷(含解析)
高中数学高一上册《第1章空间几何体》单元测试卷一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1.三棱锥P−ABC中中，顶点P中在底面ABC中内的射影为O中，若(1)三条侧棱与底面所成的角相等，(2)三条侧棱两两垂直，(3)三个侧面与底面所成的角相等；则点O中依次为垂心、内心、外心的条件分别是()A. (1)(2)(3)B. (3)(2)(1)C. (2)(1)(3)D. (2)(3)(1)2.已知几何体的三视图(如图)，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰为3，则该几何体的表面积为()A. 5πB. 3πC. 4πD. 6π3.半径为R的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为()A. B. C. D.4.长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=√2，设点A关于BD1所在直线的对称点为P，则P与C1两点之间的距离为()A. 1B. √2C. √33D. √325.若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是()A. 2+√22B. 1+√22C. 2+√2D. 1+√26.《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其第五卷《商功》中有如下问题：“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？”这里所说的圆堢壔就是圆柱体，其底面周长是4丈8尺，高1丈1尺(1丈=10尺)，问它的体积是多少？若π取3，估算该圆堢壔的体积为()A. 1998立方尺B. 2012立方尺C. 2112立方尺D. 2324立方尺7.长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是()A. 25πB. 50πC. 125πD. 都不对8.已知正方体的棱长为，则点到平面的距离为A. B. C. D.9.如图，网格纸中的小正方形的边长为1，图中组线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为()(√22+3√2+4)A. 12(√22+3√2+8)B. 12(√22+√2+8)C. 12(√22+2√2+8)D. 1210.下列说法中正确的是()A. 斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形B. 水平放置的正方形的直观图有可能是梯形C. 一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体D. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）11.如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了并流入杯中，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．(冰、水的体积差异忽略不计)(π≈3.14)12.一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面积为．13.三棱锥S−ABC，若SA，SB，SC两两互相垂直，且SA=1，SB=3，，则此三棱锥S−ABC的外接球的半径为________．14.四面体A−BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2√34，AD=BC=2√41，则四面体A−BCD外接球的表面积为______．15.在四面体ABCD中，△ABC和△ABD都是边长为2√2的等边三角形，该四面体的外接球表面积为12π，则该四面体ABCD的体积为______．三、解答题（本大题共6小题，共73.0分）16.如图所示在圆锥PO中，已知PO=√2，⊙O的直径AB=2，C是ÂB上的点(点C不与AB重合)，D为AC中点．(Ⅰ)证明：平面POD⊥平面PAC；(Ⅱ)求圆锥PO的表面积．17.一块边长为10cm的正方形铁块按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．(1)试把容器的容积V表示为x的函数；(2)若x=6，求图2的主视图的面积．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2√2，PA=2．(1)求PC与平面ABCD所成角的大小；(2)求三棱锥P−ABE的体积．19.18、(本题满分3分)如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好过点(图2).有下列四个命题：①正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半；②将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点；③任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点；④若往容器内再注入升水，则容器恰好能装．其中真命题的序号为：．20. 一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点(1)求证：GN⊥AC；(2)当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP//平面FMC.并给出证明．21. 如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是菱形，SA=SD，∠BAD=60°，AB=2，SE=√3，SC=√10，E是AD中点，SF=2FC．(1)求证：AD⊥平面SBE；(2)求三棱锥F−BEC的体积．【答案与解析】1.答案：D解析：解：三棱锥P−ABC中中，顶点P中在底面ABC中内的射影为O，(1)若三条侧棱与底面所成的角相等，则△POA≌△POB≌△POC，∴OA=OB=OC，∴O是△ABC的外心．(2)若三条侧棱两两垂直，则PA、PB、PC两两垂直，连结AO，延长并BC于D，连结BO并延长并AC于E，∵AP⊥BP⊥CP，BP∩CP=P，∴AP⊥平面BCP，∵BC∈平面BCP，∴AP⊥BC，∵OP⊥平面ABC，BC∈平面ABC，∴BC⊥OP，∵AP∩OP=P，∴BC⊥平面PAD，∵AD∈平面PAD，∴BC⊥AD，同理AC⊥BE，∴AD和BE分别是BC边、AC边上的高，∴O是两高的交点，∴O是△ABC是垂心．(3)若三个侧面与底面所成的角相等，则分别作三个侧面△的斜高，由三垂线定理，得OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则∠PDO、∠PEO、∠PFO分别是三侧面与底面所成二面角的平面角，∠PDO=∠PEO=∠PFO，∵OD=OP⋅cot∠PDO，OE=OP⋅cot∠PEO，OF=OP⋅cot∠PFO，∴OD=OE=OF，∴O是△ABC的内心．故选：D．三棱锥P−ABC中中，顶点P中在底面ABC中内的射影为O，若三条侧棱与底面所成的角相等，则O是△ABC的外心；若三条侧棱两两垂直，则O是△ABC是垂心；若三个侧面与底面所成的角相等，则O是△ABC的内心．本题考查三角形的垂心、内心、外心的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意三垂线定理的合理运用．2.答案：A解析：解：由三视图可知，该几何体的上半部分为圆锥，下半部分为半个球，其中球的半径为1，圆锥的底面半径为1，圆锥的母线长为3．∴圆锥的侧面积为π×1×3=3π，半球的表面积为2π×12=2π，∴该几何体的表面积是5π，故选：A．由三视图可知，该几何体的上半部分为圆锥，下半部分为半个球，然后根据条件求几何体的表面积．本题主要考查三视图的识别和判断，以及圆锥和球的表面积公式．3.答案：C解析：试题分析：根据题意，设无底圆锥的底面圆半径为，则底面圆的周长等于侧面展开图的半圆弧长，可得，圆锥的高，根据圆锥的体积公式，可得故选C．考点：本题考查旋转体，即圆锥的体积，着重考查了旋转体的侧面展开和锥体的体积公式等知识．4.答案：A解析：本题考查了空间几何体的性质，几何体中的对称问题，把空间问题转化为平面问题求解，属于中档题．根据几何体画出平面图形，根据边长得出角的大小，转化到△PD1C1中，D1C1=1，PD1=√3，∠PD1C1=30°根据条件运用余弦定理求解即可．解：∵长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=√2，∴AD1=√3，D1B=2，∠AD1C1=90°，∵设点A关于直线BD1的对称点为P，∴在△AD1B中，∠AD1B=30°，∴∠PD1B=30°，AD1=PD1=√3，即∠PD1C1=30°，∵在△PD1C1中，D1C1=1，PD1=√3，∠PD1C1=30°，∴根据余弦定理得出：C1P=√1+3−2×1×√3×√32=1，故选：A．5.答案：C解析：解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+√2，S=12(1+√2+1)×2=2+√2．故选：C．水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，也可利用原图和直观图的面积关系求解．属基础知识的考查．6.答案：C解析：本题考查了圆柱的体积计算，属于基础题．根据周长求出圆堢壔的底面半径，代入圆柱的体积公式计算．解：设圆柱形圆堢壔的底面半径为r，则由题意得2πr=48尺，∴r=482π≈8尺，又圆堢壔的高ℎ=11尺，∴圆堢壔的体积V=πr2ℎ=π×64×11≈2112立方尺．故选：C．7.答案：B解析：本题考查长方体体对角线、球的表面积公式、长方体与球的关系，属于中档题目．此题中正解判断出长方体与球的位置关系是关键，利用长方体的体对角线与球的直径相等是构建等量关系的基础，注意多个公式的运用．解：根据题意知：球实际上就是长方体的外接球，这样球的直径就等于长方体的体对角线，长方体中：l=√32+42+52=√50=5√2，所以R=5√22，故．故选B．8.答案：C解析：解：(利用等体积法)由图知=三棱锥中===设点C到平面的距离为x===即X=故选C9.答案：B解析：解：由已知中的三视图，画出几何体的直观图如下，，其中OB=OC=0D=1，AB=3，BD=2，故S△ABD=12×2×3=3，S△BCD=12×2×1=1，BC=√2，故S△ABC=12×√2×3=32√2，AC=√11，CD=√2，AD=√13，故S△ACD=12×√2×√11=12√22，故几何体的表面积S=3+1+32√2+12√22=12(√22+3√2+8)，故选：B．由已知中的三视图，画出几何体的直观图，分别求出各面的面积，相加可得答案．本题考查的知识点是由三角形求体积和表面积，其中根据已知分析出几何体的形状，是解答的关键．10.答案：D解析：解：由斜三棱柱的各个侧面为平行四边形，侧面展开图只能为平行四边形构成，且上下边不平行，故A错误；由直观图的画法，以及平行性不变，可得B错误；一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，该直四棱柱不一定是长方体，还要看俯视图是不是矩形，故C错误；由定义可得，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台，故D正确．故选：D．由侧面展开图可判断A；由直观图的画法和性质可判断B；由三视图可判断C；由圆台的定义可判断D．本题考查多面体的定义和运用，以及直观图和侧面展开图的画法，考查判断能力和空间想象能力，属于基础题．11.答案：解：半球的半径为4cm，圆锥的底面半径为4cm，高为12cm，∴V半球=12×43πR3=12×43π×43≈134(cm3)V圆锥=13πr2ℎ=13π×42×12≈201(cm3)∴V半球<V圆锥∴冰淇淋融化了，不会溢出杯子．解析：根据题意，求出半球的体积，圆锥的体积，比较二者大小，判断是否溢出，即可得答案．本题考查球的体积，圆锥的体积，考查计算能力，是基础题．12.答案：4．解析：试题分析：由三视图可知，原几何体是球体沿其直径切去四分之一部分，所以其表面积是四分之三球面面积加上一个大圆面，即，其中考点：由已知三视图还原为原几何体，球的表面积公式，圆面积公式．13.答案：2解析：本题考查球内接多面体，棱锥的结构特征，球的半径的求法，考查空间想象能力、计算能力．三棱锥扩展为四棱柱(长方体)，两个几何体的外接球是同一个球，求出四棱锥的对角线的长度就是外接球的直径，即可求解半径．解：三棱锥S −ABC 的三条侧棱两两垂直，且SA =1，SB =3，SC =√6， 则该三棱锥的外接球，就是三棱锥扩展为长方体的外接球， 所以长方体的对角线的长度为：√12+32+√62=4，所以该三棱锥的外接球的半径为2.故答案为2.14.答案：200π解析：解：四面体A −BCD 中，AB =CD =10，AC =BD =2√34，AD =BC =2√41，补形成为长方体，不难发现，对棱的长度分别为长方体面对角线的长．设长方体的长宽高分别为a ，b ，c ．则{a 2+b 2=100a 2+c 2=136b 2+c 2=164，那么：2(a 2+b 2+c 2)=400．a 2+b 2+c 2=200．长方体的对角线：√200，外接球的半径2R =√200．∴R =5√2．四面体A −BCD 外接球的表面积S =4πR 2=200π．故答案为：200π．由题意，四面体A −BCD 中，AB =CD =10，AC =BD =2√34，AD =BC =2√41，补形成为长方体，不难发现，对棱的长度分别为长方体面对角线的长．即可求解四面体A −BCD 外接球的半径，即可表面积本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 15.答案：83解析：解：如图，设三角形ABD 的中心为G ，三角形ABC 的中心为H ，分别过G 与H 作平面ABD 与平面ABC 的垂线相交于O ，则O 为四面体ABCD 的外接球的球心，连接OA ，由该四面体的外接球表面积为12π，得OA =√3，在Rt △OGA 中，又GA =2√63，∴OG =√3−83=√33． 在Rt △OGE 中，OG =√33，GE =√63，则OE =1， ∴sin∠OEG =√33，cos∠OEG =√63， ∴sin∠CEG =2×√33×√63=2√23． ∴C 到底面ABD 的距离d =CE ⋅sin∠CEG =√6×2√23=4√33． 则该四面体ABCD 的体积为V =13×12×2√2×√6×4√33=83． 故答案为：83． 由题意画出图形，作出多面体外接球的球心，由已知求得外接球的半径，解三角形求出C 到平面ABD 的距离，再由棱锥体积公式求解．本题考查多面体及其外接球，考查空间想象能力与思维能力，考查多面体体积的求法，是中档题． 16.答案：(Ⅰ)证明：∵PA =PD ，D 是AC 中点，∴PD ⊥AC ．又∵OA =OC ，D 是AC 中点，∴OD ⊥AC ．又∵PD 、OD ⊂平面POD ，且PD ∩OD =D ，∴AC ⊥平面POD ．∴平面POD ⊥平面PAC ．(Ⅱ)解：∵PO=√2，底面半径r=OB=12AB=1，∴母线l=PB=√2+1=√3，∴表面积S=πr2+πrl=π×1+π×1×√3=(1+√3)π．解析：(Ⅰ)根据△AOC是等腰直角三角形证出中线OD⊥AC，再结合PD⊥AC证出AC⊥POD，利用平面与平面垂直的判定定理，可证出平面POD⊥平面PAC；(Ⅱ)求出母线，即可求圆锥PO的表面积．本题考查直线与平面垂直、平面与平面垂直的证明，考查表面积的计算，属于中档题．17.答案：解：(1)如图：设所截等腰三角形的底边边长为x cm．在Rt△EOF中，EF=5cm，OF=12x cm，所以EO=√25−14x2．于是V=13x2√25−14x2(cm3).依题意函数的定义域为{x|0<x<10}．(2)主视图为等腰三角形，腰长为斜高，底边长AB=6，底边上的高为四棱锥的高EO=√25−14x2=4，故S主视图=4×62=12(cm2)解析：本题考查函数的模型的选择与应用，本题解题的关键是根据所给的数据，表示出四棱锥的表面积和体积，注意自变量的取值范围．(1)根据所给的数据写出四棱锥的侧棱的长度，做出四棱锥的高，即可写出四棱锥的体积；(2)主视图为等腰三角形，腰长为斜高，底边长=AB=6，求出底边上的高为四棱锥的高，即可求图2的主视图的面积．18.答案：解：(1)连接AC，则∠PCA为求PC与平面ABCD所成角．因为AB=2，AD=2√2，所以AC=2√3，因为PA=2，所以tan∠PCA=√33，所以∠PCA=30°；(2)取PB的中点为G，根据E是PC的中点，可得EG//BC，且EG=√2．∵PA⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PA⊥BC，又底面ABCD是矩形，∴BC⊥AB，又AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB，∴EG⊥平面PAB，V P−ABE=V E−PAB=13×12×2×2×√2=2√23．解析：(1)连接AC，则∠PCA为求PC与平面ABCD所成角；(2)利用三棱锥的体积公式进行求解．本题主要考查线面平行、线面角的求法，空间三棱锥的体积公式，比较综合．19.答案：②④解析：解：设图(1)水的高度h2几何体的高为h1图(2)中水的体积为b2ℎ1−b2ℎ2=b2(ℎ1−ℎ2)，所以2/3b2ℎ2=b2(ℎ1−ℎ2)，所以ℎ1=，故①错误，④正确．对于②，当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P点，故②正确．对于③，假设③正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为25/36b2ℎ2> 2/3b2ℎ2，矛盾，故③不正确．故选②④20.答案：证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC(1)连接DB，可知B、N、D共线，且AC⊥DN又FD⊥AD，FD⊥CD，∴FD⊥面ABCD∴FD⊥AC∴AC⊥面FDN，GN⊂面FDN∴GN⊥AC(2)点P与点A重合时，GP//面FMC证明：取DC中点S，连接AS、GS、GA∵G是DF的中点，∴GS//FC，AS//CM∴面GSA//面FMCGA⊂面GSA∴GA//面FMC即GP//面FMC解析：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC，则(1)连接DB，我们易得FD⊥AD，FD⊥CD，由线面垂直的判定定理，可得FD⊥面ABCD，进而得到AC⊥面FDN，由线面垂直的定义，即可得到GN⊥AC；(2)由图分析得，点P与点A重合时，GP//面FMC，取DC中点S，连接AS、GS、GA由三角形中位线宣，我们易证明出面GSA//面FMC，根据面面平行的性质，我们易得GA//面FMC，即P与A 重合．本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，简单空间图形的三视图，其中根据三视图，判断出该几何体为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC，是解答本题的关键．21.答案：(1)证明：连接BD，∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∵E是AD中点，∴BE⊥AD．∵SA=SD，E是AD中点，∴SE⊥AD.又SE∩BE=E，SE,BE⊂平面SBE，∴AD⊥平面SBE；(2)在△CED中，由余弦定理可得：CE2=ED2+CD2−2ED⋅CD⋅cos∠CDE =12+22−2×1×2cos120°=7，又SE=√3，SC=√10，∴SE2+CE2=SC2，∴SE⊥EC，又AD∩EC=E，AD,EC⊂面ABCD，SE⊥AD，∴SE⊥平面ABCD，S△BEC=12BC⋅BE=12×2×√3=√3．∵SF=2FC．∴V F−BEC=13V S−BEC=13×13SE⋅S△BEC=19×√3×√3=13．解析：本题考查了线面垂直的判定与性质定理、菱形的性质定理、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)连接BD，利用菱形与等边三角形的性质可得：BE⊥AD.再利用等腰三角形的性质可得：SE⊥AD.利用线面垂直的判定定理即可证明：AD⊥平面SBE．(2)在△CED中，由余弦定理可得：CE2=7，又SE=√3，SC=√10，利用勾股定理的逆定理可得：SE⊥EC，从而证明SE⊥平面ABCD.由SF=2FC.可得V F−BEC=13V S−BEC，即可得出．。
高一数学必修二第一章空间几何体单元测试题
高一数学必修二第一章空间几何体单元测试题数学，是研讨数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，小编预备了高一数学必修二第一章空间几何体单元测试题，详细请看以下内容。
一、选择题1.棱台不具有的性质是()A.两底面相似B.正面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延伸后都交于一点2.以下命题中正确的选项是()A.有两个面平行，其他各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有两个面平行，其他各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行的几何体叫棱柱D.用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的局部组成的几何体叫棱台3.以下说法正确的选项是()A.直角三角形绕一边旋转失掉的旋转体是圆锥B.夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体C.圆锥截去一个小圆锥后剩余局部是圆台D.经过圆台正面上一点，有有数条母线4.以下说法正确的选项是()A.直线绕定直线旋转构成柱面B.半圆绕定直线旋转构成球体C.有两个面相互平行，其他四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D.圆柱的恣意两条母线所在的直线是相互平行的5.观察以下图所示几何体，其中判别正确的选项是()A.①是棱台B.②是圆台C.③是棱锥D.④不是棱柱6.纸制的正方体的六个面依据其方位区分标志为上、下、东、南、西、北，如今沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，失掉右侧的平面图形，那么标△的面的方位是()A.南B.北C.西D.下二、填空题7.由假定干个平面图形围成的几何体称为多面体，多面体最少有________个面.8.将等边三角形绕它的一条中线旋转180，构成的几何体是________.9.在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图?其序号是________.三、解答题10.如下图为长方体ABCDABCD，当用平面BCFE把这个长方体分红两局部后，各局部构成的多面体还是棱柱吗?假设不是，请说明理由;假设是，指出底面及侧棱.11.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45，求这个圆台的高、母线长和底面半径.才干提升12.以下四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个正方体的图形的是()13.如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁匍匐的最短距离是多少?高中是人生中的关键阶段，大家一定要好好掌握高中，小编为大家整理的高一数学必修二第一章空间几何体单元测试题，希望大家喜欢。
高中数学必修第一章空间几何体单元测试题
第一章《空间几何体》单元测试题时间 120 分钟，满分 150 分。
一、选择题 (本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中只有一个是切合题目要求的)1．某几何体的三视图，以下图，则这个几何体是()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥 D ．四棱柱[答案 ] B2．用一个平行于水平面的平面去截球，获得以下图的几何体，则它的俯视图是 ()[答案 ] B[分析 ] D 选项为主视图或侧视图，俯视图中明显应有一个被遮挡的圆，所之内圆是虚线，应选 B.3．斜四棱柱的侧面是矩形的面最多有()A．0 个B． 1 个C．2 个 D ．3 个[答案 ] C[分析 ] 此题考察四棱柱的构造特点，画出表示图即可．4．已知△ABC是边长为 2 a的正三角形，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()3 3A．a2 B．a22 46a2 D ． 6 a2C．4[答案 ] C直观图面积 S′与原图面积 S 拥有关系： S′＝2 33a2，[分析 ] S.∵S△ABC＝(2 a)2＝4 422 6∴S ABC＝×＝ 2 .3 a a△ ′′′ 4 45．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3 倍，母线长为3 ，圆台的侧面积为 84 π，则圆台较小底面的半径为()A． 7 B． 6C．5 D ．3[答案 ] A[分析 ] 设圆台较小底面圆的半径为r，由题意，另一底面圆的半径R＝3 r.∴S 侧＝π(r ＋R)l＝π(r＋3 r)×3＝84 π，解得r＝7.6．正方体内切球与外接球体积之比为()A． 1 3 B． 1 3C．1 3 3 D ．1 9[答案 ] Ca 3 [分析 ]设正方体棱长为a，内切球半径R1，外接球半径＝，R2＝a，2 2V 内a 3V外＝( )3( a)3＝1 3 3.2 2应选 C.7．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5 ，菱形的对角线的长分别是9 和 15，则这个棱柱的侧面积是()A． 30 34 B． 60 34C．30 34 ＋ 135 D ．135[答案 ] A[分析 ]92＋15 3由菱形的对角线长分别是9 和 15 ，得菱形的边长为2＝34 ，则2 2 2334 × 5＝30 34.这个菱柱的侧面积为 4 ×28．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为( )3πR3 3A．B．πR324 85πR3 5C． D ．πR325 8 [答案 ] A[分析 ] πR，母线长为 R，则底面半径为R 3依题意，得圆锥的底面周长为，高为R，2 21 R 3 3所以圆锥的体积为×π×( )2×R＝πR3.3 2 2 249．正三棱柱有一个半径为 3 cm 的内切球，则此棱柱的体积是 ( )A． 9 3 cm 3 B． 54 cm 3C．27 cm 3 D ．18 3 cm 3[答案 ] B[分析 ] 由题意知棱柱的高为 2 3 cm ，底面正三角形的内切圆的半径为 3 cm ，∴底面正三角形的边长为 6 cm ，正三棱柱的底面面积为9 3 cm 2，∴此三棱柱的体积V＝9 3 ×2 3＝ 54(cm 3) ．10 ．已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正方体的正视图的面积不行能等于()A． 1 B． 22－ 1 2 ＋ 1C． D ．2 2[答案] C[分析 ]水平搁置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为 1 ；当正视图为对角面时，其面积最大为 2.所以知足棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则2－ 1该正方体的正视图的面积的范围为[1 ， 2] ．由此可知， A ，B ，D 均有可能， 而＜ 1 ，2故 C 不行能．11 ．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主 )视图以下图，该四棱锥侧面积和体积分别是 ()A ．45，88 B ．45，38C ．4(5＋ 1) ，3D ． 8,8 [答案] B[分析 ]由于四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，其主视图为原图形中的△，如图．由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面长AB ＝2，高POPEFPE ＝ 2 2＋ 12＝ 5.所以该四棱锥侧面积1＝2 ，则四棱锥的斜高 S ＝ 4× × 2× 5＝4 5 ，21 8体积＝ × 2× 2× 2＝.3 312 ．如图，有一个水平搁置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内灌水，当球面恰巧接触水面时测得水深为 6 cm ，假如不计容器的厚度，则球的体积为 ()500 π866 πcm 3 A ． cm 3B ．3 31372 π2048 πC ． cm 3D ． cm 33 3[答案 ] A[分析 ]设球的半径为 R ，则由题知球被正方体上边截得圆的半径为 4 ，球心到截面圆34 π×5 500的距离为 R－2，则 R2＝(R－2)2＋42，解得 R＝5.∴球的体积为＝cm 3.3 3二、填空题 (本大题共 4 个小题，每题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13．在几何体①圆锥；②正方体；③圆柱；④球；⑤正四周体中，三视图完整同样的是________．[答案 ]②④14 ．用斜二测画法画边长为 2 的正三角形的直观图时，假如在已知图形中取的x 轴和正三角形的一边平行，则这个正三角形的直观图的面积是________．6[答案 ]415 ．棱锥的高为16 ，底面积为512 ，平行于底面的截面面积为50 ，则截得的棱台的高为________．[答案 ] 1116 －x)2＝50[分析 ] 设棱台的高为x，则有( ，解之，得 x＝11.16 51216．一个几何体的三视图及其尺寸以下列图所示，此中主视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积是________．[答案 ] 2(1 ＋3) π＋4 2[分析 ] 此几何体是半个圆锥，直观图如右图所示，先求出圆锥的侧面积S 圆锥侧＝πrl＝π× 2 ×23＝ 4 3 π，S 2底＝π×2＝ 4 π，1 2 ，S SAB＝×4×22＝4△24 3 π 4 π所以 S表＝＋＋4 2＝2(1 ＋3) π＋4 2.2 2三、解答题 (本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17 ．(本小题满分10 分 )用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为 1 16 ，截去的圆锥的母线长是 3 cm ，求圆台的母线长．[分析 ]设圆台的母线长为l cm，截得圆台的上、下底面半径分别为r cm,4 r cm.3 r依据相像三角形的性质得＝，解得l＝9.所以，圆台的母线长为9 cm.3 ＋l4 r18 ．(本小题满分12 分 )如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；(3)求出该几何体的体积．[ 分析 ](1) 由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．(2) 该几何体的侧视图如图．此中AB ＝AC，AD ⊥BC，且 BC 的长是俯视图正六边形对边的距离，即 BC＝3a，AD 是正六棱锥的高，即 AD ＝13 a，所以该平面图形的面积为· 323a·3 a＝ a2.2(3)设这个正六棱锥的底面积是 S，体积为 V，则S＝6×3 3 3a2＝a2，4 21 3 3 3所以V＝×a2×3 a＝ a3.3 2 219. (本小题满分12 分 )如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC＝135°，AB ＝5 ，CD＝2 2 ，AD＝ 2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．[分析 ] 过点C作CE⊥AD于点E，CF⊥AB于点F，∵∠ADC ＝135 °，∴∠EDC＝45°.又∵CE⊥ DE，∴CE＝ED＝2.易得 CF＝4， BF＝3，∴BC＝5.四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所形成的几何体是以EC，AB 为底面半径， EA 为高的圆台，去掉一个以EC 为底面半径， ED 为高的圆锥，∴S 表＝25π＋4 2 π＋π(10 ＋ 25) ＝ 60 π＋4 2π，π2 2 2 2 1 148V＝(2 ＋ 2 )× 2 ＝π.×5＋5 4 －π×2× 23 3 320 ．(本小题满分12 分 )已知某几何体的侧视图与其正视图同样，有关的尺寸以下图，求这个几何体的体积．[分析 ] 由三视图可知，该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱，两个圆柱高均为 1 ，底面是半径为 23 3 7 π和的齐心圆，故该几何体的体积为4 π× 1 －(π)2× 1 ＝ .2 2 421 ．(本小题满分12 分 )某高速公路收费站进口处的安全表记墩如图(1) 所示．墩的上半部分是正四棱锥P－ EFGH，下半部分是长方体ABCD－ EFGH.如图(2)(3)所示的分别是该标识墩的正 (主 )视图和俯视图．(1)请画出该安全表记墩的侧 (左 )视图；(2)求该安全表记墩的体积．[分析 ](1) 以下图．1(2) 该安全表记墩的体积 2 × 60 ＋40 2 × 20 ＝32 000 ＋V＝ V P－EFGH＋V ABCD－EFGH＝×40332 000＝ 64 000(cm3)．22 ．(本小题满分12 分 )如图，正方体ABCD － A′B′C′D′的棱长为a，连结 A′C′，A ′D，A′B，BD ， BC′，C′D，获得一个三棱锥．求：(1)三棱锥 A′－BC′D 的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥 A′－BC′D 的体积．[分析 ](1) ∵ABCD－A′B′C′D′是正方体，∴A′B＝ A′C′＝A ′D＝ BC′＝BD＝ C′D＝2 a，∴三棱锥 A′－BC′D 的表面积为1 34 × ×2a×× 2 a＝ 2 3 a2.2 2而正方体的表面积为 6 a2，故三棱锥A′－BC′D 的表面积与正方体表面积的比值为2 3 a2 36a2＝3.(2)三棱锥 A′－ABD ， C′－BCD，D－ A′D′C′，B－ A′B′C′是完整同样的．故 V 三棱锥A′－BC′D＝ V 正方体－4 V 三棱锥A′－ABD1 1a3＝ a3－4× × a2×a＝.3 2 3。
新高考数学复习第一章 空间几何体单元测试(基础版)附答案解析
1．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的正视图、侧视图与俯视图分别为 ( )
A．②①① B．②①② C．②④① D．③①① 【答案】：A 【解析】：由已知可得正视图应当是②，排除 D；侧视图是一个正方形，中间的棱在侧视图中表现为一条 对角线，对角线的方向应该从左上到右下，即侧视图应当是①，排除 C；俯视图应当是①，排除 B.故选 A. 2．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
（A）18 36 5 （B） 54 18 5
（C）90
（D）81
12.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）
（A） 1 2π 33
（B） 1 2π 33
（C） 1 2π 36
（D）1 2π 6
二、填空题 共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分别为线段 AA1，B1C 上的点，则三棱锥 D1－EDF 的体积为________．
A．20＋2π B．20＋3π C．24＋2π D．24＋3π
【答案】：B
1
1
【解析】：由三视图可知，该几何体为半圆柱与正方体的组合体，则其表面积 S＝ ×2 π×1×2＋ ×π×12×2＋
2
2
5×2×2＝20＋3π.故选 B.
3. （2018 年北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
（C） 1 2π 36
（D）1 2π 6
三、填空题 共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
高中数学必修二第一章《空间几何体》单元测试卷及答案
高中数学必修二第一章 《空间几何体》 单元测试卷及答案 （2套）测试卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只 有一个是符合题目要求的）1．已知某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体为（）2．如图，△ O ′A ′B ′是水平放置的△ OAB 的直观图，则△ OAB 的面积为（ ）A．6B ． 3 2C ． 62 D．12 3．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为 5， 菱形的对角线的长分别是 9 和 15，则这个棱柱的侧面积是（ ）A． 30 34 B ． 60 34 C ． 30 34 135D．1354． 半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为 （ ）A．3 R 3B ． 3 R 3C ．5R 3D．53 R2482585．已知圆柱与圆锥的底面积相等， 高也相等， 它们的体积分别为 V 1 和 V 2，则 V 1：V 2＝（A ．圆台B ．四棱锥C ．四棱柱D ．四棱台）6．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）7．一个正方体的体积是 8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．π8．如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为（ ）11 1 A ．1B ．C ．D ．2 369．《九章算术》 是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米 （如图，A ．1：3B ．1：1C ．2：1D ．3：116A米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）A．14 斛B．22斛C．36 斛D．66斛10．正三棱柱有一个半径为 3 cm 的内切球，则此棱柱的体积是（）A．9 3 cm3B．54cm3C．27cm3D．18 3cm3 11．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3 cm ，高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．17 B．C．10 D．27 2712．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，体积为（ ）500 3 cm 3 33C ．cm D ． cm33二、填空题（本大题共 4个小题，每小题 5 分，共 20分，把正确答案填在题中横线上）13．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_______________________________________________________________________________ （填入所有可能的几何体前的编号 ） ．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．14．用斜二测画法画边长为 2 的正三角形的直观图时， 如果在已知图形中取的 x 轴和正三角形的一边平行，则这个正三角形的直观图的面积是 ___________________ ．15．棱锥的高为 16，底面积为 512 ，平行于底面的截面面积为 50，则截得的棱台的高为 16．如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的A ． 3B ． cm3三、解答题（本大题共 6 个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10 分）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1: 4 ，母线长为10cm ．求圆锥的母线长．18．（12 分）如图是一个几何体的正视图和俯视图．（1）试判断该几何体是什么几何体？（2）画出其侧视图，并求该平面图形的面积；（3）求出该几何体的体积．19．（12 分）如下图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇如果冰淇淋融化了，淋，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．求这个几何体的20．（12 分）已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，体积．21．（12 分）如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2m，高为7 m ，制造这个塔顶需要多少铁板？22．（12 分）如图，正方体ABCD － A ′B′C ′D ′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：（1）三棱锥A′－BC′D 的表面积与正方体表面积的比值；（2）三棱锥A′－BC′D 的体积．）答案一、选择题（本大题共12 个小题，每小题 5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．【答案】D【解析】由几何体的三视图可得，该几何体为四棱台．故选 D ．2．【答案】D【解析】△OAB 是直角三角形，OA＝6，OB＝4，∠ AOB＝90°，1∴S△OAB 6 4 12 ．故选D ．23．【答案】A22【解析】由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为9 15 3 34，2 2 2 则这个菱柱的侧面积为4 334 5 30 34 ．故选 A ．24．【答案】A【解析】依题意，得圆锥的底面周长为πR，母线长为R，则底面半径为R，高为3R，所22以圆锥的体积1R2 3 R3 R3．故选 A ．322245．【答案】D【解析】V1 :V2 Sh 1Sh 3:1．故选 D ．36．【答案】B【解析】设球半径是R，依题意知，该三棱柱是一个底面边长为2，侧棱长为1 的正三棱柱，记上，下底面的中心分别是O1，O，易知球心是线段O1O 的中点，2于是2 1于是R23219，因此所求球的表面积是24 R241919，2312123故选 B ．7．【答案】C【解析】设正方体的棱长为a，则a3＝8，所以a＝2，而此正方体内的球直径为2，所以S 表＝4π2r＝4π．故选C．8．【答案】C解析】 该几何体的直观图为如图所示的四棱锥 P － ABCD ，且 PA ＝AB ＝AD ＝ 1，PA ⊥AB ， 1 PA ⊥ AD ，四边形 ABCD 为正方形，则 V 2 12 1 1 1 ，故选 C ． 3 39．【答案】B【解析】 设圆锥底面半径为r ，则 12 3r 8， 16 ∴ r 16 ，所以米堆的体积为 2 43 11 3 16 320 5， 故堆放的米约为 320 1.62 22 ，故选 B ． 43 3 9 910．【答案】 B【解析】 由题意知棱柱的高为 2 3 cm ，底面正三角形的内切圆的半径为 3 cm ， ∴底面正三角形的边长为 6cm ，正三棱柱的底面面积为 9 3 cm 2 ，∴此三棱柱的体积 V 9 3 2 3 54 cm 3 ．故选 B ．11．【答案】 C【解析】 由零件的三视图可知，该几何体为两个圆柱组合而成，如图所示．切削掉部分的体积V 1＝π×23×6 π×22×4 π×23×2＝20π (cm3 )，V 20 10 原来毛坯体积V 2＝π×23×6＝54 π (cm3)．故所求比值为1．故选C．V2 54 2712．【答案】A【解析】设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R－2，则R2＝(R－2)2＋42，解得R＝5．4 53∴球的体积为 4 53500 3 cm ．故选 A ．3二、填空题(本大题共4个小题，每小题 5 分，共20 分，把正确答案填在题中横线上) 13．【答案】①②③⑤【解析】三棱锥的三视图中含有三角形，∴正视图有可能是三角形，满足条件．四棱锥的三视图中含有三角形，满足条件．三棱柱的三视图中含有三角形，满足条件．四棱柱的三视图中都为四边形，不满足条件．圆锥的三视图中含有三角形，满足条件．圆柱的三视图中不含有三角形，不满足条件．故答案为①②③⑤．614．【答案】6415．【答案】1116．【答案】 36＋128 π【解析】 由三视图可知该组合几何体下面是一个圆柱，上面是一个三棱柱，故所求体积为1 V 3 4 6 16 8 36 128 2三、解答题（本大题共 6 个大题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）40 17．【答案】 40 cm ．3【解析】 如图，设圆锥母线长为 l ，则 l 10 1 ，所以 l 40 cm ．l 4 3解析】 设棱台的高为 x ，则有16 x 16 50 55102，解之，得 x ＝ 11．其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图正六边形对边的距离，即BC 3a，AD 是正六棱锥的高，即AD 3a ，所以该平面图形的面积为1 3a 3a 3a2．22（3）设这个正六棱锥的底面积是S，体积为V，则S 6 3 a2 3 3a2，42所以V1 3 32 a3a33 a．32219．【答案】不会，见解析．【解析】因为V半球14 3 1 4 R343 134 cm23231 V圆锥3r2h14212201 cm 3，134<201，3所以V 半球＜V 圆锥，所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．20．【答案】V 7．4【解析】由三视图可知，该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱，两个圆柱高均为1，底面是半2 径为 2 和3的同心圆，故该几何体的体积为V 4 13 1 7．2 2 421．【答案】8 2 m2．【解析】如图所示，连接AC 和BD 交于O，连接SO．作SP⊥AB，连接OP．在Rt△ SOP中，SO 7 m ，OP 1BC 1 m ，所以SP 2 2 m ，2则△ SAB的面积是1 2 2 2 2 2 m2．所以四棱锥的侧面积是 4 2 2 8 2 m2，即 2制造这个塔顶需要8 2 m 铁板．22．【答案】（1）3；（2）a．33 【解析】（1）∵ ABCD －A′B′C′D′是正方体，∴ A B A C A D BC BD C D 2a ，∴三棱锥A′－BC′D 的表面积为 4 1 2a 3 2a 2 3a2．22 而正方体的表面积为6a2，故三棱锥 A ′－BC′D 的表面积与正方体表面积的比值为 2 3a 2 3 ．2．6a2 3（2）三棱锥A′－ABD，C′－BCD，D－A′D′C′，B－A′B′C′是完全一样的．故V 三棱锥A′－BC′D＝V 正方体－4V 三棱锥A′－ABD＝a3 4 1 1 a2 a a 3 2 3测试卷二一、选择题（本大题共12 个小题，每小题 5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．下图中的图形经过折叠不能围成棱柱的是（）2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．4 B．6 C．8 D ．123．下列命题中，正确的命题是（）A．存在两条异面直线同时平行于同一个平面B．若一个平面内两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行C．底面是矩形的四棱柱是长方体D．棱台的侧面都是等腰梯形4．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（）A．0 B．9 C．快D．乐5．如图，△OAB 是水平放置的△OAB的直观图，则△AOB的面积是（）A．6 B．3 26．下列几何图形中，可能不是平面图形的是（ A ．梯形 B ．菱形C ．6 2 D ．12）C ．平行四边形D ．四边形7．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，部分在平面ADD1A1上的正投影为（）M、N分别是BB1、BC 的中点．则图中阴影8．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）A．12 3 B．36 3 C．27 3 D．69．一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图所示的展开图，则在原正方体中（）10．若圆台两底面周长的比是1: 4 ，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是（）11．如图所示，正四棱锥S ABCD 的所有棱长都等于a，过不相邻的两条棱SA，SC 作截面SAC，则截面的面积为（）3 2 2 1 2 1 2A．a 2B．a2C．a2D ．a2A．AB∥CD B．AB∥平面CD C．CD ∥GH D ．AB∥GHB．1C．1 D．391292 2 312．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（）A．①③④B．②③④C．①②④ D ．①②③二、填空题（本大题共4个小题，每小题 5 分，共20 分，把正确答案填在题中横线上）13．已知A、B、C、D 四点在同一个球面上，AB⊥BC，AB⊥BD，AC⊥CD，若AB＝6，AC 2 13，AD＝8，则B、C 两点间的球面距离是 _________ ．14．若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 _________ ．15．下列有关棱柱的说法：①棱柱的所有的面都是平的；②棱柱的所有的棱长都相等；③棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形；④棱柱的侧面的个数与底面的边数相等；⑤棱柱的上、下底面形状、大小相等．其中正确的有______ ．（填序号） 16．如图，是一个正方体的展开图，在原正方体中，相对的面分别是三、解答题（本大题共 6 个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）画出如图所示的四边形OABC的直观图．（要求用斜二测画法，并写出画法）18．（12分）已知四棱锥P ABCD ，其三视图和直观图如图，求该四棱锥的体积．19．（12分）如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M 为AA1的中点，P是BC 上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为29 ，设这条最短路线与CC1 的交点为N ．求：（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；（2）PC 和NC 的长．20．（12 分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为 4 的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为 4 的等腰三角形．求：（1）该几何体的体积V；（2）该几何体的侧面积S．21．（12 分）如图所示，一个封闭的圆锥型容器，当顶点在上面时，放置于锥体内的水面高度11为h1，且水面高是锥体高的1，即h1 1 h ，若将锥顶倒置，底面向上时，水面高为h2，求33h2 的大小．22．（12 分）如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm ，要剪下来一个扇形环ABCD ，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面（大底面）．试1）AD 应取多长？（2）容器的容积．答案一、选择题（本大题共12 个小题，每小题 5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．【答案】D2．【答案】 A 【解析】由三视图得几何体为四棱锥，如图记作S ABCD ，其中SA⊥面ABCD，SA＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝4，且ABCD 为直角梯形．1 1 1 1∠DAB ＝90°，∴ V 1SA 1AB CD AD 1 2 1 2 4 2 4 ，故选A．3 2 3 23．【答案】A【解析】由空间几何体的概念可知，存在两条异面直线同时平行于同一个平面， A 正确；由面面平行的判定定理可知，若一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，所以 B 不正确；底面是矩形的直四棱柱是长方体，所以 C 不正确；正棱台的侧面都是等腰梯形，所以 D 不正确，故选 A ．4．【答案】B5．【答案】D【解析】△OAB 为直角三角形，两直角边分别为 4 和6，S＝12．故选D．6．【答案】D【解析】四边形可能是空间四边形，如将菱形沿一条对角线折叠成 4 个顶点不共面的四边形．故选 D ．7．【答案】A8．【答案】B【解析】由三视图知该直三棱柱高为4，底面正三角形的高为 3 3 ，所以正三角形边长为6，所以V 3 36 4 36 3 ，故选 B ．49．【答案】C【解析】原正方体如图，由图可得CD∥GH，C 正确．故选C．10．【答案】D【解析】设上，下底半径分别为r1，r2，过高中点的圆面半径为r0，由题意得r 2＝4r1，r0 5 r1 ，2 22V上r1 r1r0 r0∴ 2 2V下r2 r2r0 r0 11．【答案】C 39，故选D．129解析】 根据正棱锥的性质，底面 ABCD 是正方形，∴ AC 2a ．在等腰三角形 SAC 中， SA ＝SC ＝a ，又 AC2a ，∴∠ ASC ＝90°，即 S △SAC 1 a 2．故选 C ． 212．【答案】 A 【解析】 当截面平行于正方体的一个侧面时得③； 当截面过正方体的体对角线时可得④； 当 截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时，可得①．但无论如何都不能截得②．故选 A ．二、填空题（本大题共 4个小题，每小题 5 分，共 20分，把正确答案填在题中横线上） 4 13．【答案】 43 【解析】如图所示， 由条件可知 AB ⊥BD ，AC ⊥CD ．由此可知 AD 为该球的直径， 设 AD 的中点为 O ， 则 O 为球心，连接 OB 、 OC ，由 AB ＝6，AD ＝8， AC 2 13 ，得球的半径 OB ＝OC ＝OA15．【答案】 ①④⑤16．【答案】 ①与④，②与⑥，③与⑤【解析】 将展开图还原为正方体，可得①与④相对，②与⑥相对，③与⑤相对．＝OD ＝4，BC = AC 2- AB 22 13 624 ，所以球心角∠ BOC ＝60°，所以 B 、C 两点间的球面距离为 60 R 4 ．180 314．【答案】 27 π【解析】 若正方体的顶点都在同一球面上，则球的直径 d 等于正方体的体对角线的长． ∵棱 长为 3，∴ d 3 32 3 3 R 2∴ S ＝ 4πR 2＝ 27π．三、解答题（本大题共 6 个大题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】 见解析．【解析】 直观图如下图所示．（1）画轴：在直观图中画出 x ′轴， y ′轴，使∠ x ′O ′y ′＝45°．（2）确定 A ′，B ′，C ′三点，在 x ′轴上取 B ′使 O ′B ′＝4．过 （2,0），（4,0）两点作 y ′轴的平行线， 过（0,2） ， 0, 1 两点作 x ′轴的平行线，得交点 A ′，C ′． （3）顺次连接 O ′A ′，A ′B ′，B ′C ′，C ′O ′并擦去辅助线， 就得到四边形 OABC 的直观图 O ′A ′B ′C ′．解析】 由三视图知底面 ABCD 为矩形， AB ＝ 2，BC ＝4．顶点 P 在面 ABCD 内的射影为 BC 中点 E ，即棱锥的高为 2，则体积 V P ABCD 1 S ABCD PE 1 2 4 2 16 ．3 3 319．【答案】（1） 97；（2）PC ＝2， NC 4 ．5【解析】（1）正三棱柱 ABC A 1B 1C 1的侧面展开图是一个长为 9，宽为 4 的矩形，其对角线 的长为 92 4 2 97 ．（2）18．【答案】 16 3如图所示，将平面 BB 1C 1C 绕棱 CC 1旋转 120°使其与侧面 AA 1C 1C 在同一平面上， 点 P 运动 到点 P 1的位置，连接 MP 1，则 MP 1就是由点 P 沿棱柱侧面经过棱 CC 1到点 M 的最短路线． 设 PC ＝ x ，则 P 1C ＝x ．在 Rt △MAP 1中，22 x 22 29，求得 x ＝2．∴ PC ＝P 1C ＝2． 4 ，∴ NC ． 5 V 64 ；（ 2） S 侧 40 24 2 ．由已知该几何体是一个四棱锥 P －ABCD ，如图所示． 由已知， AB ＝ 8，BC ＝ 6，高 h ＝ 4，由俯视图知底面 ABCD 是矩形，连接 AC 、 BD 交于点 O ，连接 PO ，则 PO ＝4，即为棱锥的 高．作 OM ⊥AB 于 M ，ON ⊥BC 于 N ，连接 PM 、 PN ，则 PM ⊥AB ，PN ⊥BC ．∴在勾股定理得 3∵ NC P 1C 2MA P 1 A 520．【答案】（1） 【解析】PM PO 2 OM 2 42 32 5， PN PO 2 ON 2 42 42 4 2． 18011V Sh 8 6 4 64 ．33 （2） S 侧 2S △ PAB 2S △ PBC AB PM BC PN 8 5 6 4 2 40 24 2 ．21．【答案】 h 2 19 h ．232 1 2 1 2 2 19 V r h r h3 3 3 3 81解析】（1）设圆台上、下底面半径分别为 r 、R ，AD ＝x ，则 OD 72 x ， 2）∵ 2 r 3 OD 3 36，∴ r 6cm ，解析】 当锥顶向上时，设圆锥底面半径为 r ，水的体积为：当锥顶向下时，设水面圆半径为 r ′，则V 13 r'2 h 2．又 r' h h 2r ，此时 V 1322h 2 r h 2 h 2 3h 2 r 23h 232 h2 r 19 r 2h ，∴ 2 r h ，∴ 3h 2 81 h 23139 h ， 即所求 h 2的值为 19 h ．2322．【答案】（ 1） AD 36 cm ；（ 2）V 504 35 cm 3由题意得 2 R 6072 x 3R R 12 ．即 AD 应取 36cm ．x 36圆台的高 h Rr 362 12 6 2 6 35 ．r 2h ．1 6 35 122 12 6 6 2 504 35 cm3 3 3 2 3 3 18．【答案】（ 1）正六棱锥； （2）见解析， 3a 2；（3） 3a 3 ．22 【解析】（1）由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥． （2）该几何体的侧视图如图． 1 2 2∴ V h R 2 Rr r 2 3。
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高中数学必修二第一章《空间几何体》导学案+基础检测学习目标1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2. 能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型；3. 会用斜二侧画法画几何体的直观图；4. 会求简单几何体的表面积和体积.学习过程一、课前准备（预习教材P2~ P37，找出疑惑之处）复习1：空间几何体的结构①多面体、旋转体有关概念；②棱柱、棱锥、棱台结构特征及其分类；③圆柱、圆锥、圆台结构特征；④球的结构特征；⑤简单组合体的结构特征.复习2：空间几何体的三视图和直观图①中心投影与平行投影区别，正投影概念；②三视图的画法：长对正、高平齐、宽相等；45，平行于x轴长度不变，平行于y轴长③斜二测画法画直观图：x'轴与y'轴夹角0度减半；复习3：空间几何体的表面积与体积①柱体、锥体、台体表面积求法（利用展开图）；②柱体、锥体、台体的体积公式；③球的表面积与体积公式.二、新课导学※典型例题例1在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是______.（写出所有正确结论的编号）①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三.角形的四边体；④每个面都是等边三角形的四边体；⑤每个面都是直角三角形的四面体例2将正三棱柱截去三个角（如图1所示，A、B、C分别是GHI△三边的中点）得到几.何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图为（）例3如下图，已知一平面图形的直观图是底角为45°，上底和腰均为1的等腰梯形，例4 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中的尺寸，这个几何体的体积是多少?※ 动手试试练1. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）.①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥 A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④练2. 正四棱锥S ABCD点,,,,SAB CD 都在同一个球面上，则该球的体积为多少?练3. 一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为2m、高为4m的圆柱形物体，上面是一个半球形体，如果每平方米大约需要鲜花200朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.14）?三、总结提升※学习小结1. 空间几何体结构的掌握；2. 实物图、三视图、直观图三者之间的转换；3. 特殊几何体(正棱柱、正棱锥、正棱台、球)表面积与体积的求法；特殊空间关系（内外切、内外接）的处理.※知识拓展通过本章的学习，同学们应该理解和掌握处理空间几何体的基本方法：把空间图形转化为平面图形；并且体会到解题过程中归纳、转化、数形结合的数学思想，初步了解运动变化这一辨证唯物主义观点在解题过程中的应用.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 已知ABC∆是一个直角三角形，则经过平行投影后所得三角形是（）.A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能2. 某棱台上、下底面半径之比为1﹕2，则上、下底面的面积之比为（）.A.1﹕2B.1﹕4C.2﹕1D.4﹕13. 长方体的高等于h，底面积等于S，过相对侧棱的截面面积为S'，则长方体的侧面积等于（）.A. B.C. 4. 下图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是__________.5. 三棱柱ABC A B C '''-中，若,E F 分别为,AB AC 的中点，平面EB C F ''将三棱柱分成体积为12,V V 的两部分，那么1V ﹕2V =________.课后作业1. 正四棱台高是12cm ，两底面边长之差为10cm , 全面积为2512cm ，求上、下底面的边长.2. 如图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V 1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V 2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，试比较12,V V 的大小关系.高中数学必修2第一章《空间几何体》基础检测题一、选择题（每道题5分）1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．主视图 左视图 俯视图 (第1题)A ．棱台B ．棱锥C ．棱柱D ．正八面体2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )．A ．2＋2B ．221＋ C ．22＋2 D ．2＋13．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )． A ．3B ．23C ．33D ．434．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )．A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )． A ．3∶1B ．3∶2C ．2∶3D ．3∶36．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )．A ．29π B ．27π C ．25π D ．23π 7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．1608．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）A ．324R B ．38R C ．324R D ．38R 9．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是( )． A ．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形 B ．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同 C ．水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D ．水平放置的圆的直观图是椭圆10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．(第10题)二、填空题（每道题5分）11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________． 13．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，O 是上底面ABCD 的中心，若正方体的棱长为a ，则三棱锥O －AB 1D 1的体积为_____________．14．如图，E ，F 分别为正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是___________(第14题)15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是___________，它的体积为___________．16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．三、解答题（17题，18,19各15分；20题25分）17．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别等于60 cm 和40 cm，求它的深度．18．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．(第18题)19．已知圆台的上下底面半径分别是2,5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？第一章 空间几何体参考答案一、选择题 1．A解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台． 2．A解析：原图形为一直角梯形，其面积S ＝21(1＋2＋1)×2＝2＋2． 3．A解析：因为四个面是全等的正三角形，则S 表面＝4×43＝3． 4．B解析：长方体的对角线是球的直径，l ＝2225＋4＋3＝52，2R ＝52，R ＝225，S ＝4πR 2＝50π． 5．C解析：正方体的对角线是外接球的直径． 6．D解析：V ＝V 大－V 小＝31πr 2(1＋1.5－1)＝23π．7．D解析：设底面边长是a ，底面的两条对角线分别为l 1，l 2，而21l ＝152－52，22l ＝92－52， 而21l ＋22l ＝4a 2，即152－52＋92－52＝4a 2，a ＝8，S 侧面＝4×8×5＝160．8.A 2312,,,22324R r R r h V r h R πππ===== 9．B解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半．平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变．10．D解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选D.二、填空题11．参考答案：5，4，3．解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台．12．参考答案：1∶22∶33．r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3，31r ∶32r ∶33r ＝13∶(2)3∶(3)3＝1∶22∶33．13．参考答案：361a ． 解析：画出正方体，平面AB 1D 1与对角线A 1C 的交点是对角线的三等分点， 三棱锥O －AB 1D 1的高h ＝33a ，V ＝31Sh ＝31×43×2a 2×33a ＝61a 3． 另法：三棱锥O －AB 1D 1也可以看成三棱锥A －OB 1D 1，它的高为AO ，等腰三角形OB 1D 1为底面．14．参考答案：平行四边形或线段．15．参考答案：6，6．解析：设ab ＝2，bc ＝3，ac ＝6，则V = abc ＝6，c ＝3，a ＝2，b ＝1， l ＝1＋2＋3＝6．16．参考答案：12．解析：V ＝Sh ＝πr 2h ＝34πR 3，R ＝32764×＝12． 三、解答题17．参考答案：V ＝31(S ＋S S ′＋S )h ，h ＝S S S S V ′＋′＋3＝6001＋4002＋60030001903×＝75．18．参考答案：S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×22＝(60＋42)π． V ＝V 台－V 锥 ＝31π(21r ＋r 1r 2＋22r )h －31πr 2h 1 ＝3148π． 19．解2229(25)(25),7l l ππ+=+=20． 解：(1) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，则仓库的体积V 1＝31Sh ＝31×π×(216)2×4＝3256π(m 3)． 如果按方案二，仓库的高变成8 m ，则仓库的体积V 2＝31Sh ＝31×π×(212)2×8＝3288π(m 3)． (2) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，半径为8 m ． 棱锥的母线长为l ＝224＋8＝45，仓库的表面积S 1＝π×8×45＝325π(m 2)．如果按方案二，仓库的高变成8 m ．棱锥的母线长为l ＝226＋8＝10，仓库的表面积S 2＝π×6×10＝60π(m 2)．(3) 参考答案：∵V 2＞V 1，S 2＜S 1，∴方案二比方案一更加经济些．。
【人教A版】高一数学必修二：第一章《空间几何体》单元试卷(1)(含解析答案)
第一章过关检测(时间90分钟,满分100分)知识点分布表一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分) 1.下列说法中正确的是(A.棱柱的侧面可以是三角形B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱C.所有几何体的表面都能展成平面图形D.棱柱的各条棱都相等 2.下列命题正确的是(A.线段的平行投影可能是一点B.圆的平行投影是圆C.圆柱的平行投影是圆D.圆锥的平行投影是等腰三角形3.若圆台两底面周长的比是1∶4,过高的中点作平行于底面的平面,则圆台被分成两部分的体积比是(A.21B.41 C.1 D.12939 4.圆锥的高扩大到原来的2倍,底面半径缩短到原来的21,则圆锥体积(A.缩小到原来的一半B.扩大到原来的两倍C.不变D.缩小到原来的61 5.如图所示,水平放置的圆柱形物体的三视图是(6.一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直,其长分别为1,6,3,且四面体的四个顶点在一个球面上,则这个球的表面积为(A.16πB.32πC.36πD.64π7.如图所示,梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图(斜二测),若A 1D 1∥O 1y 1,A 1B ＝∥C 1D 1,2321111==D C B A ,A 1D 1＝1,则四边形ABCD 的面积是(A.10C.25D.2108.如图,在一个侧置的正三棱锥容器内放入一个钢球,钢球恰与棱锥的四个面都接触,过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是(9.如图所示,三视图的几何体是(A.六棱台B.六棱柱C.六棱锥D.六边形10.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是( )A.3cm 34000B.3cm 38000C.2 000 cm 3D.4 000 cm 3二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)11.圆锥的轴截面是一个正三角形,则它的侧面积是底面积的_____________倍. 12.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体为___________.13.设矩形边长分别为a ,b (a ＞b ).将其按两种方式卷成高为a 和b 的圆柱筒,以其为侧面的圆柱的体积分别为V a 和V b ,则V a____________V b14.正方体的表面积是a 2,它的顶点都在球面上,则这个球的表面积是__________.三、解答题(本大题共4小题,共44分15.(10分)已知圆台外切于球,圆台的侧面积和球面积之比为4∶3,求圆台的体积和球的体积比.16.(10分)如图所示,已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图17.(12分)根据下图所给出的一个物体的三视图,求出该物体的体积和表面积18.(12分)一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如图所示,两容器内所盛液体的体积正好相等,且液面高度h也相等,用a将h表示出来参考答案1解析:由棱柱的特点,知侧面均为平行四边形,但底面可为三角形;其所有棱长不一定相等,但侧棱相等,所以A、D均错.又知球的表面不能展成平面图形,所以C错答案:B 2答案:A3解析:由题意设上、下底面半径分别为r 、4r ,截面半径为x ,圆台的高为2h ,则有213=-r r x ,∴r x 25=∴12939)164(31)(312222=++++=r rx x h x rx r h V V ππ下上. 答案:D 4解析:原变原V h r V h r V 212)2(31,3122=⋅⋅=⋅=ππ. 答案:A5解析:水平放置的圆柱的正视图和俯视图都是矩形,侧视图为圆形答案:A6解析:将四面体补形为长方体,此长方体的对角线即为球的直径, ∴(2r )2＝1＋6＋9＝16,则S 球＝4πr 2＝π(2r )2＝16π. 答案:A 7答案:B 8答案:B9解析:由俯视图可知,底面为六边形,又由正视图和侧视图知,该几何体为六棱锥. 答案:C10解析:由三视图可得几何体如下图所示,面EBC ⊥面ABCD ,四边形ABCD 为边长是20的正方形,棱锥高为∴)cm (3800020203132=⨯⨯=V . 答案:B11解析:由题意可知l ＝2r∴222221221r r r l r S πππ=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=侧S 底＝πr2∴2222==rr S S ππ底侧. 答案:2 12答案:六棱台13解析:πππ4)2(22ab a b V a =⋅=,πππ4)2(22ba b a V b =⋅=又∵a ＞b ,∴V a ＜V b . 答案:＜14解析:设正方体的边长为b ,则R b 23=,2223)23(44b b R S πππ=⋅==球又a 2＝6b 2,∴22a S π=球.答案:22a π15解:设球的半径为r ,圆台的上、下底面圆的半径分别为r 1、r2连结OD ,OC ,OG ,则OD ⊥O∴r 2＝DG ·GC ＝DE ·CF ＝r 1·r2S 圆台侧∶S 球＝［π(r 1＋r 2)·DC ］∶4πr 2＝4∶又∵DC ＝r 1＋r2∴(r 1＋r 2)2∶4r 2＝4∶∴(r 12＋r 22＋2r 1·r 2)∶4r 2＝4∶∴22221310r r r =+∴2222121342)(31r r r r r r V V ππππ⋅++=球圈台613231022222222121=+=++=r r r r r r r r . 16分析:由几何体的三视图知道,这个几何体是一个简单组合体,它的下部是一个圆台,上部是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆台的上底面重合,我们可以先画出下部的圆台,再画出上部的圆锥.画法:(1)画轴.如图(1),画x 轴、y 轴、z 轴,使∠xOy ＝45°,∠xOz ＝90°.(2)画圆台的两底面.利用斜二测画法,画出底面⊙O ,在z 轴上截取OO′,使OO′等于三视图中的相应高度过O′作Ox 的平行线O′x′,Oy 的平行线O′y′,利用O′x′与O′y′画出上底面⊙O′(与画⊙O 一样(3)画圆锥的顶点.在Oz 上截取点P ,使PO′等于三视图中的相应高度(4)成图.连结P A′、PB′、A′A 、B′B ,整理得到三视图表示的几何体的直观图,如图17解:根据三视图可知原立体图形为长方体,由三视图中的数据,还原出原长方体如下图体积V ＝4×5×3＝表面积S ＝2(4×5＋3×4＋3×5)＝94. 18解:32hh V ⋅=π圆锥液,haV ⋅⋅=2)2(π圆柱液由已知得h ah 23)2(3ππ=,∴a h 23=.。
高中数学《空间几何体》单元测试
A.两条平行直线
B.一点和一条直线 C.两条相交直线
3.如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的
D.棱柱 D.两个点
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A.
B.
C.
D.
4.如图，△A'B'C'是△ABC 的直观图，其中 A'B'=A'C'，A'B'∥x' 轴，A'C'∥y' 轴，那么△ABC 是
A.等腰三角形
B.钝角三角形
22.(本小题满分 12 分) 一个棱长为 6cm 的密封正方体盒子中放一个半径为 1cm 的小球，无论怎样摇动盒子，求小 球在盒子不能到达的空间的体积.
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数学必修 2 第一章《 空间几何体》测试答案
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A.1
B.2
C.3
D.4
11.已知 ABCD 是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，且 AD=2，BC=4，AB=2.按照斜二测画法作
出它的直观图 A'B'C'D'，则直观图 A'B'C'D'的面积为
A. 3
B.2 2
C. 3 2 4
12.一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是
D. 3 2 2
4
意两点的连线段；③用一个平面截一个球面，得到的是一个圆；④球常用表示球心的字母表 示.其中说法正确的是_________. 15.一个圆柱侧面展开是正方形，它的高与底面直径的比值是_________. 16.底面是直角三角形的直棱柱的三视图如图，网格中的每个小正方形的边长为 1，则该棱柱 的表面积是_________.
人教版高中数学第一章空间几何体练习题及答案(全)
第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构一、选择题1、下列各组几何体中是多面体的一组是（）A 三棱柱四棱台球圆锥B 三棱柱四棱台正方体圆台C 三棱柱四棱台正方体六棱锥D 圆锥圆台球半球2、下列说法正确的是（）A 有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥B 有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台C 有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱D 棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形3、下面多面体是五面体的是（）A 三棱锥B 三棱柱C 四棱柱D 五棱锥4、下列说法错误的是（）A 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成B 一个圆台可以由两个圆台拼合而成C 一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成D 一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成5、下面多面体中有12条棱的是（）A 四棱柱B 四棱锥C 五棱锥D 五棱柱6、在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有几个（）A 1 个B 2 个C 3个D 4个二、填空题7、一个棱柱至少有————————个面，面数最少的棱柱有————————个顶点，有—————————个棱。
8、一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60，则每条侧棱长为————————————9、把等腰三角形绕底边上的高旋转1800，所得的几何体是——————10、水平放置的正方体分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示。
图中是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面。
则“祝”“你”“前”分别表示正方体的—————祝你前程似锦三、解答题：11、长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BC ＝2，BB 1＝1，由A 到C 1在长方体表面上的最短距离为多少？AA 1B 1BCC 1D 1D12、说出下列几何体的主要结构特征（1）（2）（3）1.2空间几何体的三视图和直观图一、选择题1、两条相交直线的平行投影是（ ） A 两条相交直线 B 一条直线C 一条折线D 两条相交直线或一条直线 2、如图中甲、乙、丙所示，下面是三个几何体的三视图，相应的标号是（ ）① 长方体 ② 圆锥 ③ 三棱锥 ④ 圆柱 A ②①③ B ①②③ C ③②④ D ④③②正视图侧视图俯视图 正视图 侧视图 俯视图 正视图 侧视图 俯视图甲 乙 丙3、如果一个几何体的正视图和侧视图都是长方形，则这个几何体可能是（ ）A 长方体或圆柱B 正方体或圆柱C 长方体或圆台D 正方体或四棱锥 4、下列说法正确的是（ ）A 水平放置的正方形的直观图可能是梯形B 两条相交直线的直观图可能是平行直线C 平行四边形的直观图仍然是平行四边形D 互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直5、若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ） A 21倍 B42倍 C 2倍 D 2倍 6、如图（１）所示的一个几何体，，在图中是该几何体的俯视图的是（ ）（１） 二、选择题7、当圆锥的三视图中的正视图是一个圆时，侧视图与俯视图是两个全等的———————三角形。
高中数学必修二第一章《空间几何体》单元测试卷及答案
高中数学必修二第一章《空间几何体》单元测试卷及答案（2套）测试卷一一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．已知某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体为（ ）A ．圆台B ．四棱锥C ．四棱柱D ．四棱台2．如图，△O ′A ′B ′是水平放置的△OAB 的直观图，则△OAB 的面积为（ ）A ．6B ．32C ．62D ．123．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．3034B ．6034C ．3034135+D ．1354．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ） A ．3324R π B ．338R π C ．3525R π D ．358R π 5．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V 1和V 2，则V 1：V 2＝（ ） A ．1：3B ．1：1C ．2：1D ．3：16．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．163π B ．193π C ．1912π D ．43π7．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ） A ．8πB ．6πC ．4πD ．π8．如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为（ ）A ．1B ．12 C ．13D ．169．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛103cm 的内切球，则此棱柱的体积是（ ） A ．393B ．354cmC ．327cmD ．318311．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm )，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A ．1727 B ．59C ．1027 D ．1312．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）A ．3500cm 3πB ．3cm 3866πC ．3cm 31372πD ．3cm 32048π 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．14．用斜二测画法画边长为2的正三角形的直观图时，如果在已知图形中取的x 轴和正三角形的一边平行，则这个正三角形的直观图的面积是__________________．15．棱锥的高为16，底面积为512，平行于底面的截面面积为50，则截得的棱台的高为__________________．16．如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是__________________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(10分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1:4，母线长为10cm．求圆锥的母线长．18．(12分)如图是一个几何体的正视图和俯视图．（1）试判断该几何体是什么几何体？（2）画出其侧视图，并求该平面图形的面积；（3）求出该几何体的体积．19．(12分)如下图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．20．(12分)已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，求这个几何体的体积．21．(12分)如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2m，高为7m，制造这个塔顶需要多少铁板？22．(12分)如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：（1）三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；（2）三棱锥A′－BC′D的体积．）答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．【答案】D【解析】由几何体的三视图可得，该几何体为四棱台．故选D．【解析】△OAB 是直角三角形，OA ＝6，OB ＝4，∠AOB ＝90°，∴164122OAB S =⨯⨯=△．故选D ．3．【答案】A【解析】由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为22915334222⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则这个菱柱的侧面积为3434530342⨯⨯=．故选A ． 4．【答案】A【解析】依题意，得圆锥的底面周长为πR ，母线长为R ，则底面半径为2R，高为32R ，所以圆锥的体积2313332224R R R ⎛⎫⨯π⨯⨯=π ⎪⎝⎭．故选A ． 5．【答案】D【解析】()121::3:13V V Sh Sh ⎛⎫== ⎪⎝⎭．故选D ．6．【答案】B【解析】设球半径是R ，依题意知，该三棱柱是一个底面边长为2，侧棱长为1的正三棱柱，记上，下底面的中心分别是O 1，O ，易知球心是线段O 1O 的中点，于是222123192312R ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此所求球的表面积是2191944123R ππ=π⨯=， 故选B ． 7．【答案】C【解析】设正方体的棱长为a ，则a 3＝8，所以a ＝2，而此正方体内的球直径为2，所以S 表＝4πr 2＝4π．故选C ． 8．【答案】C【解析】该几何体的直观图为如图所示的四棱锥P －ABCD ，且P A ＝AB ＝AD ＝1，P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，四边形ABCD 为正方形，则2111133V =⨯⨯=，故选C ．【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，∴163r =，所以米堆的体积为21116320354339⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故堆放的米约为320 1.62229÷≈，故选B ． 10．【答案】B【解析】由题意知棱柱的高为23cm ，底面正三角形的内切圆的半径为3cm ， ∴底面正三角形的边长为6cm ，正三棱柱的底面面积为293cm ，∴此三棱柱的体积()3932354cm V =⨯=．故选B ．11．【答案】C【解析】由零件的三视图可知，该几何体为两个圆柱组合而成，如图所示．切削掉部分的体积V 1＝π×32×6-π×22×4-π×32×2＝20π(cm 3)， 原来毛坯体积V 2＝π×32×6＝54π(cm 3)．故所求比值为1220105427V V π==π．故选C ． 12．【答案】A【解析】设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4， 球心到截面圆的距离为R －2，则R 2＝(R －2)2＋42，解得R ＝5．∴球的体积为3345500cm 33π⨯π=．故选A ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】①②③⑤【解析】三棱锥的三视图中含有三角形，∴正视图有可能是三角形，满足条件． 四棱锥的三视图中含有三角形，满足条件． 三棱柱的三视图中含有三角形，满足条件． 四棱柱的三视图中都为四边形，不满足条件． 圆锥的三视图中含有三角形，满足条件． 圆柱的三视图中不含有三角形，不满足条件． 故答案为①②③⑤．14．【答案】6415．【答案】11【解析】设棱台的高为x ，则有2165016512x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解之，得x ＝11． 16．【答案】36＋128π【解析】由三视图可知该组合几何体下面是一个圆柱，上面是一个三棱柱，故所求体积为1346168361282V =⨯⨯⨯+π⨯=+π．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】403cm ． 【解析】如图，设圆锥母线长为l ，则1014l l -=，所以cm 403l =．18．【答案】（1）正六棱锥；（2）见解析，232a ；（3）332a ．【解析】（1）由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥． （2）该几何体的侧视图如图．其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图正六边形对边的距离，即3BC a =，AD 是正六棱锥的高，即3AD a =，所以该平面图形的面积为2133322a a a =．（3）设这个正六棱锥的底面积是S ，体积为V ，则223336S =，所以2313333322V a a a =⨯⨯=．19．【答案】不会，见解析．【解析】因为()33314144134cm 2323V R =⨯π=⨯⨯π⨯≈半球，()22311412201cm 33V r h =π=π⨯⨯≈圆锥，134<201，所以V 半球<V 圆锥，所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子． 20．【答案】74V π=． 【解析】由三视图可知，该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱，两个圆柱高均为1，底面是半径为2和32的同心圆，故该几何体的体积为23741124V π⎛⎫=π⨯-π⨯= ⎪⎝⎭．21．【答案】282m ．【解析】如图所示，连接AC 和BD 交于O ，连接SO ．作SP ⊥AB ，连接OP ．在Rt △SOP 中，)7m SO =，()11m 2OP BC ==，所以)22m SP =， 则△SAB 的面积是)2122222m 2⨯⨯=．所以四棱锥的侧面积是)242282m ⨯，即制造这个塔顶需要282m 铁板．22．【答案】（13；（2）33a ．【解析】（1）∵ABCD －A ′B ′C ′D ′是正方体， ∴2A B A C A D BC BD C D a ''''''======，∴三棱锥A ′－BC ′D 的表面积为213422232a a a ⨯=．而正方体的表面积为6a 2，故三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值为2233a ． （2）三棱锥A ′－ABD ，C ′－BCD ，D －A ′D ′C ′，B －A ′B ′C ′是完全一样的．故V三棱锥A′－BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′－ABD＝3 32114323a a a a-⨯⨯⨯=测试卷二一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．下图中的图形经过折叠不能围成棱柱的是（）2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．4 B．6 C．8 D．123．下列命题中，正确的命题是（）A．存在两条异面直线同时平行于同一个平面B．若一个平面内两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行C．底面是矩形的四棱柱是长方体D．棱台的侧面都是等腰梯形4．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（）A．0 B．9 C．快D．乐5．如图，O A B'''△是水平放置的OAB△的直观图，则AOB△的面积是（）。
高中数学 第一章 空间几何体测试卷1 新人教A版必修2
空间几何体单元测试一、选择题1．正四棱锥P—ABCD的侧棱长和底面边长都等于a，有两个正四面体的棱长也都等于a.当这两个正四面体各有一个面与正四棱锥的侧面PAD，侧面PBC完全重合时，得到一个新的多面体，该多面体是（）（A）五面体（B）七面体（C）九面体（D）十一面体2．正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则球的表面积为( )（A）π)316-（B）18π（C）36π（D）π)26(64-4612(3.在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（）A．1∶3 B．1∶9 C．1∶33D．1∶3(-3)14.已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某人画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形如下，则（） A.以下四个图形都是正确的 B.只有（2）（4）是正确的 C.只有（4）GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF是正确的 D.只有（1）（2）是正确的①② ③ ④5．在棱长均为2的正四面体BCD A -中，若以三角形ABC 为视角正面的三视图中，其左视图的面积是（ ）．A ．3B ．362C ．2 D ．226．如图,一几何体的三视图如下：则这个几何体是（ ）A.圆柱B.空心圆柱C.圆D.圆锥7．已知一半径为R ，高为h （h>2R ）的无盖圆柱形容器，装满水后倾斜︒45，剩余的水恰好装满一半径也为R 的球形容器，A BCD俯视左视若R=3，则圆柱形容器的高h为（）A．4 B．7 C．10 D．12GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAFＣＰ8．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）A. 1:2:3B.2：3：4C.3:2:4D.3:1:29．把一个半径为R 的实心铁球熔化铸成两个小球（不计损耗），两个小球的半径之比为1∶2，则其中较小球半径为（ ）A ．31RB ．333R C ．5253R D ．33R 10且梯形OA /B /C /的面积为2 A 、 2 B C 、22 D 、 4二、填空题11．一个立方体的六个面上分别标有字母A 、B 、C 、D 、 E 、F ，右图是此立方体的两种不同放置，则与D 面相对的面上的字母是 。
高中数学第一章空间几何体单元质量测评含解析新人教A版必修208192196
高中数学第一章空间几何体单元质量测评含解析新人教A版必修208192196对应学生用书P21 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列命题中正确的是( )A ．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥B ．棱锥的高线可能在几何体之外C ．仅有一组对面平行的六面体是棱台D ．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 答案 B解析 由五个平面围成的多面体可能是四棱锥或三棱柱，故A 不正确；根据棱锥的定义，棱锥的高线可能在几何体之外，故B 正确；仅有一组对面平行的六面体可能是四棱台，也可能是四棱柱，故C 不正确；因为棱锥的定义中要求这些三角形必须有公共的顶点，故D 不正确．所以选B ．2．如果把圆锥的母线长扩大到原来的n 倍，底面半径缩小为原来的1n ，那么它的侧面积变为原来的( )A ．1倍B ．n 倍C ．n 2倍 D ．1n答案 A解析 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则侧面积S ＝πrl，变化后其底面半径为1n r ，母线长为nl ，故变化后的侧面积S′＝π·1nr·nl＝πrl，所以S′＝S ．3．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是( )A ．a ，bB ．a ，cC ．c ，bD ．b ，d 答案 A解析 正视图和侧视图完全相同时，牟合方盖相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，而俯视图为一个正方形，且有两条实线的对角线．故选A ．4．若干毫升水倒入底面半径为2 cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6 cm ，若将这些水全部倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是( )A ．6 3 cmB ．6 cmC ．2318 cmD ．3312 cm 答案 B解析 水的体积V ＝π×22×6＝24π(cm 3)．设圆锥中水的底面半径为r ，则水的高度为3r ，∴13πr 2·3r ＝24π，∴r 3＝243． ∴(3r)3＝216，∴3r ＝6，即圆锥中水面的高度为6 cm ．5．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为( )A ．4π3B ．3π C．3π2 D ．π答案 C解析 由三视图知，如图，此四面体的外接球即为棱长为1的正方体的外接球，设外接球的半径为R ，则2R ＝3，R ＝32．所以球的体积为V ＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝3π2．6．如图所示是古希腊数学家阿基米德墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( )A ．32，1B ．23，1C ．32，32D ．23，32 答案 C解析 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ． ∵V 圆柱＝πR 2×2R＝2πR 3，V 球＝43πR 3，∴V 圆柱V 球＝2πR 343πR 3＝32． ∵S 圆柱表面积＝2πR×2R＋2×πR 2＝6πR 2，S 球表面积＝4πR 2， ∴S 圆柱表面积S 球表面积＝6πR 24πR 2＝32． 7．一个棱台上、下底面的面积分别为16，81，有一平行于底面的截面，其面积为36，则截得的两棱台的高之比为( )A ．1∶1 B．1∶2 C．2∶3 D．3∶4 答案 C解析 设截得的上面的棱台的高为h 1，下面的棱台的高为h 2，以棱台上底面为底面将棱台补为棱锥，设最上面的小棱锥的高为h ，根据棱锥的性质可得16∶36∶81＝h 2∶(h＋h 1)2∶(h ＋h 1＋h 2)2，解得h 1∶h 2＝2∶3．8．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，AD ＝4，AA 1＝3，分别过BC ，A 1D 1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V 1＝V 三棱柱AEA 1－DFD1，V 2＝V 四棱柱EBE 1A 1－FCF 1D 1，V 3＝V 三棱柱B 1E 1B －C 1F 1C ．若V 1∶V 2∶V 3＝1∶4∶1，则截面A 1EFD 1的面积为( )A ．213B ．413C ．613D ．813 答案 B解析 由题意可知，V 长方体＝6×4×3＝72，V 1＝16V ＝16×72＝12．其中体积为V 1的几何体是三棱柱AEA 1－DFD 1，其高为AD ＝4，∴其底面积S△AEA 1＝3．在Rt△AEA 1中，∵AA 1＝3，∴AE＝2． ∴A 1E ＝32＋22＝13．又∵截面A 1EFD 1为矩形，∴其面积S ＝413．9．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．143B ．173C ．203 D ．8答案 B解析由三视图，知该几何体的直观图是如图所示的多面体B 1C 1D 1－BCDFE ，该多面体可补全为棱长为2的正方体，其中E ，F 分别为AB ，AD 的中点，多面体AEF －A 1B 1D 1为棱台，棱台高为2，上、下底面均为等腰直角三角形．则该几何体的体积是2×2×2－13×2×12＋2＋2×12＝8－73＝173，故选B．10．用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A′B′C′．已知点O′是斜边B′C′的中点，且A′O′＝1，则△ABC的边BC上的高为( ) A．1 B．2 C． 2 D．2 2答案 D解析∵△ABC的直观图是等腰直角三角形A′B′C′，∠B′A′C′＝90°，A′O′＝1，∴A′C′＝2．根据直观图平行于y轴的长度变为原来的一半，∴△ABC的BC边上的高为AC＝2A′C′＝22．故选D．11．设长方体的三条棱长分别为a，b，c，若长方体的所有棱的长度之和为24，一条体对角线长为5，体积为2，则1a＋1b＋1c等于( )A．114B．411C．112D．211答案 A解析由题意可知a＋b＋c＝6，①a2＋b2＋c2＝25，②abc＝2．由①两边平方，得a2＋b2＋c2＋2(ab＋ac＋bc)＝36，把②代入此式，得ab＋ac＋bc＝112．∴1a＋1b＋1c＝bc＋ac＋ababc＝1122＝114．12．如图，直三棱柱(侧棱垂直于底面)ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，且AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为( ) A．2 B．1 C． 2 D．22答案 C解析连接BC1，B1C，设交于点O，则O为侧面BCC1B1的中心，由题意知，球心为侧面BCC1B1的中心O ，BC 为截面圆的直径，所以∠BAC＝90°，则△ABC 的外接圆的圆心N 位于BC 的中点．同理，△A 1B 1C 1的外接圆的圆心M 位于B 1C 1的中点，设正方形BCC 1B 1的边长为x ，在Rt△OMC 1中，OM ＝x 2，MC 1＝x 2，OC 1＝R ＝1(R 为球的半径)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝1．解得x ＝2，所以B 1B ＝BC ＝2．同理，在Rt△ABC 中，解得AB ＝AC ＝1，所以侧面ABB 1A 1的面积为2×1＝2．故选C ．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．用长、宽分别是3π与π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱底面的半径为________． 答案 32或12解析 设圆柱底面的半径为R ，当以宽为母线，长为底面圆周长时，则2πR＝3π，R ＝32；当以长为母线，宽为底面圆周长时，则2πR＝π，R ＝12．14．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12．6(立方寸)，则图中的x 为________．答案 1．6解析 由图可得π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×x＋3×1×(5．4－x)＝12．6，解得x ＝1．6．15．若一个圆台的轴截面是腰长为a 的等腰梯形，下底边长为2a ，对角线长为3a ，则这个圆台的体积为________．答案7324πa 3解析 圆台的轴截面如图，由AD ＝a ，AB ＝2a ，BD ＝3a ，可知∠ADB＝90°，∠DAB＝60°．分别过点D ，C 作DH⊥AB，CG⊥AB，所以DH ＝32a ，所以HB ＝BD 2－DH 2＝3a 2－34a 2＝32a ，所以DC ＝HG ＝a ，所以圆台的体积为 V ＝π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋12a 2＋a 2·32a ＝7324πa 3．16．把由折线y ＝|x|和y ＝2围成的图形绕x 轴旋转360°，所得旋转体的体积为________．答案32π3解析 由题意，y ＝|x|和y ＝2围成图中阴影部分的图形，旋转体为一个圆柱挖去两个共顶点的圆锥．∵V圆柱＝π×22×4＝16π，2V圆锥＝2×π3×22×2＝16π3，∴所求几何体的体积为16π－16π3＝32π3．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)把长、宽分别为4、2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．解 设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ．当2πr＝4，l ＝2时，r ＝2π，h ＝l＝2，所以V 圆柱＝πr 2h ＝8π．当2πr＝2，l ＝4时，r ＝1π，h ＝l ＝4，所以V 圆柱＝πr 2h ＝4π．综上所述，这个圆柱的体积为8π或4π．18．(本小题满分12分)如图所示是一个圆台形的纸篓(有底无盖)，它的母线长为50 cm ，两底面直径分别为40 cm 和30 cm ．现有制作这种纸篓的塑料制品50 m 2，问最多可以做这种纸篓多少个？解 根据题意可知，纸篓底面圆的半径r′＝15 cm ，上口的半径r ＝20 cm ，设母线长为l ，则纸篓的表面积S ＝πr′2＋2πr′＋2πr l 2＝π(r′2＋r′l＋rl)＝π(152＋15×50＋20×50)＝1975π(cm 2)．因为50 m 2＝500000 cm 2，故最多可以制作这种纸篓的个数n ＝500000S≈80．19．(本小题满分12分)如图所示，在正三棱柱(底面为正三角形，侧棱垂直底面)ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝4，M 为AA 1的中点，P 是BC 上的一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线为29．设这条最短路线与CC 1的交点为N ，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长； (2)PC 和NC 的长．解 (1)该三棱柱的侧面展开图是宽为4，长为9的矩形，所以对角线的长为42＋92＝97．(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB 1展开，如图所示．设PC 的长为x ，则MP 2＝MA 2＋(AC ＋x)2． 因为MP ＝29，MA ＝2，AC ＝3， 所以x ＝2(负值舍去)，即PC 的长为2． 又因为NC∥AM，所以PC PA ＝NC AM ，即25＝NC2，所以NC ＝45．20．(本小题满分12分)如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm 与2 cm ，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm 的正方形．(1)求该几何体的表面积；(2)求该几何体的外接球的体积．解 (1)由题意可知，该几何体是长方体， 底面是正方形，边长是4，高是2，因此该几何体的表面积是：2×4×4＋4×4×2＝64(cm 2)，即该几何体的表面积是64 cm 2． (2)由长方体与球的性质可得，长方体的体对角线是球的直径，记长方体的体对角线长为d ，球的半径为r ，则d ＝16＋16＋4＝36＝6(cm)， 所以球的半径为r ＝3(cm)．因此，球的体积V ＝43πr 3＝43×27π＝36π(cm 3)，即外接球的体积是36π cm 3．21．(本小题满分12分)如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E ，F 分别是A 1A ，CC 1的中点，求四棱锥C 1－B 1EDF 的体积．解 连接EF ，B 1D 1．设B 1到平面C 1EF 的距离为h 1，D 到平面C 1EF 的距离为h 2．∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E ，F 分别是A 1A ，CC 1的中点，∴h 1＋h 2＝B 1D 1＝2a ． 又S△C1EF＝12C 1F·EF＝12×a 2×2a ＝24a 2，∴VC1－B1EDF ＝VB1－C1EF ＋VD －C1EF＝13·S△C1EF·(h 1＋h 2)＝13×24a 2×2a ＝16a 3． 22．(本小题满分12分)已知正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面内的正投影为底面的中心)S －ABC ，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在正三棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15 cm ，底面边长为12 cm ，内接正三棱柱的侧面积为120 cm 2．(1)求三棱柱的高；(2)求棱柱上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比． 解 (1)设正三棱柱的高为h cm ，底面边长为x cm ，如图，则15－h 15＝x12， ∴x＝45(15－h)．①又S 三棱柱侧＝3x·h＝120， ∴xh＝40．②解①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，h ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，h ＝5.故正三棱柱的高为10 cm 或5 cm ． (2)由棱锥的性质，得S 三棱锥S －A 1B 1C 1侧S 三棱锥S －ABC 侧＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－10152＝19或S 三棱锥S －A 1B 1C 1侧S 三棱锥S －ABC 侧＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－5152＝49．- 1 -。
新课标高中数学(必修2)第一章：空间几何体(综合训练)解析
科 目：数学适用年级: 高一、二第一章空间几何体（基础训练）测试题一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )A .棱台B .棱锥C .棱柱D .都不对2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）A... 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）AB2 C．2D35．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（）A ．130B ．140C ．150D ．160二、填空题主视图 左视图 俯视图1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。
2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。
3．正方体1111ABCD A B C D -中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。
4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。
5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________.三、解答题1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12M ，高4M ，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M （高不变）；二是高度增加4M (底面直径不变)。
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第一章空间几何体单元测试卷（基础版）一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的正视图、侧视图与俯视图分别为( )A．②①① B．②①②C．②④①D．③①①2．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A．20＋2πB．20＋3πC．24＋2πD．24＋3π3. （2018年北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 44．如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的直径为( )A. B ．1 C ．2 D ．4125.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）A. B. C. D.6.(四川省成都市2016级成都一诊理科数学)一个三棱锥的正视图与侧视图如图所示（均为直角三角形），则该三棱锥的体积为（） A.4 B.8 C.16 D.247.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最 长的棱的长度为（ ）A．B．6 C．D．48.(2017届辽宁省沈阳市郊联体高三上学期期末)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 ,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6,如不计容器的厚度,则球的表面积为（）A. B. C. D.9.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）（A）（B）（C）（D）210.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28 3π,则它的表面积是（）（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A ）18+ （B ）54+ （C ）90 （D ）8112.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）（A ）1233+π （B ）13+ （C ）13+ （D ）1+ 二、填空题 共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．14.某正方体外接球的体积为，则此正方体的表面积为 ．15.学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱1111ABCD A B C D -锥O —EFGH 后所得几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原16cm 4cm AB =BC =, AA =料的质量为___________.16．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ,,分别是1,,AA AC AB 的中点，设三棱锥ADE F -的体积 为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ．如何学好数学A B C 1A D EF1B 1C1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k 算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k 过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式，就ok 了2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽！3.三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)coA之类的先边化角然后把第一题算的比如角A等于60度直接假设B和C都等于60°带入求解。
省时省力！4.空间几何证明过程中有一步实在想不出把没用过的条件直接写上然后得出想不出的那个结论即可。
如果第一题真心不会做直接写结论成立则第二题可以直接用！用常规法的同学建议先随便建立个空间坐标系，做错了还有2分可以得！5.立体几何中第二问叫你求余弦值啥的一般都用坐标法！如果求角度则常规法简单！6.高考选择题中求条件啥的充要和既不充分也不必要这两个选项可以直接排除！考到概率超小7.选择题中考线面关系的可以先从D项看起前面都是来浪费你时间的7.选择题中求取值范围的直接观察答案从每个选项中取与其他选项不同的特殊点带入能成立的就是答案8.线性规划题目直接求交点带入比较大小即可（这个看楼下的说用这条要碰运气，文科可以试试。
）9.遇到这样的选项 A 1/2 B 1 C 3/2 D 5/2 这样的话答案一般是D因为B可以看作是2/2 前面三个都是出题者凑出来的如果答案在前面3个的话 D应该是2(4/2).数学无耻得分综合篇！做选择题时注意各种方法的运用，比较简单的自己会的题正常做就可以了，遇到比较复杂的题时，看看能否用做选择题的技巧进行求解（主要有排除法、特殊值代入法、特例求解法、选项一一带入验证法、数形结合法、逻辑推理验证法等等），一般可以综合运用各种方法，达到快速做出选择的效果。
填空题也是，比较简单的会的就正常做，复杂的题如果答案是一个确定的值时，看能否用特殊值代入法以及特例求解法。
选择填空题的答题时间要自己掌握好，遇到不会的先放下往后答，我们的目标是把卷子上所有会的题都答上了、都答对了，审题要仔细（一个字一个字读题），计算要准确（一步一步计算），千万不要有马虎的地方。
大题文科第一题一般是三角函数题，第一步一般都是需要将三角函数化简成标准形式Asin（wx+fai）+c，接下来按题做就行了，注意二倍角的降幂作用以及辅助角（合一）公式，周期公式，对称轴、对称中心、单调区间、最大值、最小值都是用整体法求解。
求最值时通过自变量的范围推到里面整体u=wx+fai的范围，然后可以直接画sinu的图像，避免画平移的图像。
这部分题还有一种就是解三角形的问题，运用正弦定理、余弦定理、面积公式，通常有两个方向，即角化成边和边化成角，得根据具体问题具体分析哪个方便一些，遇到复杂的题就把未知量列成未知数，根据定理列方程组，然后解方程组即可。
理科如果考数列题的话，注意等差、等比数列通项公式、前n项和公式；证明数列是等差或等比直接用定义法（后项减前项为常数/后项比前项为常数），求数列通项公式，如为等差或等比直接代公式即可，其它的一般注意类型采用不同的方法（已知Sn求an、已知Sn与an关系求an（前两种都是利用an=Sn-Sn-1，注意讨论n=1、n>1）、累加法、累乘法、构造法（所求数列本身不是等差或等比，需要将所求数列适当变形构造成新数列lamt，通过构造一个新数列使其为等差或等比，便可求其通项，再间接求出所求数列通项）；数列的求和第一步要注意通项公式的形式，然后选择合适的方法（直接法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等）进行求解。
如有其它问题，注意放缩法证明，还有就是数列可以看成一个以n为自变量的函数。
第二题是立体几何题，证明题注意各种证明类型的方法（判定定理、性质定理），注意引辅助线，一般都是对角线、中点、成比例的点、等腰等边三角形中点等等，理科其实证明不出来直接用向量法也是可以的。
计算题主要是体积，注意将字母换位(等体积法)；线面距离用等体积法。
理科还有求二面角、线面角等，用建立空间坐标系的方法（向量法）比较简单，注意各个点的坐标的计算，不要算错。
第三题是概率与统计题，主要有频率分布直方图，注意纵坐标（频率/组距）。
求概率的问题，文科列举，然后数数，别数错、数少了啊，概率=满足条件的个数/所有可能的个数；理科用排列组合算数。
独立性检验根据公式算K方值，别算错数了，会查表，用1减查完的概率。
回归分析，根据数据代入公式（公式中各项的意义）即可求出直线方程，注意（x平均，y平均）点满足直线方程。
理科还有随机变量分布列问题，注意列表时把可能取到的所有值都列出，别少了，然后分别算概率，最后检查所有概率和是否是1，不是1说明要不你概率算错了，要不随机变量数少了。
第四题是函数题，第一步别忘了先看下定义域，一般都得求导，求单调区间时注意与定义域取交。
看看题型，将题型转化一下，转化到你学过的内容（利用导数判断单调性（含参数时要利用分类讨论思想，一般求导完通分完分子是二次函数的比较多，讨论开口a=0、a<0、a>0和后两种情况下delt<=0、delt>0）、求极值（根据单调区间列表或画图像简图）、求最值（所有的极值点与两端点值比较）等），典型的有恒成立问题、存在问题（注意与恒成立问题的区别），不管是什么都要求函数的最大值或最小值，注意方法以及比较定义域端点值，注意函数图象（数形结合思想：求方程的根或解、曲线的交点个数）的运用。
证明有关的问题可以利用证明的各种方法（综合法、分析法、反证法、理科的数学归纳法）。
多问的时候注意后面的问题一般需要用到前面小问的结论。
抽象的证明问题别光用眼睛在那看，得设出里面的未知量，通过设而不求思想证明问题。
第五题是圆锥曲线题，第一问求曲线方程，注意方法（定义法、待定系数法、直接求轨迹法、反求法、参数方程法等等）。
一定检查下第一问算的数对不，要不如果算错了第二问做出来了也白算了。
第二问有直线与圆锥曲线相交时，记住我说的“联立完事用联立”，第一步联立，根据韦达定理得出两根之和、两根之差、因一般都是交于两点，注意验证判别式>0，设直线时注意讨论斜率是否存在。
第二步也是最关键的就是用联立，关键是怎么用联立，即如何将题里的条件转化成你刚才联立完的x1+x2和x1x2，然后将结果代入即可，通常涉及的题型有弦长问题（代入弦长公式）、定比分点问题（根据比例关系建立三点坐标之间的一个关系式（横坐标或纵坐标），再根据根与系数的关系建立圆锥曲线上的两点坐标的两个关系式，从这三个关系式入手解决）、点对称问题（利用两点关于直线对称的两个条件，即这两点的连线与对称轴垂直和这两点的中点在对称轴上）、定点问题（直线y=kx+b过定点即找出k与b的关系，如b=5k+7，然后将b代入到直线方程y=kx+5k+7=k（x+5）+7即可找出定点（-5,7））、定值问题（基本思想是函数思想，将要证明或要求解的量表示为某个合适变量（斜率、截距或坐标）的函数，通过适当化简，消去变量即得定值。
）、最值或范围问题（基本思想还是函数思想，将要求解的量表示为某个合适变量（斜率、截距或坐标）的函数，利用函数求值域的方法（首先要求变量的范围即定义域—别忘了delt>0，然后运用求值域的各种方法—直接法、换元法、图像法、导数法、均值不等式法（注意验证“=”）等）求出最值（最大、最小），即范围也求出来了）。